Феноменологическое моделирование процессов тепломассопереноса при ионной имплантации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат физико-математических наук Лукашук, Станислав Юрьевич

• Лукашук, Станислав Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лукашук, Станислав Юрьевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССО-

ПЕРЕНОСА ПРИ ИОННОМ ОБЛУЧЕНИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

1.1. Ионная имплантация и основные процессы, ее сопровождающие

1.2. Анализ принципов построения моделей диффузионных и

тепловых процессов при ионной имплантации

1.2.1. Особенности молекулярно-кинетического подхода

1.2.2. Обзор феноменологических диффузионных моделей

1.2.3. Моделирование процессов нагрева и охлаждения при имплантации

1.3 Методы решения коэффициентных обратных задач в процессах

тепломассопереноса

1.4. Задачи исследования

2. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ ИОННОЙ ИМПЛАНТАЦИИ

2.1. Разработка математической модели на основе термодинамики

необратимых процессов

2.1.1. Процессы, сопровождающие ионную имплантацию,

учитываемые при моделировании

2.1.2. Основы построения математической модели

2.1.3. Уравнения математической модели

2.1.4. Постановка краевых условий

2.1.5. Некоторые частные случаи и упрощения модели

2.2. Построение функций мощности внутренних источников

массы и энергии

3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ МОДЕЛИ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ ИОННОЙ ИМПЛАНТАЦИИ

3.1. Об априорной информации, использующейся при решении

коэффициентных обратных задач

3.2. Интегральные представления постоянных коэффициентов диффузионной модели через временные интегральные характеристики

3.2.1. Получение интегральных представлений

3.2.2. Об оптимальных ВИХ-представлениях

3.2.3. Тестирование полученных ВИХ - представлений

3.3. Интегральные представления постоянных коэффициентов диффузионной модели через объемно-временные интегральные характеристики

3.3.1. Вывод интегральных представлений

3.3.2. Анализ полученных ОВИХ - представлений

3.4. Функционально-интегральные уравнения характеристик

тепломассопереноса

3.4.1. Система функционально-интегральных уравнений на

полях скоростей изменения изоповерхностей

3.4.2. Система функционально-интегральных уравнений на

полях координат изоповерхностей

3.4.3. Тестирование полученных ФИУ

3.5. Сопоставление данных теоретического и экспериментального исследований распределения имплантируемых элементов

в поверхностном слое

4. ПОДОБИЕ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕССОВ

ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ ИОННОЙ ИМПЛАНТАЦИИ

4.1. Феноменологические числа подобия при имплантации

4.2. Некоторые частные случаи взаимосвязи феноменологических критериев подобия моделей РСТД с параметрами имплан-тационного процесса

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Феноменологическое моделирование процессов тепломассопереноса при ионной имплантации»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Поверхность твердых тел определяет многие их свойства, начиная от внешнего вида и заканчивая прочностью. Например, в полупроводниках электрические свойства зависят от состава и структуры поверхностного слоя толщиной ~ 1 мкм. Износостойкость и коррозионная стойкость металлов также определяются составом и структурой поверхностных слоев. Поэтому не вызывает сомнения значение исследований структуры и свойств поверхностей и приповерхностных слоев твердых тел для науки и техники.

В течение последних тридцати лет были разработаны новые способы модифицирования поверхностных слоев [1-3]. Во-первых, стало возможным получение лазерных и электронных пучков с энергией, достаточной для разогрева и оплавления больших участков поверхности за весьма короткое время. Скорости нагрева и охлаждения при использовании импульсных лазеров достаточно высоки для образования новых метастабильных сплавов, что позволяет говорить о появлении нового способа осуществления быстрого роста кристаллов. Во-вторых, появились методы ионной имплантации и ионного перемешивания, позволяющие вводить посторонние атомы непосредственно в поверхностные слои твердых тел. Важным преимуществом имплантации является отсутствие обычных термодинамических ограничений на возможность легирования.

Ионная имплантация представляет собой внедрение легирующего элемента в поверхностный слой материала путем бомбардировки последнего высокоэнергетическими ионами [2-6]. Она позволяет создавать композиционные системы с уникальными структурами и свойствами, существенно отличными от свойств основной массы деталей. Технология имплантационного модифицирования позволяет внедрить в поверхность определенное (заранее заданное) количество практически любого элемента на заданную глубину; таким образом можно сплавлять металлы, которые в расплавленном состоянии не смешиваются, или легировать одно вещество другим в пропорциях, которые невозможно достичь даже при использовании высоких температур.

Энергия имплантируемых ионов может изменяться (в зависимости от

свойств материалов комбинации ион-мишень) от нескольких килоэлектронвольт (,кэВ) до нескольких мегаэлектронвольт (МэВ). Толщина слоя с внедренными ионами зависит от энергии и массы ионов, а также от массы атомов мишени. Ионная бомбардировка изменяет практически все свойства поверхности твердого тела и приповерхностного слоя.

Движущими силами исследования ионной имплантации являются уникальные возможности, предоставляемые методом. Речь идет о контроле и воспроизводимости структуры и состава внешнего слоя толщиной - 1 мкм с чрезвычайно большой точностью. Выделяются два основных направления исследо-. ваний, связанных с использованием ионной имплантации [1]. Первое направление охватывает ее применение в фундаментальных микроскопических исследованиях сплавов [4-8] (для исследования механизмов водной коррозии, высокотемпературного окисления, захвата примесей и др.), а второе - использование имплантации как способа изменения механических и химических свойств поверхности в нужном направлении [2, 3, 9-11].

Имплантация имеет целый ряд преимуществ по сравнению с другими существующими методами формирования поверхностного слоя с заданными характеристиками (такими как диффузия, сплавление, плазменное напыление и ДР-) [1, 2, 9]:

- малое изменение размеров;

- высокая контролируемость и воспроизводимость;

- менее длительный процесс легирования при однородности распределения имплантированного вещества;

- возможность точной дозировки легирующего элемента;

- возможность введения вещества с практически неограниченной растворимостью в твердом состоянии;

- отсутствие проблем адгезии, так как нет поверхности раздела;

- менее жесткие требования к чистоте легирующих материалов, поскольку они разделяются по массам в сепараторе перед ускорителем;

- низкие температуры, при которых реализуется процесс (хотя сама поверхность в процессе бомбардировки может нагреваться до температуры плавле-

ния);

- нужное распределение имплантируемого элемента по глубине поверхностного слоя может быть достигнуто многократной имплантацией с изменяющимся ускоряющим напряжением.

Основным недостатком, связанным с природой метода, является то, что имплантация является процессом обработки в зоне распространения пучка, поэтому его нельзя использовать для обработки образцов со сложной геометрией поверхности. Дорогостоящим и сложным по исполнению является и оборудование для проведения бомбардировки [3, 12-15], особенно высокоэнергетической. Принципиальная схема установки для ионной имплантации приведена в приложении А. Другим серьезным недостатком является неглубокое проникновение ионов в мишень. Увеличение глубины внедрения примеси является одной из основных проблем, стоящих перед исследователями данного метода [1-5]. Это особенно важно при использовании имплантации в борьбе с изнашиванием и окислением [9-11].

Наибольшее распространение ионная имплантация получила в полупроводниковой технике, микроэлектронике и атомной энергетике. Благодаря перечисленным преимуществам имплантация стала неотъемлемым процессом получения кремниевых интегральных схем. В авиастроении имплантация применяется для улучшения эксплуатационных характеристик некоторых деталей газотурбинных двигателей. В начале 80-х годов Naval Research Laboratory успешно использовала ионную имплантацию для увеличения сопротивления местной коррозии стальных подшипников опор роторов турбореактивного двигателя [5]. Исследования лопаток компрессора высокого давления одного из современных отечественных двигателей, подвергнутых ионно-имплантационной обработке, проведенные на кафедре технологии машиностроения УГАТУ, показали, что данный способ легирования значительно увеличивает долговечность изделия по сравнению с серийной технологией [9, 16,17].

В настоящее время имплантация используется для борьбы с износом (в ряде случаев удается снизить износ в 3-5 раз), коррозией и для увеличения усталостной долговечности, в том числе высокотемпературной и коррозионной

(достигнуто увеличение до 25%).

Имплантация сопровождается сложными процессами тепло- и массопере-носа, оказывающими существенное влияние на характер распределения легирующего элемента в материале. Ионная бомбардировка обусловливает появление большого количества дефектов кристаллической решетки, что приводит к значительному увеличению скорости диффузии примеси в твердом теле - это, так называемая, радиационно-стимулированная диффузия. При ионном облучении происходит нагрев материала, что делает необходимым учет параметров температурного поля при рассмотрении диффузионных процессов. При описании процесса необходимо также учитывать явление распыления облучаемой поверхности при воздействии на нее ионного пучка. Имплантация проводится, как правило, в сплавы, которые при моделировании должны рассматриваться как многокомпонентные системы. Кроме того, внедряемые ионы могут стать причиной химических реакций в материале, что также отражается на характере их распределения по глубине.

Для определения концентрации имплантируемого элемента в настоящее время используются феноменологические диффузионные модели, учитывающие, в той или иной мере, перечисленные выше явления. Проведенный анализ литературы показал, что используемые в настоящее время модели ионной имплантации не учитывают влияние на массоперенос и перераспределение примесей параметров температурного поля. Вместе с тем, при ионном облучении скорость изменения температуры в поверхностном слое и температурные градиенты могут оказаться весьма значительными, что приводит к увеличению вклада термодиффузии (перекрестный эффект Соре) в процесс массопереноса.

Однако расчет профилей распределения концентраций даже по классической системе уравнений диффузии при ионной имплантации оказывается затруднителен, так как значения коэффициентов модели существенно отличаются от известных, определенных для обычных диффузионных процессов. Нахождение этих коэффициентов экспериментальными методами, в силу специфики имплантационного процесса, трудно осуществимо, а аналитические методы, основанные на решении обратных задач, для процесса имплантации разработа-

ны еще недостаточно, так как в этом случае имеет место задача определения не отдельных скалярных коэффициентов, а матриц, элементы которых в общем случае не постоянны.

Таким образом, задача моделирования процессов тепломассопереноса при ионной имплантации и разработки алгоритмов идентификации соответствующих параметров рассматриваемого процесса несомненно актуальна.

Актуальность и практическая значимость работы подтверждаются также выполнением ее в рамках следующих комплексных программ, фундаментальных и прикладных НИР:

1. Исследование функционально-интегральных уравнений. Тема ГР 01970009775, Институт механики Уфимского научного центра РАН.

2. Интегральные представления и функционально-интегральные уравнения теплофизических характеристик деформируемых материалов. Тема ГР 01940003578, УГАТУ.

3. Исследование границ применимости метода интегральных представлений матриц коэффициентов переноса и анализ результатов решения определенного класса диффузионных задач. Тема Федеральной целевой программы "Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997-2000 годы" (per. №76), УГАТУ.

4. Грантом а98-474 международной соросовской программы образования в области точных наук, институт "Открытое общество. Фонд содействия".

Цель работы заключается в моделировании процессов тепломассопереноса при ионной имплантации и восстановлении коэффициентов модели.

В соответствии с поставленной целью сформулированы следующие основные задачи исследования:

1. Построение феноменологической модели неизотермической радиаци-онно - стимулированной диффузии при ионной имплантации, учитывающей радиационное проникновение ионов легирующего элемента в глубь материала мишени, нагрев поверхностного слоя, диффузию, распыление облучаемой поверхности тела, распухание материала поверхностного слоя и химические реакции с кинетикой первого порядка, инициированных ионной бомбардировкой.

2. Восстановление постоянных матриц коэффициентов тепломассопере-носа (элементами которых являются коэффициенты диффузии, термодиффузии, температуропроводности, Дюфура, а также коэффициенты сноса и скоростей химических реакций) на основе метода интегральных характеристик.

3. Получение систем функционально-интегральных уравнений для идентификации переменных коэффициентов построенной модели.

4. Оценка адекватности разработанной феноменологической модели и полученных интегральных представлений ее коэффициентов путем численных экспериментов и сравнением с экспериментальными данными.

5. Исследование подобия различных имплантационных процессов в рамках разработанной модели и получение чисел подобия. Установление связи чисел подобия с управляющими параметрами имлантационного процесса (плотностью ионного тока, энергией и дозой облучения).

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Методами термодинамики необратимых процессов получена феноменологическая модель неизотермической радиационно - стимулированной диффузии, учитывающая, по сравнению с существующими моделями, ряд одновременно протекающих при ионной имплантации процессов - диффузию, нагрев поверхностного слоя, распыление облучаемой границы тела, распухание материала поверхностного слоя, а также, при необходимости, протекание химических реакций с кинетикой первого порядка, инициированных ионной бомбардировкой.

2. На основе построенной модели получены интегральные представления постоянных матриц коэффициентов тепломассопереноса (элементами которых являются коэффициенты диффузии, термодиффузии, температуропроводности, Дюфура, а также коэффициенты сноса и скоростей химических реакций) через объемно-временные интегральные характеристики. Для бинарной системы получены новые интегральные представления коэффициентов диффузии и сноса через временные интегральные характеристики.

3. Для идентификации переменных коэффициентов модели впервые для построенной системы уравнений переноса получены системы функционально-

интегральных уравнений на полях координат и полях скоростей изоповерхно-стей.

4. Впервые методы теории подобия применены к феноменологическому моделированию процессов тепломассопереноса при ионной имплантации. Получен ряд новых чисел подобия и установлена их связь с управляющими факторами процесса.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

1. Результаты работы могут быть использованы при дальнейшем исследовании структуры и свойств поверхностного слоя, подвергнутого ионной бомбардировке.

2. Полученные результаты способствуют развитию теории и практики коэффициентных обратных задач.

3. Использование результатов исследования подобия имплантационных процессов позволит значительно сократить затраты на проведение экспериментальных исследований.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением классических методов неравновесной термодинамики, использованием теорий и методов интегральных представлений и функционально-интегральных уравнений, проверкой эффективности построенных алгоритмов восстановления коэффициентов модели на тестовых задачах, а также хорошим качественным и количественным соответствием результатов с экспериментальными данными других исследователей.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Феноменологическая модель неизотермической радиационно-стимулированной диффузии, позволяющая описать интенсификацию процессов массопереноса при ионном облучении твердых тел.

2. Алгоритм идентификации постоянных матриц коэффициентов построенной модели.

3. Системы функционально-интегральных уравнений на полях скоростей и координат изоповерхностей для идентификации переменных коэффициентов полученной модели.

4. Применение для анализа процессов тепло- и массопереноса при имплантации методов теории подобия.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на юбилейной научно-технической конференции "Актуальные проблемы авиастроения" (Уфа, 1992 г.), на II Международной конференции "Идентификация динамических систем и обратные задачи" (Санкт-Петербург, 1994 г.), на Международной научно-технической конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1994 г.), на Всероссийской научно-технической школе "Современные проблемы механики и математической физики" (Воронеж, 1994 г.), на III Минском международном форуме "Тепломассообмен ММФ 96" (Минск, 1996 г.), на Международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения" (Уфа, 1996 г.), на VII Всероссийских Туполевских чтениях "Актуальные проблемы авиастроения" (Казань, 1996 г.), на Всероссийской молодежной научно-технической конференции "Проблемы энергомашиностроения" (Уфа, 1996 г.), на Всероссийской научно-технической конференции "Энергетика и информация. Актуальные проблемы" (Уфа, 1997 г.), на четвертой Северо-Кавказской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Махачкала, 1997 г.), на восьмой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1998 г.), на третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ - 98 (Новосибирск, 1998 г.), на третьем конгрессе двигателестроителей Украины с иностранным участием "Приоритеты и возможности" (Киев-Харьков-Рыбачье, 1998 г.), на кафедре теории авиационных и ракетных двигателей УГАТУ, на научных семинарах кафедры математики УГАТУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Объем работы - 240 страниц, включая 140 страниц машинописного текста, 32 таблицы, 27 рисунков, список литературы из 165 наименований и 9 приложений.

1 СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ ИОННОМ ОБЛУЧЕНИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

1.1. Ионная имплантация и основные процессы, ее сопровождающие

Как отмечают многие исследователи [1-6, 9, 18], целый ряд свойств, приобретаемых материалом при имплантации, однозначно определяются профилем концентрации имплантируемого элемента, который в свою очередь зависит от вида легирующего элемента и легируемого материала, а также от энергии и дозы облучения.

Ионное облучение твердых тел сопровождается сложными физическими и химическими процессами [1, 2, 9, 18-37], определяющими окончательное распределение компонентов в материале. Условная схема этих процессов (по классификации, данной в [2]) приведена на рисунке 1.1.

Одним из важных и активно изучаемых в последнее время процессов, инициированных ионным облучением и оказывающем в ряде случаев существенное влияние на распределение компонентов в поверхностном слое, является радиационно-стимулированная (или ускоренная) диффузия (РСД) [1, 2, 18, 19]. Под РСД понимается увеличение скорости диффузии примеси в твердом теле из-за присутствия большого количества дефектов решетки, появление которых обусловлено ионной бомбардировкой. Ее влияние на распределение элементов усиливается значительным радиационным нагревом, имеющем место при больших дозах и энергиях облучения. В этом случае можно говорить уже о ра-диационно-стимулированной термодиффузии (РСТД), скорость которой на несколько порядков выше скорости протекания обычных диффузионных процессов в твердых телах [27]. Экспериментально установлено, что вследствие

л рапица ßcUVyyM - 1ВСрдиС i еЛО

Рисунок 1.1.

РСТД глубина проникновения внедряемой примеси при имплантации может увеличиваться в десятки раз [1-6, 27-30].

На окончательный вид профилей концентрации также оказывает влияние процесс распыления облучаемой поверхности [1, 2, 18, 20, 33]. Он обусловлен радиационным выбиванием приповерхностных атомов мишени (непосредственное распыление), процессами испарения поверхности вследствие нагрева последней до высокой температуры и различного рода эмиссиями (см. рисунок 1.1).

Все перечисленные процессы должны учитываться при моделировании ионной имплантации. В настоящее время описанию процессов, сопровождающих ионное облучение, посвящено достаточно большое количество работ как отечественных, так и зарубежных исследователей.

1.2. Анализ принципов построения моделей диффузионных и тепловых процессов при ионной имплантации

В настоящее время в теоретических исследованиях процессов ионного облучения можно выделить два основных направления:

1) исследование движения ускоренных ионов в дискретной среде на основе кинетических уравнений [2, 3, 6, 21, 28, 38-52] (молекулярно-кинетический подход);

2) моделирование процессов при ионной имплантации на основе феноменологических представлений о перераспределении компонентов в непрерывной среде [1, 2-4,16, 23, 26, 27, 33-36, 53-55, 57, 58] (феноменологический подход).

1.2.1. Особенности молекулярно-кинетического подхода

Во всех моделях этого направления учитываются два взаимосвязанных процесса: изменение направления движения внедряемых ионов (рассеяние) и изменение их энергии (торможение) [2, 3]. Процессы взаимодействия ионов с

веществом, находящемся в конденсированном состоянии, описываются с помощью представления о последовательных парных столкновениях иона с отдельными атомами. Как правило, учитываются упругие и неупругие столкновения. При этом зависимость потенциальной энергии взаимодействия V от расстояния между частицами г (потенциал взаимодействия) определяется по формуле

= (1.1) г

где - атомные номера падающего иона и атома материала, соответственно,

е = -1.6-10"19 Кл - заряд электрона,

Ф{г/а) - функция экранирования, учитывающая экранирующее действие электронов атома, а - параметр экранирования. Зная потенциал взаимодействия, можно определить дифференциальное сечение рассеяния и определить удельные потери энергии при соударениях вдоль траектории [48, 51, 56].

Исторически первой теорией расчета распределения внедряемого компонента внутри облучаемого образца является так называемая ЛТТТТТТ теория. Она была предложена в 1963 году Линдхардом, Шарфом и Шиотом [38, 39] (ее основы приведены также в [2]) и базируется на микроскопическом статистическом подходе к распределению удельных энергетических потерь при ядерном торможении быстрых ионов в аморфных телах. При этом рассматривается взаимодействие атомов, распределение плотности электронов по радиусу которых описывается статистической моделью атома Томаса-Ферми. Функция экранирования в (1.1) является в данном случае функцией Томаса-Ферми ф0(г/ а) [56]:

Фь = ф0 (г/аь), аь =О.ЖЗа0(г?/3 +г22/3ут, где а0 = 0.0529 нм - радиус первой орбиты в атоме водорода по Бору. Распре-

деление ионов в веществе по теории ЛТТТТТТ определяется интегро-дифферен-циальным уравнением

дР(*кЕ) = п0\[Р(Я,Е -Тп-Те)~ Р(К,Е)]аспе.

Здесь Р(Я,Е) - плотность вероятности того, что ион с данной энергией Е, эВ, остановится в веществе после прохождения пути Я, м; щ - концентрация атомов в твердом теле,мъ\ Тп - энергия, передаваемая ядру атома при столкновении, эВ; Те - полная энергия, передаваемая всем электронам атома, эВ; с1<зпе = <1<5пе(Тп,Те) - дифференциальное сечение рассеяния, м'2. При этом само уравнение в теории ЛТТТТТТ не решается, а используется лишь для получения первых моментов статистического распределения внедряемых элементов по глубине - среднего проекционного пробега Кр и среднеквадратичного разброса проекционного пробега АЯр.

Однако дальнейшие экспериментальные исследования показали существенное отличие реального распределения внедряемого элемента при высоких дозах облучения от предсказываемого теорией ЛТТТТТТ Она оказалась также неприменимой для легких ионов средних и высоких энергий. Тем не менее, ее используют для предварительных оценок и получения профиля концентрации в первом приближении.

В настоящее время часто наряду с функцией экранирования предложенной в ЛТТТТТТ используют функцию экранирования О.Б. Фирсова, отличающуюся параметром экранирования [40, 41]:

ФФ = Ф0(Паф\: аф = ОШЗа^+г?2)-213, которая дает для ряда материалов лучшее совпадение с данными экспериментов.

Принципы, заложенные в теории ЛППП, получили дальнейшее развитие в работах Ф.Ф. Комарова [42], У. Уилсона - Л. Хагмарка - И. Бирзака [43], К.

Нильсен [44] и ряда других исследователей [45 - 48].

Так, Ж. Мольер предложил аппроксимировать эту функцию зависимостью

[2]

Фм{г1а) = ±С1е-ь±С,= 1.

/=1 /=1

Наиболее простой является функция экранирования предложенная К. Нильсен:

Фм(г!а) = 0.416-.

г

Несмотря на свою простоту, она дает хорошие результаты для диапазона 0.5а < г <5а.

Теория У. Уилсона - Л. Хагмарка - И. Бирзака (УХБ - теория) построена в приближении статистической модели атома Томаса-Ферми-Дирака и с использованием квантово-механических плотностей электронов. Функция экранирования аппроксимировалась зависимостью Ж. Мольера с п = 3 и

С2 = 0.0069, С2 = 0.1669, С3 = 0.8262; ^ =0.1318, ¿2 = 0.3079, \ = 0.9168.

Как отмечается в [2], теория УХБ дает наилучшее совпадение с экспериментом.

Недостатками указанных теорий являются сложность моделирования имплантации в многокомпонентных системах, а также неучет диффузионных процессов и возможности протекания химических реакций. Часто это приводит к большим различиям между экспериментальными и предсказываемыми теорией распределениями имплантируемых элементов.

Еще один подход к определению распределения внедряемых ионов по глубине основан на использовании кинетического уравнения Больцмана [21, 38, 51]. В частности, как отмечено в [21], при высокоэнергетической ионной имплантации (когда энергия ионов превышает 10 МэВ) уравнение Больцмана переходит в уравнение Фокера-Планка:

Здесь Ф(х,Е, ц) - плотность потока ионов, ион/(м2 с);

Е - энергия ионов, эВ;

ju - косинус угла рассеяния;

а(Е) - дифференциальный коэффициент углового рассеяния;

Р(Е) - дифференциальное сечение торможения. Основные параметры этого уравнения рассчитывались авторами [21] по теории ЛИЛИ.

В последнее время благодаря развитию электронно-вычислительной техники бурно развивается численное моделирование процессов ионного проникновения [2, 49, 50]. Наиболее широко используется для моделирования метод Монте-Карло и, в частности, созданный на его основе И. Бирзаком и др. алгоритм TRIM [52]. Идея метода состоит в том, что в ЭВМ моделируется некоторый элемент твердого тела, задаются законы, по которым происходит взаимодействие иона с атомами, а затем на такое смоделированное "твердое тело" в случайное место его поверхности выпускается ускоренный до определенной энергии "ион". После многократного повторения этой операции молено построить распределения ионов по глубине и другие характеристики. Соответствие результатов этих машинных экспериментов реальному процессу определяется правильностью задания законов взаимодействия. Тем не менее, далеко не все эти законы и необходимые для вычисления характеристики являются заранее известными.

дФ а(Е) д

¡л-=--

дх 2 <Эр,

1.2.2. Обзор феноменологических диффузионных моделей

Это направление базируется на феноменологических законах сохранения и уравнениях переноса, полученных с использованием методов термодинамики необратимых процессов [59-62]. При этом радиационные эффекты проникновения ионов в материал учитываются либо начальными и граничными условиями

краевой задачи, либо входящими в уравнения переноса функциями внутренних источников. Такой подход позволяет рассматривать процесс имплантации как неравновесный и нестационарный, а также позволяет учитывать влияние на распределение внедряемых ионов по глубине ряда других процессов, протекающих одновременно с имплантацией. Примерами последних могут служить объемные и поверхностные химические реакции, протекание которых стимулируется ионной бомбардировкой. Именно феноменологические модели позволяют наиболее просто описывать и исследовать явление радиационно-стимулированной диффузии.

Согласно классическому определению [63], диффузией называется процесс самопроизвольного выравнивания концентрации. Однако истинной причиной, вызывающей перемещение частиц (атомов, молекул, вакансий) при диффузии, является разница химических потенциалов в различных точках системы, а не концентраций [64]. Поэтому при наличии в системе других градиентов (например, температуры) различие концентраций может, наоборот, расти. Примерами могут служить термодиффузия, диффузия во внешних магнитных и электрических полях [65], диффузия при горении (когда помимо неоднородности концентрации в системе протекают различные химические реакции) [66], процессы сушки [67] и др. Таким образом, в системах, включающих разнородные частицы, диффузия проявляется в стремлении к установлению равновесного распределения концентраций. В отсутствие внешних силовых полей происходит полное выравнивание концентраций.

С термодинамической точки зрения диффузия является процессом необратимым и представляет собой наряду с теплопроводностью и вязкостью один из источников диссипации энергии [63]. Причины возникновения диффузионного потока связаны со стремлением системы к увеличению энтропии за счет перемешивания. На основании этого выводятся дифференциальные уравнения, описывающие явления тепло- и массопереноса в многокомпонентных системах, и устанавливаются зависимости между диффузионными параметрами и различ-

ными физическими свойствами материалов. Результатом феноменологических теорий диффузионных процессов являются формулы, связывающие коэффициенты взаимной диффузии (или парциальные коэффициенты диффузии) с коэффициентами самодиффузии и производными химических потенциалов. Для бинарных систем теория диффузионных процессов на основе неравновесной термодинамики была построена Даркеном [60]. На случай многокомпонентных систем она была обобщена и уточнена Маннингом [68-70]. Исследование таких систем проведено в работах Гурова К.П. [71-73]. Анализ диффузионных процессов, учитывающих изменение давления в диффузионной зоне, дан в теории Бокштейна-Швиндлермана [64, 74, 75].

Вычисление концентраций и количеств продиффундировавших веществ по феноменологическим моделям составляет предмет математической теории диффузии [76]. Ее аппарат аналогичен аппарату математической теории теплопроводности [77-82], поэтому методы этих теорий часто идентичны. Однако теория диффузии характеризуется рядом особенностей, приводящих к необходимости решать специфические задачи, которые нельзя точно сопоставить с задачами теории теплопроводности. Вопросы математической теории диффузии освещены в книгах [64, 68, 83-85]. Наиболее полно для задач однокомпонент-ной диффузии с постоянными и переменными коэффициентами она изложена в монографии [76].

В настоящее время достаточно активно разрабатываются диффузионные модели при лазерном, электронном и ионном облучении твердых тел [1, 86]. $ силу специфики процессов, они часто значительно отличаются от классических диффузионных уравнений, базирующихся на законе Фика.

Обычно после ионной имплантации проводится высокотемпературный отжиг, в процессе которого за счет механизма РСТД происходит перераспределение компонентов. Одна из простейших моделей для описания этого процесса приведена в [4]. Считается, что сам диффузионный процесс подчиняется второму закону Фика, записанному для однонаправленного переноса, а распределе-

ние внедренного компонента подчиняется закону нормального распределения Гаусса и учитывается в виде начального условия:

гу

дс(хЛ) п д с(хЛ) . .

4 ' } = В —, 0 < х < .оо, 0 < г < I ;

Ы дх1

Ф

фс,0) = —¡=-ехр

АЯр 2АЯ2р )

где с(х, () - функция концентрации, ат %;

В - постоянный коэффициент диффузии, м2/с; Ф - интегральная доза облучения на единицу площади мишени, м'2; N - плотность атомов материала мишени,мъ\ Яр - средний проекционный пробег ионов данного типа в материале мишени, м;

АЯр - среднеквадратический разброс проекционного пробега, м\ Т - длительность процесса отжига, с. Эффект ускорения диффузии вследствие облучения учитывается формальным увеличением коэффициента диффузии В. Такой подход имеет целый ряд недостатков. Во-первых, вследствие наличия процессов распыления облучаемой границы и протекания процесса РСТД в ходе самого имплантационного процесса, профиль концентрации внедренного элемента к началу отжига может существенно отличаться от нормального закона распределения. Как отмечается в [6], наличие РСТД может на порядок увеличивать глубину проникновения ионов по сравнению со значением среднего проекционного пробега Яр. Во-вторых, само уравнение модели не учитывает возможного дрейфа ионов по дефектам. В-третьих, модель не учитывает возможность протекания в системе химических реакций. К недостаткам модели следует отнести ее одномерность и постоянство коэффициента диффузии, а также скалярность, что позволяет описывать лишь процессы в бинарных системах. Данная модель может применяться лишь для приближенного описания процессов РСТД при постимплантационном отжиге,

когда имплантация проводится с небольшими дозами и энергиями в чистые материалы.

Более совершенная модель предложена в работе [26]. В ней учитывается наличие тонкого слоя загрязнения на поверхности мишени и его влияние на профиль концентрации за счет различия коэффициентов диффузии в загрязненном и чистом слоях {D\ и D2)

дс д2с

-— = D1—r + F(x,t), xi(0 < х < x2(t); ot дх

дс д2с

— = D2—T + F(x,t) , x2(t) < х < со, ot дх

где F(x,t) - функция плотности распределения внедренных ионов. На границе раздела фаз х = x2(t) поставлены граничные условия четвертого рода в виде массового баланса

г дс dx2(t) Л ( дс dx2(t)

Dx — +

v дх dt J

г

х=х2(0- о

D2— +

V дх dt J

A —

дх

В граничном условии на облучаемой поверхности учитывается процесс распыления, возможность термо- и ионно-стимулированной десорбции с кинетикой первого порядка и рекомбинация за счет термодесорбции с кинетикой второго порядка, с постоянными скоростями поверхностных реакций к и К:

где - скорость распыления границы, м/с;

V- скорость дрейфа ионов, м/с. Таким образом, в данной модели учтено радиационное проникновение ионов в мишень (функцией Т7), распыление границы и дрейф ионов, а также возможность протекания поверхностных реакций. Коэффициент диффузии считается кусочно-постоянным. К недостаткам данной модели следует отнести предположение о сохранении четкой границы между слоями загрязнений и матрицей, неучет возможности протекания объемных химических реакций, одномерность

и скалярность уравнения, а также то, что коэффициенты диффузии не рассматриваются как функции температуры и концентрации.

Большой интерес представляет феноменологическая модель, предложенная авторами работы [33]. Процесс имплантации ионов азота в сталь и образование новой нитридной фазы моделировался системой диффузионно-кинетических уравнений

ды^, о а

дг дг

дг

+ /,(*,0-/,(*,0;

в которой

п(2,1) и N(2,0 - концентрация связанных и несвязанных атомов примеси на

глубине г, соответственно, ат %,;

В{т,,() - коэффициент диффузии этих атомов, м21с\

() - локальная скорость перемещения атомов примеси за счет распыления, пропорциональная коэффициенту распыления, м/с; /Г(-М) - функция источника, численно равная количеству атомов примеси, вступивших в соединение с атомами мишени в единице объема за единицу времени, ат%/ с;

/¡(г,/) - функция распределения остановившихся ионов ат % / с.

Особенностью данной модели является учет зависимости коэффициента диффузии и остальных коэффициентов от глубины и времени. Процесс предполагался изотермическим.

Еще одна модель для определения поля концентрации в бинарной системе предложена А.Д. Марвиком [1, 54]:

ас.

- = К-ЯСУС1 -

Здесь Су - концентрация вакансий, ат %:

Сг - концентрация внедряемых ионов, ат %;

ку, к1 - соответственно плотности стоков вакансий и внедряемых ионов,

- коэффициенты диффузии вакансий и ионов, соответственно, м21с\

Я - коэффициент рекомбинации, 1 ¡{ат % -с); К - скорость возникновения пар вакансия-междоузельный атом (скорость накопления дефектов), ат%/ с. В свою очередь, скорость накопления дефектов, т.е. скорость возникновения пар вакансия-междоузельный атом, определяется уравнением Кинчина-Пиза:

04 дЕ„ N£4 дх

■л

где N - атомная плотность, ат/м ; Еа - энергия смещения, эВ; Ф - ионный поток, ион/(м2 с); дЕ

р

- энергия, выделяющаяся в мишени на единицу длины пути части-

дх

цы, эВ/м.

К недостаткам модели следует отнести отсутствие учета влияния температурного фактора и одномерность модели.

Наиболее полной можно считать модель, приводимую Н. Видерзихом [1, 55], в которой учтены многие из перечисленных выше эффектов:

дСл Ы

дСу_ Ы

дС-от

Св = \-С А\

^ = -(с1Ау,С„+(2А&)ЧСА + с1Ах,САУСу-с1А1САУС1; Л = ~^АусА + ¿ВУСВ)ЧСУ + +

4 = +с1В1св)чс1-с1А1с1уса-ашс^св,

где с1Ау,с1А^с1Ву,с1В1 - парциальные коэффициенты диффузии, зависящие от характера взаимодействия А- и В- атомов с вакансиями V и атомами внедрения /, м2/(ат % с);

Jk,(k = А, V,/) - потоки соответствующих дефектов, ат % м/с,

К0иЯ- локальные, зависящие от координат скорости генерации и рекомбинации вакансий и междоузлий, ат % /с;

- коэффициент диффузии, обусловленный каскадным перемешиванием м2/с.

Модель описывает пространственное распределение поля концентрации в двух-компонентном А-В сплаве. К недостаткам модели следует отнести, во-первых, ее изотермичность, и во-вторых то, что химические реакции учитываются в модели лишь как источники и стоки, а их кинетические коэффициенты явно в уравнения не входят.

Таким образом, рассмотренные имеющиеся модели обладают целым рядом недостатков, значительно сужающих область их применения.

1.2.3. Моделирование процессов нагрева и охлаждения при имплантации

В настоящее время процессы нагрева и охлаждения при имплантации изучены достаточно слабо. Нагрев ионными пучками рассмотрен всего в нескольких работах [1, 2, 6, 87], что обусловлено трудностью в получении достоверной экспериментальной информации вследствие быстроты протекания тепловых процессов. Как отмечают Е. Римини [1] и ряд других исследователей [2, 6], имплантационный нагрев характеризуется исключительно большими температурными градиентами (до 10 К/м) и высокими скоростями нагрева и охлаж-

дения (105 К/с). До 90 % всей внесенной ионами в твердое тело энергии превращается в теплоту, причем это превращение происходит в очень тонком поверхностном слое [2]. Нагрев в свою очередь приводит к плавлению и испарению вещества мишени, термоэмисии электронов, излучению и пр.

Согласно классификации Р. Келли [6, 87], все тепловые процессы при имплантации делятся по времени их протекания на быстрые (?< Ю"10 с) и медленные (/ > Ю"10 с). Быстрые тепловые процессы характеризуются испусканием атомов в результате испарения с поверхности бомбардируемой области. Температура в этой области оценивалась по формуле

где Ах и Ау - средние разбросы пробегов по осям х и у, соответственно, м; Зк - гипотетическая теплоемкость, рассчитанная на атом, эВ/К;

Е - энергия падающих ионов, эВ. Медленные тепловые процессы (теплопроводность) описывались в [87] классическим уравнением теплопроводности

При этом коэффициент температуропроводности задавался как обобщенная функция температуры а = а^Т".

В работе Римини [1] использовалось предположение о том, что распределение температуры повторяет распределение введенной энергии. Зная профиль введенной энергии, можно рассчитать параметры нагрева и охлаждения. В той же работе проведено исследование влияния температурного поля на характеристики диффузионного процесса (учитывался так называемый эффект Соре -диффузия под действием температурного градиента). Уравнение РСТД имело вид

Т =-

ЗкЫАх(Ау)

2 '

N - концентрация атомов мишени, м ;

-3.

дп „д2п _дпдТ _ д2Т

= £> ^г + --+

Ы дг2 дг дг дг2 '

Здесь Т(г,{) - температура образца, К;

п(г,() - концентрация внедренного компонента, агп %; £> - коэффициент диффузии, м2/с\ Б - коэффициент Соре, УК. Недостатками модели являются: во-первых, постоянство коэффициентов, во-вторых, неучет влияния ряда таких факторов, как распыление и химические реакции, а также одномерность модели и ее применимость лишь для бинарных систем. Тем не менее, основным преимуществом данной модели, относительно всех рассмотренных ранее, является учет влияния температурного поля на характер распределения легирующего компонента.

Из приведенного выше следует, что теоретическое исследование процессов тепло- и массопереноса при ионной имплантации базируется, в общем случае, на системе взаимосвязанных уравнений, описывающих перенос различных субстанций с учетом их взаимного влияния. В монографии [80] приведены аналитические решения такой системы дифференциальных уравнений в линейном приближении постоянных коэффициентов переноса в телах различной геометрической формы. Однако на практике допущение о постоянстве коэффициентов справедливо далеко не всегда и тогда подобные процессы должны описываться

V» _ и ТЛ

системой нелинейных уравнении. К настоящему времени доказаны теоремы существования и единственности решения для большинства таких систем прц различных видах граничных условий (для систем типа реакция-диффузия это сделано, например, в [88]), разработаны различные численные методы их решения. Коэффициенты таких систем зависят, как правило, от концентраций и температуры. Определение этих зависимостей представляет собой сложную обратную задачу. В случае рассмотрения одновременно протекающих процессов тепло- и массопереноса в многокомпонентных системах встает задача определения уже не отдельных коэффициентов модели, а их матриц. При этом матрицы ко-

эффициентов непосредственно в эксперименте определены быть не могут и для их нахождения требуется решение соответствующей коэффициентной обратной задачи.

1.3 Методы решения коэффициентных обратных задач в процессах тепломассопереноса

Методы обратных задач (ОЗ) [89-93] дают возможность исследовать сложные нестационарные нелинейные процессы тепломассообмена, обладают высокой информативностью, позволяют проводить экспериментальные исследования в условиях, максимально приближенных к натурным, или непосредственно при эксплуатации технических систем и в конечном итоге дают возможность более обоснованно выбирать проектно-конструкторские и технологические решения. Поэтому в теплофизике активно развивается научное направление, базирующееся на методологии обратных задач тепломассообмена.

К обратным относятся задачи, в которых по определенной информации о физических полях требуется восстановить некоторые причинные характеристики. Это могут быть граничные условия и их параметры, начальные условия, коэффициенты дифференциальных уравнений, а также геометрические характеристики области задания уравнений. В соответствие с этим различают следующие типы 03 для уравнений в частных производных [93]:

1) ретроспективные задачи или задачи с обратным временем, заключающиеся в определении координат физических процессов в предыдущие моменты времена (установление предыстории данного состояния процесса);

2) граничные обратные задачи - восстановление граничных условий или величин в них входящих;

3) коэффициентные обратные задачи - определение коэффициентов уравнений (эти 03 также называются внутренними);

4) геометрические обратные задачи - нахождение некоторых геометрических характеристик граничной поверхности или координат точек измерения зависи-

мых переменных внутри этой области. Возможны также комбинированные постановки.

Общая запись обратной задачи может быть представлена в форме операторного уравнения [89, 90]:

Аи =/, и е и, /е Р. (1.2)

Здесь и и/- соответственно искомая и наблюдаемая характеристики, которые трактуются как элементы метрических пространств II и К Оператор А : и F предполагается заданным, имеет область определения В(А) с= V и область значений

Задача решения уравнения (1.2) называется корректно поставленной по Адамару, если:

1) для любого/ е Я(А) = Т7 существует решение и е II (условие разрешимости);

2) решение является единственным в и (условие однозначности);

3) решение непрерывно зависит от/(условие устойчивости).

Если нарушается хотя бы одно из перечисленных требований, задача (1.2) называется некорректно поставленной. Для отыскания решения таких задач используются специальные регуляризирующие алгоритмы [94].

Характерной особенностью обратных задач тепломассообмена является некорректность их исходной постановки, связанная с возможной неоднозначностью и неустойчивостью их решения, что требует разработки специальных методов и вычислительных алгоритмов, а также оптимального планирования и должной технической организации экспериментальных исследований. Исследо* ванию вопросов корректности постановки таких 03 посвящено большое количество работ [88, 89, 96-101].

Коэффициентные обратные задачи широко используются для определения теплофизических и термокинетических характеристик сред [95], особенно в тех случаях, когда эти исследования необходимо проводить в широких диапазонах изменения величин, в условиях нестационарности физических полей и при физико-химических превращениях в материале.

Для большого количества различных типов коэффициентных обратных задач условия единственности решения в настоящее время уже получены [88, 89, 96, 97] и поэтому некорректность их постановок связана только с неустойчивостью получаемого решения. Тем не менее, для ряда задач, в частности, для 03 химической кинетики, имеет место неединственность решения [98].

Методы решения коэффициентных 03 делятся на экстремальные и неэкстремальные [95]. Принципиальное различие между ними состоит в способе использования опорных величин, которыми в 03 теплообмена являются измеренные температуры Т*. В экстремальных методах Г* сравнивается с вычисленными значениями Т. Невязки между Т* и Т являются управляющим элементом в процедуре поиска решения и важным параметром многих способов регуляризации. В неэкстремальных методах подставляется в математическую модель или выражение аналитически полученного решения прямой задачи. При этом Т фактически отождествляется с ^ , т.е. невязка между ними априори принимается равной нулю. Решение сводится к одноразовому решению уравнения или системы уравнений, иногда с привлечением итерационных процедур учета нелинейности, в то время как стержнем экстремальных методов является поиск минимума невязки, в процессе которого многократно осуществляется математическое моделирование наблюдаемого в эксперименте процесса.

Неэкстремальные методы подразделяют на методы обращения модели и методы обращения решения. В первом случае 7* подставляется в уравнения математической модели, которые затем решаются относительно искомых коэффициентов. В методах второй группы расчетные формулы для коэффициентов модели получают из выражений, являющихся аналитическими решениями прямой задачи.

Обращение решения прямой задачи заключается в следующем. Пусть процесс описывается уравнением

Щ,к) = О, (1.3)

(Т - температура, к - вектор коэффициентов уравнения - ТФХ) с начальным и

граничными условиями:

Т(=0=/, Т=Т(х,Г,к), хеТ,

где Г - граница рассматриваемой области.

Решение прямой задачи получается интегрированием уравнения (1.3) при выбранных начальном и граничных условиях:

Т=А(к,Т(х,(,к),Л (1.4)

Далее, уравнение (1.4) разрешается относительно искомого вектора ТФХ:

к = А~1{Т,Т(х,0,/}.

Как отмечается в [102], этот метод обладает следующим рядом недостатков.

1) Методологическая погрешность аппроксимации реальных условий расчетной схемой. Необходимость назначения краевых условий неадекватных реальному процессу. Знания об объекте всегда относительны и неполны, поэтому аппроксимация природных условий расчетной схемой всегда в определенной степени неадекватна.

2) Сложность расчетных схем. Помимо того, что реальный процесс аппроксимируется расчетной схемой (дифференциальным уравнением в частных производных), саму по себе расчетную схему приходится выбирать весьма упрощенной из-за трудностей решения краевых задач и трудности использования этого решения. По этой причине расчетные формулы определения параметров построены лишь для простейших условий.

Из-за трудностей решения 03 не существует формул для

- интерпретации многомерной модели,

- определения параметров в неоднородных и анизотропных средах,

- определения параметров в многокомпонентных средах.

Большие сложности возникают не только при решении 03, но и при использовании этого решения для определения параметров. Форма теоретического решения может быть такова, что определить параметры даже при имеющемся теоретическом решении и при достоверных краевых условиях будет невоз-

можно.

3) Многообразие и неуниверсальностъ расчетных формул. Большое количество узко специализированных формул.

4) Необходимость организации исследований по специальной схеме.

5) Большая погрешность определения параметров.

Для нахождения коэффициентов уравнения теплопроводности используется также решение прямой задачи для случая регулярного теплового режима II рода. В частности, для расчета коэффициента теплопроводности, теплоемкости и коэффициента температуропроводности используется метод монотонного нагрева [103]. В работе [104] использована идея сведения нелинейного уравнения теплопроводности к линейному дифференциальному уравнению более высокого порядка, основанная на представлении коэффициента температуропроводности рядами Фурье. В работах [105, 106] изложен метод определения теплофизиче-ских характеристик (ТФХ) на основе линеаризации уравнения теплопроводности с применением различных преобразований, например, типа подстановок Кирхгофа.

В методах, основанных на обращении математической модели, используется идея преобразования уравнений процесса таким образом, чтобы искомые коэффициенты стали функциями физических полей, которые считаются известными.

В работах [107, 108] использовалась замена дифференциального уравнения конечно-разностным аналогом. Рассматривалось уравнение Фурье

т д2н

Параметр а определялся из выражения

М Ах2 ' '

Такая замена может быть применена к уравнениям любого типа. Однако метод имеет ограниченную область применения, поскольку конечно-разностная ап-

проксимация эквивалентна непосредственному дифференцированию экспериментальных функций чреватому большими погрешностями. При этом возникают вопросы оптимального усреднения экспериментальных данных.

Оптимальное усреднение экспериментальных данных возможно методами стохастической аппроксимации [109]. Для определения параметра а в уравнении (1.5) применена конечно-разностная аппроксимация (1.6), а затем по координате t использован метод стохастической аппроксимации, перерабатывающий большое количество статистической информации и определяющий по какому-либо критерию наиболее вероятное значение параметра. В частности, произведено среднеквадратическое усреднение.

Широко используются способы идентификации коэффициентов для автомодельных режимов [110 - 112]. В работе [113] приведены формулы для определения теплоемкости и теплопроводности как функций температуры, а само температурное поле аппроксимировано кубическими сплайнами. Однако приводимые формулы содержат производные температуры по пространственной и временной переменной, погрешность определения которых при сплайн-аппроксимации температурного поля может оказаться достаточно большой.

Этого недостатка лишен подход, основанный на интегральных преобразованиях. Суть методики расчета параметров состоит в том, что уравнения заменяются интегральными аналогами, из которых составляются алгебраические или интегральные уравнения относительно искомых параметров. Так, для задач геофизики в работе [114] было предложено определять коэффициент а уравне^ ния (1.5) из интегрального выражения, полученного следующим образом. Уравнения (1.5) умножается на (xj - х) и интегрируется в пределах [0, х, ], [0, t\], после чего получается выражение

х2 J(*i -x)[H(Xi,ti)-H(xi,Q)]dx |(*2 - х)[Н(x^t^ - Н(xh0)]dx

а =_^_о_

h

J [х2Н(х2, о - ххн(х2, /) - (х2 - х1 )Н(0, t)]dt

Близок к нему и метод модулирующих функций [115]. Суть метода: дифференциальное уравнение умножается на специальные "модулирующие" функции и интегрируется в конечных пределах. Модулирующие функции выбираются так, что они сами и все их производные на концах интервала интегрирования обращаются в нуль. Возможный их вид

А(х)ехр -

yJC JC q j ЭС J

Для получения независимых алгебраических уравнений интегральные аналоги необходимо составлять с использованием различного количества информации. Изменением модулирующих функций придается различный вес экспериментальным данным и, тем самым, меняется количество используемой информации. Критериями выбора модулирующих функций служили соображения статистического и вычислительного характера. Однако этот метод применялся авторами только для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Применительно к уравнениям теории фильтрации методика определения коэффициентов на основе интегральных преобразований по пространственным и временным переменным была разработана В.Б. Георгиевским и названа методикой унифицированных алгоритмов [102]. Для определения нескольких параметров использовалось варьирование пределами интегрирования.

Методы идентификации ТФХ на основе интегральных представлений коэффициентов разработаны и изложены в работах [116-120]. Для облегчения процедуры обращения модели широко используются интегральные преобразования Лапласа и Фурье, а также объемные интегральные характеристики. В области изображений в ряде случаев несложно найти явные аналитические выражения для определения коэффициентов, особенно если они постоянны. В работах [118, 119, 121] преобразование Лапласа использовано для восстановления ТФХ. Очень подробно был изучен вопрос выбора параметра преобразования Лапласа: 1) по минимуму погрешности измерения коэффициента температуропроводности [120]; 2) на основе статистического анализа шума преобразования

Лапласа [122]; 3) с использованием сравнения рассчитанных характеристик с ТФХ эталонного материала. В работе [123] преобразование Лапласа использовано для определения коэффициента диффузии в бинарной системе.

В общем случае определение ТФХ сводится к решению функционально-интегральных уравнений (ФИУ), теория которых применительно к процессам тепломассообмена достаточно полно и подробно изложена в монографии [120]. Данный подход может быть распространен на матричные модели (для многомерного уравнения теплопроводности это сделано в [118]) и является одним из наиболее перспективных для решения 03 совместно протекающих процессов тепло- и массообмена, в частности для определения характеристик термодиффузионного процесса при ионной имплантации.

Экстремальные методы решения внутренних 03 отличаются друг от друга процедурами численного моделирования и поиска минимума функционала невязки, видом этого функционала и формой представления искомых характеристик. Однако определяющим является выбор процедуры минимизации. При идентификации ТФХ используют как самые простые методы поиска минимума, основанные на переборе с заданным шагом всех допустимых значений искомых параметров [124], так и сложные методы нелинейного программирования, позволяющие эффективно решать задачи на условный экстремум, характерные для большинства регуляризирующих алгоритмов. Многие методы решения 03 данного класса опираются на градиентный поиск минимума. Анализ эффективности различных градиентных методов применительно к внутренним ОЗТ прог веден в работе [125]. Предпочтение было отдано методу сопряженных градиентов, который также успешно применялся в работах [126-128]. При восстановлении ТФХ находят также применение методы теории оптимального управления [95, 129]. Из принципов построения регуляризирующих алгоритмов наиболее распространен вариационный принцип. Применяются также и другие приемы получения устойчивых решений, такие как шаговая и итерационная регуляризация [89, 90, 92, 93, 130].

Из приведенного обзора видно, что в настоящее время методы решения коэффициентных обратных задач теплообмена, позволяющие восстанавливать достаточно широкий спектр ТФХ от коэффициента теплопроводности и теплоемкости до коэффициентов релаксации и деструкции, разработаны достаточно подробно. В то же время, методов восстановления характеристик диффузионных процессов явно не достаточно. Это связано с тем, что решение 03 для диффузионных и особенно термодиффузионных уравнений сопряжено с определенными трудностями.

Теория решения внутренних 03, разработанная для задач теплообмена, может быть практически полностью перенесена на скалярное диффузионное уравнение, описывающее диффузионные процессы в бинарных системах. Подробный анализ и сравнение различных методов расчета коэффициента диффузии в бинарных системах приведены в [71, 85].

Однако уже для тройных систем встает задача определения матрицы парциальных коэффициентов диффузии. Существующие методы расчета диффузионных коэффициентов в тройных системах приведены в [131]. Их можно разделить на две группы: обобщенный графический метод Матано и аналитический метод, основанный на решении диффузионных уравнений в линейном приближении для постоянных парциальных коэффициентов диффузии. В первом случае для (к+1) - компонентной системы требуется определять й2 производных экспериментально найденных функций, что резко снижает точность расчетов. Второй метод применим только при небольших перепадах концентраций.

В работах [132, 133] для легированных сталей предложено определять отношение парциальных диффузионных коэффициентов по скачку концентрации быстродиффундирующего элемента в зоне стыка диффузионной пары (одним из наиболее распространенных экспериментальных методов изучения диффузионных процессов является проведение диффузионного отжига двух разнородных образцов - диффузионной пары).

При рассмотрении совместно протекающих процессов тепло- и массопе-

реноса, имеющих место, в частности, при ионной имплантации, необходимо знать кинетические коэффициенты перекрестного влияния (коэффициенты Дю-фура, коэффициенты термодиффузии или Соре), которые могут определяться лишь теоретическими методами. Задача еще более усложняется, если в системе протекают химические и фазовые превращения.

Из приведенного обзора видно, что существующие методы не позволяют решить эту задачу в полном объеме. Поэтому в настоящее время актуальна проблема разработки методов и алгоритмов решения коэффициентных 03 для матриц кинетических коэффициентов уравнений переноса.

Заключение диссертации по теме «Теплофизика и теоретическая теплотехника», Лукашук, Станислав Юрьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработана феноменологическая математическая модель, описывающая процесс неизотермической радиационно-стимулированной диффузии при ионной имплантации в многокомпонентных системах, отличающаяся от существующих диффузионных моделей имплантации возможностью комплексного учета ряда явлений, сопровождающих данный процесс, а именно, модель учитывает радиационное проникновение ионов легирующего элемента в поверхностный слой материала, его нагрев, радиационно-стимулированную диффузию, распыление границы облучаемого твердого тела, явление радиационного распухания материала поверхностного слоя и протекание в системе химических реакций с кинетикой первого порядка.

2. На основе метода временных интегральных характеристик для бинарной системы получены интегральные представления постоянных скалярных коэффициентов модели - коэффициентов диффузии и сноса. Преимуществом полученных представлений является меньший, по сравнению с другими интегральными представлениями, объем априорной информации о характеристиках полей концентрации или температуры. Получены также представления коэффициентов модели через параметры стационарного режима.

3. На основе метода объемно-временных интегральных характеристик для процессов массо- и теплопереноса при ионной имплантации получены интегральные представления постоянных матриц коэффициентов построенной феноменологической модели, элементами которых выступают коэффициенты диффузии, термодиффузии, температуропроводности, Дюфура, сноса и скоростей химических реакций.

Существенно, что в данном случае по относительно небольшому количеству экспериментальной информации о полях температуры и концентрации удается восстановить большое число характеристик термодиффузионного процесса.

Установлено, что данный метод позволяет получать устойчивые решения при восстановлении матриц малых размерностей (до 3-х). Для многоразмерных матриц получение устойчивого решения требует привлечения соответствующих регуляризирующих алгоритмов или дополнительной информации о решении.

4. Для идентификации переменных коэффициентов построенной математической модели тепломассопереноса при имплантации, получены системы функционально-интегральных уравнений на полях скоростей и на полях координат изоповерхностей.

5. Проведена проверка адекватности предложенной модели и полученных интегральных представлений путем сравнения с данными физических экспериментов. Найдены численные значения коэффициентов диффузии и сноса при имплантации ионов азота в некоторые стали и титановый сплав. Величины найденных коэффициентов диффузии в среднем оказались на два порядка выше соответствующих величин коэффициентов обычной термодиффузии. Тем самым показано, что построенная модель позволяет описать интенсификацию процессов массопереноса при ионном облучении твердых тел.

На основе экспериментальных данных путем решения системы функционально-интегральных уравнений с помощью разработанной вычислительной программы получены зависимости величин коэффициентов радиационно-стимулированной диффузии и сноса от времени облучения и глубины.

Проведенное сравнение ряда экспериментальных и расчетных полей концентрации выявило их удовлетворительное качественное и количественное сов? падение. Для случая имплантации ионов азота в титановый сплав ВТ18У относительная погрешность для различных доз облучения не превышала 28 %, для имплантации в сталь марки ХГС -16%, для имплантации в сталь 321 (США) -3 %.

6. Впервые методы теории подобия применены для феноменологического моделирования процессов тепломассопереноса при ионной имплантации. Получен ряд чисел подобия, рассчитаны их числовые значения. С привлечением теорий прохождения ионного потока через вещество найдены уравнения взаимосвязи чисел подобия с параметрами имплантационного процесса (плотностью ионного тока, энергией и дозой облучения). Полученные результаты позволяют существенно сократить затраты на проведение экспериментальных исследований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лукашук, Станислав Юрьевич, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Модифицирование и легирование поверхности лазерными, ионными и электронными пучками / Под ред. Дж. М. Поута. - М.: Машиностроение, 1987. - 424 с.

2. Аброян И.А., Андронов А.Н., Титов А.И. Физические основы электронной и ионной технологии. - М.: Высш. шк., 1984. - 320 с.

3. Попов В.Ф., Горин Ю.Н. Процессы и установки электронно-ионной технологии. - М.: Высш. шк., 1988. - 255 с.

4. Комаров Ф.Ф. Ионная имплантация в металлы. - М.: Металлургия, 1990. - 216 с.

5. Ионная имплантация: Сб. статей / Под ред. Дж. К. Хирвонена - М.: Металлургия, 1985. - 392с.

6. Ионная имплантация в полупроводники и другие материалы: Сб. статей / Под ред. B.C. Вавилова. - М.: Мир, 1980. - 332с.

7. Алехин В.П. Физика прочности и пластичности поверхностных слоев материалов - М.: Наука, 1983. - 280 с.

8. Векслер В.И. Вторичная ионная эмиссия металлов. - М.: Наука, 1978. - 240 с.

9. Мухин B.C., Смыслов A.M., Боровский С.М. Модифицирование поверхностей деталей ГТД по условиям эксплуатации. - М.: Машиностроение, 1995. -256 с.

10. Мухин B.C., Шустер Л.Ш. Износ инструмента, качество и долговечность деталей из авиационных материалов: Учебное пособие. - Уфа: УАИ, 1987. - 217 с.

11. Сулима A.M., Шулов В.А., Ягодкин Ю.Д. Поверхностный слой и эксплуатационные свойства деталей машин. - М.: Машиностроение, 1988. - 240 с.

12. Попов В.Ф. Ионно-лучевые установки. - Л.: Энергоиздат, 1981. - 136 с.

13. Kaplan R.A., Cohen M.G., Kiu К.С. Laser cold processing takes the heat off semiconductors // Electronics. - 1980. - V. 53. - № 5. - P. 137-142.

14. Электронно-лучевая установка для отжига дефектов, возникающих при ион-

ном легировании (обозрение электронной техники) // Электроника. - 1979. - №6. -С. 9-10.

15. Никитин М.М. Технология и оборудование вакуумного напыления. - М.: Металлургия, 1992. - 112 с.

16. Мухин B.C., Алферов М.А., Смыслов A.M. Модель распределения имплантируемых ионов в металлах // Авиационная техника. - 1996. - № 2. - С. 83-87.

17. Смыслов A.M. Эксплуатационные свойства титановых сплавов ВТ9 и ВТ18У в связи с различными методами обработки поверхности // Межвуз. сб. Поверхность: технологические аспекты прочности деталей. - Уфа: Уфимск. авиа. ин-т., 1992. - С. 76-82.

18. Физические процессы в облученных полупроводниках/ Под ред. Л.С. Смирнова. - Новосибирск: Наука, 1977. - 256 с.

19. Шалаев A.M. Радиационно-стимулированная диффузия в металлах. - М.: Наука, 1972.- 147 с.

20. Распыление твердых тел ионной бомбардировкой: Сб. статей / Под ред. Р.Бериша. - М.: Мир, 1984. - 336 с.

21. Комаров Ф.Ф., Мозолевский И.Е., Матус П.П., Ананич С.О. Распределение внедренной примеси и выделенной энергии при высокоэнергетической ионной имплантации // ЖТФ. - 1997. - Т.67. - Вып. 1. - С. 61-67.

22. Трушин Ю.В. Распад растворов под облучением и радиационное распухание // Письма в ЖТФ. -1991. - Т.17. - Вып. 5. - С. 48-53.

23. Буренков А.Ф., Комаров Ф.Ф., Федотов С.А. Флуктуации зарядового cor стояния ионов: возможная причина увеличения дисперсии пробегов при высокоэнергетической ионной имплантации // Письма в ЖТФ. - 1991. - Т.17. - Вып. 5. - С. 68-69.

24. Петров В.И. Катодолюминесцентная микроскопия // УФН. - 1996. - Т. 166 -Вып. 8.-С. 859-871.

25. Ильчишин О.В., Пасинков A.C., Пишенов Ю.Н. Особенности структуры на-ноимплантированного слоя эпитаксильных феррит-гранатовых пленок // Письма

в ЖТФ. - 1989. - Т. 15 - Вып. 20. - С.82-87.

26. Iskanderova Z.A., Radjabov T.D., Rakhimova G.R. et all. Improvements of strength and wear resistance // Nucl. Instr. and Meth. - 1989. - P. 193-204.

27. Притулов A.M., Суржиков А.П., Шумилов Н.Ю. и др. Явление высокотемпературной радиационно-стимулированной диффузии иновалентной примеси в ионных кристаллах // Письма в ЖТФ. - 1989. - Т. 15. - Вып. 12. - С. 82-84.

28. Алексеев А.Е., Белецкий Г.В., Саранин Я.Н. и др. Влияние дефектообразо-вания в имплантированном кремнии на время жизни неравновесных носителей// Письма в ЖТФ. - 1992. - Т.18. - Вып. 11. - С. 59-62.

29. Бахарев О.Г. О профилях распределения дефектов и внедренных ионов при высокодозной интенсивной имплантации Ti в a-Fe// Письма в ЖТФ. - 1993. -Т.19.-Вып. 1.-С. 79-83.

30. Noli F., Misaelides P., Bethge К. Aluminum diffusion in Al-implanted AISI 321 stainless steel using accelerator-based characterization techniques // Nucl. Instr. and Methods. - 1998. - V. 139. - P. 322-326.

31. Гаукевич Е.И., Малевич В.JI. Об аномально глубоких структурных изменениях в имплантированных полупроводниках // Письма в ЖТФ. - 1993. - Т.19 -Вып. 17. - С. 22-25.

32. Игнатьев A.C., Петрова А.Г., Рябов Ю.Э. Исследование процессов формирования слоев нитрида титана при низкоэнергетической имплантации ионов азота в титан //Письма в ЖТФ. - 1992. - Т.18. Вып. 10. - С.67-73.

33. Бойко Е.Б., Комаров А.Ф., Комаров Ф.Ф. и др. Распределение внедренных атомов и фазовые превращения в металлах // ЖТФ. - 1994. - Т.64. - Вып. 6. - С. 106-112.

34. Константинов А.О. Роль антиструктурных дефектов при диффузии примеси по узлам и междоузлиям в бинарном полупроводнике // Письма в ЖТФ. - 1992. -Т.18.-Вып. 22.-С. 57-60.

35. Бекренев А.Н. Массоперенос в металлах при короткоимпульсном лазерном воздействии //Письма в ЖТФ. - 1993. - Т.19. - Вып. 13. - С. 14-15.

36. Махкамов Ш., Маманова М., Пахаруков Ю.В., Турсунов Н.А. Об особенности отжига радиационных дефектов в нейтронно-легированном кремнии // Письма в ЖТФ. - 1992. - Т.18. - Вып. 24. - С. 44-47.

37. Вавилов B.C., Кив А.Е., Ниязова О.Р. Механизмы образования и миграции дефектов в полупроводниках. - М.: Наука, 1981.-368 с.

38. Линдхард Й. Влияние кристаллической решетки на движение быстрых заряженных частиц // УФН. - 1969. - Т.99. - Вып. 2. - С. 249-296.

39. Lindliard J., Scharff М., Schiott Н.Е. Range concepts and heavy ion ranges // Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. - 1963. - V. 33. - P. 14.

40. Фирсов О.Б. Рассеяние ионов на атомах // ЖЭТФ. - 1958. - Т. 34. В.2. - С. 447 - 452.

41. Фирсов О.Б. Отражение частиц, падающих на поверхность тела под скользящими углами, когда потенциал взаимодействия их с атомами тела обратно пропорционален квадрату расстояния // ЖТФ. - 1970. - Т. 40. - Вып. 1. - С. 83.

42. Комаров Ф.Ф., Кумахов М.А. Сечение ионизации при атомных столкновениях в модифицированной теории Фирсова // ЖТФ. - 1973. - Т. 43. - Вып. 7. - С. 1329.

43. Biersack J.P., Haggmark L.G. A Monte Carlo computer program for the transport of energetic ions in amorphous targets // Nucl. Instr. and Methods. - 1980. - V. 174. -P. 257 - 262.

44. Lindliard J., Nielsen V., Scharff M. Defects in ion-beam surface melted materials// Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. - 1968. - V. 36. - P. 10.

45. Потетюнко Г.Н. Об учете неупругих процессов в теории ион-атомного рассеяния // Письма в ЖТФ. - 1992. - Т. 18. - Вып. 8. - С. 40-44.

46. Елецкий А.В., Смирнов Б.М. Полуэмпирический расчет неупругого рассеяния электронов на атомах // ЖТФ. - 1968. - Т. 38. - Вып. 1. - С.З.

47. Fink D., Muller М., Klett R. et. al. Three-dimensional implantation profiles: The ratio of lateral to longitudinal straggling // Nucl. Instr. and Methods. - 1998. - V. 135. -P. 540-544.

48. Liang J.H. Theoretical formulation for calculating lateral spread of implanted ions // Nucl. Instr. and Methods. - 1998. - V. 134. - P. 157-160.

49. Полухин B.A., Ватолин H.A. Моделирование аморфных металлов. - М.: Наука, 1985 - 288 с.

50. Валеев Т.Н., Кривобоков В.П., Янин С.Н. Молекулярно-динамическая модель диффузии в металле при мощных импульсных воздействиях пучка заряженных частиц // Письма в ЖТФ. - 1989. - Т.15. - Вып. 12. - С. 37-41.

51. Хастед Дж. Физика атомных столкновений. - М.: Мир, 1965. - 319 с.

52. Ziegler J.H., Biersack J.P., Littmark U. The stopping and range of ions in solids. -New York: Pergamon Press, 1985.

53. Ляхов Г.А., Попырин С.Jl. Границы областей упорядочения при агрегатиза-ции радиационных дефектов Френкеля // Письма в ЖТФ. - Т. 18. - Вып. 7. - С. 21-24.

54. Marwick A.D. //Nucl. Instr. and Methods. -1981. - V. 182. -P. 827 - 833.

55. Wiedersich H.// Rad. Effects. - 1972. - V. 12. - P. 111.

56. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика. В 10 т. Т. III. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. - М.: Наука, 1989. - 768с.

57. Gadiyak G.V. Theoretical model and computer simulation results of enhanced diffusion of high-temperature implanted aluminum in silicon carbide // Nucl. Instr. and Methods. - 1998. - V. 142. - P. 313-318.

58. Collart E.J.H., Weemers K., Cowern N.E.B. et. al. Low energy boron implantation in silicon and room temperature diffusion // Nucl. Instr. and Methods. - 1998. - V. 139. -P. 98- 107.

59. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика: теория поля и вариационные принципы. - М.: Мир, 1974. - 304 с.

60. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. - М.: Мир, 1964. - 456 с.

61. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. - М.: ИЛ., 1960.

62. Гуров К.П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы). - М.: Наука, 1978.-128с.

63. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. - М.: Наука, 1988. - 736с.

64. Бокштейн Б.С. Диффузия в металлах. - М.: Металлургия, 1978. - 248с.

65. Старк Дж. П. Диффузия в твердых телах. - М.: Энергия, 1980. - 240 с.

66. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. - М.: Наука, 1980. - 480 с.

67. Коновалов В.И. Базовые кинетические характеристики массообменных процессов //ЖПХ. - 1986. - № 9. - С. 2096-2107.

68. Шьюмон П. Диффузия в твердых телах. - М.: Металлургия, 1966,- 196 с.

69. Маннинг Дж. Кинетика диффузии атомов в кристаллах. - М.: Мир, 1971. -277 с.

70. Manning Т. R. Cross-terms in the termodynamic diffusion equations for multicomponent alloys // Met. Trans. - 1970. - V.l - № 2. - P. 499-505.

71. Боровский И.Б., Гуров К.П., Марчукова И.Д., Угасте П.Э. Процессы взаимной диффузии в сплавах. - М.: Наука, 1973. - 359 с.

72. Гуров К.П., Картишкин В.А., Угасте Ю.Э. Взаимная диффузия в многомерных металлических системах. - М.: Наука, 1981. - 352 с.

73. Назаров A.B., Гуров К.П. Кинетическая теория взаимной диффузии в бинарной системе // ФММ. - 1974. - Т. 37. - №3.

74. Бокштейн Б.С., Бокштейн С.З., Жуховицкий A.A. Термодинамика и кинетика диффузии в твердых телах. - М.: Металлургия, 1974. - 280 с.

75. Бокштейн Б.С., Швиндлерман Л.С. Осмотический эффект при взаимной диффузии в металлах // ФТТ. - 1974. - Т. 16. - №8.

76. Райченко А.И. Математическая теория диффузии в приложениях. - Киев, Наукова думка, 1981. - 396 с.

77. Лыков A.B. Теория теплопроводности. - М.: Высш. школа, 1967. - 599 с.

78. Теория тепломассообмена / Под ред. А.И. Леонтьева. - М.: Высш. школа,

1979. - 495 с.

79. Лыков A.B. Тепломассообмен: Справочник. - М.: Энергия, 1978. - 480 с.

80. Лыков A.B., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. - М.-Л.: Гос-энергоиздат, 1963 - 535 с.

81. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. - М.: Высшая школа, 1979. - 415 с.

82. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977. - 736 с.

83. Ворошнин Л.Г., Хусид Б.М. Диффузионный массоперенос в многокомпонентных системах. - Минск.: Наука и техника, 1979. - 256 с.

84. Криштал М.А. Механизм диффузии в железных сплавах. - М.: Металлургия, 1972. - 400 с.

85. Любов Б.Я. Диффузионные процессы в неоднородных твердых средах. - М.: Наука, 1981.-296 с.

86. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Фетисов С.А. Математическое моделирование диффузионных процессов, вызванных лазерным излучением // ИФЖ. - 1996. -Т. 69,-№2.-С. 194-205.

87. Kelly R. // Rad. Effects. - 1973. - V.18.

88. Акрамов Т.А., Вишневский М.П. Некоторые качественные свойства системы реакция-диффузия // Сибирский математический журнал. - 1995. - Т.36. - №1. -С. 3-19.

89. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы per шения некорректных задач. - М.: Наука, 1988. - 288 с.

90. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. - М.: Машиностроение, 1988.-280 с.

91. Коздоба Л.А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теплопе-реноса. - Киев: Наук, думка, 1982. - 360 с.

92. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. - М.: Изд-во МГУ, 1994. -208 с.

93. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена). - М.: Машиностроение, 1979,216 с.

94. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986. - 288 с.

95. Мацевитый Ю.М., Лушпенко С.Ф. Идентификация теплофизических свойств твердых тел. - Киев: Наук, думка, 1990. - 216 с.

96. Искандеров А.Д. Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений // Дифференциальные уравнения. - 1974. - Т. 10. - №5. - С. 890898.

97. Клибанов М.В. Единственность в целом обратных задач для одного класса дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. - 1984. - Т.20. -№11. -С. 1947-1952.

98. Спивак С.И., Ахмадшин З.Ш. О неединственности решений обратной задачи химической кинетики //React. Kinet. Catal. Lett. - 1979. - V. 10. - № 3. - P. 271274.

99. Горский B.C., Спивак С.И. Степень полноты экспериментальной информации при восстановлении кинетических или равновесных констант сложных химических реакций // Математические методы химической термодинамики. - Новосибирск: Наука, 1982. - С. 139 - 158.

100. Ратыни А.К. Об определении постоянного коэффициента уравнения теплопроводности // Дифференциальные уравнения. - 1983. - T.XIX. - № 11. - С. 19281937.

101. Tsirelman N.M. The isotherms migration method in the theory and practice of heat and mass transfer investigation // Int. J. Heat Mass Transfer - 1992 - V. 35 - № 11 - pp. 2983-2995.

102. Георгиевский В.Б. Унифицированные алгоритмы для определения фильтрационных параметров. Справочник. - Киев.: "Наукова думка", 1971. - 328 с.

103. Платунов Е.С. , Буровой С.Е., Курепин В.В., Петров Г.С. Теплофизические измерения и приборы. - JL: Машиностроение, 1986. - 256 с.

104. Сурков Г.А. Об определении температуропроводности твердых материалов // Высокотемпературный тепло- и массоперенос. - Минск: Ин-т тепломассообмена АН БССР. - 1975.- С. 102-105.

105. Бровкин Л.А. Теоретические основы одного метода определения температурной зависимости теплофизических коэффициентов // Изв. вузов. Энергетика. - 1979. -№5.-С. 120-123.

106. Сурков Г.А. Методы определения теплофизических характеристик твердых материалов на основе решений линейных уравнений теплопроводности порядка выше второго // ИФЖ. - 1980. - Т.38. - №4. - С. 721-726.

107. Лебедев A.B.// Разведка и охрана недр. -1961. - №7.

108. Биндеман H.H., Анохина К.Т. Определение гидрогеологических параметров по данным наблюдений за режимом грунтовых вод при паводках // Изв. ВНИИ ВОДГЕО. - 1957.

109. Живоглядов В.П., Каипов В.Х. О применении стохастических аппроксимаций в проблеме идентификации // Автоматика и телемеханика. - 1966. - № 10. -С. 54-58.

110. Алексашенко A.A. Некоторые аналитические методы решения обратных (коэффициентных) задач теплопроводности // ИФЖ. - 1977. - Т.ЗЗ. - №7. - С. 1090-1096.

111. Власов В.В., Шаталов Ю.С., Зотов E.H. и др. Метод интегральных характеристик в обратных задачах теплофизики // Тепломассообмен - V. Минск: Ин-т тепломассообмена АН БССР. - 1976. - Т.9. - С. 104-107.

112. Власов В.В., Беляев П.С., Мищенко C.B. Метод комплексного определения потенциалозависимых характеристик тепловлагопереноса // Изв. вузов. Энергетика. -1977. - №1. - С. 97-101.

113. Евсеев В.Р., Михайлова Л.С., Нечаев B.C. Определение теплофизических характеристик материалов из решения обратной задачи теплопроводности с помощью сплайн-функции // ТВТ. - 1984. - Т.22. - №4. - С. 699-704.

114. Лайтхман Д.Л. // Труды главной геофизической обсерватории. - 1947. -

Вып. 2. - С.64.

115. Loeb J, Cahen G. Extraction, a partie des enregistrements de mesures, des paramétrés dynamiques d'um systeme // Automatisme. - 1963. - V. 8. - № 12. - P. 479 -486.

116. Власов B.B., Шаталов Ю.С., Зотов E.H. и др. Методы и устройства нераз-рушающего контроля теплофизических свойств материалов массивных тел // Измер. техника. - 1980. - №6. - С. 42-45.

117. Шаталов Ю.С., Пучков Н.П., Провоторов A.B., Трофимов A.B. О восстановлении переменных параметров переноса // Тепломассообмен - VI. Минск: Ин-т тепломассообмена АН БССР. - 1980. - Т.9. - С. 142-145.

118. Власов В.В., Шаталов Ю.С. Теплофизические измерения: Справочное пособие. - Тамбов: Изд. ВНИИРТМаша, 1975. - 275 с.

119. Шаталов Ю.С. Интегральные представления постоянных коэффициентов теплопереноса: Уч. пособие - Уфимск. авиац. ин-т., 1992. - 82с.

120. Шаталов Ю.С. Функционально-интегральные уравнения теплофизических характеристик. - М.: Наука, 1996. - 304 с.

121.1. Philippi, J.C. Batsale, D. Maillet and A. Degiovanni. Measurement of thermal diffiisivities through processing of infrared images // Rev. Sei. Instrument. - 1995. -V.66.-№1.-P. 182-192.

122. Гамаюнов Н.И., Испирян P.A., Шейнман A.A. Метод статистического моделирования для оценки погрешности определения коэффициента диффузии влаги // ИФЖ. - 1980. - Т.38. - №4. - С. 709-716.

123. Жилкин В.М., Мищенко C.B., Серегина В.Г. Метод интегральных характеристик в определении коэффициента диффузии. //Труды второй международной теплофизической школы. - Тамбов. - 1996. - С. 27 - 31.

124. Карри Д., Уильяме С. Применение нелинейного метода наименьших квадратов для определения теплофизических свойств // Ракет, техника и космонавтика. - 1973. - Т.П. - №5. - С. 118-124.

125. Горячев A.A., Юдин В.М. Решение обратной коэффициентной задачи теп-

лопроводности // ИФЖ. - 1982. - Т.43. - №4. - С. 641-648.

126. Артюхин Е.А. Восстановление температурной зависимости коэффициента теплопроводности из решения обратной задачи // ТВТ. - 1981. - Т.19. - №5. - С. 963-967.

127. Колесников П.М., Протодьяконова Т.Г. Нелинейная обратная задача восстановления коэффициентов переноса // ИФЖ. - 1985. - Т.49. - №6. - С. 909-915.

128. Просунцов П.В., Резник C.B. Определение теплофизических свойств полупрозрачных материалов //ИФЖ. - 1985. - Т.49. - №6. - С. 977-982.

129. Симбирский Д.Ф. Решение обратной задачи теплопроводности с применением оптимальной фильтрации // ТВТ. - 1976. - Т. 14. - №5. - С. 1040-1047.

130. Никитенко Н.И. Сопряженные и обратные задачи тепломассопереноса. -Киев.: Наук, думка, 1988. - 237 с.

131. Мокров А.П., Акимов В.К. Экспериментальное изучение диффузии в тройных системах // Сб. Диффузионные процессы в металлах. - Тула: ТПИ. 1974.

132. Щербединский Г.В. Диффузия в многокомпонентных системах // Сб. Диффузионные процессы в металлах. - Тула: ТПИ. 1973.

133. Мокров А.П., Мясникокова JI.B. Влияние легирующего элемента на распределение углерода в железоуглеродистых сплавах // Сб. Диффузионные процессы в металлах. - Тула. ТПИ. 1973.

134. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. - М.: Наука, 1987. - 502 с.

135. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. T. VII. Теория упругости. - М.: Наука, 1988. - 736с.

136. Подстригач Я.С., Повстенко Ю.З. Введение в механику поверхностных явлений в деформируемых твердых телах. - Киев.: Наук, думка, 1985. - 200с.

137. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. - М.: Мир, 1970. - 256 с.

138. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967. - 576 с.

139. Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1978. - 280 с.

140. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / Справочное пособие. - Киев: Наукова Думка, 1986. - 544 с.

141. Лукащук С.Ю. Программа решения интегральных уравнений первого рода методом регуляризации (Regul) - Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 950456, выдано РосАПО 18.12.1995.

142. Шаталов Ю.С., Лукащук С.Ю. О нахождении спектра одного интегрального уравнения. // Актуальные проблемы авиастроения: Тез. докл. -Уфа: Уфимск. авиац. ин-т., 1992. - С. 92-93.

143. Солонина О.П., Глазунов С.Г. Титановые сплавы. Жаропрочные титановые сплавы. - М.: Металлургия, 1976. - 448 с.

144. Справочник по специальным функциям / Под ред. А. Абрамовича, И. Сти-ган. - М.: Наука, 1979. - 862 с.

145. Физические величины: Справочник / А.П. Бабичев и др.; Под ред. И.С. Григорьева. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

146. Справочник металлиста. В 5-ти т. Т.2. Под ред. Рахштадта А.Г. и В.А. Бро-стрема. - М.: Машиностроение, 1976. - 720 с.

147. Шаталов Ю.С., Лукащук С.Ю., Смыслов A.M., Маслова Л.И. Интегральные представления кусочно-постоянных коэффициентов диффузии ионной имплантации титановых сплавов // Современные проблемы механики и математической физики: Тез. докл. - Воронеж: ВГУ, 1994. - С. 108.

148. Shatalov U.S., Rikachev U.U., Lukashuk S.U., Smislov A.M. Identification of ion implantation diffusion model // Identification dynamic systems and inverse problems. Proc. of the 2 International Symposium. - St-Peterburg. - 1994. - V. 1. - P. A-ll-1 - A-ll-11.

149. Шаталов Ю.С., Баландин С.П., Лукащук С.Ю., Рыкачев Ю.Ю. Интегральные представления в обратных задачах для матричных моделей ионной имплантации. // Моделирование и исследование устойчивости систем: Тез. докл. - Киев, 1995.-С. 121.

150. Шаталов Ю.С., Баландин С.П., Лукащук С.Ю., Рыкачев Ю.Ю. Решение

прямых и обратных задач теплопереноса с использованием интегральных представлений матриц коэффициентов Онзагера // Труды III Международного форума "Тепломассообмен ММФ - 96". - Минск. - 1996. - T. IX. - 4.1. - С. 98 - 100.

151. Лукащук С.Ю. Математическая модель процесса диффузии при ионной имплантации элементов ГТД // Актуальные проблемы авиастроения (VII Всероссийские Туполевские чтения): Тез. докл. - Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та., 1996. - С. 48.

152. Лукащук С.Ю. Моделирование процесса диффузии при ионной имплантации в неизотермическом процессе // Проблемы энергомашиностроения: Всероссийская молодежная научно-техническая конференция. - Уфа: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т., 1996. - С. 44 - 45.

153. Шаталов Ю.С., Рыкачев Ю.Ю., Лукащук С.Ю. Математическая модель ра-диационно-стимулированной диффузии при ионной имплантации // Межвуз. сб. "Поверхность" - Уфа: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т., 1996. - С. 31-36.

154. Шаталов Ю.С., Лукащук С.Ю. Идентификация параметров системы дифференциальных уравнений переноса на основе интегральных представлений и функционально-интегральных уравнений// Межвуз. науч. сб. "Проблемы математики и теории управления" - Уфа: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т., 1998. - С. 316-324.

155. Шаталов Ю.С., Лукащук С.Ю., Рыкачев Ю.Ю. Исследование функционально-интегральных уравнений. - Отчет о НИР по теме ГР 01970009775. - № 02970004850, 1997.-85 с.

156. Шаталов Ю.С., Баландин С.П., Лукащук С.Ю., Рыкачев Ю.Ю. Интегральные представления и функционально-интегральные уравнения теплофизических характеристик деформируемых материалов. - Отчет о НИР по теме ГР 01940003578. - № 02980001383, 1998 - 78 с.

157. Шаталов Ю.С., Лукащук С.Ю., Рыкачев Ю.Ю. Обратная задача восстановления матриц коэффициентов диффузии и имплантации ионов в многофазных системах на основе интегральных представлений коэффициентов. // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. -

Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 1996. - T.VI. - С. 121-127.

158. Шаталов Ю.С., Лукащук С.Ю., Рыкачев Ю.Ю. Функционально-интегральные уравнения в задачах идентификации характеристик тепломассо-переноса // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения: Тез. докл. четвертой Северо-Кавказской региональной конференции - Махачкала: ДГУ, 1997.-С. 100-101.

159. Шаталов Ю.С., Лукащук С.Ю. Интегральные представления коэффициентов диффузионной модели имплантации через временные интегральные характеристики //Математическое моделирование и краевые задачи: Труды восьмой межвузовской конференции. - Самара: Самарский гос. техн. ун-т, 1998. - 4.2. -С. 90-92.

160. Лукащук С.Ю. Феноменологическая математическая модель тепломассо-переноса при ионной имплантации // Технология и оборудование современного машиностроения: Всероссийская молодежная научно-техническая конференция: Тез. докл. - Уфа: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т., 1998. - С. 113.

161. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. - М.: Наука, 1965. -386 с.

162. Гухман A.A. Введение в теорию подобия. - М.: Высш. шк., 1973. - 295 с.

163. Кутателадзе С.С. Анализ подобия в теплофизике. - Новосибирск: Наука, 1982.-280 с.

164. Schirrmaim J. Unsteady-state mass transfer by fluid particles of changing volume. // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1990. - V.33. - № 2 - P. 253-266.

165. Шаталов Ю.С., Лукащук С.Ю. Подобие феноменологических моделей процессов ионной имплантации. // Современные проблемы авиадвигателе-строения. - Уфа: Уфимск. гос.авиац. техн. ун-т., 1997. - С. 436-444.