Факторы поверхностей дель Пеццо тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Трепалин, Андрей Сергеевич

• Трепалин, Андрей Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Трепалин, Андрей Сергеевич

Содержание

Глава 1. Введение ........................................................3

1.1. Постановка задачи....................................................3

1.2. Основные результаты диссертации ................................5

1.3. Обозначения ..........................................................9

Глава 2. Предварительные сведения ................10

2.1. С-минимальные рациональные поверхности ...........10

2.2. Торические поверхности ......................15

2.3. Группы ................................17

2.4. Факторы ...............................21

2.5. Особенности .............................23

Глава 3. Расслоения на коники....................25

3.1. Геометрия слоёв и сечений .....................25

3.2. Действие группы Галуа.......................30

3.3. Поверхность Псковских.......................35

Глава 4. Поверхности дель Пеццо ..................38

4.1. Поверхность дель Пеццо степени 9 ................38

4.2. Поверхность дель Пеццо степени 8 ................39

4.3. Поверхность дель Пеццо степени 6 ................44

4.4. Поверхность дель Пеццо степени 5 ................47

4.5. Поверхность дель Пеццо степени 4 ................51

4.6. Поверхность дель Пеццо степени 3 ................59

4.7. Поверхность дель Пеццо степени 2 ................68

4.8. Поверхность дель Пеццо степени 1 ................79

Публикации но теме диссертации ....................85

Список литературы ............................86

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Факторы поверхностей дель Пеццо»

Введение 1.1. Постановка задачи

Работа посвящена изучению свойств рациональности факторов рациональных поверхностей по конечным группам автоморфизмов.

Пусть G — конечная группа, а к — поле. Рассмотрим следующее чисто трансцендентное расширение К/к степени трансцендентности п = ordG. Отождествим К с k{(a:fl)}, где индекс д пробегает все элементы группы G. Группа G естественно действует на К перестановками переменных: h(xg) = х^д. Проблема Э. Нётер [28] заключается в следующем: является ли поле инвариантов KG рациональным (то есть чисто трансцендентным) над к? На языке алгебраической геометрии эту проблему можно переформулировать следующим образом: является ли рациональным фактормногообразие A

Наиболее полный ответ на этот вопрос известен для абелевых групп, но даже в этом случае фактормногообразие может быть нерациональным. Р. Г. Сван доказал, что если G — циклическая группа порядка 47 и k = Q, то KG не рационально (см. [33]). Для меньшей циклической группы порядка 8 пример был дан X. В. Ленстрой [22]. Дальнейшие результаты для абелевых групп получены в [17] и [35].

Для неабелевых групп существуют примеры нерациональных полей инвариантов даже в случае к = к. Д. Дж. Сальтман доказал, что для любого простого числа р существует неабелева группа порядка р9 такая, что KG не рационально, если chark ^ р (см. [30]). Позже этот результат был усилен Ф. А. Богомоловым, который доказал, что существует такая группа порядка р6 (см. [11]), и П. Моравецом, А.Хоши и М.Кангом, доказавшим этот результат для группы порядка р5 (см. [27] и [19]).

Проблему Нётер можно обобщить следующим способом. Пусть к — поле характеристики 0, К = k(xi,.. .хп) — его чисто трансцендентное расширение, a G — конечная группа, действующая на к. Возникает вопрос: когда KG рационально и как устроены нерациональные поля инвариантов? Дальнейшим обобщением этой проблемы является задача классификации всех промежуточных подпол ей к С К' с К.

На языке алгебраической геометрии эта проблема переформулируется следующим способом. Пусть X — k-рациональное многообразие и G — конечная подгруппа Autk(A'). Когда фактомногообразие X/G является k-рациональным? Какова k-бирациональная классификация факторов X/G1 Дальнейшим обобщением является проблема описания к-унирациональных многообразий.

В таком обобщении естественно начать с маломерных случаев. Наиболее общий результат известен для размерностей 1 и 2.

Теорема 1.1.1 (Дж. Люрот [23]). Любая унирационалънал кривая рациональна.

Следующая теорема является следствием критерия рациональности Ка-стельнуово [13].

Теорема 1.1.2. Пусть к — алгебраически замкнутое поле характеристики ноль. Тогда любая к-унирациональная поверхность к -рациональна.

Для больших размерностей известно гораздо меньше. Например, в случае алгебраически замкнутого поля к неизвестно, является ли всякий фактор Р| по конечной группе k-рациональным (подробности см. в [29]). Если поле к не является алгебраически замкнутым, то фактор P^/G может быть нерациональным даже для абелевой группы G (см. [8, Example 2.3]).

С другой стороны, если поле к не является алгебраически замкнутым, полного ответа о рациональности не существовало даже для факторов Р£. В статье [18] доказано, что поле k(:r, y)G- рационально для мономиального действия группы G на множестве Это соответствует к-рациональности факторов торических поверхностей по группам, имеющим инвариантный двумерный тор на такой поверхности. Из результатов статьи [8] следует, что фактор Fl/G и фактор (Р£ х Р£) /G являются k-рациональными, если G циклическая (G может быть бесконечной).

Заметим, что если X — k-рациональная поверхность и G С Aut(X) — конечная группа автоморфизмов, то X/G может не быть k-рациональным. Например, всякая поверхность степени 4 (являющаяся полным пересечением пары квадрик в Р£), обладающая k-точкой, является 2-к-унирациональной (см. [25, Теорема IV.7.8]), но не все они являются к-рациональными (см. теорему 2.1.11). Это означает, что существует к-рациональная поверхность X

такая, что её фактор по группе порядка 2 бирационально эквивалентен поверхности дель Пеццо степени 4, не являющейся к-рациональной.

В данной работе мы изучим все возможности действия конечных групп С на рациональной поверхности X, такие что фактор Х/й может не являться к-рациональным, приведём примеры, когда эти факторы не являются к-рациональными и покажем, что в остальных случаях фактор является к-рациональным.

Изучение вопросов к-рациональности факторов к-рациональных поверхностей имеет много приложений. В последнее значительно активировались исследования группы Кремоны, в том числе над алгебраически незамкнутыми полями (см. [16]). Бирациональная классификация факторов по конечным группам имеет приложение к исследованию группы Кремоны. Например, если группа С эффективно действует на двух к-рациональных поверхностях Х\ и Хг так, что Х\/С является к-рациональной, а Хг/С не является к-рациональной, то существует два несопряжённых вложения группы С в Сг2(к) = В1г(Р*).

Кроме того, результаты, полученные для размерности 2 над алгебраически незамкнутыми полями, могут применяться при изучении алгебраической геометрии в старших размерностях. Если в качестве поля к рассмотреть функциональное поле, то результаты могут быть применены для изучения рациональности факторов расслоений над поверхностями и расслоений на поверхностях.

1.2. Основные результаты диссертации

Диссертация состоит из четырёх глав.

Первая глава — введение. В ней формулируется основная задача, изучаемая в этой работе, обсуждается история вопроса, даётся общий обзор хода доказательства, обозначаются дальнейшие направления применения полученных результатов, вводятся используемые обозначения.

Во второй главе даются предварительные сведения, касающиеся понятий, возникающих в работе, и техники работы с ними.

В параграфе 2.1 объясняются основные понятия программы минимальных моделей, даются определения поверхностей дель Пеццо и расслоений на коники, изучается их классификации и основные свойства, вводятся обозна-

чения, которые применяются в ходе доказательства основных результатов.

При работе с поверхностями дель Пеццо большой степени и их факторами важную роль играют торические поверхности. Их определение и нужные нам свойства даны в параграфе 2.2.

Поскольку одним из объектов исследования являются группы автоморфизмов, нам необходимы некоторые обозначения и сведения из теории групп, которые мы приводим в параграфе 2.3.

В параграфе 2.4 даются ключевые факты о факторах поверхностей. Важную роль играет лемма 2.4.1, показывающая, что для изучения фактора поверхности X по конечной группе G не обязательно непосредственно работать сразу с фактором X/G, а достаточно найти в G нормальную подгруппу N, если она есть, и изучить фактор X/N. Путём GyiV-бирациональных преобразований поверхности X/N можно получить минимальную поверхность У, на которой действует группа G/N. Таким образом, мы сводим нашу задачу к аналогичной задаче для меньшей группы.

В параграфе 2.5 описываются циклические фактор-особенности, возникающие при взятии фактора поверхности по конечной группе. Нас интересует, как меняются численные свойства поверхности и кривых, проходящих через особые точки на этой поверхности, при разрешении особенностей. Для этого мы будем использовать свойства циклических фактор-особенностей, описанные в замечании 2.5.1.

Поскольку фактор любой неособой поверхности S/G бирационально эквивалентен фактору X/G, где X — С-минимальная модель 5, то для изучения рациональности факторов поверхностей достаточно изучить факторы расслоений на коники и поверхностей дель Пеццо (см. теорему 2.1.9). Соответствующие случаи рассмотрены в третьей и четвёртой главах этой работы.

Основной результат третьей главы — следующая теорема:

Теорема 1.2.1. Пусть к — поле характеристики ноль. Пусть X — к -рациональное расслоение на коники, G — конечная группа, действующая на X. Тогда фактор X/G является II-бирационально эквивалентным фактору к-рационального расслоения на коники по одной из групп £2», ^>2п, 2Ц, G4 или 2I5.

Здесь — циклическая группа порядка к, D2к ~~ диэдральная группа порядка 2к, 21/; — альтернированная группа степени к, — симметрическая

группа степени к.

Для доказательства этого факта в параграфе 3.1 мы изучаем, как конечная группа может действовать на расслоении на коники, а в параграфе 3.2 посмотрим, почему на факторе образуются вырожденные слои, компоненты которых переставляются группой Галуа.

В частности, в примере 3.2.4 для каждой группы, перечисленной в теореме 1.2.1 мы построим пример нерационального фактора, являющегося расслоением на коники со сколь угодно большим количеством вырожденных слоёв. Таким образом, верны следующие предложения.

Предложение 1.2.2. Пусть к — поле характеристики ноль такое, что не все его элементы являются квадратами. Тогда для любого числа С найдётся минимальное k-унирациональное расслоение на коники с более чем С особыми слоями.

Предложение 1.2.3. Пусть к — поле характеристики ноль такое, что не все его элементы являются квадратами. Тогда группы £2п7 2«, %Î4> ©4 и 2I5 имеют бесконечное количество несопряжённых вложений в группу Cr2(k) = Bir(PÊ).

В параграфе 3.3 мы дадим определение и изучим факторы одного специального расслоения на коники — поверхности Псковских. Это понадобится нам, поскольку большое количество групп, действующих на поверхности дель Пеццо степени 2, содержит нормальную подгруппу порядка два, фактор по которой бирационально эквивалентен поверхности Исковских.

Основной результат четвёртой главы и всей этой работы следующий:

Теорема 1.2.4. Пусть к — произвольное поле характеристики ноль, X — поверхность дель Пеццо степени d, на которой действует группа G. Тогда верно следующее:

• если d ^ 5 и Х(к) ф 0, то X/G является к -рациональной поверхностью;

• если d — 4 и Х(к) ф 0, то X/G является h-рациональной поверхностью, если группа G не изоморфна (id), (£2, £2 или €4;

• если d = 3 и Х(к) ф 0, то X/G является к -рациональной поверхностью, если группа G не изоморфна (id) или £3;

группа степени к.

Для доказательства этого факта в параграфе 3.1 мы изучаем, как конечная группа может действовать на расслоении на коники, а в параграфе 3.2 посмотрим, почему на факторе образуются вырожденные слои, компоненты которых переставляются группой Галуа.

В частности, в примере 3.2.4 для каждой группы, перечисленной в теореме 1.2.1 мы построим пример нерационального фактора, являющегося расслоением на коники со сколь угодно большим количеством вырожденных слоёв. Таким образом, верны следующие предложения.

Предложение 1.2.2. Пусть к — поле характеристики ноль такое, что не все его элементы являются квадратами. Тогда для любого числа С найдётся минимальное к-упирациональное расслоение на коники с более чем С особыми слоями.

Предложение 1.2.3. Пусть к — поле характеристики ноль такое, что не все его элементы являются квадратами. Тогда группы С2п, !Э2«, ЗЦ, @4 и имеют бесконечное количество несопряжённых вложений в группу Сг2(к) = В*г(РЗ).

В параграфе 3.3 мы дадим определение и изучим факторы одного специального расслоения на коники — поверхности Исковских. Это понадобится нам, поскольку большое количество групп, действующих на поверхности дель Пеццо степени 2, содержит нормальную подгруппу порядка два, фактор по которой бирационально эквивалентен поверхности Исковских.

Основной результат четвёртой главы и всей этой работы следующий:

Теорема 1.2.4. Пусть к — произвольное поле характеристики ноль, X — поверхность дель Пеццо степени (I, на которой действует группа С. Тогда верно следующее:

• если с1 ^ 5 и Х(к) ф 0, то Х/С является к-рациональной поверхностью;

• если с? = 4 и Х(к) ^ 0, то Х/С является к -рациональной поверхностью, если группа С не изоморфна (¡с!), £2, или ^4/

• если й = 3 и Х(к) т^ 0, то Х/С является ^-рациональной поверхностью, если группа С не изоморфна (1(1) или (£3;

• если (1—2 и множество Х(к) всюду плотно, то Х/О является к-рациональной поверхностью, если группа С не изоморфна (1с1); (£2, С3; С4, 63; 2)8 или <Э8;

• если д = 1 и множество Х(к) всюду плотно, то XIО является к-рациональной поверхностью, если группа С не изоморфна (1с1);

или

где Ск ~ циклическая группа порядка к, Э2/е ~~ диэдральная группа порядка 2к, &к — симметрическая группа степени к, а О, § — группа кватернионов.

Для доказательства этой теоремы мы разберём каждый случай поверхности дель Пеццо фиксированной степени по отдельности в параграфах 4.1-4.8. Утверждение теоремы 1.2.4 непосредственно следует из предложений 4.3.3, 4.4.1, 4.5.1, 4.6.2, 4.7.2 и 4.8.2. Также в этих предложениях указаны конкретные способы действия группы, для которых фактор не является к-рациональным. Более того, в соответствующих параграфах приведены условия, при которых факторы не рациональны.

Непосредственными следствиями основных результатов этой работы 1.2.1 и 1.2.4 являются следующие.

Следствие 1.2.5. Пусть к — поле характеристики ноль. Пусть 5 является к -рациональной поверхностью, а С — конечная группа, действующая на Э. Если порядок группы С нечётен и не равен 3; то фактор является к -рациональным.

Следствие 1.2.6. Пусть к — поле характеристики ноль. Пусть К = к{х,у), а С — конечная группа, действующая на К. Если порядок группы С нечётен и не равен 3, то поле инвариантов Кс является чисто трансцендентным расширением поля к.

Автор выражает благодарность научному руководителю Ю. Г. Прохорову за постановку задачи и неоценимую помощь в её выполнении и оформлении результатов и К.А.Шрамову за полезные обсуждения, поддержку и ценные замечания.

1.3. Обозначения

В этой работе мы будем использовать следующие обозначения:

к обозначает произвольное поле характеристики ноль, к обозначает алгебраическое замыкание поля к, Х = Х®к,

2-п

и> = е 3 ,

27Г1

& = е '

diag(a;, Р)

а О О /3

Кх обозначает канонический дивизор поверхности X,

Рю(Х) (соответственно Р1с(Х)с) обозначает группа Пикара (соответственно (?-инвариантнуб группу Пикара) многообразия X,

р(Х) = гкРю(Х), р{Х)° = гкР1с(Х)с,

обозначает рациональную линейчатую поверхность (поверхность Хирцебруха) РР1(С> 0 0(п)),

• X « У означает, что X и У бирационально эквивалентны над полем к.

1.3. Обозначения

В этой работе мы будем использовать следующие обозначения:

• к обозначает произвольное поле характеристики ноль,

• к обозначает алгебраическое замыкание поля к,

• X = X ® к,

2тп

• и = е з ,

. 2та

• & = е /

• = ^

• Кх обозначает канонический дивизор поверхности X,

• Рю(Х) (соответственно Рю(Х)с) обозначает группа Пикара (соответственно С-инвариантнуб группу Пикара) многообразия X,

• р(Х) = гкР1с(Х), р{Х)° = гкРю(Х)с,

• ¥п обозначает рациональную линейчатую поверхность (поверхность Хирцебруха) РР1 {О © 0(п)),

• X « У означает, что X и У бирационально эквивалентны над полем к.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Трепалин, Андрей Сергеевич, 2013 год

Список литературы

[7 [8

[9

10 11

12

13

14

15

16

17

18

19

20 21 22

23

24

М. Artebani, I. V.Dolgachev, "The Hesse pencil of plane cubic curves", Enseign. Math. (2), 55 (2009), 235-273.

H. Ahmad, M. Hajja, M. Kang, "Rationality of some projective linear actions", J. Algebra, 228 (2000), 643-658.

Ф.А.Богомолов, П. И. Кацыло, "Рациональность некоторых фактор-многообразий", Матем. сб., 126(168) (1985), 584-589.

H. F. Blichfeldt, Finite collineation groups, The Univ. Chicago Press, Chicago, 1917.

Ф. А. Богомолов, "Группа Брауера факторпространств линейных представлений", Изв. АН СССР. Сер. Матем., 51:3 (1987), 485-516.

A. Borel, Linear algebraic groups, Springer, New York, 2nd. enl. ed., 1991.

G. Castelnuovo, "Sulla razionalita delle involuzioni piane", Math. Ann., 44 (1894), 125155.

D.F. Coray, M. A. Tsfasman, "Arithmetic on singular Del Pezzo surfaces", Proc. bond. Math. Soc., 57 (1988), 25-87.

I. V.Dolgachev, V. A.Iskovskikh, "Finite subgroups of the plane Cremona group", In: Algebra, arithmetic, and geometry, vol. I: In Honor of Yu. I. Manin, Progr. Math., 269 (2009), 443-548.

I. V. Dolgachev, V. A. Iskovskikh, "On elements of prime order in the plane Cremona group over a perfect field", Int. Math. Res. Not. IMRN, 18 (2009), 3467-3485.

S. Endo, T. Miyata, "Invariants of finite abelian groups,", J. Math. Soc. Japan, 25 (1973), 7-26.

M. Hajja, "Rationality of finite groups of monomial automorphisms of k(x, у)", J. Algebra, 109 (1987), 46-51.

A. Hoshi, M. Kang, "Unramified Braucr groups for groups of order p5", preprint aviable at http://arxiv. org/abs/1109.2966.

B. А. Псковских, "Минимальные модели рациональных поверхностей над произвольными полями", Изв. АН СССР. Сер. матем., 43:1 (1979), 19-43.

В. А. Псковских, "Факторизация бирациональных отображений рациональных поверхностей с тонки зрения теории Мори", УМН, 51:4(310) (1996), 3-72.

H. W. Lenstra, Jr., "Rational functions invariant under a finite abelian group", Invent. Math., 25 (1974), 299-325.

J.Liiroth, "Beweis eines Satzes tiber rationale Kurven", Math. Ann., 9 (1876), 163-165.

Ю. И. Манин, "Рациональные поверхности над совершенными полями. II", Матем. сб., 72(114):2 (1967), 161-192.

[25] Ю. И. Манин, Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика, Наука, Москва, 1972.

[26] G. A. Miller, Н. F. Blichfeldt, L.E.Dickson, Theory and applications of finite groups, Dover, New York, 1916.

[27] P. Moravec, "Unramified Brauer groups of finite and infinite groups,", Amer. J. Math., to appear.

[28] E. Noether, "Rationale Functionenkorper", Jahresber. Dtsch. Math.-Ver., 22 (1913), 316319.

[29] Yu. Prokhorov, "Fields of invariants of finite linear groups", In: Cohomological and geometric approaches to rationality problems, Progr. Math., 282 (2010), 245-273.

[30] D. J. Saltman, "Noether's problem over an algebraically closed field", Invent. Math., 77 (1984), 71-84.

[31] G. C. Shephard, J. A. Todd, "Finite unitary reflection groups", Canad. J. Math., 6 (1954), 274-304.

[32] T. A. Springer, Invariant theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1977.

[33] R. G.Swan, "Invariant rational functions and a problem of Steenrod", Invent. Math., 7 (1969), 148-158.

[34] В. E. Воскресенский, "О двумерных алгебраических торах. II", Изв. АН СССР. Сер. матем, 31:3 (1967), 711-716.

[35] В. Е. Воскресенский, "Поля инвариантов абелевых групп", УМН, 28:4(172) (1973), 77-102.