Эволюционные функционально-дифференциальные уравнения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Жуковский, Евгений Семенович

• Жуковский, Евгений Семенович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Жуковский, Евгений Семенович

Введение.

I Линейное эволюционное функционально-дифференциальное уравнение

1 Общая теория

1.1 Элементы общей теории абстрактного линейного функционально-дифференциального уравнения. Представление оператора Грина.

1.2 Начальная задача. Функция Коши

1.3 Вольтерровые операторы.

1.4 Квазивольтерровые операторы.

2 Приближенное нахождение функции Коши

2.1 Алгоритм приближенного нахождения функции Коши.

2.2 Модификация метода в случае = const.

2.3 Сходимость метода.

3 Вольтерровые операторы в пространствах суммируемых функций

3.1 Условия вольтерровости интегрального оператора

3.2 Спектральный радиус интегрального оператора

3.3 Условия вольтерровости оператора внутренней суперпозиции.

3.4 Спектральный радиус оператора внутренней суперпозиции.

4 Уравнение нейтрального типа

4.1 Уравнение нейтрального типа в пространстве абсолютно непрерывных функций

4.2 Уравнение нейтрального типа с несуммируемыми коэффициентами

4.3 Уравнение нейтрального типа с отклонением аргумента, не удовлетворяющим условию "независания"

II Нелинейное эволюционное функционально-дифференциальное уравнение

5 Нелинейные операторные уравнения Вольтерра

5.1 Неподвижные точки нелинейных вольтерровых операторов.

5.2 Непрерывная зависимость от параметров решений уравнения Вольтерра.

5.3 Неравенства Вольтерра в функциональных пространствах

6 Нелинейная задача Коши

6.1 Разрешимость. Непрерывная зависимость решений от начальных условий.

6.2 Теоремы о дифференциальном неравенстве.

6.3 Дифференциальные уравнения с авторегулируемым запаздыванием.

7 Приближенные методы решения нелинейной задачи Коши

7.1 Приближенное решение задачи Коши.

7.2 Метод Тонелли, простой и улучшенный методы Эйлера

7.3 Приближенное построение предельно продолженных решений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эволюционные функционально-дифференциальные уравнения»

Уравнения с отклоняющимся (запаздывающим) аргументом давно привлекли внимание исследователей и имеют богатую историю. Еще во второй половине XVIII века в литературе появились первые результаты (Кондорсе, 1771 г.). Уравнения с отклоняющимся аргументом и их многочисленные обобщения, объединенные названием "функционально-дифференциальные уравнения", возникают в моделях, учитывающих конечность скоростей распространения сигналов, инерцию конкретных объектов и т.д. Эти уравнения нашли многочисленные приложения в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении процесса сгорания топлива в ракетных двигателях, в экономических моделях долгосрочного прогнозирования, в задачах электродинамики, биологии, медицины, во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно увеличивается. Систематическое изучение дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом было начато в середине XX столетия в нашей стране А.Д. Мышкисом [172]-[175] и в США Р. Беллманом [24, 237, 238]. С тех пор актуальность приложений, сложность и новизна проблем, серия загадок и парадоксов всегда привлекали и подолжают привлекать к функционально-дифференциальным уравнениям многочисленных исследователей. За полвека своей истории теория функционально-дифференциальных уравнений прошла путь от первых разрозненных результатов до самостоятельного, имеющего многочисленные приложения, давшего новые идеи и методы обширного раздела современной математики. В ее построение внесли вклад многие исследователи. Этапы создания теории нашли отражение в монографиях Н.В. Азбелева, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной, П.М. Симонова [12, 13, 15], JI.A. Бекларя-на [29], Р. Беллмана, K.JI. Кука [24], Н.Н. Красовского [139], В.Б. Колма-новского, В.Р. Носова [135], Ю.А. Митропольского, Д.И. Мартынюка [171], А.Д. Мышкиса [175], Л.Э. Эльсгольца, С.Б. Норкина [177, 233], Э. Пинни [184], В.П. Рубаника [190], А.Халаная [244], Г.Л. Харатишвили, Т.А. Тадума-дзе [200, 214, 215].

Большой вклад в развитие теории уравнений с отклоняющимся аргументом внесла Свердловская (Екатеринбургская) математическая школа. В работах Н.Н. Красовского [138]-[145] получены условия существования периодических решений, изучены задачи оптимального регулирования, наблюдения систем, описываемых уравнениями с запаздывающим аргументом. Чрезвычайно плодотворными оказались идеи Н.Н. Красовского, предложившего трактовать решение, как элемент подходящего функционального пространства. Проблемы устойчивости уравнений с запаздыванием, стабилизации управляемых систем, дифференциально-разностные игры рассмотрены в работах Ю.С. Осипова [178]-[181]. Задачи управления и наблюдения систем с последействием исследованы А.Б. Куржанским [158]-[159]. Многочисленным аспектам теории дифференциальных игр посвящены статьи Н.Н. Красовского, А.Ф. Клейменова, А.В. Кряжимского, Ю.С. Осипова, А.И. Субботина, В.Н. Ушакова, А.Г. Ченцова [133, 145, 146, 152, 181,196, 220, 208]. Проблемы разрешимости дифференциальных включений с запаздыванием исследованы Б.И. Ананьевым [18]. Задача о выживаемости рассмотрена А.Б. Завариным, В.Н. Ушаковым [124], Т.Ф. Филипповой [210]. Глубокое, всестороннее изучение уравнений с отклоняющимся аргументом проведено в работах С.Н. Ши-манова и его учеников [223]-[228]. Задачи устойчивости рассмотрены в работах Ю.Ф. Долгого [68],[69]. Созданию эффективных численных методов посвящены работы А.В. Кима, В.Г. Пименова [132],[183]. Уравнения с импульсными воздействиями исследованы С.Т. Завалищиным, А.И. Сесекиным и др. авторами [122, 123]. В работах С.А. Брыкалова [36, 37] рассмотрены краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений и включений.

Единая теория различных классов функционально-дифференциальных уравнений разработана участниками Пермского семинара, руководимого Н.В. Азбелевым. Начало ей положил отказ от обязательного выполнения условия "непрерывной стыковки" решения и начальной функции. Такой подход позволил представить дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом в виде операторного уравнения Сх = f, где С : D^щ Ца,ь}

Таким же образом представляются уравнение нейтрального типа, уравнение с распределенным отклонением аргументом, интегро-дифференциальное уравнение, другие функционально-дифференциальные уравнения. В исследованиях участников Пермского семинара была построена общая теория функционально-дифференциальных уравнений. Использование методов функционального анализа позволило получить представление общего решения, сформулировать и изучить общую краевую задачу, исследовать свойства функции Грина и Коши, предложить новые идеи в качественной теории уравнений. Разработанные методы оказались применимыми не только к "классическим" уравнениям в пространстве абсолютно непрерывных функций, но и к уравнениям в других функциональных пространствах (импульсным системам, сингулярным уравнениям и т.д.). Возникла идея рассмотрения абстрактного аналога функционально-дифференциального уравнения в произвольных банаховых пространствах. В работах Н.В. Азбелева, А.В. Анохина, Л.Ф. Рахматуллиной [10, 19] была предложена теория "абстрактных" (по терминологии авторов) функционально-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. В этой теории удалось сохранить большинство фундаментальных положений теории краевых задач, получить представление решения с помощью оператора Грина, доказать утверждения о непрерывной зависимости решений от параметров. Идеи и основные положения теории нашли применения в исследованиях А.В. Анохина, В.П. Плаксиной импульсных систем в пространствах кусочно абсолютно непрерывных функций [20, 186], в изучении сингулярных задач А.И. Шиндяпиным [230], Е.И. Бравым [33], в работах Г.С. Бондаревой [34], С.А. Гусаренко [65] о разрешимости краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений в частных производных и многих других исследованиях.

Предлагаемая диссертация посвящена построению теории абстрактных функционально-дифференциальных уравнений с вольтерровыми операторами, являющихся естественным обобщением уравнений с запаздывающим аргументом. Исследование базируется на изучении свойств вольтерровых операторов. Сделаем краткий обзор известных нам определений вольтерровых операторов.

Различным обобщениям классических результатов Вольтерра, исследовавt шего интегральный оператор (Ky)(t) = f K(t,s)y(s)ds, посвящены многоа численные работы. Ряд авторов абстрактными вольтерровыми операторами называют линейные вполне непрерывные операторы, действующие в гильбертовом пространстве, спектральный радиус которых равен нулю. В работах М.С. Бродского, A.JI. Бухгейма, И.Ц. Гохберга, М.С. Крейна, М.С. Лившица и других исследователей создана плодотворная теория таких операторов [35, 48, 63, 163], устанавливающая глубокую связь между абстрактным и "классическим" интегральным операторами Вольтерра.

В основе других определений вольтерровости свойство интегрального оператора, называемое разными авторами "последействием", "эволюцией" и т.д. Эти определения ведут свое начало от определения А.Н. Тихонова [202], согласно которому оператор является вольтерровым, если образ любой функции в каждый момент "времени" to зависит от значений этой функции только при аргументах t < to. Функционально-дифференциальные уравнения с вольтерровыми по А.Н. Тихонову операторами (эволюционные уравнения) подробно изучены в работах участников Пермского семинара (см., например, [5, 7, 66, 165]). Некоторые проблемы (например, задача устойчивости решений) ставятся только для эволюционных уравнений [15, 136, 137, 207]. Многие результаты исследования сингулярных [230, 33], импульсных [20, 186], стохастических [222,188] функционально-дифференциальных уравнений также получены в предположении вольтерровости операторов в соответствующих пространствах. Рассмотренная в работах А.И. Булгакова [38]-[47] теория функциональных и функционально-дифференциальных включений базируется на свойствах вольтерровых по А.Н. Тихонову многозначных отображений. Современные абстрактные трактовки свойства "эволюции" операторов предложены в работах [64, 77, 79, 92, 95, 100, 120, 154, 197, 198, 199]. С.А. Гу-саренко в [64] при определении обощенной вольтерровости оператора F, действующего в банаховом пространстве В, использует такие цепочки проекторов Рт : В В, т € [0, 1], что Р° = 0, Р1 = /, Р^Ра = Pmi Оператор считается вольтерровым, если при всех у Е В и всех г 6 [0, 1] из условия Рту = 0 следует PTFy = 0. Уплотняющие, вольтерровые по А.Н. Тихонову операторы, действующие в функциональных пространствах исследуются Ю.А. Дядченко [77, 79]. В определении вольтерровости, предложенным В.Г. Курбатовым [154]-[156], в линейных пространствах X, Y вы» деляются упорядоченные по вложению семейства подпространств {Xt j t Е Е R}, {Yt | t E R}. Оператор F : X Y назван вольтерровым, если при всех t Е R выполнено включение F(Xt) С Yt. В связи с исследованием задач математической физики и проблем оптимального управления В.И. Суминым [197]-[199] предложено определение вольтерровости для операторов, действующих в пространствах L™(П) функций, суммируемых на ограниченном измеримом подмножестве П С Rn. Пусть Ец - о -алгебра измеримых подмножеств П, Т С Ец. Оператор F вольтерров на системе множеств Т, если для всех множеств Н G Т и всех х, у G ^(П) из x(t) = y(t), t Е Я, следует (Fx)(t) = (Fy)(t), t <Е Н.

Приведем определение вольтеррового оператора, которое используется в настоящей работе. Пусть каждому 7 Е [ 0, Ь — а ] поставлено в соответствие некоторое измеримое множество е7 с мерой ц (е7) = 7 таким образом, что

V7, г] Е [0, b - a] J < V e7CeJ?. (1)

Обозначим v = { е7}. Пусть У, В - некоторые множества функций / : [а,Ь\ -»■ Rm. Отображение F : Y В называем вольтерровым на системе v, если для каждого е7 Е v и любых у, z £Y из ?/(s) = 2(5) на е7 следует (Fy)(e) = (F2)(e) на е7.

Это определение не претендует на максимальную общность, но позволяет охватить широкий класс операторов, для которых возможно построение содержательной теории и ее применение к функционально-дифференциальным уравнениям.

Приведем краткое описание работы и сформулируем основные результаты нашего исследования, сопровождая их цитированием работ, относящихся к рассматриваемым вопросам.

Диссертация состоит из введения, двух частей, разбитых на главы, которые в свою очередь делятся на параграфы, списка литературы, предметного указателя и обозначений.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Жуковский, Евгений Семенович, 2006 год

1. Вестник ПТГУ. Математика и прикладная математика. Нермь: Изд-во

2. ЭВМ отрывного обтекания нрофилей с угловыми точками // Докл. АН

3. АН УССР, Черновицкий ун-т. Черновцы, 1972. 213 с.60 . Бестник Тамбовского университета. Естественные и технические науки.

4. Известия вузов. Математика. № 11 (402), 1994. 11-13.69 . Долгий Ю.Ф. Устойчивость движений в периодических системах с последействием // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби. Тезисы докладов международного семинара.

5. Качеств, и приближ. методы исследования операторных уравнений. Ярославль, 1978. № 3. 48-60.78 . Дядченко Ю.А. О зависимости решений операторного уравнения типа

6. Тамбовского университета. Естественные и технические науки. Тамбов:

7. Изд-во ТГУ, 1998. Т. 3. Вын. 2. 171-176.85 . Жуковская Т.В., Жуковский Е.С. Начальная задача для линейного абстрактного функционально-дифференциального уравнения // Вестник

8. Тамбовского университета. Естественные и технические науки. Тамбов:

9. Якоби. Труды международного семинара. Екатеринбург, 2006. Т. 1. 129-137.

10. Института математики, физики и информатики ТГУ. Тамбов, 2005. 56-67.119 . Жуковский Е.С, Шиндянин А.И. К вопросу об исследовании краевыхзадач методом априорных неравенств // Краевые задачи. Пермь: Изд-во

11. Пермь. 1981. 11 с. Деп. в ВИНИТИ, № 3820-81.235 . Azbelev N.V. The ideas and methods of Perm Seminar on boundary valueproblems. Boundary value problems for functional differential equations.

12. World scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995. P. 13-22.236 . Artstein Z. Continuous dependence of solutions of operator equations //

13. Volterra of Volterra functional differential equations of neutral type // Appl.

14. Univer. Minnesota, June 26-30, 1967. Eds Harris W. A., Sibuja Ir. Y.,

15. HO возрастающая абсолютно ненрерывная функция, удовлетворяющаяусловию и{а) = 0);*(•) - транспонирование матрицы;•. - целая часть действительного числа;

16. Хе(') - характеристическая функция множества е С R, определяемая ра1, если i € е,венством1. О, если t ^ е.301