Энтропийное моделирование динамики многомерных стохастических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Лебедева, Ольга Викторовна

• Лебедева, Ольга Викторовна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Лебедева, Ольга Викторовна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Энтропийные методы и модели исследования многомерных стохастических систем

1.1. Энтропия как общесистемный параметр

1.2. Энтропийное моделирование в задачах диагностики

1.3. Многомерная энтропийная модель гауссовских систем

1.4. Методы непараметрической оценки индекса детерминации

1.5. Выводы и результаты

Глава 2. Разработка энтропийной математической модели динамики многомерных стохастических систем

2.1. Дифференциальная энтропия многомерных случайных векторов

2.2. Энтропийная модель динамики многомерных стохастических систем

2.3. Свойство симметрии теоретических значений корреляционных отношений

2.4. Выводы и результаты

Глава 3. Численные методы и алгоритмы идентификации энтропийных

моделей многомерных стохастических систем

3.1. Алгоритмы идентификации энтропийной модели многомерных стохастических систем

3.1.1. Модифицированный алгоритм группировки данных на основе алгоритма РСЖЕЬ

3.1.2. Ядерное сглаживание

3.1.3. Алгоритм на основе сглаживания линейной регрессией

3.2. Сравнение алгоритмов непараметрического оценивания индекса детерминации

3.3. Устойчивость алгоритма на основе сглаживания линейной регрессией к большим выбросам

3.4. Алгоритм диагностики и контроля состояний энтропийной модели динамики многомерных стохастических систем

3.5. Выводы и результаты

Глава 4. Практическое применение разработанных моделей, методов и алгоритмов

4.1. Область применения энтропийной модели динамики

4.2. Моделирование динамики системы автотранспортного предприятия ООО «Курганавтотранс»

4.3. Анализ энтропии популяции при профилактики неинфекционных заболеваний

4.4. Анализ энтропийной модели динамики в экономике

4.5. Выводы и результаты

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы

Приложение 1. Справки об использовании результатов диссертационной

работы

Приложение 2. Свидетельства о регистрации электронных ресурсов

Приложение 3. Листинги программ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Энтропийное моделирование динамики многомерных стохастических систем»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Энтропия - это широко используемое понятие в различных дисциплинах. Впервые понятие энтропии было введено в термодинамике как функция состояния термодинамической системы, определяющая меру необратимого рассеивания энергии [8, 13, 25, 32, 37, 48, 54, 66, 120]. В статистической физике энтропия определяет меру вероятности осуществления макроскопического состояния [17, 44, 60, 61, 107]. В теории информации энтропия является мерой неопределенности какого-либо испытания [16, 30, 38, 78, 113, 118, 121, 123, 128, 132]. В широком смысле, энтропия означает меру хаотичности (дезорганизованное™) системы [10, 65, 70].

Энтропийное моделирование является одним из перспективных направлений исследования сложных систем, характерными признаками которых являются стохастичное поведение и неизвестный характер взаимосвязи факторов. Энтропийным моделированием стохастических систем занимались многие авторы, отметим работы [13, 15, 17, 41, 44, 46, 49, 54, 63, 64, 72, 76, 81, 87, 96, 98, 99, 100, 104, 112, 121, 123].

Несмотря на обширное применение понятия энтропии в статике определенных успехов в области динамики (производства) энтропии удалось добиться ученым при описании развития неравновесных, диссипативных процессов. Большой вклад в этом внесли работы И. Пригожина, который в 1947 году доказал принцип минимума производства энтропии [54]. В работе [48] показано, что его принцип имеет достаточно узкую область применимости, о чем говорил и сам Пригожин, и его оппоненты. Однако часть ученых абсолютизировали этот принцип, считая его способным описывать всевозможные процессы. Другие же, напротив, утверждают о невозможности формулировки с помощью энтропии универсальных принципов [48].

Значительно менее известным является принцип максимума производства энтропии [48]. Этот принцип независимо выдвигался и применялся несколькими

учеными на протяжении XX столетия. Суть этого принципа заключается в следующем: «неравновесная система развивается так, чтобы максимизировать свое производство энтропии при заданных внешних ограничениях» [48].

Связь принципов о минимуме производства энтропии и максимуме производства энтропии была рассмотрена в [48]. Автор утверждает, что «это абсолютно разные вариационные принципы, в которых хотя и ищется экстремум одной и той же функции - производства энтропии, но при этом используются различные ограничения и различные параметры варьирования».

Действительно, ученые рассматривали закрытые системы при заданных внешних ограничениях, что значительно ограничивает исследование сложных систем. Т.к., помимо многомерности и стохастичности, сложные системы обмениваются с окружающей средой энергией и веществом, т.е. являются открытыми.

Примеры энтропийного моделирования динамики открытых стохастических систем [17, 41, 71] немногочисленны, являются недостаточно формализованными, носят частный характер и не могут быть использованы для определения состояния, в котором пребывает система, так как не предоставляют диагностические факторы, отражающие зависимость изменения энтропии.

Одним из направлений энтропийного моделирования является использование дифференциальной энтропии К.Шеннона [113, 132]. В работах [74, 98, 99, 100] данный подход был применен для моделирования многомерных стохастических систем. Здесь в энтропийной модели выделены элементы системы и связи между ними в качестве управляющих переменных, однако подход ограничен гауссовскими системами.

Действительно аналитическое нахождение энтропии многомерного .случайного вектора получено лишь для совместного нормального распределения [118]. Поэтому представляется целесообразным получить аналитическое выражение дифференциальной энтропии и ее изменения для многомерных случайных векторов с различными законами распределений компонент.

Следовательно, актуальна задача на основе аналитического выражения дифференциальной энтропии и ее изменения построения энтропийной математической модели динамики многомерных стохастических систем с различными законами распределений компонент. Энтропйиная модель динамики должна предоставлять диагностические факторы, отражающие зависимость изменения энтропии и позволяющие определить состояние, в котором пребывает система. Это дает возможность использовать модель для решения практических задач в различных областях.

Для примера рассмотрим анализ динамики энтропии популяции при профилактике хронических неинфекционных заболеваний. Ведущими причинами смертности населения России являются хронические неинфекционные заболевания, которые включают в себя сердечно-сосудистые, онкологические, хронические бронхолегочные заболевания, сахарный диабет. На их долю

приходится более 75% случаев смерти в общей структуре смертности.

!

Современные исследования в области медицины направлены на изучение отдельных биологических факторов риска (артериальная гипертензия, дислипидемия, повышенный уровень глюкозы в крови, повышенная масса тела и ожирение). В то же время недостаточно изучен вопрос комплексной оценки популяционного здоровья одновременно по нескольким факторам риска и их взаимосвязи, особенно в аспекте энтропийного восприятия происходящих в популяции процессов. В главе 4 показано, что энтропийная модель динамики позволяет на каждой локальной популяции выделить наибольший вклад

отдельного фактора риска в популяционную энтропию и в целом на статус

1

здоровья. А также при изменении статуса здоровья, определить какой фактор риска повлиял на организм человека.

Целью работы является разработка и обоснование энтропийной математической модели динамики многомерных стохастических систем, позволяющая получить алгоритмы и программы для диагностики и контроля их состояния.

Достижение данной цели предполагает решение следующих задач:

1. Получить для многомерных случайных векторов с различными законами распределений компонент аналитические выражения для дифференциальной энтропии и ее изменения.

2. На основе полученных выражений разработать энтропийную модель динамики многомерных стохастических систем.

3. Исследовать энтропийную модель динамики и на ее основе сформулировать задачу диагностики и контроля состояния многомерной стохастической системы.

4. Разработать алгоритмы и программы для решения задачи диагностики и контроля состояния системы на основе энтропийной модели динамики. Алгоритмы должны допускать применение модели на малых выборках данных.

5. Апробировать на примерах из разных областей методику использования энтропийной модели динамики.

Объектом исследования являются многомерные стохастические системы.

Предметом исследования являются энтропийные модели динамики.

Научная новизна заключается в следующем:

1. В области разработки новых математических методов моделирования объектов и явлений:

• Для многомерных случайных векторов, законы распределений компонент которых имеют параметры сдвига и масштаба, получены аналитические выражения для дифференциальной энтропии и ее

)

изменения.

• Разработана энтропийная модель динамики многомерных стохастических систем.

2. В области разработки, исследования и обоснования математических объектов:

• Показано, что дифференциальная энтропия случайного вектора состоит из двух компонент: первая компонента определяет предельную

энтропию, соответствующую полной независимости элементов вектора, а вторая - отражает степень взаимосвязей между элементами. При энтропийном моделировании эти компоненты характеризуют

' закономерности аддитивности и целостности многомерных

стохастических систем.

3. В области разработки, обоснования и тестирования эффективных численных методов с применением ЭВМ:

• Предложен алгоритм непараметрического оценивания индекса детерминации многомерных регрессионных зависимостей. Алгоритм позволяет повысить точность оценивания множественного индекса детерминации на малых выборках данных.

4. В области реализации эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента:

• Разработана и зарегистрирована программа для реализации энтропийной модели динамики многомерных стохастических систем.

• Разработан и зарегистрирован комплекс программ, реализующих алгоритмы непараметрического оценивания индекса детерминации многомерных регрессионных зависимостей.

Теоретическая значимость:

1. Полученные аналитические выражения для дифференциальной энтропии

1

многомерных случайных векторов позволяют строить энтропийные математические модели стохастических систем различной природы.

2. Разработана энтропийная модель динамики многомерных стохастических систем. Данная модель формализована для задач диагностики и контроля состояния стохастических систем.

3. Разработан алгоритм непараметрического оценивания индекса детерминации многомерных регрессионных зависимостей, позволяющий использовать энтропийную модель динамики на малых выборках данных.

Практическая значимость:

1. Предложенная энтропийная математическая модель динамики проста в реализации и интерпретации математической модели.

2. Предложенный алгоритм оценивания индекса детерминации обеспечивает более высокую точность на малых выборках данных по сравнению с известными методами непараметрического регрессионного анализа, что делает возможным широкое использование энтропийного моделирования.

3. Приведенные практические примеры из разных областей свидетельствуют об универсальности предложенной энтропийной модели динамики при решении задач диагностики и контроля состояния стохастических систем.

4. Разработанный комплекс алгоритмов и программ позволяет оперативно

)

оценивать динамику энтропии многомерных стохастических систем и решать задачи диагностики и контроля их состояния.

Методология и методы исследования. Для решения поставленных задач и доказательства сформулированных утверждений применялись методы теории вероятностей и математической статистики, многомерного статистического анализа, математического анализа, системного анализа, математического моделирования и численные методы.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Для многомерных случайных векторов, законы распределений компонент

J

которых имеют параметры сдвига и масштаба, получены аналитические выражения для дифференциальной энтропии и ее изменения.

2. Разработана энтропийная математическая модель для описания динамики многомерных стохастических систем, которая позволяет решать задачи диагностики и контроля их состояния.

3. Установлено, что изменение энтропии многомерной стохастической системы состоит из двух компонент, которые характеризуют ее свойства: аддитивность и целостность.

4. Разработан алгоритм непараметрического оценивания индекса детерминации , многомерных регрессионных зависимостей, позволяющий повысить точность

оценок на малых выборках данных.

5. Разработан комплекс алгоритмов и программ для оценивания изменения энтропии случайных векторов на малых выборках данных.

Степень достоверности и апробация результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью постановки задач и корректным использованием математического аппарата. Полученные в работе исследовательские результаты согласуются с результатами других авторов. Адекватность математической модели подтверждалась примерами ее использования.

Результаты работы докладЕлвались и обсуждались на: Ш-У Всероссийских научно-технических конференциях «Безопасность критичных инфраструктур и территорий» (Екатеринбург, 2009, 2011, Абзаково, 2012), XXXII Международной научной школе-семинаре «Системное моделирование социально-экономических процессов» Вологда, 2009), XVI и XVIII Байкальских Всероссийских конференциях «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (Иркутск-Байкал, 2011, 2013), XIII и XV Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Сочи-Вардане, 2012, Сочи-Дагомыс, 2014), XIV апрельской Международной научной конференции по проблемам развития экономики и общества (Москва, 2013), II Международной научно-практической конференции «Актуальные вопросы технических наук в современных условиях» (Санкт-Петербург, 2015), VI Международной научно-практической конференции «Отечественная наука в эпоху изменений: постулаты прошлого и теории нового времени» (Екатеринбург, 2015).

Результаты работы обсуждались на научных семинарах кафедры теории управления и оптимизации Челябинского государственного университета (Челябинск, 2010-2014), НИЦ «Надежность и ресурс больших систем и машин» 'УрО РАН (Екатеринбург, 2011-2012).

, Комплекс из трех программ, предназначенный для вычисления эмпирического корреляционного отношения, оценивания динамики энтропии и непараметрического индекса детерминации регрессионных зависимостей зарегистрирован в Объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» при Российской Академии Образования.

Работа выполнялась в соответствии с планами научно-исследовательских работ по гранту РФФИ 10-01 -96013-р_урал_а, по проектам Программ междисциплинарных фундаментальных исследований УрО РАН № 09-М-12-2001, № 12-М-127-2049.

, Положения и выводы диссертационной работы, а также разработанный комплекс программ использованы:

• В ООО «Курганавтотранс» для диагностики состояния автотранспортного предприятия;

• В Научно-инженерном центре «Надежность и ресурс больших систем и машин» УрО РАН для оценки состояния систем критичных инфраструктур;

• В Клинике ГБОУ ВПО Южно-Уральского государственного медицинского университета для анализа здоровья популяции.

• В ООО «Поло Плюс» для контроля текущей деятельности на строительном ' проекте.

Использование результатов диссертационной работы подтверждено справками.

Публикации. Содержание работы отражено в 12 печатных работах, в том числе в 3 публикациях в журналах и изданиях, включенных в перечень ВАК для кандидатских диссертаций, и 3 программах, зарегистрированных в Объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» при Российской Академии Образования.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, Ч глав, заключения, списка литературы из 133 наименований. Основной текст работы изложен на 124 страницах, включая 18 рисунков и 14 таблиц.

>

Глава 1. Энтропийные методы и модели исследования многомерных стохастических систем

В данной главе проведен обзор энтропийных методов для моделирования динамики многомерных стохастических систем, который показал актуальность разработки энтропийной модели динамики. Рассмотрена энтропийно-вероятностная модель гауссовских систем. Выделены основы и предпосылки для ее развития и усовершенствования. Исследованы непараметрические методы

J

оценки индекса детерминации и их применение для многомерных стохастических систем.

1.1. Энтропия как общесистемный параметр

Сегодня в литературе встречается, по меньшей мере, четыре формы энтропии.

Термодинамическая энтропия, впервые введенная в 1865 г. Р. Клаузисом в .термодинамике как мера необратимого рассеяния энергии. Для обратимых (квазиравновесных) процессов она была определена так [32]:

= (1.1)

где - изменение энтропии, АС) - изменение теплоты, Т - абсолютная термодинамическая температура [32]. Здесь энтропия является функцией состояния. Абсолютная температура равная нулю соответствует нулевому значению энтропии.

На уровне космологии, Р. Клаузисом был сформулирован закон возрастания энтропии: энтропия Вселенной стремится к максимуму [54, 66]. Более распространенная формулировка закона возрастания энтропии гласит: в абсолютно замкнутой системе все необратимые процессы сопровождаются

увеличением энтропии системы, по окончании которых энтропия принимает максимальное для данной системы значение [112].

Статическая энтропия, введенная в 1872 г. JI. Болыдманом [8]: S = k\nW, (1.2)

где S - энтропия термодинамического состояния системы, к - постоянная

>

Больцмана, W — статистический вес состояния системы, который равен числу возможных микросостояний (способов), с помощью которых можно составить данное макроскопическое состояние системы [8].

Принцип Больцмана связывает микроскопические свойства системы W с одним из ее термодинамических свойств S [8]. Согласно определению (1.2), энтропия является функцией состояния, т.е. не зависит от способа достижения этого состояния, а определяется параметрами этого состояния.

J1. Больцман показал, что логарифм числа W обладает всеми свойствами

термодинамической энтропии Клаузиуса, а умножение логарифма числа W на

j

специальную константу к = 1,3806- Ю-23 дает функцию (1.2), которая

К

полностью тождественна (в физическом смысле) размерной энтропии Клаузиуса [8].

Позже, в 1902 г. Дж. В. Гиббс для статического обоснования термодинамики использует вероятностные представления [120]:

S = kjp(p,q)\np(p,q)dpdq, (1.3)

где p{p,q) - плотность вероятности распределения обобщенных координат q и ^импульсов р в фазовом пространстве системы, к - размерный множитель [120]. Дж. В. Гиббс пришел к выводу, что если пренебречь корреляциями между частицами, то можно формально прийти к результату Л. Больцмана. Т.е. энтропия Гиббса стала первым существенным обобщением понятия энтропии [111].

Информационная энтропия, предложенная в 1948 г. К. Шенноном, для оценки неопределенности кодовой информации в дискретном случае в каналах связи [132]:

£ = (1.4)

1=1

где - вероятность встречаемого символа / в коде содержащем N символов,

п

2>,=ь

/=1

>

В случае измерения средней информации непрерывного источника используется дифференциальная энтропия, которая определяется по формуле [132]:

+00

Н=-\/(х)Ы/(х)с1х, (1.5)

-00

где /(х) — плотность распределения сигнала непрерывного источника как случайной величины.

Энтропия Шеннона стала основой для многих исследований. Так А.Н. Колмогоров [39] в своих работах по теории информации и в области динамических систем обобщил понятие энтропии на эргодические случайные процессы. В 1960 году А. Реньи предлагает свое обобщение энтропии Шеннона [129]. Энтропия Реньи представляет собой семейство функционалов для количественного разнообразия случайности системы.

История развития понятия энтропии показывает, что энтропия изучалась в системах разной природы: термодинамика, статистическая физика, теория информации, теория динамических систем, квантовая механика и др. Следовательно, энтропия является общесистемным параметром, что отмечали в рвоих исследованиях многие ученые. По поводу энтропии Шеннона академик А.Н. Колмогоров писал [40]: «Общеизвестно и то обстоятельство, что выражение #(£) формально тождественно с выражением энтропии в физике. Это совпадение я считаю вполне достаточным для оправдания наименования величины Н(и в теории информации «энтропией»: такие математические аналогии следует всегда подчеркивать, так как сосредоточение внимания на них содействует прогрессу науки». Ю.Л. Климонтович [37] отмечал, что «среди различных

макроскопических функций только энтропия 51 обладает совокупностью свойств, позволяющих использовать ее в качестве меры неопределенности (хаотичности) при статическом описании процессов в макроскопических системах». И.В. Прангишвили в своих работах подвел итог: «Энтропия является фундаментальным свойством любых систем с неоднозначным, или -вероятностным, поведением. Известно, что любые дискретные множества, любые объекты и явления системы живой или неживой природы без исключения содержат черты порядка и беспорядка (хаоса), определенности и неопределенности, организованности и дезорганизованности, а, следовательно, и энтропии. Величина энтропии как количественной меры неопределенности, непредсказуемости, беспорядка, хаоса, дезорганизованности вероятностных систем является всеобщей» [65].

Отметим основные категории систем, используемые при исследовании энтропии, такие как стохастические (вероятностные) системы, замкнутые и открытые системы, сложные системы.

Стохастические (вероятностные) системы - это системы, поведение которых описывается законами теории вероятностей. Примерами вероятностной системы является экономика, общество и др. [79].

По степени связи с внешней средой системы делятся на замкнутые и открытые [110]. Открытые системы обмениваются с окружающей средой энергией и веществом. Примером открытых систем служат социальные системы, биосистемы и др. [75]. Замкнутые системы, соответственно, не взаимодействуют с другими системами и внешней средой [4].

' Согласно второму закону термодинамики энтропия замкнутых систем постоянно возрастает. Но в открытых системах энтропия может вести себя по-разному [37]: расти, быть постоянной и уменьшаться. Причина различного поведения энтропии объясняется тем, что, в открытых системах помимо собственной энтропии, которая всегда растет (как и в замкнутых системах) существует ещё энтропия, поступающая в открытую систему из внешней среды,

уходящая из открытой системы во внешнюю среду, а также свободная энергия, компенсирующая рост собственной энтропии [65]. Поведение энтропии открытой системы зависит от скорости изменения ее составляющих. Если энтропия открытой системы постоянна, то говорят, что система находится в стационарном режиме [37].

Для понятия «сложная система» существует специальная наука «Общая теория систем» [12] или «Системология» [103], в которой утверждается, а иногда и строго доказывается, что «...система, состоящая из большого числа разнородных элементов, соединенных нелинейными связями, приобретает новые, иногда очень неожиданные свойства, которые невозможно вывести из самого тщательного исследования отдельных элементов и связей» [53]. Появился специальный термин «системный подход» или «системное исследование», значение которого сводится к учету многофакторности и многосвязности

J

изучаемого явления.

Наиболее точное определение понятия сложная система дано в работе [59]. Сложной системой называется система, в модели которой недостаточно информации для эффективного управления.

В данной работе будут рассматриваться сложные системы, которые могут быть представлены в виде открытых многомерных стохастических систем [21]. К таким системам относятся городские, экономические, психологические, информационные, медицинские и др.

Примеры энтропийных моделей сложных систем разнообразны в своих

)

областях знаний и концепция энтропии в них используется по-разному. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть различные способы энтропийного описания поведения систем и интерпретации полученных результатов.

1.2. Энтропийное моделирование в задачах диагностики

Одним из перспективных направлений моделирования многомерных стохастических систем является использование энтропии, которая может выступать в роли универсального параметра и идеально подходит для решения задач о поведении многомерных стохастических систем. К ним можно отнести оптимизационные задачи эффективного управления системами на основе увеличения и уменьшения ее энтропии, а также задачи диагностики и контроля состояний стохастической системы. Рассмотрим более подробно последний класс задач.

Для решения диагностической задачи необходимо построить ^диагностическую модель. В диагностической модели должна в определенной форме выражаться связь измеряемого вектора признаков л; с тестируемым свойством, которое в дальнейшем будет обозначаться как ^ [6].

Основные требования, предъявляемые к диагностическим моделям [6]:

1. конечный результат должен быть максимально точным и надежным;

2. лаконичность и интерпретируемость способа получения конечного результата.

Таким образом, диагностическая модель не требует максимального описания исследуемого объекта в целом. Она предназначена для описания степени отклонения состояния объекта от нормы [84].

Задача построения диагностической модели заключается в определении вида функции у =/(х). В зависимости от специфики, эта задача может называться структурной идентификацией [24, 68, 114], качественной идентификацией [27], непараметрической идентификацией [33] и др. Если вид математической модели объекта известен, то решают задачу определения неизвестных параметров модели, которая, в зависимости от специфики, называется оцениванием модели [3], параметрической идентификацией [45].

Рассмотрим примеры использования энтропийных моделей для задач

диагностики и контроля состояния сложных систем.

>

Организм человека может быть представлен в виде сложной системы с вероятностной природой его развития. Это приводит к необходимости поиска «системообразующих факторов», к которым относится энтропия. В [41 ] показано, что энтропия является информативной характеристикой состояния организма и может использоваться для оценки его состояния и определения направления терапии больных.

За основу исследования в [41] было использовано основное свойство стационарного состояния открытых систем, сформулированное И. Пригожиным [54]: при фиксированных внешних параметрах скорость воспроизведения энтропии, обусловленная протеканием необратимых процессов, постоянна во времени и минимальная по величине. Для живых систем это положение было сформулировано так [41]: «поддержание гомеостазиса требует минимального потребления энергии, т.е. здоровый организм стремится работать в самом экономном энергетическом режиме. Заболевания организма связаны с дополнительными энергетическими затратами для компенсации приобретенных или врожденных биологических дефектов и с ростом энтропии».

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лебедева, Ольга Викторовна, 2015 год

Список литературы

1. Айвазян, С.А. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности / С.А. Айвазян, В.М. Бухштабер, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. - М: Финансы и статисткиа, 1989. - 607 с.

2. Айвазян, С.А. Прикладная статистика: Исследование зависимостей / С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. -М.: Финансы и статистика, 1985. -488 с.

/

3. Айвазян, С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник / С.А. Айвазян, B.C. Мхитарян. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

4. Антонов, A.B. Системный анализ: Учебник для вузов / A.B. Антонов. — М.: Высш. шк., 2004. - 454 с.

5. Барсенков, А. С. История России. 1917-2007 / А. С. Барсенков, А. И. Вдовин. - М.: Аспект Пресс, 2008. - 772 с.

6. Биргер, И.А. Техническая диагностика / И.А. Биргер. - М.: Наука, 1978. -239 с.

7. Болдин, М.В. Знаковый статистический анализ линейных моделей / М.В.

/

Болдин, Г.И. Симонова, Ю.Н. Тюрин. - М.: Наука, 1997. - 288 с.

8. Больцман, Л. Избранные труды / Л. Больцман. - М.: Наука, 1984. - 590 с. .

9. Большее, Л.Н. Таблицы математической статистики / Л.Н. Большев, Н.В. Смирнов // 3-е изд. - М.: Наука, 1983. - 474 с.

10. Бондаренко, Ю.Г. Всеобщие законы мироздания / Ю.Г. Бондаренко. - М.: Новый Центр, 2002. - 567 с.

11. Бородин, С.А. Вводный курс эконометрики: Учебное пособие / С.А. Бородич. - Мн.: БГУ, 2000. - 354 с.

12.Бусленко, Н.П. Моделирование сложных систем / Н.П. Бусленко. — М.: Наука, 1978.- 399 с.

13. Быстрай, Г.П. Термодинамика необратимых процессов в открытых системах / Т.П. Быстрай. - М. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011. - 264 с.

14. Вадзинский, P.M. Справочник по вероятностным распределениям / Р.Н. Вадзинский. - Спб.: Наука, 2001. - 295 с.

15. Величко, A.C. Интервальная энтропийная модель межрегионального производственного баланса / A.C. Величко, Д.В. Давыдов // Пространственная экономика. - 2009. - № 3. - С. 20-35.

16. Вернер, М. Основы кодирования. - Учебник для ВУЗов / М. Вернер. -Техносфера, 2004. - 288 с.

17. Вильсон, А.Д. Энтропийные методы моделирования сложных систем / А.Д. Вильсон. - М.: Наука, 1978. - 248 с.

18. Воронцов, К.В. Лекции по алгоритмам восстановления регрессии. [Электронный ресурс] / К.В. Воронцов. Режим доступа:

http://w\vw.ccas.m/voron/down1oad/Regression.pdf.

19. Ворфоломеева, О.В. Оценивание динамики энтропии многомерной стохастической системы. № 20564. [Электронный ресурс] / О.В. Ворфоломеева // Хроники ОФЭРНиО. - 2014. - №12 (67). - С. 1. Режим доступа: http://ofemio.ru/portal/newspaper/ofernio/2014/12.doc.

20. Ворфоломеева, О.В. Вычисление эмпирического корреляционного отношения. № 19314. [Электронный ресурс] / О.В. Ворфоломеева, Т.И. Овсянникова // Хроники ОФЭРНиО. - 2013. - №6 (49). - С. 19-20. Режим доступа:

http://ofernio.ru/portal/ne\vspaper/ofernio/2013Z6.doc.

21.Ворфоломеева, О.В. К вопросу построения математических моделей критичных систем инфраструктуры / О.В. Ворфоломеева // Безопасность критичных инфраструктур и территорий: Материалы III Всеросс. конф. и XIII школы молодых ученых. - Екатеринбург: УрО РАН, 2009. - С. 143— 144.

22. Ворфоломеева, O.B. Непараметрическое оценивание индекса детерминации регрессионных зависимостей. № 20565. [Электронный ресурс] / О.В. Ворфоломеева, А.Н. Тырсин // Хроники ОФЭРНиО. - 2014. - №12 (67). - С. 1. Режим доступа:

http://ofernio.ru/portal/nevvspaper/ofernio/2014/12.doc.

23. Вучков, И. Прикладной линейный регрессионный анализ / И. Вучков, JI.

Бояджиева, Е. Солаков. - М.: Финансы и статистика, 1987. - 239 с.

/

24. Гинсберг, К.С. Системные закономерности и теория идентификации / К.С. Гинсберг // Автоматика и телемеханика. - 2002. - № 5. - С. 156-170.

25. Де Гроот, С. Неравновесная термодинамика / С. Де Гроот, П. Мазур. - М.: Мир, 1964.-456 с.

26. Демиденко, Е.З. Линейная и нелинейная регрессия / Е.З. Демиденко. — М.: Финансы и статистика, 1981. - 302 с.

27. Диментберг, М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний / М.Ф. Диментберг. - М.: Наука, 1980. - 368 с.

28. Доклад об экономике России // Всемирный банк. - 2009. - № 18.-32 с.

29. Загоруйко, Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний / Н.Г. Загоруйко. - Новосибирск: Изд-во ин-та математики, 1999. - 270 с.

30. Заличев, H.H. Энтропия информации и сущность жизни / H.H. Заличев. -М.: Радиоэлектроника, 1995. - 192 с.

31.Иберла, К. Факторный анализ / К. Иберла; пер. с нем. В.М. Ивановой; предисловие A.M. Дуброва. - М.: Статистика, 1980. - 398 с.

32. Карно, С. Второе начало термодинамики / С. Карно, У. Томсон, Р. Клаузиус, Л. Больцман, М.М. Смолуховский. - Ленинград.: ГТТИ, 1934. — 312 с.

33. Катковник, В.Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных / В.Я. Катковник. -М.: Наука, 1985. -336 с.

34. Кендалл, М. Статистические выводы и связи / М. Кендалл, А. Стьюарт. — М.: Наука. Физматлит, 1973. - 900 с.

35. Кибзун, Л.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами / А.И. Кибзун, Е.Р. Горяинова, A.B. Наумов - 2-е изд. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 232 с.

36. Клепач, А. Экономика России в мае обвалилась на 11 процентов [Электронный ресурс] / А. Клепач // Lenta.ru. - 2010, 30 марта. - Режим доступа: http://lenta.ru/news/2009/06/23/gdp/.

37. Климонтович, Ю.Л. Введение в физику открытых систем / Ю.Л. Климонтович. - М.: Янус-К, 2002.-284 с.

38. Колмогоров, А.Н. Комбинаторные основания теории информации / А.Н. Колмогоров // Успехи математических наук. - 1983. - Т. 38, № 4. - С. 27-36.

39. Колмогоров, А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега / А.Н. Колмогоров//ДАН СССР. - 1985.-Т. 119.-С. 94-98.

40. Колмогоров, А.Н. Теория информации и теория алгоритмов / А.Н. Колмогоров. - М.: Наука, 1987. - 304 с.

41. Коротков, К.Г. Основы ГРВ биоэлектрографии / К.Г. Короткое. - Спб.: СПбГИТМО(ТУ), 2001. - 360 с.

42. Лебедева (Ворфоломеева), О.В. Построение энтропийной модели динамики многомерной стохастической системы по экспериментальным данным [Электронный ресурс] / О.В. Лебедева (Ворфоломеева), А.Н. Тырсин // II Международная научно-практическая конференция «Актуальные вопросы технических наук в современных условиях». - Санкт-Петербург, 2015. -Режим доступа: http://izron.ru/conference/tech/.

43. Лебедько, Е.Г. Математические основы передачи информации, ч. 5: Учеб.

пособие для вузов / Е.Г. Лебедько. - Спб.: СПбГУИТМО, 2010. - 93 с.

/

44. Левич, А.П. Энтропия как мера структурированности сложных систем / А.П. Левич // Труды семинара «Время, хаос и математические проблемы». „ Вып. 2. - М.: Книжный дом «Университет», 2001. - С. 163-176.

/

45. Льюнг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Л. Льюнг. -М.: Наука, Физматлит, 1991.-432 с.

46. Малинецкий, Г.Г. Математические основы синергетики: Хаос, структуры, вычислительный эксперимент / Г.Г. Малинецкий. - изд-е 6. М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2009. - 312 с.

47. Мандель, И.Д. Кластерный анализ / И.Д. Мандель. - М.: Финансы и статистика, 1988. - 176 с.

48. Мартюшев, Л.М. Производство энтропии и морфологические переходы при неравновесных процессах: дис. д-ра физ.-мат. наук: 01.04.14 / Мартюшев Леонид Михайлович. - Екатеринбург, 2010. - 267 с.

49. Мартюшев, Л.М. Развитие экосистем и современная термодинамика / Л.М. Мартюшев, Е.М. Сальникова. - М. - Ижевск: ИКИ, 2004. - 80 с.

50. Марченко, А.Г. Критерии оценки состояния здоровья населения при его комплексном изучении / А.Г. Марченко // Советское здравоохранение. 1979. -С. 23-28.

51. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. - М.: Советская

Энциклопедия. Т.З. Коо - Од, 1982. - 1184 с.

/

52. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. - М.: Советская Энциклопедия. Т.4. Ок - Сло, 1984. - 1216 с.

53. Меншуткин, В.В. Искусство моделирования (экология, физиология, эволюция) / В.В. Меншуткин. - Петрозаводск - Санкт-Петербург: Санкт-Петербургский экономико-математический ин-т, 2010. - 416 с.

54. Николис, Г. Самоорганизация в неравновесных системах: от диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации / Г. Николис, И. Пригожин. - М.: Мир, 1979.-512 с.

55. Новицкий, П.В. Основы информационной теории измерительных устройств

/

/ П.В. Новицкий. - Ленинград: Энергия, 1968.-248 с.

56. Общая теория статистики: Учебник / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев // Под ред. И.И. Елисеевой. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 656 с.

57. Окунь, Ян Факторный анализ: Пер. с польск / Ян Окунь. — М.: Статистика, 1974.-200 с.

58. Орлов, А.И. О проверке однородности двух независимых выборок / А.И. Орлов // Заводская лаборатория. - 2003. - Т. 69, № 1. - С. 55-60.

59. Перегудов, Ф.И. Введение в системный анализ / Ф.И. Перегудов, Ф.П. Тарасенко. -М.: Высшая школа, 1989. - 367 с.

60. Попков, Ю.С. Энтропийные модели рождаемости / Ю.С. Попков // Труды института системного анализа российской академии наук. — 2009. — № 44. — С. 3-20.

61. Попков, Ю.С. Энтропийные модели смертности / Ю.С. Попков // Труды института системного анализа российской академии наук. - 2011. - № 61(4). -С. 3-15.

62. Постовалов, С.Н. Математическая статистика. Конспект лекций: Учебное пособие / С.Н. Постовалов, Е.В. Чимитова, B.C. Карманов. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2014.- 140 с.

63. Прангишвили, И.В. Поиск подходов к решению проблем. Серия «Информатизация России на пороге XXI века» / И.В. Прангишвили, H.A. Абрамова и др. - М.: СИНТЕГ, 1999. - 284 с.

64. Прангишвили, И.В. Системный подход и общесистемные закономерности. Серия «Системы и проблемы управления» / И.В. Прангишвили. - М.: СИНТЕГ, 2000. - 528 с.

65. Прангишвили, И.В. Энтропийные и другие системные закономерности: Вопросы управления сложными системами / И.В. Прангишвили. - М.: Наука, 2003.-428 с.

66. Пригожин, И. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур / И. Пригожин, Д. Кондепуди. - М.: Мир, 2002. -461 с.

67. Профилактика хронических неинфекционных заболеваний. Национальные рекомендации [Электронный ресурс]. - Москва. - 2013. - Режим доступа:

http://\vw\v.gnicpm.ru/UserFiles/Profilaktika khronicheskikh neinfekcion nykhzabolevaniii .pdf.

68. Райбман, H.C. Что такое идентификация / Н.С. Райбман. - М.: Наука, 1970. - 120 с.

69. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар. - М.: Мир, 1973. - 470 с.

70. Седов, Е.А. Одна формула и весь мир. Книга об энтропии / Е.А. Седов. -М.: Знание, 1982.- 176 с.

71. Семаго, М.М. Моделирование психического развития в энтропийно-негэнтропийном подходе / М.М. Семаго // Системная психология и социология. - 2014. - Т. 1, № 9. - С. 16-28.

72. Скоробогатов, С.М. Катастрофы и живучесть железобетонных сооружений (классификация и элементы теории) / С.М. Скоробогатов. - Екатеринбург: УрГУПС, 2009.-512 с.

73. Смоляк, С.А. Устойчивые методы оценивания / С.А. Смоляк, Б.П. Титаренко. - М.: Статистика, 1980. - 208 с.

74. Соколова, И.С. Энтропийно-вероятностное моделирование сложных стохастических систем: автореферат дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Соколова Ирина Сибагатулловна. - Челябинск, 2013. - 18 с.

75. Соловьев, B.C. Теория социальных систем: Монография: в 3 т. Том 1. Теория организации социальных систем / B.C. Соловьев. - Новосибирск, 2005.-480 с.

76. Сочнев, C.B. Механизмы, модели и технологии корпоративного управления: автореферат дис. докт. техн. наук: 05.13.10 / Сочнев Сергей Васильевич. - М.: ИЛУ РАН, 2001.

77. Сошникова, JI.A. Многомерный статистический анализ в экономике / JI.A. Сошникова, В.Н. Тамашевич, Г. Уебе, М. Шефер. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999.-598 с.

78. Стратонович, Р.Л. Теория информации / Р.Л. Стратонович. - М.: Сов. радио, 1975.-424 с.

79. Сурмин, Ю.П. Теория систем и системный анализ: Учеб. пособие / Ю.П. Сурмин. - К.: МАУП, 2003. - 368 с.

80. Теория систем и системный анализ в управлении организациями. Справочник / Под. ред. Волковой В.Н., Емельянова A.A. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 848 с.

81. Трубецков, Д.И. Введение в теорию самоорганизации открытых систем / Д.И. Трубецков, Е.С. Мчедлова, Л.В. Красичков. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 200 с.

82. Тырсин, А.Н. Исследование свойств обобщенного метода наименьших модулей (на примере оценки параметра сдвига) / А.Н. Тырсин // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2007. - Т. 73, № 11. — С. 71-76.

83. Тырсин, А.Н. Математика. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / А.Н. Тырсин. - Челябинск: Челябинский государственный университет, 2007. - 209 с.

84. Тырсин, А.Н. Робастная параметрическая идентификация моделей диагностики на основе обобщенного метода наименьших модулей: автореферат дис. докт. техн. наук: 05.13.18 / Тырсин Александр Николаевич. - Челябинск, 2007. - 38 с.

85. Тырсин, А.Н. Робастное построение регрессионных зависимостей на основе обобщенного метода наименьших модулей / А.Н. Тырсин // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2005. - Т. 328. - С. 236-250.

86.Тырсин, А.Н. Алгоритм непараметрического оценивания индекса детерминации регрессионных зависимостей. [Электронный ресурс] / А.Н.

Тырсин, O.B. Ворфоломеева// Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2014. - Т. 21, вып. 5. - Режим доступа:

http://tvp.ru/conferen/vsppml 5/kibsol 65.pdf.

87. Тырсин, А.Н. Исследование динамики многомерных стохастических

систем на основе энтропийного моделирования / А.Н. Тырсин, О.В. Ворфоломеева // Информатика и ее применения. - 2013. - Т. 7, вып. 4. - С. 3-10.

88.Тырсин, А.Н. Мониторинг состояния стохастических систем на основе энтропийно-вероятностного моделирования / А.Н. Тырсин, О.В. Ворфоломеева // Информационные и математические технологии в науке и управлении: Труды XVIII Байкальской Всеросс. конф. Т.1. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2013. - С. 59-64.

89.Тырсин, А.Н. Мониторинг состояния экономических систем на основе анализа динамики энтропии / А.Н. Тырсин, О.В. Ворфоломеева // В книге: XIV апрельская международная научная конференция по проблемам развития экономики и общества. В четырех книгах. Отв. ред. Е.Г. Ясин. Кн.1. - М.: Издательский дом Высшей школы экономики, 2014. - С. 277— 283.

90.Тырсин, А.Н. Оценивание изменения энтропии многомерных стохастических систем / А.Н. Тырсин, О.В. Ворфоломеева // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2012. - Т. 19, вып. 5. — С. 753754.

91.Тырсин, А.Н. Повышение эффективности функционирования

стохастических систем на основе энтропийного моделирования / А.Н.

/

Тырсин, О.В. Ворфоломеева // Безопасность критичных инфраструктур и территорий: Материалы V Всеросс. конф. и XV школы молодых ученых. -Екатеринбург: УрО РАН, 2012. - С. 58-61.

92. Тырсин, А.Н. Энтропийное моделирование работы автотранспортного предприятия / А.Н. Тырсин, О.В. Ворфоломеева // Вестник ЮРГТУ (НПИ). Социально-экономические науки. -2011. -№ 3. - С. 145-150.

93. Тырсин, А.Н. Повышение точности оценки энтропии случайных экспериментальных данных / А.Н. Тырсин, И.А. Клявин // Системы управления и информационные технологии. - 2010. - № 1(39). - С. 87-90.

94.Тырсин, А.Н. Дифференциальная энтропия для однотипных распределений непрерывных случайных величин [Электронный ресурс] / А.Н. Тырсин, О.В. Лебедева (Ворфоломеева) // Материалы VI Международной научно-практической конференции «Отечественная наука в эпоху изменений: постулаты прошлого и теории нового времени». -Екатеринбург, 2014. - Режим доступа:

http://national-science.ru/nornera-zhurnalov.

95. Тырсин, А.Н. Оценивание линейных регрессионных уравнений с помощью метода наименьших модулей / А.Н. Тырсин, К.Е. Максимов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2012. - Т. 78, вып. 7. - С. 65-71.

96. Тырсин, А.Н. О математическом моделировании производственного травматизма на горнодобывающих предприятиях / А.Н. Тырсин, О.В. Незнанова // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2007. -Т. 14, вып. 2. - С. 357-358.

97. Тырсин, А.Н. Оценивание эмпирического корреляционного отношения многомерных регрессионных зависимостей / А.Н. Тырсин, Т.И. Овсянникова // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике. - Новочеркасск: ЮУРГТУ (НПИ), 2013. - С. 66-69.

98. Тырсин, А.Н. Энтропийно-вероятностное моделирование гауссовских стохастических систем / А.Н. Тырсин, И.С. Соколова // Математическое моделирование.-2012.-Т. 24, № 1.-С. 88-103.

99. Тырсин, А.Н. Развитие сложных систем на основе энтропийно-вероятностного моделирования / А.Н. Тырсин, И.С. Соколова, О.В.

Ворфоломеева // Безопасность критичных инфраструктур и территорий: Материалы IV Всеросс. конф. и XIV школы молодых ученых. -Екатеринбург: УрО РАН, 2011. - С. 72-74.

100. Тырсин, А.Н. Энтропийно-вероятностное моделирование макросистем / А.Н. Тырсин, И.С. Соколова, О.В. Ворфоломеева // Информационные и математические технологии в науке и управлении: Труды XVI Байкальской Всеросс. конф. Т.1. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2011.-С. 60-66.

101. Ферстер, Э. Методы корреляционного и регрессионного анализа / Э. Ферстер, Б. Ренц. - М.: Финансы и статистика, 1983. - 302 с.

102. Филлипов, А. В. История России, 1945-2008 гг.: кн. для учителя / A.B. Филлипов, А.И. Уткин, C.B. Алексеев. - М.: Просвещение, 2008. - 528 с.

103. Флейшман, Б.С. Основы системологии / Б.С. Флейшман. - М.: Радио и связь, 1982.-368 с.

/

104. Форрестер, Дж. Основы кибернетики предприятия (индустриальная динамика) / Дж. Форрестер. - М.: Прогресс, 1971. - 340 с.

105. Хардле, В. Прикладная непараметрическая регрессия / В. Хардле. -М.: Мир, 1993.-349 с.

106. Харман, Г. Современный факторный анализ / Г. Харман. - М.: Статистика, 1972. -486 с.

107. Хинчин, А.Я. Понятие энтропии в теории вероятностей / А.Я. Хинчин // Успехи математических наук. - 1953. - Т. 8, вып. 3(55). - С. 3-20.

108. Хьюбер, П. Робастность в статистике / П. Хьюбер. - М.: Мир, 1984. -

/

304 с. - -

109. Чернова, Т.В. Экономическая статистика: Учебное пособие / Т.В. Чернова. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999. - 140 с.

110. Чернышов, В.Н. Теория систем и системный анализ: Учебное пособие / В.Н. Чернышов, A.B. Чернышов. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2008. - 96 с.

111. Шамбадаль, П. Развитие и приложение понятия энтропии / П. Шамбадаль. - М.: Наука, 1967. - 280 с.

112. Шаповалов, В.И. Основы теории упорядоченности и самоорганизации

/

/ В.И. Шаповалов. - М.: Испо-Сервис, 2005. - 296 с.

113. Шеннон, Р. Имитационное моделирование систем — искусство и наука / Р. Шеннон. - М.: Мир, 1978. - 420 с.

114. Эйкхофф, П. Основы идентификации систем управления / П. Эйкхофф. - М.: Мир, 1975.-685 с.

115. Эконометрика: Учебник / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; под ред. И.И. Елисеевой. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 576 с.

116. Яшин, Д.А. Применение метода энтропийно-динамического

/

моделирования медико-биологических систем для анализа динамики основных измеримых факторов риска сердечно-сосудистых заболеваний в организованной популяции / Д.А. Яшин, О.В. Ворфоломеева // Врач-аспирант. - 2013. - № 3.1(58). - С. 225-232.

117. Bartlett, M.S. Statistical estimation of density functions / M.S. Bartlett // Sankhya. - 1963. - Series A. - № 25. - P. 245-254.

118. Cover, T.M. Elements of information theory / T.M. Cover, J.A. Thomas. -N.Y.: Wiley, 1991.-563 p.

119. Epanechnikov, V. Nonparametric estimates of a multivariate probability

/

density / V. Epanechnikov // Theory of Probability and its Applications. - 1969. -№ 14.-P. 153-158.

120. Gibbs, J.W. Elementary Principles in Statistic Mechanics, Developed with Especial Reference to the Rational Foundation of Thermodynamics / J.W. Gibbs. - N.Y.: Schribner, 1902. - 159 p.

121. Gray, R.M. Entropy and Information Theory / R.M. Gray. - Springer, 2011.-409 p.

122. Green, W.H. Econometric analysis / W.H. Green. - 7lh ed. - Prentice Hall, 2011.- 1230 p.

123. Kapur, J.N. Maximum-Entropy Models in Science and Engineering / J.N. Kapur. - Wiley Eastern Limited, 1989« - 635 p.

124. Mäher, D Действия в отношении неинфекционных болезней -уравновешивание приоритетов в области профилактики и лечения / D. Mäher, N. Ford // Бюллетень Всемирной организации здравоохранения. -2011. -№ 89.-С. 547-547А.

125. Michalowicz, J.V. Handbook of Differential Entropy / J.V. Michalowicz, J.M. Nichols, F. Bucholtz. -N.Y.: Chapman and Hall/CRC, 2013. - 244 p.

126. Nadaray, E.A. On estimating regression / E.A. Nadaray // Theory Prob.

Appl. - 1964.-№ 10.-P. 186-190

/

127. Parzen, E. On'estimation of a probability density and mode / E. Parzen // Annals of Mathematical Statistics. - 1962. - № 35. - P. 1065-1076.

128. Pena, D. Dimensionless measures of variability and dependence for multivariate continuous distributions / D. Pena, A. Van der Linde // Commun. Stat.: Theor. M., 2007. - Vol. 36. - Issue 10. - P. 1845-1854

129. Renyi, A. On Measures of Entropy and Information / A. Renyi // Proc. Fourth Berkeley Symposium. V.l. Berkeley, Calif.: University of California Press, 1961.-P. 547-561.

130. Rozenblatt, M. Remarks on some nonparametric estimates of a density

/

function / M. Rozenblatt // Annals of Mathematical Statistics. - 1956. - № 27. -P. 642-669.

131. Schmerling, S. Verfahren der Lokalen Approximation zur Nichtparametrischen Schätzung Unbekannter Stetiger Funktionen aus Meßdaten / S. Schmerling, J. Peil // Gegenbaurs morphologisches Jahrbuch Leipzig. - 1985. -№ 131. - P. 367-381.

132. Shannon, C.E. A Mathematical theory of Communication / C.E. Shannon // Bell Syst. J., Julay-Oct. - 1948. - Vol. 27. - P. 379-423, 623-656.

133. Watson, G.S. Smooth regression analysis / G.S. Watson // Sankhya. 1964. - Series A. - № 26. - P. 359-372.