Энтропийно-вероятностное моделирование сложных стохастических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Соколова, Ирина Сибагатулловна

• Соколова, Ирина Сибагатулловна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соколова, Ирина Сибагатулловна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Проблематика математического моделирования сложных систем

1.1. Ключевые моменты в определениях «сложная стохастическая система» и «модель сложной системы»

1.2. Обзор методов математического моделирования сложных систем

1.3. Энтропия в моделировании сложных систем

1.4. Основы и предпосылки развития энтропийно-вероятностного подхода

1.5. Выводы и результаты

ГЛАВА 2. Энтропийно-вероятностное моделирование

2.1. Формализация энтропийно-вероятностного подхода

2.2. Исследование энтропийно-вероятностной модели

2.3. Задачи управления системой на основе энтропийно-вероятностной модели

2.4. Выводы и результаты

ГЛАВА 3. Численная реализация задач управления системой на основе энтропийно-вероятностного подхода

3.1. Формирование системы

3.2. Задача максимизации энтропии системы

3.3. Задача минимизации энтропии системы

3.4. Задача изменения энтропии системы в сторону увеличения или уменьшения

3.5. Выводы и результаты

ГЛАВА 4. Методика энтропийного вероятностного моделирования и анализа на практических примерах

4.1. Моделирование системы, характеризующей безопасность производства

4.2. Моделирование макроэкономической системы на примере Российской Федерации

4.3. Моделирование системы, оказывающей влияние на численность населения Российской Федерации

4.4. Выводы и результаты

-ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы

Приложение 1. Справки об использовании результатов диссертационной

работы

Приложение 2. Свидетельства о регистрации электронных ресурсов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Энтропийно-вероятностное моделирование сложных стохастических систем»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. На сегодняшний день применение математического моделирования в научных исследованиях становится все более эффективным и распространенным. Его суть заключается в замене объекта его математической моделью и дальнейшем изучении модели [94, 134]. Крупный вклад в развитие теории математического моделирования внесли многие ученые [11, 21, 28, 48, 61, 62, 73, 74, 94, 97].

Сегодня предлагаются различные подходы моделирования систем, которые продолжают развиваться и совершенствоваться. Одним из направлений развития является моделирование сложных систем, характерными признаками которых являются неоднородность элементов и сложность связей. Вопросы математического моделирования сложных систем исследовались многими учеными, отметим работы [19, 27, 29, 37, 41, 42, 53, 78, 82, 84, 123, 134, 139, 138, 149, 153].

Актуальным направлением математического моделирования сложных систем является моделирование открытых систем с помощью энтропийных методов. В основе этих методов лежит использование энтропии в качестве критерия оценки функционирования системы. Это обусловлено тем, что энтропия - универсальный показатель, свойственный различным категориям социально-экономических, территориальных, биологических и других систем [27, 65, 88, 86, 160]. Энтропии, ее свойствам, соотношению энтропии и информации, ее роли и влиянию на сложные системы посвящено множество работ различных авторов [13, 16, 34, 43, 49, 61, 67, 95, 100, 118, 141, 146, 150, 152, 156, 157, 158].

Степень разработанности темы. Сегодня концепция энтропии широко применяется в моделировании [1, 2, 20, 23, 27, 31, 47, 60, 65, 66, 68, 73, 75, 81, 82, 86, 89, 101, 112, 115, 125, 126, 151, 159, 160].

Моделирование, базирующееся на энтропии, решает проблему неоднородности в системе. Неоднородность элементов сложной системы обусловлена тем, что они, как правило, содержат большое число разнородных

параметров, которые с разных точек зрения могут быть определены по-разному, и это создает трудности, когда необходимо выделить наиболее важный параметр для определения функционирования системы [121, 135]. Энтропия может оказаться тем самым единым параметром оценки~функционирования~системыт Однако, на сегодняшний день, энтропийное моделирование плохо формализовано и не позволяет сделать переход к общей формальной модели. Существующие методы не предоставляют общесистемные переменные и не описывают связность элементов системы.

Открытые системы, по своему определению, это системы, которые могут обмениваться с окружающей средой энергией, веществом и информацией. И социально-экономические системы, биосистемы и т.п. относятся именно к открытым системам [111]. Кроме того, такие системы являются стохастическими и самоорганизующимися [3, 119]. Вероятностные или стохастические системы -это системы, поведение которых описывается законами теории вероятностей. Для стохастической системы знание текущего состояния и особенностей взаимной связи элементов недостаточно для предсказания будущего поведения системы со всей определенностью [119]. Самоорганизующиеся системы - это системы, обладающие свойством адаптации к изменению условий внешней среды, способные изменять структуру при взаимодействии системы со средой, сохраняя при этом свойства целостности системы, способные формировать возможные варианты поведения и выбирать из них наилучшие [3].

Здесь будут рассматриваться стохастические, самоорганизующиеся, открытые системы. Они состоят из многих объектов, принимаемых за элементы структуры [56].

Важность роли энтропии в исследованиях открытых систем обусловлена возникновением физики открытых систем, которая была подготовлена выдающимися учеными: JI. Больцман, А. Пуанкаре, А. Ляпунов, и, биолог, Ч. Дарвин [55]. JI. Больцман ввел впервые статистическое определение энтропии, указал, что энтропия является мерой неупорядоченности и доказал знаменитую Н-теорему, согласно которой при временной эволюции к равновесному состоянию

энтропия замкнутой системы возрастает и остается неизменной при его достижении [16]. Л. Больцман был одним из первых, кто понимал, что теория эволюции Дарвина была первым шагом в теории эволюции открытых систем, он предвидел; что~энтропийные-исследования—в- области—открытых-систем—будут развиваться [55].

Как известно, эволюция - это процесс изменения, развития в природе и обществе. Вопросам эволюции открытых систем, влиянию энтропии на этот процесс немалое внимание уделяется в работах И.Р. Пригожина [75, 89, 87], Ю.Л. Климонтовича [55, 56, 57]. Суть работ в том, что процесс изменения открытых систем может вести либо к деградации, либо представлять собой процесс самоорганизации, при котором возникают более сложные и совершенные структуры.

В теории самоорганизации сложных систем, разработанной И.Р. Пригожиным, установлено, что в системах с нелинейным поведением (под нелинейным поведением понимается неоднозначная реакция системы на внешнее воздействие) происходит такое явление как бифуркация. И точка бифуркации представляет собой переломный, критический момент в развитии системы, в котором она осуществляет выбор пути. Суть этого явления заключается в следующем. Если по какой-либо причине текущее состояние системы окажется неустойчивым, то перед ней может возникнуть выбор из нескольких новых состояний — произойдет бифуркация [75,89, 125]. Например, для ученика, который только что окончил школу, предыдущее состояние «учеба в школе» становится неустойчивым, однако перед ним возникает широкий выбор новых состояний, т.е. возникает бифуркация [151]. И стоит отметить, что точки бифуркации могут провоцироваться изменением управляющего параметра системы [141], а изменение энтропии может вывести систему на новый уровень самоорганизации, т.к. может сформироваться новая более упорядоченная структура системы [89].

В работах Ю.Л. Климонтовича раскрывается, что нормальное функционирование организма, а также социальных и экономических систем,

возможно лишь при некоторой «норме хаотичности», и для открытых систем отклонения от нормы в ту или иную сторону могут означать «болезнь» системы и, следовательно, представлять собой процесс деградации. Далее, с помощью управляющих параметров~можно~контролировать-выбор-методики-«лечения»—И-если «лечение» приближает состояние открытой системе к норме, то имеет место процесс самоорганизации. А энтропия является тем самым макроскопическим параметром, отвечающим уровню хаотичности в системе [56].

Приведенные теории, описывающие связь энтропии и открытых систем демонстрируют, что для оказания управляющего воздействия на открытые системы актуальна задача нахождения инструмента, позволяющего увеличивать и уменьшать уровень энтропии системы в зависимости от преследуемых целей, так же необходимо определение параметров для оказания воздействия на систему. Кроме этого, на практике мы располагаем ограниченным количеством ресурсов для достижения управленческих целей, поэтому актуален вопрос оптимального использования имеющегося ресурса. На основе чего возникает необходимость построения математических моделей таких систем с учетом вышеизложенных проблем.

Для примера рассмотрим безопасность производственной системы горных предприятий. Современные предприятия для обеспечения долгосрочного устойчивого функционирования должны постоянно повышать безопасность производства [33, 40], поэтому одной из главных задач для таких предприятий является снижение травматизма [33, 71, 72]. Важным моментом здесь является то, что зачастую оказывается, что оценку и анализ безопасности труда на предприятии рациональнее осуществлять не на основе конечного уровня травматизма, а на основе группы факторов, отвечающих за организацию и соблюдение мер безопасности на предприятии [96, 128]. И именно энтропия способна объединить эти факторы с целью дальнейшего анализа и выбора методики воздействия на систему управления безопасностью труда на предприятии. Кроме того, закономерным является то, что процесс возникновения и развития опасной производственной ситуации характеризуется увеличением

энтропии в системе [71, 86], поэтому такие производственные системы могут требовать вмешательства с целью снижения энтропии и, соответственно, уровня травматизма на производстве. Как будет показано в главе 4, энтропийно-вероят-ное-т-ное—моделирование;—предлагаемое—в—данной—работе, позволяет анализировать и осуществлять такого рода вмешательство.

Целью работы является разработка и формализация энтропийно-вероятностного моделирования сложных стохастических систем, позволяющая получить математические модели и алгоритмы для эффективного управления такими системами.

Достижение данной цели предполагает решение следующих задач:

1. Разработать и теоретически обосновать энтропийно-вероятностный метод моделирования сложных стохастических систем. Метод должен иметь простую реализацию, выделять переменные, чувствительные к управляющему воздействию, и связи между элементами системы.

2. Исследовать энтропийно-вероятностную модель и на ее основе сформулировать задачи управления сложными стохастическими системами.

3. Разработать алгоритмы и программы для решения поставленных задач эффективного управления на основе разработанного метода.

4. Апробировать на примерах методику использования энтропийно-вероятностных моделей.

Объектом исследования являются стохастические, самоорганизующиеся, открытые системы.

Предметом исследования являются энтропийно-вероятностные модели.

Научная новизна заключается в следующем:

1. В области разработки новых математических методов моделирования объектов и явлений:

а) Разработан энтропийно-вероятностный метод - новый метод построения математических моделей сложных систем.

2. В области разработки, исследования и обоснования математических объектов:

a) Установлено, что целесообразно рассмотрение энтропии системы как двухкомпонентного вектора, где первая компонента характеризует аддитивность системы, вторая - ее целостность.

b) "Предложены переменные для управляющего—воздействия—на—систему :-дисперсии ее элементов и корреляционные связи между ними.

c) Предложена концепция «точек роста» системы. Выявлено, что в системах существуют «точки роста» — особо чувствительные к воздействию элементы системы.

с!) Сформулированы задачи эффективного управления системами с целью увеличения и уменьшения энтропии систем и доказаны теоремы о решениях поставленных задач.

3. В области разработки, обоснования и тестирования эффективных численных методов с применением ЭВМ:

а) Исследованы алгоритмы решения задач эффективного управления системами на основе энтропийно-вероятностных моделей и установлено, что комплексный метод Бокса эффективнее, чем методы различных штрафов для решения задач максимизации энтропии системы. Предложен алгоритм реализации уменьшения и увеличения энтропии на основе корреляционной матрицы системы любой размерности.

4. В области реализации эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента:

а) Разработан и зарегистрирован комплекс программ для решения задач эффективного распределения ресурсов в системе с целью увеличения или уменьшения энтропии системы на основе энтропийно-вероятностных моделей. Теоретическая значимость:

1. Разработан энтропийно-вероятностный метод - новый метод моделирования сложных стохастических систем. Он заключается в представлении сложной системы в виде многомерного нормально распределенного случайного

вектора и рассмотрении энтропии системы в качестве единого критерия оценки ее функционирования. Метод формализован, универсален в применении.

2. Построена математическая модель системы, характеризующая две стороны системы: аддитивность и целостность.

Практическая значимость:

1. Предложенная модель проста для практической реализации, описывает элементы системы и связи между ними.

2. Сформулированы задачи эффективного управления системой с целью увеличения и уменьшения ее энтропии. Доказаны теоремы о решениях этих задач.

3. Приведены практические примеры, демонстрирующие методику использования энтропийно-вероятностной модели.

4. Разработаны алгоритмы и программы для эффективного управления системой на основе энтропийно-вероятностного моделирования.

Методология и методы исследования. Для решения поставленных задач и доказательства сформулированных утверждений применялись методы теории вероятностей и математической статистики, многомерного статистического анализа, математического анализа, выпуклого анализа, системного анализа, математического моделирования, оптимизации и численные методы. При исследовании алгоритмов для решения задач управления системами использовался метод статистических испытаний. Качество математических моделей подтверждалось примерами их использования.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Разработан энтропийно-вероятностный метод - новый метод построения математических моделей сложных систем. Предложена энтропийно-вероятностная модель для описания многомерных стохастических систем, выделяющая переменные для оказания управляющего воздействия на систему.

2. Установлена двухкомпонентность энтропии системы, первая компонента которой характеризует аддитивность системы, вторая - ее целостность.

3. Сформулированы задачи эффективного управления сложными системами на основе энтропийно-вероятностной модели и доказаны теоремы о решениях сформулированных задач. Предложена концепция «точек роста» в системе.

4т"Предложены алгоритмы и программы-решения-задач- эффектавного управления сложными системами на основе энтропийно-вероятностного моделирования.

Степень достоверности результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью постановки задач, корректным использованием математического аппарата, адекватностью разработанных моделей. Полученные в работе исследовательские результаты согласуются с результатами других авторов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2010), XIII Всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем» (Красноярск, 2010), XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2010), 33-ей Международной научной школе-семинаре «Системное моделирование социально-экономических процессов» (Звенигород, 2010), IV и V Всероссийской научно-технической конференции «Безопасность критичных инфраструктур и территорий» (Екатеринбург, 2011, 2012) , XVI Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (Иркутск, 2011).

Результаты работы обсуждались на научных семинарах кафедры теории управления и оптимизации Челябинского государственного университета (Челябинск, 2011-2012), НИЦ «Надежность и ресурс больших систем и машин» УрО РАН (Екатеринбург, 2011-2012) и Центра экономической безопасности Института экономики УрО РАН (Екатеринбург, 2012).

Комплекс программ, предназначенный для эффективного распределения ресурсов в системе на основе энтропийно-вероятностного подхода,

зарегистрирован в Объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» при Российской Академии Образования (ОФЭРНиО).

Работа выполнялась в соответствии с планами научно-исследовательских работ—по—гранту РФФИ 10-01-96013 -рЗфал_а, по проектам Программ междисциплинарных фундаментальных исследований (междисциплинарные проекты) УрО РАН № 09-М-12-2001, № 12-М-127-2049.

Положения и выводы диссертационной работы, а также разработанный комплекс программ использованы в ООО «Прикладные технологии» и Научно-инженерном центре «Надежность и ресурс больших систем и машин» УрО РАН для моделирования и управления многомерными стохастическими системами (подтверждено справками).

Публикации. Содержание работы отражено в 15 печатных работах, в том числе в 6 публикациях в журналах и изданиях, включенных в перечень ВАК для кандидатских диссертаций (из них - 5 статей), и комплексе программ, зарегистрированных в Объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» при Российской Академии Образования.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения в виде основных результатов, библиографического списка из 163 наименования. Основной текст работы изложен на 116 страницах, включая 9 рисунков и 20 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Соколова, Ирина Сибагатулловна

4.4. Выводы и результаты

1. Использование факторного анализа в ходе моделирования позволяет сократить размерность исходной системы и объединить коррелированные компоненты системы.

2. Приведенные примеры демонстрируют универсальность применения энтропийно-вероятностного подхода, что значительно расширяет круг моделируемых систем.

3. Единый критерий эффективности управления системой, в виде показателя уровня ее энтропии, обеспечивает возможность практического анализа состояния системы и выбор пути воздействия на нее.

115

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итоги исследования:

- - -1. Разработан энтропийно-вероятностный метод - новый- метод-моделирования сложных стохастических систем. Метод формализован, решает проблему неоднородности элементов системы, явно выделяет переменные для воздействия на систему, позволяя осуществлять эффективное управление сложными системами.

2. Предложена концепция «точек роста» системы.

3. На основе энтропийно-вероятностного метода сформулированы задачи эффективного управления сложными системами, теоремы о решениях которых доказаны.

4. Сформулирована и доказана теорема, демонстрирующая двойственность энтропии. Установлено, что энтропийно-вероятностная модель описывает две главные составляющие системы: ее целостность и аддитивность.

5. На основе анализа известных численных методов решения экстремальных задач предложены алгоритмы решения сформулированных задач эффективного управления системами. Установлено, что комплексный метод Бокса эффективнее методов штрафов для задач максимизации энтропии системы. Предложен алгоритм реализации уменьшения и увеличения энтропии на основе корреляционной матрицы системы. Разработан комплекс программ для осуществления эффективного управления системами.

6. Методика анализа и управления системой на основе энтропийно-вероятностной модели апробирована на практических примерах.

Рекомендации и перспективы дальнейшей разработки темы:

В качестве дальнейшего развития исследуемой темы можно рекомендовать: построение энтропийно-вероятностных моделей систем с другими законами распределения (это позволит учесть случай, когда аппроксимация случайного вектора в виде совместного нормального распределения приводит к значительному снижению точности вычисления энтропии); построение энтропийно-вероятностных моделей динамики систем (это позволит решать задачи мониторинга состояния систем).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соколова, Ирина Сибагатулловна, 2013 год

Список литературы

1. Абаимов, С.Г. Статистическая физика сложных систем: От фракталов до скейлинг поведения / С.Г. Абаимов. - М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2012. -392 с.

2. Абрамов, А.Б. Моделирование и территориальное стратегическое планирование для Дальнего Востока России / А.Б. Абрамов, A.C. Величко, Д.В. Давыдов, В.Н. Достовалов // Стратегии развития регионов Дальнего Востока России.-М.: 1995. - С.35^18.

3. Антонов, A.B. Системный анализ: Учебник для вузов / A.B. Антонов. - М.: Высш. шк., 2004.-454 с.

4. Анфилов, B.C. Системный анализ в управлении: Учебное пособие / B.C. Анфилов, A.A. Емельянов, A.A. Кукушкин. М.: Финансы и статистика, 2003. -368 с.

5. Ашихмин, В.Н. Введение в математическое моделирование. Учебное пособие / В.Н. Ашихмин и др; под ред. П.В.Трусова. - М.: Логос, 2005. - 440 с.

6. Базара, М. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы / М. Базара, К. Шетти. - М.: Мир, 1982. - 583 с.

7. Банди, Б. Методы оптимизации. Вводный курс / Б. Банди; пер. с англ. под ред. Волынского В.А. - М.: Радио и связь, 1988. - 143 с

8. Барсенков, А. С. История России. 1917-2007 / А. С. Барсенков, А. И. Вдовин. - М.: Аспект Пресс, 2008. - 772 с.

9. Бартоломью, Д. Стохастические модели социальных процессов / Д. Бартоломью; под ред. О.В. Староверова. - М.: Финансы и статистика, 1985. -296 с.

10. Бекман, И.Н. Курс лекций [Электронный ресурс]. - Профессор МГУ И.Н. Бекман, доктор химических наук. - Режим доступа:

http://profbeckman.narod.ru/InformLekc.htm.

11. Беллман, Р. Прикладные задачи динамического программирования / Р. Беллман, С. Дрейфус. -М.: Наука. Физматлит, 1965. -460 с.

12. Бертсекас, Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа / Д. Бертсекас-М._: Радио и_свя_зь, 1987. - 400 с. ____. _______

13. Биллингслей, П. Эргодическая теория и информация / П. Биллингслей. -М.:Мир, 1969.-239 с.

14. Бир, С. Мозг фирмы / С. Бир. - М.: Радио и связь, 1993. - 416 с.

15. Бирюков, В.А. Экономика. Курс лекций [Электронный ресурс] / В.А. Бирюков, А.Ф. Зверев, М.А. Игнацкая, В.А. Исаев, Н.П. Карпусь, Д.В. Кузьмин, А.И. Динкевич, Л.Н. Федякина. // Электронный учебник учебного портала РУДН. - 2005. - 382 с. Режим доступа:

http://www.ido.rudn.ru/ffec/econ/ec7.html.

16. Больцман, Л. Избранные труды / Л. Больцман. - М.: Наука, 1984. - 590 с.

17. Бондаренко, Ю.Г. Всеобщие законы мироздания / Ю.Г. Бондаренко. - М.: Новый Центр, 2002. - 567 с.

18. Борисов, В. А. Демография / В.А. Борисов. - М.: Издательский дом NOTABENE, 1999, 2001. - 272 с.

19. Бурков, В.Н. Большие системы: моделирование организационных механизмов / В.Н. Бурков, Б. Данев, А.К. Еналеев и др. - М.: Наука, 1989. - 245 с.

20. Быстрай, Г.П. Термодинамика необратимых процессов в открытых системах / Г.П. Быстрай. - М. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2011. -264 с.

21. Вапник, В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным / В.Н. Вапник. М.: Наука. Физматлит, 1979. - 448 с.

22. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. - 2-е изд. - М.: Наука: ФИЗМАТЛИТ, 1988. - 552 с.

23. Величко, A.C. Интервальная энтропийная модель межрегионального производственного баланса / A.C. Величко, Д.В. Давыдов // Пространственная экономика. - 2009. - № 3. - С. 20-35.

24. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов / Е.С. Вентцель. - 6-е изд. - М.: Высшая школа, 1999. - 576 с.

25. Веревкин, А.П. Теория систем. Учебное пособие / А.П. Веревкин, О.В.Кирюшин. - Уфа: Изд-во УГНТУ, 2003. - 100 с.

26. Вернер, М. Основы кодирования. Учебник для ВУЗов / М. Вернер. -Техносфера, 2004. - 288 с.

27. Вильсон, А.Д. Энтропийные методы моделирования сложных систем / А.Д. Вильсон. - М.: Наука, 1978. - 248 с.

28. Винер, Н. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине / Н. Винер. - М.: Наука, 1983. - 343 с.

29. Волкова, В.Н. Основы теории систем и системного анализа: Учебник / В.Н. Волкова, A.A. Денисов. - СПб: Изд-во СПбГТУ, 1999. - 512 с.

30. Гилл, Ф. Практическая оптимизация / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. - М.: Мир, 1982.-583 с.

31. Гленсдорф, П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций / П. Гленсдорф, И.М. Пригожин. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 280с.

32. Гольдштейн, Г.Я. О несистемности общей теории систем / Г.Я. Гольдштейн // Известия ТРТУ. - 2004. - № 4(39). - С. 71-75.

33. Гусев, А.И. Модель интеграции системы управления промышленной безопасностью в общую систему управления горнодобывающего предприятия / А.И. Гусев, М.Н. Ковалев, И.С. Хамидуллина(Соколова) // Известия высших учебных заведений. Горный журнал. - 2009. - № 4. - С. 61-64.

34. Де Гроот, С. Неравновесная термодинамика / С. Де Гроот, П. Мазур. -М.:Мир, 1964.-456 с.

35. Доклад об экономике России // Всемирный банк. - 2009. - № 18.-32 с.

36. Дроздов, Н.Д. Основы системного анализа: Учебное пособие / Н.Д. Дроздов. - Тверь: Тверской государственный университет, 2002. —90с.

37. Дружинин, В.В. Проблемы системологии: Проблемы теории сложных систем / В.В. Дружинин, Д.С. Конторов. - М.: Советское радио, 1976. - 296 с.

38. Думная, H.H. Макроэкономика. Теория и российская практика: Учебник / H.H. Думная, А.Г. Грязнова; под ред. А.Г. Грязновой, H.H. Думной. - М.: КНОРУС, 2004. - 608 с.

39. Ермаков, ___C._M.__ Статистическое моделирование / С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов. - 2-е изд. - М.: Наука: ФИЗМАТ ЛИТ, 1982. - 296 с.

40. Жизнеспособность предприятия: эффективность и безопасность: Аналитическая записка по материалам семинара, проведенного 10-15 апр. 2000 г. в г. Бакал, Челябинской обл. / ОАО «Бакальские рудники», НТЦ-НИИОГР. -Челябинск, 2000. - 46 с.

41. Загоруйко, Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний / Н.Г. Загоруйко. - Новосибирск.: Изд-во Ин-та математики, 1999. - 270 с.

42. Заде, JI. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений / JT. Заде // Математика сегодня: Сб. переводных статей. - М.:, 1974.-С. 5—48.

43. Заковоротная, М. В. О философских проблемах управления социальными системами: состояние вопроса и перспективы / М. В. Заковоротная; под ред. А. А. Колесникова // Синергетика и проблемы теории управления. - М.: Физматлит, 2004.-С. 465-481.

44. Зиновьев, A.A. Основы логической теории научных знаний / A.A. Зиновьев. -М.: Наука, 1967.-261 с.

45. Иберла К. Факторный анализ / Иберла К.; пер. с нем. В. М. Ивановой; предисловие А. М. Дуброва. - М.: Статистика, 1980. - 398 с.

46. Исследования по общей теории систем: Сборник переводов / под общ. ред. В. Н. Садовского, Э. Г. Юдина. - М.: Прогресс, 1969. - 520 с.

47. Кадомцев, Б.Б. Динамика и информация / Б. Б. Кадомцев. - М.: Редакция журнала "Успехи физических наук", 1999. - 394 с.

48. Калман, Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 400 с.

49. Карно, С. Второе начало термодинамики / С. Карно, У. Томсон, Р. Клаузиус, JI. Больцман, М.М. Смолуховский. - Ленинград.: ГТТИ, 1934. -312 с.

50. Кибзун, А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами / А.И. Кибзун, Е.Р. Горяинова, А.В. Наумов - 2-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 232 с.

51. Ким, О. Дж. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ / О. Дж. Ким, Ч.У. Мьюллер, У.Р. Клекка, и др.; под. ред. И. С. Енюкова. - М.: «Финансы и статистика», 1989.-215 с.

52. Клейнер, Г.Б. Системное моделирование микроэкономических объектов / Г.Б. Клейнер // Системный анализ в экономике: Сб. науч. тр. - Таганрог.: Изд-во ТРТУ, 2001.-С. 186-203.

53. Клейнер, Г.Б. Эконометрические зависимости: принципы и методы построения / Г.Б. Клейнер, С.А. Смоляк. - М.: Наука, 2003. - 104 с.

54. Клепач, А. Экономика России в мае обвалилась на 11 процентов [Электронный ресурс] / А. Клепач // Lenta.ru. - 2010, 30 марта. - Режим доступа:

http://lenta.ru/news/2009/06/23/gdp/.

55. Климонтович, Ю.Л. Введение в физику открытых систем / Ю.Л. Климонтович // Соровский образовательный журнал. - 1996. - № 8. - С. 109-116.

56. Климонтович, Ю.Л. Введение в физику открытых систем / Ю.Л. Климонтович. - М.: Янус-К, 2002. - 284 с.

57. Климонтович, Ю.Л. Критерии относительной степени упорядоченности открытых систем / Ю.Л. Климонтович // Успехи физ. наук. - 1996. - Т. 166. - № 11.-С.1231.

58. Климонтович, Ю.Л. Статистическая физика / Ю.Л. Климонтович. — М.: Наука, 1982.-608 с.

59. Кобзарь, А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников / А.И. Кобзарь. - М: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 816 с.

60. Кобозев, И.И. Исследование в области термодинамики, процессов, информации и мышления / И.И. Кобозев. - М.: Изд-во МГУ, 1971.-85 с.

61. Колмогоров, А.Н. Комбинаторные основания теории информации / А.Н. Колмогоров //Успехи математических наук. - 1983. - Т. 38.-№4.-С. 27-36.

62. Краснощеков, П.С. Принципы построения моделей / П.С. Краснощекое, A.A. Петров. - М.: Фазис, 2000. - 412 с.

63. Кузюрин H.H. Эффективные алгоритмы и сложность вычислений / Н.Н Кузюрин, С.А. Фомин. - М.: МФТИ, 2007,- 326с.

64. Кулагина, Г.Д. Макроэкономическая статистика / Г.Д. Кулагина. - М.: МЭСИ, 2001.- 140 с.

65. Левич, А.П. Энтропия как мера структурированности сложных систем / А.П. Левич // Труды семинара "Время, хаос и математические проблемы". Вып.2. - М.: Книжный дом "Университет", 2001. - С. 163-176.

66. Малинецкий, Г.Г. Математические основы синергетики: Хаос, структуры, вычислительный эксперимент / Г.Г. Малинецкий. - изд-е 6. М: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2009. - 312 с.

67. Мартин, Н. Математическая теория энтропии / Н. Мартин, Дж. Ингленд; пер. с англ. - М.: Мир, 1988. - 350 с.

68. Мартюшев, Л.М. Развитие экосистем и современная термодинамика / Л.М. Мартюшев, Е.М. Сальникова. - М. - Ижевск: ИКИ, 2004. - 80 с.

69. Матвеева, Т.Ю. Введение в макроэкономику / Т.Ю. Матвеева. - 5-е изд., испр. - М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2007. - 511 с.

70. Медков, В. М. Демография: Учебное пособие. Серия «Учебники и учебные пособия» / В.М. Медков. — Ростов-на-Дону: «Феникс», 2002. - 448 с.

71. Могилат, В.Л. Обеспечение эффективного управления промышленной безопасностью горных предприятий путем целенаправленного формирования информационных потоков: автореферат дис. докт. техн. наук: 05.26.03 / Могилат Виталий Лазаревич. - М., 2006. -38 с.

72. Могилат, В.Л. Математическое моделирование зависимости травматизма от компетентности и информированности персонала на горнодобывающих предприятиях / В.Л. Могилат, А.Н. Тырсин // Известия вузов. Горный журнал. -2006,-№2.-С. 77-81.

73. Моисеев, H.H. Математические задачи системного анализа / H.H. Моисеев. -М.: Наука, 1981.-487 с.

74. Налимов, B.B. Теория эксперимента / B.B. Налимов. - М.: Наука, 1971. -215 с.

75. Николис, Г. Самоорганизация в неравновесных системах: от диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации / Г.Николис, И. Пригожин. - М.: Мир, 1979.-512 с.

76. Окунь, Ян. Факторный анализ: Пер. с польск / Ян Окунь. - М.: Статистика, 1974.-200 с.

77. Пантелеев, A.B. Методы оптимизации в примерах и задачах / A.B. Пантелеев, Т.А. Летова. - М.: Высш. шк., 2005. - 544 с.

78. Перегудов Ф.И. Введение в системный анализ / Ф.И. Перегудов, Ф.П. Тарасенко. - М.: Высшая школа, 1989. - 367 с.

79. Печинкин, A.B. Теория вероятностей: Учебник для вузов / A.B. Печинкин, О.И. Тескин, Г.М. Цветкова и др. -. 3-е изд., испр; под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 456 с.

80. Поляк, Б.Т. Введение в оптимизацию / Б.Т. Поляк. - М.: Наука, 1983. - 384 с.

81. Попков, Ю.С. Макросистемные модели пространственной экономики / Ю.С. Попков. - М.: КомКнига, 2008. - 240 с.

82. Попков, Ю.С. Теория макросистем: равновесные модели / Ю.С. Попков. - М.: УРСС, 1999.-320 с.

83. Прангишвили, И. В. Поиск подходов к решению проблем. Серия «Информатизация России на пороге XXI века» / И.В. Прангишвили, H.A. Абрамова и др. - М.: СИНТЕГ, 1999. - 284 с.

84. Прангишвили, И.В. Системные законы и закономерности в электродинамике, природе и обществе / И.В. Прангишвили, Ф.Ф. Пащенко, Б.П. Бусыгин. - М.: Наука, 2001.-525 с.

85. Прангишвили, И.В. Системный подход и общесистемные закономерности. Серия «Системы и проблемы управления» / И.В. Прангишвили - М.: СИНТЕГ, 2000.-528 с.

86. Прангишвили, И.В. Энтропийные и другие системные закономерности: Вопросы управления сложными системами / И.В. Прангишвили. - М.: Наука, 2003.-428 с.

87. Пригожин, И. От существующего к возникающему: время и сложность в физических науках / И. Пригожин. - М.: Наука, 1985. - 328 с.

88. Пригожин, И. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур / И. Пригожин, Д. Кондепуди. - М.: Мир, 2002. - 461 с.

89. Пригожин, И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой: Пер. с англ. / И. Пригожин, И. Стенгерс; общ. ред. В. И. Аршинова, Ю. JT. Климонтовича, Ю. В. Сачкова. - М.: Прогресс, 1986. - 432 с.

90. Пригожин, И.Р. Время, структура и флуктуации / И.Р. Пригожин // Успехи физических наук. -М.: Наука, 1980. -Т. 131. - вып. 2. - С. 185-207.

91. Пугачев, B.C. Теория вероятностей и математическая статистика / B.C. Пугачев. - 2-е изд. - М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2002. - 496 с.

92. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ: пер. с англ. / Р. Рокафеллар. - М.: Мир, 1973.-472 с.

93. Салин, В.Н. Социально-экономическая статистика / В.Н. Салин, Е.П. Шпаковская. - М.: Юристъ, 2001. - 461 с.

94. Самарский, A.A. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / A.A. Самарский, А.П. Михайлов. - М.: Наука. Физматлит, 2001. - 320 с.

95. Седов, Е.А. Одна формула и весь мир. Книга об энтропии / Е.А. Седов. - М.: Знание, 1982. - 176 с.

96. Седова, О.С. Снижение производственного травматизма на основе управления организационными рисками на угольных шахтах / О.С. Седова // Горный информационно-аналитический бюллетень. 2007. - Т. 4. — № 1. - С. 245-253

97. Сейдж, Э.П. Идентификация систем управления / Э.П. Сейдж, Дж.Л. Меле. -М.: Наука, 1974.-246 с.

98. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: учебное пособие для вузов. Т II Термодинамика и молекулярная физика / Д.В. Сивухин. - 3-е изд., стер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 576 с.

99. Сйгорскйй; В;П. Матрицы и графы в электронике-./_ В.П. Сигорский. - М.: Энергия, 1968.- 178 с.

100. Синай, Я.Г. Введение в эргодическую теорию / Я.Г. Синай. - М.:ФАЗИС, 1996.- 144 с.

101. Скоробогатов, С.М. Катастрофы и живучесть железобетонных сооружений (классификация и элементы теории) / С.М. Скоробогатов. - Екатеринбург.: УрГУПС, 2009.-512 с.

102. Смоляк, С.А. Устойчивые методы оценивания / С.А. Смоляк, Б.П. Титаренко. - М.: Статистика, 1980. - 208 с.

103. Соколова, И.С. Задача эффективного управления сложной системой на основе энтропийно-вероятностного подхода / И.С. Соколова, А.Н. Тырсин; под ред. Слабко В.В.; отв. за вып. Садовская Г.М. // Моделирование неравновесных систем. Материалы тринадцатого всероссийского семинара. - Красноярск, Сибирский Федеральный университет. - 2010. - С. 169-173.

104. Соколова, И.С. Использование энтропийно-вероятностного моделирования в задачах мониторинга и управления сложными системами / И.С. Соколова, А.Н. Тырсин // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — 2012. — №4.-С. 35-39.

105. Соколова, И.С. Исследование сложной макросистемы на основе энтропийно-вероятностного моделирования / И.С. Соколова, А.Н. Тырсин // Безопасность критичных инфраструктур и территорий: Материалы V Всеросс. конф. и XV школы молодых ученых. - Екатеринбург: УрО РАН, 2012. - С. 171-173.

106. Соколова, И.С. Исследование социально-экономических систем на основе энтропийно-вероятностной модели / И.С. Соколова, А.Н. Тырсин // Вестник Челябинского государственного университета. Экономика. - 2012. - № 24. - С. 43-47.

107. Соколова, И.С. Комплекс программ для решения задачи эффективного распределения ресурсов в системе на основе энтропийно-вероятностного подхода. №18021. [Электронный ресурс] / И.С. Соколова // Хроники ОФЭРНиО. - 2012. -№03 (34). — С. 15-16. Режим доступа: --

http://ofernio.rU/portal/newspaper/ofernio/2012/3.doc

108. Соколова, И.С. О минимизации энтропии многомерной гауссовской системы / И.С. Соколова, А.Н. Тырсин // Безопасность критичных инфраструктур и территорий: Материалы V Всеросс. конф. и XV школы молодых ученых. -Екатеринбург:. УрО РАН, 2012. С. 174-176.

109. Соколова, И.С. Об энтропийно-вероятностном моделировании сложных систем / И.С. Соколова, А.Н. Тырсин // Обозрение прикладной и промышленной математики.-2011.-Т. 18. - № 1. - С. 185.

110. Соколова, И.С. Программа для решения задачи эффективного распределения ресурсов в системе на основе энтропийно-вероятностного подхода. №17418. [Электронный ресурс] / И.С. Соколова // Хроники ОФЭРНиО. - 2011. - №9 (28). -С. 8-9. Режим доступа:

http://ofernio.ru/portal/newspaper/ofernio/2011/9.doc

111. Соловьев, B.C. Теория социальных систем: Монография: в 3 т. Том 1. Теория организации социальных систем / B.C. Соловьев. - Новосибирск, 2005. - 480 с.

112. Соловьев, Ю.Л. Энтропийные методы оценки программ развития города [Электронный ресурс] / Ю.Л. Соловьев. // Электронное научное издание "Вестник кибернетики". ИПОС СО РАН. - 2003. - № 2. - Режим доступа:

http://www.ipdn.ru/rics/docl/OD/2-sol.htm

113. Соловьев, Ю.Л. Энтропийные методы оценки устойчивости. / Ю.Л. Соловьев. // Вестник кибернетики. Вып.1. - Тюмень: Издательство ИПОС СО РАН, 2002 .

114. Сочнев, C.B. Аспекты использования информационного подхода для управления компанией / C.B. Сочнев // Труды международного конгресса по управлению проектами Совнет'99. -М., 1999.

115.Сочнев, C.B. Механизмы, модели и технологии корпоративного управления: автореферат дис. докт. техн. наук: 05.13.10 / Сочнев Сергей Васильевич - М.: ИЛУ РАН, 2001.

116. Сошникова, Л.А. Многомерный статистический „анализ в экономике / Л.А. Сошникова, В.Н. Тамашевич, Г. Уебе, М. Шефер. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. -598 с.

117. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / B.C. Королюк, Н.И. Портенко, A.B. Скороход, А.Ф. Турбин. - М.: Наука. Физматлит, 1985.-640 с.

118. Стратонович, Р.Л. Теория информации / Р.Л. Стратонович. - М.:Сов. радио, 1975.-424 с.

119.Сурмин, Ю. П. Теория систем и системный анализ: Учеб. Пособие / Ю.П. Сурмин. - К.: МАУП, 2003. - 368 с.

120. Тарасевич, Л.С. Макроэкономика / Л.С. Тарасевич, П.И. Гребенников, А.И. Леусский. - 6-е изд., испр. и доп. - М.: Высшее образование, 2006. - 654 с.

121. Тарасенко, Ф.П. Прикладной системный анализ: Учебник / Ф.П. Тарасенко. -Томск.: Издательство Томского университета, 2004. - 182 с.

122. Теория систем и системный анализ в управлении организациями. Справочник / Под ред. Волковой В.Н., Емельянова A.A. - М.: Финансы и статистика, 2006. -848 с.

123. Технология системного моделирования / Под общ. ред. C.B. Емельянова, В.В. Калашникова, М. Франка. - М.: Машиностроение, 1988. - 520 с.

124.Тимашев, С. А. Энтропийно-вероятностное моделирование в задаче повышения безопасности систем критичных инфраструктур / С.А. Тимашев, А.Н. Тырсин, И.С. Соколова // Проблемы безопасности и чрезвычайных ситуаций. -2011.-№ 1.-С. 13-20.

125. Трубецков, Д.И. Введение в теорию самоорганизации открытых систем / Д.И. Трубецков, Е.С. Мчедлова, Л.В. Красичков. - М.: Физматлит, 2002. - 200 с.

126. Тырсин, А.Н. Робастная параметрическая идентификация моделей диагностики на основе обощенного метода наименьших модулей: автореферат

дис. докт. техн. наук: 05.13.18 / Тырсин Александр Николаевич. - Челябинск, 2007.-38 с.

127. Тырсин, А.Н. Повышение точности оценки энтропии случайных экспериментальных данных / А.Н. Тырсин, H.A. Клявин // Системы управления и информационные технологии. - 2010. -№ 1(39). - С. 87-90.

128. Тырсин, А.Н. О математическом моделировании производственного травматизма на горнодобывающих предприятиях / А.Н. Тырсин, О.В. Незнанова // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2007. -Т. 14. - В. 2. -С. 357-358.

129. Тырсин, А.Н. Задача максимизации энтропии многомерной случайной величины / А.Н. Тырсин, И.С. Соколова // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010. - Т. 17 - № 5. - С. 779.

130. Тырсин, А.Н. Повышение эффективности управления социально-экономическими системами на основе энтропийно-вероятностного подхода / А.Н. Тырсин, И.С. Соколова // Системное моделирование социально-экономических процессов. Сборник трудов школы семинара. XXXIII заседание. - 2010. - С. 304-305.

131. Тырсин, А.Н. Энтропийно-вероятностное моделирование гауссовских стохастических систем / А.Н. Тырсин, И.С. Соколова // Математическое моделирование. 2012.-Т. 24.-№1.-С. 88-103.

132. Тырсин, А.Н. Развитие сложных систем на основе энтропийно-вероятностного моделирования / А.Н. Тырсин, И.С. Соколова, О.В. Ворфоломеева // Безопасность критичных инфраструктур и территорий: Материалы IV Всероссийского научно-технической конференции. - 2011. - С. 72-74.

133. Тырсин, А.Н Энтропийно-вероятностное моделирование макросистем / А.Н. Тырсин, И.С. Соколова, О.В. Ворфоломеева // Информационные и математические технологии в науке и управлении. Труды XVI Байкальской Всероссийской конференции. - 2011. - Т. 1. - С. 60-65

134. Тюхтин, B.C. Отражения, системы, кибернетика / B.C. Тюхтин. - М.: Наука, 1972.-256 с.

135. Федулов, А.Г. Введение в теорию статистически ненадежных решений / А.Г. Федулов, Ю.Г. Федулов, В.Н. Цыгичко. - 2-е изд. - М.: КомКнига, 2007. - 280 с.

136. Филиппов, A.B. История России, 1945-2008 гг.: кн. для учителя / A.B. Филиппов, А.И. -Уткин, С.В. Алексеев. - М.: Просвещение, 2008. - 528 с.

137. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в ' 3 т. Т.1 / Г.М. Фихтенгольц. - 7-е изд. -М.: Наука, 1969. - 608 с.

138. Флейшман, Б.С. Основы системологии / Б.С. Флейшман. - М.: Радио и связь, 1982.-368 с.

139. Форрестер, Дж. Основы кибернетики предприятия (индустриальная динамика) / Дж. Форрестер. - М.: Прогресс, 1971. - 340 с.

140. Хазен, A.M. Принцип максимума производства энтропии и движущая сила прогрессивной биологической эволюции / A.M. Хазен // Биофизика. 1993. - Т. 38. -№ 3. - С. 531-551.

141. Хакен, Г. Информация и самоорганизация / Г. Хакен. - М.: КомКнига, 2005. -248 с.

142. Хакен, Г. Синергетика / Г. Хакен. - М.: Мир, 1980. - 405 с.

143. Харман, Г. Современный факторный анализ / Г. Харман. - М.: Статистика, 1972.-486 с.

144. Хачатуров, С.Е. Организация производственных систем / С.Е. Хачатуров. -Тула.: Издательство «Шар», 1999. - 202 с.

145. Химмельблау, Д. Прикладное нелинейное программирование / Д. Химмельблау. - М.: Мир, 1975. - 536 с.

146. Хинчин, А.Я. Понятие энтропии в теории вероятностей / А.Я. Хинчин // Успехи математических наук. - 1953. - Т.8. - Выпуск 3(55). - С. 3-20

147. Хорн, Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. - М.: Мир, 1989. - 655 с.

148. Чернышов, В.Н. Теория систем и системный анализ: учебное пособие / В.Н. Чернышев, A.B. Чернышов. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2008. - 96 с.

149. Черняк, Ю.И. Системный анализ в управлении экономикой / Ю.И. Черняк. -М.: Экономика, 1975. - 191 с.

150. Шамбадаль, П. Развитие и приложения понятия энтропии / П. Шамбадаль. -М.: Наука, 1967. 280 с.

151. Шаповалов, В.И. Основы теории упорядочения и самоорганизации / В.И. Шаповалов В.И, - М.: Испо-Сервис, 20.05. - 296 с.

152. Шеннон, К. Работы по теории информации и кибернетике / К. Шеннон. - М.: Иностранная литература, 1963. - 829 с.

153. Шеннон, Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука / Р. Шеннон. - М.: Мир, 1978. - 420 с.

154. Шредингер, Э. Что такое жизнь? С точки зрения физика / Э. Шрединге. - 2-е изд. - М.: Атомиздат, 1972. - 88 с.

155. Штернберг, М.И. Синергетика и биология / М.И. Штернберг // Вопросы философии, - 1999.-№ 2.-С. 95-108.

156. Cover, Т.М. Elements of Information Theory / T.M. Cover, J. A. Thomas. - Wiley-interscience, 2006. - 748 p.

157. Csiszar, I. Entropy, Search, Complexity /1. Csiszar, G. Katona, G. Tardos, eds. -Springer, 2007. - 264 p.

158.Gibbs, J.W. Elementary Principles in Statistical Mechanics, Developed with Especial Reference to the Rational Foundation of Thermodynamics / J.W. Gibbs. -N.Y.: Schribner, 1902.- 159 p.

159. Gray, R.M. Entropy and Information Theory / R.M. Gray. - Springer, 2011. -409 p.

160. Kapur, J.N. Maximum-Entropy Models in Science and Engineering / J.N. Kapur. -Wiley Eastern Limited, 1989. - 635 p.

161. Shannon, C.E. A Mathematical Theory of Communication / C.E. Shannon // Bell Syst. Tech. J., Julay-Oct. - 1948. - Vol. 27. - P. 379-423, 623-656.

162. Simon M.K. Probability Distributions Involving Gaussian Random Variables / M.K. Simon. - Springer, 2002. - 218 p.

163. Statistica - фирменное руководство. - Компания StatSoft, 1999. -3756 с.