Энтропийная мера порядка-беспорядка классических, квазикристаллических решеток и аморфных сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Титов, Павел Леонидович

• Титов, Павел Леонидович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Титов, Павел Леонидович

Введение и постановка задачи

Глава 1. Обзор по наноструктуре квазикристаллов, 14 кварцевых и металлических стекол в представлении древесных графов Кейли

1.1 Аморфные пленки, стекла, квазикристаллы как 14 сложные системы

1.2 Сравнительный анализ процессов аморфизации и 18 стеклообразования. Общие способы представления и изучения неупорядоченных объектов как сложных систем

1.3 Аморфный беспорядок как некоторый 23 координационный порядок

1.4 О сверхразмерной перколяции на древесных графах 27 Кейли

Глава 2. Информодинамический метод анализа сеточных и 32 решеточных систем

2.1 Грамматическое представление сеточных систем, 32 мозаик, паркетов

2.2 Отображение сеточных структур в 36 квазистохастические древесные графы Кейли

2.3 ' Декомпозиция древесных графов Кейли

2.4 Перколяция вероятностных, информодинамических 47 характеристик на древесных графах Кейли

Глава 3 Энтропийная мера характера порядка-беспорядка 58 решеточных систем в представлении • координационных древесных графов Кейли

3.1 Введение

3.2 Информодинамический метод описания структуры 60 решеточных, сеточных систем

3.3 Логические аспекты построения координационных 62 древесных графов Кейли

3.4 Древесный граф Кейли в условной логике, его 64 симплициальная декомпозиция. ДГК как тройка объектов

3.5 Свойства координационных древесных графов Кейли

3.6 • Перколяция энтропийного функционала на квартетном алфавите мозаики Пенроуза

3.7 Перколяция информодинамических функционалов на древесных графах Кейли 3.8 Заключение

Глава

Глава

Глава 6 6.1 6. планарных квартетных

Информодинамика классических решеток

Информодинамический анализ кристаллографических решеток

Информодинамический анализ сотовой решеточной 93 системы

Информодинамический анализ плоской симплексной 99 структуры

Сравнительный анализ критических индексов классических решеток при описании дальнодействия

Информодинамический анализ координационного упорядочения минимальных квазикристаллических симметрий

Элементарная грамматика типа [2дх2р] для мозаики Пенроуза

Теория перечисления древесных графов Кейли для мозаики Пенроуза. Перколяция вероятностных мер Перколяция сервисных характеристик на ДГК паркета Пенроуза и С)-мозаики

Информодинамический анализ бигексагональной мозаики

Анализ упорядочения методом символьной квазикристаллических ДГК динамики с привлечением теории сложных сигналов

Информодинамический анализ сеточных систем мезодефектов кварцевых и металлических стекол

Древесные графы Кейли сеточных мезоструктур разупорядоченных сред. Вероятностная геометрия Перколяция информационных мер на деревьях Кейли сеточных структур кварцевого стекла КУВИ-1 и металлических стекол типа ПМ-М Символьная динамика скорлуп Мандельброта на деревьях Кейли металлических и кварцевых стекол Информодинамическая шкала порядка-беспорядка

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Энтропийная мера порядка-беспорядка классических, квазикристаллических решеток и аморфных сред»

В последние годы интересы исследователей, работающих в области физики твердого тела, устойчиво смещаются в область разупорядоченных сред различного типа. Сюда можно отнести ультрадисперсные, наноматериалы, аморфные пленки, различного типа стеклоподобные системы; в том числе и металлические стекла, а также спиннингованные ленты и др. Недавно появились крупные монографии М. Клемана и Д. Лаврентовича по основам физики «мягких» систем, а также монография А. И. Гусева по широкому спектру порядка-беспорядка в твердых телах. В определенной мере эти монографии продолжают устойчивую тенденцию по разработке и нахождению различных показателей степени порядка-беспорядка, берущую начало от классических исследований Дж. Займана, Р. Уайта и Т. Джебелла, Р. Бекстера. Хотелось бы особо отметить последнюю монографию, в которой достаточно детально продвинуты вопросы статистической физики систем с различным типом порядка-беспорядка, отличным от классического кристаллического.

Хорошо известны методы кривых, функций радиального распределения, которые получили значительный импульс по своему развитию, когда начали изучать металлические стекла и аморфные среды 2-^5-компонентного состава типа ПМ-М и РЗ-ПМ. Здесь пришлось развить очень непростые методики парциальных функций распределения, которые, как правило, неоднозначны в своей физической интерпретации.

Другим довольно широко распространенным методом исследований характера порядка-беспорядка в кристаллических средах, мелкозернистых, ультрадисперсных средах можно назвать метод корреляционно-спектрального анализа этих структур [107]. Здесь следует отметить довольно непростую задачу по поиску связи кристаллического строения тонких пленок со стохастической магнитной структурой. Именно в корреляционно-спектральном представлении такая задача была успешно решена. На этом пути как раз удалось получить уверенные доказательства по роли сетки нано-и микропор в лабиринтноподобных, гранулированных пленках. Оказалось, что не только зеренная компонента может определять, например, магнитные характеристики таких объектов. Магнитная анизотропия тонких пленок в большей степени управляется сеточной системой микропор.

В работах [101, 102, 107, 108] было открыто наличие некоторой развитой сеточной структуры мезо- и нанодефектов в планарных средах широкого класса, полученных в сильно неравновесных условиях. Возникла необходимость в изучении характера и степени порядка-беспорядка таких распределенных систем. В работах и диссертациях дальневосточной группы физиков были подробно исследованы корреляционно-спектральным методом в представлении случайных процессов и потоков сеточные системы таких дефектов с весьма сложной топологией. Каких-либо достаточно обширных работ в другом направлении здесь не было проведено. Видимо, корреляционно-спектральная методика является наиболее физичной в описании, например, дальнего порядка. По нулевой асимптотике корреляционных функций в случае их степенного характера можно ввести понятие ■ критических индексов. Если эти индексы не будут превосходить единицы, то это уже уверенное указание на существование дальнего порядка в таких системах. Другой важной характеристикой в корреляционном подходе является наличие остаточных корреляций.

Однако применение этой концепции в анализе порядка-беспорядка разупорядоченных сред широкого класса наталкивается на ряд существенных трудностей. Особенно ярко они проявляются при изучении характера структуры, упорядочения квазикристаллических решеток, паркетов, мозаик. Фактически, это направление при изучении квазикристаллических симметрий требует своих специфических подходов. Например, широко развит чисто математический подход по моделированию паркета Пенроуза в плиточном- формализме. В качестве плиток при этом используется пара «золотых» ромбов, которыми решается задача плотного, бездефектного замощения К2,з. Такой подход не очень устраивает физиков, поскольку «плиточная» парадигма непросто стыкуется с атомарным подходом. Поэтому широко развито чисто вычислительное моделирование атомных моделей квазикристаллов, использующее методы Монте-Карло и молекулярной динамики. При этом последние методы, конечно, претерпевают существенные видоизменения. Последовательное присоединение атомов к затравочному кластеру, уже обладающему квазикристаллической симметрией, требует проведения процедур релаксации — нелокальной перестройки уже полученного кластера. Конечно, здесь работают оптимизационные процедуры по минимизации конфигурационной энергии, по оценке усредненной плотности. Задача переопределения уже полученного кластера существенно затрудняет вычислительную процедуру. Р. Пенроуз считает, что эти эффекты являются следствием нерекурсивной математики. Большинство физиков придерживаются точки зрения, что квазикристалл обладает характерным свойством апериодичности. Одна -из главных задач в понимании структуры квазикристаллов состоит во вскрытии механизмов, базирующихся на ближнедействующих потенциалах межатомного взаимодействия, обеспечивающих крупномасштабные корреляции, реализующие соответствующую форму дальнего порядка. Упомянем лишь некоторые из этих исследований, например: Steinhardt P. J. & Jeong Н.-С. A simpler approach to Penrose tiling with implications Ъг quasicrystal formation. Nature 382, 433-435 (1996); Steinhardt P. J. et al. Experimental verification of the quasi-unit-cell model of quasicrystal structure, Nature 396, 55—57 (1998); Yanfa Yan, Stephen J. Pennycook, Atomic structure of the quasicrystal Al72Ni2oCo8, Nature 403, 266-267 (1999); Hyeong-Chai Jeo -g, Growing Perfect Decagonal Ouasicrystals by Local Rules. Phys. Rev. Lett: f8, 135501 (2007); Keys A. S. & Glotzer S. C. How do Ouasicrystals Grow? Piss. Rev. Lett. 99, 235503 (2007); Steinhardt P. J. How does your quasicrystal grc v? Nature 452, 43-44 (2008). Оставляя в стороне подробный анализ этих раб разумно акцентироваться, основываясь на работах Hyeong-Chai Jec,jg,

Growing Perfect Decagonal Quasicrystals by Local Rules. Phys. Rev. Lett. 98, 135501 (2007); Keys A. S. & Glotzer S. C. How do Quasicrystals Grow? Phys. Rev. Lett. 99, 235503 (2007), на способах идентификации характера упорядочения в двух методах. Имеются в виду оптимизационные энергетический и энтропийный методы построения квазикристаллических сред. В определенной мере авторы противопоставляют их чисто математическим исследованиям по построению квазикристаллических паркетов типа замощений, покрытий, разбиений, которые обычно базируются на небольшом алфавите «золотых» ромбов, стороны которых наделены метками, нанесенными тем или иным способом.

В диссертациях О. Чудновой, Д. Полянского [67, 88] как раз решалась задача .синтеза мозаики Пенроуза без обращения к сравнительно стандартным вычислительным процедурам указанного выше типа. Уже в них была высказана мысль, которая четко отражена в пленарном докладе на симпозиуме ФиПС-2005 (Москва), что изучение сложных систем надо начинать с определенного типа декомпозиционного метода, который известен как симплициальная декомпозиция. В информодинамическом методе, который последовательно развивается в настоящей диссертации, приведено отображение сеточных, решеточных систем в древесные графы Кейли (ДГК). На последних системах применялась теория перечисления древесных графов, которая несколько модифицирована. Эта расширенная теория перечисления позволяет ввести теоретико-вероятностное и статистическое рассмотрение степени порядка-беспорядка. Однако главным отличием данного диссертационного исследования является систематическое развитие энтропийного метода диагностики порядка-беспорядка на ДГК широкого класса разупорядоченных сред. В ранних диссертациях дальневосточной группы ученых эти вопросы, особенно в смысле универсальности подхода и его распространения на широкий класс разупорядоченных неравновесных объектов, не рассматривались. В данной диссертации сделано ударение на некоторое расширенное понимание задачи перколяции на координационных ДГК энтропийных и дивергентных функционалов от перечисляющих полиномов или кустовых распределений. Именно на этом пути делается попытка найти универсальный метод, позволяющий количественно охарактеризовать степень порядка-беспорядка в различных разупорядоченных средах. В связи с этим выдвигается следующая цель настоящей работы и соответственно, ряд конкретных задач, подлежащих решению. л-У1, - ^

Целью диссертационной работы является разработка универсального представления сеточных, решеточных систем различной топологии, расширение традиционной задачи перколяции с ^привлечением информодинамических функционалов для решения задачи диагностики дальнего упорядочения классических, квазикристаллических и аморфных сред, и построения общей качественной шкалы упорядочения.

Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

1. Развить информодинамический метод анализа решеточных и сеточных систем разупорядоченных сред в направлении энтропийной меры характера порядка-беспорядка этих систем в представлении координационных древесных графов Кейли.

2. Разработать методику энтропийных критических индексов в диагностике дальнего порядка классических решеток. В качестве последних избрать квартетную, сотовую и симплексную решетки. !

3. Исследовать характер порядка-беспорядка минимального класса квазикристаллических симметрий информодинамическим методом. Данный 1 класс включает в себя три квазикристаллических/ мозаики. Это бигексагональная мозаика, (^-мозаика (4/8) и паркет Пенроуза.

4. Информодинамическим методом проанализировать характер наноструктурного упорядочения кварцевых и металлических стекол, аморфных пленок. Рассмотреть возможность создания общей шкалы порядка-беспорядка.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Предложено полное, адекватное отображение сеточных, решеточных систем в координационные древесные графы Кейли. Сформулирован принцип симплициальной декомпозиции ДГК на поддеревья, в качестве которых выступают кустовые подмножества. В теорию перечисления древесных графов введен новый тип перечисляющих структур — кустовые распределения по степени ветвистости. Рассмотрена задача перколяции в нетрадиционной постановке на квазистохастических координационных ДГК для собственных, внутренних функционалов, среди которых выбраны энтропия в форме Вайда и дивергенция Бонгарда в симметризованном виде.

2)' Установлены признаки дальнодействия для различных классов сеточных, решеточных систем в задаче перколяции информодинамических функционалов. Классические решеточные системы, квартетная, сотовая и симплексная, обладают гиперболическими энтропийными и дивергентными зависимостями с критическими индексами, не превышающими единицы. При этом остаточная энтропия может быть либо нулевой (для квартетной и сотовой решеток), либо равной 0,5 (для симплексной решетки). Для представителей минимального класса квазикристаллических симметрий, таких как паркет Пенроуза и квартетно-восьмеричная мозаика 4/8, основным признаком является волноподобное, четко периодичное, со значимыми осцилляциями поведение энтропии около среднего энтропийного инварианта. Аморфные среды, из которых выбраны кварцевое стекло КУВИ-1 и металлическое стекло Со-Р, характеризуются постоянным значением информодинамических функционалов.

3) Впервые методом символьной динамики на ДГК квазикристаллических и аморфных сред детализирована тонкая структура символьных последовательностей для скорлуп Мандельброта (СкМ) и стримеров. Показано, что эти символьные последовательности имеют периодическую структуру, состоящую из модемов длиной 84-10 символов.

4) Построена количественная информодинамическая шкала порядка-беспорядка. В качестве меры шкалы взят показатель структурированности по энтропии. Такая шкала отражает степень упорядоченности координационных отношений в представлении ДГК.

Положения, выносимые на защиту:

1) Метод количественной оценки степени порядка-беспорядка решеточных и сеточных систем, основанный на энтропийной перколяционной зависимости перечисляющих полиномов на координационных древесных графах Кейли. Методика критических энтропийных индексов при оценке степени дальнодействия классических решеточных систем. В качестве последних выступают квартетная, сотовая и симплексная решетки.

2) Предложены следующие характеристики степени дальнего порядка-беспорядка для классических решеток. Одна из важнейших характеристик — гиперболический закон спадания энтропийной перколяционной зависимости, который имеет критический индекс, не превосходящий единицы. Второй характеристикой является асимптотическая нулевая оценка вышеуказанных зависимостей. В качестве третьей характеристики может выступать остаточное значение асимптотической энтропии. Например, для симплекс-решетки она равна 0,5, что указывает на максимальное совершенство именно симплекс-системы.

3) Специфика порядка-беспорядка квазикристаллических паркетов, решеток выражается в эффекте волновой энтропийной перколяционной зависимости на ДГК, отображающих эти решетки. Данное свойство характерно для пентасимметричного паркета Пенроуза и квартетно-восьмеричной (С)-) мозаики. В случае бигексагональной системы наблюдается гиперболическое спадание на более чем пол порядка сильнее по дальнодействию, чем для квартетной решетки. При этом асимптотическое значение остаточной энтропии составляет 0,444., что меньше аналогичного и значения для симплекс-решетки. Бигексагональная мозаика имеет в качестве ближайших «родственников» симплексную и сотовую решетки.

4) Для металлических и кварцевых стекол характерно существование энтропийных инвариантов или своеобразного закона сохранения количества разнообразия. Степени стохастизации таких систем не равны 100%. Такие среды обладают дальним упорядочением на уровне 54-7% по энтропии.

5) Методом символьной динамики показано для квазикристаллических и аморфных сред существование квазиволновой структуры в скорлупах Мандельброта и стримерах на ДГК этих систем. Величина модуля периодичности составляет 8-ИО символов. По автокорреляционной структуре таких символьных последовательностей их можно отнести к классу сверхсложных сигналов.

Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы при описании классических кристаллографических симметрий, квазикристаллических, аморфных сред; для сравнения различных сеточных систем по степени упорядочения, организации. Введенные количественные энтропийные меры степени порядка-беспорядка разупорядоченных сред могут быть полезны в исследовании релаксационных процессов, а также структурных эффектов в деградационных процессах. При отработке технологических процессов, а также поиске оптимальных доводочных технологий предложенный формализм может быть почти единственным в исследовании проблем структурной кинетики.

Личный вклад диссертанта.

1. Соискателем отработан информодинамический метод, что отражено в Главе 3 диссертации. Более того, им было осуществлено определенное расширение данного метода с достаточно глубоким учетом ряда математических аспектов.

2. В целях количественной диагностики характера дальнего упорядочения решеточных систем и разупорядоченных сред была построена методика информодинамического анализа. Проведена обширная апробация на различных типах разупорядоченных сред.

3. Произведен большой объем вычислений по построению энтропийных и дивергентных зависимостей, отображающих решеточные и сеточные системы. Существенно расширен вычислительный эксперимент по анализу нано- и мезоструктуры квазикристаллических сред и аморфных пленок ПМ-М и РЗ-ПМ, а также кварцевых стекол. Все расчеты были произведены соискателем самостоятельно, многократно проверены в независимых методиках.

Апробация работы и публикации. Основные результаты опубликованы в сборниках трудов региональных, всероссийских и международных конференций, семинаров, симпозиумов: ВНКСФ-12-15 (20062009), «Нейроинформатика, ее приложения и анализ данных»-2006-2009 (Красноярск), МНС-2006-2009 (Красноярск), «Нейроинформатика»-2007, 2008 (Москва), «ХУШ Петербургские чтения по проблемам прочности и роста кристаллов» (2009, Санкт-Петербург), ФММС-2008 (Воронеж), РША-2008 (Нижний Новгород), ММПСН-2009 (Москва), ПДММ-2009 (Владивосток),

Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных \ средах»-2009 (Махачкала), «Термодинамика неупорядоченных сред и пьезоактивных материалов»-2009 (Пятигорск), ЬАТ-2009 (Пекин), журналах: «Проблемы эволюции открытых систем» (две статьи, 2008), «Известия РАН. Серия физическая» (2009), «Теоретическая и математическая физика» (2010), РЬуэюа А (2010). Всего по материалам диссертации опубликовано 44 работы, из них 5 статей в журналах из перечня ВАК.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Титов, Павел Леонидович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе, согласно целевой установке и перечню задач, были достигнуты следующие результаты:

1. Последовательно изложены (в Главах 2 и 3) математические основы информодинамического метода. В качестве центрального принципа в анализе сложных систем, каковыми являются изучаемые в диссертации три класса объектов, принадлежащих к физике разупорядоченных сред, выступает симплициальная декомпозция суперДГК на поддеревья (кусты). Этот суперДГК наделяется ультраметрикой, тем самым образуя ультрасимплекс. Согласно теории перечисления графов, образованы и изучены перечисляющие полиномы и соответствующие им кустовые распределения. Последнее обстоятельство позволило наделить вероятностными и статистическими понятиями древесные графы. Расширена интерпретация задачи перколяции, которая поставлена и решена на координационных ДГК, являющихся квазистохастическими системами. Предложена количественная мера порядка-беспорядка решеточных и сеточных систем мезо- и нанодиапазонов, в основе которой лежат энтропийные перколяционные зависимости на ДГК. Характер дальнего упорядочения при этом идентифицируется по энтропийным критическим индексам, а также по их перколяционным асимптотикам.

2. Классические решетки, в качестве которых выбраны квартетная, сотовая и симплексная, характеризуются гиперболической энтропийной зависимостью с критическими индексами, не превосходящими единицы. Энтропийная асимптотика квартетных и сотовых решеток - нулевая. Симплекс-система характеризуется критическим индексом, меньшим на порядок по сравнению с квартетной решеткой. Асимптотика симплекс-системы описывается равновероятным биномом, что соответствует максимальной энтропии. Впервые получен результат в энтропийной форме, отражающий совершенство симплекс-системы.

3. Показано, что характер квазикристаллического упорядочения на мозаике Пенроуза характеризуется осцилляторно-волновым поведением энтропийного функционала на ДГК. Упорядочение бигексагональной мозаики описывается гиперболическим энтропийным дальнодействием. Критический энтропийный индекс здесь также существенно меньше единицы, но несколько больше, чем у симплекс-системы. Асимптотическое значение перколяционной зависимости энтропии составляет 0,444. Тем самым, бигексагональная мозаика морфологически близка к сотовой системе и симплекс-решетке.

4. Установлено, что по характеру порядка-беспорядка при исследовании информодинамическим методом глобулярная система ячеистого типа кварцевого стекла КУВИ-1 и сеточная стурктура аморфных пленок Со-Р ведут себя однотипно. Энтропийный функционал на ДГК таких сеточных систем характеризуется в среднем постоянным значением энтропии. Это позволяет аморфные и стеклоподобные среды, в смысле структурного порядка, наделить принципом энтропийной инвариантности.

5. Впервые методом символьной динамики установлен характер порядка-беспорядка на древесных графах Кейли, отображающих сеточные мезо- и наноструктуры тонких аморфных пленок и стекол. Были рассмотрены представления скорлуп Мандельброта, являющихся обобщением гладких фронтов Гюйгенса и стримеров, представляющих фрактальные лучи. Оказалось, что автокорреляционные функции символьных последовательностей для скорлуп Мандельброта предоставляют доказательство справедливости лингвистических моделей в трактовке порядка-беспорядка. АКФ стримерных символьных последовательностей для ДГК стекол обладают пульсационным, кластерным упорядочением квазистохастического типа. Аналогичная характеристика для квазикристаллических систем характерна строгой периодичностью характерных биений. Добыть столь подробные сведения о структуре порядка-беспорядка другими методами невозможно.

В диссертации продолжен и систематически развит универсальный метод оценки степени порядка-беспорядка в разупорядоченных средах широкого класса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Титов, Павел Леонидович, 2010 год

1. Агахарьян Т.М., Аствацатурьян Е.Р., Скоробогатов П.К. Радиационные эффекты в интегральных микросхемах. М.: Энергопромиздат. 1989. 256 с.

2. Айзерман М.А. и др. Динамический подход к анализу структур, описываемых графами (Основы графодинамики) / Сб. науч. тр. «Исследования по теории структур» М.: Наука, 1988. с.5-76.

3. Алгоритмы и программы установления зависимостей / Под ред. ВапникаВ.П. М.: Наука, 1984. 816 с.

4. Аморфные металлические сплавы / Под ред. Люборского Ф.Е. М.: Металлургия, 1987. 583 с.

5. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.240 с.

6. Банн Ч. Кристаллы: их роль в природе и науке. / Под ред. Белова Н. В. / М.: Мир, 1970. 312 с.

7. Бекстер Р. Точно решаемые модели в статистической физике. М.: Мир, 1985.488 с.

8. Берж К. Теория графов и ее применение. М.: ИЛ, 1962. 310 с.

9. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир, 1969. 240 с.

10. Бонгард М.М. Проблемы узнавания. М.: Наука, 1967. 318 с.

11. Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. 720 с.

12. Братковский A.M., Данилов Ю.А., Кузнецов Г.И. Квазикристаллы // ФММ. 1989. Т.68, с.1045-1096.

13. Вайзин Дж. В. Классификация и кластер. М.: Мир, 1980. 392 с.

14. Вайнштейн Б.К. Современная кристаллография. Т.1. М.: Наука. 1979.384 с.

15. Галагер Р. Теория информации и надежная связь. М.: Сов. Радио, 1974. 600 с.

16. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971. 319 с.

17. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т.1. М.: Наука, 1971. 664 с.

18. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т.2. М.: Наука, 1973. 640 с.

19. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т.З. М.: Наука, 1975. 496 с.

20. Гратиа Д. Квазикристаллы // УФН. 1988. Т. 156, №22. с.347-364.

21. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. 2002, 560 с.

22. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. 1965. 452с.

23. Гусев А.И. Нестехиометрия, беспорядок, ближний и дальний порядок в твердом теле. М.: Физматлит, 2007. 856 с.24