Энергообмен и локализация энергии в углеродных нанотрубках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 02.00.06, кандидат физико-математических наук Шепелев, Денис Сергеевич

• Шепелев, Денис Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шепелев, Денис Сергеевич

1 Введение

2 Глава 1: Литературный обзор.

2.1 Колебательные моды односменных углеродных нанотрубок.

2.2 О-полоса и С'-полоса.

2.3 Механизм, ответственный за О и С' полосы.

2.4 Общие свойства О и С полос.

2.5 Скорости звука в ОУНТ.

2.6 Экспериментальное измерение модуля Юнга.

2.7 Молекулярно-динамическое моделирование и коиечно-элемент-ный анализ.

3 Глава 2: Предельные фазовые траектории: физические аспекты и математический аппарат.

3.1 Уравнения движения и асимптотический их анализ.

3.2 Анализ системы в угловых переменных при отсутствии диссипации.

3.3 Негладкие замены времени и аналитическое приближение решения.

3.4 Движение вблизи сепаратрисы.

3.4.1 Движение во внутренней области 1.

3.4.2 Движение во внешней области

3.5 Анализ переходной динамики диссипативной системы.

3.6 Осциллятор, подвергаемый гармоническому воздействию со случайной амплитудой.

3.7 Выводы.

4 Глава 3: Энергообмен и локализация энергии в асимметричной периодической цепочке Ферми-Паста-Ула ма (сс — (3 ФПУ).

4.1 Введение.

4.2 Модель и уравнения движения.

4.3 Уравнения главного асимптотического приближения.

4.4 От "волн"к "частицам".

4.5 Аналитическое решение для ПФТ.

4.6 Выводы.

5 Глава 4: Модель углеродной нанотрубки на основе модели Клейна-Гордона.

5.1 Введение.

5.2 Модель.

5.3 Анализ цепочки с мягкой нелинейностью.

5.4 Анализ цепочки с жесткой нелинейностью.

5.5 Аналитическое решение вдоль ПФТ.

5.6 Выводы.

6 Глава 5: Влияние краевых условий на низкочастотный спектр углеродных нанотрубок.

6.1 Введение.

6.2 Уравнения движения и их редукция.

6.3 Расчет низкоэнергетического спектра при основных типах краевых условий.

6.3.1 Шарнирное (свободное) опирание.

6.3.2 Закрепленные края.

6.3.3 Шарнирное опирание - закрепленный край.

6.3.4 Свободные края.

6.3.5 Свободный край - шарнирное опирание.

6.3.6 Свободный край - закрепленный край (консоль).

6.4 Сравнение спектров при различных типах краевых условий.

6.5 Выводы.

7 Глава 6: Энергообмен и локализация энергии в одностенных углеродных нанотрубках.

7.1 Введение.

7.2 Уравнения движения и их редукция.

7.3 Комплексификация уравнений.

7.4 Анализ фазовой плоскости уравнений в угловых перемеиых.

7.5 Аналитическое решение вдоль ПФТ.

7.6 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Энергообмен и локализация энергии в углеродных нанотрубках»

Актуальность темы. Углеродные нанотрубки (УНТ) являются в настоящее время одними из наиболее перспективных частиц, используемых в качестве наполнителя полимерных композитов. Они обладают высокой удельной поверхностью, электропроводностью, а также уникальными жесткост-ными и прочностными характеристиками. В связи с этим задача всестороннего исследования физико-механических свойств УНТ приобретает первостепенное значение. Поведение УНТ, а, следовательно, и композитов с наполнителем такого типа при интенсивных механических и тепловых воздействиях в значительной мере определяется их динамическими свойствами. К ним относятся, прежде всего, частотные спектры и нормальные моды колебаний, которые активно изучались в последние годы как теоретически, так и экспериментально. Однако, нестационарные процессы в УНТ, механизмы энергообмена и переноса энергии, определяющие их теплопроводность и реакцию на интенсивные динамические воздействия, практически не изучены. Поэтому актуальной является тема диссертации, в которой анализ этих механизмов занимает центральное место.

Цель работы - разработка применительно к УНТ нового метода анализа нелинейных нестационарных процессов, основанного на концепции эффективных частиц и предельных фазовых траекторий, с использованием редуцированной модели упругой оболочки, адекватно описывающей динамическое поведение УНТ в низкочастотной области.

Основные результаты работы, которые выносятся на защиту:

1) Построение нелинейной динамической модели УНТ, которая позволяет аналитически изучать низкоэнергетические процессы при основных типах краевых условий.

2) Аналитическое и численное описание интенсивного энергообмена в УНТ и вывод условия, определяющего переход от энергообмена к пространственной локализации энергии.

3) Аналитический вывод спектральных характеристик УНТ при основк. ных типах граничных условий.

4) Подтверждение универсального характера концепции эффективных частиц (ЭЧ) и предельных фазовых траекторий (ПФТ), использующей аппарат негладких функций, при анализе нестационарных процессов в последовательно усложняемых динамических моделях: от нелинейного осциллятора до УНТ.

Научная новизна. Впервые выполнено исследование низкоэнергетической нелинейной динамики УНТ, что потребовало разработки концепции ЭЧ и ПФТ применительно к ряду моделей с последовательно усложняемой структурой. Если при использовании известных моделей новым является анализ нестационарных процессов в рамках концепции ЭЧ и ПФТ, то наиболее реалистичная модель УНТ впервые представлена в диссертации. С ее использованием впервые описаны, наряду со спектральными характеристиками при основных типах краевых условий, существенно нелинейные процессы энергообмена и локализации энергии в УНТ.

Практическая значимость работы. Полученные результаты создают основу для уточненного анализа механизма теплопроводности УНТ. Кроме того, они позволяют адекватно описать реакцию УНТ на интенсивные динамические воздействия и должны быть учтены при оценке термомеханических характеристик полимерных нанокомпозитов, в которых УНТ являются наполнителем.

Личный вклад автора. Автор, выполняя работу в лаборатории физики и механики отдела полимеров ИХФ РАН, активно участвовал (совместно с Л. И. Маневичем и В. В. Смирновым) в разработке новой концепции ЭЧ и ПФТ, которая предполагает использование негладких преобразований - основного математического аппарата, примененного в диссертации. Это же относится к разработке новых динамических моделей УНТ, в рамках которых получены основные результаты диссертации. Автором лично выполнена как аналитическая часть работы, так и соответствующее численное исследование. Он принимал активное участие в постановке задач исследования, обсуждении результатов и подготовке публикаций.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на международных конференциях "Современные проблемы механики" (Санкт-Петербург, 2009, 2010, 2011 гг), Европейской конференции по нелинейным колебаниям (Рим, Италия, 2011 г.), на конференциях отдела полимеров и композиционных материалов ИХФ РАН (Москва, 2009, 2010, 2011, 2012 гг.). Доклады по материалам работы отмечались премиями на конкурсах молодых ученых.

Публикации.По результатам диссертационной работы опубликовано 8 статей и 5 тезисов докладов.

Заключение диссертации по теме «Высокомолекулярные соединения», Шепелев, Денис Сергеевич

7.6 Выводы.

Впервые получены уравнения нелинейной динамики тонких упругих оболочек, допускающие аналитическое исследование. Полученные уравнения справедливы в области волновых чисел, в которой выявленные нелинейные эффекты принципиально важны.

Анализ нелинейных уравнений показал возможность полного энергообмена между различными частями УНТ, который адекватно описывается в терминах эффективных частиц и предельных фазовых траекторий.

Выявлена возможность динамической локализации энергии на возбужденной части УНТ и сформулированы условия перехода от интенсивного обмена энергией к ее локализации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шепелев, Денис Сергеевич, 2012 год

1. Iijima S., Helical microtubules of graphitic carbon, Nature 354, 56-58, (1991).

2. Iijima S., Ichihashi Т., Single-shell carbon nanotubes of 1-nrn diameter, Nature 363, 603 (1993).

3. Bethune D.S. et al., Cobalt-catalysed growth of carbon nanotubes with single-atomic-layer walls, Nature 363, 605 (1993).

4. Bandow S. et al., Effect of the Growth Temperature on the Diameter Distribution and Chirality of Single- Wall Carbon Nanotubes, Phys. Rev. Lett. 80 (17), 3779-3782, (1998).

5. Rao A.M. et al., Diameter-Selective Raman Scattering from Vibrational Modes in Carbon Nanotubes, Science 275, 187, (1997).

6. Venkataraman L., Bachelor thesis, Massachusetts Institute of Technology, (1993).

7. Jishi R.A. et al., Phonon Modes in Carbon Nanotubules, Chem. Phys. Lett. 209, 77, (1993).

8. Richter E., Subbaswany K.R., Theory of Size-Dependent Resonance Raman Scattering from Carbon Nanotubes, Phys. Re v. Lett. 79, 2738, (1997).

9. Pimenta M.A. et al., Raman modes of metallic carbon nanotubes, Phys. Rev. В 58 (24), R16016, (1998).

10. Alvarez L. et al., Resonant Raman study of the structure and electronic properties of single-wall carbon nanotubes, Chem. Phys. Lett. 316, 186190, (2000).

11. Milnera M. et al., Periodic Resonance Excitation and Intertube Interaction from Quasicontinuous Distributed Helicities in Single-Wall Carbon Nanotubes, Phys. Rev. Lett. 84 (6), 1324, (2000).

12. Duesberg G. S. et al., Experimental observation of individual single-wall nanotube species by Raman microscopy, Chem. Phys. Lett. 310, 8-14, (1999).

13. Duesberg G.S. et al., Polarized Raman Spectroscopy on Isolated SingleWall Carbon Nanotubes, Phys.Rev.Lett. 85 (25), 5436-5439, (2000).

14. Saito R. et al., Raman intensity of single-wall carbon nanotubes, Phys. Rev. B 57, 4145, (1998).

15. Ajiki H., Ando T., Aharonov-Bohm effect in carbon nanotubes, Physica (Amsterdam) 201B, 349, (1994).

16. Rao A.M. et al., Polarized Raman Study of Aligned Multiwalled Carbon Nanotubes, Phys. Rev. Lett. 84, 1820, (2000).

17. Cardona M., in "Light Scattering in Solids, II, Basic Concepts and Instrumentation Topics in Applied Physics, edited by Cardona M. and Guntherrodt G. (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1982), Vol. 50, p. 19.

18. Pimenta M.A. et al, Resonant Raman effect in single-wall carbon nanotubes, J. Mater. Res. 13, 2396, (1998).

19. Saito R.,Dresselhaus G., Dresselhaus M., "Physical Properties of Carbon Nanotubes" (Imperial College Press, London, 1998).

20. Jorio A. et al, Structural (n, m) Determination of Isolated Single-Wall Carbon Nanotubes by Resonant Raman Scattering, Phys. Rev. Lett. 86 (6), 1118, (2001).

21. Dresselhaus M.S. et al., Raman spectroscopy on isolated single wall carbon nanotubes, Carbon 40, 2043-2061, (2002).

22. Tuinstra F., Koenig J. L., Raman spectrum of graphite, J. Chem. Phys. 53, 1126, (1970).

23. Vidano R. P. et al., Observation of Raman band shifting with excitation wavelength for carbons and graphites, Solid State Commun. 39, 341, (1981).

24. Baranov A. V. et al., Opt Spectroscop USSR 62, 612, (1987).

25. Matthews M. J. et al., Origin of dispersive effects of the Raman D band m carbon materials, Phys. Rev. B 59, R6585, (1999).

26. Thomsen C., Reich S., Double resonant Raman scattering in graphite, Phys. Rev. Lett. 85, 5214, (2000).

27. Pocsik I. et al, Origin of the D-peak m the Raman spectrum of microcrystallme graphite, J. Non-Cryst. Solids 227 230B, 1083, (1998).

28. Saito R. et al., Probing phonon dispersion relations of graphite by double resonance Raman scattering, Phys. Rev. Lett. 88, 027401, (2002).

29. Pimenta M.A. et al., The anomalous dispersion of the disorder-induced and the second-order Raman Bands in Carbon Nanotubes, Braz. J. Phys. 30, 423-427, (2000).

30. Maultzsch J., Reich S., Tomscn C., Chirality-s elective Raman scattering of the D mode m carbon nanotubes, Phys. Rev. B 64, 121407(R), (2001).

31. Brown S. D. M., Jorio A. et al., Observation of the D-band feature in the Raman spectra of carbon nanotubes, Phys. Rev. B 64 (7), 3403, (2001).

32. Gruneis A., Hulman M. et al. In: Proceedings of the Int. Winter School on Electronic Properties of Novel Materials (IWEPNM'01), American Institute of Physics, Woodbury, (2002)

33. Pimenta M.A, Jorio A. et al., Diameter dependence of the Raman D-band in isolated single-wall carbon nanotubes, Phys. Rev. B 64 (4), 041401, (2001).

34. Souza Filho A.G, Jorio A. et al., Electronic transition energy Eu for an isolated (n, m) single-wall carbon nanotube obtained by anti-Stokes/Stokes resonant Raman intensity ratio, Phys. Rev. B 63 (24), (2001).

35. Sauvajol J.L. et al., Phonons in single wall carbon nanotube bundles, Carbon 40, 1697-1714, (2002).

36. Yacobson B.I. et al., Nanomechanics of Carbon Tubes: Instabilities beyond Linear Response, Phys. Rev. Lett 76, 2511-2514, (1996).

37. Cornwell C.F. et al., Elastic properties of single-walled carbon nanotubes in compression, Solid State Commun 101, 555-558, (1997).

38. Hernandez E. et al., Elastic Properties of C and BxCyNz Composite Nanotubes, Phys. Rev. Lett 80, 4502-4505, (1998).

39. Sanchez-Portal D. et al., Ab initio structural, elastic, and vibrational properties of carbon nanotubes, Phys. Rev. B 59, 12678-88, (1999).

40. Krishnan A. et al., Young's modulus of single-walled nanotubes, Phys. Rev. B 58, 14013-19, (1998).

41. Blakslee O.L. et al., Elastic Constants of Compression-Annealed Pyrolytic Graphite, J. Appl. Phys. 41, 8, (1970).

42. Kelly B.T., Physics of Graphite (Applied Science, London, 1981).

43. Treacy M.M.J, et al., Exceptionally high Young's modulus observed for individual carbon nanotubes, Nature (London) 381, 678, (1996).

44. Wong E.W. et al., Nanobeam Mechanics: Elasticity, Strength, and Toughness of Nanorods and Nanotubes, Science 277, 1971, (1997).

45. Poncharal P. et al., Electrostatic Deflections and Electromechanical Resonances of Carbon Nanotubes, Science 283, 1513, (1999).

46. Gupta S. S., Bosco F. G., Batra R. C., Breakdown of structural models for vibrations of single-wall zigzag carbon nanotubes, Journal of Applied Physics 106 (9), 063527, (2009).

47. Cheng H. C. et al., On radial breathing vibration of carbon nanotubes, Comp. Meth. in Appl. Mech. Eng. 199, 2820-2827, (2010).

48. Gupta S. S., Bosco F. G., Batra R. C., Wall thickness and elastic moduli of single-walled carbon nanotubes from frequencies of axial, torsional and inextensional modes of vibration, Comput. Mat. Sci. 47, 1049-1059, (2010).

49. Duan W. H., Wang C. M., Zhang Y. Y., Calibration of nonlocal scaling effect parameter for free vibration of carbon nanotubes by molecular dynamics, J. of Appl. Phys. 101 (7), 024305, (2007).

50. Sakhaee-Pour A., Ahmadian M. T., Vafai A., Vibration analysis of singlewalled carbon nanotubes using beam element, Thin-Walled Structures 47, 646-652, (2009).

51. Arghavan S., Singh A. V., On the vibrations of single-walled carbon nanotubes, J. of Sound and Vibr. 330, 3102-3122, (2011).

52. Odegard G. M. et al., Equivalent-Continuum Modeling of Nano-Structured Materials, Compos. Sci. and Tech. 62 (14), 1869-1880, (2002).

53. Lu P. et al., Application of nonlocal beam models for carbon nanotubes, Int. J. of Sol. and Str. 44, 5289-5300, (2007).

54. Yang S. et al., Multiscale modeling of size-dependent elastic properties of carbon nanotube/polymer nanocomposites with interfacial imperfections, Polymer 53, 623-633, (2012).

55. Ru C. Q., Axially compressed buckling of a doublewalled carbon nanotube embedded in an elastic medium, J. of the Mech. and Phys. of Sol. 49, 1265-1279, (2001).

56. Elishakoff I , Pentaras D., Fundamental natural frequencies of doublewalled, carbon nanotubes, J. of Sound and Vibr. 322, 652-664, (2009).

57. Silvestre N. et al., Sanders shell model for buckling of single-walled carbon nanotubes with small aspect ratio, Compos. Str. 93, 1683-1691, (2011).

58. Huang Y., Wu J., Hwang K. C., Thickness of graphene and single-wall carbon nanotubes, Phys. Rev.B 74 (9), 245413, (2006).

59. Yao N., Lordi V., Young's modulus of single-walled carbon nanotubes, J. of Appl. Phys. 84 (4), 1939-1943, (1998).

60. Jin Y., Yuan F. G. Simulation of elastic properties of single-walled carbon nanotubes, Compos. Sci. and Tech. 63, 1507-1515, (2003).

61. Vodenitcharova T., Zhang L. C., Effective wall thickness of a smgle-walled carbon nanotube, Phys. Rev. B 68 (4), 165401, (2003).

62. Licw K. M., Wang Q., Analysis of wave propagation in carbon nanotubes via elastic shell theories, Int. J. of Eng. Sci. 45, 227-241, (2007).

63. Silvestre N., On the accuracy of shell models for torsional buckling of carbon nanotubes, Eur. J. of Mech. A/Sol. 32, 103-108, (2012).

64. Wang C. Y., Ru C. Q., Mioduchowski A., Applicability and Limitations of Simplified Elastic Shell Equations for Carbon Nanotubes, J. of Appl. Mech. 71, 622-631, (2004).

65. Cong W., Modeling and Analysis of Carbon Nanotube Buckling Using Thick Shell Theory, Engineering Science Programme, National University of Singapore, 2011.

66. Ghavanloo E., Fazelzadeh S. A., Vibration characteristics of smgle-walled carbon nanotubes based on an anisotropic elastic shell model including chirahty effect, Appl. Math. Model. 36 (10), 4988-5000, (2012).

67. Chang Т., A molecular based anisotropic shell model for single-walled carbon nanotubes, J. of the Mech. and Phys. of Sol. 58, 1422-1433, (2010).

68. Amabili M., Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates, Cambridge University Press, New York, (2008).

69. Manevitch L.I., Gourdon E., Lamarque С. H., Towards design of optimal energetic sink in strongly nongomogeneous 2 dof system, ASME, J. Appl. Mech.

70. Manevitch L.I., New approach to beating phenomenon in coupled nonlinear oscillatory chains, Arch. Appl. Mech. 77(5), 301-312, (2007)

71. Маневич JI.И., Михлин Ю.В., Пилипчук В.Н., Метод нормальных колебаний для существенно нелинейных систем, Наука, Москва, (1985)

72. Vakakis A.F., Manevitch L.I., Mikhlin Yu.V., Pilipchuk V.N., Zevin A.A., Normal modes and localization in nonlinear systems, Wiley, New York, (1996)

73. Manevitch L.I., Musienko A.I., Transient forced vibrations of duffing oscillator, in International Conference "Nonlinear Phenomena in Polymer Solids and Low-dimensional Systems 7-10 July, 2008, Moscow, Russia, 114 -127. IChPh RAN (2008)

74. Manevitch L.I., Kovaleva A.S., Shepelev D.S., Non-smooth approximations of the limiting phase trajectories for the Duffing oscillator near 1:1 resonance, Physica D 240, 1Ц12, (2011)

75. Manevitch L.I., Kovaleva A.S., Manevitch E.L., Shepelev D.S., Limiting phase trajectories and поп-stationary resonance oscillations of the Duffingoscillator. Part 2. A dissipative oscillator, Commun Nonlinear Sci Nuraer Simulat 16, 1098Ц1105, (2011).

76. Smirnov V.V., Shepelev D.S., and Manevitch L.I., Energy exchange and transition to localization in the asymmetric Fermi-Pasta-Ulam oscillatory chain, The Eur. Phys. J. B, DOI: 10.1140/ epjb /e2012-30753-2, (2012)

77. Sagdeev R.Z., Usikov D.A., Zaslavsky G.M., Nonlinear Physics: From the Pendulum to Turbulence and Chaos, Harwood Academic Publishers, New-York, (1988).

78. Диментберг M. Ф., Нелинейные стохастические задачи механических колебаний, Наука, Москва, (1980)

79. Scott A., Nonlinear Science: Emergence and Dynamics of Coherent Structures, Oxford University Press, New York, (2003).

80. Manevitch L. I., Smirnov V. V., Limiting phase trajectories and the origin of energy localization in nonlinear oscillatory chains, Phys. Rev. E 82, 036602,(2010)

81. Manevitch L.I., The description of localized normal modes in a chain of nonlinear coupled oscillators using complex variables, Nonlin. Dyn. 25, 95-109, (2001)

82. Manevitch L.I., Mikhlin Yu.V., Pilipehuk V.N., The method of normal vibrations for essentialy nonlinear systems (in Russia, Moscow, Nauka (1989), 216p.).

83. Feng B.-F., An Integrable Three Particle System Related to Intrinsic Localized Modes in Fermi-Pasta-Ulam Chain, J. of the Phys. Soc. of Japan 75 (1), 014401, (2006)

84. The Fermi-Pasta-Ulam Problem: A Status Report, Springer Series Lect. Notes Phys. Vol. 728, edited by G. Gallavotti (Springer-Verlag, Berlin (2008) and references therein).

85. Poggi P. and Ruffo S., Exact solutions in the FPU oscillator chain, Physica D 103, 251, (1997)

86. Rink B. and Verhulst F., Near-integrability of periodic FPU-chains, Physica A 285, 467, (2000)

87. Henrici A. and Kappeler T., Results on Normal Forms for FPU Chains, Commun. Math. Phys. 278, 145, (2008)

88. Flach S., Ivanchenko M. V., and Kanakov O. I., q-Breathers and the Fermi-Pasta- Ulam problem, Phys. Rev. Lett. 95, 064102, (2005)

89. Dauxois T., Khomeriki R., Piazza F., and Ruffo S., Anti-FPU problem, Chaos 15, 015110, (2005)

90. Ru C. Q., Effective bending stiffness of carbon nanotubes, Phys. Rev. B62, 10405, (2000)

91. Ouakad H. M., Younis M. I., Natural frequencies and mode shapes of initially curved carbon nanotube resonators under electric excitation, J. Sound Vibr. 330, 3182, (2011)

92. Vaziri A., Mechanics of highly deformed elastic shells, Thin-Walled Structures 47, 692, (2009)

93. Wu G. et al, Radial breathinglike mode of the collapsed single-walled carbon nanotube bundle under hydrostatic pressure, Appl. Phys. Lett. 88, 223114, (2006)

94. Hertel T. et al, Deformation of carbon nanotubes by surface van der Waals forces, Phys. Rev. B58, 13870, (1998)

95. Elliott J. A. et al, Collapse of single-wall carbon nanotubes is diameter dependent, Phys. Rev. Lett. 92, 95501 (2004)

96. Chang T., Dominoes in carbon nanotubes, Phys. Rev. Lett. 101, 175501, (2008)

97. Soltani P. et al, Nonlinear free and forced vibration analysis of a singlewalled carbon nanotube using shell model, Int. J. Fund. Phys. Sci., 1, 47, (2011)

98. Li Q. M. and Shi M. X., Intermittent transformation between radial breathing and flexural vibration modes in a single-walled carbon nanotube, Proc. R. Soc. A 464, 1941, (2008)

99. Smirnov V. V., Shepelev D. S., Manevitch L. I., Localization of bending vibrations in the single-wall carbon nanotubes, Nanosystems: Phys. Chem. Math. 2, 102, (2011)

100. Смирнов В. В., Маневич JI. И., Предельные фазовые траектории и динамические переходы в нелинейных периодических системах, Акуст. Журн. 57, 279, (2011)

101. Маневич Л. И., Смирнов В. В., Предельные фазовые траектории и термодинамика молекулярных цепей , ДАН 433, 185, (2010)

102. Доннел Л. Г., Балки, пластины и оболочки, Пер. с англ., М., Наука, (1982), 568 стр.

103. Голденвейзер А. Л., Теория упругих тонких оболочек, М., Наука, (1976), 512 стр.

104. Yamaki N. Elastic Stability of Circular Cylindrical Shells, Elsevier Science Ltd, North-Holland. Amsterdam, (1984), 572pp.

105. Васильев В. В., О теории тонких пластин, Механика твердого тела 3, 26-47, (1992)

106. Manevich A. I., Manevitch L.I., The mechanics of Nonlinear systems with internal resonances, Imperial College Press, London, (2005)

107. Novozhilov V. V., Foundations of the nonlinear theory of elasticity, Greylock Press, 186-198, (1953).

108. Novozhilov V. V., The theory of thin shells, P. NordhofF Ltd., (1959).

109. Sanders J. L., An improved first approximation theory for thin shells, N.A.S.A. Report 24, June, (1959).

110. Koiter W. T., A consistent first approximation in the general theory of thin elastic shells, Proc. of I.U.T.A.M. Symposium on the theory of thin elastic shells, North-Holland Pub. Co., 12-33, (1959).

111. Mushtari Kh. M., Galimov K. Z., Nonlinear theory of thin elastic shells, Israel Program for Scientific Translation, (1961).

112. Donnell L. H., Stability of thin-walled tubes under torsion, N.A.C.A. TR 479, (1934).