Эндохронная теория неупругости для больших деформаций и поворотов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Помыткин, Сергей Павлович

• Помыткин, Сергей Павлович
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Помыткин, Сергей Павлович

Введение.

Глава I. ЭНДОХРОННЫЕ ТЕОРИИ НЕУПРУГОСТИ ДЛЯ МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЙ.

§1.1. Классическая эндохронная теория пластичности.

§1.2. Тензорно-параметрические варианты эндохронной теории пластичности.

§1.3. Новые варианты тензорно-параметрических уравнений эндохронного типа. Определение параметров теории.

§ 1.4. Эндохронные варианты определяющих соотношений неупругости, учитывающие временные эффекты.

ГЛАВА II. МОДЕЛЬ БОЛЬШИХ НЕУПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ.

§2.1. Модель деформирования сплошной среды и кинематика больших деформаций.

§2.2. Меры деформаций и их объективные производные.

§2.3. Меры напряжений и их производные.

§2.4. «Неклассические» меры деформаций и производные.

§2.5. Выбор меры деформации, меры напряжения и объективной производной.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эндохронная теория неупругости для больших деформаций и поворотов»

Современная конструкторская и технологическая практика сталкивается с необходимостью расчетов режимов интенсивного формоизменения материалов, включая обработку металлов и полимеров давлением, резание металлов и сплавов, прессование порошков и формование изделий в порошковой металлургии, гидроэкструзионное выдавливание, деформационное инициирование фазовых и полиморфных превращений, получение объемных наноструктурных материалов и объектов методами интенсивной пластической деформации, решение задач геомеханики и т.д. Кроме того, разработка теории больших деформаций представляет принципиальный теоретический интерес исследователей в процессе естественного развития механики сплошных сред.

Несмотря на огромное количество работ [4], [18], [24], [30], [34], [42], [43], [45], [128], [130], [132], [146], [148], [149], [150], [158], [165], [176], [179], [181], [183], [192], [194], [195], [201], [204], [205], [209], [223], [224], [234], [236], [239], [255], [256], [258], [280], [281], [288], [289], [290], [301], [304], [305], [326], [354], посвященных моделированию больших упругих, вязко-упругих, упруго-пластических и вязко-упруго-пластических деформаций кристаллов, поликристаллов и неметаллических материалов, общепризнанной и всесторонне непротиворечивой математической теории больших деформаций на данный момент нет, а ряд принципиальных теоретических и экспериментальных проблем остается по-прежнему нерешенным.

Моделирование больших неупругих деформаций материалов осуществляется в основном в рамках теории течения [305] и теории упругопластических процессов [192] и значительно реже при использовании эндохронных подходов [33], физических теорий [217] и формализма неравновесной термодинамики [176].

При обобщении одного из основных подходов к описанию неупругих явлений в материалах - теории упругопластических процессов [51], [61], [62] на область больших деформаций основные успехи связаны с работами соратников и учеников Ильюшина [24], [26], [27], [40], [66], [175], [188], с исследованиями пермской школы [192], [215], [216], [328], с результатами тульских механиков [163], [164], [165], с публикациями киевских ученых [147], [150], [226].

Наибольшее число работ по большим упруго-вязко-пластическим деформациям как в нашей стране, так и за рубежом связано с применением аппарата теории пластического течения [42], [141], [147], [155], [229], [231], [243], [244], [264], [288], [297], [305], [315], [321], [330], [344], [354], [357].

В области малых деформаций основные постулаты и теории упругопластических процессов и теории течения достаточно хорошо проработаны и имеют серьезное экспериментальное обоснование. Различные варианты определяющих соотношений этих теорий интегрированы в коммерческие пакеты программных продуктов, которые используются при подавляющем большинстве конкретных инженерных расчетов.

Однако при обобщении определяющих соотношений теории течения на область больших деформаций и поворотов существуют определенные сложности, связанные с неоднозначностью кинематики неупругой среды. Необходимы разделение деформаций на упругую и неупругую составляющие и выбор объективной производной для нахождения скорости неупругих деформаций. Обе проблемы решаются фактически «личным предпочтением» авторов моделей с привлечением тех или иных «критериев». Хотя последующие результаты теории существенно зависят и от типа разделения деформаций и от вида объективной производной.

Одним из относительно новых подходов в описании явлений неупругости является эндохронная теория [332], [333], которая в некотором смысле является симбиозом теории течения и теории упругопластических процессов [81], [95], [171]. Ее отличительной особенностью от теории течения и главным достоинством является отсутствие необходимости вводить понятие поверхности текучести и необходимости какого-либо разделения деформаций на упругую и неупругую составляющие. Кроме того, ее определяющие соотношения единообразно работают как при нагрузке, так и при нейтральном нагружении и разгрузке.

В рамках классической теории Валаниса [332], [333] неоднократно предпринимались попытки по ее обобщению на область больших деформаций [31], [32], [295], [348], [349]. Один из самых интересных вариантов, по-видимому, принадлежит группе иранских ученых [230], [270]. Их определяющие соотношения неоднократно применялись при решении ряда задач компактирования порошковых материалов и оценивались для использования в механике грунтов. Для тензорно-параметрических вариантов теории неупругости эндохронного типа [71] геометрически нелинейные определяющие соотношения до начала исследований автора диссертации [94] не предлагались.

Отмеченные обстоятельства позволяют поставить цели представленного исследования: сформулировать конкретный вариант тензорно-параметрических определяющих соотношений теории неупругости без поверхности текучести; обобщить построенную модель эндохронного типа на область больших деформаций и поворотов, учитывая в том числе и временные эффекты; на широком спектре траекторий деформирования и нагружения продемонстрировать возможности предлагаемой теории; выявить достоинства и дискуссионные моменты нового подхода; отметить место новой теории в ряду ей подобных и указать возможные направления дальнейшего развития подхода.

При этом в работе предполагается исследовать неупругое поведение материалов только в изотермических условиях, включая как процессы вязкопластичности, так и ползучести. Вопросы, относящиеся к оценке влияния температуры на связь между напряжениями и деформациями, на параметры определяющих соотношений, а также неизотермическое деформирование не рассматривается. Это вопросы достаточно широко освещены в классических монографиях [16], [197], [225] и статьях [153], [282], [298], [310].

Дополнительные ссылки можно найти, например, и в обзоре [38].

В диссертации постулируется первоначальная изотропность материала, а вопросы, связанные с его исходной анизотропией, не затрагиваются.

Кроме того, пренебрегается влиянием нечетных инвариантов на связь напряжений и деформаций, а также взаимным влиянием их девиаторных и объемных составляющих.

Основной акцент в работе сделан на качественные расчеты и качественный анализ определяющих уравнений. Проведение количественных расчетов ограничивается весьма скудным набором экспериментальных данных неупругого поведения материалов в области больших деформаций, особенно на сложных путях нагружения, и деформирования.

При этом вопросы, относящиеся к различным вычислительным аспектам, особым образом не анализируются. Отсутствуют и постановки краевых задач как для малых, так и больших деформаций. Эти важные для инженеров и практиков темы достаточно полно представлены, например, в монографиях [42], [147], [192], [289], [305].

В процессе изложения автор не предлагает единый обзор литературы по всем темам работы. В каждой главе представлены ссылки на работы других исследователей, непосредственно относящиеся к рассматриваемой теме. Ссылки приводятся в алфавитном порядке.

Первая глава диссертационной работы посвящена эндохронным вариантам теории неупругости для малых деформаций. Представлен краткий исторический обзор этапов развития эндохронных теорий, отмечены достоинства и недостатки подхода, описаны существующие возможности теории. Отмечено, что в основу дальнейших модельных построений положен дифференциальный тензорно-параметрический подход, предложенный Кадашевичем [71] и развиваемый затем учениками его школы [75], [77], [81], [95]. Указаны связи и методы перехода от теорий пластического течения с изотропно-кинематическим упрочнением к тензорно-параметрическим эндохронным моделям неупругости без поверхности текучести. Предложены новые варианты тензорно-параметрических определяющих соотношений эндохронного типа, работающие в различных интервалах ; изменения параметров эндохронности и имеющие иные, по отношению к исходным, предельные случаи. Отдельно рассмотрены вопросы, связанные с объемными компонентами тензоров напряжений и деформаций в эндохронном подходе и предложены некоторые новые варианты учета уплотнения (разрыхления) материала. Отмечены особенности учета временных эффектов в эндохронных теориях неупругости и выбран основной вариант для дальнейших исследований. Указаны методы нахождения констант и функций, входящих в определяющие соотношения теории.

Во второй главе представлены модель и кинематика деформируемой сплошной среды, приведен обзор существующих мер деформации и напряжений, рассмотрены варианты их объективных производных. Особое внимание уделяется коротационным производным и мерам деформации, не входящим в класс мер деформаций Хилла. Отмечен ряд вопросов, связанных с выбором меры деформации и напряжений для записи геометрически нелинейных определяющих соотношений теорий неупругости. В приложении к главе устанавливается инвариантность и индифферентность по отношению к жесткому движению используемых в исследовании тензоров, включая деформации, напряжения и их производные.

В третьей главе указаны основные принципы обобщения уравнений эндохронной теории неупругости на область больших деформаций и поворотов, представлены определяющие соотношения тензорно-параметрического типа для девиаторных и шаровых компонент тензоров. Предложен вариант теории для больших деформаций, учитывающий временные эффекты. В приложении к главе рассмотрены вопросы, связанные с ролью градиента деформаций, и отмечены некоторые методы вычисления ортогонального тензора поворота.

В четвертой главе в рамках предложенных геометрически нелинейных определяющих соотношений эндохронного типа рассмотрен ряд примеров моделирования неупругого поведения материалов: простое жесткое нагружение (простой сдвиг, растяжении, сжатие, внутреннее давление, пропорциональное нагружение); простое мягкое нагружение; сложное жесткое нагружение на плоских многозвенных траекториях деформирования, включая «траектории с разгрузкой»; жесткое циклическое симметрическое нагружение материалов; непропорциональные циклические нагружения и отнулевая циклика; двойной и тройной жесткий сдвиг. Отмечается, что предложенные соотношения адекватно экспериментальным наблюдениям описывают неупругое поведение материалов, а учет геометрической нелинейности обогащает возможности теории.

В пятой главе исследованы возможности тензорно-параметрических вариантов эндохронной теории для больших деформаций и поворотов с учетом временных эффектов. Проведены качественные расчеты простого жесткого и мягкого нагружения, решены некоторые задачи ползучести и релаксации, жесткого циклического нагружения вязкоупругопластического материала. Рассмотрены, в том числе материалы, обладающие нестабильностью поведения при циклическом нагружении. Определенное внимание уделено описанию «эффектов 2-го порядка»: явлений типа «эффекта» Портевена-ЛаШателье и Савара-Массона, непротиворечивому прогнозированию поведения материала при изохорическом нагружении, моделированию поведения разупрочняющихся материалов. В приложении к главе проанализированы вопросы, связанные с возникновением неустойчивостей неупругого деформирования на активных траекториях деформирования.

В заключении приведены основные выводы по работе.

По результатам исследования на защиту выносятся:

1. Новые тензорно-параметрические определяющие соотношения теории неупругости эндохронного типа для малых деформаций.

2. Новый закон эндохронного типа, учитывающий уплотнение (разрыхление) материала.

3. Тензорно-параметрические уравнения теории неупругости без поверхности текучести, учитывающие временные эффекты.

4. Мера деформации, не входящая в класс мер деформаций Хилла и энергетически сопряженная с тензорами напряжений Коши и Кирхгофа.

5. Формулировка определяющих соотношений неупругости эндохронного типа в области больших деформаций и поворотов.

6. Постановка и решение задач жесткого и мягкого нагружения материалов в рамках представленной эндохронной теории неупругости для больших деформаций.

7. Схема построения собственного ортогонального тензора поворота с использованием кососимметрических тензоров.

Предложенные в работе варианты определяющих соотношений неупругости и методы их интегрирования могут быть использованы при разработке алгоритмов и пакетов программ в практике расчетов напряженно-деформированного состояния элементов конструкций.

Сформулированные геометрически нелинейные эндохронные уравнения могут быть наиболее полезны в случаях, когда упругие деформации малы, а неупругие - большие, когда в экспериментах практически невозможно разделить деформацию на упругую и неупругую составляющие, например, при деформировании ряда полимеров и геоматериалов.

Некоторые обозначения, применяемые в тексте сгу - тензор действующих напряжений; є у - тензор деформаций; у - тензор упругих деформаций; у - тензор неупругих деформаций; у - тензор пластических деформаций; Ру - тензор микронапряжений; Ту = <7у - ру - тензор активных напряжений; Гу - параметрический тензор;

8у - дельта Кронекера (единичный тензор 2-го ранга / );

Сто — (Уц ={сУу8у)!3 - среднее нормальное напряжение (первый инвариант тензора действующих напряжений); о = £ц = (єу 8у )/3 - среднее удлинение (первый инвариант тензора деформаций); о = єн = 8у ) / 3 - первый инвариант тензора пластических деформаций; А) ~ Ріі ~ (Ру ду)/3 ~ первый инвариант тензора микронапряжений; Г0 — (Ту 8у )/3 - объемная составляющая тензора активных напряжений; сгу — <Уу — Сто 8у - девиатор тензора действующих напряжений; є'у = £у — ¿"о 8у - девиатор тензора деформаций; у = є у — ¿'о 8у - девиатор тензора упругих деформаций; у = £у - £д8у - девиатор тензора неупрутих деформаций; 4 - £$8ц - девиатор тензора пластических деформаций;

I = н p\j — Pij — Po Sij - девиатор тензора микронапряжений; Ту = ci'ij — p\j - девиатор тензора активных напряжений; г'д = Гу — r0 Sy - девиатор параметрического тензора; jj = І <71 = ■yjo'jj '•

Pi = I р | = jp'ij : p\j - интенсивность (норма) тензора микронапряжений; 7} = | Т | = jTy : T-j - интенсивность (норма) тензора активных напряжений; Гі — | г | = ^jr'y : Гу - интенсивность (норма) параметрического тензора; dОдквиста); dr = yjdry : dry - приращение интенсивности параметрического тензора; с7Т - предел текучести материала; G - модуль сдвига; Е - модуль Юнга;

К -модуль объемного сжатия; V - коэффициент Пуассона;

С = А- В — Аік В/у = Су - скалярное (внутреннее) произведение тензоров свертка компонент тензоров по одному повторяющемуся индексу (результат операции - тензор);

А: В = Аік • В^ • б у — Аік Вкі - двойное скалярное произведение симметричных тензоров - свертка компонент тензора по двум повторяющимся индексам (результат операции - инвариант тензора - число); -> -> -> -> а® Ъ = а і ® Ъ у - операция диадного произведения векторов (результат операции - тензор).

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Помыткин, Сергей Павлович

Выводы

Таким образом, в работе:

1. Четко указана схема перехода от уравнений теорий течения к теориям без поверхности текучести. Предложены новые конкретные варианты тензорно-параметрических определяющих соотношений теории неупругости без поверхности текучести, включая учет временных явлений. Представленные уравнения обобщают ряд классических теорий течения с изотропно-кинематическим упрочнением и некоторые варианты эндохронной теории Валаниса. Указаны методы определения констант и функций материала, входящих в уравнения модели.

2. Предложены новые эндохронные соотношения для объемных составляющих тензоров, входящих в уравнения теории. Приведенные примеры продемонстрировали возможности этих уравнений для описания поведения уплотняемых материалов.

3. В рамках классической кинематики сплошной среды выбран метод обобщения определяющих соотношений неупругости на область больших деформаций и поворотов. В используемой схеме исключения поворотов и дифференцирования приведенных материальных тензоров автоматически генерируется коротационная производная Грина-Нахди, что исключает проблему выбора типа объективной производной для пространственных тензоров, входящих в определяющие соотношения теории.

4. В процессе обобщения необходимо вводится новая мера деформации, не входящая в классическое семейство деформаций Хилла. Новая мера деформации энергетически сопряжена по мощности с тензорами напряжений Коши и Кирхгофа, порождается нейтральной коротационной производной Грина-Нахди и определяется решением дифференциального уравнения при естественных начальных условиях.

5. Сформулированы геометрически нелинейные тензорно-параметрические определяющие соотношения теории неупругости без поверхности текучести. Предложенные уравнения обобщены на случаи, учитывающие временные явления, проходящие в неупруго деформируемых материалах. В предельных случаях представленные геометрически нелинейные уравнения хорошо согласуются с рядом классических теорий пластичности, вязкопластичности и ползучести как в рамках теории течения, так и в их эндохронных вариантах.

6. Многочисленные качественные расчеты жесткого и мягкого наружения на простых и сложных траекториях пластического деформирования, включая пути с разгрузкой и циклические нагружения, продемонстрировали непротиворечивость модельного поведения материала основным экспериментальным фактам. Отмечено, что в отдельных случаях учет в определяющих соотношениях теории больших деформаций и поворотов обогащает её описательные и предсказательные возможности.

7. Решённые в рамках эндохронной теории неупругости для больших деформаций и поворотов, учитывающей временные эффекты, задачи, позволяющие корректно описывать поведение материалов в условиях вязкопластичности, ползучести и релаксации, подтвердили потенциал и перспективность предложенных определяющих соотношений теории.

8. Качественные расчеты изохорического деформирования, моделирование поведения разупрочняющихся и циклически нестабильных материалов, а также прогнозируемое (и управляемое с помощью параметров модели) зарождение и развитие периодических осцилляций напряжений и деформаций на активных траекториях деформирования и нагружения могут инициировать дальнейшие экспериментальные и теоретические исследования в этом направлении.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Помыткин, Сергей Павлович, 2013 год

1. Айнбиндер С.Б., Алкене К.И., Тюнина Э.А., Лака М.Г. Свойства полимеров при высоких давлениях. М.: Химия, 1973, 194с.

2. Андронов И.Н., Богданов Н.П., Лихачев В.А. Закономерности осевого деформирования металлов при пластическом кручении // Проблемы прочности. 1989. N6. С.86-88.

3. Андронов И.Н., Беляев С.П., Каменцева З.П., Кузьмин С.Л., Лихачев

4. B.А., Рогачевская М.Ю., Тошпулатов Ч.Х. Осевые деформации в никелиде титана, инициированные кручением // Проблемы прочности. 1990. N3. С.117-119.

5. Аннин Б.Д., Коробейников С.Н. Допустимые формы упругих законов деформирования в определяющих соотношениях упруго-пластичности // Сибирский журнал индустриальной математики. 1998. Т.1. N1. С.21-34.

6. Аннин Б.Д., Коробейников С.Н. Обобщенные сопряженные тензоры напряжений и деформаций // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т.7. N3. С.21-43.

7. Арутюнян P.A. К теории пластичности стареющих сплавов // Исследования по упругости и пластичности. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. N12.1. C.125-129.

8. Арутюнян P.A. Об учете эффекта Баушингера и объемной пластической деформации в теории пластичности // Исследования по упругости и пластичности. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1968. N7. С.53-61.

9. Арутюнян P.A. Проблема деформационного старения и длительного разрушения в механике материалов. СПб: Изд-во СПбГУ, 2004. 252с.

10. Бажант Э. Эндохронная теория неупругости и инкрементальная теория пластичности // Механика деформируемых твердых тел. Направления развития. М.: Мир, 1983. С. 189-229.

11. Батдорф С.Б., Будянский Б.В. Математическая теория пластичности, основанная на концепции скольжения // Механика. 1962. N1. С.135-155.11.