Емкостные свойства равномерно совершенных множеств и конденсаторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Лазарева, Оксана Александровна

• Лазарева, Оксана Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лазарева, Оксана Александровна

Введение

1. Основные понятия и обозначения

1.1. Общая терминология и обозначения.

1.2. Конформная емкость обобщенного конденсатора.

1.3. Заполнение конденсаторов и сходимость кольцевых областей

1.4. Трансфинитный диаметр и трансфинитный модуль.

2. Равномерно-совершенные множества и их свойства 52 2.1. Определения равномерно совершенного множества.

2.2. Теоремы сходимости для равномерно совершенных множеств

2.3. Метрическая связность равномерно совершенного множества

3. Конформная емкость равномерно-совершенных конденсаторов

3.1. Конденсаторы с равномерно совершенными пластинами

3.2. Экстремальная функция для конформной емкости.

3.3. Непрерывность конформного модуля по равномерно совершенной пластине конденсатора.

3.4. Нижние оценки конформной емкости равномерно совершенных конденсаторов.

4. Приведенный модуль равномерно-совершенного множества

4.1. Определение приведенного модуля и его связь с другими понятиями теории потенциала.

4.2. Нижняя и верхняя оценки приведенного модуля.

4.3. Непрерывность приведенного модуля в классе равномерно совершенных компактов.

4.4. Непрерывность приведенного модуля относительно сходимости к ядру.

О. Дополнения

Б1. Дополнение к главе 1.

1)2. Дополнение к

§3.2 главы. II.

БЗ. Дополнение к

§4.1 главы IV.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Емкостные свойства равномерно совершенных множеств и конденсаторов»

Главным объектом исследований, представленных в данной работе, служит конформная емкость пространственных конденсаторов и свойства приведенных модулей компактных множеств в пространстве. Использование конформной емкости в теории пространственных квазиконформных отображений, начавшееся в середине прошлого века с работ Ф. Геринга и Ю.Г. Ре-шетняка, наряду с применением мощного метода модулей семейств кривых (Б. Фюгледе, Б.В. Шабат, В.А. Зорич, Ю. Вяйсяля, И.П. Митюк, В.М. Ми-клюков, A.B. Сычев, П.М. Тамразов, В.А. Шлык и др.), уже доказавшим свою эффективность в решении экстремальных задач терпи однолистных аналитических функций (Дж. Дженкинс, Г.В. Кузьмина, В.Н. Дубинин и др.), способствовало созданию современной теории квазиконорфных, квазирегулярных и квазимероморфных отображений, находящей многообразные приложения в смежных областях топологии (теория клейновых групп и многообразий - JL Альфорс, А. Бердон, Ф. Геринг, Б. Ананасов, A.B. Те-тенов и др.), геометрии (теория минимальных поверхностей - В.М. Ми-клюков, теория орбифолдов - А.Д. Медных, А.Ю. Веснин и др.), математического анализа (анализ на группах Карно и Каратеодори - С.К. Водопьянов, П. Коскела и др.), дифференциальных уравнений эллиптического типа (В.Г. Мазья, Ю.Г. Решетняк, Б. Боярский, Т. Иванец и др.). Теорема о равенстве конформной емкости конденсатора и модуля семейства кривых, соединяющих его пластины, доказанная в самой общей форме В.А. Шлыком в 1993 г., устанавливает эквивалентность методов, основанных на применении емкости конденсаторов и модулей семейств кривых. В настоящее время эти методы играют важную роль в теории соболевких функциональных классов на достаточно общих метрических пространствах (П. Хайлаш, М. Громов, С.К. Водопьянов, П. Коскела, Ю. Хейнонен и др.).

Приведенный модуль - асимптотика конформного модуля конденсатора с вырождающейся пластиной - играет важную роль в теории аналитических функций на протяжении всего XX века, и его пространственный аналог, введенный в работах И.П. Митюка, находит применение в теории квазиконформных отображений и емкостной томографии. Мощный импульс развитию терии и приложениям приведенных модулей дали работы В.Н. Дубинина и его учеников, по изучению более общего понятия приведенного модуля в системе точек.

Важнейшую роль в теории конформной емкости конденсаторов и теории приведенных модулей играют методы получения оценок для этих величин и свойство непрерывности рассматриваемых емкостных характеристик компактных множеств и конденсаторов относительно топологической сходимости. Известные нижние оценки для конформной емкости конденсатора и верхние оценки для приведенного модуля были получены в литературе только для конденсаторов со связными пластинами и, соответственно, для связных компактов. В тех же условиях были установлены и теоремы сходимости для этих характеристик. Рассмотрение свойства непрерывности конформной емкости для конденсаторов с разрывными пластинами было начато в работах П.М. Тамразова и продолжено исследованиями В.В. Асеева, в которых условие связности пластин конденсатора было заменено условием их равномерной совершенности. Понятие равномерно совершенного множества, введенное на плоскости (Л. Альфорс и А. Берлинг, Ч. Помме-ренке), и его обобщение на случай произвольных метрических пространств (П. Тукия и Ю. Вяйсяля, П. Ярви и М. Вуоринен) оказалось весьма плодотворным метрическим аналогом топологической связности и, как показано в данной диссертации, позволяет получить в классе конденсаторов с равномерно совершенными пластинами такие же результаты, какие были получены ранее для конденсаторов со связными пластинами (нижние оценки конформной емкости, верхние оценки приведенного модуля, теоремы сходимости конформной емкости и приведенного модуля относительно топологической сходимости и относительно сходимости к ядру).

В первой главе диссертации дано описание используемой символики и основных понятий из теоретико-множественной топологии, метрической топологии и теории отображений и, в частности, определения конформной емкости и конформного модуля конденсаторов. Приведены с указанием источников основные теоремы о свойствах конформной емкости, и, в том числе, теорема Геринга о непрерывности конформного модуля кольцевых областей относительно топологической сходимости. Приведено общее определение и свойства трансфинитного диаметра и трансфинитного модуля в полуметрических пространствах. Эта глава не содержит новых результатов и имеет вспомогательный характер.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лазарева, Оксана Александровна, 2010 год

1. Аксентьев J1.A. Локальное строение поверхности внутреннего конформного радиуса для плоской области.// - Изв. вузов. Математика. -2002. - No 4. - Стр. 3-12.

2. Аксентьев Л.А. Выпуклость поверхности конформного радиуса и оценки коэффициентов отображающей функции.// Изв. вузов. Математика, 2004, No 4, стр. 8-15.

3. Андриевский В.В. Прямые теоремы теории приближения на квазиконформных дугах.// М. - 1979. - Деп. в ВИНИТИ. - № 313-79 Деп.

4. Асеев В.В. Непрерывность конформной емкости для конденсаторов с равномерно совершенными пластинами.// Сиб. матем. ж. - 1999. - Т. 40. No 2. - Стр. 243-253.

5. Асеев В.В. Обобщенный приведенный модуль в пространственных задачах емкостной томографии.// Дальневосточн. матем. ж. - 2007. - Т. 7. N0 1-2. - Стр. 17-29.

6. Асеев В.В. Факторизация пространства конденсаторов и сходимость к ядру.// Вестник НГУ. - 2009. - Т. 9. - Вып.1. - Стр. 3-23.

7. Асеев В.В. Кузин Д.Г., Лазарева O.A. Трансфинитный диаметр. Часть 1, Определение и основные свойства. (Учебно-методическое пособие к курсу «Геометрическая теория функций и отображений»).// Новосибирск: Изд-во НГУ. - 2005. - 56 стр.

8. Асеев В.В., Лазарева O.A. Трансфинитные диаметры и модули конденсаторов в полуметрических пространствах.// Дальневосточн. матем. ж. - 2004. - Т. 5. - No 1. - Стр. 12-21.

9. Асеев В.В., Лазарева O.A. О непрерывности приведенного модуля и трансфинитного диаметра.// Изв. вузов, матем. - 2006. - No 10(533). -Стр. 10-18.

10. Асеев В.В., Лазарева O.A. Отображения полуметрических пространств, сохраняющие трансфинитные модули.// Материалы конф. "Геом. анализ и его приложения". - Волгоград. - 2004. - Стр. 12-14.

11. Асеев В.В., Лазарева O.A. О непрерывности приведенного модуля и трансфинитного диаметра.// Материалы междунар. конф. "Алгебра и анализ". - Казань. - 2004. - Стр. 80-81

12. Асеев В.В., Сычев A.B. Заполнение конденсаторов и сходимость к ядру.// Вестник НГУ. - 2005. Т. 5. - No 3. - Стр. 3-19.

13. Асеев В.В., Сычев A.B. О множествах, устранимых для пространственных квазиконформных отображений.// Сибирск. матем. ж. - 1974.- Т.15. No 6. - Стр. 1213-1227.

14. Асеев В.В., Тетенов A.B., Кравченко A.C. О самоподобных жор-дановых кривых на плоскости.// Сиб. матем. ж. - 2003. - Т. 44. - No 3.- Стр. 481-492.

15. Асеев В.В., Троценко Д.А. Квазисимметрические вложения, четверки точек и искажение модулей.// Сибирск. матем. ж. - 1987. - Т. 28.- No 4. Стр. 543-548.

16. Бердон А. Геометрия дискретных групп.// М,: Наука - 1986. -304 стр.

17. Виттих Г. Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям.// М., Физматгиз. - 1960. - 319 стр.

18. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного.// М.: Наука. - 1970. - 320 стр.

19. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного.// М., Наука. - 1966. - 628 стр.

20. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения.// М.: ИЛ, 1962, 266 с.

21. Дубинин В.Н. Симметризация в геометрической теории функций.// Успехи мат. наук. - 1994. - Т. 49. - N0 1(295). - Стр. 3-76.

22. Дубинин В.Н. Некоторые свойства внутреннего приведенного модуля.// Сиб. матем. ж. - 1994. - Т. 35. - N0 4, - Стр. 774-792.

23. Дубинин В.Н. Приведенные модули открытых множеств в теории аналитических функций.// Доклады РАН. - 1998. - Т. 363. N0 6. - Стр. 731-734.

24. Дубинин В.Н. Емкости конденсаторов в геометрической теории функций.// Владивосток: Изд-во Дальневосточн. ун-та. - 2003. - 116 стр.

25. Дубинин В.Н., Ковалев Л.В. Приведенный модуль комплексной сферы.// Зап. науч. сем. ПОМИ. - 1998. - Т. 254. - Стр. 76-94.

26. Дубинин В.Н., Эйрих Н.В. Обобщенный приведенный модуль.//- Дальневосточн. матем. ж. 2002. - Т. 3. - N0 2, - Стр. 147-162.

27. Зорий Н.В. Одна точная оценка 2-емкости конденсатора.// Укр. матем. ж. - 1990 - Т. 42. - N0 2. - Стр. 253-257.

28. Зорий Н.В. О емкостях конденсаторов.// Укр. матем. ж. - 1990.- Т. 42. N0 7. - Стр. 912-918.

29. Зорий Н.В. Функциональные характеристики пространственных конденсаторов: их свойства и соотношения между ними.// Украинский мат. ж. - 1987. - Т. 39. - N0 5. - Стр. 565-573.

30. Зорич В.А. Теорема М.А. Лаврентьева о квазиконформных отображениях пространства.// Матем. сб. - 1967. - Т. 74. - Стр. 417-433.

31. Ибрагимов З.Ш. Метрическая плотность и квазимёбиусовы отображения.// Сибирск. матем. ж. - 2002. Т. 43. - No 5. - Стр. 1007-1019.

32. Ковалев JI.B. Монотонность обобщенного приведенного модуля.// Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2001. - Т. 276. - Стр. 219-236.

33. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах.// -М., Постмаркет. 2000. - 352 стр.

34. Кузнецов В.О. О свойствах конформного радиуса области.// -Зап. науч. семин. ПОМИ. 2001. - Т. 276. - Стр. 237-252.

35. Кузьмина Г.В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы./ / Труды мат. инст-та им. В.А. Стеклова. - Т. 139 - JL: Наука, Ленинградское отд. - 1980. - 240 стр.

36. Куратовский К. Топология.// Том 1. - 1966.- М.: Мир.

37. Куратовский К. Топология.// Том 2. - 1969. -М.: Мир.

38. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений.// Труды физ.-мат. ин-та АН СССР. - 1934. Т. 5. - Стр. 195-246.

39. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.// — М.: Наука. 1987. - 688 стр.

40. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Квазилинейные эллиптические уравнения и вариационное задачи со многими независимыми переменными.// Успехи матем. н. - 1961. - Т. 16. - Вып.1. - Стр. 19-20

41. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.// М.: Физматгиз. - 1964.

42. Лазарева O.A. О некоторых свойствах приведенного модуля в пространстве.// Сибирск. матем. ж. - 2008. - Т. 49. - No 1. - Стр. 145152.

43. Лазарева O.A. Непрерывность приведенного модуля и сходимость к ядру.// Тезисы докл. междунар. школы-конф. "Компл. анализ и его приложения"им. проф. И.П. Митюка". - Краснодар. - 2005. - Стр. 61.

44. Ландкоф H.С. Основы современной теории потенциала.// М., Наука. - 1966. - 516 стр.

45. Левицкий Б.Е. Приведенный р-модуль и внутренний р-гармонический радиус.// Доклады АН СССР. - 1991. - Т. 316. - No 4. -Стр. 812-815.

46. Левицкий Б.Е., Митюк И.П. Узкие теоремы о пространственных модулях.// Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 248. - No 4. - Стр. 780-783.

47. Левицкий Б.Е., Митюк И.П. Некоторые свойства квазиконформных отображений в пространстве.// Математический анализ. Сборник научн. тр. - Том 2. - Краснодар: Кубанский гос. ун-т. - 1975. - Стр. 79-98.

48. Мазья В.Г. Пространства Соболева.// Ленинград: Изд-во ЛГУ.- 1985. 416 стр.

49. Мазья В.Г. О непрерывности в граничной точке решений квазилинейных эллиптических уравнений.// Вестник ЛГУ. - 1970. - No 13. -Вып.З. - Стр. 42-55.

50. Мазья В.Г., Хавин В. П. Нелинейные теории потенциала.// Успехи мат. наук. - 1972. - Т. 27. - № 6. - Стр. 66-138.

51. Миклюков В.М. Об устранимых особенностях квазиконформных отображений в пространстве.// Докл. АН СССР. - 1969. - Т. 188. - No 3.- Стр. 525-527.

52. Миклюков В.М. О некоторых граничных задачах теории конформных отображений.// Сибирск. матем.ж. - 1977. - Т. 18. - No 5. - Стр. 1111-1124.

53. Митюк И.П. Приведений модуль у випадку простору.// ДАН УРСР. - 1964. - Т. 5, Стр. 563-566.

54. Митюк И.П. Про квазиконформш воображения в npocTopi.// -Доповад АН УРСР. 1964. - No 8. - Стр. 1022-119.

55. Миткж И.П. Обобщенный приведенный модуль и некоторые его свойства.// Изв. вузов. Математика. - 1964. - No 2 - Стр. 110-119.

56. Мостов Г.Д. Квазиконформные отображения в n-мерном пространстве и жесткость гиперболических пространственных форм.// Матем. Сб. переводов. - 1972. - Т. 16. - No 5. - Стр. 105-107.

57. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях.// М.: Мир. - 1971.

58. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением.// Новосибирск: Наука. - 1982.

59. Солынин А.Ю. О разделении континуумов окружностями.// -Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1988. - Т. 168. - Стр. 154-157.

60. Солынин А.Ю. Неравенство Юнга для трансфинитного диаметра.// Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1991. - Т. 196. - Стр. 132-137.

61. Сычев A.B. Модули и пространственные квазиконформные отображения./ / Новосибирск: Наука. - 1983. - 152 стр.

62. Хаусдорф Ф. Теория множеств.// М.: ОНТИ НКТП СССР. -1937.

63. Шлык В.А. О равенстве р-емкости и р-модуля.// Сибирск. матем. ж. - 1993. - Т. 34. - No 6. - Стр. 216-221.

64. Математическая энциклопедия. // Том 2. Д-Коо. - М.: Изд-во «Советская энциклопедия». - 1979. - 1104 с.

65. Ahlfors L., Beurling A. Conformai invariants and functional-theoretic null-sets.// Acta Math. - 1950. - V. 83. - Pp. 101-129.

66. Anderson G.D., Vamanamurthy M.K. The transfinite moduli of condensers in space.// Tohoku Math. J. - 1988. - V. 40. - No 1. - Pp. 1-25.

67. Aseev V.V. Quasi-symmetric embeddings.// J. Math. Sei. (NewYork). 2002. - V. 108. - No 3. - Pp. 375-410.

68. Bagby T. The modulus of a plane condenser.// J. Math. Mech. -1967. - V. 17. - Pp.315-329.

69. Beardon A.F. The Apollonian metric of a domain in Rn-// -«Quasiconformal mappings and analysis (Ann Arbor, MI, 1995)». Springerverlag: New York. - 1998. - Pp. 91-108.

70. Beardon A.F., Pommerenke Ch. The Poincare metric of plane domains.// J. London Math. Soc.(2). - 1978. - V. 18. - Pp. 475-483.

71. Caraman P. n-Dimensional quasiconformal (QCf) mappings.// -Abacus Press Tunbridge Wells, Kent, England. 1974. - 554 p.

72. Caraman P. New cases of equality between p-modulus and incapacity.// Ann. polon. math. - 1991. - V. 55. - Pp. 37-56.

73. Caraman P. Relations between p-capacity and p-module (II).// Rev. Roumaine Math. Pures Appl. - 1994. - V. 39. - No 6. - Pp. 555-577.

74. Clarkson I.A. On uniformly convex spaces.// Trans. Amer. Math. Soc. - 1936 - V. 40. - Pp. 396-414.

75. Clop A. Nonremovable sets for Holder continuous quasiregular mappings in the plane.// arXiv:math/0604444vl math.AP] 20 Apr 2006, pp.1-17; - Michigan Math. J. - 2007. - V. 55. - No 1. - Pp. 195-208.

76. Edgar G.A. Measure, topology, and fractal geometry. (Corrected third printing).// Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg. - 1995. - 232 p.

77. Falconer K. Techniques in fractal geometry.// John Wiley & Sons, Chichester - New York - e.a. - 1996. - 256 p.

78. Fekete M. Uber die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten.// Math. Zeitschr. - 1923. - V. 17. - Pp. 228-249.

79. Fuglede B. Extremal length and functional completion.// Acta Math.- 1957. V. 98. - No 3-4. - Pp. 171-219.

80. Gamelin Th. Complex Dynamics.// Springer-Verlag. - 1993. - 174P

81. Gehring F.W. Rings and quasiconformal mappings in space.// Trans. Amer. Math. Soc. - 1962. - V. 103. - No 3. - Pp. 353-393.

82. Gehring F.W. Quasiconformal mappings.// «Complex Analysis and its Applications. Lect. Int. Semin. Course. Trieste, 1975, Vol.2» - Vienna. -1976. - Pp.213-268.

83. Gehring F.W. A remark on the moduli of rings.// Comment, math, helv. - 1961. - V. 36. - No 1. - Pp. 42-46.

84. Gehring F.W. Symmetrization of rings in space.// Trans. Amer. Math. Soc. - 1961 - V. 101. - No 3. - Pp. 499-519.

85. Gehring F.W., Vaisala J. Hausdorff dimension and quasiconformal mappings.// J. London Math. Soc. - 2 ser. - 1973. - V. 6. - Part 3. - Pp. 504-512.

86. Granlund S., Lindquist P., Martio O. Conformally invariant variational integrals.// Trans. Amer. Math. Soc. - 1983. - V. 277. - Pp.43-73.

87. Granlund S., Lindquist P., Martio O. F-harmonic measure in space.//- Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1 Math. 1982. - V. 7. - Pp. 233-247.

88. Heinonen J., Koskela P. Quasiconformal maps in metric spaces with controlled geometry.// Acta Math. - 1998. - V. 181. - No 1. - Pp. 1-61.

89. Hesse J. A p-extremal length and p-capacity equality.// Ark. Math.- 1975. V. 13. - No 1. - pp. 131-144.

90. Hinkkanen A. Julia sets of rational function are uniformly perfect.//- Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1993. - V. 113. - Pp. 543-559.

91. Hinkkanen A. Julia sets of polynomials are uniformly perfect.// -Bull. London Math. Soc. 1994. - V. 26. No 2, Pp. 153-159.

92. Hutchinson J. Fractals and self-similarity.// Indiana Univ. Math. J.- 1981. V. 30. - No 5. - Pp. 713-747.

93. Jârvi P., Vuorinen M. Uniformly perfect sets and quasiregular mappings.// J. London Math. Soc. - Ser. 2. - 1996. - V. 54. - No 174. -Part 3. - Pp.515-529.

94. Koskela P., McManus P. Quasiconformal mappings and Sobolev spaces.// Studia Math. - 1998. - V. 131. - No 1, Pp. 1-17.

95. Kiïnzi H. Quasikonforme Abbildungen.// Springer-Verlag, Berlin-Gôttingen-Heidelberg. - 1960. - 182 p.

96. Lebesque H. Sur le problème de Dirichlet.// Rend. Cire. Mat. Palermo. - 1907. - V. 24. - Pp. 371-402.

97. Lindquist P., Martio 0. Two theorems of N. Wiener for solutions of quasilinear elliptic equations.// Acta Math. - 1985. - V. 155. - Pp. 153-171

98. Loewner Ch. On the conformai capacity in space.// J. Math. Mech.- 1959. V. 8. - Pp. 411-414.

99. Mane R., da Rocha L.F. Julia sets are uniformly perfect.// Proc. Amer. Math. Soc. - 1992. - V. 116. - No 1, - Pp. 251-257.

100. Martio O. Equicontinuity theorem with an application to variational integrals.// Duke Math. J. - 1975. - V. 42. - Pp. 569-581.

101. Martio O., Rickman S., Vaisàlà J. Topological and metric properties of quasiregular mappings.// Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser A1 Math. - 1971. -V. 488. - Pp. 1-31.

102. Michael E. Topology on spaces of subsets.// Trans. Amer. Math. Soc. - 1951. - V. 71. - No 1. - Pp. 152-182.1103. Nâkki R. Extension of Loewner's capacity theorem.// Trans. Amer. Math. Soc. - 1973. - V. 180. - Pp. 229-236.

103. Norton A. Functions non constant on fractal quasi-arcs of criticalpoints.// Proc. Amer. Math. Soc. - 1989. - V. 106. - No 2. - Pp. 397-405.

104. Polya G., Szegö G. Uber den transfiniten Durchmesser (Kapazitätskonstante) von ebenen und räumlichen Punktmengen.// Journ. für reine und angewandte Math. - 1931. - V. 165. - No 1. - Pp. 4-49

105. Pommerenke Ch. Uniformly perfect sets and the Poincare metric.//- Arch. Math. 1979. - V. 32. - No. 2. - Pp. 192-199.

106. Pommerenke Ch. On uniformly perfect sets and Fuchsian groups.//- Analysis. 1984. - V. 4. - No 3/4. - Pp.299-321.

107. Rickman S. Characterization of quasiconformal arcs.// Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. AI Math. - 1966. - V. 395. - Pp. 1-30.

108. Stankewitz R. Uniformly perfect sets, rational semigroups , Kleinian groups and IFS's.// Proc. Amer. Math. Soc. - 2000. - V. 128. - No 9. - Pp. 2569-2575.

109. Teichmüller O. Untersuchungen über konforme und quasikonforme Abbildun.// Deutsch. Math. - 1938. - V. 3. - Pp. 621-678.

110. Tsuji M. Potential theory in modern function theory.// Maruzen, Tokyo. - 1959.

111. Tukia P. Spaces and arcs of bounded turning.// Vichigan Math. J.- 1996. V. 43. - No 3. - Pp. 559-584.

112. Tukia P., Väisälä J. Quasisimmetric embeddings of metric spaces.//- Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser.Al. 1980. - V. 5. - pp.97-114.

113. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings.// -Lect. Notes Math. 1971. - V. 229. - Pp. 1-144.

114. Väisälä J. Capacity and measure.// Michigan Math. J. - 1975. -V. 22. - Pp. 1-3.

115. Väisälä J. On the null-sets for extremal lengths.// Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. A I. - 1962. - V. 322. - Pp. 1-12.

116. Vuorinen M. Conformal geometry and quasiregular mappings.// -Springer-Verlag, Berlin e.a. 1988. - 209 p. (Lect. Notes Math. - V. 1319).

117. Vuorinen M. Quadruples and spatial quasiconformal mappings.// -Math. Z. 1990. - V. 205. - Pp.617-628.

118. Vuorinen M. Some inequalities for the moduli of curve families.// Michigan Math. J. 1983. - V. 30. - Pp. 369-380.

119. Wallece A.D. Separation spaces.// Ann. Math. - 1941. - V. 42. -No 2. - Pp.687-697.

120. Wallin H. Metrical characterization of conformal capacity zero.// -J. Math. Anal. Appl. 1977. - V. 58. - Pp. 298-311.

121. Xe Feng, Yin Yong-chen, Sun Yeshun Uniform perfectness of self-affine sets.// Proc. Amer. Math. Soc. - 2003. - V. 131. - No 10. - Pp. 3053-3057.

122. Yang Sh. Monotone functions and extremal functions for condensers in Rn.// Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1 Math. - 1991. - V. 16. - Pp. 95-112.