Электронные свойства двумерных дираковских материалов с щелью в электронном спектре тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Акзянов Рамиль Шарифуллович

• Акзянов Рамиль Шарифуллович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Акзянов Рамиль Шарифуллович

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Фермион Майораны в конденсированных средах

1.2. Топологические изоляторы

1.3. Графен

Глава 2. Туннельный спектр закрепленного вихря с устойчивым майорановским состоянием

2.1. Введение

2.2. Уравнения Боголюбова-де Жена для мультивихря

2.3. Система с одним вихрем

2.4. Обсуждение

Глава 3. Фермион Майораны в островке

3.1. Введение

3.2. Микроскопическая модель

3.3. Один вихрь в островке

3.4. Возбужденные состояния

3.5. Обсуждение

Глава 4. Орбитальные эффекты магнитного поля в топологических сверхпроводниках

4.1. Микроскопическая модель

4.2. Расщепление по энергии майорановских состояний

4.3. Брейдинг

4.4. Решетка вихрей с фермионами Майораны

Глава 5. Подавление антиферромагентизма и экситонная фаза в двухслойном АА графене в поперечном электрическом поле

5.1. Введение

5.2. Гамильтониан двухслойного АА графена

5.3. Система с взаимодействием

5.4. Заключение

Глава 6. Транспортные свойства топологических изоляторов с гексагональным искажением

6.1. Модель

6.2. Недиагональная проводимость и QAHE

6.3. Беспорядок

6.4. Продольная проводимость

6.5. Обсуждение

Заключение

Список литературы

Введение

Исследование электронных свойств дираковских материалов привлекает значительное внимание научного сообщества. Это связано с необычными свойствами материалов с линейным спектром.

Одними из наиболее исследуемых дираковских материалов являются топологические изоляторы. Такие материалы являются изоляторами в толще вещества, а на поверхности из-за сильного спин-орбитального взаимодействия локализуются топологически защищенные состояния с дираковским спектром. Интересной особенностью данных состояний является жесткая связь импульса и спина. Недавние эксперименты показали, что в топологических изоляторах возможно реализовать рекордные по своим значениям спиновые токи, что делает топологические изоляторы перспективным материалом для устройств спинтроники, в частности для магнитной резистивной памяти с переносом спинового момента (ЯТТ-МИЛМ).

Если на поверхность топологического изолятора положить сверхпроводник с синглетным спариванием, то в такой системе в вихрях Абрикосова возможно реализовать фермионы Майораны. Данные состояния обладают неабелевой статистикой, что позволяет использовать их для топологических квантовых вычислений.

Другим активно исследуемым дираковским материалом является гра-фен. Большая подвижность зарядов в графене делает этот материал перспективным для создания транзисторов на его основе. Однако, в однослойном графене достаточно сложно открыть щель в электронном спектре. Если два слоя графена положить друг над другом, то возможно реализовать двухслойный графен различных конфигураций. В двухслойном графене щель может открываться из-за электрон-электронного взаимодействия или приложенного напряжения, что делает двухслойный графен перспективной платформой

для электроники.

Цель диссертационной работы

Основная цель данной работы - исследование электронных свойств ди-раковских материалов со щелью в электронном спектре. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

Первая задача касалась исследования вопроса устойчивости майора-новских состояний в структурах топологический изолятор/сверхпроводник с отверстием и сверхпроводящий островок на поверхности топологического изолятора. Получено, что в системе топологический изолятор/сверхпроводник с отверстием возможно реализовать фермион Майораны, который отделен от вышележащих состояний достаточно большой минищелью порядка наведенной сверхпроводящей щели. Также, устойчивый фермион Майораны возможно реализовать на краю сверхпроводящего островка на поверхности топологического изолятора, причем наличие фермиона Майораны на краю островка зависит от четности числа вихрей в островке.

Во второй задаче исследовалось влияние орбитальных эффектов магнитного поля на фермионы Майораны в топологических сверхпроводниках. Показано, что наряду с фермионом Майораны в вихре Абрикосова, магнитное поле локализует еще один фермион Майораны на расстоянии обратно пропорциональном магнитному полю. Управление положением такого внешнего фермиона Майораны с помощью магнитного поля возможно использовать для проведения квантовых вычислений. Наличие внешних фермионов Майораны существенно меняет квазичастичный спектр решетки вихрей.

Третья задача посвящена изучению двухслойного АА графена в поперечном электрическом поле. Электрон-электронное взаимодействие рассмотрено в рамках формализма среднего поля. Показано, что наряду с антиферромагнетизмом С типа стабилизируется сосуществующая экситонная фаза с антиферромагнитным упорядочением. Характерная величина экситонного

параметра составляет миллиэлектронвольты. Также, с помощью поперечного электрического поля возможно управлять щелью в электронном спектре.

В четвертой задаче подробно изучено влияние гексагонального искажения конуса Дирака поверхностных состояний на зарядовые транспортные характеристики топологического изолятора в магнитном поле. Получено, что при наличие гексагонального искажения возможно реализовать квантовый аномальный эффект Холла при наличии намагниченности в плоскости. При вращении магнитного поля в плоскости поперечная проводимость имеет симметрию соразмерную кристаллической симметрии топологического изолятора. Продольная проводимость растет с увеличением беспорядка при достаточно большом беспорядке. Также, при вращении магнитного поля в плоскости продольная проводимость имеет симметрию несоразмерную кристаллической симметрии топологического изолятора. Построенная теория хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Научная новизна

В данной работе присутствует ряд принципиально новых результатов. Показано, что на краю сверхпроводящего островка возможна реализация фермиона Майораны без использования ферромагнитных изоляторов. Также, впервые показано, что возможно локализовать фермион Майораны не на каком либо топологическом дефекте, а в толще образца. Показано, что магнитное поле локализует квазичастичные состояния в топологических сверхпроводниках вдали от вихря. Обнаружено сосуществование экситонной фазы с антиферромагнетизмом в двухслойном АА графене. Объяснено анизотропное магнетосопротивление топологических изоляторов в магнитном поле в плоскости поверхности.

Практическая значимость

Данная работа позволяет понять оптимальные параметры для эксперимен-

тальной реализации фермионов Майораны в структурах топологический изолятор/сверхпроводник. Простота предложенных схем, отсутствие ферромагнитных изоляторов и большая минищель между фермионом Майораны и возбужденными состояниями позволяют относительно простую экспериментальную реализацию майорановских состояний. Также, возможность управления положением фермиона Майораны с помощью магнитного поля дает возможность построения квантовых гейтов. Данные результаты важны для реализации топологических квантовых вычислений с помощью фермионов Майораны.

Управления щелью в двухслойном АА графене интересно для графеновой электроники. Также, реализация экситонной фазы представляет интерес для экспериментов по кулоновскому увлечению, что можно использовать для реализации низкодиссипативных транзисторов.

Понимание транспортных свойств топологических изоляторов способствует созданию новых быстрых и низкодиссипативных устройств электроники и спинтроники.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения.

1. В структуре топологический изолятор - сверхпроводник с отверстием возможно реализовать устойчивый фермион Майораны, который отделен от возбужденных состояний достаточно большой минищелью.

2. В сверхпроводящем островке на поверхности топологического изолятора возможно реализовать с помощью квантования Ландау устойчивый фермион Майораны на краю островка.

3. В топологических сверхпроводниках наряду с фермионом Майораны в вихре Абрикосова возможно локализовать внешний фермион Майораны

вдали от вихря на расстоянии обратно пропорциональном магнитному полю.

4. В двухслойном АА графене в поперечном электрическом поле наряду с антиферромагнетизмом возникает сосуществующая экситонная фаза с антиферромагнитным упорядочением.

5. Гексагональное искажение конуса Дирака поверхностных состояний топологического изолятора делает возможным реализацию анизотропного магнетосопротивления и аномального квантового эффекта Холла магнитным полем в плоскости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электронные свойства двумерных дираковских материалов с щелью в электронном спектре»

Апробация работы

По результатам этой работы были сделаны доклады на 55,56,57 научных конференциях МФТИ ( Долгопрудный), XIX и ХХ симпозиумах Нано-физика и Наноэлектроника (Нижний Новгород), конференциях Conference on Majorana Physics in Condensed Matter (Эриче), Workshop Quantum Matter and Quantum Devices (Делфт), 11th Capri Spring School on Transport in Nanostructures with special focus on Topological superconductivity (Анакапри), 20th International Conference on Magnetism (Барселона), Maj orana States in Condensed Matter (Пальма-де Майорка)

Публикации. По результатам работы опубликовано 7 статей в международных журналах, индексируемых SCOPUS и входящих в список ВАК.

Личный вклад автора Все теоретические результаты получены автором самостоятельно. Постановка первой и третей задач выполнялась научным руководителем, постановка второй и четвертой задач производилась автором совместно с научным руководителем. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка ис-

пользуемой литературы. Общий объём диссертации составляет 158 страниц, и содержит 45 графиков и рисунков и 1 таблицу.

Глава 1 Обзор литературы

В этой главе приведен обзор литературы по современному состоянию дел в физике конденсированного состояния по задачам, рассматриваемым в диссертации. В первой части обзора будут рассмотрены фермионы Майораны. Затем будут рассмотрены свойства топологических изоляторов. В конце будут рассмотрены однослойный и двухслойный графен.

1.1. Фермион Майораны в конденсированных средах

В данной части обзора будет рассмотрена тема фермионов Майораны в конденсированных средах. Интерес к данной тематике достаточно велик в последнее время. Это связано с возможность использования фермионов Майораны для топологически защищенных квантовых вычислений. В начале будут рассмотрены общие свойства фермионов Майораны. Затем обсуждаются физические системы, к которых возможно наблюдать фермионы Майораны и экспериментальные свидетельства существования фермионов Майораны. В конце данной части обзора приведены особенности топологических квантовых вычислений с фермионами Майораны.

1.1.1. Основные свойства фермионов Майораны

Фермион Майораны это фермион, который тождественен своей античастице. С математической точки зрения, оператор уничтожения фермиона

Майораны определяется как [1]

Ц = 1г

(1.1)

{1г,Ц } = ,

Вообще говоря, любой дираковский фермион (под дираковским фермионом мы понимаем стандартное определение фермионного оператора) может быть переписан через майорановские операторы

Ключевой момент заключается в том, что если фермионы Майораны пространственно разнесены, то получившийся дираковский фермион также является пространственно нелокальным. При этом его энергия, которая определяется перекрытием волновых функций пространственно разнесенных фер-мионов Майораны является экспоненциально малой [2]

где Ь это расстояние между фермионами Майораны, а £ это характерный масштаб пространственной когерентности. Мы будем считать, что фермионы Майораны являются хорошо определенными, если Ь ^ £ .В этом случае, любые локальные возмущения экспоненциально слабо влияют на состояние, определяемое двумя фермионами Майораны.

(1.2)

(1.3)

Фермион Майораны является топологическим состоянием, защищенным симметрией электрон-дырочного сопряжения. Данная симметрия аналогична С симметрии в физике частиц [1]

ЕН (к)Е = -Н (-к), (1.4) Е2 = -1

если

Н'фп = епфп, (1.5) Ег^п =

Сп п-

Приведенные выше выражения означают, что для каждого состояния с энергией е > 0 существует состояние с энергией — е > 0. Если же е = 0, то оператор электрон-дырочной симметрии переводит состояние в себя

= ФМР, (1.6)

Н^МР = 0.

Данное состояние и есть фермион Майораны.

1.1.2. Физические системы

Для реализации фермионов Майораны ключевой является симметрия электрон-дырочного сопряжения. Данная симметрия возникает в уравнениях Боголюбова-де Жена, которые описывают сверхпроводимость [1]. В этом случае, оператор электрон-дырочного сопряжения задается как Е = аутуК, где матрица Паули о^ действует в пространстве спинов, в электрон-дырочном базисе, К это оператор комплексного сопряжения. Однако, только одной сверхпроводимости недостаточно для реализации пространственно разделенных фермионов Майораны. Для этого необходимо снять все возможные типы

вырождения. При наличии симметрии по обращению ко времени Т = гауК имеется вырождение Крамерса. Оно означает, что каждое состояние вырождено по энергии. Для фермиона Майораны [3]

■фмР =

/ Х

д

д' )

(1.7)

его крамерсовский двойник запишется как

Ф'м ^ = ТФмр =

( \ ^ -/

\ /

(1.8)

причем плотность состояний крамерсовского партнера и фермиона Майораны равны

|2 = 2|/12 + 2|д|2 = |2 (1.9)

Сколь угодно малое нарушение симметрии по обращению ко времени, например магнитным полем, приведет к гибридизации майорановских состояний. Значит симметрия по обращению ко времени должна быть нарушена для получения изолированного фермиона Майораны.

Как было сказано выше, фермион Майораны является топологическим состоянием. Для его реализации необходима нетривиальная топология зонной структуры. Известно, что во многих материалах сильное спин-орбитальное взаимодействие приводит к нетривиальной топологии, так что логично рассматривать именно материалы с сильным спин-орбитальным взаимодействием [4].

Итак, для реализации пространственно разделенных фермионов Майо-

раны необходим следующий рецепт

сверхпроводимость + магнитное поле + нетривиальная топология (1.10)

Самый простой способ простой способ объединить все три ингредиента это триплетный сверхпроводящий параметр порядка. Он отвечает спариванию между электронами с одинаковым спином. Если мы сделаем одномерную цепочку из сверхпроводника с триплетным спариванием, то на ее концах локализуются фермионы Майораны [5]. В реальных сверхпроводниках всегда присутствует спиновая степень свободы. Более того, триплетный параметр порядка является достаточно редким в природе (единственный кандидат -это рутенат стронция 8г2Ки04 [6]).

Для получения топологических сверхпроводников наиболее технологичным способом делают гетероструктуры из нескольких материалов с необходимыми свойствами. Если взять одномерную проволочку из материала с сильным спин-орбитальным взаимодействием (1пЛэ или 1пБЬ) и положить на сверхпроводник второго рода, то из-за эффекта близости сверхпроводимость будет наведена в проволочку [7]. Если приложить достаточно сильное магнитное поле В > л/А2 + и2 (В это величина магнитного поля, А величина наведенного параметра порядка, и это химический потенциал), то в системе произойдет топологический квантовый переход и на концах проволочки появятся фермионы Майораны. Переоткрытие щели связано с сильным спин-орбитальным взаимодействием. Другим способом реализации фер-мионов Майораны является цепочка из магнитных атомов на поверхности сверхпроводника. В этом случае, неколлинеарное магнитное взаимодействие между атомами приводит к сильному спин-орбитальному взаимодействию. Ключевой особенностью данной системы является то, что фермионы Майораны локализованы на концах такой нитки даже при достаточно небольшой длине [8]. В двухмерный топологический изолятор (И§Те или С^е) наводит-

Рис. 1.1. На рисунке слева изображена проволочка из InSb, положенная на сверхпроводник NbTiN в магнитном поле. На концах проволочки и цепочки локализуются фермионы Майораны. Взято из [9]

ся эффектом близости сверхпроводящая щель. Если к краю топологического изолятора приложить магнитный контакт, то на его краях локализуются фермионы Майораны [10]. Преимуществом данной схемы на проволочкой является то, что с ней проще делать джозефсоновские контакты [11].

Фермионы Майораны можно также реализовать в абрикосовких вихрях топологического сверхпроводника. Если приложить магнитное поле больше первого критического, то оно начнет проникать в сверхпроводник в виде квантов магнитного поля Ф0 с радиусом кора порядка длины когерентности £. В таком вихре локализуются квазичастичные состояния. Если сверхпроводник обладает триплетным параметром порядка, то основное состояние в вихре является фермионом Майораны. Однако, в сверхпроводнике с триплетным спариванием возбужденные состояния отделены от фермиона Майораны достаточно малой минищелью 6 ~ A2/U ~ 0.01K, что далеко от возможностей современной туннельной спектроскопии [12].

Топологическую сверхпроводимость возможно реализовать в гетерострук-туре топологический изолятор - сверхпроводник. Сверхпроводимость наводится на поверхность топологического изолятора из-за эффекта близости. Основное состояние вихря Абрикосова в такой системе является фермионом

Майораны [13]. Если химический потенциал убрать в точку Дирака внешним гейтом или допированием U ^ А, то возбужденные состояния отделены от фермиона Майораны уже достаточно большой минищелью 5 ~ А ~ 10K [14]. Большим преимуществом данной системы является то, что структуры на поверхности топологического изолятора легко масштабировать, что важно для квантовых вычислений [15].

3D topological insulator

S wave superconductor

Рис. 1.2. На рисунке изображен вихрь Абрикосова на поверхности топологического изолятора с наведенным сверхпроводящем параметром порядка. В центре вихря локализуются фермионы Майораны. Взято из [16]

1.1.3. Экспериментальные свидетельства

Как можно обнаружить фермионы Майораны в твердом теле? Как следует из формулы ( 1.6) фермионы Майораны имеют нулевую энергию. Данное состояние возможно обнаружить с помощью средств сканирующей туннельной спектроскопии как пик на нулевой энергии в туннельном кондактансе. Показано, что данный пик является очень устойчивым относительно изменения внешних параметров и должен иметь квантованное значение С = 2е2/^ при металлической игле [17] и С = (4 — -к)2е2/к при сверхпроводящей [18]. В экспериментах с проволочками с сильным спин-орбитальным взаимодей-

ствием показано, что в топологической фазе (в сильном магнитном поле) Вг > л/А2 + и2 и в экспериментах с магнитными атомами на поверхности сверхпроводника возникает нулевой пик туннельного кондактанса на концах [9, 8]. Туннельный кондактанс в указанных экспериментах в несколько раз меньше теоретически предсказанного значения. Имеется предположение, что это связано с конечной температурой и беспорядком в системе. Совсем недавно квантованный туннельный кондактанс ~ 2е2/к был измерен в эксперименте с майорановскими проволочками. [19]

•400 -200 0 200 400

ИцУ)

Рис. 1.3. На рисунке слева изображена вольт-амперная характеристика проволочки из ТиБЬ, положенной на сверхпроводник в магнитном поле. Видно наличие пика при

нуле энергии. На рисунке справа видно присутствие локализованных конце цепочке состояний с нулевой энергией. На концах проволочки и цепочки локализуются фермионы Майораны. Взято из [9]

Реальные образцы имеют конечное расстояние между фермионами Майораны, что ведет к расщеплению пика в нулевом кондактансе. В общем случае, интереференция между двумя пространственно разделенными фермионами Майораны ведет к осцилляциям энергии нелокального состояния [20]. В частности, в проволочках с сильным спин-орбитальным взаимодействием показано, что нулевой пик осциллирует с повышением магнитного поля, что согласуется с теорией [21]. Также, в экспериментах с вихрями на поверхно-

сти топологического изолятора с наведенной сверхпроводимостью похожие осцилляции нулевого пика кондактанса были обнаружены[16].

Рис. 1.4. На рисунке слева изображена вольт-амперная характеристика короткой проволочки из 1п8Ь, положенной на сверхпроводник в магнитном поле. Расщепление между фермионами Майораны осциллирует при изменении магнитного поля. Взято из

Стоит отметить, что наличие нулевого пика в туннельном кондактансе не является отличительной особенностью фермионов Майораны. В частности, эффект Кондо и беспорядок могут также давать нулевой пик [22, 23]. Конечно, характерные осцилляции и устойчивость нулевого пик кондактанса позволяют отбросить большинство эффектов, не связанные с фермионами Майораны, но для точного подтверждения существования фермионов Майораны необходимо обнаружить эффект связанный со свойствами, присущими исключительно фермионам Майораны.

Характерной особенностью сверхпроводников является то, что носителем заряда является куперовская пара с зарядом 2е. Количество куперовских пар не сохраняется, но при этом сохраняется четность числа электронов [1].

[21]

Это означает, что добавление двух электронов не влияет на свойства сверхпроводников, но добавление одного электрона изменяет его четность и его свойства. Обычные электроны с зарядом е не участвуют в транспорте, так как туннелирование электрона в сверхпроводник является энергетически не выгодным. Сделаем слабую связь между двумя сверхпроводниками. Например, положим тонкий слой диэлектрика между ними. В этом случае потечет джозефсоновский ток через барьер, причем он будет связан с разностью сверхпроводящих фаз I = Ic sin ф, где 1С это критический ток через барьер, ф = ф1 — ф2 это разность фаз между двумя сверхпроводниками с параметрами порядка В этом случае, можно сказать, что ток Джозефсона имеет

периодичность. Если же присутствуют фермионы Майораны на границе слабой связи, то становится возможным одноэлектронное туннелирование. Каждый процесс туннелирования изменяет фазу на 2^. Однако, туннелиро-вание одного электрона в сверхпроводник меняет его четность, поэтому для восстановления четности необходим еще один процесс туннелирования. В результате, джозефсоновский ток будет иметь 4ж периодичность [5]. Данная периодичность была обнаружена в недавнем эксперименте с 2D топологическим изолятором HgTe с наведенной сверхпроводимостью. В этом эксперименте переход облучался с помощью излучения с фиксированной частотой и снималась вольтамперная характеристика перехода. В топологической фазе происходит удвоение шагов Шапиро, что связано с появлением майоранов-ских состояний [11]

Другим транспортным подтверждением существования фермионов Майораны в системе является изучение транспортных характеристик в режиме кулоновской блокады. В этом случае переход от туннелирования куперовских пар с зарядом 2е к одноэлектронному туннелированию с зарядом е через май-орановские моды приводит к удвоению пиков проводимости в зависимости от напряжения затвора. Недавно данный эффект был обнаружен в мезоскопи-

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 с(с сиггеШ I (¡л А)

Рис. 1.5. На рисунке слева изображен джозефсоновский переход на краю 2В топологического изолятора. На рисунке слева изображена вольт-амперная характеристика облученного светом с частотой £ перехода. Видно, что нечетный первый шаг Шапиро отсутствует. Графики взяты из [11]

ческих структурах с майорановскими проволочками [21].

Итак, на сегодняшний день наибольшее число экспериментов на обнаружение фермионов Майораны проделано с проволочками с сильным спин-орбитальным взаимодействием с наведенной сверхпроводимостью, однако они не могут служить абсолютным свидетельством существования фермионов Майораны. Экспериментов по обнаружению фермионов Майораны в структурах топологический изолятор - сверхпроводник существенно меньше.

1.1.4. Квантовые вычисления с помощью фермионов Майораны

Проблема декогеренции является одной из важнейших проблем для реализации квантового компьютера. Для устойчивой работы большинства квантовых кодов необходимо достаточно точное выполнение операций: ошибки должны возникать не чаще, чем одна на 104 — 106 операций. Ошибки могут возникать из-за неточности выполнения операций. Например, при операции вращения кубита на 90 градусов мы можем случайно повернуть кубит на

90.01 градус. Но все же основным источником декогеренции является взаимодействие со средой [24].

Топологические квантовые вычисления позволяют существенно снизить оба источника декогеренции. В топологическом квантовом компьютере информация кодируется с помощью частиц с дробной статистикой - анионов. Операции зависят только от топологии пути, но не от его геометрии или динамики, что позволяет сделать операции точнее. Также, информация хранится нелокально между двумя анионами. Шум, воздействующий локально на один из анионов действует на другой анион экспоненциально слабо. Это значит, что информация, записанная между двумя пространственно разнесенными анионами, экспоненциально защищена от локального шума. Поэтому топологические квантовые вычисления защищены от локальных источников декогеренции, которые не меняют глобальных характеристик системы [24].

Фермион Майораны является анионом с неабелевой статистикой. При перестановке двух фермионов Майораны 71 и 72 местами [12]

71 ^ 72 (1.11)

72 ^ -71 (1.12)

Данную операцию (брейдинг) можно выразить через оператор

В12 = ^(1 + 7172) (1.13)

Если взять две перестановки фермионов Майораны, которые включают в себя разные фермионы Майораны, то они окажутся коммутирующими [В1^2, = 0. Однако, если перестановки включают один и тот же элемент, то перестановки не коммутируют

[Вц ,Взк ]= Ъ1к (1.14)

Данное уравнение и есть математическое выражение неабелевой статистики

фермионов Майораны. Два фермиона Майораны определяют один ферми-онный уровень, который может быть пуст |0) или заполнен |1). Минимум четыре фермиона Майораны необходимо для того, чтобы определить один кубит с базисом |0) = 100), |1) = 111). Это связано с тем, что заполнение одного уровня не может измениться в результате операции брейдинга [3].

В базисе (0,1) можно определить матрицы Паули как

= -¿7172, = -¿7з74 = ^727з,

= -¿717з, = -¿7274 (1.15)

Это означает, что с помощью операций брейдинга возможно производить операции вращения кубита. Только с помощью вращений кубита невозможно проводить универсальные квантовые вычисления. Группа операций брейдинга составляют алгебру Клиффорда. Это приводит к тому, что любые вычисления, выполняемые только с помощью брейдинга, можно эффективно выполнять и на классическом компьютере.

В работе Китаева и Бравого [25] было показано, что для универсальных квантовых вычислений необходимо реализовать операции вращения кубита, операцию контролируемого отрицания (CNOT) и операцию фазового сдвига (чаще всего берется ^/8, такая операция называется магической).

Операцию CNOT возможно проводить с помощью проективных измерений, используя два дополнительных фермиона Майораны [26]. С операцией фазового сдвига на ж/8 дело обстоит несколько сложнее. Во многих работах предлагалось сделать данный сдвиг с помощью взаимодействия с другими фермионами Майораны, с помощью связи с классическим кубитом, однако данные операции не являются топологическими. В недавней работе показано, что ж/8 возможно реализовать с помощью геометрического протокола, который является топологическим и который итеративно выполняет операцию

фазового сдвига на любой заранее заданный угол с любой наперед заданной точностью [27].

Итак, с помощью фермионов Майораны возможно проводить универсальные квантовые вычисления с помощью их перестановок. Однако, непосредственно с перестановками связана экспериментальная сложность. Дело в том, что фермионы Майораны обычно расположены на некой границе или дефекте и физически их передвигать с необходимой скоростью невероятно сложно. Более того, при движении дефекта в сверхпроводящем конденсате постоянно возникают квазичастицы, которые нарушают квантовую когерентность состояний. Это означает, что физическая перестановка фермионов Майораны не является самым простым способом для брейдинга.

Брейдинг возможно проводить, лишь адиабатически изменяя взаимодействие между фермионами Майораны [28, 29, 30]. Это связано с тем, что взаимодействие фермиона Майораны с обычным дираковским фермионом не разрушает майорановское состояние. Рассмотрим гамильтониан

Н = ¿¿127172 + ^237273 (1.16)

где t12 = £а(£),£23 = Ь(1 — а(Ь)),а0 = 0, а^ = 0. В начальный момент времени фермион Майораны локализован в точке 1. При включении взаимодействия фермион Майораны делокализуется по всем точкам 1,2 и 3. В конце концов, фермион Майораны локализован в точке 3. Для операции брейдинга необходимо переместить два фермиона Майораны местами. Это можно сделать, как показано на рис. 1.6

Измерение состояния кубита связано с измерением заселенности уровня, составленного из фермионов Майораны. Схемы включают в себя гибридные структуры с квантовыми точками. Квантовая точка в режиме кулоновской блокады позволяет измерять изменение заселенности через изменение химического потенциала [31].

Рис. 1.6. На рисунке изображена схема перестановки фермионов Майораны 1 и 2. Первоначально 1 находится в А2, 2 в В2. Включая взаимодействие между В2 и С2 и выключая между С1 и С2, мы перемещаем 2 в С2. Затем, включая взаимодействие между А2 и В2 и выключая между В2 и С2 мы перемещаем 1 в В2. Наконец, включая взаимодействие между С1 и С2 и выключая между С2 и А2 мы перемещаем 2 в А2. В итоге, фермионы Майораны поменялись местами. Взято из [29]

Сейчас мы рассмотрим процессы декогеренции в майорановских куби-тах. Взаимодействие между фермионами Майораны Ер ведет к тому, что изначально заданные состояния начинают эволюционировать во времени по закону

7i(t) = 71 cosEpt + 72 sinEpt 72 (t) = 72 cos Ept - 7i sin Ept

(1.17)

Это означает, что фермион Майораны остается в заданном состоянии на временах т ^ тр = Н/Ер. Если взять достаточно консервативную оценку для энергии расщепления в Ер ~ 0.01мэВ, то характерное время операции должно быть быстрее, чем характерное время расщепления т ^ тр ~ 500 нс. Стоит отметить, что в экспериментально реализуемых системах времена расщепления могут быть на несколько порядков больше [21].

Как уже было сказано ранее, во время проведения операции необходимо сохранение условия адиабатичности. Это означает, что время операции не должно быть быстрее, чем т ^ rad = Н/Д, где Д это характерная величина

щели между фермионом Майораны и возбужденными состояниями. Если мы возьмем характерную величину А = 1мэВ, то время операции должно быть не быстрее, чем г ^ 5 нс [32].

Вообще говоря, майорановские кубиты не являются защищенными от одноэлектронного туннелирования извне. Источником такой декогеренции могут служить термально возбужденные электроны в сверхпроводнике или заряженные примеси [33]. Данные электроны меняют четность числа электронов в сверхпроводнике, что может быть обнаружено экспериментально. Характерные времена паразитного туннелирования (poisoning) составляют десятки миллисекунд [21], но есть результаты, что данное значение можно довести до нескольких десятков секунд [34]. Это означает, что основным источником декогеренции является расщепление фермионов Майораны из-за туннелирования между ними rpoisoning ^ тр [32].

1.2. Топологические изоляторы

В данной части обзора будет рассмотрены свойства топологических материалов. Сперва будет достаточно общий обзор топологических состояний вещества. Затем будут рассмотрены топологические изоляторы.

1.2.1. Топологические состояния вещества

Обычные фазы вещества различаются симметрией, при этом фазовый переход от одного к другому сопровождается нарушением некой симметрии. Например, лед имеет дальний кристаллический порядок, который разрушается при таянии в жидкость. Ферромагнетик выше точки Кюри не имеет магнитного порядка, однако при понижении температуры появляется намагниченность, которая нарушает симметрию по обращению ко времени. Топологический порядок не отвечает никакому нарушению симметрии. Различные то-

пологические фазы могут иметь одну симметрию, но разные топологические свойства. В настоящее время различаются два вида топологических материалов: системы с топологическим порядком и с топологическим порядком, защищенном симметрией [35, 36].

Сперва остановимся на системах с топологическим порядком. Данный порядок можно реализовать в системах со щелью в электронном спектре, при этом наличие и или нарушение какой либо симметрии не влияет на топологический порядок. Отличительной особенностью состояния материи с топологическим порядком является наличие дальнодействующей квантовой запутанности [35].

Главным претендентом на наличие топологического порядка является дробный квантовый эффект Холла [37]. При помещении двухмерного электронного газа в перпендикулярное магнитное поле происходит квантование Ландау, которое приводит к квантованию продольной проводимости аху = пе2/h, где п это целое число, е заряд электрона и h это постоянная Планка. Если же присутствуют сильное электрон-электрон взаимодействие, то электроны начинают взаимодействовать с квантами магнитного поля и образовывать композитные квазичастицы. Это приводит к тому, что продольная проводимость квантуется как аху = ve2/h, где v = m/n, т,п это целые числа. В теоретической работе показано, что состояние Мура-Рида v = 5/2 обладает неабелевой статистикой [38]. Это означает, что некоторые состояния дробного квантового эффекта представляют интерес для топологических квантовых вычислений. Однако, экспериментальное подтверждение неабелевой статистики состояний дробного квантового эффекта Холла является очень сложной задачей. Для его реализации требуются ультра-чистые образцы, очень низкие температуры порядка десятков милликельвин и высокие магнитные поля порядка десятков тесла.

Другими системами с топологическим порядком являются спиновые це-

почки. Одной из наиболее изученных является спиновая цепочка Гейзенберга на решетке Кагоме, так называемая модель Китаева Н = — ^ 8^ • 8^ [39]. При определенном соотношении параметров взаимодействия спинов в системе реализуется топологический порядок, при этом квазичастичные возбуждения могут иметь дробную статистику. Материал, к котором реализуется данная модель, должен иметь сильное спин-спиновое взаимодействие 3^, но при этом не должно быть щели в спектре, что означает появление спиновой жидкости. Считается, что в гербертсмитите ZnCu3(OH)6Cl2 возможна реализация такой спиновой жидкости, в которой возбуждения имеют неабелеву статистику [40]. Также, в одной из недавних работ было экспериментально показано, что в альфа рутений хлоре также возможно реализовать модель Китаева [41]. Предполагается, что возбуждения в таком материале обладают неабелевой статистикой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Акзянов Рамиль Шарифуллович, 2018 год

- - =щ

- = 20£ ..... =30#

оп - т -1

-з -:

-1 0 £ 1

2 3

Рис. 4.5. Энергия нижней зоны в зависимости от кх в плоскости ку = 0. Величина магнитного поля выбрана как /в = 2£. Зеленая линия соответствует К = 12£, красная линия К = 20£, голубая линия К = 30£.

Данный гамильтониан схож с гамильтонианом двухслойной кристаллической структуры с разными слоями. Спектр возбуждений имеет вид

1

Е = ак ±л/Ьк (4.32)

ак = |2 + 1Нек |2 + 1тек |2 + 2^0 (4.33) Ьк = {\Нек |2|2 + 1тек |2)2 + 4£2(|те, |2 + (\кек | + |)2) (4.34)

Спектр обладает электрон дырочной симметрией. Рассмотрим зону с наименьшей энергией. Энергия зоны в зависимости от кх в плоскости ку = 0 для разных расстояний между вихрями Я при 1в = 2 показана на рис. 4.5, для /в = 3 показана на рис. 4.6. В спектре возбуждений имеется щель в любой точке зоны Бриллюэна. Если мы выкинем из рассмотрения внешние ферми-оны Майораны, то спектр будет бесщелевым Е = |. Так, присутствие внешних фермионов Майораны открывает щель в спектре. Данный результат верен и при Н'ее = 0. Как видно из рис. 4.5, зона является плоской для малых Я ^ 4/2/^ и больших Я ^ 4/2/^ расстояний между вихрями. Для промежуточного случая Я ~ 4/2/^, зона не является плоской, максимум щели

2-Ю"4

ь

+

10* 5-Ю"8

Рис. 4.6. Энергия нижней зоны в зависимости от кх в плоскости ку = 0. Величина магнитного поля выбрана как Iв = 3. зеленая линия К = 25£, красная линия К = 45£, голубая линия К = 65£.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

- - =25^ '

- =45£

..... =654 _

J— j— ' -i- L

-1

(50 н-1

у --(**) = (0,0) -{к к) = {71,0)

.....t„

12 18 g 24 30

Рис. 4.7. Щель в спектре в зависимости от расстояния между вихрями R при /в = . Зеленая линия соответствует щели при ( кх, ку) = (0,0), красная линия щели при ( кх, ку) = (ж, 0), голубая линия соответствует tо.

наблюдается в (кх,ку) = (0,0), в то время как минимум в (кх,ку) = (±ж,0). Из рис. 4.7 видно, что зона становится плоской с энергией ÔE ~ t0. Для малых расстояний между вихрями щель в спектре может быть оценена как 5E - t20/(4te).

ьо

(к к) = (0,0)

—(кк) = (п, 0)

.....и

24

34

44

4 54

64

Рис. 4.8. Щель в спектре в зависимости от расстояния между вихрями К при /в = 3£. Зеленая линия соответствует щели при (кх, ку) = (0,0), красная линия щели при (кх, ку) = (ж, 0), голубая линия соответствует

4.4.1. Обсуждение

На сегодняшний день, решетки из вихрей в системе топологический изолятор - сверхпроводник уже получены [16]. Для того, чтобы вихри располагались на необходимом расстоянии друг от друга, возможно создание искусственных центров пиннинга. В этом случае, возможно создание решетки вихрей любой конфигурации.

Мы предполагали, что магнитное поле достаточно сильное и внешние фермионы Майораны локализуются возле вихрей. В случае малых магнитных полей внешние фермионы Майораны локализуются в достаточно обширной области пространства. Это приводит к тому, что в амплитуды будут давать вклады достаточно много внешних фермион Майораны. Можно оценить, что в случае малых магнитных полей ¿0 ~ , что соответствует картине Я ~ 21^2/^. Однако, пока неясно, как повлияют внешние фермионы Майораны на электронный спектр решетки вихрей в случае, когда его область локализации охватывает несколько вихрей.

Глава 5

Подавление антиферромагентизма и экситонная фаза в двухслойном АА графене в поперечном электрическом поле

В этой главе решена задача об электронных свойствах двухслойного АА графена (АА-ДГ) в поперечном электрическом поле. Мы изучаем кулонов-ское взаимодействие с помощью теории среднего поля. Сильное кулоновское отталкивание на узле приводит к возникновению антиферромагнитного параметра порядка в системе. Антиферромагнитный параметр порядка может быть частично подавлен электрическим полем. Межслойное кулоновское отталкивание и поперечное напряжение приводят к возникновению экситонного параметра порядка. Данный параметр порядка сосуществует с антиферромагнитным. Величина экситонного параметра порядка может достигать нескольких десятков мэВ для реалистичных параметров задачи.

В разделе 5.1 дано введение и поставлена задача. Далее в 5.2 в системе без кулоновского взаимодействия получен вырожденный спектр. В 5.3 изучено влияние кулоновского взаимодействия и найдены соответствующие величины параметров порядка. В 5.4 приведены основные выводы.

5.1. Введение

Электронные свойства графена это предмет активного изучения как теоретиков, так и экспериментаторов [59, 89]. Помимо однослойного графена, двухслойный графен также привлекает значительный интерес. Этот интерес возник из-за желания расширить семейство графеноподобных материалов и

создать материалы со щелью в электронном спектре.

Самой изученной графеновой гетероструктурой является двухслойный АБ графен (АБ-ДГ) [90, 91, 92]. АБ-ДГ в поперечном поле имеет контролируемую щель [93, 94]. Экситоны могут существовать в АБ-ДГ при определенных условиях [95, 96]. Двухслойный АА графен (АА-ДГ) пока привлекает значительно меньше внимания [97, 98, 99]. Образцы АА-ДГ были недавно получены [57, 62]. Важной особенностью АА-ДГ является идеальный нестинг дырочной и электронной поверхностей Ферми. Эти вырожденные поверхности Ферми неустойчивы по отношению к сколь угодно малому электронному взаимодействию, в результате двухслойный графен становится антиферромагнитным (АФМ) изолятором с конечной щелью в электронном спектре [100]. Эта нестабильность является самой сильной, если зоны пересекаются на уровне Ферми.

Интересным эффектом, возникающем в двухслойных системах, является экситонная конденсация [101, 102]. В двухслойных системах на основе гра-фена экситонная конденсация привлекает внимание как для фундаментальных исследований [103, 104, 105, 106, 107] так и для возможных практических применений, включая быстрые переключатели и бесдиссипативные полевые транзисторы [108].

Целью данной работы является исследование влияния поперечного электрического поля на электронные свойства АА-ДГ. Будет показано, что поле может частично подавить АФМ параметр порядка. Однако, степень подавления сильно зависит от эффективного значение кулоновского отталкивания на узле. Также будет показано, что при прикладывании поперечного поля возникает экситонный параметр порядка, сосуществующий с АФМ параметром порядка. Значение экситонного параметра порядка имеет практически линейную зависимость от приложенного поля и пропорционально АФМ параметру порядка.

Рис. 5.1. Кристаллическая структура двухслойного АА графена. Шары обозначают атомы углерода на подрешетках Л (красный) и B (голубой) в слоях нижнем (1) и верхнем (2) слоях. Ячейка АА-ДГ состоит из четырех атомов А1, А2, В1, В 2. Интегралы перескока t и t0 отвечают перескоку между ближайшими соседями в слое и между слоями соответственно. Поперечное электрическое поле V приложено перпендикулярно к слоям.

5.2. Гамильтониан двухслойного АА графена

Кристаллическая структура АА-ДГ показана на Рис. 5.1. АА-ДГ состоит из двух слоев графена, 1 и 2. Каждый атом углерода верхнего слоя располагается над соответствующем атомом нижнего слоя. Каждый слой состоит из двух треугольных подрешеток Л и Б. Элементарная ячейка АА-ДГ состоит из четырех атомов углерода А1, А2, В1, and В2.

Запишем одночастичный гамильтониан АА-ДГ в виде

Но = -t

^ (d]rnAadmBa + Н'С) -(nm)i<j

о dnl aj dn2aj + Н.°. ) +

naj

'У ^ {ddn1ajdn1aj — dn2ajdn2aj)

(5.1)

V ~2

Здесь (1Паа и ^аа это операторы рождения и уничтожения электрона с проекцией спина а в слое г = 1, 2 на подрешетке а = Л, В на узле п, (...)

обозначает пару ближайших соседей. Амплитуды £ (¿о) в (6.1) обозначают однослоевой (межслоевой) перескок между ближайшими соседями, V это напряжение, приложенное перпендикулярно слоям. Мы полагаем V ^ £ что отвечает типичным условиям эксперимента [93, 94].

Для вычислений мы используем следующие величины интегралов перескока £ ~ 2.57эВ, 10 ~ 0.36эВ вычисленные с помощью метода функционала плотности для многослойных углеродных систем в статье [109]. После диа-гонализации гамильтониана мы получаем четыре зоны ^0к, которые могут быть записаны в виде

4к = + т - Кк' £0'к) = - г^+г+Кк'

4к| = V 4 + ^ - ^, 4к = у ¿0 + ^ + ^, (5.2)

где индекс зоны в пробегает значения от 1 до 4,

а = 1ЛI

, 1 . 0 (ШхаЛ Шкуао\ ( ,

Д = 1 + 2 ехр ( 2 ) —2—I . (5.3)

Зоны в = 2 и в = 3 пересекают уровень Ферми вблизи дираковских точек К = 2ж(^, 1)/(3^3а0) и К' = 2^(^3, -1)/(3^3а0). Зоны з =1 и з = 4 не пересекают уровень Ферми и, поэтому, не образуют поверхность Ферми.

Приложение напряжения не меняет качественно спектр АА-ДГ. Для сравнения, в АБ-ДГ напряжение открывает щель на уровне Ферми [93, 94]. Поверхности Ферми задаются уравнением | Д | = ^^ + /Ъ = £о. Мы можем разложить функцию | Д | вблизи дираковских точек, так как £о ^ 1, и найдем что Ферми поверхности состоят из двух кругов с радиусом кг = 2£о/(3&о). Важной особенностью данной структуры является то, что поверхности Ферми обоих зон совпадают. Это значит, что электронная и дырочная компоненты поверхности Ферми имеют идеальный нестинг. Эта особенность поверх-

ности Ферми является устойчивой относительно изменений в гамильтониане. Она остается, даже если брать в рассмотрение дальний перескок, или систему с неэквивалентными слоями. Однако, электронное взаимодействие может убрать вырождение спектра и открыть щель на уровне Ферми [100].

5.3. Система с взаимодействием

Электронный спектр существенно меняется при наличии кулоновского взаимодействия. Мы изучаем кулоновское взаимодействие с помощью гамильтониана

tfint = H0S + Hip . (5.4)

Часть взаимодействия состоит из двух слагаемых. Первый член H0s отвечает кулоновскому отталкиванию электронов на узле

Hos = Uo (nmаа - ^ J Ытаа - 1 j , (5.5)

таа ^ ' ^ '

и второй член Hip соответствует отталкиванию электронов между слоями

Hip = U ^ (nniaa - 2 ] (пп2аа - ^ ] , (5.6)

т аа ^ ' ^ '

где U0 кулоновское отталкивание электронов на одном узле, Ui кулоновское отталкивание между электронами на разных слоях, птаа = dlniaadniaa это оператор числа заполнения, а = -а. Мы рассматриваем межслоевое взаимодействие между электронами, потому что только это взаимодействие создает дополнительный параметр порядка (наиболее стабильный). Отталкивание между подрешетками в одном слое может лишь уменьшать эффективное отталкивание на узле [110].

Кулоновское взаимодействие в графене является достаточно сильным. Согласно DFT вычислениям, отталкивание на узле U0 порядка 9-10 эВ, отталкивание в слое между подрешетками Uin_piane порядка 5-6 эВ [111]. Значение

межслоевого отталкивания неизвестно. Можно оценить межслоевое отталкивание как и1 ~ ^ш-р1апе®/с ~ 2.5 эВ, где а « 0.14 нм это расстояние между атомами углерода в слое и с ~ 0.33 нм это межслоевое расстояние. Известно, что среднеполевые вычисления завышают значения параметра порядка. Вдобавок, дальнодействующее кулоновское взаимодействие может эффективно понижать отталкивание на узле [110]. Для правильных оценок мы полагаем, что значения Щ и и1 должны быть меньше, чем полученные по ЭРТ расчетам [111]. Мы будем использовать Щ ~ 2£-3.5£ и и1 ~ 0.5£-£.

5.3.1. Среднеполевые уравнения

Мы исследуем свойства гамильтониана Н = Щ + Н-п с помощью теории среднего поля. Начнем с части гамильтониана, описывающей отталкивание на узле. Зафиксируем ось проекции спина и запишем АФМ параметр порядка в виде

Аафм = ^о (^пга^пг<) - , (5.7)

д1Л _ д2В _ д1В _ д2Л _ л /Г о\

ААФМ = ААФМ = -ААФМ = -ААФМ = ААФМ , (5.8)

где Аафм действителен. Этот АФМ порядок, в котором спин на каждом узле антипараллелен спину каждого из ближайших соседей, называется антиферромагнитным порядком С-типа. Как показано в статье [100] этот тип АФМ порядка является самым устойчивым в АА-ДГ. В среднепольном приближении данная часть взаимодействия имеет вид

к /-4ААфМ У^ Ага (Л л л \ (59)

^08 = щ ААФМ ^"пт^ш^ "та!"пт^ , (5.9)

пш

где М это число ячеек в образце. Теперь мы рассмотрим межслоевую часть взаимодействия. Экситонный параметр порядка мы определяем следующим

образом

\ГЛ _ д|В _ _ л|Л = д

дэкс _ дэкс _ дэкс _ дэкс — дэк

(5.10)

(5.11)

где Дэкс действителен. Этот параметр порядка отвечает связному состоянию электрона и дырки с одинаковым спином, расположенных друг над другом в разных слоях. С помощью вычислений, похожих на вычисления в статье [100], мы получили, что данные параметры порядка соответствуют минимальной энергии основного состояния. Каждый параметр порядка нарушает соответствующую симметрию. АФМ параметр порядка нарушает симметрию между подрешетками, в то время как экситонный параметр порядка возникает из-за нарушения симметрии между слоями. Среднепольное выражения для межслоевой части взаимодействия имеет вид

нм Р _ м _ £ д.,. + Нх)

(5.12)

по а

Введем четырехкомпонентный спинор

'Фко _ (^к1Ло, ^к2Ло, ^к1Во, ^к2Ва ) .

(5.13)

При этом среднеполевой гамильтониан Нмр _ Н0 + Нм можно записать в

следующем виде

Нмг _ ЯЕо + ^ Фк(нНск + А)Ф:

к

(5.14)

к

где Е0 это с-число

4д2

АФМ

(5.15)

Ео

ио

В данных уравнениях, Щк, и Д это 4 х 4 матрицы

Н к = —

—У/2 и */к 0

¿о У/2 0 ¿/к

¿/к* 0 —У/2 ¿о

^ 0 г Я и У/2)

(5.16)

Д =

Д

АФМ Дэкс

Д

экс

Д

АФМ

0

0

0 0

V

0 0

0 0

Д

АФМ

Д

экс

— Дэкс Д

АФМ

/

(5.17)

Эффективное напряжение У пропорционально приложенному напряжению У. Эти две величины отличаются из-за наличия перенормировки напряжения. Точное соотношение между У и У будет установлено далее. После диаго-нализации 4 х 4 матрицы в (5.14) мы получаем четыре дважды вырожденных зоны

4М) = 2В

,(2,3)

ек - = ту/А + 2В

(5.18)

где

А = Д

АФМ

У2

+ Дэкс + ^ Ск + 4 + —

В2 =

(

У

— Дэкс^ 0 + ДАФМ "2"

экс 2

) + ¿^(¿2+У-

4

(5.19)

Электронная щель в спектре это минимальная щель между зонами е(4) и £(1). Полная щель выражается через суперпозицию АФМ и экситонного параметров порядка

Д=

дафм^ о + Дэкс ■-

¿2 + х

(5.20)

Для определения значений параметров порядка Дафм и Дэкс мы минимизируем свободную энергию О. Свободная энергия на ячейку это

О = Ео — 2Т ^

в=г

Уй

1п

1 + е—

(5.21)

где Увг это объем первой зоны Бриллюэна.

Для вычисления интегралов по зоне Бриллюэна удобно ввести плотность состояний

МО =

' (1к

Уж

К С — Ск).

(5.22)

Данная функция является ненулевой только при 0 < ( < 3. Она связана с плотностью состояний графена рёг(С) соотношением рёг(С) = р0(()/t (см. [59]).

Минимизация О по Дафм и Дэкс дает следующие уравнения

4Д

АФМ

Щ

= К Ро(С)

Ж ро(0

Дафм + ^0(0

У

ДАФМ — С)

И (е(1)) + Р (е(2)) ,

(5.23)

4Д

экс

Щ1

^ро(С)[Дэкс — ъе ( С)]Р( ^(1))

+

^Ро(С)[Дэкс + М( ()]Р (г(-)) ,

(5.24)

где

Рм = Л—^, НЕ) =

ет + 1

( )=

Дэкс^ 0 — ДАФМ ■-

Дэкс^ о + Дафм | )2 + ¿4с2со-

(5.25)

3

3

3

3

и _ \!Ъо + X А. Теперь установим связь между величинами приложенного напряжения V и эффективного напряжения V. Кулоновское взаимодействие перенормирует напряжение (похожая перенормировка химического потенциала получена в работе [112]). Приложенное напряжение ведет к перераспределению заряда между слоями

$П _ 5пПао _ Пп2ао ~ Пп1ао. (5.26)

Данное перераспределение заряда частично подавляет электрическое поле. Величину перераспределения 6п можно вычислить, используя теорему Хелл-мана-Фейнмана [113]

* - "Щ- _ ( §)■ .5.2,,

Выражение для эффективного напряжения V можно записать в виде

V „ + ио + зи„-р1апе - 2и "(Е)

V _ ,0 +-и--"V . (5.28)

Среднее значение энергии определяется как

4 3

(Е) _¿АСР0(С) №(5)). (5.29)

5=1 0

5.3.2. Аналитические выражения

В этой секции мы изучаем решение уравнений (5.23) и (5.24) в пределе дэкс ^ АлФМ ^ и0 и Т _ 0. В этом случае значения е(1'2) и в(() становятся

^(1) _ -^АЛФМ + ¿2(С - С0)2 , (5.30)

^(2) _ - (С + С0),

^/ич Аэкс^0 — АЛФМ У

9(0 __-¡-А-.

Для начала получим V как функцию Цо. После простых преобразований из (5.28) получаем

V,

V =

(

1 + с Ц+З^1п-р1

8-2Ц Т2

С =

и

дро(С) д(

** у

Ьо— 0.37.

(5.31)

Для типичных параметров задачи перенормированное напряжение V почти совпадает с приложенным напряжением V,, V — 0.95^. Численный анализ показывает, что оценка V — V, становится еще лучше для больших значений ДафмД и ДЭксА. Перепишем параметры порядка в виде ^афм = ДафмД и £экс = Дэкс/t. Удобно переписать экситонный параметр порядка в виде

V

^экс = ^АФМ^Т"Ь 5 21 о

(5.32)

где Ь это новая переменная. После такой замены перепишем уравнения 5.23 и 5.24 в виде

и

и,

тт = Мро(С)

^ МО

1

+

1

А2 ФМ + (С - Со)2 С + Со

V2(1 - ъ)

(5.33)

т 2СоС

\ААфм + (С - Со)2 с + Со

и

и

тг = КРо(С)

¿С ро(С)

+

А2 ФМ + (С - Со)2 ■ с + Со

¿о(1 - &)

+

2 о

Афм + (С - Со)2 С + Со

(5.34)

3

3

1

1

3

1

1

3

1

1

Первое уравнение 5.33 перепишем как

и

тг = ро (Со) 1 —

У 2(1 — &Л1^4Со(3 — Со)

и 2Со2

2

0 АФМ

)

+

т( Со) + У-((!— Ь) V -(Со),

4 2 о

(5.35)

где

т( Со)= К

т( Со)=у^С

о

ро( С) + ро(0 — ро( Со)

+ к — Со!

Ю (С) Ю(Со) С Со

,С + Со

о( )

(5.36)

С( С + Со) к — Со!

После выражения логарифмического члена и подстановки его во второе урав-

нение получаем выражение на параметр

=

ш — М Со) —Со) Со

-И)

(5.37)

С4Т —^ш4^- + М Со) 45 + т( Со) Сой

Для и > 5эВ параметр Ь становится малым Ь < 0.05. Это значит, что выра-

жение на экситонный параметр порядка имеет следующий вид

у м — т( Со) — т( Со) Со

Дэкс = Д

АФМ

2 о 4*| 1+

И

(5.38)

и1 ио + § ЫСоНМСоКо) Величина практически не зависит от У для рассматриваемых параметров задачи. Так как Ь < 0.05 для рассматриваемых значений кулоновского взаимодействия, то мы полагаем данный фактор малым при вычислении

Дафм = 2^ у/ Со(3 — Со)

( & (Г ) т(Со)У2 \

т — Ы Со) — ¡(^

ехр

2 ро( Со) -2+Ъг

\ г0+ 4

(5.39)

/

где г]1((о) и т]2(Со) определены (5.36). Значение АФМ параметра порядка совпадает с полной щелью при нулевом напряжении. Зависимость щели от значения кулоновского отталкивания на узле показано на Рис (1.3). Аналитическое выражение для (5.23) дает хорошую оценку при ио < 2.3£.

3

3

10° -d

Рн <i

10 т

1(Г -L-f-

-- Аналитика

Численный расчет"

2.0

2 5 U0t 3 0

3.5

Рис. 5.2. Зависимость АФМ параметра порядка от эффективного кулоновского отталкивания на узле U0 при V = 0.

5.3.3. Подавление щели напряжением

Полная щель в спектре может быть частично подавлена напряжением. Для конечных напряжений это приводит к возможности создания управляемого перехода металл-диэлектрик [114]. В данной работе мы проводим вычисления только для случая Т = 0. Детальный анализ свойств АА-ДГ при конечных температурах проделан в работе [112] в случае V = 0. Зависимость щели А от V/t показана на Рис. 5.3. Как следует из графика, значение А уменьшается от напряжения V. Щель подавляется сильнее при меньших значениях U0. Заметим, что значение ^ практически не меняется от V при Uo > 2.4t.

Для типичных значений параметров задачи U0 — 2.2t, U\/U0 — 1/4, V/t0 — 1 значения параметров порядка имеют следующие величины: Аафм —

3

0.8-

0.6-

0.4-

0.2

0

и0 = *

и0 = 2.21

ио = 2.41

0.1

V I

0.2

Рис. 5.3. Зависимость полной щели Д от напряжения У. Значение До это значение щели при нулевом напряжении У = 0. Эта щель равна АФМ параметру порядка Дафм для нулевого напряжения.

0.07£ = 0.17эВ и Дэкс ^ 0.003^ = 0.008эВ.

Перепишем выражения для параметров порядка в терминах намагни-ченностей

= ДАФМ/ио = (пПга\) — (^пгаф) , ф = Дэкс/Щ1 = (41аА-а-Г) — (5.40)

Значение АФМ намагниченности Зг показано на Рис. 5.4 сплошными линиями. Её значение может быть частично подавлено напряжением У. Подавление сильнее для меньших значений ио. Если ио > 2.4£ то Зг практически не меняется от напряжения.

Рис. 5.4. Зависимость АФМ намагниченности и экситонной намагниченности ф от напряжения V для различных значений кулоновского отталкивания и0. Верхний график отвечает случаю и0 = второй график соответствует [70 = 2.2£, третий график относится к случаю и0 = 2.4£. Голубая сплошная линия соответствует АФМ намагниченности , красная прерывистая линия соответствует экситонной намагниченности ф. Мы используем соотношение [Д = и0/4.

5.3.4. Экситонный параметр порядка

Значение экситонной намагниченности ф показано на Рис. 5.4 прерывистыми линиями. Значение Дэкс повышается с повышением V почти линейно. Напряжение нарушает симметрию между слоями наводя в системе экситонный порядок. Из (5.11) можно заключить, что экситоны в системе имеют

спин 1 и экситоны на разных подрешетках имеют различный спин. Это значит, что экситоны в АА-ДГ в электрическом поле имеют АФМ упорядочение, отличающееся от G-типа. В пределе слабых взаимодействий Ui ^ U0 ^ t сводится к простой форме

V U1

Аэкс = Ааф^——. (5.41)

2tо Uo

В таком пределе значение экситонного параметра порядка имеет линейную зависимость от межслойного отталкивания Ui. Авторы работ [103, 104, 105, 106, 107] рассматривали систему с двумя слоями графена, разделенных изолирующем слоем. Диэлектрический слой полностью подавляет межслойное тунне-лирование и разрушает АФМ порядок. В этом случае, значение экситонного параметра порядка экспоненциально зависит от кулоновского отталкивания между слоями. В работе [115] показано, что межслойное отталкивание U1 подавлено системе с двумя слоями графена. В результате, экситонная щель является экспоненциально малой порядка 1мК. В этом случае даже небольшой беспорядок делает обнаружение экситонной конденсации невозможной [116]. В нашем случае экситонный параметр порядка почти линейно зависит от U1. Это значит, что экситонная фаза существует в рассматриваемой системе и при относительно малых значениях U1. Экситонная конденсация может быть измерена в эксперименте с помощью кулоновского увлечения [117, 118, 102]. Экспериментально обнаружен эффект увлечения в системе с двумя слоями графена с диэлектрической прокладкой [119].

5.4. Заключение

В этой части работы мы аналитически изучили электронные свойства двухслойного АА графена в поперечном электрическом поле. Кулоновское взаимодействие рассматривалось по теории среднего поля. Мы установили,

что из-за электрического напряжения возникает новый параметр порядка, который сосуществует с АФМ порядком. Новый порядок является экситон-ной фазой со спином 1. АФМ и сосуществующая экситонная фазы являются самыми стабильными. Электронная щель может быть частично подавлена напряжением, что при конечных температурах ведет к управляемому переходу металл-изолятор. Значение экситонного параметра порядка может достигать нескольких десятков мК или даже больше. Так как экситонный параметр порядка связан с АФМ параметром порядка, то мы ожидаем, что они оба имеют одну и ту же критическую температуру. Значит, если АФМ параметр порядка имеет достаточно большую величину, экситонная фаза существует при достаточно больших температурах.

Глава 6

Транспортные свойства топологических изоляторов с гексагональным искажением

Транспортные свойства ТИ в некоторых аспектах сходны с графеном, другим дираковским материалом [59]. Проводимость таких систем пропорциональна универсальному значению а0 = e2/(2h), не зависящему от характеристик материала, если выполнены определенные условия и химический потенциал лежит в точке Дирака [120]. При таких условиях проводимость иmin = e2/(/Kh). Минимальная проводимость ТИ в четыре раза меньше, чем у графена и равна a"min, так как нет вырождения по спину и по долине [121]. Однако эксперименты показывают, что минимальная проводимость ТИ больше, чем a"min [122, 123, 124, 125]. Это может быть объяснено флуктуациями электронной плотности вблизи точки Дирака [121], но в работе [126] утверждается, что эти флуктуации не могут правильно объяснить наблюдаемое значение проводимости в ТИ.

Магнитное поле привносит много интересных эффектов в физику ТИ, включая топологический магнитоэлектрический эффект [49], существование магнитных монополей [53] и т. д. Аномальное анизотропное магнитосопро-тивление (AMR), то есть зависимость проводимости от угла между приложенным магнитным полем и током [127] велико в ТИ [128, 129, 130]. Величина наблюдаемого AMR не может быть объяснена общей формулой для ферромагнетиков. Заметим, что AMR в ТИ велико в поперечном (перпендикулярно плоскости) приложенном магнитном поле, а также в поле плоскости [128]. Еще одним интересным явлением в ТИ является квантовый аномальный эффект Холла (QAHE) [131]. Когда намагниченность вне плоскости велика, в ТИ реализуется фаза с нетривиальным первым числом Черна [132]. В такой

фазе существует устойчивая поперечная проводимость, даже если нет квантов потока проникающих через поверхность. QAHE был реализован в ТИ, и его значение равно теоретически прогнозируемому с хорошей точностью [45, 133, 134]. Недавно в [130] было сообщено о наблюдении плоскостного эффекта Холла в ТИ, т. е. эффекта Холла в приложенном магнитном поле в плоскости.

Уравнение Дирака хорошо описывает электронные состояния в ТИ вблизи точки Дирака. При более высоких энергиях конус Дирака превращается в гексагональную снежинку, Рис. (6.1). Этот эффект обычно называют гексагональным искажением. Величина этого искажения контролируется кристаллической структурой ТИ. Гексагональное искажение значимо в В^Те3 [51]. Оно меньше в Bi2Se3 [135]. Кроме гексагонального искажения, массивный квадратичный член в кинетической энергии также экспериментально измеряется в ТИ. Он разрушает электронно-дырочную симметрию системы. Однако влияние последнего члена на перенос заряда не слишком велико [52]. Влияние слабого гексагонального искажения на транспортные свойства ТИ изучалось с учетом электрон-электронного взаимодействия. Влияние гексагонального искажения на магнитное упорядочение ТИ было проанализировано в работе [136]. Уровни Ландау в ТИ с гексагональным искажением были рассчитаны в [137].

Мы изучаем зарядовою проводимость поверхностных состояний в ТИ с учетом гексагонального искажения. Мы анализируем влияние беспорядка и магнитного поля. Мы показываем, что существование гексагонального искажения резко влияет на появление QAHE и AMR в ТИ, что обусловливает характерную зависимость недиагональной и продольной проводимости от направления и величины магнитного поля. Мы также демонстрируем, что продольная проводимость возрастает с увеличением беспорядка в ТИ со значительным гексагональным искажением. Полученные результаты могут иметь

Рис. 6.1. Топологический изолятор с гексагональной деформацией в приложенном магнитном поле. Фиолетовая линия показывает поверхность Ферми, ось х направлена вдоль отростка поверхности Ферми, а ось у направлена вдоль полости поверхности.

значение для объяснения недавно проведенных экспериментов.

Глава организована следующим образом. В разделе (6.1) сформулируем модель, которая будет использоваться для вычисления проводимости. В разделе (6.2) мы анализируем поведение недиагональной проводимости и, в частности, QAHE в ТИ. В разделе (6.4) мы вычисляем продольную проводимость и изучаем AMR в плоскости и вне плоскости. В разделе (6.5) мы обсудим полученные результаты и, по возможности, сравним их с экспериментом.

6.1. Модель

Гамильтониан поверхностных состояний в ТИ, помещенный в магнитное поле и с учетом гексагонального искажения, определяется как [51] (Н = 1)

Н = и+(кхау-куах) + Лкх(к2х-3к2у)ах + В • а, (6.1)

где а = (ах,ау,аг) это матрицы Паули действующие в спиновом пространстве, и это сдвиг химического потенциала с точки Дирака (может быть контролирован внешним гейтом или допированием), Vр это скорость Ферми, кх = ксоъф и ку = к Бтф это компоненты импульса поверхностных состояний, Л это величина гексагонального искажения, В = (ВХ,ВУ,Вг) =