Электронная структура и характеристики атомов и ионов в многоконфигурационном методе Хартри-Фока тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Лицарев, Михаил Сергеевич

• Лицарев, Михаил Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лицарев, Михаил Сергеевич

Введение

1 Методы расчета электронной структуры атомов и ионов

1.1 Многоэлектронный атом.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Движение в центрально-симметричном поле

1.1.3 Квантовые состояния электронов в атоме. Электронные конфигурации.

1.1.4 Свойства многоэлектронной волновой функции.

1.1.5 Детерминант Слэтера.

1.1.6 Четность состояний слэтеровского детерминанта.

1.1.7 Слэтеровские волновые функции.

1.2 Вариационный принцип в атомной задаче.

1.2.1 Общая схема.

1.2.2 Задача на собственные значения.

1.2.3 Метод Хартри-Фока.

1.2.4 Многоконфигурационный метод Хартри-Фока.

1.3 Матричные элементы нерелятивистского гамильтониана

1.3.1 Матричные элементы между детерминантами

1.3.2 Одночастичные и двухчастичные интегралы

1.3.3 Интегралы по угловым переменным.

1.3.4 Выражение для энергии.

1.3.5 Электронная плотность атома

2 Многоэлектронный базис волновой функции

2.1 Введение.

2.2 Многоэлектронные базисные функции.

2.2.1 Общие принципы.

2.2.2 Построение конфигураций.

2.2.3 Построение детерминантов.

2.2.4 Отображение одноэлектронных состояний на множество неотрицательных целых чисел.

2.3 Сложение моментов.

2.3.1 Отбор состояний по квантовым числам Мь, Мз и Р

2.3.2 Матричные элементы операторов Ь2 и !32.

2.3.3 Метод прямой диагонализации.

2.4 Примеры расчетов базисных состояний.

2.5 Выводы.

3 Система матрично-векторных уравнений

3.1 Введение.

3.2 Варьирование энергии.

3.2.1 Общие соотношения.

3.2.2 Варьирование одночастичных интегралов

3.2.3 Варьирование двучастичных интегралов

3.3 Примеры построения матрично-векторных уравнений.

3.3.1 Простейшие случаи без учета электрон-электронного взаимодействия

3.3.2 Простейшие случаи с учетом электрон-электронного взаимодействия

3.3.3 Расширение базиса до неэквивалентных состояний

3.3.4 Атом гелия в состоянии 3Р° в базисе 1з2р.

3.3.5 Атом гелия в состоянии Учет ¿¿-оболочек.

3.3.6 Атом лития в состоянии 2 5.

3.3.7 Атом бериллия в состоянии

3.4 Вычислительная схема.

3.4.1 Сетки В.И.Крылова. Общие правила вычисления радиальных интегралов.

3.4.2 Вычисление интегралов ^ д.

3.4.3 Вычисление интегралов т}1^^'0'. ^

3.4.4 Изменение масштаба базиса.

3.4.5 Вычисление интегралов ^ ^(С).

3.4.6 Вычисление интегралов ^¿^'^(Сь Сз; Са, Сь). 9(

3.4.7 Минимизация ортогональных невязок.

3.4.8 Подмешивание.

3.4.9 Ускорение сходимости.

3.5 Результаты расчетов.

3.5.1 Полная энергия, волновые функции и электронная плотность

3.5.2 Внешнее поле.

3.6 Выводы.

4 Ионизация многоэлектронных атомов и ионов при столкновениях с нейтральными атомами

4.1 Введение.

4.2 Передача энергии активному электрону налетающего иона

4.2.1 Метод передачи энергии в представлении параметра удара.

4.2.2 Вычислительная схема.

4.2.3 Полное и m-кратные сечения электронных потерь.

4.2.4 Критерии применимости метода передачи энергии.

4.3 Результаты расчетов в сравнении с экспериментом и расчетами методом Монте-Карло.

4.3.1 Расчет сечений электронных потерь при больших энергиях

4.3.2 Расчет полных сечений со слэтеровской и МКХФ- плотностями при больших энергиях.

4.3.3 Расчет сечений электронных потерь для всего диапазона энергий

4.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электронная структура и характеристики атомов и ионов в многоконфигурационном методе Хартри-Фока»

Многоконфигурационный метод Хартри-Фока (МКХФ-метод) применяется во многих областях физики конденсированного состояния вещества, квантовой химии, атомной спектроскопии, как правило, в тех случаях, когда, исходя из „первых принципов", необходимо достичь высокой точности расчетов электронной струтуры или других характеристик атомов (ионов). Найденные в результате таких вычислений волновые функции можно использовать для расчета вероятностей радиационных переходов, эффективных сечений возбуждения, потенциалов ионизации, электронной плотности и других характеристик атома, которые представляют интерес для целого ряда приложений. По существу, именно в нахождении волновых функций в рамках квантово-механического подхода, который является „наукой о матричных элементах", и состоит одна из основных задач по расчету свойств многоэлектронных атомов (ионов). Волновые функции используются также при построении электроной плотности, представляющей отдельный интерес для атомных процессов, протекающих в лабораторной и астрофизической плазме, а также для физики конденсированного состояния вещества.

В связи с интенсивным развитием и практическим применением метода псевдопотенциалов [1]-[4] в рамках теории функционала плотности [5]-[11], в настоящее время очень актуальной является задача вычисления электронной плотности атома (иона), обладающей заданной степенью гладкости, во внешнем потенциале (моделирующем кристаллическое окружение атома или иона) с высокой точностью. Под гладкостью электронной плотности понимается непрерывное изменение последней в любой фиксированной точке координатного пространства при непрерывном изменении (одного из) параметров внешнего потенциала, который входит в гамильтониан атома и описывает экранировку валентных электронов.

Наличие свойства гладкости у волновых функций позволяет наиболее точно описать валентные электроны атома и исследовать их отклик на изменение параметров внешнего потенциала. В физике конденсированного состояния эта задача особенно актуальна в связи с правильным описанием обменно-корреля-ционных эффектов, связанных с локализованными d- и /-электронами, которые могут быть учтены только в рамках наиболее точных расчетных методов, относящихся к теории электронной структуры атомов и ионов.

Другой важной областью физики, где необходимы вычисленные волновые функции и электронная плотность атомов и ионов, является теория процессов многоэлектронной ионизации тяжелых (быстрых и медленных) ионов при столкновении с нейтральными атомами [12]-[14]. Теоретическое описание этих явлений актуально в настоящее время и имеет первостепенное значение для ряда бурно развивающихся приложений, таких, например, как физика ускорителей и управляемый термоядерный синтез [15], [16]. Например, для оценки электронных потерь ионным пучком вследствие столкновений с остаточным газом и времени его жизни в накопительном кольце, необходимы m-кратные сечения электронных потерь (т - число потерянных электронов). В физике плазмы описание процессов ионизации необходимо для правильных оценок такого эффекта, когда ионизующиеся частицы у стенок токамака (примесные ионы Fe и Сг) из области холодной плазмы попадают в область горячей плазмы, охлаждая ее.

Интенсивные экспериментальные исследования многоэлектронной ионизации быстрых тяжелых ионов нейтральными атомами были проделаны [17]-[25] параллельно с расчетами /гСТМС-методом (n-body classical trajectory Monte Carlo - классическим n-частичным методом Монте-Карло) [21]-[24], [26], [27]. Однако теоретическая модель, позволяющая рассчитывать т-кратные сечения электронных потерь многоэлектронных тяжелых ионов во всей области энергий все еще не создана.

Диссертация посвящена развитию двух важных областей физики атомов и ионов: теории электронной структуры и теории ион-атомных столкновений. А именно, разработке метода вычисления волновых функций и электронной плотности атомов и ионов (с учетом внешнего потенциала), обладающих заданной степенью гладкости, на базе имеющихся расчетных схем, и созданию теоретической модели многоэлектронной ионизации тяжелых ионов, сталкивающихся с нейтральными атомами. Эти две области тесно связаны, так как во всех проводимых вычислениях необходимы волновые функции и электронная плотность атомов (ионов), которые в диссертации расчитываются, если это не оговорено особо, в рамках многоконфигурационного метода Хартри-Фока.

Современное состояние теории позволяет моделировать различные кванто-во-механические системы, экспериментальное изучение которых на практике трудноосуществимо по ряду причин. Поэтому на первый план выходит проблема формулировки критериев достоверности получаемых результатов в рамках разрабатываемых вычислительных схем.

МКХФ-процедура [28]—[45] состоит из двух последовательных этапов. В соответствие с общепринятой схемой сначала производится построение многоэлектронного базиса или CSF-базиса (CSF - configuration state functions -функции конфигурационных состояний с заданными полным орбитальным и полным спиновым моментами). Затем решаются многоконфигурационные уравнения Хартри-Фока из которых определяются радиальные функции, входящие в состав слэтеровских детерминантов. Существующие реализации каждого из двух основных этапов МКХФ-метода все еще содержат принципиальные недостатки.

Построение CSF-базиса, является довольно трудоемкой задачей. Она состоит из задачи отбора электронных конфигураций и для каждой конфигурации - задачи о сложении орбитальных и спиновых моментов, которая решалась [46]-[55] с помощью техники генеалогических коэффициентов, разработанной Рака [56]-[59]. С вычислительной точки зрения такой подход плохо поддается формализации и обобщению, особенно для состоящих из нескольких оболочек и содержащих неэквивалентные электроны конфигураций, которые возникают при расширении многоэлектронного базиса даже до р-состояний. Основная идея, решающая эту проблему основана на применении техники лестничных операторов орбитального и спинового моментов [47]-[51], и впервые была выдвинута в работах [60]-[63]. Однако до сих пор в общем виде задача прямой диагонализации в рамках МКХФ-метода решена не была.

На втором этапе МКХФ-процедуры радиальные части одноэлектронных ор-биталей необходимо находить из системы интегро-дифференциальных уравнений, которые могут быть решены только численно. Применение конечно-разностных схем не может гарантировать в общем случае сходимости решения на отдельном шаге итерационного МКХФ-процесса, а в отдельных случаях приводит к неустойчивой работе численных алгоритмов, реализация которых основана на сеточных схемах [30].

Таким образом, в рамках вариационной МКХФ-процедуры необходимо разработать математический аппарат, реализация которого одинаково успешно работала бы для всех атомов периодической таблицы Д. И. Менделеева, содержала бы критерии правильности получаемого ответа, была бы устойчивой и позволяла вычислять электронную плотность во внешнем потенциале с заданной степенью гладкости. Цели и задачи диссертации

В рамках МКХФ-метода обобщить метод прямой диагонализации для случая СбТ^-базиса, отвечающего произвольным конфигурациям, а также разработать соответствующий универсальный вычислительный код для построения многоэлектронного базиса.

На основе вариационного принципа сформулировать общие правила построения матрично-векторных МКХФ-уравнений, исходя из разложения одноэлектронных радиальных функций по ортонормированному базису.

Разработать универсальную устойчивую вычислительную схему решения полученных уравнений и исследовать сходимость волновых функций в зависимости от длины базиса. Исследовать вопрос гладкости электронной плотности.

Разработать модель передачи энергии в классическом приближении, описывающую явление ионизации многоэлектронных ионов нейтральными атомами на всем диапазоне энергий. Сформулировать критерии применимости полученного метода.

Провести рассчеты полных сечений ионизации с использованием электронной плотности, полученной из МКХФ-метода и вычисленной с помощью слэтеровских орбиталей, и сравнить полученные результаты.

Научная новизна и практическая ценность результатов

В основе разработанного метода решения многоконфигурационных уравнений Хартри-Фока лежит представление радиальных частей одноэлектронных орбиталей в виде аналитически заданного подкласса функций, представляющих собой конечное разложение по ортонормированному базису. Такой подход позволяет ясно оценить достоверность результатов вычислений по анализу поведения коэффициентов разложения.

Разработанная программа, в которой реализован МКХФ-метод, позволяет проводить расчеты электронной структуры „из первых принципов", и осуществлять моделирование кристаллического окружения атома (иона) с высокой точностью. Код может быть легко модифицирован практически для любого внешнего потенциала.

Разработана модель передачи энергии в ион-атомных столкновениях, описывающая в диапазоне энергий 10 кэВ/н < Е < 100 МэВ/н явление одно- и многоэлектронной ионизации тяжелых ионов, сталкивающихся с нейтральными атомами. Модель не содержит подгоночных параметров и дает согласие вычисляемых значений сечений электронных потерь в сравнении с экспериментом и расчетами методом Монте-Карло в пределах фактора 2.

Создан программный код DEPOSIT, позволяющий проводить вычисления переданной электронам энергии для любых типов сталкивающихся ион-атомных пар. Это позволяет исследовать процессы для большого класса сталкивающихся систем, экспериментальное изучение которых затруднено, и предсказывать их столкновительные характеристики.

Результаты, выносимые на защиту.

1. В рамках многоконфигурационной процедуры Хартри-Фока предложен метод построения многоэлектронного базиса, основанный на прямой диагона-лизации базисных состояний. С помощью техники лестничных операторов углового и спинового моментов этот метод обобщен на случай произвольных электронных конфигураций. На основе полученных соотношений для метода прямой диагонализации разработан универсальный программный код (6000 строк, код написан на С++), реализующий построение многоэлектронного базиса и проведены многочисленные расчеты состояний с заданными спиновым и орбитальным моментами. Результаты опубликованы в {1}.

2. Решение многоконфигурационных уравнений Хартри-Фока, за счет аналитического разложения радиальных частей одноэлектронных волновых функций, входящих в состав слэтеровских детерминантов, по ортонормированному базису сведено к решению системы матрично-векторных уравнений. Сформулированы правила построения этих уравнений и найдена устойчивая численная схема их решения. Разработан програмный код (9400 строк, код написан на С++), реализующий символьное получение и варьирование выражения полной энергии, строящий систему матрично-векторных уравнений и решающий эту систему с линейной скоростью сходимости. С его помощью проведены расчеты полной энергии, волновых функций и электронной плотности для элементов, содержащих, в том числе, d- и /- электроны. Результаты опубликованы в {2}.

3. В классическом приближении разработана модель передачи энергии в ион-атомных столкновениях, описывающая в диапазоне энергий Е > 1 МэВ/н явление одно- и многоэлектронной ионизации тяжелых ионов, сталкивающихся с нейтральными атомами, не содержащая подгоночных параметров. Для вычисления переданной электронам энергии разработан программный код DEPOSIT (на С-Н-), с помощью которого проведены вычисления для ионов Аг1+. Ат2+. Кг7+, Хе3+, Лг18+, РЬ25+ и Uq+ (q = 10, 28, 39, 62), сталкивающихся с атомами Н, N, Ne, Ar, Кг, Хе и U. Сравнение с экспериментом:и расчетами методом Монте-Карло показало, что предложенная модель дает совпадение одно- и многоэлектронных сечений электронных потерь в пределах фактора 2. Результаты опубликованы в {3}, {4}.

4. Разработанная модель передачи энергии обобщена на случай низких и средних диапазонов энергий. Сформулированы критерии применимости разработанной модели. Для расчета полного и га-кратных сечений электронных потерь получены основные формулы, не содержащие подгоночных параметров. Возможности компьютерного кода DEPOSIT расширены на весь диапазон энергий 10 кэВ/н < Е < 100 МэВ/н. Получено согласие проведенных расчетов для ионов Ar+, Ge~, Аи~, U+, U28+, IF, W+, сталкивающихся с тяжелыми атомами при энергиях Е > 10 кэВ/н, с имеющимися экспериментальными данными в пределах фактора 2. Результаты опубликованы в {5}, {6}.

Структура диссертации.

Материал диссертации изложен на 169 страницах, содержит 33 рисунка, 5 таблиц, библиография включает 127 наименований. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и пяти приложений.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Лицарев, Михаил Сергеевич

Основные результаты настоящей диссертации заключаются в следующем.

1. В рамках многоконфигурационной процедуры Хартри-Фока предложен метод построения многоэлектронного базиса, основанный на прямой диагона-лизации базисных состояний. С помощью техники лестничных операторов углового и спинового моментов этот метод обобщен на случай произвольных электронных конфигураций. На основе полученных соотношений для метода прямой диагонализации разработан универсальный программный код (6000 строк, код написан на С++), реализующий построение многоэлектронного базиса и проведены многочисленные расчеты состояний с заданными спиновым и орбитальным моментами.

2. Решение многоконфигурационных уравнений Хартри-Фока, за счет аналитического разложения радиальных частей одноэлектронных волновых функций, входящих в состав слэтеровских детерминантов, по ортонормированному базису, сведено к решению системы матрично-векторных уравнений. Сформулированы правила построения этих уравнений и найдена устойчивая численная схема их решения. Разработан програмный код (9400 строк, код написан на С++), реализующий символьное получение и варьирование выражения полной энергии, строящий систему матрично-векторных уравнений и решающий эту систему с линейной скоростью сходимости. С его помощью проведены расчеты полной энергии, волновых функций и электронной плотности для элементов, содержащих в том числе с?- и /- электроны.

3. В классическом приближении разработана модель передачи энергии в ион-атомных столкновениях, описывающая в диапазоне энергий Е > 1 МэВ/н явление одно- и многоэлектронной ионизации тяжелых ионов, сталкивающихся с нейтральными атомами, не содержащая подгоночных параметров. Для вычисления переданной электронам энергии разработан програмныю код DEPOSIT (на С++), с помощью,которого проведены вычисления для ионов^Аг1+, Аг2+, Кг7+, Хе3+, Аг18+, РЬ25+ и Uq+ (q = 10, 28, 39, 62), сталкивающихся с атомами. Н, N, Ne, Ar, Кг, Хе и U. Сравнение с экспериментом и расчетами методом Монте-Карло показало, что предложенная модель дает совпадение одно- и многоэлектронных сечений электронных потерь в пределах фактора 2.

4. Разработанная модель передачи энергии обобщена на случай низких и средних диапазонов энергий. Сформулированы критерии применимости разработанной модели. Для расчета полного и m-кратных сечений электронных потерь получены основные формулы, не содержащие подгоночных параметров. Возможности компьютерного кода DEPOSIT расширены на весь диапазон энергий 10 кэВ/н < Е < 100 МэВ/н. Получено согласие проведенных расчетов для ионов Ar+, Ge~, Аи~, U+, U28+, W, W+, сталкивающихся с нейтральными атомами (Не, Ne, Ar, W) при энергиях Е > 10 кэВ/н, с имеющимися экспериментальными данными в пределах фактора 2.

Благодарности

В заключение мне бы хотелось выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю Евгению Григорьевичу Максимову за постановку задачи, постоянный интерес к работе и финансовую поддержку и Вячеславу Петровичу Шевелько, совместно с которым получены результаты Главы 4. Им обоим я благодарен за мудрые советы и замечания при подготовке рукописи и за небезразличное отношение к моей дальнейшей судьбе. Я благодарю Олега Викторовича Иванова за многократные и компетентные консультации, касающиеся вычислительной стороны целого ряда вопросов, возникавших в ходе выполнения работы. А также П.И. Арсеева, М.С. Каленкова, Ю.А. Успенского и В.В. Jloсякова за плодотворные обсуждения многих вопросов, связанных не только с данной работой.

Кроме этого я благодарен всем сотрудникам Отделения теоретической физики ФИАН, во главе с его директором М.А. Васильевым, среди которых мне посчастливилось работать и набраться бесценного опыта.

Публикации автора

1} М.С.Лицарев, О.В.Иванов, ЖЭТФ, 138, 28 (2010).

2} М. С. Лицарев, О.В.Иванов, Кратк. сообщ. физ. 37, 37 (2010).

3} V. P. Shevelko, M.S.Litsarev and H.Tawara, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 41, 115204 (2008).

4} M.-Y.Song, M.S.Litsarev, V.P.Shevelko, H.Tawara, J.-S.Yoon, Nucl. Instr. Meth. B, 267, 2369 (2009).

5} V. P. Shevelko, M. S. Litsarev, M.-Y. Song, H. Tawara, J.-S. Yoon, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 42, 065202 (2009).

6} V. P. Shevelko, D. Kato, M. S. Litsarev, H. Tawara, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 43, 215202 (2010).

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лицарев, Михаил Сергеевич, 2010 год

1. У. Харрисон. Теория твердого тела. Мир, Москва (1972).

2. Дж. Каллуэй. Теория энергетической зонной структуры. Мир, Москва (1969).

3. В. Хейне, М. Коэн, Д.Уэйр. Теория псевдопотенциала. Мир, Москва (1973).

4. С. Hartwigsen, S.Goedecker, J.Hutter, Phys. Rev. В 58, 3641 (1998).

5. P. Hohenberg and W.Kohn, Phys. Rev. В 136, 864 (1964).

6. W.Kohn and L.J. Sham, Phys. Rev. A 140, 1133 (1965).

7. Теория неоднородного электронного газа. Мир, Москва (1983). Перевод с английского под редакцией Д. А. Киржница и Е. Г. Максимова.

8. В. Кон. Электронная структура вещества волновые функции и функционалы плотности. УФН 172, 336 (2002).

9. K.Burke. The ABC of DFT (2003). http://dft.rutgers.edu/kieron/beta

10. W. Koch, M. C. Holthausen. A chemist's guide to density functional theory, second edition. Wiley-VCH, Weinheim (2001).

11. R. G. Parr, W.Yang. Density-functional theory of atoms and molecules. Oxford University Press, New York (1989).

12. J.H.McGuire. Introduction to dynamic correlation: multiple electron transitions in atomic collisions. New Orleans, LA; Tulane University Press (1997).

13. N. Stolterfoht, R. D. DuBois, R. D. Rivarola. Electron emission in heavy ionatom collisions. Berlin, Springer (1997).

14. V. P. Shevelko, H. Tawara. Atomic multielectron processes. Springer (1998).

15. J.Meyer. Plasma Phys. Control. Fusion 31 1613 (1989).

16. I. Hoffman and G. Plass. The HIDIF-Study Report GSI-98-06 (Darmstadt: GSI) (1998).

17. W. Erb. GSI Report GSI-P-78 (Darmstadt: GSI) (1978).

18. B.Franzke. IEEE Trans. Nucl. Sei. 28 2116 (1981).

19. D.Mueller at al, Phys. Plasmas 8 1753 (2001).

20. D.Mueller at al, Laser Part. Beams 20 551 (2002).

21. R.E.Olson, R.L.Watson, V.Horvat and К.E.Zaharakis, J. Phys. В 35 1893 (2002).

22. R.L.Watson, Y.Peng, V.Horvat, G.J.Kim and R.E.Olson, Phys. Rev. A 67 022706 (2003).

23. R. D. DuBois et al, Phys. Rev. A 68 042701 (2003).

24. R.E.Olson, R. L.Watson, V.Horvat et al, J. Phys. B. 37 4539 (2004).

25. A. C. F. Santos and R. D. DuBois, Phys. Rev. A 69 042709 (2004).

26. R.E. Olson at al, Nucl. Instrum. Methods A 544 333 (2005).

27. R.E.Olson, Nucl. Instrum. Methods A 464 93 (2001).

28. Д. Хартри. Расчеты атомных структур. Изд. иностранной литературы, Москва (1960).

29. Дж.А. Попл. Квантово-химические модели. УФН 172, 349 (2002).

30. С. Froese Fisher, T. Brage, P. Jonsson. Computational atomic structure; An MCHF approach. Institute of phisics publishing, Bristol and Philadelphia (2003).

31. E. R. Davidson, S. A. Hagstrom, S. J. Chakravorty, V. M. Umar and C. Froese Fischer, Phys. Rev. A 44, 7071 (1991).

32. J. Carlsson, P. Jonsson, L. Sturesson, C. Froese Fischer, Phys. Rev. A 49, 3426 (1994).

33. P. Jonsson, C. Froese Fischer, Phys. Rev. A 50, 3080 (1994).

34. J. Olsen, M. R. Godefroid, P. Jonsson, P. A. Malmqvist, C. Froese Fischer, Phys. Rev. E 52, 4499 (1995).

35. C.Froese Fisher, B.Liu, Comp. Phys. Commun. 64, 406 (1991).

36. С. Froese Fisher, Comp. Phys. Commun. 64, 431 (1991).

37. A. Hibbert, C. Froese Fisher, Comp. Phys. Commun. 64, 417 (1991).

38. С. Froese Fischer, Phys. Rev. A 30, 2741 (1984).

39. J. С Morrison, C. Froese Fischer, Phys. Rev. A 35, 2429 (1987).

40. C. Froese Fischer, J. B. Lagowski, S. H. Vosko, Phys. Rev. Lett. 59, 2263 (1987).

41. C. Froese Fisher, К. M. S. Saxena, Phys. Rev. A 9, 1498 (1974).

42. C. Froese Fisher, К. M. S. Saxena, Phys. Rev. A 12, 2281 (1975).

43. C. Froese Fisher, Phys. Rev. A 41, 3481 (1990).

44. C. Froese Fisher, Phys. Rev. A 39, 963 (1989).

45. C. Froese Fisher, P. Jonsson, M.Godefroid, Phys. Rev. A 57, 1753 (1998).

46. Д. А. Варшалович, A. H. Москалев, В. К. Херсонский. Квантовая теория углового момента. Наука, Ленинград (1975).

47. Е. Кондон и Г. Шортли. Теория атомных спектров. Изд. иностранной литературы, Москва (1949).

48. И. И. Собельман. Введение в теорию атомных спектров. Физматлит, Москва (1963).

49. I. Lindgren and J. Morrison. Atomic many-body theory. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (1982).

50. J. C. Slater. Quantum theory of atomic structure. McGraw-Hill, New York, Toronto, London (1960).

51. P. Н.Зар. Теория углового момента. Мир, Москва (1993).

52. P.W.Atkins, R.S.Friedman. Molecular Quantum Mechanics, third edition (1996).

53. D.M. Brink, G. R. Satchler. Angular momentum. Clarendon press, Oxford (1993).

54. L. C. Biedenhart, J. D. Louck. Angular momentum in quantum physics: theory and applications. Addison-Wesley, New-York (1981).

55. L. C. Biedenhart, H. van Dam. Quantum theory of angular momentum. Academic press, New York (1965).

56. G. Racah, Phys. Rev. 61, 186 (1941).

57. G. Racah, Phys. Rev. 62, 438 (1942).

58. G. Racah, Phys. Rev. 63, 367 (1943).

59. G. Racah, Phys. Rev. 76, 1352 (1949).

60. J. H. Barlett Jr., Phys. Rev. 38, 1623 (1931).

61. N.M. Gray and L.A. Wills, Phys. Rev. 38, 248 (1931).

62. M.H. Johnson Jr., Phys. Rev. 38, 1628 (1931).

63. M.H. Johnson Jr., Phys. Rev. 39, 197 (1932).

64. Г. А. Бете. Квантовая механика. Мир, Москва (1965).

65. Г. Бете и Э. Солпитер. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. Физмагиз, Москва (1960).

66. А.С.Давыдов. Квантовая механика. Физматлит, Москва (1963).

67. Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц. Квантовая механика, том III. Физматлит, Москва (2001).

68. Р. А. М. Dirac. Proc. Roy. Soc. (London), А 123, 714 (1929).

69. J. С.Slater, Phys. Rev. 34, 1293 (1929).

70. С. С. J. Roothaan, Rev. Mod. Phys. 32, 179 (1960).

71. С. Фудзинага. Метод молекулярных орбиталей. Мир, Москва (1983).

72. М. А. Ельяшевич. Атомная и молекулярная спектроскопия. УРСС, Москва (2009).

73. В. Я. Арсенин. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. Наука, Москва (1966).

74. А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров. Основы теории специальных функций. Наука, Москва (1974).

75. А. В. Пантелеев Т. А. Летова. Методы оптимизации в примерах и задачах. Высшая школа, Москва (2005).

76. Э. М. Галеев. Оптимизация. Теория, примеры, задачи. КомКнига, Москва (2006).

77. Е. A.Hylleraas, Zs.Phys. 54, 347 (1929).

78. С. L. Pekeris, Phys. Rev. 112, 1649 (1958).

79. J. J. De Groote, M. Masiii, J. E. Hornos, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 31, 4755 (1998).

80. П. И. Лизоркин, С. Г. Селиванова. Ортогональные разложения в функциональных пространствах. Издательство МИФИ, Москва (1980).81 82 [838488 899094 95 [96 [9798 99

81. И. М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. Наука, Москва (1971).

82. Б. Страуструп. Язык программирования С++. Бином, Москва (2002).

83. Р. Сэджвик. Фундаментальные алгоритмы на С++. Диасофт, Москва, Санкт-Питербург, Киев (2002).

84. Ф. М. Каррано, Дж. Дж. Причард. Абстракция данных и решение задач на С++. Вильяме; Москва, Санкт-Питербург, Киев (2003).

85. М. А. Уайс. Организация структур данных и решение задач на С++. Эком, Москва (2009).

86. У. Топп, У. Форд. Структуры данных в С++. Москва, Бином (2000).

87. У. Дж. Коллинз. Структуры данных и стандартная библиотека шаблонов. Бином, Москва (2004).

88. В.Липский. Комбинаторика для программистов. Мир, Москва (1988).

89. И. С. Березин, Н. П. Жидков. Методы вычислений. Физматлит, Москва (1962).

90. В. И. Крылов. Приближенное вычисление интегралов. Наука, Москва (1967).

91. В. И. Крылов, Л. Т. Шульгина. Справочная книга по численному интегрированию. Наука, Москва (1966).

92. Дж. Трауб. Итерационные методы решения уравнений. Мир, Москва, 1985.

93. В. М. Вержбицкий. Численные методы. Линейная алгебра и нелиненые уравнения. Высшая школа, Москва, 2000.

94. М. С. Payne et al., Rev. of Mod. Phys. 64, 1045 (1992).

95. E.R.Davidson, J. Comp. Phys. 17, 87 (1975).

96. P.Pulay, Chem. Phys. Lett. 73, 393 (1980).

97. Hanchul Kim, Byung Deok Yu and Jisoon Ihm, J. Phys. A: Math. Gen. 27, 1199 (1994).

98. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. Мир, Москва (1999). Дж. Дсммель. Вычислительная линейная алгебра. Мир, Москва (2001).

99. Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева. Вычислительные методы линейной алгебры. Лань, Санкт-Петербург, 2002.

100. О. Jitrik, C.F.Bunge, Phys. Rev. A 56, 2614 (1997).

101. N.Bohr, Phil. Mag. 30, 581 (1915).

102. C.L.Cocke, Phys. Rev. A 20, 749 (1979).

103. C.L.Cocke, R. E.Olson, Phys. Rep. 205, 153 (1991).

104. A.Russek, M.T.Thomas, Phys. Rev. 109, 2015 (1958).

105. A.Russek, M.T.Thomas, Phys. Rev. 114, 1538 (1959).

106. A. Russek, J. Meli, Physica 46, 222 (1970).

107. J.B.Bulman A. Russek, Phys. Rev. 122, 506 (1961).

108. A. Russek, Phys. Rev. 132, 246 (1963).

109. N. M. Kabachnik, V. N. Kondratyev, Z. Roller-Lutz and H.O.Lutz Phys. Rev. A 56 (1997).

110. F.Salvat Parelada, Phys. Rev. A 36, 467 (1987).

111. R.D.Evans. The atomic nucleus. New York, McGraw-Hill (1955).

112. В. И. Киреев, А. В. Пантелеев. Численные методы в примерах и задачах. Высшая школа, Москва (2004)

113. T.A.Carlson, C.W.Nestor Jr., N.Wasserman and J.D.McDowell, At. Data Nucl. Data Tables 2, 63 (1970).

114. K.Rashid, M.Z.Saadi and M.Yasin, At. Data Nucl. Data Tables 40, 365 (1988).

115. G.Zschornack, G.Musiol and W.Wagner, Dirack-Fock-Slater X-ray energy shifts and electron binding energy changes for all ion ground states in elements up to uranium. Preprint ZfK-574 Zentralinstitut fur Kernforschung, Rossendorf bei Dresden (1986).

116. N.F. Mott, H. S. W. Massey, The theory of atomic collisions, third ed., Clarendon press, Oxford (1987).

117. A.N.Pirumal, V.Horvat, R.L.Watson, et al., Nucl. Inst. Meth. В 227 251 (2005).

118. H. H. Lo and W. L. Fite, At. Data 1 305 (1970).

119. I. L. Beigman, I. Yu. Tolstikhina, V. P. Shevelko, Tech. Phys. 53 546 (2008).121. http://www.gsi.de/fair/indexe.html

120. H.Luna et al, Phys. Rev. A 68, 042701 (2003).

121. M. M. Sant'Anna et al, Plasma Phys. Control. Fusion 51, 045707 (2009).

122. H.Tawara and M.Kato, NIFS-DATA-51, Japan (1999).

123. M.Stenke at al, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 28 4853 (1995).

124. L. A. Vainshtain, V. P. Shevelko, Atomic physics for hot plasmas, Bristol:IOP (1993).

125. C. Belenger et al, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 30 2667 (1997).