Электрон-магнонное взаимодействие и спектр элементарных возбуждений в ферромагнитных полупроводниках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Ирхин, Валентин Юрьевич

• Ирхин, Валентин Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ирхин, Валентин Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. 5- <f обменная модель и общая картина спектра элементарных возбуждений в ферромагнитных полупроводниках. ТО

ГЛАВА 2. Электронные состояния в невырожденных ферромагнитных полупроводниках при низких температура;-:.

§1. Точное представление одноэлектронных функций Грина

§2. Линейное приближение по числам заполнения магнонов. Спектр и затухание электронов проводимости.

§3. Плотность состояний и спиновая поляризация электронов проводимости.

§4. Выводы.

ГЛАВА 3. Электронные состояния в вырожденных ферромагнитных полупроводниках при низких температурах.

§1. Разложение одноэлектронных функций Грина.

§2. Температурная зависимость электронного спектра и затухания.

§3. Температурная зависимость плотности состояний и спиновая поляризация в вырожденном ферромагнитном полупроводнике

§4. Выводы.

ГЛАВА 4. Носители тока в узкозонном хаббардовском ферромагнетике.

§1. Вычисление одночастичных функций Грина

52. Спектр, затухание и плотность состояний носителей тока.

§3. Выводы

ГЛАВА 5. Примесные уровни в ферромагнитных полупроводниках.

§1. Температурная зависимость энергии примесного уровня в спин-волновой области

§2. Мелкие примесные уровни при высоких температурах.

§3. Примесные уровни промежуточной глубины при высоких температурах

§4. Выводы

ГЛАВА 6. Спиновые волны в ферромагнитных полупроводниках.

§1. Разложение магнонной функции Грина

§2. Затухание спиновых волн

§3. Температурная зависимость•константы спиновой жесткости

§4. Оптический магнон

§5. Спиновые волны в узкозонном хаббардовском ферромагнетике

§6. Спиновые волны в узкозонной $ - с( модели

§7. Выводы . 108.

Глава 7. S-oL(f) рассеяние в ферромагнитных полупроводниках при низких температурах.

§1. Вариационный принцип

§2. Амплитуда рассеяния и эффективный гамильтониан

§3. Рассеяние на немагнитных примесях

§4. Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электрон-магнонное взаимодействие и спектр элементарных возбуждений в ферромагнитных полупроводниках»

В настоящее время физика магнитных полупроводников является быстро развивающейся областью физики твердого тела. Интерес к этим веществам обусловлен прежде всего их уникальными физическими свойствами, которые находят все большее практическое применение. Важнейшая особенность ферромагнитных полупроводников состоит в сильном взаимодействии носителей тока с локализованными магнитными моментами частично заполненных d(^) -оболочек магнитных ионов. Наличие взаимодействующих магнитной и электронной подсистем открывает широкие возможности для создания новых материалов с разнообразными кинетическими, магнитными и оптическими свойствами. С другой стороны, магнитные полупроводники оказываются чрезвычайно удобным объектом для фундаментальных теоретических исследований. Это связано с тем, что для редкоземельных магнитных полупроводников С в отличие, например, от переходных cL -металлов') может быть сформулирована достаточно простая микроскопическая модель, которая дает не только качественное, но и, по-видимому, хорошее количественное описание. Такой моделью является S-ci(f) -обменная модель Шубина и Вонсовского [l-3j . В ней предполагается существование двух автономных электронных систем: системы локализованных d(f) -электронов, описываемой моделью Гейзенберга и определяющей магнитные свойства вещества, и системы подвижных $электронов, которые определяют кинетические свойства. Между двумя группами электронов существует обменное взаимодействие, характеризуемое в хорошем приближении S - cl (^) -обменным интегралом I .

Важный класс ферромагнитных полупроводников, к которым применима обменная модель, составляют халькогениды европия. Его типичными представителями являются ьО и £u,S фективная ширина энергетической зоны проводимости W в этих веществах с учетом расщепления в кристаллическом поле примерно равна 2-3 эВ, а спиновое расщепление IIS ^ S - величина спина магнитных ионов) - порядка 0,4 - 0,5 эВ [4]. Несколько иной оказывается ситуация в случае другой практически важной группы ферромагнитных полупроводников - хромовых халькогенидных шпинелей Iтипичный представитель - Cd Cz^Se^ 1 • Зонная структура этих веществ чрезвычайно сложна и в настоящее время детально не исследована. Ширина зоны проводимости в шпинелях с полупроводниковой проводимостью 11 -типа порядка I эВ, характерный внутриатомный параметр взаимодействия - порядка нескольких эВ. По-видимому, следует считать, что в этих соединениях носители тока находятся в той же энергетической cl-полосе, из состояний которой формируются локальные моменты. Такую ситуацию нужно описывать скорее не в рамках обменной модели, а в рамках полярной модели Шубина и Вонсовского jl,5j , наиболее простым вариантом которой является модель Хаббарда [б] , где учитывается кулоновское взаимодействие электронов, находящихся на одном узле решетки. Впрочем, использование полярной модели не приводит к существенному изменению физических результатов по сравнению с S - cL обменной моделью [7] .

При теоретическом рассмотрении халькогениды европия обычно относят к веществам с широкой зоной проводимости l УЦ I %I*S| ), а халькогенидные шпинели ft -типа, наоборот, к узкозонным материалам I W«UI£| Однако реальные соотношения параметров в этих соединениях, как видно из приведенных выше данных, далеки от предельных. Поэтому для полного описания свойств ферромагнитных полупроводников в рамках (Jf.) модели необходим подход, не использующий; малости S- ^ обменного взаимодействия либо ширины зоны. Оказывается, что такой подход действительно может быть развит для случая низких температур (.в спин-волновой области). Помимо приложения к ферромагнитным полупроводникам, изучение S- <f обменной модели в этом температурном интервале представляет также большой теоретический интерес, так как она дает один из немногих примеров многочастичных моделей твердого тела с сильным взаимодействием, допускающих достаточно полное исследование.

Детальное рассмотрение энергетического спектра носителей тока и спиновых волн в ферромагнитных полупроводниках при низких температурах в рамках 5- | обменной модели, а также узкозонной модели Хаббарда и является основной целью данной работы.

В первой главе диссертации дан обзор основных теоретических работ, посвященных исследованию ферромагнитных полупроводников.

Содержание глав 2-7 является оригинальным. При этом в главах 2-5 рассматриваются электронные свойства, в главе 6 - спиновые волны и в главе 7 - кинетические свойства.

Во второй главе исследуются электронные состояния в невырожденных ферромагнитных полупроводниках в спин-волновой области температур. Для этого строится точное разложение одноэлектронных запаздывающих двухвременных функций Грина в ряд по числам заполнения магнонов. Из полученных в первом порядке выражений следует, что при произвольных значениях упомянутых параметров модели температ5/г турные поправки порядка | к электронному спектру взаимно ком

Т % г пенсируются, и главные поправки пропорциональны I С ранее этот результат был известен только в предельных случаях). Кроме того, получена температурная зависимость затухания, плотности состояний и спиновой поляризации электронов проводимости. Проводится сопоставление с экспериментальными данными по полевой эмиссии для сульфида европия tu$

В третьей главе изучаются электронные состояния в вырожденных ферромагнитных полупроводниках. В этом случае строгое рассмотрение при произвольных значениях параметров модели оказывается невозможным вследствие многоэлектронных эффектов. В силу этого используется разложение по малому параметру ^ /%$> . Показано, что многоэлектронные эффекты не изменяют температурной зависимости спектра и плотности состояний по сравнению с невырожденным случаем, но существенно влияют на затухание и спиновую поляризацию электронов проводимости.

В четвертой главе рассмотрены состояния носителей тока (двоек или дырок) в узкозонном ферромагнетике, описываемом моделью Хабба-рда. При этом используется метод многоэлектронных операторов перехода.

В пятой главе исследуется температурная зависимость энергии примесных уровней в ферромагнитных полупроводниках. Показано, что при произвольных параметрах используемой модели поправки к спектру в спин-волновой области пропорциональны, как и в случае зонных состояний, Т ^ • Конкретные вычисления проводятся в рамках водоро-доподобной модели. В области высоких температур используется теория возмущений Бриллюэна-Вигнера.

В шестой главе изучаются спиновые волны в ферромагнитных полупроводниках. С использованием разложения по малому параметру /%$ исследуется температурная зависимость спектра и затухания магнонов с учетом вклада электронов проводимости. Кроме того, получены точные в линейном приближении по концентрации носителей тока выражения для спиновых функций Грина в предельно узкозонном случае. Обсуждается вопрос о существовании слабозатухающей оптической ветви в спектре спиновых волн, которое оказывается возможным лишь при довольно сильных ограничениях на величины параметров модели.

В седьмой главе исследуются кинетические свойства носителей тока в ферромагнитных полупроводниках в спин-волновой области. Для этого с помощью вариационного принципа построены волновые функции состояний носителей тока при низких температурах. Вычисляются вероятности перехода между этими состояниями как за счет собственно с примесями. Построен эффективный гамильтониан, описывающий элект-рон-магнонное взаимодействие. Показано, что рассеяние на заряженных примесях приводит к заметному вкладу в магнетосопротивление, что позволяет объяснить экспериментальные данные для кадмий-хромовых шпинелей.

Таким образом, в настоящей работе решаются следующие задачи:

- вычисление точных в линейном приближении по числам заполнения магнонов одноэлектронных функций Грина в 5 -^ обменной модели и узкозонной модели Хаббарда;.

- исследование температурных зависимостей спектра, затухания, плотности состояний и спиновой поляризации носителей тока в ферромагнитных полупроводниках;

- вычисление температурной зависимости энергии водородоподобных примесных уровней в ферромагнитных полупроводниках во всем интервале температур;

- изучение спектра и затухания спиновых возбуждений в ферромагнитных полупроводниках при низких температурах;

- расчет транспортных свойств носителей тока в ферромагнитных полупроводниках в спин-волновой области температур; вычисление температурной и полевой зависимости магнетосопротивления с учетом рассеяния на примесях.

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались та Vij Уральской школе - 83 по магнитным и редкоземельным полу-лроводникам и на XVi Всесоюзной конференции по физике магнитрассеяния, так и за счет взаимодействия носителей тока ных явлений (Тула, 1983 ), а также опубликованы в работах [76-82], которые перечислены в конце списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Ирхин, Валентин Юрьевич

4. Выводы

1. Сформулирован вариационный принцип, с помощью которого построены состояния носителей тока в $- ^ модели ферромагнитного полупроводника в спин-волновой области температур.

2. Продемонстрирована возможность введения эффективного гамильтониана, описывающего взаимодействие носителей тока с магнонами, причем соответствующая амплитуда рассеяния обращается в нуль при нулевом импульсе магнона. Последнее приводит к возникновению высоких степеней ( Т в температурной зависимости частоты релаксации за счет собственно ^ рассеяния.

3. Показано, что магнитное рассеяние, индуцированное примесями, может приводить к появлению более низких степеней температуры i Т или / ) в кинетических свойствах.

4. Учет рассеяния на примесях позволяет качественно объяснить экспериментально наблюдаемое заметное магпетосопротивление в кадмий-хромовых шпинелях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение мы еще раз кратко перечислим основные полученные результаты, а также укажем некоторые нерешенные задачи и возможные направления дальнейших исследовании.

1. Впервые строго решена задача об электронных состояниях в обменной модели ферромагнитного полупроводника при низких температурах в случае пустой зоны проводимости. Показано, что при произвольных значениях параметров модели температурные поправки к

T/su ("эффект компенсации"), а спиновая поляризация электронов проводимости в согласии с экспериментом пропорциональна относительной намагниченности.

2. Последовательно рассмотрены электронные состояния в случае конечного заполнения зоны проводимости. Показано, что многоэлектронные эффекты не изменяют температурной зависимости спектра и полной плотности состояний, но приводят к модификации затухания электронов и сильной зависимости спиновой поляризации от энергии.

3. Исследованы состояния носителей тока в предельном случае узкой зоны проводимости в рамках модели Хаббарда. Здесь особенно сильно проявляются эффекты, связанные с наличием состояний не-квазичастичного типа с "неправильной" проекцией спина, характеризующихся малой подвижностью.

4. Проведено рассмотрение электронных состояний в S- / обменной модели при отказе от требования пространственной периодичности. Строго доказано, что и в этом случае при низких температурах имеет место "эффект компенсации". В рамках водородоподобной модели в пределе широких зон энергия примесного уровня вычислена во всем температурном интервале.

5. Детально исследован спектр спиновых возбуждений в вырожденных ферромагнитных полутгроводниках при низких температурах. По

Т О1"1 казано, что оптическая ветвь спектра является сильно затухающей за исключением случая узкой зоны проводимости. Найдены температурные зависимости спектра и затухания спиновых волн. При увеличении концентрации электронов возможно изменение знака температурной поправки к константе спиновой жесткости.

5. С помощью вариационного принципа рассмотрены кинетические свойства ферромагнитных полупроводников. "Эйгоект компенсации" пшвоцит к возникновению высоких степеней температуры (I ) в обратном транспортном времени релаксации и его слабой зависимости от магнитного поля в случае собственно S- ^ рассеяния. В то же время учет рассеяния на примесях дает более сильную температурную зависимость и позволяет объяснить заметное магнетосопротивление, наблюдаемое в кадмий-хромовых шпинелях.

Таким образом, в диссертации дано подробное рассмотрение спектра элементарных возбуждений в ферромагнитных полупроводниках при низких температурах. Результаты работы могут быть широко использованы при интерпретации экспериментальных: данных по ферромагнитным полупроводникам. Следует отметить, что в настоящее время таких данных при низких температурах, к сожалению, имеется недостаточно, и проведение соответствующих измерений было бы очень желательным.

Метода, развитые в работе С в частности, разложение по параметру ^ /%& , построенное в третьей главе) могут быть полезными и при теоретическом исследовании антиферромагнитных полупроводников. Эта проблема, однако, является более сложной из-за возможности автолокализации носителей тока [?,го]. Формализм уравнений движения для функций Грина в атомном представлении (разложение по Vx } > использованный в главах 4 и 6, может быть применен для описания свойств переходных металлов и их соединений (например, в рамках вырожденной модели Хаббарда').

В дальнейшем следует также продолжить теоретическое изучение свойств ферромагнитных полупроводников. В первую очередь это относится к кинетическим свойствам. Более строгое и последовательное, чем в седьмой главе, рассмотрение кинетики может быть, по-видимому, выполнено на основе формализма двухчастичных функций Грина. Большой интерес представляет вычисление вклада в кинетические и другие свойства малоподвижных состояний с "неправильной" проекцией спина. Важным и актуальным вопросом является также исследование ферромагнитных полупроводников с сильной неупорядоченностью, к которым относятся многие реальные материалы.

Автор благодарит С.В.Вонсовского за внимание к работе и М.И. Кацнельсона и М.И.Ауслендера за многократные плодотворные обсуждения и ценные замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ирхин, Валентин Юрьевич, 1984 год

1. Shubin S .Р«, Vonsovsky S.V. Zur Elektronentheorie der Metalle. Phys.Zs.USSR. 1. 1935, v.7, N3, p.292-328; II. 1936, v.10, ИЗ, p.348-377.

2. Вонсовский С.В. Об обменном взаимодействии валентных и внутренних электронов в ферромагнитных (переходных) металлах.- ЖЭТ®, 1946, т.16, Ш, с. 981-989.

3. Вонсовский С.В. Магнетизм. М., Наука, 1971, 1032 с.4* Wachter P. Europium chalcogenides. In: Handbook Phys.Chem.Rare Earth. Amsterdam, Horth-Holland, 1979, v.1t p.507-574.

4. Shubin S.P., Vonsovsky S.V. On the electron theory of metals. Proc.Roy.Soc., 1934, V.A145, p.159-180.

5. Hubbard J. Electron correlations in narrow energy bands. Proc. Roy.Soc., 1963, V.A276, p.401-411.

6. Нагаев Э.Л. Физика магнитных полупроводников. М., Наука, 1979, 432 с.

7. Бердышев А.А., Карпенко Б.В. О косвенном взаимодействии d -электронов переходных металлов.- ЖЭТФ, 1959, т.36, "'М, с.814-823.

8. Вонсовский С.В., йзюмов Ю.А. Электронная теория переходных металлов.- У®, 1952, т.58, с.3-52.

9. Ольхов 0.А.,Семин С.П. О влиянии s-d обменного взаимодействия на затухание спиновых волн в ферромагнитных металлах.-ФШ, 1978, Т.46, '1С5, с.909-917.

10. Лутовинов B.C., Рейзер М.Ю. 0 процессах релаксации в ферромагнитных металлах. ЖЭТФ, 1979, т.77, ;!°2, с.707-716.

11. Rys P., Helman J.C., Baltensperger W. Influence of ferromagne-tically ordered ion spins on a conduction electron.-Phys.Kond* Mat., 1967, v.6, N2, p.105-125.

12. Нагаев Э.Л. Аномальные магнитные структуры и фазовые переходы в негейзенберговских магнетиках. УФН, 1982, т. 136, с.61-103.

13. Метфессель 3., Маттис Д. Магнитные полупроводники. М., Мир, 406 с.

14. Кривоглаз М.А. Флуктуонные состояния электронов.- У«Н, 1973, т.Ill, !J°4, с.617-654.

15. Ауслендер М.И., Кацнельсон М.И. Взаимодействие электрона проводимости с критическими флуктуациями спиновой плотности в sd обменной модели магнитного полупроводника. Оценки свободной энергии и статическая проводимость.- ТМФ, 1980, т.43, li°2, с.261-271.

16. Ауслендер М.И., Кацнельсон М.И. Асимптотика плотности состояний электронов, взаимодействующих с критическими флуктуациями параметра порядка.- ДАН СССР, Г\82, т.265, IIS, с.601-604.

17. Auslender M.I., Bebenin N.G., Kalashnikov V.P. The asymptotics of the electron density of states in the s-f exchange model for a ferromagnetic semiconductor near Tc«- Phys. stat. sol (b), 1982, v. 114, N2, p.K147-152.

18. Auslender M.I., Bebenin N.G., Zolotovitskii A.B., Kalashnikov V.P. On the density of states of a broad-band ferromagnetic semiconductor at T^ T^.-Phys.stat.sol.(b), 1982, v.11o, N2, p.369-377.

19. Nolting W. Theory of ferromagnetic semiconductors.- Phys. stat.sol.(b ), 1979, v.96, N1, p. 11-54.

20. Nolting W., Oles A.M. Conduction-band structure of a ferromagnetic semiconductor.-Phys.Rev., 1980, v.B22, N12, р.б184-б195«

21. Nolting W., Oles A.M. Quasiparticle lifetimes in the s-f model.-JMMM, 1980,v.20, N2, p.195-200.

22. Nolting W., Oles A.M. Quasiparticle density of states and edge shifts of doped ferromagnetic semiconductors.-Phys.Rev., 1981, V.B23, N8, p.4122-4128.

23. Nolting W., Oles A.M. Effect of finite band filling on the excitation spectrum of the s-f model (magnetic semiconductors).-J.Phys.C, 1980, v.13, H5, p.823-836.

24. Sinkkonen J. s-f model in magnetic semiconductors.-Phys.Rev., 1979, v.B19, N12, p.6407-6417.

25. Aldea A., Teleman E. The influence of the s-f interaction on the conduction band behaviour in ferromagnetic semiconductors. A theory of the red shift.-Z.Phys.В, 1980,v.37, N2, p.135-141.

26. Barvik V., Capek V., Chvosta P. Subband properties of the strong coupling s-d model from the lowest six moments.-JIMM,1979, v.14, N1, p.87-93.

27. Capek V. Role of magnetization in the electron quasiparticle energy in the s-d model of ferromagnetic semiconductors.-Phys. stat.sol.(b), 1981, v.103, H1, p. 107-113.

28. Из юмов :J.A., Медведев M.B. Магнитный полярон в Ферромагнитном кристалле.-ЖЭТФ, 1970, т.59, с.553-560.

29. Shastry B.S., Mattis D.C. Theory of the magnetic polaron.-Phys.Rev., 1981, V.B24, N9, p.5340-5348.

30. Allan S.R., Edwards D.M. The effect of electron-magnon interaction on the band structure of ferromagnetic semiconductors with application to EuO and EuS.-J.Phys.C, 1982, v.15, N10, p.2151-2163.

31. Korenblit I.Ya., bazarenko Yu.P. On the electron-magnon interaction in ferromagnetic semiconductors.-Phys.stat.sol.(b), 1975, v.71, N1, Р.К107-1Ю.

32. Зубарев Д.Н. Двухвременные функции Грина в статистической физике.- УФН, I960, т.71, с.71-116.

33. Тябликов С.В. Метода квантовой теории магнетизма. М., Наука, 1975, 572 с.

34. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны. М., Наука, 1967, 368 с.

35. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. М., Наука, 1-955, 235 с.

36. Изюмов 10.А., Кассан-оглы Ф.А., Скрябин Ю.Н. Полевые метода в теории ферромагнетизма. М., Наука, 1974, 224 с.

37. Мигдал А.Б. Теория конечных ферми-систем. М.,Наука, 1965,572с.

38. Baum G., Kisker Е., Mahan А.Н., Raith W., Reihl В. Electron field emission from europium sulfide on tungsten.-Phys.Rev,, 1978, v. B18, N5, p. 2256-2268.

39. Baum G., Kisker E., Mahan A.H., Raith W., ReihlB. Field emission of monoergetic spin-polarized electrons.-Appl.Phys., 1977, v.14, N2, p.149-153.

40. Edwards D.M. The spin polarisation of conduction electron ina ferromagnetic semiconductor.-J.Phys.C,1983,v.16,N11,p.L327-330.

41. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников.1. М., Наука, 1977, 672 с.

42. Шкловский Б.И., Эфрос А.Л. Электронные свойства легированных полупроводников. М., Наука, 1979, 416 с.

43. Бонч-Бруевич В.Л., Тябликов С.В. Метод функций Грина в статистической физике. М., Физматгиз, 1961, 312 с.45» Hertz J.A., Edwards D.M. Electron-magnon interactions in itinerant ferromagnetism.-J.Phys.F. I.Formal theory. 1973, v«3, N12, p.2174-2190.

44. Edwards D.M., Hertz J.A. Electron-magnon interactios in itinerant ferromagnetism. II.Strong ferromagnetism.-J.Phys.F,1973,v.3, N12, p.2191-2205.

45. Anderson P.W. Polarization of photoelectrons from ferromagnetic metals.-Phil .Mag. , 1971, v.24, N187, p.203-211.

46. Nagaoka Y. Ferromagnetism in a narrow, almost half-filled s-band.-Phys.Rev., 1966, v.147, N1, p.392-405.49» Hubbard J. Electron correlations in narrow energy bands. IV. Atomic representation.-Proc.Roy.Soc.,1965,v.A285, p.542-556.

47. Brinkman W.P., Rice T.M. Single-particle excitations in magnetic insulators.-Phys.Rev., 1970, v.B2, N5, p.1324-1338.

48. Исихара А. Статистическая физика. M., Мир, 1073,. 473 с.52. йшмухаметов Б.Х., Кацнельсон М.й. Коллективные колебания неоднородной электронной плазмы в квазиклассическом приближении.-ФММ, 1975, т.40, №4, с.736-742.

49. Стенли Г. Фазовые перехода и критические явления. М., Мир, 1973, 420 с.

50. Силин З.П., Солонцов А.З. релаксации магнонов в проводящих магнетиках.- ФММ, 1981, т.52, ::02, с.231-242.

51. Летфулов В.М., Бердьшев А.А. Спиновые волны в ферромагнитных полупроводниках.-ФТТ, 1975, т.Т7, i!°7, с. 2049-2053.

52. Mauger A., Mills D.L. Theory of magnetic excitations in ferro magnetic semiconductors.-Phys.Rev., 1984, V.B29, N7, p.3815-3833.

53. Зайцев P.O. Диаграммная техника и газовое приближение в модели Хаббарда.-ЖЭТФ, 1976, т.70, с. II00-TIII.

54. Roth L. Electron correlation in narrow energy band. I.The two-pole approximation in a narrow s-band. Phys.Rev., 1969, v.184, N2, p.451-459.

55. Калашников З.П., Ауслендер М.И., Бебенин Н.Г. Макроскопические уравнения динамики магнетиков. 4. £ -d модель вдали от равновесия.- ФММ, 1981, т.51, с.52-63.

56. Mori Н., Kawasaki К. TheCiry of dynamic behaviour of ferromagnetic spins.-Progr.Theor.Phys.,1962, v.27, N3, p.529-570.

57. Lehmann H.W. Semiconducting properties of ferromagnetic CdCr2Se4.-Phys.Rev.,1967, v.163, N2, p.488-496.

58. Бержанский B.H., Чернов В.К. Магнитопроводимость монокристаллов CcLCZzSe^ /г и Р -типа. ФТТ, 1982, т.24, :i38,с • 90 — kitj 95 •73» Haas С. Spin-disorder scattering and magnetoresistance of magnetic semiconductors.-Phys.Rev.,1969,v.168, N2, p.531-538.

59. Sattler К., Siegmann Н.С. Paramagnetic sheet at the sufface of the Heisenberg ferromagnet EuO.-Phys.Rev.Lett1972, v.29, N23, p.1565-1567.

60. Nolting W., Reihl B. "Magnetically dead* surface layers on ferromagnetic semiconductors.-Phys.Rev., 1983, v.В28, N7,p.3886-3889.

61. Auslender M.I., Katsnelson M.I.,Irkhin V.Yu. s-f scattering in ferromagnetic semiconductors at low temperatures.-Physica B, 1983, v.119, N3, p.309-320.

62. Ауслендер М.И., Кацнельсон M. И., тИрхин В МО. j. рассеяние в ферромагнитных полупроводниках при низких температурах.- Тезисы докладов ХУТ Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений. Тула, 1983, т.1, с.16-17.

63. Ирхин В.10., Кацнельсон М.И. Носители тока в узкозонном хаббардовском ферромагнетике.-ФТТ, 1983, т.25, Ю, с.3383-3388.

64. Auslender M.I., Irkhin V.Yu., Katsnelson M.I. Electron states in the s-f exchange model of a ferromagnetic semiconductor in the spin wave region.-J.Phys.С, 1984, v.17, N4, p#669-681.

65. Auslender M.I., Irkhin V.Yu. Spin polarization of conduction electrons in ferromagnetic semiconductors.-Solid St.Comm., 1984, v.50, N11, p.1003-1005.

66. Auslender M.I., Irkhin V.Yu. Spin waves in degenerate ferromagnetic semiconductors at low temperatures.-Z.Phys.B, 1984, v.56, N4, p.601-606.

67. Ирхин В. 10., Кацнельсон М.И. Примесные уровни в ферромагнитных полупроводника:':.-ФТТ, 1984, т.26, п°Ю, с.3055-3062.