Электромагнитные эффекты в структурно-неоднородных упругих телах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Мохамед Монтасер Фекри Абдельзахер

• Мохамед Монтасер Фекри Абдельзахер
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Мохамед Монтасер Фекри Абдельзахер

Введение

Глава 1. Постановка линейных краевых задач термоупругого

деформирования растущих тел

1.1 Математическое моделирование аддитивного процесса

1.2 Начально-краевая задача для одного шага процесса

1.2.1 Основные уравнения

1.2.2 Индукционный нагрев

1.2.3 Излучение на границе

1.3 Характерное время процесса роста

1.4 Формула интенсивности напряжений

1.5 Вычислительный анализ

Глава 2. Квазистатическая задача о температурных напряжениях в

растущем термоупругом цилиндре

2.1 Задача теплопроводности

2.1.1 Вспомогательная линейная задача

2.1.2 Итерационная процедура для нелинейных граничных условий

2.1.3 Эволюция поля температуры в растущем теле

2.2 Квазистатическая задача по определению напряженно-деформированного состояния растущего упругого цилиндра

Глава 3. Динамическая задача о температурных напряжениях в

растущем вязкоупругом твердом теле

3.1 Задача Штурма-Лиувилля для перемещений

3.1.1 Методика нахождения собственных значений по асимптотическим формулам

3.2 Координатные функции

Глава 4. Полностью связанная динамическая задача

термовязкоупругости для растущего тела

4.1 Обобщенная задача Штурма-Лиувилля

4.2 Система собственных функций

4.3 Координатные функции

Заключение

Список литературы

Приложение А

Приложение B Коды алгоритма

Введение

Технология аддитивного изготовления

Аддитивное производство ^D-печать) — перспективная технология создания трехмерных твердотельных деталей сложной геометрической формы [18]. Сущность технологий заключается в том, что деталь изготавливается последовательно, шаг за шагом, послойно, в результате наплавки или спекания металлических порошков на участке с заданной геометрической формой по данным цифровой модели, подготовленной в системе автоматизированного проектирования (САПР) (Computer-aided design, CAD) [9-12]. Подобная технология используется при автоматизированном производстве (computer-aidedmanufacturing, (CAM)) [13-15] и числовом программном управлении (ЧПУ) (computer numerical control CNC) [16-18]. Эти программы в сочетании с 3D-принтерами позволяют спроектировать и напечатать любую трехмерную сложную деталь, добавляя материалы слой за слоем, предлагая выгодную возможность создавать сколь угодно сложные детали, которые не могут быть созданы традиционными производственными процессами.

В 1980-х годах появилась новая технология, называемая быстрым прототипированием, позволяющая создавать трехмерные детали с использованием САПР-модели. Эта технология была разработана, чтобы помочь инженерам реализовать свои идеи и инновации. Первая деталь, созданная с помощью технологии быстрого прототипирования, ознаменовала начало эры процессов аддитивного производства (AM).

Наиболее важными преимуществами аддитивных технологий, является сокращение времени, затрат и человеческого взаимодействия и, следовательно, цикла разработки продукта [19-21], а также возможность создания изделия практически любой сложной формы, которые трудно изготовить с помощью обычных методов. В прошлом, технологии быстрого прототипирования не были

полностью внедрены в производственный сектор, но использовались учеными, студентами, профессорами и исследователями [22-24]. В наши дни, эти технологии имеют другие названия, такие как 3D-печать и т. д., но все они основаны на идее быстрого прототипирования [13, 25].

За последние годы, благодаря интенсивным исследованиям, методы аддитивного производства значительно развилась после изобретения нескольких технологий, основанных на использовании лазерного излучения в качестве источника тепла для плавления, спекания и сплавления металлических порошков. Некоторые из этих методов известны как стереолитография (Stereolithography, SLA) [26-28], лазерное напыление металлов (Laser Metal Deposition, LMD) [29-31], селективное лазерное спекание (Selective Laser Sintering, SLS) [32-35] и селективное лазерное плавление (Selective Laser Melting, SLM) [36-39]. В этих лазерных технологиях порошок материала, который используется в производстве, спекается лучами лазера на углекислом газе [40, 41] в определенном месте для каждого слоя, заданного конструкцией в камере, в которой изготавливается деталь. Внутри производственной камеры частицы порошка подводятся поршнем, который опускается на одинаковую толщину, каждый раз, когда слой готов.

Несмотря на очевидные преимущества аддитивных технологий перед традиционными методами изготовления твердых деталей, существует ряд проблем, препятствующих практическому применению таких технологий. Одной из наиболее серьезных проблем является накопление несовместных деформаций [42-44], возникающих в изготавливаемой детали из-за значительной разницы температур осаждаемых частиц и создаваемого тела. Несовместные деформации являются нежелательными факторами, так как вызывают искажение геометрической формы детали и появление в ней остаточных напряжений. В связи с этим математическое моделирование несовместных деформаций, возникающих в теле при его аддитивном изготовлении, является актуальной проблемой.

Остаточные напряжения

Остаточные напряжения могут быть определены как те самоуравновешенные напряжения, которые остаются в твердом теле при его изготовлении в отсутствие внешних сил или температурных градиентов [45-49]. Остаточные напряжения полностью отличаются от нормальных напряжений, возникающих от внешних механических сил или тепловых нагрузок, тем, что они проявляются при отсутствии внешних механических нагрузок [50-52], но они оказывают такое же влияние на материалы и их характеристики. Они могут привести к нежелательным последствиям, таким как искажение формы, локальные разрушения, потеря устойчивости.

В процессе аддитивного производства порошки материалов нагревают до температуры плавления для присоединения к сборке, а затем охлаждают, что вызывает искажение геометрической формы сборки и накопление в ней остаточных напряжений. Существует несколько способов эффективного снижения интенсивности остаточных напряжений [53-58], одним из которых является объемный нагрев камеры, в которой синтезируется деталь, до температуры несколько ниже температуры плавления и поддержание этой температуры в течение всего процесса синтеза. После окончания процесса синтезированную деталь медленно охлаждают.

В настоящей диссертации предлагаются альтернативные способы снижения остаточных напряжений и искажений, а именно:

• Управляемый дополнительный нагрев тонкого слоя металла в окрестности наплавляемой части границы. Предлагается осуществлять нагрев индукционным способом, а управление интенсивностью и глубиной слоя осуществлять за счет изменения амплитуды и частоты электромагнитного воздействия.

• Использование металлов и сплавов, обладающих более выраженными

вязкоупругими свойствами при температурах, близких к температуре плавления.

• Задание такого темпа наплавки, что характерное время технологического процесса (время присоединения элементарного слоя) имеет тот же порядок, что и характерное время термомеханического процесса (охлаждение присоединенного слоя в е раз).

Актуальность темы исследования

В современной механике сплошных сред существует ряд различных подходов к изучению феномена роста. К настоящему времени, опубликовано большое количество работ, посвященных механике растущего твердого тела [59]. Работы [42, 60] посвящены развитию геометрических методов, применяемых в механике несовместных деформаций, возникающих в результате процесса наращивания.

В работах [61-64] рост рассматривается как непрерывный процесс присоединения деформируемых материальных поверхностей на деформируемое трехмерное тело. При дополнительных предположениях о непрерывности функций, определяющих напряженно-деформированное состояние присоединяемых материальных поверхностей, непрерывный процесс роста можно рассматривать как предел последовательности дискретных процессов [65-67].

Вопросам моделирования остаточных напряжений в растущих телах посвящена обширная литература [45, 68-72]. В приближении малых деформаций, как правило, используется инкрементальный подход, который позволяет сформулировать задачу в терминах приращений полей напряжений и деформаций. При этом уравнения баланса и законы состояния оказываются подобными соответствующим уравнениям для совместных деформаций, что дает возможность применять хорошо разработанные методы решения краевых задач механики деформируемого твердого тела [73, 74]. Для конечных деформаций [62,

75, 76] этот подход не дает никакого выигрыша перед непосредственным описанием несовместных деформаций, и в этом случае используется геометрический формализм: обратная деформация, возвращающая напряженное тело в состояние, свободное от напряжений, определяется как вложение в пространство с более общей, неевклидовой геометрией [77- 80].

В настоящей работе рассматриваются малые термоупругие деформации, возникающие в процессе послойного наращивания. Для их описания достаточно сформулировать и решить последовательность связанных динамических задач термоупругости и термовязкоупругости [81-84] для каждого добавляемого слоя с учетом того, что исходные данные для каждого шага процесса (добавление слоя) определяются с конца временного интервала предыдущего шага.

Скажем несколько слов о возможном приложении результатов моделирования. На настоящий момент известны различные технические приемы снижения уровня остаточных напряжений в телах, изготавливаемых путем наплавки или спекания. К ним, в частности, относится прогрев всей детали в камере перед процессом наплавки до температуры, несколько меньшей температуры плавления. Этот прием, безусловно, снижает градиенты температуры и, как следствие, уровень несовместных деформаций и остаточных напряжений. Однако, прогрев всей детали может быть весьма дорогостоящим, и, кроме того, может критически изменить свойства материала. Более подходящий способ нагрева состоит в индукционном прогреве поверхности роста. При этом выбор оптимальных параметров индукционного воздействия основан на анализе математических моделей нестационарных полей температур и деформаций наращиваемого тела. Вопросам такого моделирования посвящена настоящая диссертация.

Основные цели работы

Целью работы является оценка эффективности индукционного нагрева и использования специальных сценариев технологического процесса наплавки в

снижении интенсивности остаточных напряжений и искажений финальной геометрической формы изготавливаемой детали. Для достижения поставленной цели решены следующие задачи.

1. Сформулирована начально-краевая задача, позволяющая дать математическое описание эволюции деформационных, силовых и температурных полей в термоупругом теле, материальный состав которого увеличивается за счет наплавляемых слоев, при действии дополнительного индукционного нагрева.

2. Построены аналитические решения поставленной таким образом задачи для модельного тела - наращиваемого по боковой поверхности цилиндра при различных видах термомеханической связанности.

3. Произведен вычислительный анализ эволюции температуры и напряженно-деформированного состояния в наращиваемом (за счет послойной наплавки) термоупругом теле при различных сценариях наращивания и индукционного нагрева. Осуществлен выбор оптимальных (в смысле минимизации интенсивности остаточных напряжений) сценариев. Дана оценка влияния вязкости наплавляемого материала на финальное распределение механических напряжений.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Развита новая математическая формулировка эволюционной задачи для дискретно наращиваемого термоупругого тела, которая сводится к рекуррентной последовательности начально-краевых задач для упорядоченной по вложению последовательности тел.

2. Построены аналитические осесимметричные решения для последовательности тел цилиндрической формы в квазистатической и

динамической (полностью связанной термоупругой) постановках. Для этого развита методика построения аналитических решений в форме разложений по биортогональной системе собственных функций пары взаимно сопряженных дифференциальных операторов.

3. На основе построенных решений показано, что дополнительный индукционный нагрев окрестности границы роста позволяет существенно снизить интенсивность остаточных напряжений и искажений в финальном теле после окончания процесса.

4. Произведен анализ влияния вязкостных свойств наплавляемого металла на распределение остаточных напряжений и искажений.

Теоретическая и практическая значимость работы

Развиты методы постановки эволюционных задач для наращиваемых термоупругих тел и построения аналитических решений для модельных постановок. На основе расчетов, выполненых для модельной задачи, указаны способы снижения интенсивности остаточных напряжений и искажений геометрической формы финального тела.

Методология и методы исследования

При работе над диссертацией использовались модели и методы механики растущих тел и методология построения аналитических решений начально-краевых задач в форме спектральных разложений по биортогональной системе собственных функций пары взаимно сопряженных дифференциальных операторов.

Положения, выносимые на защиту

• Постановка эволюционной задачи для наращиваемого по боковой поверхности термоупругого цилиндра, подверженного индукционному нагреву, в форме рекуррентной последовательности начально-краевых задач

для семейства термоупругих тел.

• Аналитическое представление решения эволюционной задачи для квазистатического процесса, моделируемого в рамках теории температурных напряжений (без учета инерционных членов и скорости дилатации в уравнении теплопроводности).

• Аналитическое представление решения эволюционной задачи для полностью динамического процесса в форме биортогональных разложений по собственным функциям несамосопряженных дифференциальных операторов, порождаемых связанными уравнениями термоупругости на каждом шаге эволюционного процесса.

• Результаты вычислительного анализа эволюции полей температуры, деформаций и напряжений для различных сценариев аддитивного процесса и дополнительного нагрева. Рекомендации по выбору оптимального сценария (в смысле минимизации интенсивности остаточных напряжений и искажений).

Степень достоверности полученных результатов

Достоверность результатов обеспечивается строгостью математической постановки краевых задач, методов построения решений и качественным согласованием результатов с характером термомеханических процессов. Результаты работы в достаточной мере апробированы на международных конференциях и публикациями в рецензируемых журналах, в том числе журналах первого квартиля.

Основные публикации по теме диссертации

По материалам диссертации опубликовано пять статей [85-89], из которых 4 индексируются базой данных Scopus и одна входит в список, рекомендованный Высшей Аттестационной Комиссией (ВАК), также 2 статьи уже приняты к публикации (индексируются в базе данных Scopus):

1. Лычев С.А., Фекри Монтасер. Остаточные напряжения в термоупругом цилиндре, возникающие в результате послойной наплавки // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Т. 26, № 3. С. 63-90. DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2020-26-3-63-90

2. Lychev Sergei A, Fekry Montaser. Reducing of Residual Stresses in Metal Parts Produced By SLM Additive Technology with Selective Induction Heating // International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" / Lecture Notes in Mechanical Engineering, Springer. 2022. С. 175-193. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-92144-6

3. Lychev Sergei A, Fekry Montaser. Evaluation of residual stresses in additively produced thermoelastic cylinder. Part I. Thermal fields // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2022. С. 1-16. DOI: https://doi.org/10.1080/15376494

4. Lychev Sergei A, Fekry Montaser. Evaluation of residual stresses in additively produced thermoelastic cylinder. Part II. Residual stresses // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2022. С. 1-10. DOI: https://doi.org/10.1080/15376494

5. Fekry Montaser. Reduction of the residual stresses during the additive manufacturing of a thermo-viscoelastic growing cylinder under non-uniform volumetric heating by electric induction // Structural Engineering and Mechanics. 2022. Т. 82, № 2. С. 259-270. DOI: https://doi.org/10.12989/sem

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электромагнитные эффекты в структурно-неоднородных упругих телах»

Апробация работы

Результаты работы докладывались на следующих международных конференциях и семинарах:

1. 62-я Всероссийская научная конференция МФТИ, Долгопрудный, 18-23 ноября 2019 г., г. Москва, Россия.

2. Международная научная конференция, "International Summer School Conference, Advanced Problems in Mechanics", 21-26 июня 2020 г., г. Санкт-Петербург, Россия.

3. Международная научная конференция, "International Summer School Conference, Advanced Problems in Mechanics", 21-25 июня 2021 г., г. Санкт-Петербург, Россия.

4. 64-я Всероссийская научная конференция МФТИ, Долгопрудный, 29 ноября - 3 декабря 2021 г., г. Москва, Россия.

Методика расчета результатов

Все результаты диссертации рассчитаны пакетом для символьных вычислений "Wolfram Mathematica". Версии "Mathematica" использовались легально в соответствии с лицензией: 4944-3239 от "Egyptian Knowledge Bank, Government of Egypt", программный пакет и ключи активации получаются в личном кабинете на Wolfram: "[e-mail]".

Некоторые из созданных алгоритмов расчета результатов (только в одномерном случае) записаны в Приложении Б.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, нескольких приложений и списка литературы, включающего 121 наименование. Диссертационная работа изложена на 141 странице машинописного текста, содержит 44 рисунка и 3 таблицы.

Глава 1. Постановка линейных краевых задач термоупругого

деформирования растущих тел

Модели и методы механики растущих тел относятся к новому разделу механики сплошных сред [61-64, 90, 91], поэтому здесь уместно дать некоторые основные определения. Под растущим телом будем понимать деформируемое твердое тело, к которому в процессе деформирования присоединяются материальные элементы, так, что после присоединения они деформируются в составе тела. Для того, чтобы сформулировать строгое математическое определение растущего тела, следует отделить аналитическое описание множества составляющих его материальных точек от множества занимаемых ими позиций в физическом пространстве. Это достигается за счет описания материальной структуры тела как материального многообразия и моделирования его изменения во времени [42]. Однако, при исследовании линейных задач роста, деформации в которых полагаются малыми, можно ограничиться описанием последовательности регионов физического пространства, занимаемых растущим телом в различные моменты времени, так как изменение этих регионов, вызванных собственно деформацией, полагается пренебрежимо малым. Поскольку в настоящей работе рассматриваются малые термоупругие деформации, то для моделирования роста достаточно описать последовательность таких регионов.

1.1 Математическое моделирование аддитивного процесса

Процесс аддитивного производства, будь то селективное лазерное плавление или спекание (SLM или SLS), рассматривается как возрастающая последовательность:

{{®1.Ч}. }.....К }.-}.

где на шаге к растущая сборка занимает регион В в момент времени тк в

результате присоединения новых слоев материала, таким образом, сценарий роста тела представлен двумя следующими последовательностями:

В0 ^ В1 ^ В2 ^ - ^ В ^ - , В = В-1 ^ £ (1.1)

Т0 < ^ < Т2 < ... < Тк < ^ = Тк - Тк-г (1.2)

Где В — начальное тело, £ — добавляемый тонкий слой и ^ — продолжительность выполнения к -го шага.

Математическое моделирование динамического дискретного процесса аккреции может быть выполнено путем решения краевой задачи для каждого шага отдельно, с учетом что начальные данные для решения на к -ом шаге определяются финальными значениями соответствующих полей на шаге к -1 и начальными (на момент присоединения) данными для присоединяемого слоя. Формально рекуррентную последовательность задач относительно последовательности полей в линейном приближении можно сформулировать следующим образом:

Предположим, что физические величины (поля перемещений, температурные поля и т. д.) во время процесса представлены в общем виде полями

1 Ь е ]0,Т1],

2 Ь е ]г1?г2],

к Ь е К-1,гк]'

где

Ух У2 + ' ■■■ ^

1

4=г

+ У»

а рекуррентная последовательность математических задач растущего тела может быть представлена в общем виде

здесь

и

\/х е £ ^ = ^

1'

ву

= 0, = 3{

о®, 14=0 1 1

4=0

Ух е СУ2=^2,

ву

азз„

У2. Л ? У,. Л

4 = 0

о

2 ' ^2

4=0

Ухе®, СУк = Гк,

ву

593,

= 0, Я

4=0

V0 V

4 = 0

У'

\

¿-1 4=т.

V к-\)

к к

£

¿-1 V

( \

3 {-1

V к-\)

-уО

у

х е В

г-1

к-V

х е В

ъ-1

У.

х е \

где С — дифференциальный оператор (изложен ниже), определяемый одной и той же дифференциальной операцией (уравнениями поля), но в разных областях, В — оператор граничных условий, 7- — внешние силовые и тепловые поля, х

— пространственная точка внутри растущего тела. Точка сверху обозначает производную по времени.

линия времени

Рис.1.1: Схема процесса роста термоупругого цилиндра.

Н

1 {

, Г J

толщина одного ело: -

гН

н а

начальное тело время присоединен одного слоя ия

1 /

( 1)

1 )

- {

Рис.1.2: Схема процесса термоупругого роста.

Последовательность тел и эволюция температурных полей в них схематично проиллюстрирована на Рис. 1.1. На этом рисунке показаны первые несколько шагов и последний шаг процесса. Для этой иллюстрации мы

использовали аналитическое решение, полученное в этой работе и подробно описанное в следующих главах. Принципиальная схема процесса представлена на Рис. 1.2.

1.2 Начально-краевая задача для одного шага процесса

Поскольку на различных шагах требуется решать задачу одного типа лишь для различных областей определения и начальных данных, рассмотрим подробно решение задачи на некотором шаге к, а затем покажем, как реализуется рекурсивное вычисление для всего процесса в целом.

Всюду далее будем полагать, что область, занимаемая телом, представляет собой круговой цилиндр [92]:

?8к = {(г, 0,2) : О ^ г < 2л-},

где — радиус, который зависит от номера шага к, а Ь — фиксированное

число, определяющее высоту цилиндров на всех шагах. Таким образом, последовательность тел (1.1) представляет собой систему вложенных коаксиальных цилиндров одинаковой высоты и монотонно возрастающего радиуса

Я < Я < ... < Я, < ... < Ям.

0 1 к N

В связи с этим для построения решений удобно использовать цилиндрические координаты (г, в, г), которые связаны с декартовыми координатами (х, у, г) следующим образом:

г = у] х2 + у2, в = агс1ап У, г = г.

х

При этом элементы локальных ортонормированных базисов (е^, е , е ) связаны с декартовым базисом (1, д, к) равенствами

е = созв 1 + Бтв 1, ел = - Бтв 1 + совв 1, е = к.

г в г

Для случая осевой симметрии: градиент, дивергенция и оператор Лапласа принимают вид

„ д д 1 д(г1) д^ V = — е +— е , V- f =--+ —,

дг г дг г г дг дг

V2f =

' О „ 02 , а а2

р +У2/-Р . V2 =-

г 2

V Г У

f

V2/1

¿г 9

е + V / е , V =-+--+

г ^ у у > 9 /~\

дг2 г дг дг2

где (е^, е , е ) — базис цилиндрических координат, f = ¡г е? + ^ е , — векторная

функция, а V2 и V2 — скалярный и векторный лапласианы.

1.2.1 Основные уравнения

Для анализа полей напряженного состояния (вызванного неравномерным нагревом и наращиванием) и температурных полей, рассмотрим задачу о

термовязкоупругом цилиндре Вк в предположении, что перемещения и

избыточные температуры, а также их градиенты малы. Тензор напряжений определяется вязкоупругим законом Дюамеля-Неймана, который может быть выражен через приращения перемещений и и температурные поля 0 следующим образом [81, 93]:

**(и,,0,) = (¿V-ик -Р0к)I + цСV ® и, + (■V ® и,)Т\ (1.3)

\ > \ у

где

и, = \ ег + тк ег, Р = (3 Л + 2 й)а.

Тепловой поток Ък и объемная плотность энтропии г] определяются формулами [82, 94]

р к

Т

0

к'

(1.4)

Здесь X и ¡л — упругие модули Ламе, а — коэффициент линейного теплового

расширения, I — единичная матрица, (..)т — операции транспонирования [95],

0 — изменение температуры выше однородной температуры на к -ом шаге, р

— плотность массы, к — теплоемкость на единицу массы при постоянной деформации, Л — коэффициент теплопроводности и ® — тензорное произведение [96].

В этом исследовании учитывается свойство вязкоупругого материала (£*), чтобы определить, насколько сильно его влияние на снижение остаточных напряжений, поэтому константы Ламе заменяются на [97, 98]

X = X

1+ Г

д_ д г

л = л

1

д_ д г

(1.5)

Уравнения баланса количества движения и энергии принимают вид

(1.6)

к к

(1.7)

где ш* — источник тепла на к -ом шаге.

Из уравнений (1.3) - (1.7), уравнения движения и теплопроводности принимают вид

1 г* д 1 + € — дг

л V ® и +(х + V-и

= Ри1

(1.8)

V

КУ2®к-рк®к-Т0/3

1 + Г

д_ дЬ

V й^ + шк = 0.

(1.9)

Здесь предполагается, что массовые силы отсутствуют. Условия на границе сборок д® = д® и д®, соответствующие физике процесса спекания, могут быть сформулированы следующим образом.

Часть границы д®, контактирующая с технологическими зажимами, считается теплоизолированной и стесненной по нормальным перемещениям, т.е.,

— в, | = 0, п ® п• и + п а (и,в,)•(I - п ® и) | = 0,

дп к дВ к к к к ^ ' дВ

ди к д

(1.10)

где и обозначает внешнюю единичную нормаль к границе цилиндра.

Остальная часть границы (д®) на которой собственно и происходит спекание, предполагается свободной от напряжений и подвергаемой облучению:

—в,

дп к

д®2

= (Т\ - (в+ Т ;)4) , п а (и , в)

~ \ йьтпЬ ^ к йьтПЬ ' ) ' кЛ к' к'

д®

2 = 0'

(1.11)

здесь д = 5.67x10 т 2К4 — постоянная Стефана-Больцмана, Т —

температура окружающей среды, £ — коэффициент излучения тела, который определяет, является ли оно абсолютно черным телом (£ = 1) или серым телом ( 0 < £ < 1).

Начальные условия распределения температуры и скорости перемещения могут быть заданы кусочно-непрерывной функцией, имеющей две непрерывные части. Значения на первой части равны соответствующим значениям температуры

и скорости в последний момент на предыдущем шаге (в |

Ъ-г0' ^ Ц-Л а

вторая часть определяется распределением температуры и скорости в

присоединяемом слое в момент присоединения (Тт, й^ I *), т.е.

и* и= й* и=

и

к-1 4=1

О < г ^ я

к-1

7г-1'

и

,н=Ч-гг=\-1

(1.12)

0 | =

к к=о

0

к-1 к=к

к-1

Т

0 < г < Я 1?

Я , < г < Я.

к-1 к

Для упрощения вычислений вводятся следующие безразмерные переменные

г =

г Л

г =

©, =

Г

Я,

0и

' к

К, =

Як

я,,

I =

л.

и,

и,

л.

т

г =

л г

К рЯ\

(1.13)

сг

л

где /?(1 — радиус начального цилиндра, к которому будут присоединяться слои, Т — температура плавления. В этих переменных (1.13) (после отбрасывания

символа □ ) основные уравнения и начальные и граничные условия принимают вид:

С л л V ^ дк у

V2u, V® V- и, - А V0,

= Ви

V

(1.14)

у2©^ -®к-£

1 + <?

д_ дг

= 0.

(1.15)

Тензор напряжений можно записать в безразмерном виде:

а

1 + £-

V "дЬ У

(V® и„ + (V® ц. )т ) + (хПк-л вк):

(1.16)

его компоненты могут быть выражены формулами:

а =

а =

а? =

а =

1 г д 1 + £— дЬ

1 + £

д_ дЬ

д 1 +

дЬ

1 + £

А

дЬ

X - 1)V • Пк + 2 ^-Л вк

дг

дw1

(Х- 1)V• Пк + 2 -Лвк

X-1^ Пк + 2 ^-Л вк

г

дик дтк

дг дг

(1.17)

Граничные и начальные условия в безразмерном виде могут быть записаны следующим образом:

т,

г=0,г=£

= 0, а" =0, аГ

г=0,г=£

= о, о-:

= о,

(1.18)

дв,

дг

дв, = 0, к

г=0.£

дг

д(1-(Т®к+1у)

г=П,

г—71,

(1.19)

ь=0

= 0, й,

4=0

и,

О ^ г € К,

и

к-1

к-1

К-V

'к- V

г=К

'к-1

К-1

(1.20)

в I. „=

в

к-1 4=1

О < Г < п,

к-1

к 4=0

к-1'

< ^ пк-

(1.21)

1

В приведенные выше уравнения вводятся следующие безразмерные константы

Яо < х + и р лГ ртт

= Ж =-, $ =-г^ А =-,

' ЛТт М КРК М

Л2 РТп едЯ Т\ _ т

I) с, ' О ^ О а тЬ ГТ1 •

в = —,-г;—, С =-—, Я =---> 1 =

к2 рЯ2и к рТ Т Т

' 0 ' ' т т атЬ

1.2.2 Индукционный нагрев

Как было отмечено во введении, дополнительный неоднородный объемный нагрев позволяет значительно снизить интенсивность остаточных напряжений внутри растущего твердого тела. Требуемый нагрев предлагается осуществлять с помощью высокочастотной электромагнитной индукции с перестраиваемой частотой. В связи с тем, что электрический ток является переменным, он распределяется внутри проводника так, что плотность тока вблизи поверхности значительно возрастает с увеличением частоты с: это явление известно как скин-эффект [99-101], который можно выразить через уравнения Максвелла:

У-Б = 0, V х Е = -В,

(1.22)

У В = 0, V х Н = Л + Б,

где

Б = ^(1 + %е) Е, В = Мо(1 + %т) Н, Л = а Е, (ОЗ)

здесь Б — электрическая индукция, Е — электрическое поле, В — магнитная индукция, Н — магнитное поле, Л — полная плотность электрического тока на

единицу площади, м0 — проницаемость вакуума, £ — диэлектрическая

проницаемость свободного пространства, % — диэлектрическая

восприимчивость среды, % — магнитная восприимчивость среды, а —

электропроводность.

Теоретический прогноз воздействия индукционного нагрева может быть получен из решения краевой задачи (1.9, 1.101, 1.111), с источником тепла ш, определяемым законом Джоуля-Ленца, согласно которому мощность нагрева, создаваемая электрическим проводником, пропорциональна квадрату величины тока Л [102]:

1

ш =

2 а

Л

2

(1.24)

Имея в виду, что период переменного тока Л намного больше, чем длительность между последовательными моментами аккреции, предположим, что Л можно точно описать как гармонический во времени г -направленный поток с частотой с в терминах комплекснозначного представления, т.е.

Л(х, т) = 3(г)вг ст ег, г = 7-1. (1.25)

Распределение плотности тока в цилиндрической сборке В может быть

получено с достаточной точностью из решения упрощенной электромагнитной задачи, в которой граничные условия на основаниях цилиндра задаются только в интегральной форме, и идеальная изоляция на боковой поверхности не учитываются:

V2 Л - V ® V• Л - Мад Л - Дё^ Л = 0, (1.26)

дЬ д Ь

Л • п | =0, |Г Л • ds = I, ds = г ¿г ¿в е .

дВ2 и г (1.27)

ДОН1

дВ

к

М = М0(1 + Х), 8 = 80(1 + ХтX

и I — полный ток, проходящий через всю сборку. В приведенных выше уравнениях (и некоторых последующих) индекс к в обозначениях для краткости опущен, имея в виду, что они справедливы для любой сборки.

Принимая во внимание выражение (1.25), уравнение (1.26) можно свести к следующему скалярному уравнению:

+ 521 = 0, 5 = ^сМ(а г + с£).

(1.28)

В случае со б ст соотношение для 8 принимает вид:

~ 1 + г ~ I 2

5 =-, 8 =

8

см а

Решение уравнения (1.28) с условиями (1.27) известно и имеет вид [99, 101]:

3 =

Б1 30 (5 г) 2 пЯЗ((5 Я)'

(1.29)

где 1 (..), Зх (..) — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков

[103], Я — радиус цилиндра (сборки), и 8 обозначает глубину скин-слоя, которая определяется как глубина под поверхностью проводника, на которой плотность тока упала до 1/ е (около 0,37) от полного тока [104].

Подстановка (1.29) в (1.25) дает размерное значение для источника тепла, зависящее от частоты с и полного тока I (| • | обозначает абсолютное значение комплексного числа):

ш(1 ,с) =

12

8 72 Я2 а

.^с м(а г + с £)

30 ^с м(а г + с £) г

31 м(а г + с £)Я

Для получения выражения, не привязанного к конкретным параметрам тела, введем следующие безразмерные переменные:

2

2 ~ 8

со = со ¡л а Р = —

/псу

г Я - I

г = —, / = —,

Е? к Е? Т

К0 К0 Ч

где I обозначает полный ток в начале аддитивного процесса, а Я0 обозначает

радиус начального цилиндра, к которому будут присоединяться слои. С этими переменными индуктивный источник тепла может быть выражен в зависимости от безразмерных переменных следующим образом (после отбрасывания безразмерного символа ):

Шк, (1к, ,Ск ) =

ЛI;

к

К

^со1:{г +со ¡5)

¡оф + со!:Р) Г 2

сок(1 + сокР)К^

А =

I:

8 7Г2 Я2 ст

(1.30)

в этой окончательной формуле мы снова используем индекс к.

Распределение безразмерной мощности источника тепла шк / А в

зависимости от безразмерной радиальной координаты г и безразмерной частоты со в логарифмическом масштабе показано на рис.1.4, а на рис.1.3 показана плотность переменного тока в медном цилиндре для трех разных частот. На этих графиках хорошо видно, что при высокочастотной индукции тепловой эффект возникает преимущественно в приграничной области.

Рис. 1.3: Плотность тока в цилиндре с разной частотой

Рис. 1.4: Безразмерная мощность распределения источника тепла для различных размерных частот. Распределения показаны относительно размерной радиальной координаты.

1.2.3 Излучение на границе

Здесь кратко обсуждаем закон Стефана-Больцмана для излучения [105, 106], который гласит, что полная объёмная плотность равновесного излучения и полная испускательная способность абсолютно чёрного тела пропорциональны четвёртой степени его температуры Т:

Е = д* ТТ + Т г)4-Т4

V птЬ' пт

где Т — температура окружающей среды вокруг тела и д* = 5,67032 х 10 8 Вт

м-2 К-4 — постоянная Стефана-Больцмана. Тело, которое не поглощает все падающее излучение, излучает меньше общей энергии, чем черное тело, и характеризуется коэффициентом излучения £:

Е = £ д* ТТ + Т г)4 -Т

\ пт.' п

' атЬ

0< £ <1.

Коэффициент излучения тела (£) определяет, является ли оно идеальным черным телом (£ = 1) или так называемым серым телом (0 < £ < 1).

1.3 Характерное время процесса роста

Математическая модель теплопроводности растущего цилиндра, решение для которой построено в следующих разделах, может быть охарактеризована двумя темпами: темп распределения тепла, привнесенного в систему очередным присоединенным слоем, и темп технологического процесса наращивания слоев.

Следует ожидать, что наиболее явно связанность процессов теплопроводности и роста будет проявляться в случае, когда оба темпа имеют один и тот же порядок. Количественно это означает близость их характерных времен.

Характерное время технологического процесса наращивания может быть определено как интервал между моментами присоединения смежных слоев. Характерное время процесса теплопроводности предлагается определить как время, за которое температура на границе роста системы цилиндр-слой уменьшится в е раз относительно температуры в момент присоединения слоя. Для определения этого времени достаточно воспользоваться построенным выше решением для случая N = 1 (т.е. системы "начальный цилиндр-слой"). Тогда

характерное время процесса теплопроводности £ будет определяться как

^ = £ * - ^

*

где £ - момент присоединения слоя, £ - наименьший корень уравнения

г0, £ *) = г0,е,

в котором г определяет некоторую фиксированную координату по г, задающую плоскость измерения. В расчетах принималось г = Ь /2.

Значение характерного времени процесса теплопроводности, помимо физико-механических свойств материала, зависит от соотношения толщины слоя и радиуса начального тела. В настоящей работе рассматриваются слои, толщина которых составляет 1% от радиуса начального цилиндра, который, в свою очередь, принимался равным 10 мм, 1 мм и 0.1 мм. В безразмерных переменных характерное время не зависит от свойств материала и размера тела, и определяется только отношением толщины слоя к радиусу цилиндра.

Используя характерное время процесса теплопроводности как главную характеристику темпа связанного процесса теплопроводности и роста, можно разделить технологические процессы на три класса:

• Быстрые (интервал между моментами присоединения существенно меньше характерного времени).

• Соразмерные (шаг процесса одного порядка с характерным временем).

• Медленные (интервал между моментами присоединения существенно больше характерного времени).

1.4 Формула интенсивности напряжений

Эффективное напряжение, которое часто используется в механике сплошной среды, может быть получено из соотношений [107]:

^ = Л3 Л

Л = 1 2 6

тт гг\2 . / гг вв\2 . / вв тт\

а -а ) + (а -а ) + (а -а )

гт\ 2

. гг . тв . вг

+т +т +т ,

где Л — вторые девиаторные инварианты напряжений. Учитывая, что

тгв = = о ив силу гик ик, можно предположить, что гпк — 0 и — 0,

ди

поэтому эффективное напряжение для к -го слоя в терминах перемещения может быть записано в виде

О" =

1

Г

ди,

V

—- - и,

дг к

+ г и,

ди, _к

дг

(1.31)

1.5 Вычислительный анализ

Расчетный анализ распределения температуры и остаточных напряжений проведен для титана и меди [108, 109]:

Титан Медь

Я, ГПа 113.8 89.47

/, ГПа 44 40.95

р, кг/м3 4510 8960

а, 1/К 8.6 х 10-6 16.4 х10-6

Л, Вт/(м-К) 17 385

к, Дж/(кг-К) 521 385

о, См/м 2.38 х 106 5.9 х 107

Т , К т 7 1940 1360

Результаты численного моделирования выполнены на основе рекурсивного решения, построенного ниже.

Безразмерный радиус Т1{] принимался равным 1, безразмерная высота Ь

равна 3, а толщины слоев - 0.01, т.е. 1% от начального радиуса. В расчетах учитывались 15 слоев, а интервалы времени между моментами присоединения соседних слоев выбирались так, чтобы аддитивный процесс соответствовал

одному из приведенных выше типов. В первой серии расчетов, которая соответствует "быстрому процессу" этот интервал принимался равным характерному времени, уменьшенному в 100 раз, т.е. £ / 100, во второй - равным характерному времени ("соразмерный процесс"), а в третьей - в 100 раз большим, т.е. 100£ ("медленный процесс"). Момент присоединения первого слоя полагался равным утроенному типовому шагу.

Глава 2. Квазистатическая задача о температурных напряжениях в

растущем термоупругом цилиндре

В этой главе обсуждается задача о температурных напряжениях в растущем упругом твердом теле в статическом состоянии. Система уравнений этой задачи получается подстановкой <д = О, С, = 0, й = 0 п и = 0 в основные уравнения

(1.14) и (1.15) и в граничные и начальные условия (1.18), (1.19), (1.20) и (1.21). В этом случае уравнение теплопроводности может быть решено отдельно, а затем может быть решено уравнение Навье.

2.1 Задача теплопроводности

Перейдем теперь к нахождению явных аналитических выражений для осесимметричного температурного поля в пределах одного шага аддитивного процесса. Безразмерное уравнение теплопроводности (1.15) с граничными условиями (1.19) и начальным условием (1.21) в осесимметричном случае сводится к следующей задаче Штурма-Лиувилля

' д2 1 5 д2 V 5

50,

д г

кдг2 г дг дг2у

л д0

= 0,

г=0.1

к \ =0

д г 0

0,--0, +щ = 0.

к дЬ к к

= д(1-(Т0к+1у)

г=П,

г=П,

0 < г < V к-1 -0 и ^ ' ^ '4-1'

(2.1)

2.1.1 Вспомогательная линейная задача

Краевая задача (КЗ) (2.1) является нелинейной из-за условий излучения на цилиндрической части границы. В связи с этим прямое построение спектрального разложения решения невозможно. Вместе с тем, решение может быть получено итерационно: на каждой итерации решается линейная задача с неоднородными граничными условиями, определяемыми из условий излучения с распределением температуры, найденным на предыдущей итерации. При этом на первой итерации условия излучения вообще не учитываются.

Для реализации этого алгоритма сначала рассмотрим более простую вспомогательную с однородным краевым условием:

' д2 1 5 д2 V 5

чд г2 г д г д г2

©, --©, +щ = 0,

к дг к к

д©,

д г

= 0,

д©,

г=0,г=1

д Г

= 0,

г=Я,

(2.2)

©

к \=0

© I 0 < г < V

/с-1 —0 и ^ ' ^ '4-1'

Решение начально-краевой задачи (2.2) будем искать в форме разложения [91]:

©к ^ г) = ХХ*кЛ,(Г, гМ,г,3 (г)

(2.3)

где | - система собственных функций дифференциального оператора

д2^ 1 д^ д2^

+

дг2 г дг дг

с областью определения

\ А®*) п С2{Ък) лпХ Ц= О л <Г |ц= О л ¿Г |г= = 0(1)

В этом соотношении ) обозначает гильбертово пространство [110] функций,

определенных в цилиндрической области В и интегрируемых с квадратом по

норме || • || , порождаемой скалярным произведением (•, •) :

£ Пк

£ \Ц : = Ок = \Wfdv = | | г йгй<р йг,

(2.4)

в,

0 0 0

С 2(Ък) — множество всех дважды непрерывно дифференцируемых функций в области В, ^(1) — порядковый символ Э. Ландау, означающий ограниченность функции на оси этой области.

Система собственных функций вк. (г. г) представляет собой

нетривиальные решения (ортонормированные собственные функции) двумерной задачи Штурма-Лиувилля:

д2 в

кА. 3

1 дв

кА, 3

д2 в

к А 3 , -,2

дг2 г дг

дв

к А. 3

д г

= 0.

д г2

дв

^к., 3 вк ,. 3 = 0.

к А 3

г=0.1

д г

(2.5)

= 0.

г=К,

Метод разделения переменных приводит к выражению функции вк. (г. г) через

произведение двух отдельных функций 3 (г) и в, .(г) следующим образом:

кк.3

3 (г) :

в, (г) :

д23 1 д3

+

дг2 г дг

д2 в

к. 3

, + Р' в = 0.

дг2 3 к,3

+ а: 3 = 0.

к ,г к а '

д

д3

к А

д г

г=К,

к .3

дг

=0

2 = 0 . Ь

где

3 = <(2-б)

являются собственными значениями задачи Штурма-Лиувилля (2.5).

Граничные условия при г = 0 и ^ = Ь определяют функции .(г)| следующим образом:

л/2-д..

(г) - ^ 3 С08(^з г), 3 = 0,1,2,3,...,

где

3 п

3 = Т, ^ =

1 3 = 0, 0 3 * 0,

а радиальные функции (г, ограниченные при г = 0, принимают вид

Зп(а. .г)

& =-^ к^-, 1 = 1,2,3,....

кл

К^Й ^К, Л )

где а — корни следующего трансцендентного уравнения, получающегося в результате применения условия на границе г = Лк:

= 0- (2.7)

Корни трансцендентного уравнения (2.7), образующие собственные значения (2.6) задачи Штурма Лиувилля (2.5) в области В , можно выразить с помощью следующего простого соотношения:

аи=^а о,'

'Н

где — эт0 К0рни трансцендентного уравнения (2.7) в области В0

(к = о, тг0 = 1):

-а . X (а .) = 0.

О,г IV О,г/

(2.8)

Здесь а . — нули функции Бесселя первого рода и первого порядка.

Эффективный способ вычисления достаточного количества этих корней осуществляется не напрямую, а с использованием асимптотических соотношений функции Бесселя, которые обсуждаются в Приложении А.1.

Двухиндексная нумерация собственных значений и собственных функций, возникшая в результате разделения переменных г иг, неудобна в дальнейших вычислениях, и её предлагается заменить нумерацией с одним индексом, посредством которой собственные функции и собственные значения оказываются линейно упорядоченными:

(г, з) ь-> п : г = г(п), з = з(п),

г(п) = п -1 - — У 7 2

3(п) = -п + — 2

4

8 п - 7 -1

2

Ф

п - 7 + 1

2

(2.9)

4

8 п - 7 + 1

2

п - 7 + 3

2

где Ь ] — Функция пола числа х, которая выводит наибольшее целое число, меньшее или равное числу х.

Отображение (2.9) определяет пары (г, 3) в порядке «диагонального заполнения». Его иллюстрирует следующая таблица, в ячейках которой указано значение п, а номера столбцов и строк соответствуют значениям (г, 3):

0

2

0

6

10

2

9

14

2

4

13

19

7

12

18

25

Пересчет индексов (г, 3) через общий индекс п позволяет представить последовательности собственных функций и собственных значений в виде линейно упорядоченных множеств Е , ^ , п = 1,2,3,...:

4,1 &к,0 вк,0

Ч ,2 &к,1 вк ,0

4,3 &к,0 вк,1

[ = & в

к ,19 к ,г(п) к, 3 (п)

Ук ,19 Ук ,2,3

= л/а2,1 л/а;.2 + Д2

Л = & в

к,п к ,г(п) к, 3 (п)

у = у

' к,п ' к,г(п),3(п)

^(п) +3

2

3(п) ■

Таким образом, общее решение начально-краевой задачи (2.2) может быть представлено одним индексным разложением

©к = X2к,п гКп (г) =

(2.10)

где

1

3

1

3

1

5

8

3

л/2 - 8п., , X (а, , г) соя (В., , г) I-

_ V_03(п) О У к,г(п) / Ур(п) / _ / 2 + п2

Ек,п 1яЬ 1 (^ л ' ^к,п к,г(п) В](п^

л/л"Х Л (а, ,7?.,)

V (Л £.г(га) к'

(2.11)

представляют собой систему ортонормированных собственных функций:

2 ;т Г Г Е, Е, г ¿г ¿г

J J к ,п к ,т

О О

1 п = т,

О п Ф т,

Система ортогональных собственных функций Е проверяется на их эффективность выполнение граничных условий в Приложении А.2.

Поскольку операторы Ь являются самосопряженными относительно

метрики (2.4), то совокупность их собственных функций ортогональна и вместе образует полную систему. Легко проверить, что нормы всех элементов системы (2.11) равны единице. Таким образом, система функций (2.11) образует

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мохамед Монтасер Фекри Абдельзахер, 2022 год

К - —

0.г. з 4

V ^ У

= 0, либо соб

г \

п

а....--

0.г. з 4 V У

= 0, что

влечет

а(0). = п 0,г, з

1Л

г--

V 4 У

или Ь(0). = п 0.г. з

1

г + -

V 4 У

(3.25)

Эти приближения соответствуют выражениям для собственных значений (3.9):

п(0) = /о,г, з

V

(х + 1)п2

О2

г--

4 У

+ з или =

0.г. з

\

п

г + -4У

+ 0

Более точные приближения могут быть получены следующим образом. Полагая а0 . Ь большими величинами, представляя левую часть уравнения (3.23) в

форме разложения по их степеням и удерживая четвертую и третью степени, приходим к уравнению

3 (Ьп. ) Ь4. 3 (а. . ) - 2 ап. Ь2. 3 (а. . )

= 0.

(3.26)

Это уравнение может иметь два решения: либо

Л(Ьи,) =0-

и это уравнение может быть переписано с использованием соотношения (3.17)

=0,

Б1П

Г \

п

Кз з- 4

V 41У

Ъо,г,зJ0(а0,г,з) - 2 ^1 (%,з) = 0. (3.27)

и это уравнение может быть выражено только через а с помощью соотношений (3.9):

&з = 12« - р,2 = (х + ч«,, + Р2) - р - (ж +1) <„,.

Таким образом, уравнение (3.27) принимает вид

(г + 1) ап. Зп (ап. ) - 2 Зл (п. ) = 0.

4 у 0,г, 3 0Ч 0,г, у 1Ч 0,г, з'

это то же трансцендентное уравнение (3.16), но в терминах а0. . Соответственно, аппроксимации собственных значений могут быть вычислены по формулам (3.9)

Сз = ^ + 1)(а0:).0)2 + Р2.

Более точные значения корней уравнения (3.14) могут быть определены численно с использованием в качестве нулевого приближения.

После того, как удалось вычислить собственные значения, собственные функции И . могут быть выражены через эти значения, но одним индексом т вместо (г, 3) согласно соотношениям (2.9) т.е. г = г(т), 3 = 3(т):

» и, . е + Щ . е

«* = = ' '. (3.28)

т~ 1 к. 1.3

Система ортогональных собственных функций и к т проверяется на их

эффективность при представлении решений и выполняются ли граничные условия в Приложении А.4.

3 = 0 Ъ .1 Ъ .3 Ък.6 Ъ .10

Ък .1.0 Ък .2.0 Ък.3.0 Ък .4.0

3 = 1 Ъ .2 Ъ .5 Ък.9 Ъ .14

Ъ .1.1 Ък.2.1 Ъ .3.1 Ъ .4.1

3 = 2 Ък.4 Ъ .8 Ъ .13 Ъ .19

Ъ .1.2 Ъ .2.2 Ък .3.2 Ъ .4.2

3 = 3 Ък.7 Ъ .12 Ъ .18 Ъ .25

1.3 Ък .2.3 Ък .3.3 Ък .4.3

3.2 Координатные функции

Завершение решения (3.28) требует определения координатных функций фкт(к), что может быть достигнуто путем подстановки уравнений (3.1) и (3.3) в уравнение (1.14):

СО

У -77? II <р. -ГГ ф. -В II ф1 =Хг

¿ш^ у ' к,т к,т. ' к,т 'к,т.-> к,тТ к,тп к,тпт к,тп I к

тп=1

(3.29)

^^^к.т Фк.г.

т=1

^^^к.т Фк.г,

г=0

т=1

= V

к

г=0

(3.30)

где

X

С я Л

1 е д

дг

А V©,

2ж\\ И • И г ¿г ¿г

J J к ,п к ,т

0 0

1 п = т, 0 п Ф т,

применение этого скалярного произведения к уравнениям (3.29) и (3.30) приводит к несвязанной последовательности задач Коши:

77.2 аг + л1 Е ф + В ф = -Т. (£).

'к.т, 'к.т, 'к.т, ^ ' к.т, 'к.т, к.тЛ

(3.31)

к.т, 1=0 ^' Фк.т 1=0 ^к.т'

(3.32)

где

ЬПк

ЬПк

X т = 2л-[[и, (г)-ХАгА)г(1г(1г, V, =2 л-[[и, -V \ г Лг Лх.

к.ту / J J к.т ^ 7 кЛ 7 / 7 к.тп J J к.т к

0 0

0 0

Фундаментальные решения однородного варианта уравнения (3.31) могут быть найдены следующим образом:

/Ст(0 = е«^4), :(0 = е«¡"(«к^тО,

где

"1 =

к ,т

2

к ,т

2 Б

^ = * к .т

Л Б 1 1

Д/ 'к. т ~ 'к,)

2Б

поэтому однородное решение, удовлетворяющее начальным условиям (3.32), имеет вид

к,т е к,т ят^).

Я

к

Частное решение может быть определено с помощью метода Лагранжа:

/. (г)

г// ООТ 00

г ■'к.т4 ' к.тЛ '

■I В Щъ)

-fL.it)

\,=г

г/гс оо

г ■'к.т4 ' к.тЛ '

1=г

где

w(t) = /

д/; д/;

■'к.т ля ■'к.т

к.т "дГ " кт

Окончательное решение задачи (3.31) и (3.32) может быть представлено в виде

^ -р, г

к.т ' к.т, • / _/Л

р =—— е -т 81п(д, г) -

.т .т

ч.

к. т

Вч,

к.т 0

- 1) )(Й.

Если пренебречь вязкими свойствами материала, т.е. ^ = 0, то

Ъ

_ 0 _ 'к.т

Рк.т . Чк.т .

и тогда

Р =

Г к.т

к.т

■в1П

^ Л

п,т г

Ъ

к.т

К4В ) 4Въ

Ъ.т 0

I

Ъ (г -1)

а.

Рис. 3.4 содержит графики р для разных степеней свойства вязкоупругости.

Иллюстрируется, что степень вязкости эффективно влияет на снижение частоты колебаний остаточных напряжений.

Я>2,3

0.004 0.003 0.002 0.001

<¡¡>3,5

<Р5,7

0.0004 0.0003 0.0002 0.0001

-0.0001

<¡"2,3 0.0025

<Р3,5 0.0008

Ф5,7 0.00020 0.00018 0.00016 0.00014 0.00012

4 =0 0 Рис. 3.4: Некоторые графики рк п для разных степеней вязкости

Безразмерные распределения интенсивности напряжений на растущей границе сборки по безразмерному времени графически представлены на рисунках 3.5 и 3.6 для титана и на рисунках 3.7 и 3.8 для меди в обоих случаях "без нагрева" и "с дополнительным объемным неравномерным нагревом".

Видно, что дополнительный объемный неравномерный нагрев и вязко-упругое свойство материала 4 (кривые зеленого цвета для 4 = 0 и кривые синего цвета для 4 Ф 0) играют существенную роль в снижении остаточных напряжений.

1

1

1

1

1

1

лг

0.008 0.006 0.004 0.002

0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030

4 = 0 4 Ф 0

Рис.3.5: Интенсивность напряжений на растущей границе сборки без дополнительного нагрева для титана.

fi.ii

сг

0.00020

0.00015

0.00010

0.00005

0.00020

0.00015 0.00010 0.00005

0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030

0.00014 0.00012 0.00010 0.00008 0.00006 0.00004 0.00002 ^

0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 " 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030

4 = 0 4 Ф 0

1

1

(Г 0.008

0.006

0.004

0.002

eff

0.0005

0.0030

0.0010 0.0015 0.0020 0.0025

0.005 0.004 0.003 0.002 0.001

0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 1 ' 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030

£ = 0 ^ 0 Рис.3.7: Интенсивность напряжений на растущей границе сборки без допол-

нительного нагрева для меди.

г eff

0.0003

0.0002

0.0001

0.0003 0.0002 0.0001

0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030

0.00025 0.00020 0.00015 0.00010 0.00005

т.

dl

и

к

0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030

4 =0 0

t

На рисунках 3.9 и 3.10 показано, насколько сильно влияние дополнительного объемного неоднородного нагрева на снижение остаточных напряжений, где верхние кривые — для случая "без дополнительного нагрева", а нижние кривые — для случая "с дополнительным подогревом".

0.008 0.006

4 = 0 0.004 0.002 0.000

сг

0.006 0.005 0.004

4 Ф 0 0.003 0.002 0.001 0.000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

НО

Лч

к]

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0030

Рис.3.9: Интенсивность напряжений на растущей границе сборки для титана.

0.008 0.006

4 = 0 0.004 0.002 0.000

о~ 0.006

0.005

0.004

0.003

0.002

0.001

0.000

4Ф0

0.0005

к|

14 - Л- А -

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

-Л"-л-

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

Глава 4. Полностью связанная динамическая задача термовязкоупругости для растущего тела

Система уравнений (1.14) и (1.15) может быть записана в матричной форме и рассматриваться как задача Коши следующим образом:

(4.1)

и I = и0 и I = и0

^к 1*=0 к' к 1*=о к'

(4.2)

где

V =

' о

о

V. - 1

V =

' ' 1

V =

2

-В о

£ V • о

(4.3)

и,

г \ и к

Г г, \

и

V к у

0

© I

V© к 1г=0.

г. и

Л

к к=о

о

V У

Ц

0

V к У

(4.4)

4.1 Обобщенная задача Штурма-Лиувилля

Решение начально-краевой задачи (1.14), (1.15), (1.18), (1.19), (1.20) и (1.21) может быть представлено в виде спектрального разложения согласно [116, 117]:

и,

с \ ик

I©*,

V к У

X Хк.т (Г. *) Ф,т (г).

(4.5)

где Фкт — скалярные координатные функции времени (они будут определены позже), а X, = (х, 3 )т — комплекснозначные четырехкомпонентные

к ,т \ к,т к ,т' А

вектор-функции в гильбертовом пространстве ТС: они определены и интегрируемы с квадратом в области №к и удовлетворяют условию, что

билинейная форма, определяющая скалярное произведение (.,.) в ТС имеет вид

V Х,У е ТС : (Х,У) =

Г \ у л

х У

3 в

V У V у

ь п

2 л"| |(х-у + 3 в) г ёг ёг,

0 0

(4.6)

где черточка обозначает комплексное сопряжение.

Функции Хкт являются нетривиальными решениями следующей задачи Штурма-Лиувилля:

С X, =0, Ц X, = 0, Д X, = 0,

V к.т ' I к.т ' I к.т '

(4.7)

где

С=Г0 + уГ1+У2Ц

'(1 + 4v)(V2 + xV®V• ) -V2 Б - А (1 + 4г)УЛ

(1 + 4v)V

(4.8)

представляет собой пучок дифференциальных операторов в гильбертовом пространстве ТС, и

3 =

- I (1 + 4 V)А V

(4.9)

г=П,

В2 =

[V + (V )т] о' О V

(4.10)

z=0 ,L

являются операторами граничных условий.

Область определения оператора С обозначается символом V и определяется как подмножество ТС:

V = {х I В1 X = 0 Л в2 X = о} с= ТС.

(4.11)

Пучок операторов £ связан с присоединенным пучком Су, определенным в области Т>* а ТС и порождает следующую задачу Штурма-Лиувилля [116, 118]:

/Гх; =о, в*х* =0, в:х =о,

v к.т, ' 1 к.т, ' 2 к.т, '

(4.12)

где

С =

(1 + £ v)(V2 + х V ® v • ) - v2B А (1 + £ v )V •

v £ (1 + £v)V

V — v

V* = {х* | В* X* = 0 л в*2 X = о} с ТС.

(4.13)

(4.14)

Щ =

(1 + £v)[(V + (V )T) + I(x - 1)V

о

в = в

2 2

Iv£ (1 + £v) V

г=П,

(4.15)

v

УХеД УУеР*, (С X, У) = (Х,< У).

Пара краевых задач (4.7) и (4.12) порождает взаимно сопряженные задачи на собственные значения (обобщенные задачи Штурма-Лиувилля).

( ^ 00 ( * ^ 00 Множества собственных функций |Х, / М, \ и X, / М, ,

(, к.т ' к,т,)т=1 ( к.т ' _) т=1 7

которые соответствуют наборам собственных значений |^т} и |^т} ,