Электродинамика сетчатых структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, доктор физико-математических наук Акимов, Валерий Петрович

• Акимов, Валерий Петрович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Акимов, Валерий Петрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ

1. УСРЕДНЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЙ ДЛЯ СЕТОК ИЗ НЕОРТОГОНАЛЬНО ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ПРОВОДНИКОВ, РАСПОЛОЖЕННЫХ В ОДНОРОДНЫХ СРВДХ

1.1. Постановка задачи и общие соотношения

1.2. Векторный потенциал усредненных токов

1.3. Определение квазистатической составляющей поля

1.4. Усредненные граничные условия (УГРУ)

1.5. Обобщение метода на более редкие сетки

1.6. Анализ УГРУ для некоторых частных случаев

2. ДИФРАКЦИЯ ШЮСКИХ ВОЛН НА ПРОВОЛОЧНЫХ СЕТКАХ

2.1. Постановка задачи и основные соотношения

2.2. Коэффициенты отражения и прохождения

2.3. Отражательные свойства сеток с неортогональном формой ячеек

2.3.1. Сетки с малым периодом ( Ь« «А )

2.3.2. Сетки, период которых сравним с длиной волны

( Ь0< А )

2.4. Рассеяние волн "редкими" сетками ( Ь„ >А )

2.4.1. Определение токов в проводниках

2.4.2. Поле, рассеянное сеткой

2.4.3. Коэффициенты отражения. Экспериментальная проверка результатов

3. ДИФРАКЦИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ВОЛН НА СЕТЧАТЫХ СТРУКТУРАХ

3.1. Горизонтальный диполь над сеткой из параллельных

проводников

3.1.1. Мнимое изображение диполя

3.1.2. Поле и входное сопротивление диполя

3.1.3. Входное сопротивление горизонтального электрического вибратора

3.2. Вертикальный электрический диполь над плоской сеткой с квадратными ячейками

3.2.1. Мнимое изображение диполя

3.2.2. Поле вблизи поверхности сетки и входное сопротивление диполя

3.3. Вертикальный электрический диполь над сеткой из радиальных проводников

3.3.1. Постановка задачи и общие соотношения

3.3.2. Поле, создаваемое системой диполь-сетка

3.3.3. Входное сопротивление диполя

3.4. Электрический диполь в центре сферического сетчатого экрана

3.4.1. Постановка задачи и основные соотношения

3.4.2. Определение коэффициента проницаемости сетчатого экрана в "нерезонансном" случае

3.4.3. Определение коэффициента проницаемости сетчатого экрана в "резонансных" случаях

3.4.4. Резонансы более высоких порядков

3.4.5. Расчеты и анализ результатов

3.4.6. Экспериментальная проверка результатов

4. УСРЕДНЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДОЯ СЕТОК ВБЛИЗИ ГРАНИЦ

РАЗДЕЛА СЛОИСТЫХ СРЕД

4.1. Сетка вблизи границы раздела двух сред

4.1.1. Мнимые изображения линейного тока и заряда, расположенных вблизи границы раздела

4.1.2. Усредненные граничные условия с учетом влияния границы раздела

4.2. Сетка вблизи тонкой диэлектрической пластины

4.2.1. Мнимое изображение линейного тока и заряда, расположенных вблизи тонкой диэлектрической пластины

4.2.2. Усредненные граничные условия для сетки с учетом влияния диэлектрической пластины

5. ЭКРАНИРУЮЩИЕ СВОЙСТВА СЕТОК, РАСПОЛОЖЕННЫХ В СЛОИСТЫХ

СРЕДАХ

5.1. Сетка с ячейками неортогональной формы вблизи границы раздела двух сред

5.2. Сетка вблизи тонкого диэлектрического слоя

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электродинамика сетчатых структур»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы

Диссертационная работа посвящена развитию и дальнейшему обобщению метода усреднения полей применительно к задачам дифракции электромагнитных волн на сетчатых структурах сложной конфигурации. На основе метода усредненных граничных условий и метода мнимых изображений исследуются свойства проволочных сеток, расположенных в однородных средах и вблизи границ раздела слоистых сред. Рассматриваются случаи возбуждения сеток плоскими.волнами и источниками сферических волн.

Во многих устройствах антенной техники, электроники СВЧ, электромагнитной совместимости, спутниковой связи и других областях техники в настоящее время широко применяются разнообразные сетчатые структуры с различной формой ячеек и разной конструкции. Например, рефлекторы зеркальных антенн часто изготавливаются из проволочных сеток с целью уменьшения веса конструкции и ветровых нагрузок на приводные механизмы антенны. Проволочные сетки используются при изготовлении экранов для защиты от воздействия внешних электромагнитных полей, поляризационных фильтров, частотно-селективных поверхностей, заземлений или противовесов антенных устройств длинноволновых радиостанций [I]. Известно применение металлических сеток и в качестве искусственного диэлектрика; б работе [2] сообщается о создании линзы Люнеберга на основе проволочных сеток. Для защиты антенных устройств радиолокационных станций от воздействия окружающей среды широко используются радиопрозрачные укрытия, которые применительно к летающим объектам называются

обтекателями. При разработке современных обтекателей в качестве конструкционного материала часто применяются диэлектриче-

ляют собою системы тонких параллельных (или пересекающихся) проводников с постоянным шагом, расположенных в слое диэлектрика. Реактивные решетки позволяют производить согласование произвольных по толщине диэлектрических слоев с окружающим пространством.

Приведенные примеры использования металлических сеток, которыми, по-видимому, не исчерпываются все возможные применения последних, определяют широкий интерес к теоретическому исследованию их электродинамических свойств. Рассмотрению вопросов, связанных с дифракцией электромагнитных волн на металлических сетках (решетках), посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных авторов; поэтому мы укажем здесь только на некоторые из них.

Большая часть исследований относится к решеткам в виде системы параллельных проводников, расположенных в одной плоскости. В работе [4] приведен прекрасный обзор большинства из этих работ, опубликованных до 1978 года. Падение плоской волны на бесконечную решетку, образованную системой параллельных проводников, расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга, рассмотрено в работах [б] - [9]. В работах [ю] — - [12] приводится решение задач дифракции плоских волн на решетках, состоящих из параллельных металлических полос, при произвольных соотношениях между шириной полос и периодом решетки. Дифракция плоской волны на сетках, образованных системами ортогонально перекрещивающихся проводников, исследована в работах [13], [15], получены соотношения, позволяющие оп-

ские стенки с реактивными решетками

последние представ-

ределить коэффициенты отражения и прохождения.

В упомянутых работах применяются различные методы решения задачи, однако, их объединяет одинаковая схема решения: используя граничные условия на поверхности проводников и уравнения электродинамики, находят поля во всем пространстве, в том числе и на поверхности решетки. Сложность решения в этом случае определяется сложной структурой электромагнитного поля, создаваемого текущими по проводникам решетки токами.

Как известно, на практике часто используются решетки сложной конфигурации, например, решетки из неортогонально перекрещивающихся проводников с произвольными контактами в узлах, решетки из радиально расходящихся проводников и вообще структуры, образованные системами криволинейных проводников, расположенных на неплоской поверхности (например, сферические сетчатые экраны); и, наконец, падающую на решетку волну не всегда можно считать плоской. Кроме того, часто сетки располагаются вблизи границ раздела слоистых сред. В этих случаях решение дифракционной задачи обычными методами оказывается весьма затруднительным, так как структура электромагнитного поля вблизи поверхности сетки довольно сложвд.

Однако, следует отметить, что в большинстве практически важных случаев нет необходимости определять электромагнитное поле в непосредственной близости от поверхности сетки, а как известно, электромагнитное поле имеет сложную структуру только вблизи от проводников; по мере удаления от сетки оно становится все более плавной функцией координат (например, электростатическое поле плоской решетки отличается только на 0,Ь% от однородного поля на расстоянии, равном периоду решетки).

Таким образом, для решения подобного рода задач целесо-

образно применять такой метод, который позволял бы непосредственно вычислять необходимые величины с нужной степенью точности, а не искать, как это обычно делается, решения, пригодные вблизи от проводников сетки, а затем уже переходить к приближенным соотношениям, которые и являются конечной целью расчета.

В работе [14] для анализа электродинамических свойств периодических структур, образованных параллельными проводниками, авторами использованы эквивалентные граничные условия, ко-товые известны как условия Вайнштейна-Сивова.

В 193 У г. М.И.Конторовичем был предложен так называемый метод усредненных граничных условий, сущность которого заключается в следующем. Если рассматриваемая сетка достаточно "густая", а внешнее поле таково, что от звена к звену сетки электрическое состояние меняется мало, то для вычисления поля в точках, не слишком близких к решетке, составляются уравнения и граничные условия не для искомого поля непосредственно, а для его усредненной величины.

Метод усредненных граничных условий не только упрощает решение дифракционных задач, но и в ряде случаев их постановку (математическую формулировку). Однако, применение этого метода требует в каждом конкретном случае знания выражений для усредненных граничных условий на поверхности рассматриваемой сетки; если таковые известны, то усредненные поля определяются из решения соответствующей краевой задачи. Поэтому очевидно, что практическая ценность метода усредненных граничных условий растет с увеличением числа различных видов сеток, для которых найдены усредненные граничные условия, и с усложнением их конфигурации .

Несмотря на большое число работ, посвященных использованию метода усредненных граничных условий в электродинамике сетчатых структур, до настоящего времени не были получены усредненные граничные условия для сеток с неортогональной формой ячеек, сеток, расположенных в непосредственной близости от границ раздела слоистых сред. Недостаточно изучены вопросы дифракции сферических волн на сетчатых структурах. Часто на практике используются не очень "густые" сетки, но их период меньше длины волны. В этом случае также может быть применен метод усредненных граничных условий, если внешнее поле мало меняется в пределах ячейки сетки.

Целью диссертационной работы является разработка методов расчета устройств на основе сложных сетчатых структур, расположенных вблизи источников и границ раздела слоистых сред, и исследование электродинамических свойств таких структур.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Получены усредненные граничные условия на поверхности сеток, образованных двумя системами неортогонально пересекающихся проводников; ячейки сеток имеют форму параллелограмма, контакт в узлах решетки предполагается произвольным.

2. Метод усредненных граничных условий распространен на проволочные сетки, периоды которых сравнимы с длиной волны, при условии, что внешнее (стороннее) поле мало меняется от ячейки к ячейке.

3. Проведено исследование экранирующих и отражательных свойств сеток с ячейками неортогональной формы. Получены формулы для расчета коэффициентов отражения плоской волны произ-

вольной поляризации при произвольных углах падения на сетку. Показано, что угол между пересекающимися проводниками является дополнительной степенью свободы, позволяющей оптимальным образом конструировать электромагнитные экраны различного назначения и поляризационные фильтры.

4. Разработана теория мнимых изображений применительно к источникам, расположенным над сетчатыми экранами. Показано, что влияние сетчатого экрана на поле излучателя может бьтть учтено введением мнимого источника-изображения, расположенного в комплексном пространстве.

5. Методом усредненных граничных условий решена задача о поле и входном сопротивлении вертикального электрического диполя, находящегося над сеткой из радиально расходящихся проводников. Полученные результаты позволяют определить потери энергии, связанные с проникновением электромагнитного поля через противовесы антенных устройств.

6. Исследованы экранирующие свойства замкнутой сферической сетки, проводники которой образуют систему эквидистантных меридианов, для поля электрического диполя. Получены выражения для коэффициента проницаемости как в нерезонансном случае, так и в случаях, когда радиус экрана является "резонансным" для какой-либо сферической гармоники.

7. Определены параметры мнимого изображения линейного синфазного тока, параллельного границе раздела двух немагнитных сред с произвольными диэлектрическими проницаемостями. Полученный результат позволяет определить ноле излучения системы бесконечных синфазных проводников, параллельных границе раздела сред.

8. Построены мнимые изображения линейного синфазного тока и заряда, расположенных вблизи тонкого полупроводящего слоя. Учет влияния границ раздела на поле синфазного проводника введением мнимого изображения позволил получить усредненные граничные условия для сетки, параллельной слою.

9. Получены усредненные граничные условия для сетки с неортогональной формой ячеек, расположенной вблизи границы раздела сред и тонкой диэлектрической пластины. Эти условия пригодны при любом расстоянии между сеткой и границей раздела сред или поверхностью пластины.

10. Проведено исследование отражательных свойств сеток, расположенных вблизи границ раздела слоистых сред.

Научная и практическая ценность. Научная ценность работы определяется тем, что полученные в ней результаты расширяют возможности применения метода усреднения полей как для расчета устройств, в состав которых входят сложные сетчатые структуры, так и для исследования их электродинамических свойств.

Практическая ценность работы состоит в том, что ее результаты могут быть непосредственно использованы при разработке электромагнитных сетчатых экранов различного назначения, поляризационных фильтров, заземлений и противовесов антенных устройств, сетчатых рефлекторов антенн и многих других устройств, включающих металлические сетки.

Результаты работы используются автором при проведении семинара по дифракции электромагнитных волн для студентов старших курсов радиофизического факультета СПбГТУ.

Внедрение результатов работы. Большая часть результатов, полученных в диссертации, непосредственно использована при вы-

полнении научно-исследовательских работ, проводимых на кафедре радиофизики совместно с предприятиями НИИ Дальней радиосвязи (г.Москва) и ЦНИИ им.А.Н.Крылова (г.С.-Петербург). Автор является научным руководителем или ответственным исполнителем этих работ.

Апробация работы. Но материалам диссертации опубликована 2В. работы: [16] -[21] , [24] , [39] , [411 , [53] , [5б] , [58] , [63] , [64] , [76] , [77] , [ВО] , [вь] , [8В] - [90] , включая монографию [16]. Основные результаты работы докладывались на следующих симпозиумах, конференциях и семинарах:

- У1 Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению радиоволн (Ереван, 1973).

- Научно-технический семинар Радиолаборатории Хельсинкского технического университета (Хельсинки, 1978, 1983).

- Научно-технический семинар лаборатории электромагнетизма Хельсинкского технического университета (Хельсинки, 1989, 1993).

- Международный симпозиум по электромагнитной теории (Стокгольм, Швеция, 1989).

- Международный симпозиум по теории антенн и распространению радиоволн (Бостон, Массачусетс, США, 1984).

- Семинар института техники связи и распространения волн Технического университета г.Грац (Грац, Австрия, 1985).

- Международный симпозиум по электромагнитной совместимости (Вроцлав, Польша, 1990).

- Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн СДВ-10 (Винница, 1990).

- ХХШ Генеральная Ассамблея УРСИ (Международного радиосоюза), Прага, Чехословакия, 1990.

- Всесоюзное совещание по приземному распространению радиоволн и электромагнитной совместимости (Улан-Удэ, 1990).

- 48-я Научно-техническая конференция, посвященная Дню радио (С.-Петербург, 1993).

- Конференция Азиатско-Тихоокеанского региона по микроволновой теории и технике (Тэджон, Корея, 1995).

- Международный семинар по мобильной связи (Кенгджу, Корея, 1995).

- Научно-технический семинар Военной академии связи (С.Петербург, 1992, 1993).

- Научно-технический семинар Национального технического университета г.Куми (Куш, Корея, 1995).

- Научно-технический семинар электротехнического факультета Университета провинции Кунбук (Тэгу, Корея, 1996).

Основные положения, выносимые на защиту :

I. Усредненные граничные условия для сеток с неортогональной формой ячеек и произвольными контактами между проводниками расширяют границы применения метода усреднения полей для расчета устройств, в состав которых входят металлические сетки. В случае, когда проводники сетки пересекаются под произвольным углом, усредненные граничные условия могут быть записаны в той же форме, что и для сетки с ячейками ортогональной формы, если вместо ковариантных (прямоугольных) компонент распределенной плотности тока ввести контравариантные (косоугольные) составляющие.

2. Исследование экранирующих и отражательных свойств сеток с косоугольными ячейками при произвольной поляризации падающей волны показало, что угол между пересекающимися проводниками является дополнительной степенью свободы, которая позволяет оптимизировать конструкции электромагнитных экранов различного назначения и поляризационных фильтров.

3. Метод усредненных граничных условий может быть распространен на сетки, период которых сравним с длиной волны (но меньше последней), при условии, что внешнее поле мало меняется от ячейки к ячейке. В этом случае для вывода усредненных граничных условий может быть использовано полученное автором соотношение, позволяющее заменить сумму, содержащую осциллирующие слагаемые, интегралом. В отличие от используемых обычно квазистатических усредненных граничных условий упомянутые граничные условия получены с учетом запаздывания.

4. Разработанная теория мнимых изображений для определения полей источников, расположенных над сетчатыми экранами, позволяет учесть влияние сетчатой поверхности, что дает ряд преимуществ перед другими известными методами, поскольку упрощает постановку задачи (математическую формулировку), сокращает время проведения численных расчетов при высокой точности и надежности результата.

5. Введенные мнимые изображения линейного тока и заряда, расположенных вблизи тонкого полупроводящего слоя, позволяют учесть влияние слоя на поле излучения тонкого проводника с током. Полученный результат может быть использован при расчете характеристик излучения и входных импедансов микрополосковых

антенн, а также при определении поля, рассеянного металлическими решетками, расположенными вблизи (или на поверхности) тонкой диэлектрической подложки.

б. Полученные усредненные граничные условия для проволочных сеток, учитывающие влияние близости границ раздела слоистых сред, и исследование на их основе отражательных и экранирующих свойств сеток позволили сделать вывод о том, что при расстоянии между сеткой и границей раздела сред, существенно меньшем линейного размера ячеек сетки, необходимо учитывать влияние границы раздела в самих усредненных граничных условиях.

I. УСРЕДНЕНИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ СЕТОК ИЗ НЕОРТОГОНАЛЬНО ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ПРОВОДНИКОВ, РАСПОЛОЖЕННЫХ В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Применительно к сетчатым структурам метод усреднения полей приводит к методу усредненных граничных условий. Как уже отмечалось, сущность метода усредненных граничных условий заключается в представлении дискретной сетчатой структуры некой сплошной поверхностью, на которой выполняются определенные соотношения между усредненными токами и полями. При выводе усредненных граничных условий мы будем предполагать, что внешнее (возбуждающее) поле мало меняется в пределах одной элементарной ячейки сетки. Очевидно, что точность метода усреднения полей в этом случае тем выше, чем меньше соотношение между линейными размерами ячейки сетки и длиной волны.

В данной главе приводится вывод усредненных граничных условий для сеток наиболее общей конфигурации, образованных неортогонально пересекающимися проводниками. Очевидно, что угол между осями пересекающихся проводников является дополнительной степенью свободы, позволяющей существенным образом изменять экранирующие и поляризационные свойства сеток (['1б] - 21 ).

На практике довольно часто приходится проводить электродинамический расчет устройств из не очень "густых" сеток, хотя линейные размеры ячеек по-прежнему остаются меньше длины волны. Здесь будет показано, что в этом случае также можно применять метод усредненных граничных условий, если возбуждающее поле в достаточной степени медленно меняется от ячейки к ячей. ке.

I.I. Постановка задачи и общие3 соотношения.

Переходя к постановке задачи, введем прямоугольную систему координат X Y, Z * ® плоскости 2 - 0 существуют два дискретных множества пересекающихся под углом о( прямых С и Q , элементы которых соответствуют значениям Х1(х,у)=5СГ , У* (ХУ) = nb системы косоугольных декартовых координат ХцУ^ (РисЛ Л а,б); здесь П и 5 - целые числа, смысл величин С1 и Ь ясен из рисунка. Если теперь придавать Я и 5 любые вещественные значения, то можно каждому Х3 и У, ' поставить в однозначное соответствие некоторые Г1 и S и рассматривать систему координатных линий S = CQUSt и П =

-- const

Будем считать, что величины ft и Ь являются малыми (в смысле порядка малости), а наибольшую из них примем в качестве параметра малости, которым обозначим JU

Пусть теперь линии Сп и Ds являются осями проводников, имеющих круговое поперечное сечение достаточно малого по сравнению с G и Ь радиуса Т0 (имеющего, впрочем, порядок малости }i ). Под действием внешнего поля по проводникам

J/1 т 4i

п и Is ' равномерно распределенные по периметру сечения и являющиеся функциями точек линий Сп и D$ вообще говоря, в точках взаимного пересечения проводников имеет место произвольный контакт, который может быть либо идеальным, либо включать некое сопротивление. Для упрощения записи мы вначале будем рассматривать случай идеального контакта, а затем обобщим результат на случай произвольного контакта, как это сделано в [l] . Bp,едем в рассмотрение плотность тока J , непрерывно распределенного по поверхности сетки F . Допустим, что в пределах каждой ячейки сетки сред-

Pue. 1.15

нис значения токов 1 1 и 1 по площади ячеики равны соответственно составляющим У* и распределенного тока У . Если теперь рассматривать два электромагнитных поля, первое, создаваемое токами, текущими по проводам, и второе, создаваемое распределенным током J , то оба поля б любой точке пространства, отстоящем па фиксированном расстоянии (не малом в смысле порядка малости) от поверхности рассматриваемой сетки, будут отличаться на величину порядка малости р . Это утверждение Физически очевидно и может быть строго доказано [22]. Токи, текущие по проводникам, будут, очевидно, иметь порядок малости р. (при увеличении числа проводников их "общий ток" считается ограниченным), а плотность тока X от }1 не зависит.

Предположим, что нашей целью является определение электромагнитного поля в любой точке пространства, создаваемого некими источниками при наличии рассматриваемой сетки. Очевидно, что в случае идеальной проводимости проводников сетки, граничным условием является равенство нулю касательной составляющей полного электрического поля на поверхности проводников. Допустим, что. используя упомянутые граничные условия задачи, нам удалось получить некоторые условия, которым должно удовлетворять электромагнитное поле Е на поверхности, создаваемое распределенным током J . Эти условия будем называть усредненными граничными условиями. Если теперь рассмотреть обратную задачу, т.е. определить электромагнитное поле, удовлетворяющее усредненным граничным условиям на поверхности Р , то это поле будет соответствовать полю, создаваемому распределенным током У . Такое утверждение физически вполне оправдано. На основании сказанного можно заключить, что усредненное поле, соответствующее распределенному току J , будет мало отличаться от ис-

тинного, соответствующего исходной задаче. Следовательно, довольно сложную задачу определения электромагнитного поля с использованием точных граничных условий на сетке можно заменить более простой усредненной. Процедура замены токов, протекающих по проводникам, распределенным током не является однозначной, и поэтому мы конкретизируем способ замены, который будет принят в дальнейшем.

Рассмотрим ток 1ПХ* , протекающий по проводнику Сп . Этот ток не является непрерывной функцией координаты XI вдоль проводника, поскольку в точках пересечения данного проводника с другими проводниками он может испытывать скачки (РисЛ.2). В точках ... 5-1, 5,5+1 этот ток испытывает скачки соответственно ... 81лVI , 81 п*б , &1п*5+1 • • • • Заменим ломаную лит... 7 у* нию 1/7 линиеи 1п непрерывной вместе, по крайней мере,

с двумя своими первыми производными по Х± и проходящей в точках скачка через его середину. Будем считать, что на участке непрерывности график 1п* близок к прямой, скачки 81^5

т*1

имеют по отношению к 1п более высокий порядок малости, и при переходе от одного узла к другому "ситуация" меняется мало. Для произвольной точки С на промежутке X, 5+4

можно написать

где ^ - величина, ограниченная при всех р и Х± Кроме того, можно написать

81^ -ОС^),

Ыч - - ОО3)

Рис. 1.2

Эти предположения физически вполне очевидны. При сделанных

т * l "rXi

предположениях токи 1п и Iп в пределах каждого интервала будут иметь одинаковые средние значения с точностью до величин более высокого порядка малости, чем fi2 ; поэтому не совершая большой ошибки, вместо токов Г^ можно оперировать с непрерывными токами I^ . Аналогичные рассуждения могут быть

проведены и относительно токов, протекающих по проводникам дру-

тЧл

гои системы, поэтому вместо токов 15 введем в рассмотрение

ТУ^

непрерывные токи is

Так как в дальнейшем мы в основном будем оперировать с непрерывными функциями I^1 и I, то для упрощения записи черту над символами будем опускать, где это не вызовет недоразумений.

Перейдем теперь к построению функции распределенной плот-

~> —У

ности тока J . Вектор J можно представить в виде суммы двух векторов, совпадающих по направлению с ортами координат

х; и у;

7 = Ъ+УХ (i.i)

(Обозначения J** и J, о не JXi и )4i , как обычно, введены здесь, чтобы отличить косоугольные (контравариантные)

ч

компоненты J от прямоугольных проекции на координатные оси).

-г

Итак, определим векторы JXi и J так, чтобы они являлись непрерывными функциями координат вместе со своими частными производными (до второй производной включительно). Кроме того, мы можем потребовать, чтобы в точках, принадлежащих линиям Сп и Ъ$ •> выполнялись бы соотношения

т* ~-г У1

7*1 я An._ ]Vi = _Is__, т р ч

J ь SinoL 5 Q sinol

Теперь мы можем вычислить поля, создаваемые усредненными токами. Как известно, электрическое поле может быть выражено через электродинамические потенциалы Д и ^ .

1.2. Векторным потенциал усредненных токов.

Выделим в плоскости сетки параллелограмм со сторонами, параллельными осям У^ и Yi и равными соответственно 21 и 2т ( { и гл имеют нулевой порядок малости и от не зави-

сят); часть поверхности сетки, ограниченную контуром параллелограмма, обозначим (Рис.1.1б). Будем считать, что через р0 проходят 2 Ь/0 проводников системы С и 2 М« проводников системы В . Выберем точку наблюдения р внутри области К, на линии С0 (или вблизи от нее).

Векторный потенциал, создаваемый токами всех проводников системы С в точке наблюдения, можно записать в виде

Го (-¡1

где Аро - векторный потенциал, обязанный своим происхождением частям проводников системы С, которые находятся в пределах р0 , Ар - векторный потенциал токов проводников той же системы, за исключением тех частей проводников, которые находятся в Т0 Учитывая, что радиус проводников сетки мал по сравнению с длиной волны, поперечными токами в проводниках можно пренебречь и

х) Здесь и в дальнейшем зависимость от времени принимается в де •

для произвольного проводника Сп можно написать

Сп

где ; = » - расстояние

от точки наблюдения до точки источника.

Поскольку введенная плотность тока J 1 является непрерывной функцией координат, мы можем рассматривать и —>/

как значение непрерывной функции от У* , при =Г)Ъ . Учитывая сказанное, а также то, что линейные размеры области

, вблизи "центра" которой находится точка наблюдения, имеют нулевой порядок малости, можно с ошибкой, не превосходящей по порядку малости , написать

Mi* 9:\

T^bVsindlcLXt (1-6)

/

-(Кг+Ь) Сп(ь)

Здесь и в дальнейшем мы будем считать, что ток J 1 распределен по всей поверхности, заключенной между крайними проводниками системы С, и еще в полосках шириной р2 bstnoi за пределами крайних проводников (это следует из определения J 1 ). Повторный интеграл в (1.6) может рассматриваться как поверхностный, взятый по всей площади, на которой распределен ток, за исключением Р0 . Действительно, положив bd^dn sind ~ dF , напишем

Л

Тогда = ]*<VdF+7 А,Г Ü.7)

¿Л"

i ft=-No

Fl

Fi

Но

JCi

Второе слагаемое в (1.7) можно записать в виде

^ -1 ь!в

V 7*1

где А01 - векторный потенциал, создаваемый током проводника С0 . Применив к суммам формулу Эйлера-Маклорена и удерживая в ней три первых члена, запишем

-ат-А'1Н:'-1, «-8)

где - векторный потенциал, обязанный своим происхождением току 7х' , распределенному в полосе между проводниками С-± и

п сСП

Хотя, как указывалось выше, линейные размеры области Р0 имеют нулевой порядок малости, они достаточно малы для того, чтобы можно пренебречь запаздыванием и считать медленно меняющуюся функцию постоянной в пределах интегрирования. Кроме того, отметим, что значение Ап практически не изменится при перемещении точки наблюдения вдоль линии С0 на величину, равную линейному размеру ячейки; поэтому можно считать координаты точки наблюдения равными У^р = О, У1Р = 0.

После вычисления всех слагаемых в (1.8) с учетом сказанного получим соотношение для А **

Г* 1 ьып л =

р

(I 9)

где Ь0 - Ь 5<л

Аналогично определяется векторный потенциал Д , создаваемый токами проводников системы Л в точке Р на поверхности проводника С„ . После несложных вычислений получим

Л

Ь А

№

Г'^ИР+^Т^П о/

2/7?

гп

2т

+ 2т

|х

¿р.

Л

2 !Г

л У^1Л0{

|(а-Х1Р)|^ р Ка+х^лог ^ (1Л0)

Так как точка наблюдения Р находится на линии С0 , то очевидно, что значение будет изменяться при изменении

точки Р на Со в пределах ячейки (но от ячейки к ячейке картина меняется мяло). Определим среднее значение к4^ в пределах ячейки (т.е. проведем усреднение (1.10) на промежутке ~ |г ^ у • Нетрудно убедиться, что значение интеграла в (1.10), распространенного на всю поверхность Р , весьма незначительно меняется в пределах одной ячейки; поэтому не совершая большой ошибки, можно написать

Р Р

С учетом усреднения всех остальных членов соотношения (1.10) получим

х) Черта над символом означает, что берется среднее значение величины.

} 4Г (1.11)

р

Усредненное по ячейке значение полного векторного потенциала, создаваемого токами всех проводников сетки на поверхности проводника Со , равно сумме (1.9) и (1.11), т.е.

Итак, касательная к проводнику С0 составляющая усредненного по ячейке полного векторного потенциала может быть теперь записана в виде

о

+

гд

^Г ^ ^ (1.12)

э XI - орт оси х1 , ^ = =

1.3. Определение квазистатической составляющей поля.

Перейдем теперь к вычислению второго слагаемого в (1.3). Будем называть -7т=£сг » как это принято, квазистатической составляющей поля. Как известно, потенциал ^ , создаваемый зарядом, распределенным в некотором объеме 1Г , определяется соотношением

К - расстояние от точки источника до точки наблюдения,

В рассматриваемом случае источниками ^ являются заряды проводников сетки. Учитывая, что радиус проводников мал по сравнению с длиной волны и расстояниями а0 и Ь0 , заряды проводников можно считать линейными. На участках непрерывности то——>

ков Гп1 и ISJ (Рис.1.2) линейные плотности зарядов связаны с токами соотношениями

i и) dh J " ib> a y,

* (I.14)

Выделим на поверхности сотки ячейку Д5 с центром в точке пересечения проводников Сп и £>$ (Рис. 1.16, 1.3). Очевидно, что в точке пересечения проводников должны выполняться следующие условия: I) сумма втекающих в узел токов равна нулю; 2) на поверхности проводников плотность заряда не имеет разрывов. Иными словами,в узлах токи претерпевают разрыв, а их производные непрерывны (1.14).

Для произвольной ячейки можно написать

(I.15)

где 4 0.^ ~ заряд отрезка проводника Сп , находящегося в пределах ячейки ИЗ , аО,^ - заряд отрезка проводника Ds • Учитывая малость линейных размеров ячейки С1. и Ь , напишем

АГ)Ь - ±п д1"1 аПУ*~ * -к

П5 ш дЬ ^ дУ1 (1.16)

д!и д!^

Производные -г-^- и —— могут быть выражены через

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Акимов, Валерий Петрович

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующему:

1. Получены усредненные граничные условия на поверхности сетки, образованной двумя системами неортогонально пересекающихся (под произвольным углом оС ) проводников круглого сечения; ячейки сетки имеют форму параллелограмма, контакт в узлах решетки предполагается произвольным. При выводе упомянутых граничных условий считалось, что сетка расположена в безграничной изотропной среде, а линейные размеры ячеек малы по сравнению с длиной волны. Если линейные размеры сторон ячеек сетки не слишком отличаются, то усредненные граничные условия могут быть записаны в таком же виде, как для сетки с ортогональной формой ячеек, если в последних заменить ковариантные составляющие плотности распрелеленного тока на соответствующие контравариантныо (косоугольные) составляющие.

2. Показано, что метод усредненных граничных условий применим и в том случае, когда линейные размеры ячеек сетки

0 , Ье соизмеримы с длиной волны А (но а, <А ), а внешнее (стороннее) поле мало меняется от ячейки к ячейке. Для вывода усредненных граничных условий в этом случае получена формула, позволяющая заменить сумму интегралом и учесть запаздывание при вычислении поля токов проводников сетки. Полученные граничные условия переходят в известные, если линейные размеры ячеек сетки малы по сравнению с длиной волны.

3. Проведено исследование экранирующих и отражательных свойств сеток с ячейками неортогональной формы. Получены формулы для расчета коэффициентов отражения плоской электромагнитной волны произвольной поляризации при произвольных углах падения на сетку. Показано, что угол между пересекающимися проводниками оС является дополнительной степенью свободы, позволяющей оптимальным образом конструировать электромагнитные экраны различного назначения и поляризационные фильтры.

4. Разработана теория мнимых изображений применительно к задаче о поле и входном сопротивлении горизонтального диполя и вибратора, расположенных над сетчатым экраном. Показано, что влияние сетчатого экрана может быть учтено введением мнимого источника-изображения, расположенного в комплексном пространстве. Мнимое изображение горизонтального диполя представляет собою полубесконечный линейный источник с определенным законом изменения тока вдоль него. Рассмотренная задача, в сущности, является ключевой, и ее результат может быть использован для определения поля и входного сопротивления горизонтального электрического вибратора произвольной длины, расположенного над сетчатым экраном, если известно распределение тока по его длине.

5. Определены параметры и локализация мнимого изображения вертикального электрического диполя, расположенного над сетчатым экраном с квадратными ячейками. Получены соотношения для поля излучения диполя над сеткой и под ней, а также для входного сопротивления диполя. Результаты решения задачи могут быть использованы для определения эффективности сетчатых противовесов и заземлений вертикальных несимметричных антенн.

6. Методом усредненных граничных условий решена задача о поле вертикального электрического диполя, расположенного над сеткой из радиально расходящихся проводников. Выражения для составляющих рассеянного поля получены в виде повторных интегралов, значения которых легко вычисляются с помощью стандартных компьютерных программ. Полученные результаты позволяют определить потери энергии, связанные с проникновением электромагнитного поля через противовесы антенных устройств.

7. Исследованы экранирующие свойства сферической сетки, проводники которой образуют систему эквидистантных меридианов (экраны такого типа часто применяются для защиты персонала или приборов от воздействия электромагнитных полей), источником электромагнитных волн является вертикальный электрический диполь, помещенный в центре экрана. В предположении, что расстояния между проводниками малы по сравнению с длиной волны, с учетом усредненных граничных условий на поверхности сферической сетки получены выражения для коэффициента проницаемости, как в "нерезонансном" случае, так и в случаях, когда радиус экрана является "резонансным" для какой-либо сферической гармоники. Анализ полученных результатов приводит, в частности, к следующим выводам: а) в нерезонансном случае коэффициент проницаемости максимален в экваториальном направлении и имеет минимальное значение в направлении полюсов; б) при одинаковом значении параметра ц , характеризующего густоту сетки, коэффициент проницаемости тем больше, чем ближе значение радиуса экрана к резонансному для первой сферической гармоники; в) при одинаковом значении )1 зависимость коэффициента проницаемости от угла наблюдения 9 усиливается при увеличении отношения , где £ - радиус экрана, Л

- длина волны; г) в случае резонанса на третьей сферической гармонике зависимость, упомянутая в пункте в), ослабляется; д) если радиус экрана значительно больше длины волны, то резонансы на более высоких сферических гармониках, чем третья, оказывают весьма слабое влияние на величину коэффициента проницаемости экрана. в. Определены параметры мнимого изображения линейного синфазного тока, параллельного границе раздела двух немагнитных сред с произвольными диэлектрическими проницаемостями. Оказалось, что распределение тока вдоль полубесконечного источника - изображения в комплексной плоскости совпадает с таковым для вертикального магнитного диполя, расположенного вблизи такой же границы раздела. Полученный результат позволяет без труда определять поле излучения систем бесконечных синфазных проводников, параллельных границе раздела.

9. Построены мнимые изображения линейного синфазного тока и заряда, параллельных тонкому диэлектрическому (полупроводящему) слою. Учет влияния границ раздела на поле синфазного проводника введением мнимого изображения позволил получить усредненные граничные условия для плоской сетки, параллельной слою, или лежащей на его поверхности.

10. Получены усредненные граничные условия для сетки с неортогональной формой ячеек, расположенной вблизи границы раздела сред и тонкой диэлектрической пластины. Эти условия пригодны при любом расстоянии между сеткой и границей раздела сред или поверхностью пластины.

11. Проведено исследование отражательных свойств сеток, расположенных вблизи границ раздела слоистых сред. Показано, что если расстояние между сеткой и границей раздела меньше одной десятой линейного размера ячейки сетки, необходимо модифицировать усредненные граничные условия с учетом влияния границы раздела.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе рассмотрены вопросы дифракции плоских и сферических волн на проволочных сетках и исследованы экранирующие и отражательные свойства некоторых типов сетчатых структур.

Свойства проволочных сеток (решеток) широко используются в различных областях радиофизики, причем, применяются сетки различных конфигураций. В связи с этим весьма актуальными являются вопросы электродинамического расчета и анализа устройств, содержащих такие сетчатые структуры.

Если сетка образована системами пересекающихся проводников, расположенных в одной плоскости, или криволинейными проводниками, расположенными на неплоской поверхности, то традиционные (прямые) методы решения задач дифракции волн на таких структурах обычно сопряжены со значительными математическими трудностями. По-видимому, единственным методом, позволяющим обойти эти трудности, является метод усредненных граничных условий.

Полученные до настоящего времени усредненные граничные условия относились либо к сеткам из непересекающихся проводников, либо к сеткам, образованным системами ортогонально пересекающихся проводников; при этом считалось, что расстояние между проводниками, образующими сетку, значительно меньше длины волны.

В работе проведено дальнейшее обобщение метода усредненных граничных условий (расширение пределов его применимости) применительно к задачам о дифракции электромагнитных волн на сетчатых структурах.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Акимов, Валерий Петрович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Gustafson W.E., Chase W.M., Balli N.H. Naval Electronic Laboratory, Rep. 1346, Jan.4, 1966.

2. Miller B. Aviation Week, 1963, Sept.2, V.79, No. 10, 80.

3. Каплун В.А. Обтекатели антенн СВЧ, М., Сов. Радио, 1974, 264с.

4. Wait J.R. Theories of scattering from wire grid and mesh structures, in Electromagnetic Scattering, P.I.E. Uslenghi, Ed., New York : Academic, 1978, pp.253-287.

5 Вайншгейн Jl.A. К электродинамической теории решеток. - В кн. "Электроника больших мощностей", вып.2, ч.1, с.25-56; ч.2, с.57-74, М., Наука, 1963.

6. Wait J.R. Canad. J. Physics, 1954, 32, No.9.

7. Wait J.R. Reflection at arbitrary incidence from a parallel wire grid Apll. Sci. Res., 1954, v. В.- 4, pp.393-400.

8. Сивов A.H. Падение плоской электромагнитной волны на решетку (случай, когда вектор Н параллелен проводам). Радиотехника и электроника, 1961, 6, №1.

9. Сивов А.Н. Электродинамическая теория частот плоской решетки из параллельных проводов. Радиотехника и электроника, 1961, 6, №4.

10. Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Дифракция плоской электромагнитной волны на бесконечной системе параллельных металлических полос. Общая теория. Радиотехника и электроника, 1970, 15, №11.

11. Kent W.H., Lee S.W. Diffraction by an infinite array of parallel strips. J. Math. Phys., 1972, 13, no. 12.

12. Шестопалов В.П., Литвиненко Л.Н., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках. Изд. ХГУ, 1973.

13. Wait J.R., Hill D.A. Electromagnetic Scattering by two perpendicular Grids over a Conducting Half Space. Radio Sci. 11, 1976, pp.725-730.

14 Нефедов Е.И., Сивов А Н. Электродинамика периодических структур. Наука, М.-1977, 208с.

15. Kendall F. Casey. Electromagnetic Behavior of Wire - Mesh Screens. IEEE Trans, on Electromagnetic Compatibility, vol.30, no.3, 1988.

16. Конторович М.И., Астрахан М.И., Акимов В.П., Ферсман Г.А. Электродинамика сетчатых структур. Радио и связь, Москва, 1987, 134с.

17. Akimov V.P., Astrakhan M.I., Fersman G.A. Electrodynamics of Grid Structures. Proceedings of the 1989 URSI International Symposium on Electromagnetic Theory, Aug., 1989, Stockholm, Sweden, pp.613-615.

18. Akimov V P. Electromagnetic Field Averaging Method and its Application for Calculation of Wire Grid Devices. Proceedings of 1995 IEEE Asia-Pacific Workshop on Mobile Telecommunication, Kyongju, Korea, Dec., 1995, pp. 127-131.

19. Конторович М.И., Акимов В.П. Усредненные граничные условия на поверхности плоской проволочной сетки с косоугольными ячейками. Радиотехника и электроника, том 22, №6, Москва, 1977, с. 1125-1135.

20 Астрахан М.И., Акимов В.П., Королева H.B. Отражательное действие плоских сетчатых экранов, параллельных поверхности земли. Антенны, выпуск 27, 1979, с. 133-144.

21. Akimov V.P., Pesari P. On the Electromagnetic plane Wave Scattering from a Wire Grid with rhombic Cells. Helsinki University of Technology, Radio Laboratory, Report SI 14, 1979, Юр.

22. Конторович М.И. Усредненные граничные условия на поверхности сетки с квадратными ячейками. Радиотехника и электроника, 1963, т.8, с. 1506-1515.

23 Астрахан М.И. Об усредненных граничных условиях на поверхности сегки с прямоугольными ячейками. Радиотехника и электроника, 1964, т.9, №8, с. 1507-1509.

24. Akimov V.P., I Ia C.S., Kim B.C. On novel Averaged Boundary Conditions for a Wire Grid with nonrectangular Cells. Proceedings of IEEE Asia-Pacific Workshop on Mobile Telecommunication, Kyongju, Korea, Dec., 1995, pp.34-38.

25. W. Magnus, F. Oberhattinger. Formeln und Sätze für die speziellen Funktionen der Mathematischen Physik, Springer-Verlag, 1948.

26 Жуков А.Д. Характеристики направленного действия зеркальной сетчатой параболической антенны. Л.:ЛПИ им. М.И. Калинина, 1982, 27с., Деп. В НИИ ЭИР, №3-6809.

27. Конторович М.И., Астрахан М.И. Дифракция плоской

электромагнитной волны на анизотропно проводящей плоскости. Радиотехника и электроника, 1967, т. 12, №1, с.28-40.

28 Антенно-аппаратурный комплекс БСА ФИАН. Всесоюзная конференция по радиоастрономии. Тезисы докладов. Пущино, 1975, с.3-5.

29. Van den Brock G.J., Van den Vooren J. On the reflection properties of periodically supported metallic wire grating with rectangular mesh showing small sag. IEEE Trans, on Antennas and Propagation, 1971, No. 1, pp. 109-112.

30. Tanner R.I., Andreasen M.G. A wire-grid lens antenna of wide application. IRE Trans, on Antennas and Propagation, 1969, No.4, pp.408-415.

31 Конторович М.И., Астрахан М.И., Спирина M.H. О замедлении электромагнитных волн проволочными сетками. Радиотехника и электроника, т.9, №8, 1964, с. 1509-1513.

32. Otteni G.A. Plane wave reflection from a rectangular-mesh ground screen. IEEE Trans, on Antennas and Propagation, 1973, v.21, No.6, pp.843-851.

33. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Наука, Москва, 1973, 831с.

34. Астрахан М.И. Огражательное и экранирующее действие плоских проволочных сеток. Радиотехника и электроника, 1968, т.23, №1, с.22-30.

35. Конторович М.И., Петрунькин В.Ю., Есепкина H.A., Астрахан М.И. Радиотехника и электроника, 1962, 7, №2, с.239-249.

36. ФельдЯ.Н. Доклады АН СССР, 1956, 107,1, 71.

37 Шестопалов В.II Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. Изд. Харьковского университета, 1971. N

38. Кеванишвили Г Mil., Цагарейшвили СП. Радиотехника и электроника, {/ 1969, т. 14, №1, с. 18.

39. Конторович М.И., Акимов В.П. О дифракции плоской электромагнитной волны на решетке из параллельных проводников круглого сечения, расположенных на произвольном расстоянии друг от друга. Сборник текстов докладов VI Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн. Книга 1, Москва-Ереван, 1973.

40 Вайнштейн JI.A. ЖТФ, 1955, 25, №5, с.847.

41. Акимов В.П. Дифракция сферических электромагнитных волн на плоской проволочной сетке. Волны и дифракция -90, АН СССР, Москва, 1990, т.З, с. 101-104.

42. Lindell I.V. On the integration of image sources in exact image method of field analysis. Journal for Electromagnetic Waves and Applications, 1988, 2, (7), pp.607-619.

Mi

43 Lindell I.V. and Alanen E. Exact image theory for Sommerfeld half-space problem, Parti : Vertical magnetic dipole. IEEE Trans, on Antennas and Propagation, 1984, 32, (2), pp. 126-133.

44. Lindell I.V. and Alanen E. Exact image theory for Sommerfeld half-space problem, Part2 : Vertical magnetic dipole. IEEE Trans, on Antennas and Propagation, 1984, 32, (8), pp.841-847.

45. Lindell I.V. and Alanen E. Exact image theory for Sommerfeld half-space problem, Part3 : General formulation. IEEE Trans, on Antennas and Propagation, 1984, 32, (10), pp. 1027-1032.

46. Lindell I.V. Methods of Electromagnetic Field Analysis. Clarendon Press, Oxford, 1992, 290p.

47. Lindell I.V., Alanen E. and Bach H. Exact image theory for the calculation of fields transmitted through a planar interface of two media. IEEE Trans, on Antennas and Propagation, 1986, 34, (2), pp. 129-137.

48. Lindell I.V., Alanen E., Mannersalo K. Exact image method for impedance calculation of antennas above the ground. IEEE Trans, on Antennas and Propagation, 1985, 33, (9), pp.937-945.

49. Lindell I.V., Sihvola A.H., Muinonen K.O. and Barber P.W. Scattering by a small object close to an interface. I : Exact image theory formulation. Journal of the Optical Society of America, 1992, 8, (3), pp.472-476.

50. Matusima A., Itakura T. Electromagnetic scattering from double stacked and arbitrary skewed infinite strip gratings. Proceedings of the 1989 URSI International Symposium on Electromagnetic Theory, 1989, Stockholm, Sweden, pp.599-60L

51.Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. Наука, Москва, 1964, 772с.

52. Wait J.R. Electromagnetic Wave Theory, New York, Harper and Row, 1985.

53. Акимов Б.П., Линделл И В. Электромагнитное поле и входное сопротивление горизонтального вибратора, расположенного над сетчатым экраном. В кн. "Вопросы электромагнитной совместимости и расчета антенн и радиолиний", Военная академия связи, С.-Петербург, 1993, с. 101-107.

54. Gustafson W.E., Davaney Т.Е., Smith A.N. Study of North Atlantic VLF Transmitting Station, Naval Electron. Lab. Rept. 909, appendixes A and С, San Diego, Calif., June 22, 1959.

55. Monteath G.D. Hie Effect of the Ground Constants and of the Earth System on the Perfomance of a Vertical Medium-wave Aerial. Monograph 279R, IEE, pp. 1-15, 1958.

56. Lindeil I.V., Akimov V.P., Alanen E. Image Theory for Dipole Excitation of Fields Above and Below a Wire Grid with Square Cells. IEEE Trans. Electromagnetic Compatibility, May 1986, voI.EMC-28, No.2, pp.107-109.

57. Jones D.S. The Theory of Generalised Functions. Cambridge, England : Cambridge University Press, 1982, p.79.

58. Lindell I.V., Akimov V.P., Alanen E. Image of a Vertical electric Dipole above a metallic Grid. Proceedings of the IEEE/AP-s Symposium, 1984, Boston, Massachusetts, USA, pp.85-87.

59. Felsen L.B. and Markuvitz N. Radiation and Scattering of Waves. Englewood Cliffs, NJ : Prentice-Hall, 1973, pp.509-510.

60. Sarkar Т.К. Analysis of arbitrary oriented thin wire antenna over a plane imperfect ground. Arch. Elek. Übertragung, vol.31, no. 11, pp.449-457, Oct., 1977.

61. Wait J.R. Characteristics of antenna over a lossy earth,in Antenna Theory, Part 2, R.E. Collin and F.I. Zucker, Eds. New York : McGraw-Hill, 1969, ch.23, pp.329-435.

62. Alanen E., Lindell I.V. Impedance of vertical electric and magnetic dipoles above a dissipative ground. Radio Sci., vol.19,110.6, pp. 1469-1474, 1984.

63. Lindell I. V., Akimov V.P., Alanen E. Image theory for a vertical electric dipole above a wire grid with square cells. Helsinki University of Technology, Radio Laboratory, Rep. SI50, 1983.

64. Конторович М.И., Акимов В.Г1. Об одном соотношении, позволяющем заменять сумму интегралом, и его применения к некоторым задачам теории дифракции. В кн. "Вопросы математической физики", АН СССР, Л., Наука, 1976, с.79-93.

65. Конторович М.И. Применение метода усреднения полей к исследованию некоторых электрических систем. Докторская диссертация, Л., Ленинградский политехнический институт, 1940.

66. Wait J R., and Pope W.A. The Characteristics of a Vertical Antenna with a Radial Conductor Ground System. Appl. Sci. Res., Sec. В., vol.4, pp. 177-195, 1954.

67. Wait J.R., and Pope W.A. Input Resistance of LF Unipole Aerials. Wireless Engr., vol.32, pp.131-138, 1955.

68. Wait J.R. A Study of Earth Currents near a VLF Monopole Antenna with a Radial Wire Ground System. Proc. IRE, vol.46, no.8, pp. 1-2, 1958.

69. Maley S.W., and King R.J. Impedance of Monopole Antenna with a Radial Wire Ground System on an Imperfectly Conducing Half Space. Part I, I. Res. Natl. Bur. Std. (U.S.), vol.66I) (ratio prop.), no.2, pp. 175-180, 1962.

70 Maley S.W., King R.J., and Branch L.R. Theoretical Calculations of the Impedance of a Monopole Antenna with a Radial-wire Ground System on an Imperfectly Conducing Half Space. Air Force Cambridge Res. Lab. Sci. Rept. 26, AFCRL-63-583-PRO-62-201, University of Colorado Contract CST-7429, 1963.

71. Larsen, Tove. The E-field and H-lleld Losses around Antennas with a Radial Ground Wire System. J. Res. Natl. Bur. Std. (U.S.), vol.66D (radio prop.), no.2, pp. 189-204, 1962.

72. Wait J.R. Effect of the Ground Screen on the Field Radiated from a Monopole. IRE Trans. Antennas and Propagation, vol. AP-4, no.2, pp. 179-181, 1956.

73. Конторович М.И. Усредненные граничные условия для сетки, состоящей из непараллельных и непрямолинейных проводников, расположенных на неплоской поверхности. Радиотехника и электроника, 1972, т. 17, №6, с. 1161 -1170.

74 Конторович М.И., Жуков А Д. Об усредненных граничных условиях для плоской ортогональной сетки из тонких проводников. Радиотехника и электроника, 1973, т. 18, №12, с.2457-2465.

75. Конторович М.И., Жуков А Д. Дополнительные материалы к выводу усредненных граничных условий для плоской ортогональной сетки из тонких проводников. Деп. в ВИНИТИ, 21.04.75., №1132-75.

76. Akimov V.P. Field and input impedance of a vertical dipole above a radial grid. Digest of IEEE Asia-Pacific Workshop on Mobile Telecommunication, Kyongju, Korea, Dec., 1995, Ip.

77. Астрахан М.И., Акимов В.П., Золотухина Н.М. Эффективность экранирования сетчатого прямоугольного параллелепипеда. Тезисы докладов Всесоюзного совещания по приземному распространению радиоволн и электромагнитной совместимости, Улан-Удэ, 1990, 1с.

78. Спирина М.Н. Приближенные граничные условия на некоторых сетчатых поверхностях и их применение в задачах электродинамики. Канд. диссертация, Л., ЛГ1И им. М.И. Калинина, 1965.

79. Э. Маделунг. Математический аппарат физики. Физматгиз, Москва, 1961.

80. Конторович М.И., Акимов В.I I. Об экранирующем действии сферической сетки. Радиотехника и электроника, т.19, №1, 1974.

81 Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований, том 1, М„ Наука, 1969, с.213.

82. Kuesler E.F., Chang D.C. Evaluation of Sommerfeld integrals associated with dipole sources above the earth. Univ. Colorado, Electroinagn. Lab. Sci. Rep.43, Jan. 1979.

83. Mosten A. On the evaluation of Sommerfeld integrals. Proc. Inst. Elec. Eng., vol.129, pt.H, no.4, pp. 177-182, Aug. 1982.

84. Wait J.R. Image theory of a quasistatic magnetic dipole over a dissipative half-space. Electron. Lett., vol.5, no. 13, pp.281-282, June 1969.

85. Akirnov V.P., Polikarpov G.I. On averaged boundary conditions for a wire grid above an interface of two media. XXIII General Assambly of URSI, Prague, Aug. 1990.

86. Гринберг Г.А., Боншгедт Б.Э. Основы точной теории волнового поля линий передачи. ЖТФ, 1954, т.24, №1, с.67-95.

87. Серков В.П. Электромагнитное поле и волновые параметры переменно-фазного бесконечного провода, лежащего на земле. Вопросы электромагнитной совместимости и расчета антенн и радиолиний, С-Пб, ВАС, 1991, с.84-88.

88. Akimov V P., Polikarpov G.I., На C.S., Kim B.C. On Averaged Boundary Conditions on the Surface of a Wire Grid placed above a thin Dielectric Slab, 1995 Asia-Pacific Microwave Conference Proceedings, Korea, vol.2, pp.848-851.

89 Акимов В Н., Поликарпов Г.И. Об экранирующих свойствах сеток, расположенных вблизи границы раздела сред. Тезисы докладов Всесоюзного совещания по приземному распространению радиоволн и электромагнитной совместимости, Улан-Удэ, 1990, 1 с.

90. Акимов В.П., Поликарпов Г.И. Об экранирующих свойствах сеток, расположенных вблизи тонкого диэлектрического слоя. Тезисы докладов 48-ой научно-технической конференции, посвященной Дню РаДйо, С.-Петербург, апрель, 1993, 1с.