Электродинамические свойства и математические модели гиперболических метаматериалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Шиловский, Павел Александрович

• Шиловский, Павел Александрович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Шиловский, Павел Александрович

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В МЕТАМАТЕРИАЛАХ

1.1. Метод Корринги-Кона-Ростокера

1.2. Метод плоских волн

1.3. Метод матриц передачи

1.4. Метод конечных разностей во временной области

1.5. Метод интегральных уравнений

1.5.1. Функции Грина периодических структур

1.5.2. Построение интегральных уравнений

1.6. Выводы

2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ И ДВУМЕРНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР

2.1. Замедляющая система типа «диэлектрическая гребенка с металлизацией»

2.2. Одномерно-периодические металло-диэлектрические пленочные структуры

2.3. Двумерно-периодические металлические проволочные структуры 43 2.3.1. Постановка задачи с учетом тока проводимости

2.3.2. Постановка задачи с учетом тока поляризации

2.3.3. Гомогенизация

2.3.4. Результаты моделирования

2.4. Выводы

3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ

ТРЕХМЕРНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР

3.1. Металлические проволочные стержневые структуры

3.2. Металлические проволочные кольцевые структуры

3.3. Металлические и диэлектрические кубические структуры

3.4. Выводы

4. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ РАСЧЕТА ДИСПЕРСИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕТАМАТЕРИАЛОВ

4.2. Формальное описание алгоритма расчета дисперсионных характеристик метаматериалов

4.3. Модификация алгоритма для параллельных вычислительных систем

4.4. Определение оптимальных параметров расчета

4.5. Характеристика программного комплекса

4.6. Технологии параллельных вычислений

4.7. Анализ эффективности программного комплекса

4.8. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электродинамические свойства и математические модели гиперболических метаматериалов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. Изучение электродинамических свойств гиперболических метаматериалов представляет собой актуальное направление в современной радиофизике. Гиперболические метаматериалы (ГМ) - искусственные диэлектрики, у которых компоненты тензора эффективной диэлектрической (или магнитной) проницаемости, определяемые в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, имеют противоположные знаки [1-3]. Данные материалы обладают анизотропией и могут поглощать или пропускать электромагнитные волны в зависимости от направления их распространения. Ввиду особого вида поверхности изочастот, имеющей форму гиперболоида, в таких средах возможно распространение волн с большими значениями компонент волнового вектора, что приводит к высокой плотности фотонных состояний и большим значениям фактора Парселла. Наличие данных свойств делает перспективным применение ГМ в элементной базе для широкого класса электрофизических устройств от сверхвысокочастотного (СВЧ) до оптического диапазона включительно [4-8].

Метаматериалы - это искусственно созданные среды, электрофизические свойства которых выходят за пределы свойств образующих их компонентов. Такие материалы, например, в определенных частотных диапазонах могут обладать отрицательными значениями компонент тензора эффективной диэлектрической или магнитной проницаемости как по отдельности, так и одновременно. При диссипации следует говорить об отрицательности вещественных частей этих компонент. Первые работы по метамагериалам относятся к 40-м годам прошлого века (Л. Левин [9,10], Л.И. Мандельштам [11]), где были детально рассмотрены эффект распространения обратной волны и необычный

закон преломления при падении волны из свободного пространства в среду, в которой групповая и фазовая скорости направлены в противоположные стороны. В таком случае преломленный луч отклоняется в противоположную сторону от нормали к поверхности, в огличие от случая совпадения направлений обеих скоростей. В 50-х годах было теоретически рассмотрено и доказано, что волны с противоположно направленными фазовой и групповой скоростью могут возникать в средах с одновременно отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостями (Д.В. Сивухин [12], В.Е. Пафомов [13], P.A. Силин [14]). В 1967 году В.Г. Веселаго выдвинул гипотезу о том, что в таких материалах показатель преломления имеет отрицательный знак, обосновал возможность их сущест воваиия и описал их электродинамику [15]. Однако широкое распространение исследования метаматериалов приобрели с начала 90-х годов после ряда работ (Э. Яблонович [16,17], Д. Джоаннопоулос [18,19], Д. Пендри [20,21] и др.), в которых были описаны результаты изучения практических образцов материалов с отрицательной диэлектрической или магнитной проницаемостью. В 2000 году исследовательская группа Д.Р. Смита получила материал с отрицательной рефракцией в диапазоне 4.2-4.6 ГГц [22].

Одним из видов метаматериалов являются фотонные кристаллы (ФК) -среды с периодически внедренными в основу объектами различной природы: метллическими, диэлектрическими, полостными и другими. Частный случай ФК - структуры с периодически меняющимся в пространстве показателем преломления. В зависимости от вида структуры различают одномерно-периодические, двумерно-периодические и трехмерно-периодические ФК. Указанная периодичность обуславливает возникновение запрещенных зон для энергий фотонов - области частот, в пределах которой электромагнитные волны подавляются во всех (полная запрещенная зона) или некоторых (неполная

запрещенная зона) направлениях. Наличие потерь, конечность структур, квазипериодичность включений приводят к искажению зонной структуры, и соответствующие материалы следует рассматривать как многополосовые фильтрующие среды. Для одноосных ФК xapaiciepua анизотропия и ярко выраженная пространственная дисперсия. При этом в запрещенных зонах наблюдаются отрицательные значения лишь некоторых компонент тензоров диэлектрической или магнитной проницаемостей. Таким образом, в частотных диапазонах, соответствующих запрещенным зонам, такие ФК ведут себя как гиперболические метаматериалы.

К настоящему времени имеется большое число публикаций по исследованию электродинамических свойств метаматериалов (Д. Пендри [20,21,23-25], К. Сакода [26-29], И.В. Линделл [30-32], K.P. Симовский [33-35], С.А. Третьяков [36-39], И.С. Нефедов [40-43], С.А. Никитов [44-46], Е.А. Виноградов [47-49], П. Белов [50-54], C.B. Банков [55-57] и др.). Тем не менее в известной литературе остались мало изученными металлические тонкопроволочные ФК и металло-диэлектрические плоскослоистые среды. Данные структуры перспективны для создания на их основе гиперболических метаматериалов с электрическими или магнитными свойствами. Также недостаточно исследованы ФК с включениями в виде прямоугольных параллелепипедов.

В диссертации рассматриваются следующие виды ФК: двумерно-периодические с включениями в виде идеальных и неидеальных металлических бесконечно протяженных тонких проволочек, трехмерно-периодические с включениями в виде идеальных металлических тонкопроволочных стержней или колец, одномерные периодические и квазипериодические из слоев металла и диэлектрика, трехмерно-периодические с включениями в виде металлических или диэлектрических прямоугольных параллелепипедов (кубов). Ана-

лизируются также некоторые замедляющие структуры, которые можно рассматривать как одномерные метаматериалы.

Технологические трудности при изготовлении метаматериалов делают математическое моделирование главным методом исследования в сравнении со сложным и дорогим экспериментом. В работе используется метод интегральных уравнений (ИУ), основанный на применении периодических функций Грина (ФГ). Такие ФГ, являющиеся функциями периодически расположенных и сфазированных точечных источников, позволяют свести задачу к решению ИУ для включений в одной ячейке периодичности, что делает метод интегральных уравнений весьма универсальным и удобным, например, по сравнению с методом плоских волн. Метод ИУ применим для любых включений: металлических, полупроводниковых, диэлектрических, включая полостные включения в диэлектрической основе. При этом сами включения могут описываться макроскопическими диэлектрическими и магнитными проницае-мостями, которые в общем случае могут иметь тензорный характер. Продвижение в область инфракрасных и оптических частот требует учета потерь в металлах при расчете дисперсии сред с металлическими включениями. В этом случае возможно применение итерационных методов решения ИУ, позволяющих исследовать дисперсию на конкретной ветви с комплексными волновыми векторами. В диссертации такие методы используются для анализа двумерно-периодических металлических проволочных ФК.

Строгий анализ метаматериалов, связанный с нахождением действительных и комплексных законов дисперсии, а также определением эффективных материальных параметров, требует решения краевых задач для уравнений электродинамики в двумерных и трехмерных бесконечно протяженных областях. Следовательно, необходимы привлечение и разработка специальных

методов численного моделирования задач математической физики в неограниченных пространственных областях, в частности, методов, основанных на использовании интегральных уравнений и функций Грина и позволяющих свести моделирование дисперсионных характеристик к численному решению дисперсионного уравнения (ДУ). В свою очередь, корпи ДУ требуется находить в достаточно широком частотном диапазоне (теоретически - на полубесконечной вещественной оси частот). Для каждого фиксированного значения характерной частоты вычисление значения левой части ДУ аналогично численному решению линейных интегральных уравнений, к которым сводится краевая задача для векторных уравнений Гельмгольца в неограниченной двумерной или трехмерной пространственной области. Таким образом, данный класс математических моделей и методов их численного анализа обладает значительным ресурсом параллелизма на двух уровнях - с одной стороны, поиск корней дисперсионного уравнения в разных частотных диапазонах может выполняться независимо, то есть параллельно, а с другой стороны, может быть распараллелено решение линейных интегральных уравнений. Следовательно, требуется разработка параллельных алгоритмов, которые в полной мере используют ресурсы параллелизма, свойственные математическим моделям метаматериалов и методам их численного анализа. Перспективным является реализация данных параллельных алгоритмов в виде комплексов программ для выполнения расчетов на высокопроизводительных вычислительных системах под управлением технологий параллельных вычислений (Message Passing Interface и Open Calculation Language).

Все отмеченное выше определяет актуальность темы диссертации и рассматриваемых в ней вопросов, которые включают разработку адекватных исследуемым структурам математических моделей электродинамического уров-

ия разной сложности, численных методов, алгоритмов и комплексов программ.

Целью диссертационной работы является выявление закономерностей распространения электромагнитных волн в гиперболических метаматериалах путем численного моделирования с применением распараллеливания алгоритмов, а также разработка программного комплекса для расчета дисперсионных характеристик метаматериалов.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие основные задачи:

• Построение математических моделей распространения электромагнитных волн в одномерно-периодических структурах: замедляющей системе с диэлектрической металлизированной гребенкой и пленочных металло-диэлектрических фотонных кристаллах; проведение вычислительных экспериментов, анализ электродинамических свойств.

• Построение математических моделей распространения электромагнитных волн в двумерно-периодических металлических фотонных кристаллах с включениями в виде бесконечно протяженных параллельных проволочек, проведение вычислительных экспериментов, анализ электродинамических свойств.

• Построение математических моделей распространения электромагнитных волн в трехмерно-периодических фотонных кристаллах с металлическими проволочными включениями в виде непересекающихся параллельных стержней и колец, а также с металло-диэлектрическими кубическими включениями; проведение вычислительных экспериментов, анализ электродинамических свойств.

• Разработка параллельного алгоритма расчета дисперсионных характеристик метаматериалов и его реализация в виде программного комплекса.

Методы исследования. Методами исследования в работе являются математическое моделирование на основе интегральных уравнений электродинамики, проекционные и итерационные методы их решения, а также методы сшивания полей.

Научная новизна работы:

• Предложены новые математические модели для стержневых и кольцевых металлических проволочных фотонных кристаллов, отличающиеся тонкопроволочным приближением. Согласно данным моделям, по проволочкам протекает азимутально-независимый линейный ток, что позволяет решать интегральное уравнение лишь для компонент электрического поля, ориентированных вдоль контуров проволочек.

• На основе численного решения дисперсионного уравнения получена зависимость компоненты тензора эффективной диэлектрической проницаемости от частоты и волнового вектора для металлических фотонных кристаллов с включениями в виде стержней конечной и бесконечной длины. Для структур со стержнями бесконечной длины получена численная оценка уровня низкочастотной отсечки, ниже которого данная компонента принимает отрицательные значения. В центре диаграммы Бриллюэна наблюдается неполная запрещенная зона, границы которой смыкаются в области точки М.

• На основе численного моделирования показано, что металлические проволочные фотонные кристаллы с конечными стержнями в кубической решетке с периодом а обладают полной запрещенной зоной для волн с нормированной продольной компонентой волнового вектора менее тт

при длине стержней I = 0.7а и радиусе г = 0.05а. Для кольцевых проволочных структур наблюдается неполная запрещенная зона и, соответственно, достижение одновременно отрицательных величин диэлектрической и магнитной проницаемостей на структурах из стержней и колец является проблематичным.

Получены дисперсионные характеристики для двумерно-периодических наноразмерных диссипативных стержневых фотонных кристаллов с учетом плазменных свойств металла. Показано, что подобные структуры имеют малые потери и слабую дисперсию для волн, распространяющихся вдоль стержней вплоть до инфракрасного диапазона. Исследована замедляющая система с одномерно-периодической диэлектрической металлизированной гребенкой и показано, что данная структура обладает близким к линейному законом дисперсии и почти постоянным замедлением в широкой полосе частот. При этом величина замедления увеличивается при уменьшении ширины и увеличении глубины гребней.

Исследованы одномерные паноразмерные структуры с металлическими и диэлектрическими пленками как фильтрующие элементы с учетом частотных свойств металлов. Показано, что такие структуры могут служить основой при создании тепловых электромагнитных экранов, пропускающих видимый свет.

Исследованы обладающие потерями металлические фотонные кристаллы из прямоугольных параллелепипедов в кубической решетке и показано, что для достижения фильтрующих свойств в области высоких частот следует использовать сильно разреженные структуры с наноразмерными включениями.

• Предложен новый метод решения дисперсионного уравнения, основанный на анализе скорости изменения значений целевой функции и позволяющий определять корни различных дисперсионных ветвей.

• На основе метода интегральных уравнений создан параллельный алгоритм расчета дисперсионных характеристик метаматериалов и разработана его реализация в виде программного комплекса для выполнения расчетов на параллельных вычислительных системах с поддержкой технологий Message Passing Interface и Open Calculation Language.

Научная и прикладная значимость. Научной значимостью обладают разработанные математические модели гиперболических метаматериалов и замедляющих структур, а также результаты расчета электродинамических характеристик на основе данных моделей, существенно дополняющие представления о физике распространения электромапппных волн в искусственно созданных средах. В прикладном аспекте результаты работы представляют существенный интерес для проектирования и расчета устройств на основе метаматериалов, включая управляемые структуры, линзы, резонаторы, фильтры и линии передач.

Отдельный практический интерес представляют следующие результаты:

• Предложена структура тепловых электромагнитных экранов, прозрачных в оптическом диапазоне, на основе одномерно-периодических нано-размерных мегалло-диэлекгрических пленочных фотонных кристаллов.

• Рассчитаны электродинамические характеристики направляющей структуры в диапазоне от СВЧ до оптического на основе двумерно-периодических металлических фотонных кристаллов.

• Предложена структура замедляющей системы для ламп бегущей волны, обеспечивающая почти постоянное замедление в широком частотном

диапазоне, на основе одномерно-периодической диэлектрической металлизированной гребенки.

• Предложен метод решения дисперсионного уравнения при наличии полюсов, позволяющий определять корни различных дисперсионных ветвей.

• Разработан программный комплекс для расчета дисперсионных характеристик метаматериалов, поддерживающий высокопроизводительные параллельные вычислительные системы.

Достоверность результатов. Достоверность результатов работы основана на использовании строгих электродинамических моделей анализа, в основе которых лежат уравнения Максвелла, сходимости применяемых алгоритмов и удовлетворительных результатах расчета невязки граничных условий. Достоверность части численных результатов подтверждена их совпадением и сравнением с аналогичными как теоретическими, так и экспериментальными результатами других авторов.

Положения и результаты, выносимые на защиту:

1. В двумерно-периодическом металлическом фотонном кристалле из тонких бесконечно протяженных параллельных идеально проводящих стержней существует низкочастотная отсечка, ниже которой такая структура ведет себя как гиперболический материал с одной продольной отрицательной компонентой диагонального тензора эффективной диэлектрической проницаемости.

2. В трехмерно-периодическом металлическом фотонном кристалле из тонких параллельных идеально проводящих стержней конечной длины существует полная запрещенная зона, которая исчезает при стремлении нормированной продольной компоненты волнового вектора к 7Г. При пе-

реходе с нижней дисперсионной ветви прямой волны на верхнюю частотная дисперсия такого метаматериала соответствует модели Лоренца среды с осцилляторами.

3. Трехмерно-периодические металлические фотонные кристаллы с включениями из тонкопроволочных идеально проводящих колец обладают неполной запрещенной зоной для волновых векторов, параллельных плоскостям колец.

4. Разработанный программный комплекс с модульной структурой, основанный на параллельном алгоритме решения дисперсионного уравнения и поддерживающий технологии высокопроизводительных параллельных вычислений Message Passing Interface и Open Calculation Language, позволяет получать дисперсионные характеристики одномерных, двумерных и трехмерных метаматериалов, обеспечивает масштабируемость по числу выполняющих устройств и обладает возможностями расширения функционала.

Апробация результатов работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на следующих международных школах, конференциях и семинарах: 15-ая, 16-ая и 17-ая международные школы-конференции но оптике, лазерной физике и биофизике «Saratov Fall Meeting», Саратов 2011-2013; семинары IEEE отделения Саратов-Пенза 2011-2013; 15-ая международная зимняя школа-семинар по электронике сверхвысоких частот и радиофизике, Саратов 2012; 22-ая и 23-ая международные конференции «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» (КрыМиКо'2012-2013); международная конференция «Компьютерные науки и информационные технологии», Саратов 2012; международная конференция «Излучение и рассеяние электромагнитных волн» (ИРЭМВ-2011).

Публикации. По теме диссертации было опубликовано 14 печатных работ, в том числе 7 статей в рецензируемых российских журналах, рекомендованных ВАК, и 7 статей в сборниках международных и российских конференций. Получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Личный вклад автора. Лично автором разработаны все программы, произведена основная часть расчетов и интерпретирована значительная часть полученных в работе результатов. Постановка задач и разработка алгоритмов проводилась совместно с научными руководителями.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 125 страницах машинописного текста, содержит 34 рисунка, 4 таблицы и список литературы из 122 наименований.

1. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В МЕТАМАТЕРИАЛАХ

В настоящее время существует множество методов численного моделирования распространения электромагнитных воли в метаматериалах. В данной главе приведен сравнительный анализ наиболее распространенных методов, среди которых метод Корринги-Кона-Ростокера, метод плоских волн, метод матриц передачи, метод конечных разностей во временной области и метод интегральных уравнений. Для каждого метода выделены достоинства и недостатки, а так же определена оптимальная область применения.

1.1. Метод Корринги-Кона-Ростокера

Метод Корринги-Кона-Ростокера представляет собой процедуру, используемую в физике твердого тела и адаптированную для расчета фотонных кристаллов [58-64]. В данном методе кристалл анализируется совокупностью центров рассеивания, при этом волновые функции представляются в виде сферических волн.

Основная идея заключается в том, что зонная структура в периодической решетке рассеивагелей определяется двумя факторами [60]: как волна рассеивается отдельным элементом и как эти элементы расположены в решетке. Рассеивание от одного элемента определяется фазовым сдвигом соответствующей матрицы, в то время как распределение рассеивателей объединяется в структурный множитель.

Пусть имеется трехмерная периодическая структура. Согласно теореме Блоха, распространение волны Ф в такой структуре характеризуется волно-

вым вектором к [61,62]. При этом для любого направления г:

^(г + г.,) = т/>(г)е'кг\

где гА. - вектор трансляции периодической решетки. Данная волновая функция должна удовлетворять уравнению Гельмгольца

(V2 + к1)ф(г) = 0.

где А;о - волновое число.

Функция Грина (ФГ) С удовлетворяет уравнению Гельмгольца в периодической системе

(V2 + к*)С(г. р) = - г, - р)е'к'\

р

где г - кординаты точки наблюдения, р - координаты точки источника, с = 27т или 1 для массива из цилиндров и сфер соответственно. ФГ соответствует условиям квазипериодичности, исходя из

С(г + гч, р) = еук1%С(г. р). Г;(г.р + гА.) = е";кг^(г,р).

Зонная структура определяется из уравнения

сЫ\ 1 - Ь(к)д(кц, к)] - 0.

где t - матрица рассеивания одного элемента периодической решетки, д - матрица постоянных структуры.

Данный метод позволяет рассчитывать как диэлектрические, так и металлические структуры. Из преимуществ данного метода можно отметить то, что

большая часть вычислений связана с конкретной геометрий структуры и должна быть вычислена всего лишь раз для всей зонной диаграммы. Данный подход ведет к компактным и быстросходящимся вычислительным процедурам, по сравнению, например, с методом плоских волн. С другой стороны применение данных методов ограничено случаями со сферическими и цилиндрическими включениями, обладающими постоянной диэлектрической проницаемостью (ДП). Данный метод нельзя применять в структурах с комплексной ДП, а также в структурах с дефектами.

Функция Грина рассчитывается с помощью техники вариационно-итерационных вычислений. Возможен вариант расчета и в виде периодической суммы с помощью быстросходящегося метода Неймана - метод Ре-лея [65-68]. Данный метод позволяет рассчитывать структуры с дефектами, а также с комплексной ДП.

1.2. Метод плоских волн

По сравнению с предыдущим методом, метод плоских волн является более универсальным и легким для программирования, что способствовало его широкому распространению [26,69-74]. Хотя в общем случае этот метод сходится медленнее, возникают ситуации, когда сходимость достаточно быстрая [74]. Данный метод работает в пространстве Фурье. Определим

к = XI/С 1 + Х2/С2, как двухмерный волновой вектор и

С (/г) = /г-! Ъх + /г2Ь2.

как вектор обратной решетки в пространстве Фурье. Далее разложим вектор электрического поля следующим образом:

в

где _ коэффициенты Фурье. Так же определим инверсированную диэлектрическую постоянную

где е(г) - периодическая функция в физическом пространстве, удовлетворяющая условию с (г) = £-(г 4- г4), а ко - коэффициенты Фурье.

Теперь подставляем (1.1) и (1.2) в уравнения Максвелла и получаем уравнение на собственное значение матрицы

Решаем данное уравнение, из которого определяем частоту, а так же коэффициенты разложения поля.

Данный метод является наиболее подходящим для расчета структур со сферическими и цилиндрическими включениями. При расчете структур другого вида требуется учитывать большее количество плоских волн, что увеличивает время вычислений.

Из недостатков данного метода можно отметить отсутствие учета поверхностных токов на включениях при расчете металлических структур, что позволяет использовать данный метод лишь в тех частотах, где металл ведет себя как диэлектрик и пропускает поле внутрь [70].

Е{т) = ]ГБсеу(к+с)г.

(1.1)

(1.2)

с

1.3. Метод матриц передачи

Пендри и МакКиннон в 1992 году разработали метод матриц передачи для изучения электромагнитных кристаллов [75], который затем был рассмотрен в множестве работ [76-78]. В данном методе система делится на ячейки, и поле в каждой такой ячейке представляет собой комбинацию полей в соседних ячейках. Таким образом, может быть определена матрица передачи, которая связывает поля на противоположных сторонах структуры.

Запишем уравнения Максвелла:

В пространстве (к. си) получаем

к х Е = шВ, к х Н = -<Л).

Далее выражаем БиВ через Е и Н и подставляем в (1.3) и (1.4). Получаем следующие уравнения, записанные в матричном виде:

(1.3)

(1.4)

х у г

Я,.х

А'.,- ки к. =^[1 Ни у Ел. Ей Е~ НЛ

(1.5)

Я-г

х у г

кг ку к: - Еду

я,. Ну Н2 ЕЛ

(1.6)

Из (1.5) и (1.6) получаем

— (к:гЕ„-куЕг) = Нг. (1.7)

С011

кцН: - кгНу = -иеЕ.г. (1.8)

Далее подставляем (1.7) в (1.8):

-к;Н„ = -и>еЕх. (1.9)

ку

1

(А-,Л, — кпЕ,-

Ы/1

Проведя замену II = получаем

= ^¿[{]акл)Е1] _ (3акц)Ех\ - е,Ег.

В случае простой кубической решетки мы можем определить поля с помощью векторов а, Ь, с длины а в направлении х0, уо, соответственно. Переходя обратно в пространство (гЛ), получаем выражения электрического и магнитного полей без г-компоненты:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шиловский, Павел Александрович, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Smith D. R., Schurig D. Electromagnetic wave propagation in media with indefinite permittivity and permeability tensors // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 90, No. 7. P. 077405.

2. B W media - media with negative parameters, capable of supporting backward waves / I. V. Lindell, S. A. Tretyakov, K. I. Nikoskinen et al. // Microwave and Optical Technology Letters. 2001. Vol. 31, No. 2. P. 129-133.

3. Hyperbolic metamaterials / A. Poddubny, I. Iorsh, P. Belov et al. // Nature Photonics. 2013. Vol. 7. P. 948-957.

4. Focus issue: hyperbolic metamaterials / M. Noginov, M. Lapine, V. Podolskiy et al. // Optics Express. 2013. Vol. 21. P. 14895-14897.

5. Jacob Z., Smolyaninov I., Narimanov E. Broadband Purcell effect: radiative decay engineering with metamaterials // Appl. Phys. Lett. 2012. Vol. 100. P. 181105.

6. Jacob Z., Alekseyev L. V., Narimanov E. Optical Hyperlens: Far-field imaging beyond the diffraction limit // Opt. Lett. 2006. Vol. 14, No. 18. P. 8247-8256.

7. Biehs S. A., Tschikin M., Ben-Abdallah P. Hyperbolic metamaterials as an analog of a blackbody in the near field // Phys. Rev. Lett. 2012. Vol. 109. P. 104301.

8. Smolyaninov I. I., Hung Y.-J., Hwang E. Experimental modeling of cosmo-logical inflation with metamaterials // Physics Letters A. 2012. Vol. 376. P. 2575-2579.

9. Левин Л. Современная теория волноводов. М.: Изд-во иностранной литературы, 1954. 216 с.

10. Левин Л. Теория волноводов. М.: Радио и связь, 1981. 312 с.

11. Мандельштам Л. И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механики. М.: Наука, 1972. 440 с.

12. Сивухин Д. В. Об энергии электромагнитного поля в диспергирующих средах // Оптика и спектроскопия. 1957. Т. 3, № 4. С. 308-312.

13. Пафомов В. Е. К вопросу о переходном излучении и излучении Вавилова-Черенкова // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1959. Т. 36. С. 1853-1858.

14. Силин Р. А. Волноводные свойства двумерно периодических замедляющих систем // Вопросы радиоэлектроники. Сер. 1. Электроника. 1959. С. 11-33.

15. Веселаго В. Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и ¡.i II Успехи физических наук. 1967. Т. 92, № 7. С. 517-526.

16. Yablonovich Е. Photonic band structures: the face-centered-cubic case employing nonspherical atoms // Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 67, No. 17. P. 22952298.

17. 3-dimensional photonic band structure / E. Yablonovitch, T. J. Gmitter, К. M. Leung et al. // Optical and Quantum Electronics. 1992. Vol. 24, No. 2. P. S273-S283.

18. Joannopoulos J. D., Villeneuve P. R., Fan S. Photonic crystals: Putting a new twist on light//Nature. 1997. Vol. 386. P. 143-149.

19. Joannopoulos J. D. Photonics: Minding the gap // Nature. 1995. Vol. 375, No. 6529. P. 278.

20. Extremely low frequency plasmons in metallic mesostructures / J. B. Pendry, A. J. Holden, W. J. Stewart et al. // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76. P. 47734776.

21. Low frequency plasmons in thin-wire structures / J. B. Pendry, A. J. Flolden, D. J. Robbins et al. // J. Phys.; Condens. Matter. 1998. Vol. 10. P. 4785-4809.

22. Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity / D. R. Smith, W. J. Padilla, D. C. Vier et al. // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84, No. 18. P. 4184-4187.

23. Pendry J. B. Negative refraction makes a perfect lens // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85. P. 3966-3969.

24. Smith D. R., Pendry J. B., Wiltshire M. C. K. Metamaterials and negative refractive index // Science. 2004. Vol. 305. P. 788-792.

25. Pendry J. B., Schurig D., Smith D. R. Controlling electromagnetic fields // Science. 2006. Vol. 23. P. 1780-1782.

26. Photonic bands of metallic systems. I. Principle of calculation and accuracy / K. Sakoda, N. Kawai, T. Ito et al. // Phys. Rev. B. 2001. Vol. 64. P. 045116.

27. Sakoda K., Zhou I I. Analytical study of two-dimensional degenerate metamaterial antennas//Optics Express. 2011. Vol. 19, No. 15. P. 13899-13921.

28. Sakoda К. Dirac cone in two- and three-dimensional metamaterials // Optics Express. 2012. Vol. 20, No. 4. P. 3898-3917.

29. Sakoda K. Proof of the universality of mode symmetries in creating photonic Dirac cones // Optics Express. 2012. Vol. 20, No. 22. P. 25181-25194.

30. Lindell I. V. Image theory for a vertical dipole above Veselago medium half space // Microwave and Optical Technology Letters. 2005. Vol. 44, No. 2. P. 185-190.

31. Lindell I. V., Sihvola A. H. Negative-definite media, a class of bi-anisotropic metamaterials // Microwave and Optical Technology Letters. 2006. Vol. 48, No. 3. P. 602-608.

32. Lindell I. V., Sihvola A. Electromagnetic boundary condition and its realization with anisotropic metamaterial // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 79, No. 2. P. 026604.

33. Grounded uniaxial material slabs as magnetic conductors / O. Luukkonen, C. R. Simovski, et al. // Progress In Electromagnetics Research B. 2009. Vol. 15. P. 267-283.

34. Симовский К. P., Третьяков С. A., Viitanen A. J. Субволновое изображение в сверхлинзе плазмонных наносфер // Письма в журнал технической физики. 2007. Т. 33. С. 76-82.

35. Effects of spatial dispersion on reflection from Mushroom-type artificial impedance surfaces / O. Luukkonen, M. G. Silveirinha, A. B. Yakovlev et al. // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2009. Vol. 57, No. 11. P. 2692-2699.

36. Artificial magnetic materials based on the new magnetic particle: meta-solenoid / S. Maslovski, P. Ikonen, I. Kolmakov et al. // Progress In Electromagnetics Research. 2005. Vol. 54. P. 61-81.

37. Tretyakov S. A. Electromagnetic field energy density in artificial microwave materials with strong dispersion and loss // Physics Letters A. 2005. Vol. 343. P. 231-237.

38. Electromagnetic cloaking with canonical spiral inclusions / K. Guven, E. Saenz, R. Gonzalo et al. // New Journal of Physics. 2008. Vol. 10. P. 115037.

39. Tretyakov S. A., Maslovski S. I. Veselago metamaterials: What is possible and impossible about the dispersion of the constitutive parameters // IEEE Antennas and Propagation Magazine. 2008. Vol. 49, No. 1. P. 37-43.

40. Nefedov I. S., Viitanen A. J. Guided waves in uniaxial wire medium slab // Progress In Electromagnetics Research. 2005. Vol. 51. P. 167-185.

41. Nefedov I. S., Viitanen A. J., Tretyakov S. A. Propagating and evanesccnt modes in two-dimensional wire media // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 71. P. 046612.

42. Nefedov I. S., Tarot A. C., Abdouni W. Novel metamaterial: Magnetized ferrite-wire medium // Loughborough Antennas and Propagation Conference. Loughborough, UK., 2007. P. 189-192.

43. Nefedov I., de Falcon J. L. M., Tretyakov S. Beam splitter based on wire media // Proceedings of Metamaterials. Pamplona, Spain, 2008. P. 407-409.

44. Nikitov S. A., Filimonov Y. A., Tailhades P. Magneto-photonic and magnonic crystals based on ferrite films - new types of magnetic functional materials // Advances in Science and Technology. 2006. Vol. 45. P. 1355-1363.

45. Review of phononic crystals, devices and prospects / S. A. Nikitov, Y. V. Gu-laev, I. G. Grigorevsky et al. // Abstracts of IEEE Ultrasonics Symposium. New York. 2012. P. 28-31.

46. Гуляев Ю. В., Лагарьков A. H., Никигов С. А. Метаматериалы: фундаментальные исследования и перспективы применения // Вестник РАН. 2008. Т. 78, № 5. С. 438-457.

47. Imaging by a system of parallel conducting wires that imitates a metamaterial / G. A. Fedorov, A. P. Vinogradov, A. V. Dorofeenko et al. // Journal of Communications Technology and Electronics. 2006. Vol. 51, No. 7. P. 780787.

48. Виноградов А. П., Дорофеенко А. В., Зухди С. К вопросу об эффективных параметрах метаматериалов // Успехи физических наук. 2008. Т. 178, № 5. С. 511-518.

49. Прохождение света через композитные материалы, содержащие усиливающие слои / А. В. Дорофеенко, А. А. Зябловски, А. А. Пухов [и др.] // Успехи физических наук. 2012. Т. 182, № 11. С. 1157-1175.

50. Belov P. A., Tretyakov S. A., Viitanen A. J. Dispersion artificial lattices and properties reflection media formed by regular of idealy conducting wires // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 2002. Vol. 16, No. 8. P. 1153-1170.

51. Belov P. A., Simovski C. R., Tretyakov S. A. Two-dimensional electromagnetic crystals formed by reactively loaded wires // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 66. P. 036610.

52. Belov P. A. Backward waves and negative refraction in uniaxial dielectric with negative dielectric permittivity along the anisotropy axis // Microwave and Optical Technology Letters. 2003. Vol. 37, No. 4. P. 259-263.

53. Belov P. A. Experimental demonstration of subwavelength field channeling at microwave frequencies using a capacitively loaded wire medium // Phys. Rev. B. 2006. Vol. 73. P. 073102.

54. Belov P. A., Hao Y., Sudhakaran S. Subwavelength microwave imaging using an array of parallel conducting wires as a lens // Phys. Rev. B. 2006. Vol. 73. P. 033108.

55. Банков С. E. Собственные волны волновода в двумерном фотонном кристалле из металлических цилиндров // Радиотехника и электроника. 2006. Т. 51, № 5. С. 533-542.

56. Банков С. Е., Дупленкова М. Д. Численное исследование СВЧ волновод-ных элементов на основе EBG структуры // Журнал радиоэлектроники. 2009. №4. http: //jre. cplire. ru/jre/apr09/4/text. html.

57. Банков С. E. Электромагнитные кристаллы. M.: Физматлит, 2010. 352 с.

58. Kohn W., Rostoker N. Solution of the Schrodinger equation in periodic lattices with an application to metallic lithium // Phys. Rev. 1954. Vol. 94. P. 11111120.

59. Moroz A. Inward and outward integral equations and the KKR method for photons//J. Phys.: Condens. Matter. 1994. Vol. 6. P. 172-182.

60. Zhang W., Chan C. T., Sheng P. Multiple scattering theory and its application to photonic band gap systems consisting of coated spheres // J. Opt. Soc. Am. 2001. Vol. 8, No. 3. P. 203-208.

61. Moroz A. Photonic crystals with small metal inclusions // Proceedings of SPIE, Photonics, Devices, and Systems II. 2003. Vol. 5036. P. 407^12.

62. Van der Lem H., Tip A., Moroz A. Band structure of absorptive two-dimensional photonic crystals // J. Opt. Soc. Am. B. 2003. Vol. 20, No. 6. P. 1334-1341.

63. Korringa J. On the calculation of the energy of a bloch wave in a metal // Physica. 1947. Vol. 13. P. 392-400.

64. Modinos A., et al. Applications of the layer-KKR method to photonic crysals//Optics Express. 2001. Vol. 8. P. 197-202.

65. Nicorovici N. A., McPhedran R. C. Lattice sums for off-axis electromagnetic scattering by grating // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50, No. 4. P. 3143-3160.

66. Chin S. K., Nicorovici N. A., McPhedran R. C. Green's function and lattice sums for electromagnetic scattering by a square array of cylinders // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49, No. 5. P. 4590-4606.

67. Nicorovici N. A., McPhedran R. C. Propagation of electromagnetic waves in periodic lattices of spheres: Green's function and lattice sums // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51, No. 1. P. 690-702.

68. Nicorovici N. A., McPhedran R. C., Botten L. C. Photonic band gaps for arrays of perfectly conducting cylinders // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 52, No. 1. P. 1135-1145.

69. Kuzmiak V., Maradudin A. A., Pinsemin F. Photonic band structures of two-dimensional systems containing metallic components // Phys. Rev. B. 1994. Vol. 50. P. 16835-16844.

70. Low K. L., Jafri M. Z. ML, Khan S. A. Band gap calculation using the plane wave expansion method for metallic substrate photonic crystals (PC) with air rods in E polarizing mode // Chinese Journal of Physics. 2009. Vol. 47, No. 6. P. 853-861.

71. Ho K. M., Chan C. T., Soukoulis C. M. Existence of a photonic gap in periodic dielectric structures // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 65. P. 3152-3155.

72. Li Z. Y., Wang J., Gu B. Y. Creation of partial band gaps in anisotropic photonic-band-gap structures // Phys. Rev. B. 1998. Vol. 58. P. 3721-3729.

73. Johnson S. G., Joannopoulos J. D. Block-iterative frequency-domain methods for Maxwell's equations in a planewave basis // Optics Express. 2001. Vol. 8. P. 173-190.

74. Leung K. M., Liu Y. F. Photon band structures: The plane-wave method // Phys. Rev. B. 1990. Vol.41. P. 10188-10190.

75. Pendry J. B., MacKinnon A. Calculation of photon dispersion relations // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 69. P. 2772-2775.

76. Pendry J. B. Photonic band structures // Journal of Modern Optics. 1994. Vol. 41. P. 209-229.

77. Photonic band gaps and defects in two dimensions: Studies of the transmission coefficient / M. Sigalas, С. M. Soukoulis, E. N. Economou et al. // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 48, No. 19. P. 14121-14126.

78. Eghlidi M. H., Mehrany K., Rashidian B. Improved differential-transfermatrix method for inhomogeneous one-dimensional photonic crystals // J. Opt. Soc. Am. B. 2006. Vol. 23, No. 7. P. 1451-1459.

79. Фельдштейн A. P., Явич Л. P. Синтез четырехполюсников и восьмиполюсников на СВЧ. М.: Связь, 1971. 388 с.

80. Yee К. S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwells equations in isotropic media // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1966. No. 3. P. 302-307.

81. Hao Y., Mittra R. FDTD modeling of metamaterials. Theory and applications. Artech House, 2009. 379 p.

82. Taflove A., Hagness S. Computational Electrodynamics. The finite-difference time-domain method. Artech House, 2005. 1038 p.

83. Mur G. Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic field equations // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. 1981. Vol. 23. P. 377-382.

84. Roden J. A., Gedeney S. D. Convolutional PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbitrary media // Microwave and Optical Technology Letters. 2000. No. 27. P. 334-339.

85. Kunz K., Luebbers R. The finite difference time domain method for electromagnetics. CRC Press, New York, 1993. 464 p.

86. Ziolkowski R. W., Tanaka M. Finite-difference time-domain modeling of dispersive-material photonic bandgap structures // J. Opt. Soc. Am. A. 1999. Vol. 16. P. 930-940.

87. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.: Энергия, 1967. 191 с.

88. Давидович М. В. Фотонные кристаллы: функции Грина, интегро-дифференциальные уравнения, результаты моделирования // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2006. Т. 49, № 2. С. 150-163.

89. Давидович М. В. Математическое моделирование конфигурационно сложных структур электродинамики: многомерные интегральные уравнения и операторы. Дис. д-ра физ.-мат. наук.: 05.13.16. Саратов, 2000. 480 с.

90. Давидович М. В. Фотонные кристаллы: функции Грина, интегродиффе-ренциальные уравнения, результаты. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2005. 40 с.

91. Давидович М. В., Стефюк Ю. В., Шиловский П. А. Металлические проволочные фотонные кристаллы. Анализ электрофизических свойств // Журнал технической физики. 2012. Т. 82, № 3. С. 7-14.

92. Бушуев Н. А., Давидович М. В., Шиловский П. А. Перспективные замедляющие системы терагерцового диапазона для ЛБВ // Известия Саратовского Государственного Университета. Новая серия. Сер. Физика. 2012. Т. 12, № 2. С. 64-75.

93. Давидович М. В., Шиловский П. А. Метаматериалы с диэлектрическими и металлическими включениями в кубическую решетку // Журнал технической физики. 2013. Т. 83, № 8. С. 90-97.

94. Электромагнитные экраны инфракрасного диапазона на основе нанораз-мерных слоев металла, Si02 и SiO / М. В. Давидович, Р. К. Яфаров, Д. М. Доронин [и др.] // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2012. Т. 15, №2. С. 19-21.

95. Материальные параметры металлических проволочных фотонных кристаллов / М. В. Давидович, Ю. В. Стефюк, П. А. Шиловский [и др.] // Излучение и рассеяние электромагнитных волн (ИРЭМВ-2011). Труды конференции. Таганрог: ТРТУ. 2011. С. 246-250.

96. Давидович М. В., Шиловский П. А. Волны и дисперсия в 2-D периодических металлических стержневых структурах // СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии (КрыМиКо'2013). Материалы конференции. Севастополь: Вебер. 2013. С. 887-888.

97. Experimental realization of three-dimensional indefinite cavities at the nanoscale with anomalous scaling laws / X. Yang, J. Yao, J. Rho et al. // Nature Photonics. 2012. Vol. 6. P. 450-454.

98. Nonlocal effective parameters of multilayered metal-dielectric metamaterials / A. V. Chebykin, A. A. Orlov, et al. // Phys. Rev. B. 2012. Vol. 86. P. 115420.

99. Control of absorption with hyperbolic metamaterials / T. U. Tumkur, L. Gu, J. K. Kitur et al. // Appl. Phys. Lett. 2012. Vol. 100. P. 161103.

100. Spontaneous emission enhancement in metal-dielectric metamaterials / 1. Iorsh, A. Puddubny, A. Orlov et al. // Physics Letters A. 2012. Vol. 376. P. 185-187.

101. Optical properties of the metals Al, Co, Cu, Au, Fe, Pb, Ni, Pd, Pt, Ag, Ti, and W in the infrared and far infrared / M. A. Ordal, L. L. Long, R. J. Bell et al. // Applied Optics. 1983. Vol. 22, No. 77. P. 1099-1119.

102. Давидович M. В., Стефюк Ю.В. Нелинейное прохождение электромагнитной волны через слой с квадратичной и дробно-полиномиальной зависимостями диэлектрической проницаемости // Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18, № 3. С. 160-177.

103. Давидович М. В., Стефюк Ю.В. Волны плоскопараллельного волновода типа «канал с многослойными стенками» // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2010. Т. 53, № 1. С. 31-40.

104. Альтшулер Е. Ю., Давидович М. В., Стефюк Ю. В. LM-волны полупроводниково-диэлектрического плоскослоистого волновода с дис-сипативными и активными слоями // Радиотехника и электроника. 2010. Т. 55, № 1. С. 25-32.

105. Aly A., Ismaeel М., Abdel-Rahman Е. Comparative study of the one dimensional dielectric and metallic photonic crystals // Optics and Photonics Journal. 2012. Vol. 2, No. 2. P. 105-112.

106. Ахиезер А. И., Ахиезер И. А. Электромагнетизм и электромагнитные волны. М.: Высшая школа, 1985. С. 720.

107. Электродинамика плазмы / А. И. Ахиезер, И. А. Ахиезер, Р. В. Половин [и др.]. М.: Наука, 1974. 720 с.

108. Номерованная JI. В., Кириллова М. М., Носков М. М. Оптические свойства монокристалла вольфрама // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1971. Т. 60, № 2. С. 336-344.

109. Давидович М. В., Шиловский П. А. Расчет зонных диаграмм металлических проволочных фотонных кристаллов // Журнал технической физики. 2012. Т. 82, № 12. С. 79-83.

110. Давидович М. В., Шиловский П. А. Анализ электрофизических свойств металлических прямоугольных проволочных фотонных кристаллов // Ге-теромагнитная микроэлектроника. 2012. № 13. С. 45-50.

111. Давидович М. В., Шиловский П. А. Электрофизические свойства металлических штыревых и кольцевых проволочных фотонных кристаллов // СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии (КрыМиКо'2012). Материалы конференции. Севастополь: Вебер. 2012. С. 641-643.

112. Davidovich М. V., Stephuk J. V., Shilovsky P. A. Metallic wire photonic crystals: analysis of electrophysical properties // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. No. 10. Saratov University Press, 2011. P. 79-92.

113. Давидович M. В. Регуляризация ядер объемных интегральных уравнений // Проблемы оптической физики. Материалы 10-й Международной школы по оптике, лазерной физике и биофизике. Саратов: Новый ветер, 2007. С. 140-150.

114. Давидович М. В., Шиловский Г1. А., Андрейченко Д. К. Использование технологий параллельных вычислений при моделировании металлических фотонных кристаллов // Известия Саратовского Государственного Университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, № 2. ч. 1. С. 86-90.

115. Давидович М. В., Шиловский П. А., Андрейченко Д. К. Применение технологий параллельных вычислений для решения задачи моделирования металлических фотонных кристаллов // Компьютерные наки и информационные технологии. Материалы конференции. Саратов. 2012. С. 101104.

116. Shilovsky P., Atmakin D., Khvatov I. Using message passing interface technology for solving mathematical physics problems on parallel calculating systems // Presenting Academic Achievements to the World. 2010. P. 125-129.

117. Khvatov I., Atmakin D., Shilovsky P. Python for science computing // Presenting Academic Achievements to the World. 2010. P. 55-58.

118. Шиловский Г1. А. Программа расчета зонных диаграмм фотонных кристаллов // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2014610826 от 17 января 2014 г.

119. Message Passing Interface Forum. MPI: A Message Passing Interface Standard. Version 2.2. http://www.mpi-forum.0rg/d0cs/mpi-2.2/ mpi22-report.pdf. Дата обращения: 14.05.2012.

120. The OpenCl specification. Version 1.2. http://www.khronos.org/ registry/cl/specs/opencl-1.2.pdf. Дата обращения: 14.05.2012.

121. A high-performance portable implementation of the MPI message passing interface standard / W. Gropp, E. Lusk, N. Doss et al. // Parallel Computing. 1996. Vol. 22, No. 6. P. 789-828.

122. Яфаров P. К. Получение наноалмазных композиционных материалов в плазме // Журнал технической физики. 2006. Т. 76, № 1. С. 42-48.