Электродинамическая стабилизация искусственного спутника Земли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Антипов, Кирилл Андреевич

• Антипов, Кирилл Андреевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Антипов, Кирилл Андреевич

Оглавление

Стр

Список сокращений

Введение

Глава 1. Магнитное поле Земли: мультипольная структура, математические модели, магнитная индукция

1.1. Системы координат, основные понятия и обозначения

1.2. Дипольная и квадрупольная составляющие геомагнитного потенциала

1.3. Свойства мультипольных тензоров

1.4. Построение слагаемых геомагнитного потенциала высших порядков и вычисление мультипольных тензоров

1.5. Нахождение магнитной индукции МПЗ и алгоритм ее уточнения

для произвольного приближения геомагнитного потенциала

1.6. Градиент вектора магнитной индукции МПЗ

Основные результаты, полученные в главе 1

Глава 2. Математическая модель вращательного движения ИСЗ, взаимодействующего с геомагнитным полем

2.1. Кинематические уравнения

2.2. Динамические уравнения

Основные результаты, полученные в главе 2

Глава 3. О стабилизации ИСЗ в орбитальной системе координат при

помощи момента лоренцевых сил

3.1. Главный момент лоренцевых сил: свойства, особенности и спо-

собы технической реализации

3.2. Закон полу пассивного управления

3.3. Стабилизация ИСЗ в прямом положении равновесия

3.3.1. Орбиты малого наклонения

3.3.2. Орбиты среднего и большого наклонений

3.4. Стабилизация динамически симметричного ИСЗ

3.4.1. Орбиты малого наклонения

3.4.2. Орбиты среднего и большого наклонений

Основные результаты, полученные в главе 3

Глава 4. О стабилизации ИСЗ в орбитальной системе координат при

помощи лоренцева и магнитного моментов

4.1. Выбор закона изменения управляемого магнитного момента

4.2. Стабилизация ИСЗ в прямом положении равновесия

4.2.1. Орбиты малого наклонения

4.2.2. Орбиты среднего и большого наклонений

4.3. Стабилизация динамически симметричного ИСЗ

4.3.1. Орбиты малого наклонения

4.3.2. Орбиты среднего и большого наклонений

Основные результаты, полученные в главе 4

Глава 5. Электродинамическая стабилизация ИСЗ в орбитальной системе координат

5.1. Демпфирующие составляющие управляющих моментов

5.2. Стабилизация ИСЗ в прямом положении равновесия

5.3. Стабилизация динамически симметричного ИСЗ

Основные результаты, полученные в главе 5

Глава 6. Некоторые дополнительные факторы, учитываемые в работе

ЭДСУ

6.1. Об оптимизации ЭДСУ

6.2. Методика электродинамической компенсации постоянно действующего возмущающего момента

6.3. Учет влияния регрессии орбиты ИСЗ

6.3.1. Стабилизация ИСЗ в прямом положении равновесия

Основные результаты, полученные в главе 6

Заключение

Литература

Приложение А. Программа для отыскания компонент мультипольного

тензора: вариант для п = 7

Приложение В. Мультипольные тензоры рангов 1-7

—»

Приложение С. Программа построения вектора В и оценки его компонент

Приложение Б. Октупольная аппроксимация вектора индукции МПЗ

Приложение Е. Аналитические выражения для средних величин

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ГЛОНАСС — глобальная навигационная спутниковая система

ИСЗ — искусственный спутник Земли

МПЗ — магнитное поле Земли

МСУ — магнитная система управления

ППР — прямое положение равновесия

ЭДСУ — электродинамическая система управления

ЭСЗ — электростатическая защита

ЭВМ — электронная вычислительная машина

AIAA — American Institute of Aeronautics and Astronautics

IGRF — International Geomagnetic Reference Field

NASA — National Aeronautics and Space Administration

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электродинамическая стабилизация искусственного спутника Земли»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.

Развитие космодинамики и возникновение в связи с этим новых направлений в науке и технике продолжают вызывать повышенный интерес исследователей к решению задач, тесно примыкающих к классической задаче механики о вращении твердого тела вокруг точки. Одной из таких задач является управление угловым движением искусственного спутника Земли (ИСЗ), т.е. вращательным движением ИСЗ относительно его центра масс. Решение этой актуальной задачи неизбежно сталкивается с необходимостью учета разнообразных по своей природе сил и моментов, действующих на ИСЗ в околоземном пространстве (гравитационных, аэродинамических, электромагнитных и др.). Анализу динамики вращательного движения ИСЗ под действием упомянутых сил посвящены многочисленные работы ряда авторов, в том числе В.В. Белецкого, Г.Н. Дубоши-на, А.П. Коваленко, П.С. Красильникова, Л.И. Кузнецова, Г.В. Ляховки, А.П. Маркеева, Ю.Г. Мартыненко, М.Ю. Овчинникова, Д.Е. Охоцимско-го, К.Г. Петрова, М.Л. Пивоварова, Б.В. Раушенбаха, В.В. Румянцева, Ю.А. Садова, В.В. Сазонова, В.А. Сарычева, A.A. Тихонова, А.П. Тор-жевского, В.Н. Тхая, A.A. Хентова, О.В. Холостовой, Ф.Л. Черноусько, Н.В. Чиковой, A.M. Яншина, J.V. Breakwell, R.C. Flanagan, T.R. Kane, V.J. Modi, R. Pringle Jr., S.K. Shrivastava, R.B. Singh и многих других исследователей, в том числе и автора диссертации.

В зависимости от природы управляющих моментов, воздействующих на угловое движение ИСЗ, способов их реализации, а также и от того, какие требуются при этом устройства, различают активные, пассивные и комбинированные системы управления угловым движением ИСЗ.

Если для создания управляющих моментов требуется расход рабочего

тела или энергии, имеющихся на борту, а для формирования этих моментов требуются логический блок, датчики ориентации и исполнительные органы, то такая система называется активной системой управления. Активные системы управления позволяют создать значительные управляющие моменты, сделав их существенно больше всех остальных (возмущающих) моментов, и, как следствие, снизить требования к точности аппроксимации последних. Кроме того, наличие бортового компьютера позволяет перепрограммировать его в течение полета ИСЗ и внести необходимые коррективы в алгоритмы управления, например по результатам наземных наблюдений за движением ИСЗ. Это позволяет, как отмечает М.Ю. Овчинников [54], несколько снизить требования к точности предварительного математического моделирования динамики ИСЗ и сконцентрировать внимание на точности определения текущей ориентации ИСЗ и реализации алгоритмов и управляющих моментов.

С помощью активной системы можно реализовывать достаточно произвольные и быстрые угловые развороты, а кинетический момент ИСЗ можно изменять практически на произвольную величину. Активные системы управления обеспечивают высокую точность ориентации ИСЗ при высоком быстродействии. В этом заключается их основное достоинство. Известными недостатками активных систем являются: ограниченное время работы, сложность, высокая цена, относительно низкая надежность, обусловленная наличием большого количества составных элементов (датчиков, бортового логического устройства, подвижных элементов и т.д.).

Пассивные системы управления, использующие взаимодействие с внешними полями естественного происхождения, не потребляют рабочее тело и энергию, запасенные на борту ИСЗ, и в этом плане выгодно отличаются от активных систем. При разработке пассивных систем управления, как отмечают М.Ю. Овчинников [54] и В.А. Сарычев [63], прихо-

дится решать две основные проблемы: как создать восстанавливающий и демпфирующий моменты. В настоящее время известны различные способы решения этой проблемы, основанные на использовании геофизических полей (гравитационного и магнитного), силовых факторов околоземного пространства, таких как влияние набегающего потока разреженного газа верхних слоев атмосферы и солнечного излучения, а также на использовании свойства быстро закрученного вокруг оси максимального момента инерции тела сохранять неизменную или почти неизменную ориентацию оси вращения относительно инерциального пространства. Реализация того или иного режима ориентированного движения ИСЗ зависит от того, какие моменты являются превалирующими в своем действии на движение ИСЗ относительно его центра масс.

Однако все известные способы реализации пассивных систем управления ИСЗ обладают общим ограничением, связанным с относительно малыми величинами восстанавливающих и демпфирующих моментов. Это приводит к тому, что область притяжения программного движения в пространстве начальных условий движения невелика.

Кроме того, малость управляющих моментов, используемых в пассивных системах, а также невозможность изменить какие-либо параметры системы управления, если вдруг в процессе полета ИСЗ выяснится, что какие-то факторы не были учтены на этапе разработки, приводит к необходимости достаточно точного математического моделирования движения ИСЗ, учитывающего все основные возмущающие моменты, и тщательного предварительного анализа динамики ИСЗ на основе аналитических исследований и компьютерного моделирования.

Комбинированные системы управления включают в себя как активные, так и пассивные элементы. Активные элементы в этом случае используют либо однократно, например, для предварительного приведения

ИСЗ в окрестность программного движения, либо время от времени. При этом используют такие элементы, которые не требуют большого расхода энергии и сложной системы управления, включающей датчики ориентации. В остальном принципы функционирования пассивных и комбинированных систем управления совпадают.

Если определяющим в проекте является выполнение требований к угловому движению спутника, а не его стоимость, то используют именно активные системы. Однако к настоящему времени, когда коммерческая сторона большинства проектов стала превалирующей в связи с сокращением финансирования космических исследований, сформировался вполне определенный класс ИСЗ — малые спутники, для которых стоимость является основным критерием, и уже исходя из ограниченной стоимости формируется перечень решаемых задач и соответствующий перечень требований к точности и быстродействию системы управления. Для малых ИСЗ достоинства пассивных систем управления являются определяющими, а недостатки — несущественными. В этом случае обычно используются пассивные или комбинированные системы управления [54].

В настоящее время наиболее распространенными типами пассивных систем управления являются гравитационные системы и магнитные системы, использующие соответственно гравитационное и магнитное поля Земли для создания управляющих моментов.

Магнитные системы управления (МСУ), наиболее близкие по своей сути к методу, разработанному в данной диссертации, основаны на формировании управляющего момента путем использования сил взаимодействия магнитного поля Земли (МПЗ) с собственным магнитным полем ИСЗ.

В отличие от гравитационных и других систем управления, упомянутых выше, МСУ позволяют легко изменять управляющие моменты и, следовательно, реализовывать необходимые законы управления, что позволя-

ет обеспечить точную ориентацию ИСЗ. Масса и энергопотребление МСУ незначительны, причем существуют МСУ, не потребляющие энергии. Масса МСУ не зависит от продолжительности ее работы. Таким образом, МСУ просты в конструктивном отношении и имеют высокую надежность. Вследствие этого они особенно полезны на долгофункционирующих ИСЗ — метеорологических, геодезических, связных и некоторых других [38].

К недостаткам МСУ относятся малые эффективность и помехоустойчивость, что объясняется следующими причинами:

1) МСУ имеет значительные габариты, что в ряде случаев вызывает трудности ее размещения на ИСЗ и является причиной определенных неудобств при компоновке.

2) МСУ является мощным источником магнитных полей на борту ИСЗ, в результате чего исполнительные органы МСУ могут оказывать взаимное размагничивающее влияние друг на друга, что ухудшает их рабочие характеристики. Кроме того, сильные магнитные поля на борту ИСЗ могут создавать большие помехи в работе научной аппаратуры, а также, что особенно важно, в работе магнитометрических датчиков, предназначенных для измерения напряженности внешнего магнитного поля, информация которых используется либо в самой МСУ для формирования соответствующих законов управления, либо в системе контроля положения ИСЗ [38]. Существуют некоторые технические решения, способствующие ослаблению сильных магнитных полей внутри ИСЗ, например предлагается с помощью специальных стержней выносить магниты за пределы ИСЗ. Однако это неизбежно приводит к еще большему увеличению габаритов МСУ.

3) МСУ создает малые по величине управляющие моменты. Поэтому при разработке ИСЗ должно быть уделено особое внимание уменьшению возмущений вообще и, в частности, магнитных возмущающих моментов, что связано с необходимостью тщательного анализа возможных конструк-

тивных схем ИСЗ и его компоновки [38].

Кроме перечисленных недостатков, МСУ обладает специфической особенностью, заключающейся в том, что хотя магнитное управление возможно на орбитах с любым наклонением, ИСЗ с МСУ отличаются преимущественно орбитами с большим наклонением. Это объясняется тем, что на орбитах, близких к полярным, напряженность МПЗ больше, что позволяет, в свою очередь, получить большие управляющие моменты.

Из вышеизложенного видно, что в настоящее время проблема обеспечения угловой ориентации ИСЗ является важной и актуальной проблемой космодинамики, а известные подходы к ее решению нуждаются в совершенствовании.

Научная новизна.

Данная диссертационная работа направлена на повышение эффективности управления процессами ориентации и стабилизации ИСЗ путем разработки нового — электродинамического метода управления вращательным движением ИСЗ.

Как показано в работе, принципиально важным для функционирования электродинамической системы управления (ЭДСУ) является наличие взаимодействия ИСЗ с геомагнитным полем посредством лоренцевых сил для создания управляющего момента. Поэтому фундаментальной теоретической базой для исследований, предпринятых в диссертации, является анализ динамики взаимодействия геофизических полей (гравитационного и магнитного) с движущимся в околоземном пространстве твердым телом, обладающим электрическим зарядом. Такие исследования содержатся в работах многих авторов, среди которых следует отметить В.В. Белецкого, Л.И. Кузнецова, В.В. Лунева, Г.В. Ляховку, Ю.Г. Мартыненко, A.A. Тихонова, A.A. Хентова, И.В. Чикову, J.A. Atchison, Е. Bentsik, G. Grioli,

У. Нп-ояЫ, Л.М. Longuski, М.А. Реек, В. З^ееипап, У.А. АЬс1е1-Аг1г.

Само по себе явление электризации космических тел при взаимодействии с окружающей плазмой и электромагнитными излучениями было известно еще до начала космической эры. В 30-х, 40-х годах 20-го века появились первые научные работы, в которых были сформулированы основные теоретические положения, описывающие это явление. Позднее, уже в связи с подготовкой к проведению научных экспериментов с помощью ИСЗ, появился новый цикл теоретических и экспериментальных работ по изучению проблемы электризации космических объектов [1].

В 1961 г. советские ученые В.Г. Курт и В.И. Мороз предсказали возможность отрицательного заряжения ИСЗ до потенциалов 15-20 кВ. Вскоре результаты измерений, выполненных в 70-е годы на геостационарных ИСЗ, подтвердили справедливость сделанных оценок.

Тогда же выяснилось, что разные участки поверхности ИСЗ могут заряжаться неодинаково из-за различных условий воздействия внешних факторов на эти участки, а также из-за различий в электрофизических свойствах находящихся на них материалов. Поскольку поверхность современных ИСЗ на 80 - 90 % покрыта диэлектрическими материалами (термо-регулирующими покрытиями, защитными стеклами солнечных батарей и т. п.), потенциалы различным образом заряженных ее участков не могут выровняться. Происходит так называемое дифференциальное заряжение, при котором между отдельными участками поверхности ИСЗ появляются электрические напряжения. В некоторых случаях возникающие на ИСЗ потенциалы достигают десятков киловольт и могут приводить к электрическим разрядам на поверхности ИСЗ. Электромагнитные помехи, возникающие при разрядах, могут существенно влиять на функционирование ИСЗ. Так, например, на запущенных в 70-х годах первых геостационарных ИСЗ было зафиксировано значительное количество различных неполадок

в работе бортовой аппаратуры непосредственно по указанной причине. В зарубежных работах [83, 111, 113] также отмечается, что электрические разряды на поверхности ИСЗ могут создавать помехи для радиосвязи и вызывать ложные срабатывания в бортовых микросхемах.

Тогда же, в 1970-х годах, параллельно с разработкой методов борьбы с высоковольтным дифференциальным заряжением ИСЗ, среди советских ученых возникло предложение обратить нежелательное явление во благо, а именно использовать высоковольтный заряд ИСЗ для защиты от ионизирующих космических излучений. Возникновению этой идеи способствовало осознание того, что проблема обеспечения радиационной безопасности космических полетов стала второй (после невесомости) причиной, сдерживающей продвижение человека в космос [30], [34]. Назрела необходимость совершенствования существующих и разработки новых подходов к решению задачи обеспечения радиационной защиты обитаемых отсеков и бортовой аппаратуры ИСЗ от вредного воздействия галактических космических лучей, излучений радиационных поясов Земли, хромосферных вспышек на Солнце и т.п. [26], [40]. Одним из таких подходов является создание систем радиационной защиты так называемой активной формы, опирающейся на способность электростатических и магнитных полей изменять направления движений заряженных частиц и отклонять их от поверхности ИСЗ [26], [36]. Как показывают теоретические и экспериментальные разработки, эти системы выгодно отличаются от традиционно применяемых на практике систем пассивной радиационной защиты, основанной на использовании поглощающих свойств материалов. Активная защита обеспечивает значительно большую кратность ослабления излучения на единицу массы и поэтому позволяет существенно уменьшить общий вес ИСЗ, исключительно эффективна для защиты больших объемов, дает значительно более низкий уровень генерации вторичного излучения и обладает целым рядом других

преимуществ [26, 30, 36, 40, 61, 76, 94, 96].

Одним из наиболее перспективных способов реализации активной радиационной защиты является создание систем электростатической защиты (ЭСЗ), основанной на использовании электростатически заряженного экрана, покрывающего защищаемый объем, обладающего определенным потенциалом относительно окружающей его среды и отклоняющего падающие потоки заряженных частиц от своей поверхности.

Теоретические разработки и результаты экспериментальных исследований, проведенных в космическом пространстве на биоспутниках "Космос" - 605, 690, 782, 936, 1129, 1887, 2044, 2229 и на станциях системы "Прогноз" [37, 61, 84, 95, 77], доказали возможность практической реализации достаточно эффективной ЭСЗ при современном уровне развития высоковольтной техники. При этом оказалось, что удельная потребляемая ЭСЗ мощность составляет незначительную часть от энергоресурсов ИСЗ. Более того, результаты эксперимента, проведенного на биоспутнике "Космос" -936, подтвердили возможность работы ЭСЗ в режиме самозарядки [35]. В работах зарубежных исследователей также отмечается, что в результате электризации ИСЗ может приобретать потенциал порядка 104 В. Так, например, в зоне полярных сияний выпадение заряженных частиц приводит к электростатическому заряду геосинхронных ИСЗ до —20 кВ [98]. Это свидетельствует о высокой надежности систем ЭСЗ.

При движении ИСЗ, снабженного экраном ЭСЗ, по околоземной орбите, в результате взаимодействия электрического заряда экрана с МПЗ возникают дополнительно действующие на ИСЗ силы — силы Лоренца [44]. В связи с этим возникает необходимость изучения электродинамических эффектов влияния заряда ИСЗ как на орбитальное, так и на вращательное движение ИСЗ относительно его центра масс. Исследования влияния главного вектора лоренцевых сил на движение центра масс заряженно-

го ИСЗ в МПЗ впервые были начаты в 1969 г. в работе [112]. Позднее они были продолжены в ряде работ V. Mioc и Е. Radu. Так, возмущения периода обращения восходящего узла орбиты были исследованы в работах [105], [106], возмущения аномалистического периода — в [107], возмущения ориентации плоскости орбиты — в [108]. Влияние силы Лоренца на эксцентриситет орбиты заряженного ИСЗ рассматривалось в работе [109], где показано, что в дипольном приближении МПЗ это влияние не проявляется, а учет высших составляющих геомагнитного потенциала позволяет обнаружить лишь пренебрежимо малое изменение эксцентриситета. В работе [27] были проанализированы различные, в том числе и электромагнитные возмущения, вызванные геомагнитным полем и связанные с электрическим зарядом спутника, полученным во время его движения сквозь ионосферу. Выведены выражения для возмущающей силы Лоренца. Показано, что влияние МПЗ слишком мало, чтобы его учитывать при определении орбит с современной степенью точности.

С развитием высоковольтной техники в последние 5 лет интерес к этим вопросам вновь стал возрастать среди специалистов из таких организаций как NASA, AIAA, American Astronautical Society. Выяснилось, что силы Лоренца могут оказывать заметное влияние на орбитальное движение ИСЗ [110]. В связи с этим появился ряд работ зарубежных авторов (J.A. Atchison, J.M. Longuski, М.А. Peck, В. Streetman), в которых анализируется возможность использования сил Лоренца для создания новых геосинхронных орбит [114], для безреактивных маневров в магнитных полях планет (в частности Юпитера) [97] и для других приложений [90].

Самостоятельный интерес вызывает проблема электродинамического влияния главного момента сил Лоренца на вращательное движение заряженного ИСЗ относительно его центра масс. Впервые задача о вращении тяжелого заряженного твердого тела относительно неподвижной точ-

ки под действием сил Лоренца была поставлена G. Grioli [99] в 1947 г. Решение ее проводилось в предположении, что магнитное поле однородно и стационарно, центр тяжести тела совпадает с неподвижной точкой, а плотность распределения заряда пропорциональна плотности тела [29, 93, 100, 101, 115]. В более общей постановке решение задачи Grioli было получено в [29, 45, 91, 92]. В [91, 92] впервые рассматривался вопрос о влиянии лоренцевых сил на вращательное движение вокруг центра масс твердого заряженного тела, движущегося по круговой околоземной орбите.

Задача о вращательном движении заряженного ИСЗ под действием гравитационных и лоренцевых сил получила свое дальнейшее развитие в работах Л.И. Кузнецова, Г.В Ляховки., В.В. Белецкого, A.A. Хентова, Н.В Чиковой., A.A. Тихонова, К.Г. Петрова [41, 42, 43, 65, 70, 78, 79, 80]. Ключевым результатом оказалось обнаруженное А.А.Тихоновым на базе нелинейной математической модели стабилизирующее влияние момента лоренцевых сил на вращательное движение ИСЗ относительно его центра масс. Этот факт, отраженный в патентах [72], [57] и статье [74], цитируемой вышеупомянутыми специалистами AIAA и NASA (J.A. Atchison, J.M. Longuski, M.A. Peck, B. Streetman), позволил по-новому взглянуть на полученные результаты и направить исследования в русло поиска возможностей для создания управляемого момента лоренцевых сил с целью обеспечения заранее заданных режимов управляемого движения ИСЗ. В работах [49, 66, 67, 68, 71] показано, что ориентирующее воздействие лоренцевых сил проявляется в появлении устойчивых положений равновесия ИСЗ или его оси в орбитальной системе координат, в расширении областей параметров, обеспечивающих выполнение условий устойчивости положений гравитационной ориентации, в увеличении значений частот малых колебаний ИСЗ около этих положений равновесия, в появлении устойчивых режимов стационарных колебаний ИСЗ на эллиптических орбитах. Кроме

того, в [67] была доказана возможность пассивной стабилизации заряженного ИСЗ, находящегося на круговой экваториальной орбите с помощью сил Лоренца. При этом на основании анализа нелинейной математической модели вращательного вокруг точки движения заряженного ИСЗ в геомагнитном поле и исследования влияния конструктивных параметров ИСЗ на динамические характеристики его движения в работе [66] показано, что основным условием ориентирующего воздействия лоренцевых сил является наличие смещения центра заряда относительно центра масс ИСЗ. При определенных условиях это воздействие может быть использовано в качестве основы механизма пассивной стабилизации ИСЗ, как это показано в работах К.А. Антипова, К.Г. Петрова, A.A. Тихонова [11, 57, 72, 74]. В настоящее время интерес к вопросам стабилизации ИСЗ с помощью лоренцевых сил стал проявляться за рубежом, о чем свидетельствуют, например, публикации [82, 102].

В работах [55, 56] было получено наиболее общее выражение для момента лоренцевых сил, действующих на заряженный ИСЗ, с учетом квад-рупольных составляющих потенциала МПЗ, неоднородности МПЗ в объеме ИСЗ, эллиптичности орбиты и произвольности ее наклонения. Там же был проведен анализ полученных выражений, сделаны оценки составляющих этого момента и даны практические рекомендации по использованию этих составляющих для построения корректных математических моделей вращательного движения заряженных ИСЗ. Дальнейшее развитие мульти-польного представления индукции и градиента индукции МПЗ до членов четвертого порядка (включительно) было дано в работе [75].

Влияние лоренцевых сил на динамику заряженного ИСЗ, стабилизированного вращением, исследовалось в работах В.В. Белецкого, A.A. Хентова, Г.В. Ляховки, A.A. Тихонова [18, 22, 47, 48, 50, 70, 73].

Вышеупомянутые исследования были начаты с построения простейших

математических моделей взаимодействия заряженного ИСЗ с геомагнитным полем, опускавших многие существенные стороны явления, такие как мультипольная структура геомагнитного поля. В процессе исследований происходило постепенное усложнение математических моделей и к настоящему времени указанные особенности рассматриваются многими авторами, в том числе и автором данной диссертации.

Объект исследования.

Объектом исследования в настоящей работе является ИСЗ, снабженный управляемым собственным магнитным моментом и электростатическим зарядом с управляемым вектором центра заряда. Работа посвящена дальнейшему развитию пассивных и комбинированных систем управления ИСЗ, основанных на использовании электродинамического взаимодействия заряженного ИСЗ с геомагнитным полем.

Цели и задачи диссертации.

Целью данного исследования является разработка метода стабилизации ИСЗ с помощью одновременного использования момента магнитного взаимодействия и момента сил Лоренца. Для достижения указанной цели поставлены и решены следующие основные задачи: выявление недостатков известных систем управления ориентацией ИСЗ. Построение концепции электродинамической системы управления ИСЗ, лишенной этих недостатков; разработка методики выбора модели МПЗ для корректного учета вектора магнитной индукции Земли в задачах динамики ИСЗ, взаимодействующих с МПЗ; построение математической модели вращательного движения ИСЗ с ЭДСУ; вывод закона управления ориентацией ИСЗ с ЭДСУ и его математическое обоснование; разработка методики создания демпфирующих моментов в рамках ЭДСУ; электродинамическая компенсация постоянно действующего возмущающего момента; оптимизация ЭДСУ с

целью экономии энергетических ресурсов на борту ИСЗ.

Методы исследования.

Используются классические методы теоретической механики, теории нелинейных колебаний и устойчивости движения, а также тензорный анализ и элементы дифференциальной геометрии. Кроме того, для аналитических преобразований используются алгоритмы методов компьютерной алгебры, а для численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений применяются алгоритмы компьютерного моделирования.

Достоверность результатов.

Достоверность и обоснованность научных положений, выводов, рекомендаций и заключений, полученных в диссертации, подтверждается корректным использованием перечисленных выше методов исследования. Достоверность полученных результатов подтверждается также результатами компьютерных экспериментов, апробацией основных результатов на конференциях и семинарах, в опубликованных работах и патенте на изобретение.

Практическая значимость.

Полученные результаты могут быть использованы при решении задач, связанных с проблемой ориентации ИСЗ в пространстве, в практике разработки и конструирования систем активной радиационной защиты, при моделировании потенциальных силовых полей планет. Некоторые из полученных результатов защищены патентом РФ [11].

Апробация результатов.

Основные результаты диссертационного исследования обсуждались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета, а также были представлены на следующих конференциях:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Антипов, Кирилл Андреевич, 2013 год

Литература

1. Акишин А.И., Новиков Л.С. Электризация космических аппаратов. -М.: Знание, 1985. - 64 с, ил. - (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Космонавтика, астрономия», №3).

2. Аптипов К.А. О влиянии октупольных составляющих геомагнитного потенциала на процесс электродинамической стабилизации космического аппарата // Вестник СПбГУ, Сер.1, 2007, вып.2, с. 90-100.

3. Антипов К.А., Петров К.Г., Тихонов A.A. Выбор концепции построения систем электродинамической стабилизации космических аппаратов // Четвертые Поляховские чтения: Тез. докл. междунар. конф. по механике, СПб, 7-10 февр. 2006 г. - СПб: Изд-во «ВВМ», 2006. - 282 с, С. 94.

4. Антипов К.А., Петров К.Г., Тихонов A.A. Параметрическое управление в задаче о стабилизации ИСЗ / Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов IX Междунар. семинара им. Е.С. Пятницкого. Москва, ИПУ РАН, 31 мая - 2 июня 2006. М.: Изд-во ИПУ РАН. 298 е., С. 259-260.

5. Антипов К.А., Петров К.Г., Тихонов A.A. Электродинамический метод трехосной стабилизации динамически симметричного космического аппарата // Вестн. С.- Петербург, ун-та. Сер.1, 2006, Вып. 1 (№ 1) С. 79-90.

6. Антипов К.А., Петров К.Г., Тихонов A.A. Системы управления ориентацией космического аппарата с помощью электродинамических сил / Междунар. конф. «Пятые Окуневские чтения» 26-30 июня 2006 г., СПб: Тезисы докладов / Балт. гос. техн. ун-т. - СПб., 2006. - 181 е., С. 7.

7. Антипов К.А., Петров К.Г., Тихонов A.A. Выбор концепции построения систем электродинамической стабилизации космических аппаратов / Четвертые Поляховские чтения: Избранные труды. СПб.: Изд-во «ВВМ», 2006. 702 е., С. 232 - 240.

8. Антипов К.А., Петров К.Г., Тихонов A.A. Об управлении ориентацией космического аппарата с помощью электродинамических сил / / IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Т. 1 (Нижний Новгород, 22-28 августа 2006). Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2006, 178 е., С. 16.

9. Антипов К.А., Тихонов A.A. Параметрическое управление в задаче о стабилизации космического аппарата в магнитном поле Земли // Автоматика и телемеханика, № 8, 2007, С. 44-56.

10. Антипов К.А., Тихонов A.A. Мультипольные модели геомагнитного поля и влияние регрессии орбиты в задаче об электродинамическом управлении ориентацией ИСЗ // Международный конгресс «Нелинейный динамический анализ - 2007»: Тез. докл. СПб, СПбГУ, 2007, С. 203.

11. Антипов К.А., Тихонов A.A. Патент RU - № 2332334 - С1 на изобретение «Способ полупассивной трехосной стабилизации динамически симметричного искусственного спутника Земли» МПК B64G 1/38, 1/32, 1/24 по заявке №2006137979, Приоритет 24.10.06. Опубликовано 27.08.08 Бюл. № 24.

12. Антипов К.А., Тихонов A.A. Об электродинамическом управлении ориентацией ИСЗ в условиях регрессии орбиты / Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов X Междунар. семинара им. Е.С. Пятницкого. Москва, ИПУ РАН, 3-6 июня 2008 г. М.: Изд-во ИПУ РАН, 2008. 381 е., С. 312-313.

13. Антипов К.А., Саблина М.В., Тихонов A.A. Об оптимизации электродинамического метода управления угловой стабилизацией ИСЗ / Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов XI Междунар. конф. Москва, ИПУ РАН, 1-4 июня 2010 г. М.: ИПУ РАН, 2010. 464 е., С. 22-23.

14. Антипов К.А., Тихонов A.A., Чичагов С.А. Модифицированные параметры Родрига-Гамильтона в задаче об устойчивости спутника-гиростата / Междунар. конф. «Седьмые Окуневские чтения» 20-24 июня 2011 г., Санкт-Петербург: Материалы докладов / Балт. гос. техн. ун-т. - СПб., 2011.- 320 е., С. 168-170.

15. Антипов К.А., Тихонов A.A. Комплекс аналитических и численных программ для решения некоторых задач динамики вращательного движения ИСЗ // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. №4 Часть 2. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011. - 594 е., С. 332-333.

16. Антипов К.А., Саблина М.В., Спасич Д.Т., Тихонов A.A. Оптимизация электродинамического метода стабилизации ИСЗ // Автоматика и телемеханика, №9, 2011, С. 112-121.

17. Антипов К.А., Тихонов A.A. Мультипольные модели геомагнитного поля: построение N-ro приближения // Геомагнетизм и аэрономия, 2013, том 53, №2, С. 271-281.

18. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М., 1965. 416 с.

19. Белецкий В.В., Голубков В.В., Лавровский Э.К., Трушин С.И., Хац-кевич И. Г. Определение ориентации и вращения искусственных спутников по данным измерений // Космич. исследования, 1967, т. 5, №5.

20. Белецкий В.В., Голубков В.В., Степанова Е.А., Хацкевич И.Г. Определение ориентации искусственных спутников по данным измерений.

Препринт, Ин-т прикл. матем. АН СССР. Часть I. Метод. М., 1967. Часть II. Результаты. Анализ движения. М., 1968.

21. Белецкий В.В., Голубков В.В., Степанова Е.А., Хацкевич И. Г. Результаты определения ориентации спутника "Протон-2"и описание его движения относительно центра масс // Космич. исследования, 1969, т. 7, №4.

22. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М., изд Моск. ун-та, 1975. 308 с.

23. Белецкий В.В., Хентов A.A. Вращательное движение намагниченного спутника М., Наука, 1985. 288 с.

24. Беллманн Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. Изд-во иностр. лит-ры, М., 1954. 216 с.

25. Бранец В.Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М., Наука, 1973. 320 с.

26. Воробьев Е.И., Ковалев Е.Е. Радиационная безопасность экипажей летательных аппаратов. М., Энергоатомиздат, 1983. 152 с.

27. Георгиев Н., Коцева В. Анализ влияний негравитационного характера на движение ИСЗ // Наблюдения искусственных спутников Земли, 1984, №23, с. 365-378.

28. Голубков В.В., Хацкевич И.Г. Определение ориентации искусственных спутников Земли по заданной системе измерений // Космич. исследования, 1969, т. 7, №4.

29. Горр Г.В. О движении твердого тела, имеющего неподвижную точку, под действием силы нулевого потенциала. Механика твердого тела, респ. межв. сб. вып. 1, изд. Наукова думка, Киев, 1969.

30. Григорьев Ю.Г. Радиационная безопасность космических полетов. М., Атомиздат, 1975. 225 с.

31. Дубошин Г.Н. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Изд.2-е. - М., Наука, 1976. 864 с.

32. Заблуда С.М., Яншин A.M. Влияние различных приближений геомагнитного поля на точность параметров моделей вращательного движения ИСЗ // Косм, исслед., 1980, т. 18, № 5, с. 715-721.

33. Каленова В.И., Морозов В.М. Линейные нестационарные системы и их приложения к задачам механики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 208 с.

34. Ковалев Е.Е. Радиационный риск на Земле и в космосе. М., Атомиздат, 1976. 256 с.

35. Ковалев Е.Е., Молчанов Э.Д., Лебедев В.К., Рябова Т.Я., Пехтерев Ю.Г., Колодин A.B., Лесков Г.И. Исследование электростатической зарядки проводящего экранированного тела на ИСЗ "Космос-936"// Косм, исслед., 1987, 25, №4, с. 585-591.

36. Ковалев Е.Е., Молчанов Э.Д., Пехтерев Ю.Г., Рябова Т.Я., Тихомиров Б.П., Хованская А.И. Исследование основных характеристик электростатической защиты от космических излучений ИСЗ "Космос-605". ¡.Методика измерений и комплекс научной аппаратуры // Косм, исслед., 1975, т. 13, вып 5, с. 771-777; II. Результаты измерений // Косм, исслед., 1976, т. 14, вып 1, с. 126-132.

37. Ковалев Е.Е., Петров В.М., Маркелов В.В., Рябова Т.Я., Бенчин В.В., Черных И.В. Основные итоги и перспективы исследований на станциях "Прогноз"по оперативному обеспечению радиационной безопасности космических полетов // Исследования солнечной активности и космическая система "Прогноз". Сб. докл. 5 объед. научн. чтения по космонавт. М., Наука, 1984, с. 196-206.

38. Коваленко А.П. Магнитные системы управления космическими летательными аппаратами. — М., Машиностроение, 1975. 248 с.

39. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., 1978. 832 с.

40. Космические аппараты, (иод общ. ред. К.П. Феоктистова) М., Военное изд., 1983. 319 с.

41. Кузнецов Л. И. О влиянии электрического заряда на вращательное движение спутника Земли // Прикл. механика, Вып.5, Л., изд. Ле-нингр. ун-та, 1981, с. 78-83.

42. Кузнецов Л.И., Чикова Н.В. О прямых положениях равновесия, их устойчивости и колебаниях спутника с электростатической защитой // Прикл. механика, Вып.5, Л., изд. Ленингр. ун-та, 1981, с. 28-38.

43. Кузнецов Л.И., Чикова Н.В. Плоские колебания тела на круговой орбите под действием лоренцевых сил // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1. 1981. Вып.2. (№8). С. 72-76.

44. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля М., Наука, 1973. 504 с.

45. Лунев В.В. Вращательное движение заряженного твердого тела в магнитном поле. - Дисс. канд. физ.-мат. наук. Л., 1979.

46. Лунев В.В. Интегрируемые случаи в задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой в поле сил Лоренца // Доклады АН СССР 1984, т. 275, №4

47. Ляховка Г. В. Резонансное вращение спутника на эллиптической экваториальной орбите под действием лоренцевых сил //Косм.исслед., 1987, Т. XXV, Вып. 4., с. 635-638.

48. Ляховка Г. В. Движение спутника относительно центра масс с учетом сил Лоренца и сил светового давления // МТТ, 1988, №1, с. 100-102.

49. Ляховка Г.В., Тихонов А.А. О вращательном движении ИСЗ в магнитном поле Земли // Космич. исследования, 1994, т.32, №4-5, С. 62-67.

50. Ляховка Г. В. Влияние геомагнитного поля на вращение спутника с наэлектризованным экраном // Пробл. мех. и упр.: Нелин. динам, системы / Перм. гос. ун-т. Пермь, 1995, 106-112.

51. Мак-Илвейн Р.Дж. Изменение кинетического момента спутника при помощи магнитного поля Земли / Проблемы ориентации искусственных спутников Земли. М., Наука, 1966, с. 295-323.

52. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М., Наука, 1966.

53. Мартынюк A.A. и др. Устойчивость движения: метод интегральных неравенств. Киев, Наук, думка, 1989. 272с.

54. Овчинников М.Ю. Системы ориентации спутников: от Лагранжа до Королева // Соросовский образовательный журнал. 1999. Вып. 12. С. 91-96.

55. Петров К.Г.,Тихонов A.A. Момент сил Лоренца, действующих на заряженный спутник в магнитном поле Земли. 4.1: Напряженность магнитного поля Земли в орбитальной системе координат // Вестник СПбГУ, Сер.1. 1999. Вып. 1 (№ 1). С. 92-100.

56. Петров К.Г.,Тихонов A.A. Момент сил Лоренца, действующих на заряженный спутник в магнитном поле Земли. 4.2: Вычисление момента и оценки его составляющих // Вестник СПбГУ, Сер.1, 1999, вып.З (№ 15), с. 81-91.

57. Петров К.Г.,Тихонов A.A. Патент RU - № 2191146 - С1 на изобретение «Способ полу пассивной стабилизации искусственного спутника Земли и устройство для его реализации» МПК 7 B64G 1/32,1/38 по заявке №2001107811, Приоритет 16.03.01, 34с.

58. Пивоваров M.JT. Эволюция вращения спутника с демпфирующим маховиком. - М., 1986. - 17 с. (Препр. АН СССР. Институт космических исследований; Пр - 1106).

59. Пивоваров М.Л. О демпфировании колебаний спутника с большим магнитным моментом. - М., 1987. - 11 с. (Препр. АН СССР. Институт космических исследований; Пр - 1251).

60. Пивоваров M.JI. Жидкостное демпфирование колебаний спутника с большим магнитным моментом. - М., 1990. - 19 с. (Препр. АН СССР. Институт космических исследований; Пр - 1622).

61. Рябова Т. Я. Электростатическая защита от космических излучений (Современное состояние и перспективы) // Космич. биолог, и авиакос-мич. мед., 1983, 17, №2, с. 4-7.

62. Сарычев В. А. Влияние сжатия Земли на вращательное движение искусственного спутника // Искусственные спутники Земли. - М.: Изд. АН СССР, 1961, №6, с.3-10.

63. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников // Исследование космического пространства. Т. 11 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР) М, 1978. 223 с.

64. Сарычев В.А., Овчинников М.Ю. Магнитные системы ориентации искусственных спутников Земли. «Исследование космического пространства. т. 23 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР)» М., 1985. 104 с.

65. Тихонов A.A. О влиянии неоднородности геомагнитного поля на динамику экранированного спутника // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1. 1987. Вып. 2 (№8). С. 67-73.

66. Тихонов A.A. О влиянии асимметрии заряда на вращательное движение экранированного тела в геомагнитном поле // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1. 1987. Вып.4. (№22). С. 64-69.

67. Тихонов A.A. О стабилизации заряженного тела в магнитном поле Земли; Ред. ж. Вестн. ЛГУ. Мат.,мех.,астрон. Л., 1988, 14 с. Библ. 10. Рус. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 22.02.88, М396-В88.)

68. Тихонов A.A. Влияние эллиптичности орбиты на плоские колебания тела под действием лоренцевых сил / / Устойчивость и колебания механических систем. Л., 1988 (Прикладная механика; Вып. 7). С. 28-34.

69. Тихонов A.A. Об одной форме дифференциальных уравнений возмущенного движения гравитационно-ориентированного твердого тела // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1, 1990, Вып. 1 (№1). С. 71-75.

70. Тихонов A.A. Влияние неоднородности геомагнитного поля па эволюцию ротационного движения заряженного твердого тела // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1, 1991, Вып. 2 (№8). С. 90-99.

71. Тихонов A.A. О колебаниях экранированного ИСЗ в плоскости слабоэллиптической орбиты // Динамика и устойчивость механических систем (Прикладная механика; Вып. 9) /Под ред. П.Е. Товстика. -СПб.: Изд-во С.- Петербургского ун-та. 1995. С. 90-101.

72. Тихонов A.A. Патент на изобретение RU - № 2159201 - С2 МПК 7 B64G 1/38, 1/32 «Способ управления ориентацией искусственного спутника Земли» по заявке № 98120769/28 от 29.10.98.

73. Тихонов A.A. Уточнение модели «наклонный диполь» в задаче об эволюции ротационного движения твердого тела // Космич. исследования, 2002, т. 40, № 2, С. 171-177.

74. Тихогюв A.A. Метод полупассивной стабилизации космического аппарата в геомагнитном поле // Космич. исследования, 2003, т.41, №1, С. 69-79.

75. Тихонов A.A., Петров К.Г. Мультипольные модели магнитного поля Земли // Космич. исследования, 2002, т. 40, № 3, С. 219-229.

76. Труханов К.А., Рябова Т.Я., Морозов Д.Х. Активная защита космических кораблей. М., Атомиздат, 1970. 229 с.

77. Цетлин В.В., Павлушкина В.И., Редько В.И. Исследование радиационно-защитного эффекта объемной электризации стекол на ИСЗ "Космос-2229"// Космич. исслед., 1995, том 33, №3, с. 286-288.

78. Чикова Н.В. Возмущение лоренцевыми силами вращательного движения тела в центральном гравитационном поле // Прикл. механика, Вып.5, JL, изд. Ленингр. ун-та, 1981, с. 38-47.

79. Чикова Н.В. Резонансные колебания тела на круговой орбите под действием лоренцевых сил // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1. 1981. Вып.1. (№1). С. 90-94.

80. Чикова Н.В. О нелинейных резонансах в задаче движения тела около центра масс под действием лоренцевых сил // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1. 1983. Вып.1. (№1). С. 85-91.

81. Яновский Б. М. Земной магнетизм. Л., изд. Ленингр. ун-та, 1978. 591 с.

82. Abdel-Aziz Y.A. Attitude stabilization of a rigid spacecraft in the geomagnetic field // Advances in Space Research 40 (2007), p. 18-24.

83. Adams J.H. The ionizing particle environment near Earth // AIAA Pap., 1983, №1, 7 p.

84. Akatov Yu.A., Dudkin V.E., Kovalev E.E. et.al. Depth Distribution of Absorbed Dose on the External Surface of Cosmos 1887 Biosatellite // Nucl. Tracks Radiat. Meas. 1990. V. 17. №2. p. 105-107.

85. Antipov K.A., Tikhonov A.A. Tensor approach for mathematical modeling of geomagnetic field // Institute for Problems in Mechanical Engineering Russian Academy of sciences. Proceedings of XXXVIII Summer School -Conference «Advanced problems in Mechanics» APM'2010 Repino, Saint-Petersburg, Russia, 1-5 July, 2010, p. 724-732.

86. Antipov K.A., Tikhonov A.A. On higher-rank tensors in theoretical mechanics / Proceedings of Abstracts / The 3-rd International Congress of Serbian Society of Mechanics, IConSSM 2011, Vlasina Lake (Serbia), 5-8 July 2011. - Belgrade, 2011, 225 p., p. 77.

87. Antipov K.A., Tikhonov A.A. On analytical investigation and computer modeling in the problem of the satellite's attitude stabilization // Book of abstracts / The 2-nd International conference «Contemporary problems of mathematics, mechanics and informatics» (CPMMI 2012), State University of Novi Pazar, Novi Pazar, Serbia, 17-19 June, 2012, p. 35-36.

88. Antipov K.A., Tikhonov A.A. On analytical investigation and computer modeling in the problem of the satellite's attitude stabilization // Scientific publications of the State University of Novi Pazar. Ser. A: Appl. math., inform, and mech., Vol. 4, № 2, 2012, p. 49-54.

89. Antipov K.A., Tikhonov A.A. On the spacecraft attitude stabilization in the orbital frame // Theoret. Appl. Mech., Vol.39, № 2, Belgrade 2012, p. 127-162.

90. Atchison J.A., Peck M.A. Length Scaling in Spacecraft Dynamics // Journal of guidance control, and dynamics, Vol. 34, № 1, January -February 2011, p. 231-246.

91. Bentsik E. Precessioni regolari di un giriscopio soggetto a forze newtoniane e a forze di potenza nulla // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 1975, vol. 54.

92. Bentsik E. Rotazioni uniformi in un campo newtoniano con forze di potenza nulla // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 1975, vol. 54., p. 83-90.

93. Benvenuti P., Balli R. Risolubilita per quadrature del problema del moto di un solido soggetto a forze di potenza nulla // Atti Acc. Naz. Lincei cl. fis mat., 1974, vol. 56, №1.

94. Birch P. Radiation shields for ships and settlements //J. Brit. Interplanet. Soc., 1982, vol. 35, №11, p. 515-519.

95. Frank A.L. et.al. Radiation Experiments on Cosmos-2044 // Report USE-TR-76. University of San-Francisco, 1992.

96. Frisina W. Optimizing electrostatic radiation shielding for manned vehicles // Acta astronaut., 1985, vol. 12, №12, p. 995-1003.

97. Gangestad J.W., Pollock G.E., Longuski J.M. Analytical Expressions that Characterize Propellantless Capture with Electrostatically Charged Spacecraft // Journal of guidance control, and dynamics, Vol. 34, No. 1, January - February 2011. p. 247-258.

98. Garett H.B. Review of the near-earth spacecraft environment / / Proc. Soc. Photo-Opt. Instrum. Eng., 1980, 216, p. 109-115.

99. Grioli G. Moto attorno al baricentro di un giroscopio soggetto a forze di potenza nulla // Rend, di Math, e della sue appl. fasc. 3-4, 1947.

100. Grioli G. Lincei Rend. Sci Fis. mat., 1957, vol. 22, p. 459-463.

101. Grioli G. Rend. sem. mat. Univ. Padova, 1957, vol. 27, p. 90-102.

102. Hiroshi Y., Shinji H., Mai B. Attitude dynamics of a pendulum-shaped charged satellite // Acta Astronautica 70 (2012), p. 77-84.

103. Macmillan S. and Maus S. International Geomagnetic Reference Field — the tenth generation // Earth Planets Space, Vol. 57 (№ 12), p. 1135-1140, 2005

104. Mandea M. et al. International geomagnetic reference field - 2000 // Physics of the Earth and planetary interiors. 2000, Vol. 120, p. 39-42.

105. Mioc V., Radu E. Visual Obs. AES Suppl., Cluj-Napoca, 1977, p. 86.

106. Mioc V. Babes-Bolyai Univ., Fac. Math. Res. Seminaries. Preprint 2 (1980), Cluj-Napoca, p. 88.

107. Mioc V., Radu E. Babes-Bolyai Univ., Fac. Math. Res. Seminaries. Preprint 3, Cluj-Napoca, 1982, p. 182.

108. Mioc V., Radu E. Babes-Bolyai Univ., Fac. Math. Res. Seminaries. Preprint 2, Cluj-Napoca, 1984, p. 70.

109. Mioc V. Note on the orbital deformations due to the Lorentz Force // Babes-Bolyai Univ., Fac. Math. Res. Seminaries. 10 (1985), p. 105-110.

110. Peck M.A. Prospects and challenges for Lorentz-Augmented orbits, AIAA 2005-5995 Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit 1518 August 2005, San Francisco, CA, 2005.

111. Petersen E.L. Single event upsets in space // AIAA Pap., 1983, №164, 6 p.

112. Sehnal L. The motion of a charged satellite in the Earth's magnetic field, SAO report No. 271, 1969.

113. Stephenson D.G. Satellites and soft errors // Spacefight, 1984, 26, №1, p. 32-34.

114. Streetman B., Peck M.A. New Synchronous Orbits Using the Geomagnetic Lorentz Force // Journal of guidance control, and dynamics, Vol. 30, No. 6, November - December 2007, p. 1677-1690.

115. Totaro C. Su una particolare classe di movementi di un corpo rigido asimmetrico soggetto a forze di potenza nulla // Rend. Acc. Naz. dei Lincei VXL, 1966, vol. 40, №3.

Приложение А ПРОГРАММА ДЛЯ ОТЫСКАНИЯ КОМПОНЕНТ МУЛЬТИПОЛЬНОГО ТЕНЗОРА: ВАРИАНТ ДЛЯ N =

# В формулах использованы греческие буквы с индексами restart: with(linalg):

ix := 7:

Pnm := proc (n, m, arg) local e, arg2; description "Вычисление присоединенных функций Лежандра"; if m = О then e := 1:

(diff((arg2~2-l)~n, c$£(arg2, n)))/(2~n*factorial(n)) else e := 2; (e*factorial(n-m)/factorial(n+m))~(l/2)* (l-arg2~2)"((1/2)*m)*(diff((diff((arg2~2-1)"n, £$£(arg2, n)))/ (2~n*factorial(n)), £$£(arg2, m))) end if ;

subs(arg2 = arg, °/,) end proc

# С одной стороны в виде ряда Лежандра

assume(0 <= £#msub(mi("&theta;",fontstyle = "normal"),mo("&ast;"))' and

£#msub(mi("&theta;",fontstyle = "normal"),mo("&ast;"))£ <= Pi) U[n, 1] := R[3]"(n+2)*(Pnm(n, 0, cos(£#msub(mi("&theta;",fontstyle = "normal"), moC'&ast ;"))£ ))* (g[n, 0] *cos(0*£#msub(mi("&lambda; " ,fontstyle = "normal"), moO'&ast;"))£)+h[n, 0]*sin(0*£#msub(mi("&lambda;",fontstyle = "normal"), mo("&ast;")) £))+sum(Pnm(n, m, cos(£#msub(mi("&tlieta; ", f ontstyle = "normal"), moO'&ast ;")) ' ) )*(g[n, m]* cos(m*£#msub(mi("&lambda;",fontstyle = "normal"), mo("&ast;"))£) + h[n, m]*sin(m*£#msub(mi("&lambda;",fontstyle = "normal"), moO'&ast ; ") )£ ) ), m = 1 .. n))/r~(n+l):

# С другой стороны как функцию от декартовых координат with(tensor):

t := create([l], array( [r*sin(£#msub(mi("&tlieta; " ,f ontstyle = "normal"),

moC'&ast;"))i)*cos(£#msub(mi("&lambda;".fontstyle = "normal"), mo ("feast ;"))c), r^sinCSmsubCmiC'&theta; " .fontstyle = "normal"), mo ("feast;"))')*sin(i#msub(mi("&lambda;",fontstyle = "normal"), mo("&ast;"))'), r* cosC#msub(mi("fetheta;fontstyle = "normal"), mo("feast;"))')])): tn := proc (b, a) local C, i;

description "Вычисление тензора feotimes;~a b (где b размерности [1..3])"; С := b;

for i to a-1 do С := prod(C, b) end do; return eval(C) end proc F := tn(t, n):

M := array(1 ..3, 1 ..3, 1 .. 3, 1 ..3, 1 ..3, 1 .. 3, 1 .. 3): ql := 1: q2 := 1: q3 := 1: q4 := 1: q5 := 1: q6 := 1: q7 := 1: s := 1 : S := Array(l .. 3~n): for ql to 3 do for q2 to 3 do for q3 to 3 do for q4 to 3 do for q5 to 3 do for q6 to 3 do for q7 to 3 do

M[ql, q2, q3, q4, q5, q6, q7] := m[ql, q2, q3, q4, q5, q6, q7]:

Q := convertis, set):

if ql = 1 then S[s] := S[s]+100

elif ql = 2 then S[s] := S[s]+10

elif ql = 3 then S[s] := S[s]+1

end if ;

if q2 = 1 then S[s] := S[s]+100 elif q2 = 2 then S[s] := S[s]+10 elif q2 = 3 then S[s] := S[s]+1 end if ;

if q3 = 1 then S[s] := S[s]+100 elif q3 = 2 then S[s] := S[s]+10 elif q3 = 3 then S[s] := S[s]+1 end if;

if q4 = 1 then S[s] := S[s]+100 elif q4 = 2 then S[s] := S[s]+10 elif q4 = 3 then S[s] := S[s]+1 end if;

if q5 = 1 then S[s] := S[s]+100 elif q5 = 2 then S[s] := S[s]+10 elif q5 = 3 then S[s] := S[s]+1 end if;

if q6 = 1 then S[s] := S [si+100 elif q6 = 2 then S[s] := S[s]+10 elif q6 = 3 then S[s] := S[s]+1 end if;

if q7 = 1 then S[s] := S[s]+100 elif q7 = 2 then S[s] := S[s]+10 elif q7 = 3 then S[s] := S[s]+1 end if;

if £in£(S[s], Q) then A := array(l .. n); 1 := 1; kl := 1;

for kl to floor((1/100)*S[s]) do A[l] := 1; 1 := 1+1 end do; kl := 1;

for kl to floor((S[s]-100*floor((1/100)*S[s]))*(1/10)) do A[1] := 2; 1 := 1+1 end do; kl := 1;

for kl to S[s]-10*floor((1/10)*S[s]) do A[1] := 3; 1 := 1+1 end do;

MCql, q2, q3, q4, q5, q6, q7] :=

M[A[1], A[2], A[3], A[4], A[5] , A[6] , A[7]] end if; s := s+1 end do end do end do end do end do end do end do

U[n, 2] := R[3] ~(n+2)*(sum(sum(sum(sum(sum(sum(sum (M[i7, i6, i5, i4, i3, i2, il]*get_compts(F)[il, i2, i3, i4, i5, i6, i7], i7 = 1 . . 3), i6 = 1 . . 3), i5 = 1 . . 3) , i4 = 1 . . 3) , i3 = 1 . . 3), i2 = 1 .. 3), il = 1 .. 3))/r~(2*n+l): V := simplify((R[3]~(n+2)fx"(n+1))~(-1)*(simplify(expand(U[n, 1], trig))-

simplify(expand(U[n, 2], trig)))): A := V:

A := convert(A, list): Da := nops(A): A := convert(A, array): B := >B': i := 'i': for i to Da do

if cor'(type(op(A[i] )[1] , fraction), type(op(A[i])[1] , integer)) then B[i] := A[i]/op(A[i] ) [1] else B [i] := A[i] end if end do k := 'k': for k to Da do

B[k] := degree(B[k], sin('#msub(mi(M&theta;",fontstyle = "normal"), mo("feast;"))'))*10"(3*(1+floor(evalf(loglO(n)))))+degree(B [k] , cos('#msub(mi("fetheta;",fontstyle = "normal"),mo("feast;"))'))* 10"(2*(1+floor(evalf(loglO(n)))))+degree(B [k], sin('#msub(mi("felambda;",fontstyle = "normal"),mo("feast;"))'))* 10"(1+floor(evalf(loglO(n))))+degree(B[k],

cos('#msub(mi("&lambda;",fontstyle = "normal"),mo("feast;"))'))*10~0 end do

E := convert(B, set): С := array(1 .. nops(E), 1 .. Da): for к to nops(E) do for 1 to Da do if E[k] = B[l] then C[k, 1] := 1 else C[k, 1] := 0 end if end do end do

eq := array(l .. nops(E)): 1 := '1': к := 'к': for к to nops(E) do

1 := »1'; eq[k] := sum(C[k, 1] *op(A) [1] , 1 = 1 . . Da) = 0 end do

eq := simplify(eq): 1 := '1':

# Система уравнений

for 1 to nops(E) do print(eq[l]) end do;

# Решение системы уравнений

sv := solve(convert(eq, set), convert(M, set)); к := 1:

# Вывод компонент мультипольного тензора ранга N

for k to (1/2)*(n+2)*(n+1) do print(factor(sv[к])) end do

Приложение В МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ РАНГОВ 1-7

Мг = д\, М2 = /г}, М3 = д*,

Ми = ± Ш2 - £) , М12 = ^ М13 = ^ 91

2

М22 = ~ (д°2 + л/3д!) , М23 = ^ /4, М33 =

МШ = ^ (л/15р? - 3^) , М112 = ^ (УТ5/г33 -

1 /б

Мцз = - (л/15д23 - Зд°3) , М122 = (у/15д* + д\

^ 12 Гп 1

м222 = (л/15 + 3/4), М223 = (л/15+

Гп

М233 = —Н1 М333 = д°3,

Мпп = 1 (\/35р4 - + Зр°) , МШ2 = ^ (л/7Ь| - й2) ,

8 V ^ ^ "V ' "" 8

Мшз = (V 7^ -3^, М1122 = з [91

МП23 = , Мизз = ^ (л/5042

М1222 = (у/7И* + Н2) , М1223 = (д\ + л/701)

м1233 = М1333 = ^-91

М2222 = ^ (304° + л/35^ + 2л/5р|) , М2223 = (л/7 + 3 К\

М223з = (204° + л/5^1) , М2ззз = ^ М3333 = д°4,

Мпш = ^ (zVÜg¡ - V70g¡ + 2л/15^) , Mm 12 = ^ (WÏ4fc| - Zyfiñhl + 2л/15 Äj) , Minis = ¿ (3\/35 ^ + 15^5° - 2>/lÖ5$i) , МШ22 = — (-15х/Пр55 + + 2л/Тб pj) ,

Мцш = ^ (з/ií - л/З/i2) , Миш = ^ (v^3 - Зл/З M11222 = ^ (-15\/l4^ - л/70Л| + 2л/15Л1) ,

MH223 = ¿ (-3\/35^ + ^5°) , MU233 - ^ (\/14Л| - y/1

Mi 1333 - ~ (VÏÔSflf - 10 3?) ,

Mi2222 = i (з\/ТО</53 + 15vT4p55 + 2VT5 g\) ,

12223 = (л/ЗЛ§ + 3 hi) , -M12233 = ~ (Vüg¡ + Л

Д/Г >/î05 ,2 .. \/Ï5 !

M12333 = 20 л5, M13333 = —— p5, M22222 = ^ (V70h¡ + Зл/14^ + 2y/ïbh\) ,

M22223 = ¿ (2х/105р52 + 15 #5 + 3V35^54) ,

л/б 1

M22233 - (>/14 ^ + Зу^^) , М22333 = — 2Q

л/Тб

М23333 = ^^ hl, М33333 = pí?,

Mi

Мшш = ± (~6>/7g¡ + Vmg¡ + Vmg¡ - 10,0, ^ /7

Mlim2 = (з^66Л8 + л/ЗОЛ? - 12 hf) , Мцшз = || (sV22g¡ - 3Vsóg¡ + 10V3p¿) ,

Mm 122 = -Щ (soV7g¡ + V2Wg¡ - lby/Шд* - 30 p6°) , /7

Mi и 123 = (—9\/3Ö hß + 15\/22/г| + Юл/3/ij) , Мппзз - ¿ (15V7g¡ - 4V2Wg¡ + 45p6°) ,

M111222 = (-5л/22Л| + л/1б/^) ,

-Mi 11223 = ^ (-15V22g¡ + 3V^63 + lOV^g1) ,

МШ233 = ^ (15/4 - 2л/30Л§) , Mi 11333 = ^ (УШ<?3 - 5pj) , -Mj 12222 = ^ (-\/210062 + зо^064 + i5Vmg¡ - 30p6°),

M112223 = ^ (—Зл/ЗО hl - 15л/22 h¡ + 10V3/4) »

Mi 12233 = I ( 06° - л/7 g¡) , МП2333 = ^ (з л/lÖ /г3 - 5 h¡) , Мцзззз = i (-15 pg + V2IÖ0I) ,

M122222 = || (л/30 + 12 /4 + 3>/66 , /7

М12222з = (l5\/22 í/g + Зл/ЗО^б + 10V3^J) ,

М122233 = (2^30/г| + 15 Л*) , Мцзззз = (з^ЗОд! + 5л/3 ,

Л/Г Ъ/Г л/21 !

м 123333 = л6> М133333 = —flfß,

М222222 = (Ю0б° + л/4620! + V^ÏÔ062 + 6л/7р|) , М222223 = ^ (3\/30Л| + Зл/22Л| + Юл/3/ij) , М2222зз = ^ (45р6° + 4л/21Ор2 + 15л/7рб> )

М222333 = (л/ЗОЛ? + бл/3/ij) , М223333 = (l506° + \/2ÏÔp62) , \/2l

М233333 = —^65 Мзззззз =

Mmiiii = ^ (-7 л/33p75 + л/ЗМЗр? + 21 VSg37 - 35 gf) , Минца - ^ (-5 \/33/if + у/ШЗh\ -5/4 + 9 л/ЗЛ?) » Мццпз = ^ (ч/бООбр? - 6 \/23Т^ - 70 p? + 15 v^p?) ,

M1111122 = (-3л/330? + \/ЗШЗр77 + >/3p? + 5g}), М1111123 = ^ (ушн67 - 2 V22h7 + 5 hf) , Мцшзз - (л/33р? - 5 л/Зр73 + 10 p¿) , М1111222 = (->/33/г? + л/3003/i? + 3 /4 - 3 л/ЗАг?) , М1Ш223 = ^ (2>/23ÏpÎ - г/бООбр? + >/42g* - 14 р?) ,

■Mi 111233 - || (-3 л/ЗЛ? + 2 /4 + л/ЗЗЛ|) , Мпиззз = ¿ (%/23Т^ - 4 V42р? + 21 р?) ,

М1112222 = ^ (>/зз$? + « - 3 v/3p? - 3 р}) ,

М1112223 = (>/Ï43/i? - 3/i?) ,

Mni2233 = -|| (>/33p? - V3P? - 2 ff?) ,

Мпиззз = If (V22/4 - 4 /г?) , Мшзззз = || (>/3$? - 3 , М1122222 = ^ (з >/33/i? + vÄ/г? - 5 /4 + ч/З/i?) , М1122223 = ¿ (л/бШбр? + 2 х/23Ipí - V42p? - 14 p?) ,

M1122233 = -|| (^З/i3 - 2 ^ + \/33/г7) ,

-Mi 122333 = ~ (л/231 p7 - 7p?) , Мц23333 = il (V5*? - Л7) > Mi 133333 = ^ (л/42р7 - 7 p?) ,

AÍ1222222 = (5 л/ЗЗ^ + Ä^7 + 9 Vífc? + 5 g]) , М1222223 = ^ (>/ПзЛ? + 2 л/22/г^ + 5 /г2) , м1222233 = || (л/330? + 2^ + 3 V30?) ,

М1222333 - + 4 л?) , М1223333 = ($7 + ^0?) ,

лД2и2 Л/Г 2у/7 !

^1233333 = —М1333333 = -у-07,

М2222222 = (7 л/ЗЗ/^ + л/ЗООЗЛ? + 35 /^ + 21 >/зЛ?) » М2222223 = (l5 v^? + 700? + VmQg67 + 6 л/231 g4) , М2222233 = || (5 л/ЗЛ? + 10 h) + л/ЗЗЛ?) , M2222333 = ^ (4 \/42072 + 21 g°7 + y/23ïgf) ,

M2223333 - (л/ЗЛ? + 3 /4) , M2233333 = ~ (\/4207 + 7fif?) ,

M2333333 = = 4/7/17, M3333333 =