Электрические зонды в медленно движущейся и покоящейся столкновительной плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Кашеваров, Алексей Васильевич

• Кашеваров, Алексей Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кашеваров, Алексей Васильевич

Введение

Глава I. Токи насыщения

§1. Аналитические выражения для токов насыщения. Зонды в двухтемпературной плазме: приближение холодных ионов

§2. Токи насыщения на зонды в потоках плазмы при малых числах

Рейнольдса

§3. Тепловая аналогия в теории зонда Ленгмюра

§4. Плотность тока насыщения в критической точке зонда.

Об использовании приближений пограничного слоя

§5. Влияние реакций ионизации-рекомбинации

Глава II. Полные ВАХ зондов при условии тонкого слоя объемного заряда

§6. Неохлаждаемый цилиндрический зонд в медленно движущейся плазме

§7. Охлаждаемый цилиндрический зонд в медленно движущейся плазме

§8. Характеристики сферического и цилиндрического зондов для точки торможения потока

Глава III. Экспериментальные исследования

§9. Описание установки и методики исследований

§ 10. Результаты экспериментов с присадками щелочных металлов

§11. Методика и результаты экспериментов с присадкой бария

§12. Обсуждение результатов применения электрических зондов для диагностики плазмы пламен с присадками

Глава IV. Специальные вопросы

§13. Исследование разрешимости задачи о цилиндрическом зонде в неподвижной столкновительной плазме с химическими реакциями

§14. Нестационарные режимы работы зонда в столкновительной плазме

§15.0 зондовой диагностике плазмы в присутствии пылевых частиц или отрицательных ионов

Глава V. Приложение теории зонда к аналитической теории дифференциальных уравнений

§ 16. Второе уравнение Пенлеве в теории электрического зонда

§ 17. Численные решения второго уравнения Пенлеве

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электрические зонды в медленно движущейся и покоящейся столкновительной плазме»

Электрический зонд Ленгмюра - наиболее простое средство диагностики плазмы, как с точки зрения его конструкции, так и методики проведения измерений, что обусловливает широкое применение зондов в экспериментальной практике. Основная трудность при этом состоит в интерпретации результатов зондовых измерений.

Вольт-амперная характеристика (ВАХ) зонда, в принципе, содержит полную информацию об основных параметрах плазмы, таких как концентрация электронов и их температура в плазме и ее потенциал. Однако чтобы установить их связь с параметрами ВАХ зонда, необходимо предварительно решить сложную математическую задачу, постановка которой зависит от условий работы зонда.

Зонд Ленгмюра уже длительное время используется для диагностики разреженной плазмы, когда число Кнудсена Kn » 1. Для этого условия теория зонда достаточно хорошо развита [1-3]. С начала шестидесятых годов прошлого века активно начата разработка теории зонда для другой сравнительно новой области его применения - плазмы высокой плотности при числах Kn « 1, т.е. когда зонд работает в режиме сплошной среды.

Основные достижения теории для этого случая зондовой диагностики плазмы излагались в [1—5]. Несмотря на громадное количество работ, из-за сложности проблемы и большого разнообразия условий проведения экспериментов с зондами в плотной плазме до сих пор остаются весьма слабо изученные с точки зрения теории зонда области его применения.

Одним из пробелов теории был режим медленного обтекания зонда. Степень влияния конвективного движения плазмы на показания зонда можно характеризовать электрическим числом Рейнольдса Ree = ReSc+ = [1], где Re - газодинамическое число Рейнольдса, Sc+ - ионное число Шмидта, £/«, -скорость набегающего потока, R — радиус зонда (или другой характерный размер), D+ — коэффициент диффузии положительных ионов. Так как число Sc+ = v/D+ ~ 1 (v - коэффициент кинематической вязкости), то числа Ree и Re одного порядка. В [1] были рассмотрены два случая движения плазмы: предельно малого влияния конвекции Ree -> 0, фактически неподвижная плазма, и сильного влияния Ree » 1, когда справедливо приближение пограничного слоя.

Важным для практики является часто встречающийся в экспериментах с зондами случай умеренного влияния конвекции Ree ~ 1, совершенно не затронутый в [1], а также в [2-4]. Этот режим течения реализуется при зондовых измерениях по меньшей мере в двух источниках плазмы: в плазменных струях и пламенах лабораторных горелок. В обзоре [5] отмечены лишь две работы [6, 7], в которых изучалась проблема интерпретации показаний зонда при Ree ~ 1 применительно к плазменным струям.

Они отличаются сравнительно высокими значениями абсолютной скорости потока, которые составляли в [6, 7] £/«, = 230 и 130 м/с соответственно. Однако высокая температура потока Т = 13240 и 15500 К приводит к большим значениям коэффициента диффузии ионов, и при радиусе цилиндрических зондов, использовавшихся в [6, 7], равных R = 0.6 и 0.15 мм, течение оказывается медленным с числами Ree« 14 и 3 соответственно.

Считается, что при таких числах Ree приближение пограничного слоя не применимо, и для теоретического определения параметров ВАХ приходится решать полные уравнения переноса заряженных частиц, что представляет более трудную задачу. Особенностью плазменных струй является значительная степень ионизации плазмы, которая была равна в [6, 7] 0.26 и ,0.66 соответственно, так что наличие электрически заряженных компонентов оказывает влияние на течение ионизованного газа в целом. Это еще более усложняет решение теоретической проблемы зондовых измерений. Поэтому в указанных работах расчеты проведены только для конкретных экспериментальных уеловий. В [6, 7] не приводятся диагностические формулы, позволяющие определить по ВАХ зонда концентрацию заряженных частиц в плазме.

Таким образом, по состоянию на 1988 год, когда была начата работа над представленной диссертацией, не была решена теоретическая проблема зондо-вых измерений в медленных потоках плотной плазмы при числах Ree ~ 1. В диссертации обобщается многолетний опыт деятельности автора по решению этой проблемы.

Проведенные теоретические и экспериментальные исследования сначала преследовали конкретную практическую цель - создание методики определения по ВАХ зонда концентраций заряженных частиц в плазме лабораторных пламен, т.е. пламен создаваемых горелками типа Мекера [8]. Это другой известный случай, когда имеет место медленное движение плазмы при зондовых измерениях.

Лабораторные пламена представляют собой удобную среду для проведения тонких физико-химических экспериментов как, например, исследования процессов ионизации присадок различных химических элементов [9], главным образом щелочных и щелочноземельных, отличающихся малым потенциалом ионизации. Это предъявляет повышенные требования к точности определения концентрации заряженных частиц с помощью зонда и стимулирует развитие его теории. Кроме того, проверка тех или иных результатов теории зонда чаще всего происходит именно в плазме пламен. Стандартная методика заключается в сравнении концентрации ионов присадки, определенной по ВАХ зонда с поv мощью какой-либо диагностической формулы, с равновесной концентрацией, рассчитанной по уравнению Саха на основе измеренной спектральными методами концентрации свободных атомов присадки (см., например, [10]).

Хотя числа Ree при зондовых измерениях в пламени, как правило, небольшие, нельзя пренебречь движением плазмы и использовать при обработке снятых ВАХ статическую теорию зонда (Ree = 0), так как это приводит к завышению значений концентрации заряженных частиц [11], так что в [12] даже рассматривался вопрос об аномальных токах на зонд, причиной которых, как было показано, являлся неучет движения плазмы.

В [12-15] предложены для применения при зондовой диагностике пламен формулы, связывающие токи на цилиндрический и сферический зонды при больших электрических потенциалах с концентрацией заряженных частиц в набегающем плазменном потоке. Они получены на основе приближенной, нестрогой в математическом отношении теории, развитой для условия Ree » 1. Экспериментальная методика проверки представленных соотношений предусматривала быстрое движение зонда поперек пламени, что не обеспечивало локальности измерений.

В экспериментах [16-18], проводившиеся в пламени с присадками различных щелочных элементов, концентрация их ионов определялась по ионному току насыщения В АХ. Связь между ними была установлена в [19] при условии обтекания цилиндрического и сферического зондов в режиме пограничного слоя, который, как считается, реализуется при больших числах Re. Ввиду этого, были использованы зонды относительно большого размера, неподвижные в плазме: в [16] сферический зонд с R - 2.5 мм, в [17, 18] цилиндрические зонды с R = 6 и 3 мм. Для обеспечения локальности измерений конструкция цилиндрического зонда была усложнена: проводящим была лишь небольшая его часть в окрестности передней критической точки.

В диссертации предлагаются диагностические формулы, позволяющие найти концентрацию заряженных частиц в пламени по показаниям обычно применяемых зондов в виде тонкой проволочки или сферы небольшого радиуса, не движущихся в плазме. Представлены результаты экспериментальной проверки этих формул.

Теоретический анализ проблемы зонда в пламени проще, чем для плазменных струй. Плазма пламени обычно слабо ионизована, что позволяет отделить электрическую задачу определения зондовых токов от необходимой для ее решения гидродинамической задачи определения полей скорости и температуры нейтрального несущего газа. В процессе работы над диссертацией получающиеся результаты стали выходить за поставленные рамки создания методики зондовой диагностики пламен и затрагивают проблему зондовых измере ний в медленно движущейся слабо ионизованной плотной плазме в целом, в том числе в неподвижной как предельный случай.

К моменту начала диссертационной работы сложились все необходимые предпосылки для решения указанной проблемы. Хорошо известна система уравнений, описывающая работу зонда в движущейся столкновительной слабо ионизованной плазме, и необходимые для ее решения граничные условия [1]. Эта нелинейная система уравнений эллиптического типа весьма сложна даже для численного решения. Кроме того, в двумерном случае цилиндрического зонда возникает проблема существования краевой задачи

Полные ВАХ зонда удалось к настоящему времени получить лишь в редких случаях. К ним относится сферический зонд в неподвижной термически равновесной нереагирующей плазме с постоянными переносными свойствами. Его ВАХ рассчитана в [21] в широком диапазоне значений а = XrJR отношения дебаевского радиуса экранирования к радиусу зонда, которое является одним из главных параметров, определяющим вид зондовой характеристики. При малых а с использованием методов асимптотического анализа ВАХ сферического зонда найдены в классических работах [22, 23].

Условие а « 1, характеризующее так называемый случай тонкого слоя объемного заряда, наиболее часто реализуется в экспериментах с зондами. Решение зондовой системы уравнений, позволяющее найти полные ВАХ зонда, при этом весьма сложно, в особенности для плазмы, движущейся при Ree ~ 1. Основное изменение электрического поля происходит в тонком слое у поверхности зонда, в то время как концентрация заряженных частиц изменяется во всем пространстве, большая часть которого оказывается квазинейтралыюй, т.е. концентрации положительно и отрицательно заряженных частиц в этой области почти одинаковы.

Для условия тонкого слоя объемного заряда в [20, 24] развита теория токов насыщения, существенно упрощающая проблему определения концентрации заряженных частиц по ВАХ зонда. Анализ системы уравнений показал, что при а —> 0 и достаточно большом зондовом потенциале ток на зонд стремится к некоторому постоянному значению и не зависит от потенциала. Система уравнений зонда вырождается в одно уравнение для квазинейтральной концентрации заряженных частиц, решение которого достаточно для нахождения тока насыщения и получения конкретных диагностических формул. Например, с использованием асимптотического анализа они получены в [25] для зондов различной формы в плазме, движущейся при Re « 1.

Определению токов насыщения на цилиндрический и сферический зонды при различных условиях их работы в медленно движущейся слабо ионизованной плазме высокой плотности посвящена Глава I диссертации.

В §1 дополнены результаты [20, 24], касающиеся токов насыщения: получены общие выражения для токов насыщения в случае отрыва температуры электронов от температуры ионов Т+, когда т = 7У71 = const Ф 1, безотносительно к режиму обтекания зонда. Показано, что при т Ф 1 влияние конвективного движения плазмы на показания зонда характеризует диффузионное число Пекле Ре = ReSc, где Sc - амбиполярное число Шмидта. Представлены аналитические выражений для токов насыщения при двух модельных случаях обтекания цилиндрического зонда и установлен их физический смысл. Эти выражения описывают токи насыщения в приближении холодных ионов (т —> 0) для предельно малых Ре « 1 и умеренных Ре ~ 1 чисел Пекле. При Ре « 1 приведено также аналитическое выражение для тока насыщения на сферический зонд. Предложены диагностические формулы определения концентрации заряженных частиц в приближении холодных ионов.

Используя эти результаты в качестве тестовых, были рассчитаны токи насыщения на цилиндрический и сферический зонды для реальных полей скорости, найденных из численного решения уравнений Навье-Стокса. Результаты расчетов и полученные на их основе диагностические формулы, в том числе для двухтемпературной плазмы, представлены в §2.

В §3 изложена имеющая место в теории зонда Ленгмюра тепловая аналогия и на ее основе подтверждена правильность проведенных расчетов путем сравнения с имеющимися в литературе численными результатами по теплоотдаче цилиндра. Предложена диагностическая формула определения концентрации заряженных частиц в термически равновесной плазме по ионному току насыщения вплоть до числа Ree = 105 на основе являющегося аппроксимацией опытных данных единого уравнения, связывающего теплоотдачу кругового цилиндра при поперечном обтекании его воздухом.

§4 посвящен сравнению результатов вычислений плотности тока насыщения в передней критической точке цилиндрического зонда, полученных на основе решения полных уравнений Навье-Стокса и массопереноса заряженных частиц н в рамках приближения пограничного слоя. Показано, что пределы применимости теоретических результатов [19], касающиеся передней критической точки и полученные в приближении пограничного слоя, могут быть существенно расширены для цилиндрического зонда вплоть до чисел Ree~l.

В §5 учтено влияние конечности скоростей реакций ионизации атомов присадки и рекомбинации заряженных частиц на зондовые токи насыщения, что особенно важно при диагностике плазмы пламен. В результате многопар-метрических расчетов проведена коррекция диагностических формул §2 с учетом кинетики химических реакций.

При использовании токов насыщения возникает вопрос о выборе точки на реальной зондовой характеристике, в которой ток равен теоретическому току насыщения. Ответить на него можно только зная полную ВАХ зонда. Глава II посвящена построению зондовых характеристик.

В §6 асимптотические методы решения основных уравнений зонда, развитые в [22, 23] для сферы в покоящейся плазме, распространены на случай не-охлаждаемого цилиндрического зонда в движущейся при Ree « 1 плазме и найдены его полные ВАХ при условии тонкого слоя объемного заряда а « 1.

В §7 в рамках того же подхода исследовано влияние температуры цилиндрического зонда на его ВАХ для режима медленного течения.

В §8 построены ВАХ стеночных неохлаждаемых зондов, установленных в передней критической точке сферы или кругового цилиндра, обтекаемых в режиме пограничного слоя при Re » 1.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Кашеваров, Алексей Васильевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проделанных численных, аналитических и экспериментальных исследований работы электрического зонда в столкновительной слабоио-низованной плазме можно сделать следующие выводы.

1. Получены диагностические формулы, связывающие ионный ток насыщения на цилиндрический и сферический зонды Ленгмюра с концентрацией заряженных частиц в медленно движущемся при числе Re ~ 1 потоке.

2. Построены вольт-амперные характеристики цилиндрического зонда в медленно движущейся при Re « 1 плазме и характеристики стеночных зондов в передней критической точке сферы и цилиндра, обтекаемых в режиме пограничного слоя при Re » 1.

3. Проведено экспериментальное подтверждение предложенных диагностических формул в ацетиленовоздушном пламени с присадками различных щелочных элементов (лития, натрия, калия, рубидия) и щелочноземельного элемента - бария.

4. Найдены аналитическое решение для эволюции зондового тока в переходном режиме и аналитические выражения для импеданса сферического зонда с синусоидально модулированным потенциалом в неподвижной плазме.

5. В рамках модели тяжелых многозарядных ионов рассмотрена зондовая диагностика пылевой плазмы. Получены выражения для токов насыщения положительных ионов, электронов и пылевых частиц на сферический зонд в неподвижной плазме и стеночный зонд, установленный в критической точке сферы, обтекаемой в режиме пограничного слоя.

6. Обнаружено математическое приложение теории электрического зонда к теории второго уравнения Пенлеве. Проведено численное интегрирование второго уравнения Пенлеве в условиях полного и неполного поглощения заряженных частиц. Представлены разнообразные численные решения и предложена их классификация.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кашеваров, Алексей Васильевич, 2005 год

1. Чан П., Тэлбот Л., Турян К. Электрические зонды в неподвижной и движущейся плазме. М.: Мир, 1978. 202 с.

2. Cherrington В.Е. The use of electrostatic probes for plasma diagnostics -a review // Plasma Chem. Plasma Process. 1982. V. 2. No. 2. P. 113-140.

3. Алексеев Б.В., Котельников B.A. Зондовый метод диагностики плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1988. 240 с.

4. Smy P.R. The use of Langmuir probes in the study of high pressure plasmas // Adv. Phys. 1976. V. 25. No. 5. P. 517-553.

5. Ъ.Беттов M.C. Теория электрических зондов в потоках слабоионизо-ванной плазмы высокого давления // ТВТ. 1988. Т. 26. №5. С. 993-1004.

6. Kanzcrwa A., Nonouchi S. Distribution of current density and heat flux around a cylindrical probe under atmospheric pressure // Int. Chem. Eng. 1976. V. 16. No. l.P. 184-189.

7. Negishi N., Kimura I. Probe measurement in a high-density ionized gas // Bull. JSME. 1980. V. 23. No. 181. P. 1171-1179.

8. Гейдоп А.Г., Волъфгард Х.Г. Пламя. Его структура, излучение и температура. М.: Металлургиздат, 1959. 333 с.

9. Лаутон Д., Вайнберг Ф. Электрические аспекты горения. М.: Энергия, 1976. 296 с.

10. Carabetta R., Porter R.P. Absolute positive-ion concentration measurements in flames with Langmuir probes // 12th Symp. (Intern.) on Combustion. Pittsburgh: Combust. Inst., 1965. P. 423-435.

11. Clements R.M., MacLatchy C.S., Smy P.R Verification of static probe theory in a moving high-pressure plasma// J. Appl. Phys. 1972. V. 43. No. 1. P. 31-37.

12. Clements R.M., Smy P.R. Anomalous currents to a spherical electrostatic probe in a flame plasma//Br. J. Appl. Phys. 1969. V. 2. No. 11. P. 1731-1737.

13. Clements R.M., Smy P.R. Electrostatic probe studies in a flame plasma // J. Appl. Phys. 1969. V. 40. No. 11. P. 4553-4558.

14. Clements R.M., Smy P.R. Ion current to a spherical probe in a flowing high-pressure plasma under thin sheath conditions // Proc. IEEE. 1970. V. 117. P. 1721-1724.

15. Clements R.M., Smy P.R. Ion current from a collision dominated flowing plasma to a cylindrical electrode surrounded by a thin sheath // J. Appl. Phys. 1970. V.41.No. 9. P. 3745-3749.

16. Васильева И.А., Косое В.Ф. Особенности использования ионных частей зондовых характеристик в потоках продуктов сгорания с легкоионизирую-щейся щелочной присадкой //ТВТ. 1981. Т. 19. №5. С. 1022-1030.

17. Бенилов М.С., Косое В.Ф., Рогов Б.В., Синелыциков В.А. Токи насыщения на электрические зонды в потоках химичски реагирующей плазмы с разными сортами ионов //ТВТ. 1987. Т. 25. №3. С. 573-581.

18. Косое В.Ф., Молотков В.К, Нефедов А.П. Измерения концентраций заряженных частиц в плазме продуктов сгорания методами электрического зондирования // ТВТ. 1991. Т. 29. №4. С. 633-640.

19. Бенилов М.С., Рогов Б.В., Тирский Г.А. Теоретическое определение ионного тока насыщения на электрические зонды в дозвуковых потоках плазмы //ТВТ. 1981. Т. 19. №5. С. 1031-1039.

20. Lam S.H. A general theory for the flow of weakly ionized gases // AIAA J. 1964. V. 2. No. 2. P. 256-262.ll.Baum E., Chapkis R.L. Theory of a spherical electrostatic probe in a continuum gas: an exact solution // AIAA J. 1970. V. 8. No. 6. P. 1073-1077.

21. Cohen I.M. Asymptotic theory of spherical electrostatic probes in a slightly ionized, collision-dominated gas // Phys. Fluids. 1963. V. 6. No. 10. P. 14921499.

22. Su C.H., Lam S.H. Continuum theory of spherical electrostatic probes // Phys. Fluids. 1963. V. 6. No. 10. P. 1479-1491.

23. Бенилов M.C., Тирский Г.А. О токах насыщения в плотной плазме // ПМТФ. 1979. №6. С. 16-24.

24. Бенилов М.С., Рогов Б.В., Тирский Г.А. Об ионном токе насыщения на электрический зонд в медленно движущейся плазме // ПМТФ. 1982. №3. С. 513.

25. Егорова З.М., Кашеваров А.В., Фомина Е.М., Цхай Н.С. Об измерении концентрации заряженных частиц цилиндрическим зондом Ленгмюра в плазме пламени // ТВТ. 1988. Т. 26. №3. С. 577-581.

26. Егорова З.М., Кашеваров А.В., Цхай Н.С. Ионный ток насыщения на электрические зонды в потоках плазмы при малых числах Рейнольдса // ПМТФ. 1990. №1. С. 159-163.

27. Егорова З.М., Кашеваров А.В., Цхай Н.С. Об ионном токе насыщения на электрические зонды в плазме пламени со щелочной присадкой // ТВТ. 1992. Т. 30. №3. С. 448-456.

28. Кашеваров А.В. О зондовых измерениях в плазме пламени // ТВТ. 1992. Т. 30. №6. С. 1220-1223.

29. Егорова З.М., Кашеваров А.В. О вольт-амперной характеристике цилиндрического зонда Ленгмюра в медленно движущейся плазме // ПМТФ. 1993. №2. С. 3-10.

30. Егорова З.М., Кашеваров А.В., Цхай Н.С. Определение концентраций заряженных частиц в плазме пламени с присадкой бария // ТВТ. 1993. Т. 31. №2. С. 190-193.

31. Кашеваров А.В. О влиянии кинетики рекомбинации на ток насыщения зонда Ленгмюра в плазме пламени с присадкой // ТВТ. 1994. Т. 32. №1. С. 12-15.

32. Кашеваров А.В. Вольт-амперная характеристика цилиндрического зонда Ленгмюра в медленно движущейся плазме при больших потенциалах зонда//ТВТ. 1994. Т. 32. №2. С. 173-176.

33. Егорова З.М., Кашеваров А.В. Охлаждаемый цилиндрический зонд Ленгмюра в медленно движущейся плазме // ПМТФ. 1994. Т. 35. №4. С. 3-12.

34. Кашеваров А.В. О плотности тока насыщения в критической точке электрического зонда// ТВТ. 1995. Т. 33. №1. С. 140-144.

35. Кашеваров А.В. Тепловая аналогия в теории зонда Ленгмюра // ИФЖ. 1995. Т. 68. №4. С. 629-632.

36. Кашеваров А.В. Характеристика охлаждаемого цилиндрического зонда в медленно движущейся плазме при больших потенциалах // ТВТ. 1996. Т. 34. №4. С. 519-524.

37. Кашеваров А.В. Применение электрических зондов для диагностики плазмы пламен с присадками // ТВТ. 1998. Т. З6.№5. С. 700-705.

38. Кашеваров А.В. О диагностике двухтемпературной столкновительной плазмы электрическими зондами //ТВТ. 1999. Т. 37. №1. С. 150-152.

39. Кашеваров А.В. Задача нестационарной теории электрического зонда в столкновительной плазме. Аналитическое решение // ТВТ. 2000. Т. 38. №1. С. 147-149.

40. Кашеваров А.В. Характеристика зонда в движущейся столкновительной плазме для точки торможения потока // ТВТ. 2001. Т. 39. №3. С. 381-386.

41. Кашеваров А.В. Сферический зонд с переменным потенциалом в неподвижной столкновительной плазме //ЖТФ. 2001. Т. 71. №9. С. 21-25.

42. Кашеваров А.В. О зондовой диагностике пылевой плазмы // ТВТ. 2002. Т. 40. №5. С. 702-705.

43. Кашеваров А.В. Исследование разрешимости задачи о цилиндрическом зонде в неподвижной столкновительной плазме с химическими реакциями // Ученые записки ЦАГИ. 2003. Т. 34. №3-4. С. 59-64.

44. Кашеваров А.В. Плотности токов насыщения в критической точке сферического зонда в движущейся столкновительной плазме с отрицательными ионами или пылевыми частицами //ЖТФ. 2005. Т. 75. №4. С. 37-41.

45. Кашеваров А.В. Второе уравнение Пенлеве в теории электрического зонда. Некоторые численные решения // ЖВММФ. 1998. Т. 38. №6. С. 9921000.

46. Кашеваров А.В. Второе уравнение Пенлеве в теории электрического зонда. Численные решения в случае неполного поглощения заряженных частиц поверхностью // ЖТФ. 2004. Т. 74. №1. С. 3-9.

47. Кашеваров А.В. Обтекание сферы и кругового цилиндра в приближе-, нии Озеена//Ученые записки ЦАГИ. 2000. Т. 31. №1-2. С. 132-141.

48. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матьё. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1953. 476 с.

49. Кашеваров А.В. Точное решение задачи конвективного теплообмена для кругового цилиндра в жидкости с малым числом Прандтля // Изв. РАН. МЖГ. 1994. №1. С. 43-48.

50. Кашеваров А.В. Точное решение задачи конвективного теплообмена для эллиптического цилиндра и пластины в жидкости с малым числом Прандтля // Изв. РАН. МЖГ. 1996. №3. С. 26-31.

51. Кашеваров А.В. О решении задачи конвективного теплообмена при плоском обтекании тела жидкостью с малым числом Прандтля // Изв. РАН. МЖГ. 1997. №6. С. 180-183.

52. Кашеваров А.В. Теплоотдача при обтекании препятствий плоским потенциальным потоком // ТВТ. 2000. Т. 38. №5. С. 115-119.

53. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.

54. Ершов А.П., Тимофеев И.Б., Чувашев С.Н., Быцкевич С.П. Эволюция структуры и параметров плазменной струи при импульсной инжекции в атмосферу // ТВТ. 1990. Т. 28. №3. С. 583-589.

55. Вап-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.310 с.

56. Hamielec А.Е., Raal J.D. Numerical studies of viscous flow around circular cylinders // Phys. Fluids. 1969. V. 12. №1. P. 11-17.

57. Корявое П.П., Павловский Ю.Н. Численное решение задачи о движении кругового цилиндра в потоке вязкой жидкости // Проблемы прикладной математики и механики. М.: Наука, 1971. С. 247-261.

58. Dermis S.C.R., Hudson J.D., Smith N. Steady laminar forced convection from a circular cylinder at low Reynolds numbers // Phys. Fluids. 1968. V. 11. No. 5. P. 933-940.

59. Ершов А.П., Калинин A.B., Сурконт O.C., Тимофеев И.Б., Шибкое

60. B.М., Черников B.A. Поперечные электрические разряды в сверхзвуковых потоках воздуха. Макроскопические характеристики разряда // ТВТ. 2004. Т. 42. №6.1. C. 856-864.

61. Benilov M.S., Rogov B.V. Ion saturation currents to spherical and cylindrical electrostatic probes in collisional plasmas // J. Appl. Phys. 1991. V. 70. No. 11. P. 6726-6731.

62. Ротер В., Бергман Ф. Измерение ионного тока насыщения с помощью цилиндрических зондов в сильноточной аргоновой дуге при атмосферном давлении // Физика и техника низкотемпературной плазмы. Минск: ИТМО им. А.В.Лыкова, 1977. С. 62-71.

63. Apelt C.J., Leadwich М.А. Heat transfer in transient and unsteady flows past a heated circular cylinder in the range 1 < Re < 40 // J. Fluid Mech. 1979. V. 95. No. 4. P. 761-777.

64. Jain P.C., Goel B.S. A numerical study of unsteady laminar forced convection from a circular cylinder // Trans. ASME, J. Heat Transf. 1976. No. 2. P. 303307.

65. ChenXi. Ion saturation current density and specific heat flux on a cylindrical probe immersed in a dense plasma flow// J. Phys. D: Appl. Phys. 1982. V. 15. No. 9. P. 1695-1708.

66. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 736 с.

67. Юдаев Б.Н. Техническая термодинамика. Теплопередача. М.: Высшая школа, 1988. 479 с.

68. Carrier G.F., Fendell F.E. Electrostatic probe in a reacting gas // Phys. Fluids. 1970. V. 13. No. 12. P. 2966-2982.

69. Sajben M. Boundary conditions for adsorbing-emitting electrodes in contact with seeded, dense plasmas // AIAA J. 1970. V. 8. No. 3. P. 400-406.

70. Taylor J.B., Langmidr I. The evaporation of atoms, ions and electrons from caesium films on tungsten // Phys. Rev. 1933. V. 44. No. 6. P. 427-458.

71. Синкевич О. А. Исследования по физике и технике низкотемпературной плазмы (по материалам журнала «Теплофизика высоких температур» за 1992-1997 гг.) //ТВТ. 1998. Т. 36. №4. С. 660-673.

72. Su С.Н., Kiel R.E. Continuum theory of electrostatic probes // J. Appl. Phys. 1966. V. 37, No 13. P. 4907-4910.

73. Бенилов M.C., Гринэ B.M., Лаш А.А., Рогов Б.В., Юндев Д.Н. Снижение концентрации электронов в плазме продуктов сгорания вследствие образования отрицательных ионов // ТВТ. 1990. Т. 28. №3. С. 620-622.

74. Wortberg G. Die zylindrische Langmuir-Sonde im langsam stromenden Plasma hoher Dichte. Dissertation. Aachen, 1966. 57 S.

75. Голубев B.B. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М., Л.: Гос. изд-во тех.-теор. лит., 1950. 436 с.

76. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969. 368 с.

77. Chapkis R.L., Вант Е. Theory of a cooled spherical electrostatic probe in a continuum gas//AIAA J. 1971. V. 9. No. 10. P. 1963-1968.

78. Лойцяпский Л.Г. Аэродинамика пограничного слоя. Л., М.: Гос. изд-во тех.-теор. лит., 1941. 412 с.

79. S3. Львов Б.В. Атомно-абсорбционный спектральный анализ. М.: Наука, 1966. 392 с.

80. Егорова З.М., Кашеваров А.В., Фомина Е.М., Цхай Н.С. Определение концентрации атомов щелочных металлов в углеводородном пламени // ЖПС. 1988. Т. 48. №6. С. 1023. Деп. в ВИНИТИ, per. №1433-В88.

81. Толанский С. Спектроскопия высокой разрешающей силы. М.: ИЛ, 1955.436 с.

82. УнзольдА. Физика звездных атмосфер. М.: ИЛ, 1949. 630 с.

83. Собельман И.И. Введение в теорию атомных спектров. М: ФМ, 1963.640 с.

84. Boss С.В., Hieftje G.M. A new accurate method for the measurements of rise velocities in laminar flames // Appl. Spectroscopy. 1978. V. 32. No. 4. P. 377380.

85. Mallard W.G., Smyth K.S. Mobility measurements of atomic ions in flames using laser-enhanced ionization // Combust. Flame. 1982. V. 44. No. 1. P. 61-70.

86. Зандберг Э.Я., Ионов Н.И. Поверхностная ионизация. М.: Наука, 1969. 432 с.

87. Ashton A.F., Hay hurst A.N. Kinetic of collision ionization of alkali metal atoms and recombination of electrons with alkali metal ions in flames // Combust. Flame. 1973. V. 21. No. 1. P. 69-75.

88. Бенилов M.C. Электрические зонды в режиме сплошной среды // Низкотемпературная плазма. 9. Диагностика низкотемпературной плазмы. Новосибирск: Наука, 1994, с. 214-247.

89. Fialkov А.В. Investigations on ions in flames // Progr. Energy Combust. Sci. 1997. V. 23. No. 5-6. P. 399-528.

90. Jensen D.E. Production of electrons from alkaline earths in flames: equilibrium and kinetic considerations // Combust. Flame. 1968. V. 12. No. 3. P. 261— 268.

91. Jensen D.E., Jones G.A. Reaction rate coefficient for flame calculations// Combust. Flame. 1978. V. 32. No. 1. P. 1-34.

92. Финкельнбург В., Меккер Г. Электрические дуги и термическая плазма. М.: ИЛ, 1961.369 с.

93. Ванин А.А., Каспаров М.Г., Мохов А.В., Нефедов А.П. Профили концентраций гидроксила в пограничном слое продуктов сгорания // ТВТ. 1991. Т. 29. №6. С. 1148-1156.

94. Moore G.E., Allison H.W. Adsorption of strontium and of barium on tungsten//J. Chem. Phys. 1955. V. 23. No. 9. P. 1609-1621.

95. Паттерсон Г.Н. Молекулярное течение газов. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1960. 272 с.

96. Ашин М.И., Васильева И.А., Косое В.Ф., Нефедов А.П. Определение температуры и концентрации электронов зондом в потоке плазмы при атмосферном давлении // Физика плазмы. 1975. Т. 1. №3. С. 483-487.

97. Benilov M.S. Can the temperature of electrons in a high-pressure plasma be determined by means of an electrostatic probe? // J. Phys. D: Appl. Phys. 2000. V. 33. No. 9. P. 1683-1696.

98. Власов П.А., Карасевич Ю.К., Панкратьева И.Л., Полянский В.А. Зондовый метод диагностики низкотемпературной плазмы с отрицательными ионами // ТВТ. 1988. Т. 26. №6. С. 1047-1056.

99. Cohen I.M., Schweitzer S. First-order effects of production on the continuum theory of spherical electrostatic probes // AIAA J. 1968. V. 6. No. 2. P. 298304.

100. Cohen I.M. Transient current overshoot to electrostatic probes in continuum, slightly ionized plasmas //Phys. Fluids. 1973. V. 16. No. 5. P. 700-701.

101. Алексеев Б.В., Котельников B.A. Нестационарный зонд в режиме сплошной среды// ТВТ. 1981. Т. 19. №6. С. 1272-1276.

102. Chang J.S., Laframboise J.G. Probe theory for arbitrary shape in a large Debye length, stationary plasma // Phys. Fluids. 1976. V. 19. No. 1. P. 25-31.

103. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

104. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

105. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 800 с.

106. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986. 800 с.

107. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968.344 с.

108. Бакшт Ф.Г. Низкочастотный импеданс зонда в плотной плазме // ЖТФ. 1978. Т. 48. №10. С. 2019-2026.

109. Прозоров Е.Ф., Ульянов КН. Импеданс плоского зонда в неизотермической локально-столкновительной плазме // ТВТ. 1983. Т. 21. №3. С. 538543.

110. Прозоров Е.Ф., Ульянов КН. Импеданс цилиндрического зонда в неизотермической локально-столкновительной плазме. II // ТВТ. 1983. Т. 21. №6. С.1179-1185.

111. Справочник по специальным функциям/ Под ред.: Абрамовица М. и Стегун И.М. М.: Наука, 1979. 832 с.

112. Таблицы интегральной показательной функции в комплексной области/ Библ. матем. табл. под ред. Карпова К.А., вып. 31. М.: ВЦ АН СССР, 1965.636 с.

113. Rothman M. Tables of the integrals and differential coefficients of Gi(+x) and Hi(-x) // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1954. V. 7. No. 3. P. 379-384.

114. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990.528 с.

115. Бенилов М.С., Тирский Г.А. Об одном точном решении задачи о проводящей сфере в покоящейся слабоионизизованной плазме // ДАН СССР. 1978. Т. 240. №6. С. 1324-1327.

116. Woodward P.M., Woodward A.M. Four-figure tables of the Airy functions in the complex plane // Phil. Mag. 1946. V. 37. Ser. 7. No. 267. P. 236-261.

117. Цытович B.H. Плазменно-пылевые кристаллы, капли и облака // УФН. 1997. Т. 167. №1. С. 57-99.

118. Нефедов А.П., Петров О.Ф., Фортов В.Е. Кристаллические структуры в плазме с сильным взаимодействием макрочастиц // УФН. 1997. Т. 167. №11. С. 1215-1226.

119. Игнатов A.M. Квазигравитация в пылевой плазме // УФН. 2001. Т. 171. №2. С. 213-217.

120. Клшюнтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982. 608 с.

121. Touryan K.J., Chung P.M. Flush-mounted electrostatic probe in the presence of negative ions // AIAA J. 1971. V. 9. No. 3. P. 365-370.

122. Bailey P.В., Touryan K.J. Continuum electrostatic probes in the presence of negative ions//AIAA J. 1973. V. 11. No. 9. P. 1225-1226.

123. Громак В.И. О транцендентности уравнений Пенлеве // Диф. уравнения. 1996. Т. 32. №2. С. 154-160.

124. Громак В.И. О решениях второго уравнения Пенлеве // Диф. уравнения. 1982. Т. 18. №5. С. 753-763.

125. Flaschka Н., Newell А.С. Monodromy- and spectrum-preserving deformations I // Commun. Math. Phys. 1980. V. 76. No. 1. P. 65-116.

126. Капаев А.А., Новокшенов В.Ю. Двухпараметрическое семейство вещественных решений второго уравнения Пенлеве // ДАН СССР. 1986. Т. 290. №3. С. 590-594. ' ; ^

127. Ъ2.Итс А.Р., Капаев А.А. Метод изомонодромных деформаций и формулы связи для второго трансцендента Пенлеве // Изв. АН СССР, сер. Мате-матческая. 1987. Т. 51. №4. С. 878-892.

128. Капаев АЛ. Асимптотические формулы для функций Пенлеве второго рода // Теор. и матем. физ. 1988. Т. 77. №3. С. 323-332.

129. БлюЭ., Инголъд Д., Озеров В. Диффузия электронов и ионов в нейтральном газе // Термоэмиссионное преобразование энергии. М.: Атомиздат, 1965. Т. 2. С. 65-72.

130. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений краевых задач. М.: Наука, 1989. 334 с.

131. McCoy В.М., Tang Sh. Connection formulae for Painleve V functions // Physica D. 1986. V. 19. No. 1. P. 42-72.

132. Ъ1.Бордаг JI.А., Капаев A.A., Китаев А.В. Асимптотическое описание вещественных решений второго уравнения Пенлеве при v = ±1/2. Сообщ. ОИЯИ, Р5-86-679, Дубна: ОИЯИ, 1986.14 с.

133. Its A.R., Novokshonov V.Yu. The isomonodromic deformation method in the theory of Painleve equation// Lecture notes in math. V. 1191, Berlin etc.: Springer, 1986.317 р.

134. Rosales R.R. The similarity solution for the Korteweg-de Vries equation and the related Painleve transcendent// Proc. Roy. Soc. London. 1978. V. A361. No. 1706. P. 265-275, : :

135. Miles J. W. On the second Painleve transcendent // Ibid. P. 277-281.

136. Taccogna F., Longo S., Capitelli M. A particle-in-cell/Monte Carlo model of the Ar+ ion collection in He gas by a cylindrical Langmuir probe in the transition regime // Europ. Phys. J., Appl. Phys. 2003. V. 22. No. 1. P. 29-39.