Экстремумы целевых функционалов в задачах управления двухуровневыми квантовыми системами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Ильин Николай Борисович

• Ильин Николай Борисович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Ильин Николай Борисович

1.1 Формулировка задачи

1.2 Градиент и гессиан целевого функционала

1.3 Отсутствие ловушек на больших временах

ГЛАВА 2. Экстремумы целевых функционалов на малых временах

2.1 Задачи с ловушками

2.2 Условия отсутствия ловушек на малых временах

2.3 Численное моделирование поведения целевого функционала в окрестности управления /0

ГЛАВА 3. Экстремумы целевой функции в задачах управления с помощью квантовых измерений

3.1 Формулировка задачи

3.2 Оптимальное управление в двухуровневой системе

3.3 Асимптотика целевой функции

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Квантовая механика, возникшая в первой половине прошлого века, не только изменила общее понимание фундаментальных законов физики, но также дала мощный импульс для развития новых технологий. Современные технологии достигли такого уровня, на котором появилась возможность манипулировать объектами на масштабах микро и нанометров, например, отдельными атомами и молекулами, индивидуальными химическими реакциями, определенным количеством фотонов в резонаторе и другими. Использование квантово-механических систем и процессов находит широкие применения в квантовых технологиях. Так как для адекватного описания таких систем необходимо учитывать их квантовую природу, то в настоящее время все большую актуальность приобретают соответствующие разделы квантовой теории, такие как квантовая теория информации, теория управления квантовыми системами, квантовая оптика, квантовая химия, наноэлектроника и многие другие. Одной из основных дисциплин в этой области стала теория управления квантовыми системами, которая распространяет область применимости теории оптимального управления, успешно разработанной для систем с классической динамикой, на квантовые системы. Теория управления квантовыми системами является актуальным разделом современной математической физики. В этой области возникает широкий спектр задач, которые требуют для своего рассмотрения строгих математических методов, принадлежащих математической физике, таких как теория операторов, вариационное исчисление, теория обобщенных функций.

Во второй половине XX века в рамках проблематики, связанной с вариационным исчислением, появилась теория оптимального управления, которая расширила традиционные методы по поиску экстремалей вариационных задач, восходящие к Л. Эйлеру и Ж.Л. Лагранжу, на новые более широкие классы проблем. В конце 1950-х годов в работах Л.С. Понтрягина, В.Г. Бол-

тянского, P.B. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко [16] был предложен принцип максимума Поптрягипа, а в работах Р. Беллмапа [4] — метод динамического программирования. В последующем теория оптимального управления развивалась в работах H.H. Красовского, A.A. Красовского, В.Ф. Кротова, А.Я. Ду-бовицкого, В.М. Тихомирова, Ю.С. Осипова, A.A. Аграчева, С.М. Асеева, М.С. Никольского, P.E. Калмана (R.E. Kaiman), Э.Б. Ли (E.B. Lee), Л. Маркуса (L. Markus) и ряда других авторов. Получили также развитие геометрические методы, в частности, задачи управления на группах Ли, которые изложены в монографиях A.A. Аграчева и Ю.Л. Сачкова [1], В. Журджеви-ча [43].

В 1980-х годах на стыке квантовой механики и теории оптимального управления в работах В.П. Белавкина, А.Г. Бутковского, П. Брюмера (P. Brumer), X. Вайсмана (Н. Wiseman), B.C. Летохова, X. Рабица (Н. Rabitz), С. Райса (S. Rice), Ю.И. Самойленко, Д. Тэннора (D. Tannor), M. Шапиро (M. Shapiro) и других авторов появилась и стала активно развиваться теория управления квантовыми системами. В настоящее время в этой области происходит бурный рост. Вопросы, связанные с управлением квантовыми системами, получили освещение в ряде монографий, включая книги А.Г. Бутковского и Ю.И. Самойленко [6], С.А. Райса и М. Жао [64], П. Брюмера и М. Шапиро [27], А.Л. Фрадкова и O.A. Якубовского [17], B.C. Летохова [47], Д. Д'Алессандро [29], Д. Тэннора [68], Х.М. Вайзмана и Ж.Дж. Милбурна [71]. В качестве примеров современных исследований в этой области можно отметить, например, работы X. Рабица, М. Хсиеха и К. Ро-зенталя о субоптимальных максимумах в задаче максимизации вероятности перехода [62], Т. Шульте-Хербрюггена, С. Глезера, Г. Дирра и У. Хелмке об использовании градиентных потоков на римановых многообразиях в квантовом управлении [65], X. Вайзмана об управлении с помощью нечетких измерений [72], Дж. Гафа, В.П. Белавкина и О.Г. Смолянова об уравнении Гамильтона-Якоби-Беллмана для управления квантовыми системами с об-

ратной связью [38], А.H. Печеня h X. Рабнца об управлении открытыми квантовыми системами с помощью окружения [58], Л. Аккарди, C.B. Козырева и А.Н. Печеня об управлении в стохастическом пределе квантовой теории [21], Т. Каневы, Т. Каларко и С. Монтанжеро о контролируемом создании дол-гоживущих зацепленных состояний [28], Д.В. Жданова и Т. Зейдеман о существовании локальных максимумов и минимумов, не являющихся глобальными, у целевого функционала в двухуровневых системах для ограниченных управлений [75].

В диссертационной работе рассматриваются двухуровневые квантовые системы. Одним из широко использующихся способов управления квантовыми системами является когеретное управление, при котором система предполагается изолированной от окружения и описывается унитарной динамикой. Эволюция замкнутой двухуровневой квантовой системы под воздействием когерентного управления f описывается уравнением Шредингера для оператора унитарной эволюции U} :

dTjf

=(Яо + f {t]v )и' ' =1 (1)

Здесь Н0 и У ~ свободный гамильтониан и потенциал взаимодействия (2 х 2 эрмитовы матрицы), / € Ь1([0,Т]; К) — управление. Рассматривается невырожденный случай [Н0,У] = 0. Предполагается, что матричные элементы и{ принадлежат пространству абсолютно непрерывных функций, € АС[0,Т]. В этом случае уравнение (1) с начальным условием и0 = I имеет единственное решение для каждого управления ].

Многие задачи квантового управления формулируются как терминальные задачи по поиску глобального экстремума целевого функционала вида

а [/] = т (ир), (2)

где и^р — оператор унитарной эволюции, описывающий изменение состояния системы на интервале времени [0,Т] под воздействием управления /,

а Т : U(п) ^ R — некоторая функция на унитарной группе U(2). Для определенности всюду в дальнейшем будем говорить о задаче максимизации. Цель управления состоит в том, чтобы для данногоТ найти такое управление fopt б L1([0,T]; R), для которого фупкционал J[f] достигает максимума.

J [fopt] = max J [f]. (3)

Функционалы вида (2) включают, в частности, такой важный для приложений функционал, как квантовое среднее наблюдаемой

Jo [f]=Tt(U^ pgU$ О), (4)

где О — целевая наблюдаемая (2 х 2 матрнца), pG — начальное

состояние (2 х 2 неотрицательная эрмитова матрица с единичным следом), Т > 0 — конечный момент времени, а также целевой функционал для задачи генерации квантового вентиля W £ U(2)

Jw [f] = 4 WW^Uf )|2, (5)

который описывает задачу создания заданного унитарного квантового канала. Квантовые каналы играют ключевую роль в теории квантовой информации [20, 51]. В частности, важную роль играют бозонные гауссовые каналы, для которых в 2013 году В. Джованетти, A.C. Холево и Р. Гарсиа-Патроном была доказана давно высказанная гипотеза о гауссовых оптимизаторах [36,49].

Актуальной проблемой в теории управления квантовыми системами является анализ целевого функционала J[f ] на наличие ловушек. Ловушками для задачи максимизации называются локальные максимумы целевого функционала, не являющиеся глобальными. Одной из основополагающих работ, посвященных проблеме ловушек, является работа X. Рабица, М. Хсиеха и К. Розенталя [62], в которой высказана гипотеза об их отсутствии в задачах управления квантовыми системами для случая общего положения. Несмотря

на большой интерес к этой проблеме, доказать это предположение удалось только для двух случаев: для задачи управления двухуровневыми квантовыми системами [13,56] при условии достаточно большой длительности управления Т и для задачи управления коэффициентом прохождения частицы через одномерный барьер [60]. Проблема ловушек имеет важное значение для оценки эффективности алгоритмов поиска решения оптимизационной задачи, использующих локальные данные, такие как градиент целевого функционала в данной точке или значения целевого функционала в точках близких к данной. Наличие ловушек оказывает влияние на вероятность достижения глобального максимума или минимума с помощью методов, основанных на локальных алгоритмах, и может значительно снижать степень их эффективности. Существуют методы, такие как генетические алгоритмы, которые позволяют избегать трудностей, связанных с наличием ловушек, но их реализация требует существенно больших ресурсов, чем методы, основанные на локальных алгоритмах. В качестве еще одного альтернативного способа управления квантовыми системами выступает метод скоростного градиента [2].

Другой актуальной проблемой является управление открытыми квантовыми системами. Для них существует множество различных способов управления, использующих как непосредственное воздействие на систему, которое меняет ее гамильтониан в процессе эволюции, так и изменения в окружении системы, которые оставляют неизменной ее собственную динамику. Одним из таких методов является управление с помощью измерений. В этом случае, помимо унитарной эволюции, квантовая система изменяет свое состояние в результате неселективных измерений заданных наблюдаемых, что дает дополнительную возможность управления ею, которая в некоторых случаях более удобна. Такой вид управления тесно связан с эффектом Зенона в квантовой теории, который был впервые рассмотрен советским физиком Л.А. Халфи-ным [18,19], а также Э.Ч.Д. Сударшаном и Б. Мисрой [67]. Пусть система находится в начальном состоянии с матрицей плотности р0 и через промежутки

времени ötk производятся измерения состояния, описываем ого проектором Р таким, что р0 = Рр0Р. В результате каждого измерения матрица плотности испытывает преобразование pt-0 ^ pt+о = Ppt-оP/Tr[pt-0P], а между измерениями — pt+0 ^ pt+st = е-г6Шpt+0elötH. Тогда lim Tr[ptP] = 1, то есть в

max 5tk^

пределе непрерывного измерения система с вероятностью единица остается в состоянии р0 все время. Это утверждение составляет содержание квантового эффекта Зенона. В работах А.П. Балахандрана и С.М. Роя [22,23] рассматривается обобщение предыдущего результата. Пусть измеряется состояние,

+

соответствующее зависящему от времени проектору Pt = WtPWt, при этом предполагаются некоторые условия гладкости. Тогда lim Tr[ptPt] =

max St к ^

Таким образом, в каждый момент времени система с вероятностью единица находится в состоянии Ptj что может быть интерпретировано как управление системой с помощью измерений. Точное следование квантовой системы за изменением проектора Pt было названо А.П. Балахандраном и С.М. Роем эффектом анти-Зенона. В современных работах этот эффект также называется динамическим эффектом Зенона. В работе [55] исследуются экстремумы целевых функционалов при управлении с помощью измерений, в частности, в ней найдена оптимальная дискретная аппроксимация динамического эффекта Зенона.

В последнее время, в связи с развитием возможностей по управлению индивидуальными квантовыми системами, интерес к квантовому эффекту Зенона растет. В частности, недавно группам Д. Вайнленда и С. Ароша [24,42] удалось экспериментально наблюдать эффект Зенона. В экспериментах группы Вайнленда [42] эффект Зенона наблюдается на переходах между двумя уровнями ионов бериллия. Ионы, удерживаемые в ловушке Пеннинга, охлаждаются лазером. Короткие импульсы лазера осуществляют измерение. Если ион находится в основном состоянии, он рассеивает фотоны, если в возбуждённом — нет. При этом осцилляции между двумя уровнями прекращаются, что соответствует эффекту Зенона. В экспериментах группы Ароша [24]

ридберговские атомы пропускаются через полость, которую лазер заполняет когерентным излучением. Атомы находятся в состоянии, соответствующем смеси двух уровней. В зависимости от наличия или отсутствия фотонов в полости относительный фазовый сдвиг между этими уровнями изменяется. Состояние атомов после прохождения полости регистрируется и, таким образом, осуществляется управление числом фотонов. Например, если часто измерять наблюдаемую, соответствующую исходному состоянию атомов, то число фотонов в полости будет равно нулю. Квантовые измерения также могут используются для томографического представления состояний квантовых систем [32,34] или для создания зацепленных состояний [39]. Управление с помощью неселективных измерений предоставляет новые возможности для реализации заданных свойств и состояний квантовых систем по сравнению с когерентным управлением.

В диссертационной работе исследуются задачи управления как замкнутыми, то есть изолированными от окружения, так и открытыми двухуровневыми квантовыми системами. Для замкнутых систем проанализирована проблема наличия локальных максимумов и минимумов, не являюшихся глобальными. Для открытых систем получено решение задачи максимизации целевой функции с помощью последовательности неселективных квантовых измерений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экстремумы целевых функционалов в задачах управления двухуровневыми квантовыми системами»

Цели работы.

а) Исследование экстремумов целевых функционалов^[/] и [/] в задачах когерентного управления изолированными от окружения квантовыми системами.

б) Исследование экстремумов целевой функции в задачах управления открытыми квантовыми системами с помощью неселективных измерений. Построение оптимальной дискретной аппроксимации квантового динамического эффекта Зенона для двухуровневых квантовых систем.

Основные результаты.

а) Теоремы об экстремумах целевых функционалов Jo [f] и Jw [f], описывающих среднее значение наблюдаемой О и генерацию унитарного процесса W, на множестве всех управлений, кроме одного исключительного, в задачах когерентного квантового управления замкнутыми двухуровневыми системами.

б) Теоремы об экстремумах целевых функционалов Jo [f ] и Jw [f ] на множестве всех управлений для определенных значений параметров задачи.

в) Теорема о наблюдаемых, которые реализуют глобальный максимум вероятности перехода в задаче управления с помощью неселективных квантовых измерений в двухуровневых системах.

Содержание диссертационной работы В главе 1 исследуются экстремумы целевых функционалов Jo [f ] и Jw [f ] в задачах когерентного управления изолированными от окружения двухуровневыми системами. Основными результатами этой главы являются теоремы

1 и 2 об отсутствии ловушек у целевых функционалов Jo [f] и Jw [f ] • Определение. Введем специальное управление f0 и время Т0.

= -TrHpTrV + 2Tt(HqV )

/0 • (Тту)2 - 2Try2 , W

'К

Т° := ||Яо - 1ТгЯо/2 + fo(V - ITrV/2)\\' Здесь и далее под нормой матрицы А £ Cn х Cn подразумевается операторная норма IIАЦ = sup |Aa|, a £ Cn. Отметим, что Т0 < то, так как

|a|=1

если Н0 = ITrH0/2 - f0V + I/0TrV/2, то [Н0, V] = 0, что противоречит условию нетривиальности исходного гамильтониана. Также f0 < то, поскольку TrV2 - 2TrV2 = -2Тг(У - ITrV/2)2 иесли TrV2 - 2TrV2 = 0, то V - I, что опять противоречит нетривиальности гамильтониана. Будем также использовать матрицы Паули аХ7 ау и az:

(о Л (о -Д Л 0 \

°Х = I I , (Ту = I I , ^z = I I . (8)

\1 о \i 0 \0 -1

и

Доказываются следующие основные теоремы 1 и 2, утверждающие, что никакое управление / оличное от /0 не является ловушкой для целевых функционалов ^о [/] И Jw [/]•

£

Теорема 1. Пусть 2 х 2 унитарная матрица Щ для данного / £ Ь1([0,Т]; К) подчиняется уравнению (1), где [Н0 ,У] = 0. Тогда для любого Т > 0, если / = /0, то / не является ловушкой в задаче максимизации (3) целевого функционала Зо [/], заданного формулой (4). Теорема 2. Пусть 2 х 2 унитарная матрица и( для данного / £ Ь1([0,Т]; К) подчиняется уравнению (1), где [Н0 ,У] = 0. Тогда для любого Т > 0, есл и / = /0, то / не является ловушкой в задаче максимизации (3) целевого функционала [/}, заданного формулой (5). Для управления /0 доказывается теорема об отсутствии ловушек целевых функционалов ^о [/] и [/] Для достаточно больших Т. Теорема 3. Пусть 2 х 2 унитарная матрица и( для данного / £ Ь1 ([0,Т]; К) подчиняется уравнению (1), где [Н0,У] = 0. Тогда, если Т > Т0, то /0 не является ловушкой в задаче максимизации (3) целевых функционалов Зо[/} и Jw [/], заданных формулами (4) и (5). Теоремам 1, 2 и 3 в главе 1 соответствуют теоремы 1.4, 1.5 и 1.6.

В главе 2 исследуются экстремумы целевых функционалов ^о ^] и [/] в задачах когерентного управления изолированными от окружения двухуровневыми квантовыми системами на достаточно малых временах. Основным результатом этой главы являются теоремы 4 и 5.

Из теорем 1, 2 и 3 вытекает, что при Т > Т0 в рассматриваемой задаче у целевых функционалов ^о [/] и [/] нет ловушек. В главе 2 доказывается, что для широкого класса двухуровневых систем это значение Т0 можно уменьшить. Рассматривается гамильтониан, для которого Тг^0 = 0 ТтУ = 0 и Тг(^0V) = 0. В этом случае уравнение Шредингера для оператора эволюции ^ с помощью унитарного преобразования и замены времени преобразуется

к ВИДУ

би ^

= (а* + / Шух(Гх + уу ау ))и{. (9)

При этом для системы (9) /0 = 0 и Т0 = ж.

Рассматриваемая задача определяется тремя векторными параметрами г, а, V е К3:

г = Тг(ро^), а = Тг(ега*т Ое—га*т а), V = 1Тг(У ^), (10)

2

га

ветствующпй целевой наблюдаемой, V — вектор, соответствующий потенциалу взаимодействия. Доказывается, что если б^о[/]/$/1/=о = 0 и управление / = 0 те является глобальным экстремумом, то векторы г, а, V принадлежат плоскости Оху.

В следующих теоремах представлены достаточные условия того, что управление /0 не является ловушкой целевых функционалов Jо [/] и Jw [/] в задаче управления системой (9) для Т < Т0 = ж.

Теорема 4. Пусть 2 х 2 унитарная матрица, и/ для данного / е Ь1([0,Т}; Ж) подчиняется уравнению (9). Тогда, еслиТ > п/2, то управление / = 0 не является ловушкой в задаче максимизации (3) целевого функционала 3о [/]7 заданного формулой (4).

Отметим, что произвольная матрица такая что \Ш, а*] = 0, имеет вид

w = +г/зш, Где ^ е (0,^], ^ е [0,2ж). (И)

Теорема 5. Если \Ш, а*] = 07 то для любого Т > 0 все максимумы целевого функционала Jw[/] — глобальные. Пусть ] = 0. Тогда, если а^^ е (0, п/2), то все максимумы целевого функционала Jw[/] — глобальные для любого Т > 0, если а^^ е [п/2,п], то все максимумы целевого функционала Jw [/] — глобальные для любого Т > п — а^^.

Теоремам 4 и 5 в главе 2 соответствуют теоремы 2.4 и 2.5. Эти теоремы

уточняют границу для длительности Т управляющего импульса, выше которой у целевого функционала отсутствуют ловушки. Следует отметить, что в некоторых специальных и вырожденных случаях ловушки в двухуровневых системах существуют. В частности, ловушки существуют для управлений с ограничениями, например, для управлений в виде кусочно-постоянных функций с заданным числом интервалов постоянства ¡(Ъ) = ^Г агХ[^г, [56].

Результаты, описанные в первых двух главах, посвящены исследованию изолированных от окружения квантовых систем.

В главе 3 исследуются экстремумы целевых функций в задачах управления с помощью измерений в двухуровневых квантовых системах. Взаимодействие с измерительным прибором делает управляемую систему открытой, в частности индуцирует неунитарную динамику системы. Основным результатом этой главы является теорема 6 о наблюдаемых, которые реализуют глобальный максимум целевой функции в задаче управления с помощью измерений в двухуровневых квантовых системах для любого фиксированного числа измерений.

В начале главы 3 приводится постановка рассматриваемой задачи управления. Состояние двухуровневой системы описывается с помощью матрицы плотности р (неотрицательная эрмитова 2 х 2 матрица с единичным следом). Собственная динамика квантовой системы описывается уравнением Шредин-гера

^ = [н,^ ^

где Н — гамильтониан системы (эрмитова 2 х 2 матрица). В силу уравнения Шредингера (12) матрица плотности р преобразуется с помощью оператора унитарной эволюции Щ = е-гШ:

р ^ЩР):=игРи1. (13)

Кроме собственной динамики, задаваемой гамильтонианом состояние квантовой системы преобразуется под воздействием неселективных измере-

ний наблюдаемой Ц по следующему правилу:

р ^Мд(р) := ^ РгрРг. (14)

г

Здесь Рг — проекторы па собственные подпространства измеряемой наблюдаемой входящие в её спектральное представление Я = г дгРг. Совместно неселективные измерения величин ^ в моменты времени Ьк и унитарная эволюция па временных отрезках \Ък определяют следующее преобразование матрицы плотности:

рм = Ым о Мо>м о Ым—1 о ... о Мо*! о Ыо (ро). (15)

Здесь Ык(р) = и1к+1—гкри}к+1—1-к7 Ьо = 0 — начальный момент времени и tN+1 = Т — конечный момент времени, ро — матрица плотности начального состояния системы.

Рассматривается задача максимизации квантового среднего целевой наблюдаемой О в конечный момент времени Т на множестве, состоящем из последовательностей наблюдаемых Q1,... , QN7 то есть максимизации функции

^[Я1,...,Я^ :=Тг[^О]. (16)

Цель управления состоит в том, чтобы найти оптимальные наблюдаемые Qc¡pt,... , ЯТ, которые максимизируют целевую функцию, то есть такие, что для данной матрицы плотности ро и целевого оператора О выполняется соотношение

^ЮТ,...,ЯТ] = тах ^[Я1,...М = ^йХ[ро,о]. (17)

Основным результатом главы 3 является следующая теорема. Теорема 6. Пусть состояние системы преобразуется согласно (15), О = Л • I + Л • а, Н = Но • I + Ь • а и рт = итроиТ = 1 [I + а • а]. В моменты времени , к = 1,... производятся неселективные измерения наблюдаемых Як- Тогда выражения для оптимальных наблюдаемых ЯТ*", которые

доставляют максимум целевой функции (16) в задаче максимизации (17), имеют вид

QT

Рк

Фк

= ар

opt

к + Р(I -р4*), РТ = 2[I + Рк • *], е R,

opt

1

а = Р,

= eh(&k • eh) + (ak - eh(&k • eh)) cos фк - ak x eh sinфк,

h

= 2|h|(T - tk), eh = yh|.

Если A p = Z(a, Л) е (0,п) (здесь Z(a, Л) — угол между векторами a и \), то вектор ak получается вращением единично го вектора e0 = a/|a| на угол kAp/(N + 1) в плоскости векторов е0 и ех = А/|А|;

ak = ео

sin [S=k*LA p]

sin A p

Если A p = Z(a, Л) = 07 то

+ ei

sin [ж+хA p]

sin A p

k = 1,...,N.

(18)

ak = e0, k = 1,... ,N.

(19)

Если А ср = Z(a, Л) = п, то вектор ак получается вращением единичного вектора е0 = а/|а| на угол пк/(Ж + 1) в плоскости векторов е0 и ё1} где е1 — любой единичный вектор ортогональный вектору е0 = а/|а|7

ak = e0cos

k

N + 1

-п

+ ех sin

k

N + 1

-п

k = 1,..., N.

(20)

Теорема 6 дает оптимальную дискретную аппроксимацию динамического эффекта Зенона. В главе 3 ей соответствует теорема 3.5.

В заключении кратко суммируются изложенные в основном тексте результаты.

Апробация работы. Результаты работы докладывались автором на следующих международных конференциях: "Математическая физика и её приложения" (Самара, 27 августа — 1 сентября 2012 г.), "55-я Научная конференция" (Долгопрудный, МФТИ, 19-25 ноября, 2012 г.), "Теоретическая физика и

её приложения" (Москва, Московский государственный открытый университет, 24-28 июня 2013 г.), "Международная конференция по математической теории управления и механике" (Суздаль, 5-9 июля 2013 г.), "Управление и оптимизация неголономных систем" (Переел авль-Залесский, университет г. Переславля 10-13 июля 2013 г.), "QP-34 Quantum Probability and Related Topics" (Москва, МИАН, 16-20 сентября 2013 г.), "Геометрия и управление" (Москва, МИАН, 14-18 апреля 2014 г.), "Математическая физика и её приложения" (Самара, 26 августа — 1 сентября 2014 г.), "Международная конференция по математической теории управления и механике" (Суздаль, 3-7 июля 2015 г.), "3-я Международная конференция по квантовым технологиям" (Москва, 13-17 июля 2015 г.), а также на семинарах отдела математической физики Математического института им. В.А. Стеклова под руководством И.В. Воловича, семинарах механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством О.Г. Смолянова, семинаре МФТИ «Квантовая физика и квантовая информация» под руководством В.И. Мань-ко и С.Н. Филиппова, семинарах «Квантовая математическая физика» под руководством В.В. Козлова, И.В. Воловича, C.B. Козырева и A.C. Трушеч-кина, действующего в рамках Научно-образовательного центра при Математическом институте им. В.А. Стеклова, семинаре отдела дифференциальных уравнений Математического института им. В.А. Стеклова «Проблемы математической теории управления» под руководством С.М. Асеева и М.С. Никольского и семинаре кафедры математики НИТУ «МИСиС» под руководством В.В. Козлова, A.A. Давыдова, А.Н. Печеня и К.В. Халкечева.

Публикации. Результаты по теме диссертации опубликованы в работах [13-15,55,56].

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в главе 1, являются первым математически обоснованным утверждением об отсутствии ловушек для достаточно больших времен у целевых функционалов Jo [f] и Jw [f] в

широком классе задач теории управления квантовыми системами. Результаты, полученные в главе 2, могут использоваться в практических задачах по управлению двухуровневыми квантовыми системами, так как дают оценки минимального времени управления, при котором ловушки отсутствуют. Результаты, полученные в главе 3, также могут применяться в задачах по управлению квантовыми системами. Выражения для оптимальных наблюдаемых и полученное с их помощью выражение для максимума целевой функции могут использоваться для оценки верхней границы значений целевого функционала при произвольной последовательности управляющих измерений и служить для оценки эффективности того или иного конкретного алгоритма решения задачи максимизации целевых функционалов с помощью измерений в двухуровневой системе.

Методы исследования. В диссертации используются методы функционального анализа, вариационного исчисления, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории групп и алгебр Ли, асимптотические методы.

Благодарности. Автор выражает благодарность своему научному руководителю А.Н. Печеню за постановку задач и постоянное внимание к работе, сотрудникам отдела математической физики Математического института им. В.А. Стеклова И.В. Воловичу, C.B. Козыреву, А.К. Гущину, В.П. Михайлову и A.C. Трушечкину за полезные обсуждения. Исследования частично поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (грант РФФИ № 14-01-31115 «Исследование локальных экстремумов целевых функционалов для задач управления квантовыми системами») и Российским научным фондом (гранты РИФ № 14-11-00687 «Квантовая динамика и управление в нано-и биосистемах», № 14-50-00005 «Современная математика и ее приложения», направление «Теоретическая/математическая физика и топология», № 17-1101388 «Математические методы для задач квантовых технологий и динамика открытых квантовых систем»).

ГЛАВА 1

ЭКСТРЕМУМЫ ЦЕЛЕВЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ НА

БОЛЬШИХ ВРЕМЕНАХ

Двухуровневая квантовая система, например, система, имеющая два различных стационарных состояния и с энергия ми Е1 = Е2, является наименьшим элементом для хранения и обработки информации в квантовых вычислениях. В квантовой информатике такой элемент получил название кубита. Одним из простейших примеров двухуровневой системы может служить электрон со спином в = 1/2, взаимодействующий с внешним магнитным полем В. Электрон имеет два состояния с энергиями Е1^2 = ±дВ/2, отвечающие двум проекциям спина на направление магнитного поля. В качестве двухуровневой системы, реализующей кубит, могут выступать также основное состояние и оптический уровень энергии в атоме, два состояния фотона с двумя различными поляризациями, два состояния, соответствующие двум различным фазам сверхпроводника, состояния ионов в ловушках и другие [31,46,52]. Для реализации квантовых алгоритмов необходимо обеспечить возможность управления отдельным кубитом, например, уметь создавать произвольное состояние кубита или произвольную унитарную эволюцию. Многие задачи такого типа могут быть сформулированы как максимизация соответствующего целевого функционала. Для достижения этих целей на кубит воздействуют с помощью внешнего управления /, реализованного, например, как специально подобранный лазерный импульс, небольшое напряжение и т.д. Под его воздействием целевой функционал достигает максимума, который соответствует желаемым значениям управляемых величин.

Терминальная задача управления квантовыми системами формулируется

как задача максимизации функционала вида (2)

j [/] = Т( и..), (1.1)

где Uy — оператор унитарной эволюции, описывающий изменение состояния системы на интервале времени [0,Т] под воздействием управления f G L1([0,T]; R), Т : U(п) ^ R — некоторая функция на унитарной группе U(п). График целевого функционала J[/] на пространстве управлений L1([0,T]; R) называется динамическим ландшафтом управления. График функции Т( U) на унитарной группе U(п) называется кинематическим ландшафтом управления. Важной проблемой в теории управления квантовыми системами является анализ динамического ландшафта управления целевого функционала J [ /]. Представляет интерес проблема наличия локальных минимумов и максимумов у J[ /], которые не являются глобальными, — так называемых ловушек. Более простой проблемой является анализ кинематического ландшафта функции Т( U), поскольку область определения этой функции является конечномерным многообразием, в то время как функционал J[ f] определен на бесконечномерном пространстве. В некоторых случаях проблема ловушек для динамического ландшафта функционала J [ f] сводится к проблеме анализа критических точек кинематического ландшафта функции Т( U). В частности, для заданной точки это имеет место, если дифференциал отображения f ^ U^ в этой точке имеет максимальный ранг, что основывается на общем утверждении, содержащемся в работе [74]. Теорема 1.1. Пусть функция F(х) определена на многообразии М. Пусть х = h(y), где у принадлежит, многообразию N размерноети dimN > dimM. Если якобиан отображения h имеет максимальный ранг в некоторой точке у0,

dh

= dim М

dh rank—

У=У0

, (1-2)

x=h(y0)

то точка у0 является критической для отображения Р о К тогда и только тогда, когда точка х0 = К(у0) является критической для отображения Р.

Кроме того, если кинематический ландшафт функцииТ(и) содержит ловушки, то и динамический ландшафт функционала^[/] их содержит, поэтому анализ кинематического ландшафта представляет самостоятельный интерес. По-видимому, впервые подобный анализ, связанный с изучением функций на конечномерных многообразиях, был проведен в работе Дж. фон Неймана [50], хотя и в другом контексте. Им изучались функции на унитарной группе и(п) вида Т(и) := Тт[иАи^В], где А и В — симметричные матрицы с невырожденным спектром, а, и € и(п) — произвольная унитарная матрица. Такие функции совпадают с важным классом целевых функционалов для замкнутых квантовых систем. Для них Дж. фон Нейманом было показано наличие ровно одного максимума и ровно одного минимума, для остальных стационарных точек было показано, что они могут быть только седловыми. В работе Р. Брокетта [26] аналогичный результат был доказан для произвольных ортогональных матриц О € О(п). В работе С.Дж. Глезера и соавторов [37] результаты двух предыдущих работ были обобщены на случай произвольных несимметричных матриц А и В. В работах X. Рабица и соавторов [41,62,63] и в ряде других работ данный анализ был обобщен на случай матриц А и В, имеющих вырожденный спектр, и показана важность такого анализа для задач управления квантовыми системами.

Вышеперечисленные работы посвящены исследованию замкнутых квантовых систем. Кинематические ландшафты управления для открытых квантовых систем исследовались в работах [55,57,74]. В этих работах проблема ловушек была сведена к задаче исследования функций следов на комплексных многообразиях Штифеля и было показано, что в кинематических ландшафтах открытых квантовых систем ловушки отсутствуют.

На исследование проблемы ловушек большое влияние оказала работа X. Рабица, М. Хсиеха и К. Розенталя [62], в которой была высказана гипотеза об отсутствии ловушек для случая общего положения в задачах управления квантовыми системами. Однако авторы аргументировали свое предположе-

ние, основываясь на отсутствии ловушек в кинематическом ландшафте вероятности перехода Т(и) = Рф^ф(и) = 1(ф\и|^)|2, и € и(п), что не достаточно для обоснования утверждения об отсутствии ловушек в динамическом ландшафте функционала а[/] = (и£).

Несмотря на большой интерес к этой проблеме, исследовать проблему ловушек в динамическом ландшафте целевого функционала ^ [/] удалось только в некоторых частных случаях. Впервые отсутствие ловушек для динамического ландшафта в широком классе квантовых систем было доказано в [56]. В этой работе рассматривается система Ландау-Зинера, которая задается уравнением Шредингера

НТТ ^

г^ = (ах + / (1)аг Ж/, и? = I. (1.3)

В работе [56] доказывается, что в системе Ландау-Зинера для достаточно большой длительности управления Т > ж ловушки отсутствуют. Теорема 1.2. Если Т > п и кинематический ландшафт функции, Т(и) не имеет ловушек, то и динамический, ландшафт целевого функционала 3[/] = Т(и^) не имеет ловушек.

В работе [60] доказано отсутствие ловушек для коэффициента прохождения частицы через потенциальный барьер в задаче рассеяния на прямой. Рассматривается квантовая частица с энергией Е = к2 > 0, движущаяся па прямой в поле потенциала V(х) € Ь1(К) с компактным носителем, V(х) = 0 при |ж| > а для некоторой константы а. Волновая функция частицы ф подчиняется стационарному уравнению Шредингера

б2

+ V (х)

Ф = к2Фк. (1.4)

4х2

Для частицы, которая падает па барьер слева, волновая функция ф имеет асимптотики

фк(х) = егкх + А(к)е~гкх, х ^-то, ф(х) = В(к)егкх, х ^ +то.

Коэффициент прохождения частицы через барьер определяется как Т[У] = 1В(к)(2. В работе [60] доказывается следующее утверждение. Теорема 1.3. Все экстремумы функционала Т^[У] — глобальные максимумы.

Эта теорема дает пример утверждения об отсутствии ловушек для квантовой системы с бесконечномерным пространством состояний = В2(Ж).

1.1 Формулировка задачи

Рассматривается управление двухуровневой квантовой системой под воздействием когерентного управления / € В1([0,Т]; Ж) (Т > 0 — конечный момент времени). Динамика системы описывается уравнением Шредингера для оператора эволюции и/ :

= ( Щ + УК1))и1, и/ еАС[0,Т], и=0 = I. (1.5)

Здесь свободный гамильтониан и гамильтониан взаимодействия Н0, У € С2х2 — 2 х 2 эрмитовы матрицы. Оператор эволюции и/ € и(2) — 2 х 2 унитарная

Н0 У

[ Н0, У] = 0, для того чтобы система была управляемой. Отметим, что в этом случае [Н0,У] и У линейно не зависимы. Действительно, предположим, что аУ + 3[Н0,У] = 0 для некоторых а,3, таких что |а| + |3| > 0. Умножим это равенство на У справа или слева и возьмем след. Получим аТг(У2) = 0, откуда следует а = 0, так как Тг(У2) > 0 для эрмитовой ненулевой матрицы У. Тогда 3[Н0,У] = 0 и, следовательно, 3 = 0, так как [Н0,У] = 0. Это противоречит предположению |а| + |31 > 0 и, следовательно, [ Н0,У] и У не могут быть линейно зависимы.

Для целевого функционала (1.1)

J [/] = Т ( ^) (1.6)

решается задача максимизации по управлению f £ L1([0,T]; R),

J [ Zopt] = max J [ f]. (1.7)

Функция T предполагается независимой от фазового множителя, то есть Т ( U e= Т ( U) для любо го ф, что отражает инвариантность по отношению к состояниям, отличающимся только фазой и, таким образом, без потери общности можно рассматривать U£ £ U(2) как элемент SU(2). Необходимо подчеркнуть, что целевой функционал это функция от управления, аТ -функция от унитарной матрицы. Также отметим, что для фазовоинвариант-ных целевых функционалов если Tr Н0 = 0 и Tr V = 0, то заменой Н0 и V на Н0 = Н0 — TrH0/2 и V = V — TrV/2 можно привести гамильтониан к случаю Tr Н0 = 0 и Tr V = 0. Такая замена не влияет на существование ловушек, поскольку при этой замене оператор эволюции Ut-, определенный решением уравнения (1.5) для пары (H0,V) связан с оператором эволюции Цт, определенным решением уравнения (1.5) для пары (Н0,и), соотношением UT = UTе—гХ(т)я, где Х(Т) = (ТTr^+TrV J0T f(t)dt)/2. Таким образом, UT отличается от Ut на фазовый множитель, и значение целевого функционала при такой замене не меняется.

Важными для приложений частными случаями целевого функционала (1.1) являются вероятность перехода, среднее значение наблюдаемой и функционал, описывающий генераццию квантового вентиля. Целевой функционал для задачи перевода системы из начального состояния в конечное состояние |ф) за время Т является вероятностью перехода:

Рф^ф[Л = mrf m2, (i.8)

где Uy — оператор эволюции системы за время Т, индуцированный управлении /, для которого Uy = ег(^|ф), где f произвольная фаза. Соответствующий максимум целевого функционала есть max Рф^ф[/] = 1.

Вероятность перехода Рф^ф [f ] является частным случаем целевого функционала вида

Jo [f\=Tt[u{, poU£t О], (1.9)

где ро — матрица плотности системы в начальный момент времени, а О — оператор некоторой наблюдаемой системы, также эрмитова матрица. Такой функционал описывает задачу поиска максимума среднего значения наблюдаемой системы О за время Т. Вероятность перехода Рф^ф[/\ соответствует

Ро = ЖФ|и О = 1Ф)(Ф1

Целевой функционал для задачи генерации унитарного однокубитного вентиля W задается выражением

Jw [/] = 4 |Тг(Ж tU¡ )|2. (1.10)

Примеры включают вентиль Адамара W = H,

H = — | 1 1 I , (1.11)

л/2 V 1 -1

вентиль фазового сдвига W =

иФ = I1 °1 (1.12)

уо егф

и другие. Целевой функционал максимизируется произвольной матрицей = где произвольная фаза. Нормировка 1/4 выбрана так, что-

бы тах Jw = 1, модуль взят для того, чтобы исключить фазу унитарного оператора.

1.2 Градиент и гессиан целевого функционала

В данном разделе доказываются необходимые для дальнейшего свойства гладкости целевых функционалов Jo [/] и Jw [/] •

Лемма 1.1. Для целевого функционала Зо [ /] = Тг(р^О) имеет место асимптотическое выражение

т

[ / + ЬП = Л[ Л +1 +

о

т т

+2//^лШж^1)^2)^1^2+о(||^/||^1), (1-13)

о о

-Тг(^, ро]От), От = ЩЮЩ, V = 0?^, Ь2^ |-Тг([^1 [^ ,ро]]Ог), *1 >¿2,

* № |-Тг([у,2[^ ,ро]]От), ¿1 < ¿2.

Линейное отображение Ао : Ь1([0,Т]; К) ^ определенное как

т

Ао9 = / (1.14)

о

является дифференциалом по Фреше отображения / ^ Зо [ /]• Доказательство. Матрица плотности р^ для управления / удовлетворяет уравнению

у

= № + /У' Р'], (1'15)

+

гя)

(И

Делая в уравнении (1.16) замену р^9^ = , где оператор ^ под-

чиняется уравнению

( П ^

= (Я + /У , (1.17)

Л +У)

г ^^ = [ Яо + }V, р«/+9)] + р(>+»>]. (1.16)

получим

= рК+9)], V = и; ^и!. (1.18)

Представим уравнение (1.18) в интегральной форме

= Р0 -г т +3>]д(г № 1.

(/+5)1

(1.19)

В уравнении (1.19) использовано соотношение р0 = р0, которое является следствием соотношения иъ=0 = I. Итерируя выражение (1.19) два раза и возвращаясь от функции ръ к функции ръ получим следующее выражение:

т

$+д) = рТ и},[^, Р0]ит]д(г 1)^1 -0

тП

Г п,

т *1

^[Уг1 [Уъ^, Ро]]иТ]д(г{)д(г2)^2^1 +

"1)У\12)и>1< 2«Н

00

Т Ч Ъз

+ '//¡и^^, [УЪ2, [Уз,^+5)]]]и^&)д&)9(г 1)^3^2^ 1. 000

Так как || ръ || < 1 и || V || = || V ||, то

т Ъ1 Ъ

и}[Уъ1, [Уъ2, [У3, % +д)]]]Щтд(1з)д(12)д(11)^3^2^

1

000

<

33

< 8Т||V||3Цд

|Ь1([0,Т ];1

(1.20)

Также имеем имеем оценку для вариации первого порядка

т

и} [Уъ1, ро]и^ ]д (11)сИ

и для вариации второго порядка т и

11 и£[Уъ1 [Уъ2, а^^Ж^)«^ 00

< 2||^||Ь1([0,т];М)||У 1

(1.21)

2

< 4||У 11 ||^||Ь1([0,т];М)|Ь||Ь1([0,т];М).

(1.22)

В силу оценок (1.21) и (1.21) корректно определено ограниченное линейное отображение Аро : Ь1([0,Т]; М) ^ м(2),

т

АРод = — / ит[УиР0]и^д(1)<И,

(1.23)

являющееся дифференциалом по Фреше [9] отображения / ^ рс ядром

= -ги^[У, ро]и^\ (1.24)

Поскольку

V«/«) ),

1= ТГ I -Т^О I , (1.25)

то отображение Ао : Ь1 ([0, Т]; К) ^ К,

Т / I \ Т

А0д = /тг i ^О i = -1 Тг([Ц,ро]От)д(1)И (1.26)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ильин Николай Борисович, 2017 год

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Аграчев, А. А., Сачков, Ю. Л. Геометрическая теория управления — М.: Физматлит, 2005.

2. Ананьевский, М. С., Фрадков, А. Л. Управление наблюдаемыми в ко-нечноуровневых квантовых системах // Автоматика и телемеханика. — 2005.

63.

3. Белавкин, В. П. К теории управления квантовыми наблюдаемыми системами // Автоматика и телемеханика. — 1983. — № 2. — С. 50.

4. Беллман, Р. Динамическое программирование — М: Иностранная литература, 1960.

5. Белоусов, Ю. М., Манько, В. И. Матрица плотности. Представления и применения в статистической механике. — М.: МФТИ, 2004.

6. Бутковский, А. Г., Самойленко, Ю. И. Управление квантовомехани-ческими процессами. — М.: Наука, 1984.

7. Виленкин, Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. - М.: Наука, 1965.

8. Иванов, М. Г. Как понимать квантовую механику. — Ижевск: РХД, 2012.

9. Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.

10. Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. — М.: МЦНМО, 2009.

11. Менский, М. Б. Квантовые измерения и декогеренция: модели и феноменология. — М.: Физматлит, 2001.

12. фон Нейман, Дж. Математические основы квантовой механики. — М.: Наука, 1964.

13. Печень, А. Н., Ильин, Н. Б. Когерентное управление кубитом свободно от ловушек // Труды МИ АН. — 2014. — Т. — 285. — С. 244.

14. Печень, А. H., Ильин, H. Б. О критических точках целевого функционала в задаче максимизации наблюдаемых кубита // Успехи математических наук - 2015. - Т. 70:4(424). - С. 211.

15. Печень, А. Н., Ильин, Н. Б. Об экстремумах целевого функционала в задаче генерации однокубитных квантовых вентилей на малых временах // Известия РАН. Серия математическая. — 2016. — Т. 80:6. — С. 217.

16. Понтрягин, Л. С., Болтянский, В. Г., Гамкрелидзе, Р. В., Мищенко, Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1976.

17. Фрадков А. Л., Якубовский О. А. Управление молекулярными и квантовыми системами. — Москва-Ижевск, 2003.

18. Халфин, Л. А. К теории рапада квазистационарного состояния // ДАН СССР - 1957. - Т. 115. - С. 277.

19. Халфин, Л. А. К квантовой теории нестабильных элементарных частиц // ДАН СССР - 1961. - Т. 141. - С. 599.

20. Холево, А. С. Квантовые системы, каналы, информация. — М.: МЦ-НМО, 2010.

21. Accardi, L., Kozyrev, S. V., Pechen, A. N. Coherent quantum control of A-atoms through the stochastic limit / Quantum information and computing, QP-PQ: Quantum Probability and White Noise Analysis., 19, (ред. L. Accardi, M. Ohya, N. Watanabe). - Singapore: World Scientific, 2006. - T. XIX. - С. 1.

22. Balachandran, A. P., Roy, S. M. Continuous time-dependent measurements: quantum anti-Zeno paradox with applications // International Journal of Modern Physics A. - 2002. - T. 17. - C. 4007.

23. Balachandran, A. P., Roy, S. M. Quantum anti-Zeno paradox // Phys. Rev. Lett. - 2000. - T. 84. - C. 4019.

24. Bernu, J., Deleglise, S., Sayrin, C., Kuhr, S., Dotsenko, I., Brune, M., Raimond, J-M., Haroche, S. Freezing a coherent field growth in a cavity by quantum Zeno effect // Phys. Rev. Lett. - 2008. - T. 101. - C. 180402.

25. Blok M. S., Bonato C., Markham M. L., Twitchen D. J., Dobrovitski V. V., Hanson R. Manipulating a qubit through the backaction of sequential partial measurements and real-time feedback // Nat. Phys.^ 2014. — T. 10. — C. 189.

26. Brockett, R. Least squares matching problems // Linear Algebra and its Applications. - 1989. - T. 122/123/124. - C. 761.

27. Brumer, P. W., Shapiro, M. Principles of the quantum control of molecular processes. — Wiley-Interscience, 2003.

28. Caneva, T., Calarco, T., Montangero, S. Entanglement-storage units // New Journal of Physics. - 2012. - T. 14. - C. 093041.

29. D'Alessandro, D. Introduction to Quantum Control and Dynamics. — Chapman & Hall. 2008.

30. de Fouquieres, P., Schirmer, S. G. A closer look at quantum control landscapes and their implication for control optimization // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. — 2013 — T. 16(3). — C. 1350021.

31. De Greve, K., McMahon, P. L., Press, D., Ladd, T. D., Bisping, D., Schneider, C., Kamp, M., Worschech, L., Hofling, S., Forchel, A., Yamamoto, Y. Ultrafast coherent control and suppressed nuclear feedback of a single quantum dot hole qubit // Nature Physics. - 2011. - T. 7. - C. 872.

32. Dodonov, V. V., Man'ko, V. I. Positive distribution description for spin states. // Phys. Lett. A. - 1997. - T. 229:6. - C. 335.

33. Dominy J. M., Paz Silva G. A., Rezakhani A. T., Lidar D. A. Analysis of the quantum Zeno effect for quantum control and computation //J. Phys. A — 2013. - T. 46. - C. 075306.

34. Filippov, S. N., Man'ko, V. I. Measuring microwave quantum states: Tomogram and moments // Phys. Rev. A. — 2011. — T. 84. — C. 033827.

35. Fu, S., Shi, G., Proutiere, A., James, M. R. Feedback policies for measurement-based quantum state manipulation // Phys. Rev. A. — 2014. — T. 90. - C. 062328.

36. Giovannetti, V., Holevo, A. S., Garcia-Patron R. A solution of Gaussian optimizer conjecture for quantum channels // Communications in Mathematical Physics. - 2015. - T. 334:3. - C. 1553.

37. Glaser, S. J., Schulte-Herbruggen, T., Sieveking, M., Schedletzky, O., Nielsen, N. C., Sorensen, O. W., Griesinger, C. Unitary Control in Quantum Ensembles: Maximizing Signal Intensity in Coherent Spectroscopy // Science. — 1998. - T. 5362. - C. 421.

38. Gough, J., Belavkin, V. P., Smolyanov, O. G. Hamilton-Jacobi-Bellman equations for quantum optimal feedback control // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. — 2005. — T. 7. — C. 237.

39. Grishanin, B. A., Zadkov, V. N. Entangling quantum measurements // Optics and Spectroscopy. — 2004. — T. 96. — C. 751.

40. Hentschel A., Sanders B. C. Machine learning for precise quantum measurement // Phys. Rev. Lett.- 2010. - T. 104. - C. 063603.

41. Ho, T.-S., Rabitz, H. Why do effective quantum controls appear easy to find // Journal of Photochemistry and Photobiology A: Chemistry. — 2006. — T. 180. - C. 226.

42. Itano Wayne, M., Heinzen, D. J., Bollinger, J. J., Wineland, D. J. Quantum Zeno effect // Phys. Rev. A. - 1990. - T. 41. - C. 2295.

43. Jurdjevic, V. Geometric control theory. — Cambridge University Press, 1997.

44. Kakuyanagi K., Baba T., Matsuzaki Y., Nakano H., Saito S., Semba K. Observation of quantum Zeno effect in a superconducting flux qubit // New Journal of Physics - 2015. - T. 17. - C. 063035.

45. Khalfin, L. A. Proton nonstability and the nonexponentiality of the decay law // Phys. Lett. B - 1982. - T. 112. - C. 223.

46. Langford, N. K., Ramelow, S., Prevedel, R., Munro, W. J., Milburn, G. J., Zeilinger, A. Efficient quantum computing using coherent photon conversion // Nature. - 2011. - T. 478. - C. 360.

47. Letokhov, V. S. Laser Control of Atoms and Molecules. — Oxford University Press, 2007.

48. Lucas F., Hornberger K. Incoherent Control of the Retinal Isomerization in Rhodopsin // Phys. Rev. Lett. - 2014. - Т. 113. - C. 058301.

49. Mari, A., Giovannetti, V., Holevo, A. S. Quantum state majorization at the output of bosonic Gaussian channels // Nature Communications. — 2014. — T. 5. - C. 3826.

50. von Neumann, J. Some matrix-inequalities and metrization of matric-space // Труды Томского университета. — 1937. Т. 1 С. 286.

51. Ohya, М., Volovich, I. Mathematical foundations of quantum information and computation and its applications to nano- and bio-systems. — Springer, 2011.

52. Ospelkaus, C., Warring, U., Colombe, Y., Brown, K. R., Amini J. M., Leibfried D., Wineland D. J. Microwave quantum logic gates for trapped ions // Nature. - 2011. - T. 476. - C. 181.

53. Paz Silva G. A., Rezakhani А. Т., Dominy J. M., Lidar D. A. Zeno effect for quantum computation and control // Phys. Rev. Lett. — 2012. — T. 108. — C. 080501.

54. Pechen, A., Brif, C., Wu, R., Chakrabarti, R., Rabitz, H. General unifying features of controlled quantum phenomena // Phys. Rev. A. — 2010. — T. 82. — C. 030101.(R).

55. Pechen, A., Ilin, N., Shuang, F., Rabitz, H., Quantum control by von Neumann measurements // Phys. Rev. A. - 2006. - T. 74. - C. 052102.

56. Pechen, A., Ilin, N., Trap-free manipulation in the Landau-Zener system // Phys. Rev. A. - 2012. - T. 86. - C. 052117.

57. Pechen, A., Prokhorenko, D., Wu, R., Rabitz, H. Control landscapes for two-level open quantum systems // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2008. - T. 41:4 - C. 045205.

58. Pechen, A., Rabitz, H. Teaching the environment to control quantum systems // Phys. Rev. A. - 2006 - T. 73. - C. 062102.

59. Pechen, A., Tannor, D. Are there traps in quantum control landscapes? // Phys. Rev. Lett. - 2011. - T. 106. - C. 120402.

60. Pechen, A., Tannor, D. Control of quantum transmission is trap-free // Canadian Journal of Chemistry. - 2014. - T. 92:2. - C. 152.

61. Pechen, A., Trushechkin, A. Measurement-assisted Landau-Zener transitions // Phys. Rev. A. - 2015. - T. 91:5. - C. 052316.

62. Rabitz, H., Hsieh, M., Rosenthal, C. Quantum Optimally Controlled Transition Landscapes // Science — 2004. — T. 303. — C. 1998.

63. Rabitz, H., Hsieh, M., Rosenthal, C. Landscape for optimal control of quantum-mechanical unitary transformations // Phys. Rev. A. — 2005. — T. 72. - C. 052337.

64. Rice, S.A., Zhao, M. Optical control of molecular dynamics — New York: John Wiley, 2000.

65. Schulte-Herbruggen T., Glazer S., Dirr G., Helmke U. Gradient flow for optimization in quantum information and quantum dynamics: foundations and applications // Rev. Math. Phys. - 2010. - T. 22. - C. 597.

66. Shuang, F., Pechen, A., Ho, T.-S., Rabitz, H. Observation-assisted optimal control of quantum dynamics // Journal of Chemical Physics. — 2007. — T. 126(13). - C. 134303.

67. Sudarshan, E. C. G., Misra, B. The Zeno's paradox in quantum theory // Journal of Mathematical Physics. — 1977. — T. 18. — C. 756.

68. Tannor, D. J. Introduction to Quantum Mechanics: A Time Dependent Perspective. — University Science Press. Sausalito, 2007.

69. Tarasov, V. E. Quantum mechanics of non-hamiltonian and dissipative systems. — Amsterdam: Elseiver, 2008.

70. Vilela Mendes, R., Man'ko, V. I. Quantum control and Strocci map // Phys. Rev. A. - 2003. - T. 67. - C. 053404.

71. Wiseman, H. M., Milburn, G. J. Quantum Measurement and Control. — Cambridge University Press, 2010.

72. Wiseman H. M., Quantum control: Squinting at quantum systems // Nature. - 2011. - T. 470. - C. 178.

73. Wiseman, H. M., Milburn, G. J. Quantum theory of optical feedback via homodyne detection // Phys. Rev. Lett. - 1993. - T. 70. - C. 548.

74. Wu, R., Pechen, A., Rabitz, H., Hsieh, M., Tsou, B. Control landscapes for observable preparation with open quantum systems // Journal of Mathematical Physics. - 2008. - T. 49. - C. 022108.

75. Zhdanov, D. V., Seideman, T. Role of control constraints in quantum optimal control // Phys. Rev. A. - 2015. - T. 92. - C. 052109.