Экстремальные задачи для мероморфных и ρ-листных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Ким, Виктория Юрьевна

• Ким, Виктория Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ким, Виктория Юрьевна

Введение

Глава I.

Симметризационные преобразования множеств и функций

§1. Обозначения и вспомогательные утверждения

§2. Разделяющие преобразования областей

§3. Линейно-усредняющее преобразование функций

Глава II.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экстремальные задачи для мероморфных и ρ-листных функций»

Исследования по многолистным функциям составляют важную и наиболее сложную часть геометрической теории функций комплексной переменной. Наиболее изучены р-листные функции, то есть функции, регулярные или мероморфные в некоторой области комплексной плоскости и принимающие в этой области каждое свое значение не более, чем р раз. Наряду с р-листными функциями большую роль играют также функции, р-листные в среднем по окружности и р-листные в среднем по площади. Многолистные функции обладают многими экстремальными свойствами, аналогичными экстремальным свойствам однолистных функций (р = 1). Однако ряд их свойств носит специфический характер, а ограниченность методов исследования затрудняет получение даже аналогичных результатов. Значимый вклад в развитие теории р-листных функций внесли X. Грунский, Г.М. Голузин, В.К. Хейман, Дж. Дженкинс, М. Шиффер, А.Ф. Бермант, П.Р. Гарабедиан, С.А. Гельфер, А. Гудман, И.Е. Базилевич, Ю.Е. Аленицын, И.П. Митюк, В.А. Шлык и другие математики. Актуальность исследования р-листных функций подтверждает большое количество работ по данной тематике, выполненных в последнее время. Отметим работы по изучению подклассов р-листных функций с ограничениями на их коэффициенты [48-53,75,82,83,86,87]; работы, в которых получены условия р-листности, либо критерии выпуклости или звездообразности р-листных функций [1,47,57,58,64,70,76,90,92]; исследования по р-листным в среднем функциям [59-63,65,88,89]; другие работы по изучению смешанных или специальных вопросов для мероморфных р-листных функций [12,69,77,80,81,84,85,91,93].

Несмотря на многочисленные исследования в данной области, геометрические вопросы теории, такие как, например, теоремы покрытия и искажения р-листными функциями в круге и кольце, задачи об экстремальном разбиении и другие, не нашли должного отражения в литературе. Вместе с тем эти вопросы детально изучены в теории однолистных функций [23, 24, 8, см. об этом]. Цель данной работы - восполнить частично указанный пробел. Сложность проблемы состоит в том, что методы, которыми решены указанные задачи для однолистных функций, не применимы напрямую в случае многолистных отображений. Поэтому необходимо развивать существующие методы исследований. В этой связи нами выбран метод симметризации - один из немногих методов геометрической теории функций, одинаково применимых как для однолистных, так и для многолистных функций. Кроме того, мы используем технику обобщенных приведенных модулей [10]. Отметим, что пионерские работы по применению симметризации в теории многолистных функций выполнены В.К. Хейманом [39], Дж. Дженкин-сом [б], П.Р. Гарабедианом [66], и И.П. Митюком [31, 34]. Приложения симметризации к многолистным функциям представлены также в работах [2,32,33,35,38,40-46,67,68,71,72,74,79].

Первая глава диссертации посвящена развитию метода симметризации применительно к многолистным функциям. §1 носит вспомогательный характер. Во втором параграфе мы распространяем технику разделяющего преобразования В.Н. Дубинина [8] на римановы поверхности.

Рассмотрены два типа такого преобразования: для р-листных римано-вых поверхностей и для поверхностей без ограничения листности. Полученные результаты сформулированы в виде неравенств для внутренних радиусов, аналогичных неравенствам в [8] (Теоремы 1.1 и 1.2). В третьем параграфе мы распространяем на случай римановых поверхностей технику усредняющего преобразования Маркуса [78, 79] . В отличие от Маркуса, рассматривающего функции, заданные на плоскости, мы усредняем функции, заданные на р-листных римановых поверхностях с учетом листности накрытия. Вместе с тем, мы опираемся на основной результат М. Маркуса [79]. Аналогичные преобразования для круговой симметризации осуществлялись ранее Дж. Дженкинсом [6], П.Р. Гарабе-дианом и Ройденом [66], Кшижом [72], В.А. Шлыком [43] и другими. В идейном плане в нашем случае происходит соединение усреднения [79] и кусочно-разделяющей симметризации [8]. Однако построенные нами преобразования формально не сводятся к ним.

Во второй главе даны приложения методов первой главы к экстремальным задачам в различных классах многолистных функций. В первом параграфе в качестве примера такого приложения к регулярным функциям доказана следующая теорема покрытия. Пусть функция w = f(z) = z + a,2Z2 + . регулярна в круге \z\ < 1 и отображает этот круг на риманову поверхность обратного отображения 7Z/. При фиксированном (р, 0 < <р < 2тг обозначим через 7Zf(<p,n) связную компоненту лежащую над углом | arg w — (р\ < тг/п и содержащую точку /(0). Пусть af{(P) ~ произвольная точка на луче arg w = ip, которую' можно соединить непрерывной кривой с одним из лучей argtu = не пеРесекая при этом проекцию 7Zf(ip, п) на ги-плоскости. Если такой точки не существует, то полагаем aj((p) = +00.

Теорема 2.1. Для любого натурального п > 1 и вещественного числа в справедливо неравенство П k=i л п 1 -. - 4

Равенство достигается для функции w = z[ 1 + (е~гвz)n\~2ln, которая конформно и однолистно отображает круг \z\ < 1 на плоскость с разрезами вдоль лучей {w : arg wn = On, > y^}

При n = 1 этот результат, по существу, доказан В.К. Хейманом [39]. В случае однолистной функции w = f(z) как следствие получаем соответствующие теоремы покрытия Кебе, Г. Полиа, Греча, Лаврентьева-Шепелева [26], Г.М. Голузина [4] и В.Н. Дубинина [8]. Отметим, что наш подход единым образом приводит к уточнению и других многочисленных теорем покрытия для многолистных функций, полученных ранее В.К. Хейманом методом симметризации [39].

Во втором параграфе рассматриваются теоремы покрытия для р-листных функций. Приведем следующий результат.

Теорема 2.3. Пусть функция w = f(z) регулярна и р-листна в кольце 1 < \z\ < R, причем f darg f(z) = 2pir\ \f(z)\ > 1 при 1 < \z\ < R и z\=l

2:)| = 1, когда \z\ = 1. Обозначим через Lf((p) верхнюю грань длин отрезков на римановой поверхности обратной функции, лежащих над лучом arg и; = (р и содержащих на конце точку над окружностью |гу| = 1. в

Пусть функция w — Е(£;п,р, R) конформно и однолистно отображает кольцо 1 < |С| < Rp на внешность круга \w\ > 1 с разрезами вдоль лучей {w : argit/1 = 0, |it;n| > 7(71,р, Л)}, Е(1-,п,р, R) = 1. Тогда для любого вещественного числа в выполняется неравенство

При п = р = 1 данная теорема совпадает с результатом Т. Кубо [73]. В случае п > 1, р > 1, мы обобщаем соответствующие теоремы Г.М. Голузина [3] и В.Н. Дубинина [8].

Третий параграф посвящен задачам об экстремальном разбиении. Задачи с указанным названием восходят к известной статье М.А. Лаврентьева [25] и имеют богатую историю [24]. Распространение ряда таких задач на случай р-листных отображений было сделано в работах В.П. Мандика [27-30], который использовал оценки "логарифмических"площадей. Однако данный подход, по-видимому, неприменим к задачам со свободными полюсами (о такого рода задачах см., например, [24, с. 26], [8, с. 53]). Усредняющее преобразование областей на римановых поверхностях (гл. I) позволяет решать как задачи с фиксированными полюсами, так и задачи для полюсов с некоторой степенью свободы. Примером служит следующая теорема.

Теорема 2.4. Пусть функции w = fk{z) = + CkZp + ., к = 1,. ,n, (п > 2) мероморфные и совместно р-листные в круге \z\ < 1,

Равенство достигается для функций f(z) = ег9Е(агр;п,р, R), |<*| = 1. то есть любое значение w принимается этими функциями в совокупности не более, чем в р точках с учетом кратности, и пусть = 1, k = 1,. ,п. Тогда справедливо неравенство:

Равенство достигается для п ветвей функции w = [{1-\-гр)/{1 — zp)]2/n, каждая из которых осуществляет р-кратное накрытие кругом \z\ < 1 одного из углов {w : | aigw — 2кк/п\ < тг/п}, к = 1,. , п.

Теорема обобщает известные теоремы М.А. Лаврентьева (п = 2), Г.М. Голузина (п = 3), Г.П. Бахтиной (п = 4) и В.Н. Дубинина (п > 4) о неналегающих областях на случай р-листных отображений. В случае однолистных функций (р = 1) наш результат совпадает с теоремой 2.17 работы [8] и примыкает к соответствующим утверждениям Е.Г. Емельянова и Г.В. Кузьминой (см. [8, с. 54]).

Наконец в §4 главы II мы применяем усредняющее преобразование к оценкам рациональных функций. Полученный при этом результат сводится к следующему.

Теорема 2.5. Пусть w = -R(z) - рациональная функция степени р > 1; пусть s = 1,. , п - корни уравнения R(z) = 0 кратности соответственно ks; r]s, s = 1,., т - корни уравнения R(z) = 1 кратп т ности ls, ks — X) Is — Р- Предположим, что точки лежат в s= 1 5 — 1 верхней полуплоскости, а точки rjs - в нижней, и пусть cs= \im\R{z)\\z-£s\-k>, s = 1,., 72, 8 ds = lim |R{z) — l\\z — r]s\ s = 1,. , m.

Тогда имеет место точная оценка п т п т lis /

5 = 1 S=1 m

U\^s-^t\kektU\ris-vt\lJt s,t s,t

Равенство достигается для функции w = (z-ih)p[(z — ih)p+(z-\-ih)p] h > 0.

Третья глава диссертации посвящена неравенствам для простейших р-листных на комплексной сфере функций - алгебраических полиномов. На протяжении этой главы мы применяем технику обобщенных приведенных модулей В.Н. Дубинина [10]. Первый параграф носит вспомогательный характер, где собраны необходимые определения и факты о приведенных модулях. Во втором параграфе приводятся неравенства, вытекающие из монотонности приведенного модуля. Эти результаты примыкают к задачам об экстремальном разбиении. В частности, доказано следующее утверждение.

Следствие 5. Если окружность \z\ = 1 отделяет нули zi,.,zn полинома P{z) = Z+C2Z2 + . . + cn+izn+1, сп+1 ф 0, отличные от начала, от нулей его производной Съ • • • > Сп> то

ПР(1/г*)^(1/Ск) k=1 [("+ 1) 14+11] п+1

ГИ<*) Р'Ы к=1

Равенство достигается для полинома P(z) = z — y/l/(n + 1) zn+1. Основной результат §3 состоит в следующем.

Теорема 3.3. Пусть 7 - некоторый невырожденный континуум в плоскости z, и пусть £ = F(z) - соответствующая функция Рима-на. Предположим, что все нули полинома P(z) = cq + c\z + . + cnzn, cn ф О лежат на 7. Тогда для любой точки z такой, что def

Р(2:)| > max|P(z)| = М выполняется неравенство 7 где d(7) - постоянная Чебышева компакта 7.

Для круга 7 = {z : \z\ < р} имеем d(7) = р, F(z) = z/р и полученное неравенство принимает вид где Мр = шах|Р(2;)|. Знак равенства достигается для полинома P{z) = z\=p cnzn, и любых z ф 0. Понятно, что при больших \z\ условие >

Мр заведомо выполняется и, следовательно, интересно знать возможно лучшие нижние границы таких \z\.

В §4 получена оценка модуля производной полинома в зависимости от расположения его критических точек, то есть точек w = P{z) таких, что P'(z) = 0.

Теорема 3.7. Предположим, что все критические точки полинома P(z) = C0+C1Z+. .+cnzn, сп ф 0 лежат над некоторым континуумом 7 С С*, и пусть точка z такова, что ее образ P{z) принадлежит связной компоненте Cw\j, содержащей бесконечность. Тогда выполняется ю неравенство

Р>Ш < „ |С М7)|1/«\F(P(Z))/F'(P{Z))\ где С = F(w) - функция Римана, соответствующая континууму 7, а ~ постоянная Чебышева. Отметим частный случай теоремы 3.7, когда все критические точки полинома P{z) = со + c\z + . + cnzn, сп ф 0 лежат в некотором круге \w — wo\ < R- В этом случае для любой точки z выполняется

P'(z)\ [|P(z) - w0\l'n - IP(z) - w0\~1/nR2^ n\cn\l'n\P{z)-w0\.

Знак равенства достигается для полиномов вида P(z) = w0 + cn(z — z0)n, R — 0 и любых точек z. Как следствие отсюда получаем следующее утверждение [10]: если P(z) = 1 + c\z + . + cnzn, n > 2, cn ф 0, то существует по крайней мере одна критическая точка а такая, что

Равенство достигается для полинома P(z) = (1 + tz)n, где t - произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Результаты диссертации докладывались на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1998,1999, 2003 гг.), на Дальневосточных школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 1998-2000 гг.), на семинарах по геометрической теории функций Института прикладной математики

ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН В.Н. Дубинин), на семинарах

11 кафедры теории функций и функционального анализа ДВГУ (руководитель д.ф.-м.н. Н.Н. Фролов), на научных семинарах Института прикладной математики ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13-22]

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ким, Виктория Юрьевна, 2004 год

1. Авхадиев Ф.Г., Каюмов И.Р. О бесконечнолистных функциях // Алгебра и анализ. Тез. докл. шк.-конф., посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева. Казань. 1997. С. 9-10.

2. Гаврилюк М.Н. Теоремы покрытия и искажения для функций почти ограниченных в круге и кольце // Изв.вузов. Математика. 1983. №5. С. 74-76.

3. Голузин Г.М. Некоторые теоремы покрытия в теории аналитических функций // Матем. сб. 1948. Т. 22. №3. С. 353-372.

4. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

5. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций М.: Наука, 1968. 648 с.

6. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М.: ИЛ, 1962. 265 с.

7. Дубинин В.Н. Некоторые применения линейно-усредняющего преобразования в теоремах покрытия// Краснодар: Кубанский гос. ун-т. 1977. Деп. в ВИНИТИ. №770-77.

8. Дубинин В.Н. Симметризация в теории функций комплексного переменного// Успехи мат. наук. 1994. Т.49. Вып. 1(295). С. 3-76.

9. Дубинин В.Н. Асимптотика модуля вырождающегося конденсатора и некоторые ее применения// Зап. научн. семин. ПОМИ. 1997. Т. 237. С. 56-73.

10. Дубинин В.Н. Приведенные модули открытых множеств в теории аналитических функций// Доклады РАН 1998. Т. 363. №6. С. 731-734.

11. Дубинин В.Н., Ковалев Е. Приведенный модуль комплексной сферы// Зап. научн. семин. ПОМИ. 1998. Т. 254. С. 76-94.

12. Дубинин В.Н. Принцип мажорации для р-листных функций // Мат. заметки. 1999. Т. 65. №4. С. 533-541.

13. Дубинин В.Н., Ким В.Ю. Приведенные модули и неравенства для полиномов// Зап. научн. семин. ПОМИ. 2000. Т. 263. С. 70-83.

14. Дубинин В.Н., Ким В.Ю. Усредняющее преобразование множеств и функций на римановых поверхностях// Известия вузов. Математика. 2001. Т. 468. №5. С. 21-29.

15. Ким В.Ю. О покрытии радиальных отрезков при регулярном отображении/ / Тезисы докладов дальневосточной математической школы-семинара им. ак. Е.В. Золотова. 1998. С. 40.

16. Ким В.Ю. Разделяющее преобразование р-листных римановых поверхностей// Тезисы докладов 2-й дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию. 1998. С. 35.

17. Ким В.Ю. Об одном симметризационном преобразовании римановых поверхностей// Приморский математический сборник. 1999. №1. С.39-48.

18. Ким В.Ю. Линейно-усредняющее преобразование римановых поверхностей// Тезисы докладов дальневосточной математической школы-семинара им. ак. Е.В. Золотова. 1999. С. 44.

19. Ким В.Ю. Экстремальная задача для совместно р-листных функций// Тезисы докладов 3-й дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию. 1999. С. 31.

20. Ким В.Ю. Применение разделяющего преобразования к теоремампокрытия// Тезисы докладов дальневосточной математической школы-семинара им. ак. Е.В. Золотова. 2000. С. 57.

21. Ким В.Ю. Теорема покрытия для р-листных функций в кольце// Тезисы докладов дальневосточной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию. 2003. С. 30.

22. Ким В.Ю. О покрытии радиальных отрезков при р-листном отображении кольца. Препринт. Институт прикладной математики ДВО РАН. 2004. №2. 11 с.

23. Кузьмина Г.В. Методы геометрической теории функций. I // Алгебра и анализ. 1997. Т. 9. №3. С. 41-103.

24. Кузьмина Г.В. Методы геометрической теории функций. II // Алгебра и анализ. 1997. Т. 9. №5. С. 1-50.

25. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Труды физ. мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1934. Т. 5. С. 159-245.

26. Лаврентьев М.А., Шепелев В.М. О некоторых свойствах однолистных функций // Матем. сб. 1937. Т. 2. №2. С. 319-326.

27. Мандик В.П. О парах функций, совместно р-листных в среднем по окружности // Некоторые вопросы современной теории функций. Новосибирск. 1976. С. 83-87.

28. Мандик В.П., Никульшина М.Н. О функциях, совместно р-листных в круге. //В кн.: Экстремальные задачи теории функций. 5. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1983. С. 36-46.

29. Мандик В.П. Обобщение задачи о произведении конформных радиусов на системы многолистных областей. /•/ В кн.: Экстремальные задачитеории функций. 5. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1986. С. 32-37.

30. Мандик В.П. К задаче о произведении конформных радиусов //В кн.: Экстремальные задачи теории функций. 6. Томск: Изд-во Том. унта. 1988. С. 57-66.

31. Митюк И.П. Симметризационные методы и их применение в геометрической теории функций. Введение в симметризационные методы. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1980. 91 с.

32. Митюк И.П., Тульчий В.В. О некоторых классах ограниченных регулярных функций, отображающих кольцо на область с квазиконформной границей // Динам, сплош. среды. Новосибирск. 1980. №46. С. 81-89.

33. Митюк И.П., Тульчий В.В. Об одном классе ограниченных слабо однолистных функций // Теорий отображений, ее обобщения и приложения. Киев: Наукова думка. 1982. С. 144-151.

34. Митюк И.П. Применение симметризационных методов в геометрической теории функций. Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 1985. 95 с.

35. Митюк И.П. Оценка сверху для произведения внутренних радиусов областей и теоремы покрытия // Изв. вузов. Математика. 1987. №8. С. 39-47.

36. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике М., 1962.

37. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Т.2. М.: Ин. лит., 1962. 416 с.

38. Тульчий В.В. О симметризационно подчиненных в круге функциях // ДАН УССР 1982. Ж. С. 19-25.

39. Хейман В.К. Многолистные функции. М.: ИЛ, 1960. 180 с.

40. Шлык В.А. Некоторые свойства функций, слабо р-листных в кольце // Науч. труды Кубанского гос. ун-та. 1971. №148. С. 75-80.

41. Шлык В.А. Некоторые теоремы покрытия для слабо однолистных, мероморфных функций в кольце // Метрические вопросы теории функций и отображений. Киев: Наукова думка. 1974. С. 171-178.

42. Шлык В.А. О теоремах искажения для одного семейства слабо однолистных функций в круге // Матем. заметки. 1980. Т. 27. №6. С. 927-933.

43. Шлык В.А. Некоторые оценки в кольце для слабо однолистных функций, выпускающих значения на окружности // Изв. вузов. Математика. 1981. т. С. 85-86.

44. Шлык В.А. Теоремы искажения и покрытия для одного класса регулярных функций в кольце // Вопросы прикладного анализа. Владивосток: ДВНЦ АН СССР. 1986. С. 106-112.

45. Abe Н. On meromorphic and circumferentially mean univalent functions // J. Math. Soc. Japan 1964. V. 16. №4. P. 342-351.

46. Aharonov D., Kirwan W.E. A method of symmetrization and applications // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 163. №1. P. 369-377.

47. Aouf M.K. On subclass of p-valent functions starlike in the unit disc // Kyungpook Math. J. 1988. V. 28. №2. P. 147-154.

48. Aouf M.K. On certain classes of p-valent functions with negative and missing coefficients // Tamkang J. Math. 1989. V. 20. №2. P. 135-146.

49. Aouf M.K. On p-valent functions with negative and missing coefficients // J. Math. Res. Exposition. 1990. V. 10. №2. P. 249-256.

50. Aouf M.K. A subclass of analytic p-valent functions with negative coefficients. 1// Utilitas Math. 1994. V. 46. P. 219-231.

51. Aouf M.K., Darwish H.E. On p-valent functions with negative and missing coefficients. II // Comm. Fac. Sci. Univ. Ankara Ser. A i Math. Statist. 1995. V. 44. №1-2. P. 1-14.

52. Aouf M.K., Hossen H.M. On certain fractional operators for certain classes ofp-valent functions with negative coefficients //J. Fract. Calc. 1997. V. 11. P. 89-94.

53. Aouf M.K., Hossen H.M., Srivastava H.M. A certain subclass of analytic p-valent functions with negative coefficients // Demonstratio Math. 1998. V. 31. №3. P. 595-608.i

54. Aziz A., Rather N.A. Lp inqulities for polynomials// Glasnik Mat. 1997. V. 32(52). P. 39-43.

55. Aziz A., Rather N.A. A refinement of a theorem of Paul Turan concerning polynomials// Math.Inequal. Appl. 1998. V. 1. Ж 2. P. 231-238.

56. Borwein P., Erdelyi T. Polynomials and polynomial inequalities// New York, 1995.

57. Cho N., Owa S. Certain differential operators for meromorphically p-valent convex function // Proc. Jap. acad. A. 1992. V. 68. №1. P. 28-31.

58. Cho N. Some new criteria for p-valent meromorfic starlike functions // Nihonkai Math. J. 1993. V. 4. №2. P. 125-132.

59. Dong X. The asymptotic property of derivatives of mean p-valent functions // J. Math. Res. Exposition. 1991. V. 11. №2. P. 214-218.

60. Dong X. Areally mean p-valent functions. II.// Adv. in Math. (China).1993. V. 22. №5. P. 441-448.

61. Dong X. Areally mean p-valent functions. I // Acta Math. Sinica. 1994. V. 37. №6. P. 819-827.

62. Dong X. A growth theorem for areally mean p-valent functions attaining growth on к rays // Acta Sci. Natur. Univ. Norm. Hunan. 1995. V. 18. №4. P. 5-8.

63. Dong X. On a theorem of Bazilevic for areally mean p-valent functions attaining maximal growth on к rays // Israel. J. Math. 1997. V. 100. P. 327337.

64. Dziok J. The order of starlikeness of the p-valent alpha convex functions and Nunokawa's cojecture // Demonstr. math. 1997. V. 30. №3. P. 655-660.

65. Elhosh M.M. On successive coefficients of areally meanp-valent functions in an ellipse // Tamkang J. Math. 1988. V. 19. №3. P. 1-17.

66. Garabedian P.R., Royden H.L. The one-quarter theorem for mean univalent functions // Ann.math. 1954. V.59. №2. P. 316-324.

67. Jenkins J.A. On cercumferentially mean p-valent functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1955. V. 79. №2. P. 423-428.

68. Jenkins J.A. On a conjecture of Spenser // Ann. math. 1957. V. 65. №3. P. 405-410.

69. Jian M. Certain subclasses of analytic p-valent functions for operators on Hilbert space // Acta Math. Sci. (English Ed.). 1994. V. 14. №3. P. 338-347.

70. Jian M. On "the class Ф*(a, (3,7, e, 77; A) of p-valent functions with reference to the Bernardi integral operator // Acta Math. Sci. (English Ed.). 1994. V. 14. №. P. 371-376.

71. Krzyz J. A symmetrization result for maximum modulus // Bull. Acad, pol. sci. Ser. sci. math., astron. et phys. 1958. V. 6. №9. P. 557-559.

72. Krzyz J. Distortion theorems for bounded p-valent functions // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sec. A. 1958. V. 12. P. 29-38.

73. Kubo T. Symmetrization and univalent functions in an annulus // Math. Soc. J. Japan. 1954. V. 6. №1. P. 55-67.

74. Kubo T. Some theorems on analytic functions in an annulus // Jap. J. math. 1959. V. 29. P. 43-47.

75. Kulkarni S.R., Aouf M.K., Joshi S.B. On a subfamily of p-valent functions with negative coefficients // Mat. Vesnik. 1994. V. 46. №3-4. P. 71-75.

76. Li J. On a criterion of starlikiness // Math. Jap. 1993. V. 38. №5. P. 897-899.

77. Liu J., Owa S. On certain meromorphic p-valent functions. Univalent functions and the Briot-Bouquet differential equations // Surikaisekikenkyusho Kokyuroku. 1996. №963. P. 63-66.

78. Marcus M. Trancformations of domains in the plane and applications in the theory of functions // Pasif. J. math. 1964. V. 14. №2. P. 613-626.

79. Marcus M. Radial averaging of domains, estimates for Dirichlet integrals and applications // J. anal. math. 1974. V. 27. P. 47-78.

80. Noor K.I. Some properties of certain p-valent functions // Panamer. Math. J. 1997. V. 7. №3. P. 97-103.

81. Nunokawa M., Owa S. On certain p-valent functions involving bounded boundary rotation // Math. Balkanica (N.S.). 1990. V. 4. №2. P. 186-189.

82. Owa S., Aouf M.K. On radii of starlikeness and convexity for p-valentfunctions with negative coefficients // J. Fac. Sci. Tech. Kinki Univ. 1994. №30. P. 19-24.

83. Patel J. On a class of p-valent functions with negative and missing coefficients // Kyungpook Math. J. 1996. V. 36. №1. P. 29-40.

84. Pethe K. The estimation of the fourth coefficient in the class of p-valent functions // Demonstratio Math. 1992. V. 25. №1-2. P. 201-205.

85. Raina R.K. Boundedness properties for a generalized fractional integral operator on a class p-valent functions // Panamer. Math. J. 1998. V. 8. №1. P. 115-126.

86. Raina R., Nahar T. Certain subclasses of analytic p-valent functions with negative coefficients // Informatica (Vilnius). 1998. V. 9. №4. P. 469-478.

87. Sekine Т., Owa S., Obradvic M. A certain class of p-valent functions with negative coefficients // Current topics in analytic function theory. World Sci. Publishing. River Edge. NJ. 1992. P. 313-322.

88. Villamor E. On uniqueness sets for areally mean p-valent functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. V. 122. №4. P. 1143-1151.

89. Wei H.B., Ни K. The maximal growth directions of areally mean p-valent functions // J. Math. (Wuhan) 1995. V. 15. №4. P. 436-440.

90. Yamakawa R. On Nunokawa's conjekcture for starlikeness of p-valent analytic functions // Math. Jap. 1992. V. 37. №3. P. 461-464.

91. Yang D. On new subclasses of meromorphic p-valent functions // J. Math. Res. Exposition. 1995. V. 15. №1. P. 7-13.

92. Yang D. Some criteria for p-valent functions // Bull. Korean. Math. Soc. 1998. V. 35. №3. P. 571-582.

93. Yu X. A subclass of analytic p-valent functions for operator on Hilbert space // Math. Japan. 1994. V. 40. №2. P. 303-308.