Экспоненты многообразий коммутативных и антикоммутативных линейных алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Мищенко, Сергей Сергеевич

• Мищенко, Сергей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мищенко, Сергей Сергеевич

Содержание

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Основные определения и обозначения

1.2. Рост многообразий в случае ассоциативных алгебр и алгебр Ли

1.3. Многообразия ассоциативного типа и многообразия экспоненциального роста

Глава 2. Экспоненты многообразий, порожденных алгебрами

2.1. Верхняя оценка экспонент многообразия уагШк

2.2. Нижняя оценка экспонент многообразия уагЦ72

Глава 3. Реализация любой экспоненты в случае многообразия коммутативных или антикоммутативных алгебр

3.1. Бесконечное слово ги и построение алгебр Асот(ю) и Аапц{ги).

64

3.2. Доказательство теоремы об экспонентах многообразий иат Асот(1и) и уагАапы^)

3.3. Построение 4-х мерной алгебры с дробной экспонентой роста многообразия

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экспоненты многообразий коммутативных и антикоммутативных линейных алгебр»

Введение

Линейной алгеброй называется векторное пространство, в котором определена операция умножения векторов, со свойством линейности по каждому аргументу. Классическими примерами служат: многочлены, алгебра матриц и, например, трехмерное пространство с операцией векторного умножения векторов, которое является знаменитой простой трехмерной алгеброй Ли.

При изучении линейных алгебр используются два естественных подхода. Первый состоит в непосредственном исследовании конкретной алгебры, второй - в исследовании не отдельной алгебры, а некоторого класса алгебр, имеющих какие-то схожие свойства. Обычно таким классом алгебр является многообразие, которое определяется как совокупность алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождеств. Задание набора тождеств может быть неявным, например, можно определить многообразие, порожденное какой-нибудь фиксированной алгеброй. И вообще, по теореме Биркгофа многообразием алгебр является класс алгебр, который устойчив относительно перехода к подалгебрам, гомоморфным образам и декартовым произведениям.

В случае нулевой характеристики основного поля любое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств, поэтому вся информация про многообразие V содержится в последовательности специальным образом определенных пространств РП(У), п — 1,2,..., полилинейных элементов относительно свободной алгебры многообразия. Отметим, что характеристика основного поля существенно влияет на свойства и приемы исследования алгебр и их многообразий. Поэтому сразу оговорим, что характеристика основного поля на протяжении всей работы имеет характеристику ноль.

Одной из основных числовых характеристик многообразия является,

так называемая последовательность коразмерностей, которая определяется как числовая последовательность неотрицательных целых чисел сп(V) = (ИтРп{V), п = 1,2,..., размерностей пространств полилинейных элементов. Рост этой последовательности определяет рост многообразия. Выделяют многообразия полиномиального роста, экспоненциального роста, промежуточного (между полиномиальным и экспоненциальным) роста, сверхэкспоненциального роста. Уже в случае алгебр Ли по сравнению со случаем ассоциативных алгебр последовательность сп(А) не обязательно является экспоненциально ограниченной. Так, в работе [3] впервые было доказано, что существуют многообразия алгебр Ли сверх экспоненциального роста, а в работах [26], [27], [28] введена целая шкала сверх экспоненциального роста многообразий полинильпотентных алгебр Ли.

В случае экспоненциального роста последовательность чисел уСп(У) ограничена, поэтому существуют нижний и верхний ее пределы, которые называют нижней и верхней экспонентой многообразия. Если существует обычный предел, то говорят об экспоненте многообразия. Например, для многообразия ассоциативных алгебр, порожденным алгеброй Грассмана, последовательность коразмерностей имеет вид сп(\^) = 2П~1 и поэтому экспонента этого многообразия равна 2.

Существование экспоненты любого многообразия, похоже, очень сложная и интересная задача. Пока все доказательства существования экспонент и нахождения их точных числовых значений даются авторам с большим трудом. Еще одна интересная проблема - поиск многообразий с целой экспонентой, а также, соответственно, нахождение примеров многообразий, у которых экспонента является дробным числом.

В 80-х годах прошлого столетия Амицур выдвинул гипотезу, что для любой ассоциативной алгебры с тождеством экспонента является неотрицательным целым числом. Эта гипотеза была подтверждена в работах [40]

и [39].

Впервые пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой был построен более десяти лет назад в работе [43], а год назад в работе [2] доказано существование и найдено точное значение экспоненты многообразия, построенного в работе [43]. Однако во многих случаях доказана це-лочисленность экспоненты многообразий алгебр Ли. Например, в случае конечномерной алгебры Ли, [6], алгебры Ли с нильпотентным коммутантом [44].

В этих же классических случаях, когда рассматриваются многообразия ассоциативных алгебр или алгебр Ли было показано отсутствие многообразий промежуточного роста. Например, для алгебр Ли этот результат доказан в работе [18].

В случае произвольных линейных алгебр ситуация оказалась более разнообразной. В последнее десятилетие вышла серия работ, в которых были построены обширные серии линейных алгебр, для которых поведение последовательности чисел сп(А), п — 1,2,..., сильно отличалось от классических случаев. В работе [35] для любого действительного числа а > 1 была построена такая алгебра Аа, что ЕХР(Аа) = а. В работе [36] построена серия многообразий промежуточного роста.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию экспонент многообразий линейных алгебр, в которых выполняется тождество коммутативности или антикоммутативности, в частности многообразий алгебр Ли, в которых кроме тождества Якоби, по определению выполняется тождество антикоммутативности. Все алгебры рассматриваются над полем характеристики нуль. Доказано, что экспонента многообразия, порожденного алгеброй векторных полей на плоскости, то есть простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии И^, является дробным числом. Тем самым указан классический объект, у которого экспонента роста

коразмерностей не является целым числом. Для любого действительного числа а построены алгебры с условием коммутативности и антикоммутативности, экспонента соответствующих многообразий которых равна в точности а. В этих же классах коммутативных и антикоммутативных алгебр доказана возможность реализации промежуточного роста коразмерностей. Построены целые серии таких многообразий. Кроме того, найдена четырехмерная алгебра с дробным ростом коразмертностей.

Перейдем к изложению структуры работы и подробным точным формулировкам основных результатов. Отметим, что нумерация теорем сквозная внутри каждой главы, причем первая цифра указывает номер главы. Так теорема 2.2 является второй теоремой во второй главе, а теорема 3.4 -четвертой теоремой третьей главы. Данная система нумерации довольно распространена и не должна вызвать путаницы.

Работа состоит из введения и трех глав. Первая глава носит вспомогательный характер и не содержит результатов, полученных автором. Первая часть содержит определения линейной алгебры, тождества, многообразия. Элементы теории представлений симметрической группы и применение этой теории к исследованию многообразий линейных алгебр над полем характеристики нуль. В частности, содержит асимптотическую оценку размерностей неприводимых модулей симметрической группы в случае, когда соответствующая диаграмма расположена в полосе, то есть имеет ограниченное число строк. Во втором разделе приведена классификация и анализ типов роста многообразий, роста ко длин и кратностей в случае ассоциативных алгебр и алгебр Ли. В третьей части показано, что в случае алгебр Ли многообразие может иметь экспоненциальный рост, но при этом, так называемый, кохарактер, не расположен в крюке. Таким многообразием являются например многообразие, порожденные алгеброй Ли векторных полей на прямой. Заметим, что в случае многообразия ассоциативных ал-

гебр такого быть не может.

Вторая глава посвящена исследованию роста коразмерностей бесконечно мерных простых алгебр Ли картановского типа общей серии Напомним определение алгебр Пусть

Як = Ф[*ъ ¿2,

кольцо многочленов от переменных ¿1, ¿2> • • •, ¿>к- Бесконечно мерная простая алгебра Ли картановского типа \¥к состоит из дифференциальных операторов первого порядка вида Хл/г<9г, где д{ оператор взятия частной производной по а € Як, г — 1, • • •, к, относительно операции коммутирования.

До семидесятых годов прошлого столетия существовала гипотеза, что любая простая алгебра Ли с тождеством является конечномерной. Позже был найден контрпример, было установлено, что в алгебре выполняется стандартное лиево тождество вида

.. .хт = О,

в котором суммирование ведется по элементам симметрической группы, (—1)р равно плюс или минус единице в зависимости от четности перестановки р, скобки расставлены левонормированным способом и т > к2 + 2к+1.

Так для к — 1 получаем, что выполнено тождество степени пять. Для к — 2 в работе [11] установлено, что наименьшая степень стандартного тождества для алгебры И^ равна, как раз 10. Сложности, которые пришлось при этом преодолеть показывают, что поиск наименьшей степени для стандартного тождества в алгебре И7^ в общем случае при произвольном к очень трудная задача.

Тождествам алгебр посвящена целая глава монографии [29]. В част-

ности, отмечено, что проблема выполнения тождества в этих алгебрах является алгоритмически разрешимой проблемой.

В 80-х годах прошлого столетия в работе [17] была доказана экспоненциал ьн ость роста многообразия ьагУУк. Более точно, было доказано, что

сп(иаг\¥к)<( 4*)\

При к = 1 получаем верхнюю оценку экспоненты 4. Позже было доказано, что многообразие порожденное алгеброй Ли \¥\ или, что тоже самое, алгеброй Ли векторных полей на прямой, имеет экспоненту равную 4, см. [12], [13].

Используя идею доказательства, предложенную в статье [17], удалось уточнить полученную в этой работе оценку роста последовательности коразмерностей многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа.

Основным результатом первого раздела второй главы является такая теорема.

Теорема 2.1 .В случае поля нулевой характеристики ШР(уаг]¥к) < к{ 1 + к)( 1 + 1 /к)к.

Таким образом, при всех к > 1 верхняя оценка экспоненты многообразия уаг является дробным числом. В частности, для основного объекта исследований второй главы алгебры И^ получаем, что экспонента ЕХР (шг^) ограничена сверху дробным числом 27/2. При к — 1 как и должно быть получаем 4.

После доказательства этой теоремы возникло понимание, что экспоненты многообразия иаг при к = 2,3,... должны быть дробными числами.

Удалось получить нижнюю оценку для случая к = 2. Этому результаты посвящена вторая часть второй главы. Приятно отметить, что в ходе поиска доказательства пришлось привлечь современные компьютерные технологии. При помощи написанной программы был найден вид элемента, который не является тождеством в алгебре И^- Но самое приятное, что после этого удалось, как говориться, вручную без ссылки на полученные при помощи ЭВМ результаты доказать, что найденный элемент не является тождественно равным нулю в алгебре И^- Непосредственное доказательство получилось естественно технически сложным, но понятным в идейном плане, так как является непосредственным перебором случаев. Еще раз отметим, что доказательства предложений 2.1, 2.2, 2.3 и 2.4 приведены в явном виде, чтобы выдержать требования классических доказательств. Иначе пришлось бы приводить тексты программ и полагаться на их корректную работы.

Центральным результатом всей работы является следующая теорема, доказанная во втором разделе второй главы.

Теорема 2.2 В случае поля нулевой характеристики экспонента многообразия иаг И^ является дробной:

13,1 < ЕХР(уаг Ш2) < ЕХР(тг И^) < 13, 5.

Отыскание конкретного вида элементов большей степени, чтобы их значение было отлично от нуля, является сложной вычислительной задачей, не принципиальной для данной работы. Однако, это позволило бы значительно приблизить нижнюю оценку к величине 13,5. Хотя эта работа была проделана и соответствующие результаты были получены, но они не вошли в диссертационную работу. В этом случае пришлось бы часть доказатель-

ства проводить со ссылкой на компьютерные вычисления. Тем не менее с большой уверенностью в качестве гипотезы можно высказать следующее:

Гипотеза. Экспонента многообразия, порожденного алгеброй Wk, существует и равна верхней оценке из теоремы 2.1, т.е.

EXP (mrW2) = к(к + 1)(1 + 1 /к)к.

Третья глава диссертации посвящена проблеме построения примеров многообразий линейных алгебр с заранее заданной экспонентой и построению многообразий промежуточного роста. Как уже отмечалось в работе [35] для любого действительного числа а > 1 была построена такая алгебра Аа, что

ЕХР(Аа) = а.

В работе [36] построена серия многообразий промежуточного роста. Более точно, для любого действительного числа ß, 0 < ß < 1, построена такая алгебра Bß, что

lim lognlogncn(ßg) = ß,

п—¥ оо

то есть последовательность cn(Bß), п — 1,2,..., ведет себя как

пп\ п= 1,2,....

Целью данной главы было построение коммутативных алгебр и антикоммутативных алгебр с аналогичными свойствами их роста тождеств. Цель была достигнута, по двоичному бесконечному слову w была построена антикоммутативная алгебра Aanu(w) и коммутативная алгебра Acom{w) с желаемыми свойствами. Эти алгебры строились по аналогии с алгеброй A(w), структура которой приведена в упомянутых выше статьях. Этому построению посвящен первый раздел третьей главы.

В начале второго раздела третьей главы приведен результат о взаимосвязи коразмерностей построенных алгебр.

Теорема 3.1. Пусть алгебра А(и>) совпадает с коммутативной алгеброй Асот{и)) или антикоммутативной алгеброй Аапц{и}). Тогда для любого п выполняются неравенства

- ■ СпЩт)) < сп(А(т)) < п(п~ 1} • сп(А(гп)), (1)

п 2

--- • cn(Ä(w)) < cn(A(w)) < п ■ cn(Ä{w)). (2)

п(п — 1)

После доказательства этой технической вспомогательной теоремы приведенные ниже теоремы 2.2 и 2.3 являются по существу следствиями из доказанных в работах [35] и [36] результатов.

Основными результатами третьей главы являются следующие теоремы, сформулированные и доказанные во втором разделе третьей главы.

Теорема 3.2. Для любого действительного числа а, а > 1, существует такое двоичное слово wa, что EXP(Acom(u>a)) = ЕХР(Аапц(и)а)) = су..

Теорема 3.3. Для любого действительного числа /3,0 < ß < 1, существует такое двоичное слово Wß, что

lim lognlogncn{Acom(wß)) = lim lognlogncn{Aanti(wß)) = ß,

n—>00 n—»CO

то есть последовательности cn(Acom(vjß)) и cn(Aanti(wß)) ведут себя, как пп\ п = 1,2,....

Таким образом, получаем, что в классе коммутативных алгебр и в классе антикоммутативных алгебр существуют многообразия с полученными в работах [35], [36] свойствами роста.

Последний результат работы изложен в последнем третьем разделе третьей главы. Он состоит из построения 4-х мерной алгебры с дробной экс-понентой соответствующего многообразия.

Пусть А линейная алгебра с базисом с/, Ь и таблицей умножения гс1 =

Ы — Ь, ЬЬ — г, остальные произведения базисных элементов равны нулю, а V многообразие, порожденное алгеброй А.

Сформулируем полученную теорему.

Теорема 3.4. Для экспонент многообразия V выполняются следующие строгие неравенства

2,3 < ЕХР(У), ЕХР(У) < 2,9.

Отметим, что наименьшая размерность алгебры с дробным ростом коразмерностей в работе [35] равна пяти. Дробной экспоненты роста коразмерностей не может быть в случае алгебр размерности два, [38]. А при наличии у алгебры единицы дробная экспонента невозможна также и в случае трехмерных алгебр, [7]. Построенная 4-х мерная алгебра повышает интерес к доказательству, что дробная экспонента невозможна для любой трехмерной алгебры.

Изложенные в диссертации результаты опубликованы в пяти работах, [21], [22], [23], [24], [25], три из которых - статьи, в том числе одна из списка ВАК.

Автор выражает благодарность научному руководителю В.М. Петроградскому за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мищенко, Сергей Сергеевич, 2011 год

Литература

[1] Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли - М.: Наука,- 1980.

[2] Веревкии А.Б., Зайцев М.В., Мищенко С.П., Достаточное условие совпадения нижней и верхней экспонент многообразия линейных алгебр// Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. - 2011,- N 2,- С. 36-39.

[3] Воличенко И.Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [[Xl, Х2, .Х3], [Х4, Х5, Х6\] = 0 над полем характеристики нуль// Сибирский математический журнал - 1984 - Т. 25.- №3.- С. 40-54.

[4] Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп,- М.: Мир., 1982.

[5] Дренски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр// Математический сборник - 1981.- Т. 115.- № 1(5).-С. 98-115.

[6] Зайцев М.В. Целочисленность экспонент роста тождеств конечномерных алгебр Ли// Известия РАН. Сер. Математика - 2002,- Т 66 - №3-С. 23-48.

[7] Зайцев М.В. Тождества конечномерных унитарных алгебр// Алгебра и логика (в печати).

[8] Зайцев М.В., Мищенко С.П. Новое экстремальное свойство многообразия алгебр Ли AN2// Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. - 1999 - №5.- С. 18-23.

[9] Зайцев М.В., Мищенко С.П. О полиномиальности роста кодлины многообразий алгебр Ли// Алгебра и логика. - 1999 - Т. 38 - №2.- С. 161175.

[10] Зайцев М.В., Мищенко С.П., Асимптотика функций роста кодлины многообразий алгебр Ли. Успехи математических наук,- 1999.- Т. 54-№ 3,- С. 161-162.

[11] Кагарманов A.A. Стандартный лиев полином степени 8 на алгебре Ли W2// Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. - 1989.- № 3,- С. 66-68.

[12] Кириллов А. А., Концевич М: Л. Рост алгебры Ли, порожденной двумя общими векторными полями на прямой// Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. - 1983 - № 4,- С. 15-20.

[13] Кириллов А. А., Молев А. И. Об алгебраической структуре алгебры Ли векторных полей// Препринт № 168. М.: ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, 1985.

[14] Курош А.Г. Лекции по общей алгебре - СПб: Лань., 2005.

[15] Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр - М.: Наука., 1969.

[16] Мальцев А.И. Алгебраические системы - М.: Наука., 1970.

[17] Мищенко С.П. К проблеме энгелевости// Математический сборник-1984,- 124(166).- № 1(5).- С. 56-67.

[18] Мищенко С.П. О многообразиях алгебр Ли промежуточного роста// Весщ АН БССР.- 1987,- Т. 126,- №2,- С. 42-45.

[19] Мищенко С.П. О некоторых классах алгебр Ли// Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. - 1992 - №3 - С. 55-57.

[20] Мищенко С.П. Рост многообразий алгебр Ли// Успехи математических наук,- 1990,- Т.45 - №6(276).- С. 25-45.

[21] Мищенко С.С. О росте многообразий коммутативных линейных алгебр// Фундаментальная и прикладная математика - 2008.- Т. 14-№5,- С. 165-170.

[22] Мищенко С.С. Экспонента коразмерностей одной четырехмерной алгебры// Ученые записки Ульяновского государственного университета. Сер. Математика и информационные технологии. - 2011. - Выпуск 1(3). - С. 67-68.

[23] Мищенко С.С. Новый пример многообразия алгебр Ли с дробной экс-понентой// Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. -2011. - № 6,- С. 44 - 47.

[24] Мищенко С.С. О росте многообразий коммутативных линейных алгебр//Международная математическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша. Тезисы докладов, (28 мая - 3 июня 2008, МГУ, Москва).- 2008.- С. 168-169.

[25] Мищенко С.С. Рост коразмерностей коммутативных и антикоммутативных алгебр// Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В.Морозова, и молодежной школы-конференции "Современные проблемы алгебры и математической логики"; Казань, 2530 сентября 2011.- Казань: КФУ, 2011,- С. 144-145.

[26] Петроградский В.М. О типах сверхэкспоненциального роста тождеств в PI-алгебрах Ли// Фундаментальная и прикладная математика.-1995,- Т. 1- №4,- С. 989-1007.

[27] Петроградский В.М. Рост полинильпотентных многообразий алгебр Ли и быстро растущие целые функции// Математический сборник 1997,- Т. 188,- №6,- С. 119-138.

[28] Петроградский В.М. Рост полинильпотентных многообразий алгебр Ли и быстро растущие функции// Математический сборник,- 1997 -Т. 188,- №6 - С. 119-138.

[29] Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений.- М.: Наука., 1989.

[30] Рацеев С.М. Структура и тождества некоторых алгебр лиевского типа: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук: Ульяновск, УлГУ, 2006.

[31] Эндрюс Г. Теория разбиений - М.: Наука., 1982.

[32] Berele A., Regev A. Applications of hook Young diagrams to P.I. algebras// J. Algebra. - 1983,- V. 82,- P. 559-567.

[33] Drensky V. Free algebras and Pi-algebras. Graduate course in algebra.-Springer-Verlag Singapore, Singapore, 2000.

[34] Drensky V. Relations for the cocharacter sequences of T-ideals// Contemporary Mathematics.- 1992,- V. 131 (Part 2).- P. 285-300.

[35] Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Codimensions of Algebras and Growth Functions// Advances of mathematics. - 2008 - V. 217 - P. 10271052.

[36] Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Algebras with intermediate growth of the codimensions// Adv. in Appl. Math.- V. 37 (2006).- № 3-P. 360-377.

[37] Giambruno A., Mishchenko S.P., Zaicev M.V. On the colength of a variety of Lie algebras// International Journal of Algebra and Computations-1999. - V. 9.- №5,- P. 483-491.

[38] Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Codimension growth of two-dimensional non-associative algebras// Proc. Amer. Math. Soc.- 2007.-V. 135,- P. 3405-3415.

[39] Giambruno A., Zaicev M. Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate// Adv. Math.- 1999.- V. 142,- P. 221-243.

[40] Giambruno A., Zaicev M. On codimension growth of finitely generated associative algebras// Adv. Math.- 1998.- V. 140.- P. 145-155.

[41] Giambruno, A., Zaicev, M.V. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Mathematical Surveys and Monographs 122- American Mathematical Society. Providence. RI., 2005.

[42] Kerber A. Representations of permutation groups I// Lect. Notes in Math.- 1971,-V. 240.

[43] Mishchenko S. P., Zaicev M. V. An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent// J. Math. Sci. (New York).- 1999,- 93,- № 6-P. 977-982.

[44] Mishchenko S. P., Petrogradsky V. M. Exponents of Varieties of Lie Algebras with a Nilpotent Commutator Subalgebra// Communications in Algebra.- 1999,- 27,- № 5.- P. 2223-2230.

[45] Mishchenko S.P., Zaicev M.V., Asymptotic behaviour of colength of varieties of Lie algebras. Serdica Math. J - 2000.- 26.- P. 145-154.

[46] Regev A. Existence of identities in A®B// Israel J. Math - 1972 - V. 11-P. 131-152.

[47] Robbins H. A remark on Stirling's formula// Amer. Math. Monthly 1955 -V.62 - P. 26-29.