Экспериментально корректируемые компьютерные модели гексаферритовых гиромагнитных резонаторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат наук Колодин Павел Сергеевич

• Колодин Павел Сергеевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Колодин Павел Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ ГИРОМАГНИТНОГО РЕЗОНАТОРА

НА ОСНОВЕ ОДНОДОМЕННОГО МОНОКРИСТАЛЛА ГЕКСФЕРРИТА

1.1. Существующая приближенная теория ферромагнитного резонанса в

однодоменном монокристалле гексаферрита

1.1.1. Гексаферрит как магнитный материал: магнитная структура, магнитная анизотропия и внутреннее эффективное

поле анизотропии

1.1.2. Основные магнитостатические характеристики: кривые перемагничивания и петли гистерезиса

1.1.3. Магнитная восприимчивость монокристалла в полях крайне высокой частоты. Ферромагнитный резонанс

1.2. Имитационная методика расчета основных магнитостатических

характеристик в компьютерной модели

1.2.1. Решение статической задачи при произвольном начальном состоянии монокристалла

1.2.2. Расчет кривых перемагничивания и петель гистерезиса с учетом магнитной предыстории

1.3. Методика расчета резонансных характеристик в компьютерной модели

1.3.1. Расчет тензоров магнитной восприимчивости и магнитной проницаемости в произвольной точке петли магнитного гистерезиса

1.3.2. Алгоритм расчета частотных КВЧ-характеристик

1.3.3. Алгоритм расчета полевых КВЧ-характеристик

1.4. Основные результаты

ГЛАВА 2. ИМИТАЦИОННАЯ КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ ГИРОМАГНИТНОГО

РЕЗОНАТОРА НА ОСНОВЕ ГЕКСАФЕРРИТОВОГО

ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

2.1. Существующая приближенная теория ферромагнитного резонанса

в гексаферритовом поликристаллическом материале

2.1.1. Зернистая структура поликристаллического материала

2.1.2. Основные магнитостатические характеристики

2.1.3. Магнитная восприимчивость в полях КВЧ

2.2. Имитация зернистой структуры поликристаллического материала

в компьютерной модели

2.2.1. Имитация неодинаковой пространственной ориентации частиц

2.2.2. Имитация распределения частиц по значению поля анизотропии

2.2.3. Имитация распределения частиц по размерам

2.3. Имитационная методика расчета основных магнитостатических характеристик

2.3.1. Решение статической задачи при произвольном начальном состоянии частиц в материале

2.3.2. Расчет кривых перемагничивания и петель магнитного

гистерезиса с учетом магнитной предыстории частиц в материале

2.4. Методика расчета резонансных характеристик в компьютерной модели

2.4.1. Расчет тензоров магнитной восприимчивости и магнитной проницаемости в произвольной точке петли магнитного гистерезиса

2.4.2. Алгоритм расчета частотных КВЧ-характеристик

2.4.3. Алгоритм расчета полевых КВЧ-характеристик

2.5. Основные результаты

ГЛАВА 3. КОМПЬЮТЕРНАЯ АВТОМАТИЗАЦИЯ ЛАБОРАТОРНЫХ УСТАНОВОК

ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ГЕКСАФЕРРИТОВЫХ ГИРОМАГНИТНЫХ РЕЗОНАТОРОВ

3.1. Задача комплексной автоматизации исследования гексаферритовых гиромагнитных резонаторов

3.2. Компьютерная автоматизация физического эксперимента на КВЧ

3.2.1. Автоматизация измерения частотных характеристик

3.2.2. Автоматизация измерения полевых характеристик

3.3. Компьютерное моделирование в автоматизированных установках

3.3.1. Постановка задачи компьютерного моделирования при исследовании гексаферритовых гиромагнитных резонаторов

3.3.2. Компьютерная реализация математических моделей прямоугольного металлического волновода с гексаферритовым гиромагнитным резонатором

3.4. Интеграция автоматизированного физического эксперимента и компьютерного моделирования

3.5. Основные результаты

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА КОМПЬЮТЕРНОЙ МОДЕЛИ ГИРОМАГНИТНОГО РЕЗОНАТОРА НА ОСНОВЕ

ГЕКСАФЕРРИТОВОГО ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

4.1. Проверка результатов расчета по модели гиромагнитного резонатора

на основе гексаферритового поликристаллического материала

4.2. Применение комплекса для исследования резонаторов

4.3. Основные результаты

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ СТАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ОДНОДОМЕННОЙ ЧАСТИЦЫ ГЕКСАФЕРРИТА

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, ПРЕДНАЗНАЧЕННЫХ ДЛЯ ИМИТАЦИИ ЗЕРНИСТОЙ СТРУКТУРЫ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экспериментально корректируемые компьютерные модели гексаферритовых гиромагнитных резонаторов»

ВВЕДЕНИЕ

Освоение коротковолновой части миллиметрового диапазона является одной из решаемых в настоящее время задач радиотехники. В нашей стране актуальность этой задачи обусловлена перспективами, которые открывает применение миллиметровых волн для повышения обороноспособности и для развития таких отраслей народного хозяйства, как связь, наука и здравоохранение [1-4]. Решение этой задачи включает в себя создание различных функциональных устройств, в т.ч. гиромагнитных: вентилей, полосовых фильтров, циркуляторов и др.

При создании таких устройств в миллиметровом диапазоне широкое распространение [5] получили гексаферритовые гиромагнитные резонаторы - образцы гексаферритовых материалов различной геометрической формы, работающие в условиях гиромагнитного резонанса [6]. В настоящее время существует большое количество материалов, отличающихся друг от друга по своим магнитным свойствам [7, 8], и продолжают появляться новые (см., например, [9, 10]). Очевидно, что для эффективного применения гексаферритовых гиромагнитных резонаторов и для создания устройств с требуемыми техническими характеристиками необходимо знать характеристики и основные параметры материалов, а в случае новых, еще не достаточно изученных материалов - уметь их исследовать. Оперативное исследование резонансных характеристик необходимо также и для развития технологии изготовления самих гиромагнитных материалов. Таким образом, исследование гексаферритовых гиромагнитных резонаторов является одной из актуальных задач современной радиотехники.

Хорошо известно, что исследовательская работа включает в себя не только проведение физического эксперимента с целью измерения характеристик объекта, но и обработку полученных данных, выполнение расчетов по теоретическим (математическим) моделям, а также сопоставление результатов измерения и расчета. Таким образом, наличие математической модели гексаферритового гиромагнитного резонатора является одним из необходимых условий для выполнения исследований гексаферритовых материалов.

Следует отметить, что интенсивное и систематическое исследование ферритовых и гексаферритовых материалов в мире осуществляется уже более 60 лет. За это время ощутимый вклад в экспериментальные исследования и разработку теории резонансных свойств ферритов и гексаферритов внесли различные коллективы из Европы, США, Японии и Китая [11-22]. В Советском Союзе целенаправленное исследование таких материалов началось в конце 40-х -начале 50-х гг. прошлого века. К работе в этом направлении подключились различные институты и лаборатории Москвы, Ленинграда, Урала и Сибири, сформировавшие впоследствии ведущие научные школы страны.

В настоящее время наиболее известными центрами разработки и исследования ферритовых материалов и устройств (в т.ч. радиопоглощающих покрытий) в нашей стране являются АО «НИИ «Феррит-Домен» [23], АО «Завод Магнетон» [24] (г. Санкт-Петербург), АО «НПП «Исток» им. Шокина» (г. Фрязино) [25-27], ТГУ [9, 10, 28-32] (г. Томск), физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова [33, 34] и ИРЭ им. В. А. Котельникова РАН (г. Москва), СПбГУТ им. проф. Бонч-Бруевича [35] и СПбГЭТУ «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина) [36] (г. Санкт-Петербург), ИФМК УФН РАН (г. Уфа), Институт физики им. Л. В. Киренского СО РАН (г. Красноярск). Нельзя не отметить и Отраслевую проблемную лабораторию ферритов (ОПЛФ) МЭИ, в стенах которой под рук. К. М. Поливанова, Л. К. Михайловского и С. А. Медведева с начала 60-х гг. прошлого века проводились научно-исследовательские работы по созданию новых материалов, их исследованию и применению в устройствах диапазонов сверхвысоких и крайне высоких частот (СВЧ и КВЧ) [5, 7, 37-47]. Работа этих научных школ привела к появлению различных гиромагнитных материалов и устройств, созданию их теоретических моделей и выработке методик их экспериментального исследования.

Однако физический эксперимент на миллиметровых волнах дорог и трудоемок, а математические модели громоздки, поэтому эффективные исследования гексаферритовых гиромагнитных материалов немыслимы без автоматизации (переложения с исследователя на компьютер) всех частей исследовательского процесса: физического эксперимента, обработки данных, расчета по модели и сопоставления результатов эксперимента и моделирования. При этом на рабочем месте исследователя должна существовать тесная связь (интеграция) экспериментальной и расчетной баз, в противном случае сопоставление результатов эксперимента и расчета будет затруднено, а сами исследования - малоэффективны.

К сожалению, на современном рынке практически отсутствуют подходящие для этого предложения. Продукцию подавляющего большинства зарубежных и отечественных компаний, как правило, можно четко разделить на категории «автоматизированная измерительная техника» (векторные анализаторы цепей от компаний «National Instruments», «Keysight Technologies», «Rohde & Schwarz», «Планар» и др.) и «пакеты электродинамического моделирования» (программы «HFSS», «CST Microwave Studio» и др.), никак не связанные между собой. Поэтому даже широкие финансовые возможности, позволяющие приобрести дорогостоящие оборудование и программное обеспечение, не решают вопроса об интеграции физического эксперимента и компьютерного моделирования.

Актуальность проведения исследовательской работы и отсутствие готовых решений определили основное направление и цель диссертационной работы. Целью работы является создание аппаратно-программного комплекса, предназначенного для автоматизированного

исследования гексаферритовых гиромагнитных резонаторов. Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

• провести обзор литературы по теории гиромагнитного резонанса в гексаферритовых материалах и методам их экспериментального исследования;

• разработать алгоритмы и программное обеспечение для расчета характеристик гиромагнитных резонаторов на основе гексаферритового монокристалла и гексаферритового поликристаллического материала;

• провести проверку результатов моделирования;

• провести компьютерную автоматизацию лабораторных установок для измерения основных характеристик гексаферритовых гиромагнитных резонаторов;

• провести интеграцию автоматизированного физического эксперимента и компьютерного моделирования;

• провести апробацию разработанного комплекса.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Для разработки компьютерных моделей гексаферритовых гиромагнитных резонаторов предложено использовать метод имитационного моделирования.

2. Для обеспечения возможности расчета тензоров магнитной восприимчивости и магнитной проницаемости произвольно ориентированного однодоменного кристалла (частицы в форме эллипсоида вращения) магнитно-одноосного гексаферрита в любой точке петли гистерезиса

• предложен метод решения статической задачи, отличающийся учетом начального состояния (направления поля анизотропии) кристалла;

• разработаны алгоритмы расчета кривых перемагничивания и петель магнитного гистерезиса, отличающиеся учетом магнитной предыстории.

3. Для обеспечения возможности моделирования произвольно намагниченного гиромагнитного резонатора на основе гексаферритового поликристаллического материала

• предложен метод решения статической задачи для ансамбля невзаимодействующих произвольно ориентированных однодоменных частиц магнитно-одноосного гексаферрита, отличающийся учетом начального состояния каждой частицы в материале;

• разработан алгоритм расчета кривых перемагничивания, отличающийся учетом магнитной предыстории каждой частицы в материале; на его основе разработан алгоритм расчета произвольных (как предельных, так и любых частных) петель магнитного гистерезиса;

• предложен имитационный метод расчета тензоров магнитной восприимчивости и магнитной проницаемости материала, отличающийся учетом двух возможных направлений поля анизотропии каждой частицы.

4. Разработана компьютерная модель гиромагнитного резонатора на основе гексаферритового поликристаллического материала, обобщенная на случай произвольно намагниченного и произвольно ориентированного материала с произвольным качеством текстуры.

Теоретическая значимость работы заключается в следующем:

• разработана компьютерная модель гиромагнитного резонатора на основе гексаферритового поликристаллического материала, позволяющая обобщить существующую приближенную теорию ферромагнитного резонанса на случай произвольно намагниченного и произвольно ориентированного материала с произвольным качеством текстуры;

• разработаны методы и алгоритмы, открывающие путь для создания обобщенной компьютерной модели многокомпонентного композиционного материала на основе частиц гексаферрита.

Практическая значимость работы заключается

• в создании автоматизированных установок для экспериментального исследования полевых и частотных характеристик гиромагнитных материалов и устройств в диапазонах частот от 8 до 80 ГГц;

• в разработке компьютерных моделей, которые могут быть использованы для расчета и компьютерного проектирования устройств СВЧ и КВЧ, содержащих гексаферритовые гиромагнитные резонаторы;

• в интеграции измерительной и расчетной частей программного обеспечения, позволяющей проводить автоматизированное исследование гексаферритовых гиромагнитных резонаторов.

Результаты работы используются в учебном процессе кафедры основ радиотехники ФГБОУ ВО «НИУ «МЭИ», что подтверждено актом о внедрении.

При решении указанных задач в работе использовались следующие известные методы:

• метод Ньютона и метод простой итерации при разработке алгоритма численного решения статической задачи для однодоменного кристалла гексаферрита;

• метод имитационного моделирования при разработке компьютерных моделей гексаферритовых гиромагнитных резонаторов;

• метод функционального преобразования случайной величины при получении псевдослучайных последовательностей с требуемыми законами распределения;

• метод наименьших квадратов при определении параметров модели, обеспечивающих наилучшую аппроксимацию экспериментальных данных;

• метод Левенберга-Марквардта при поиске координат минимума функции нескольких переменных;

• метод автоматизированного физического эксперимента при измерении полевых и частотных характеристик исследуемых резонаторов;

• метод экспериментально корректируемых математических моделей при исследовании гексаферритовых гиромагнитных резонаторов.

Положения и основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту:

• метод решения статической задачи с учетом начального состояния частиц и разработанные на его основе алгоритмы позволяют рассчитывать предельную и частные петли гистерезиса поликристаллического материала при произвольных значениях параметров, описывающих качество текстуры, разброс частиц по значению поля анизотропии и пространственную ориентацию материала во внешнем поле;

• имитационный метод, учитывающий два возможных направления поля анизотропии каждой частицы, позволяет рассчитывать тензоры магнитной восприимчивости и магнитной проницаемости гиромагнитного резонатора на основе гексаферритового поликристаллического материала в любой точке произвольной петли гистерезиса;

• проведен расчет высокочастотных характеристик гиромагнитного резонатора на основе гексаферритового поликристаллического материала при изменении положения рабочей точки на петлях гистерезиса, качества текстуры материала и его пространственной ориентации;

• имитационная компьютерная модель гиромагнитного резонатора на основе гексаферритового поликристаллического материала позволяет обобщить существующую приближенную теорию ферромагнитного резонанса (существующую математическую модель) на случай произвольно ориентированного и произвольно намагниченного материала с произвольным качеством текстуры;

• компьютеризованные лабораторные установки позволяют проводить автоматизированное экспериментальное исследование полевых и частотных характеристик гиромагнитных материалов и устройств в диапазонах частот от 8 до 80 ГГц;

• результаты исследования тестовых образцов по методу экспериментально корректируемых математических моделей согласуются с результатами, полученными обработкой экспериментальных данных «традиционным» методом, и с результатами независимых исследований.

Достоверность результатов расчета обусловлена использованием при разработке компьютерных моделей апробированных теоретических представлений и методов и подтверждена хорошим соответствием известным теоретическим результатам и экспериментальным данным.

Основные результаты диссертационной работы были представлены на 17-й, 18-й, 19-й и 20-й международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2011 - 2014 гг.), на XIX, XX, XXI и XXII международных конференциях «Электромагнитное поле и материалы» (Москва -Фирсановка, 2011 г.; Москва, 2012 - 2014 гг.), на I и II Всероссийских микроволновых конференциях (Москва, 2013, 2014 гг.), на XXI и XXII международных заочных научно-практических конференциях «Научная дискуссия: вопросы технических наук» (Москва, 2014 г.).

Всего по теме диссертационного исследования опубликовано 18 работ, среди которых 4 статьи в научных изданиях, входящих в перечень российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук, и 14 публикаций в сборниках трудов международных и всероссийских конференций.

Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 149 наименований и приложения. Работа содержит 197 страниц, 107 рисунков и 4 таблицы.

ГЛАВА 1. КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ ГИРОМАГНИТНОГО РЕЗОНАТОРА НА ОСНОВЕ ОДНОДОМЕННОГО МОНОКРИСТАЛЛА ГЕКСАФЕРРИТА

Глава 1 диссертационной работы посвящена созданию компьютерной модели гиромагнитного резонатора на основе однодоменного монокристалла магнитно-одноосного гексаферрита. Представлены результаты обзора литературы по теории ферромагнитного резонанса в однодоменном кристалле гексаферрита. Предложен метод решения статической задачи, отличающийся от известных методов учетом начального состояния (направления поля анизотропии) кристалла. Разработаны алгоритмы расчета кривых перемагничивания и петель магнитного гистерезиса, отличающиеся от известных аналогов учетом магнитной предыстории. Представлены алгоритм расчета тензоров магнитной восприимчивости и магнитной проницаемости в любой точке петли гистерезиса и алгоритмы расчета резонансных (частотных и полевых) характеристик кристалла. Проведено сопоставление результатов компьютерного моделирования с известными теоретическими результатами.

1.1. Существующая приближенная теория ферромагнитного резонанса в однодоменном

монокристалле гексаферрита

Параграф посвящен обзору литературы по теории ферромагнитного резонанса в однодоменном кристалле гексаферрита. Изложены характерные особенности внутренней структуры гексаферрита как магнитного материала. Рассмотрены существующие методы расчета основных магнитостатических характеристик и высокочастотных параметров однодоменного кристалла гексаферрита.

1.1.1. Гексаферрит как магнитный материал: магнитная структура, магнитная анизотропия и внутреннее эффективное поле анизотропии

Среди магнитных материалов, применяемых в технике [48-51], в радиотехнике СВЧ и КВЧ особое место занимают ферримагнитные диэлектрики, называемые ферритами.

В общем случае ферритами принято называть химические соединения оксида трехвалентного железа с оксидами других металлов. Широкую известность и наибольшее распространение в технике СВЧ получили ферриты со структурой шпинели (Ме0Бе203, где Ме обозначает двухвалентный металл) и граната (Я3Бе5012, где Я обозначает редкоземельный металл) [52, 23], а в технике КВЧ - еще и ферриты с гексагональной структурой (гексаферриты, имеющие формулу вида Ме0-6Бе203) [53, 23, 5].

При температуре ниже критического уровня (точки Кюри) ферриты являются магнитно-упорядоченными материалами; в подавляющем большинстве случаев их магнитная структура имеет ферримагнитный характер [18]. Для описания такой магнитной структуры широкое распространение получила модель, предложенная Л. Неелем [12]. Согласно этой модели, магнитные моменты атомов ферримагнетиков (в первую очередь, спиновые магнитные моменты электронов незаполненных электронных оболочек) образуют, как в антиферромагнетиках, две подрешетки с намагниченностями М1 и М2, направленными противоположно друг другу. Причиной образования магнитных подрешеток является обменное взаимодействие, которое упорядочивает собственные механические (спиновые) моменты электронов [54]. Поскольку, как известно, собственный механический момент электрона связан с его магнитным моментом, обменное взаимодействие приводит к упорядочиванию атомных магнитных моментов. При этом, поскольку подрешетки образованы атомами разных

химических элементов, векторы М1 и М2 отличаются друг от друга не только по направлению,

но и по модулю. Из-за этого суммарный магнитный момент ферримагнетика, в отличие от антиферромагнетика, не равен нулю; отсюда возникновение термина «нескомпенсированный антиферромагнетик», часто употребляемого в отношении магнитной структуры ферритов.

Исходя из такой модели, можно заключить, что магнитное состояние ферритов как

магнитных материалов описывается векторами подрешеток Мх и М2. Однако на практике при описании магнитных свойств ферритов обычно работают не с самими этими векторами, а с их комбинациями - вектором ферромагнетизма М =М1+М2 и вектором антиферромагнетизма

Ь=М1-М2 [21, 55]. При этом, поскольку антиферромагнитная природа ферритов (т.н.

«раскрытие» подрешеток) обычно проявляется только в длинноволновой части оптического диапазона [21], в сантиметровом и миллиметровом диапазонах волн вектором антиферромагнетизма и подрешеточной структурой обычно пренебрегают и описывают ферриты как ферромагнетики, характеризующиеся намагниченностью М .

Из-за того, что вектор М отличен от нуля, единица объема ферритового кристалла должна характеризоваться магнитным моментом, т.е. ферритовый кристалл в целом должен обладать намагниченностью. Однако многочисленные опытные данные свидетельствуют о том, что в отсутствие внешнего магнитного поля монокристалл феррита может обладать практически нулевой намагниченностью, т.е. находиться в размагниченном состоянии.

Гипотезу, объясняющую это явление, высказал П. Вейсс. Он предположил, что в отсутствие внешнего поля объемный образец ферромагнетика самопроизвольно разбивается на области спонтанной намагниченности (домены). Внутри каждого домена магнитные моменты

атомов имеют одинаковую пространственную ориентацию, однако эта ориентация меняется от домена к домену. Из-за этого в кристалле образуется магнитная структура, при которой векторы намагниченности соседних доменов образуют замкнутые контуры, уменьшая суммарный магнитный момент ферромагнетика большого объема практически до нуля.

Впоследствии эта гипотеза прошла не только экспериментальную проверку (с работами, посвященными наблюдению доменной структуры, можно ознакомиться, например, в сборнике [56]), но и получила теоретическое обоснование [57]. Качественно образование доменной структуры можно объяснить тем, что такая конфигурация является энергетически более выгодной, ведь на поверхности однородно намагниченного образца «образуются «магнитные заряды», создающие свое магнитное поле и, следовательно, увеличивающие магнитостатическую энергию системы» [52]. Разбиение образца на домены понижает магнитостатическую энергию; при этом магнитостатическая энергия тем меньше, чем больше доменов образуется и чем более плавные контуры образуют векторы намагниченности соседних доменов. Наиболее плавные контуры потребовали бы бесконечно большого количества доменов, однако в реальности неограниченному росту их количества препятствует то, что образование и поддержание доменной структуры повышает энергию за счет других энергетических вкладов. Поэтому в реальном образце феррита образуется ровно столько доменов и их векторы намагниченности ориентируются именно так, чтобы суммарная энергия ферромагнетика была минимальна.

В общем случае тория доменной структуры довольно сложна: в реальных образцах ферромагнетиков могут существовать разные типы доменов; при этом на динамику процессов образования и деформации доменов при перемагничивании влияет целый ряд факторов [18, 56, 58]. Поэтому во многих работах, посвященных описанию резонансных магнитных свойств ферритов в целом и гексаферритов в частности, получило распространение представление об однодоменности кристаллов. Это, очевидно, весьма грубое представление оправдано по нескольким причинам. Во-первых, как известно, доменная структура принципиально не может образоваться в частице достаточно малого размера (менее 1 мкм) [59], а материалы (поликристаллические и композиционные) с частицами именно таких размеров весьма перспективны для использования на практике [9, 31]. Во-вторых, доменная структура относительно крупных частиц может быть ликвидирована внешним магнитным полем; использование ферритовых материалов, находящихся в насыщающем магнитном поле, созданном миниатюрными магнитами, также распространено на практике [52]. В-третьих, резонансные явления, обусловленные доменной структурой (в первую очередь, резонанс доменных границ), находятся в низкочастотной области сантиметрового диапазона [52, 60] и на интересующий нас ферромагнитный резонанс, наблюдаемый в гексаферритах в миллиметровом

диапазоне, влияния практически не оказывают. В-четвертых, модель, построенная в приближении однодоменных частиц, в определенных условиях вполне адекватна реальным высококоэрцитивным поликристаллическим материалам (см. главу 4). Исходя из вышеизложенного, далее в работе мы будем рассматривать только однодоменные (т.е. намагниченные до насыщения) гексаферритовые монокристаллы и частицы.

Одним из факторов, оказывающих влияние на резонансные свойства гексаферрита, является кристаллографическая магнитная анизотропия, которая проявляется в зависимости магнитных свойств кристалла от направления его намагничивания относительно осей кристаллической решетки. Кристаллографическая магнитная анизотропия гексаферритов обусловлена магнитной связью между спиновыми и орбитальными моментами электронов, которая из-за связи орбитального движения с кристаллической решеткой и приводит к зависимости свободной энергии гексаферрита от направления намагничивания относительно его кристаллических осей [61].

Магнитная анизотропия приводит к тому, что в отсутствие внешнего магнитного поля вектор намагниченности однодоменного кристалла гексаферрита стремится расположиться вдоль одного из определенных кристаллографических направлений. Такие направления принято называть направлениями легкого намагничивания и характеризовать осями, называемыми осями легкого намагничивания (или просто «легкими» осями). В том случае, когда кристалл характеризуется только одной легкой осью, его называют магнитно-одноосным. Поскольку к таким кристаллам относится большинство гексаферритов (при этом легкая ось совпадает с гексагональной осью кристалла), в диссертационной работе будут рассматриваться только магнитно-одноосные кристаллы.

Чтобы отклонить вектор намагниченности от направления легкого намагничивания, необходимо совершить некоторую работу. Энергию, которую необходимо затратить на совершение этой работы для единицы объема кристалла, называют энергией кристаллографической магнитной анизотропии ~Uk .

При количественном анализе энергию кристаллографической магнитной анизотропии представляют в виде ряда по направляющим углам кристаллической решетки; для решетки гексагонального типа этот ряд имеет вид [62]:

U = K sin2 е+к2sin4 0+•••, (11)

где е - угол между вектором намагниченности и гексагональной осью кристалла (рис. 1.1), K 2 - первая и вторая константы кристаллографической магнитной анизотропии (высшими константами для магнитно-одноосных кристаллов обычно пренебрегают).

Рис. 1.1. Геометрическая схема для пояснения обозначений

По своему действию на вектор намагниченности кристаллографическая магнитная анизотропия эквивалентна некоторому магнитному полю, называемому полем

кристаллографической анизотропии Нк. Чтобы показать это, рассмотрим кристалл, вектор

намагниченности М которого отклонен от единичного вектора (орта) с условно-положительного направления гексагональной оси на угол 9 .

В этом случае на вектор М действует момент силы Тк, обусловленный

кристаллографической магнитной анизотропией, стремящийся повернуть вектор намагниченности и установить его вдоль легкой оси:

T = ^ = 2K sin0 cos0 + 4K2 sin3 0 cos 0 = (2K + 4K2 sin2 0)sin 0 cos 0 . (1.2)

50 v '

В свою очередь, если бы вектор намагниченности кристалла находился в некотором однородном магнитном поле Нк, направленном вдоль гексагональной оси, то на вектор действовал бы момент силы, равный по величине

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Колодин Павел Сергеевич, 2015 год

е - е

(2.53)

sh ( а )

Следовательно, функция х2 (м), при помощи которой осуществляется преобразование

случайной величины W с равномерным законом распределения (2.43) в случайную величину X с «гиперболическим» законом распределения (2.6), имеет вид [107]:

х2 (м) = 1arcsh (м • sh (а)) . (2.54)

3. «Технологический» закон распределения (2.7).

Для определения функции х3 (м), преобразующей случайную величину W в величину X с законом распределения (2.7), воспользуемся дифференциальным уравнением (2.40), записанным относительно случайных величин W и X (при < 1):

12 1

«3 (М)\

12 •

( „2

1 +

( М)

х3 (М

2

о

( л,2

• exp

х3 ( м)-1

2о

х2

1 +

( *)'

о

2

• exp

х3 (м)-1

Л'

(2.55)

2о2

Дифференциальное уравнение (2.55) описывает две функции х3 (м) : одну с положительной производной, вторую - с отрицательной. Для определенности будем считать, что функция х3 (мм) характеризуется положительной производной. В этом случае, опуская модуль,

перепишем дифференциальное уравнение (2.55):

х3 (м ) =

1

( л,2

1+-

х

( м)

о

Д2

• exp

х2 (м)-1

Л '

(2.56)

2о2

У

У

У

У

У

У

V

Решить это уравнение и найти выражение для функции х3 (w) довольно сложно. Поэтому, как и в предыдущем случае, найдем выражение для обратной функции щ (х). Возведя обе части уравнения (2.56) в степень «-1», получим уравнение для функции w3 (х) :

w:

2( х ) =

х^

1+

V а У

■ ехр

V 2*2 У

(2.57)

Несложно проверить, что решением этого уравнения является функция

^(х)= х■ехр

^х2 -1 ^ V 2°2 У

+ С.

(2.58)

Для любого а > 0 при изменении аргумента х в диапазоне [-1,1] значения функции ^ (х) меняются в диапазоне [-1 + С,1 + С]. Подбором константы С этот диапазон следует превратить в [-1,1] (см. (2.43)). Очевидно, что это осуществляется при С = 0. Тогда выражение для функции w3 (х) примет вид [107]:

Wз (х

(х)= х■ехр

^х2-1 ^

V 2а2 У

(2.59)

Однако из (2.59) не представляется возможным получить аналитическое выражение для функции х3 (w), поэтому для нахождения значений функции х3 (w) необходимо

воспользоваться численными методами (см. ниже). 4. «Произвольный» закон распределения.

Алгоритм нахождения функции х4 (w), преобразующей случайную величину W в

величину X с законом распределения (2.8) при заданных коэффициентах {ап}, п = 0, N -1, аналогичен алгоритмам из рассмотренных примеров. Считая функцию х4 (w) монотонной, запишем дифференциальное уравнение (2.40) относительно величин W и X при |w| < 1:

0.5

<( W )|

N -1

2 ап (х4 (^

(2.60)

Как и в рассмотренных выше примерах, будем искать решение х2 (w) уравнения (2.60) с

положительной производной. Тогда знак модуля в левой части (2.60) можно опустить:

0.5

<( w ) =

N-1

(2.61)

2 ап (х4 (^

п=0

п=0

Для решения дифференциального уравнения (2.61) воспользуемся известным из математического анализа методом разделения переменных [108]:

Та (х4 (м)) = 0.5дм. (2.62)

п=0

Интегрируя правую и левую части (2.62), получим:

N-1 п т ^

(х4 (м)) VС = 0.5м . (2.63)

Таким образом, функция х4 (м) должна удовлетворять уравнению:

(х4 (»)Г V С = м. (2.64)

Константу С , как и в предыдущих примерах, определим из условия нормировки интервалов

изменения значений м и х4 (м) :

.«=!; (-1) = -1С учетом (2.64) система (2.65) принимает вид:

ы-х 2а

12 + С = 1;

У 2п +1

(2.65)

п=0

N-1 гу

2ап Г Л2- + С = -1.

I 1 V '

п=0

(2.66)

У^- (-1)2 у 2п + Л '

Учитывая, что

2а, , „\2п+1 N—1 2а, , „\2п / 2а , _Ч2п N— 2а,

у (-1)2п+1 = У (-1)2п • (-1) = -У (-1)2п = -У

у2п + Л ' у2п + ^^ ^ ' у2п + Л ' у2п +1

(2.67)

запишем систему (2.66) следующим образом:

Г:-1 2а

У^ + С = 1; +1

:-х 2а

+ С = -1.

у2п +1

Воспользовавшись соотношением (2.11), получим:

|1 + С = 1; 1-1 + С = -1.

(2.68)

(2.69)

Легко видеть, что для любых допустимых значений {ап} система уравнений (2.69) справедлива при С = 0. Таким образом, функция х4 (м) удовлетворяет уравнению [107]:

У^хДм'Г = м. (2,0)

N-1

<

N-1

Однако аналитическое решение уравнения (2.70) не представляется возможным, поэтому для расчета значений х4 (^^) необходимо воспользоваться численными методами (см. ниже).

Таким образом, для интересующих нас законов распределения (2.5) - (2.8) получены уравнения для функций х (м^), х2 (w), х (м^) и х4 (). Перейдем к разработке алгоритмов для компьютерной процедуры, осуществляющей формирование псевдослучайных последовательностей } и {хк } с законами распределения (2.3), (2.5) - (2.8).

Поскольку требуется сформировать последовательности (массивы) псевдослучайных чисел, основу компьютерной процедуры должен составлять цикл. На каждом такте цикла должно происходить обращение к датчику случайных чисел и функциональное преобразование полученного значения. Если требуется исключить корреляцию случайных величин Q и X, то

формирование элементов последовательностей {дк} и {х} должно происходить на основе

разных значений величины О. Это означает, что на каждом такте цикла необходимо обращаться к датчику случайных чисел два раза. Учитывая все это, составим блок-схему алгоритма формирования последовательностей {дк} и {х} (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Блок-схема алгоритма формирования последовательностей {д4} и {хк}

На рис. 2.4 символами « гпё( )» обозначено обращение к датчику случайных чисел. На схеме специально не указаны входные параметры процедуры «Функциональное преобразование», поскольку вид функции х (м>^) (и, как следствие, входные параметры процедуры) меняется в зависимости от требуемого закона распределения последовательности {х}. Таким образом, входными параметрами алгоритма для формирования псевдослучайных

последовательностей {дк} и {хк} являются объем последовательностей N и значения параметров функций (2.5) - (2.8).

Алгоритм работы процедуры «Функциональное преобразование» в режиме формирования последовательности {х } с законом распределения (2.5), изображен на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Блок-схема процедуры «Функциональное преобразование» в режиме формирования последовательности {хк} с законом распределения (2.5)

Алгоритм работы процедуры «Функциональное преобразование», формирующей последовательность {х } с законом распределения (2.6), изображен на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Блок-схема процедуры «Функциональное преобразование» в режиме формирования последовательности {хк} с законом распределения (2.6)

Если же речь идет о формировании последовательности { х } с законом распределения (2.7) или (2.8), то в процедуре «Функциональное преобразование» следует предусмотреть подпрограмму для расчета значения функции х (w) или х (w) при заданном значении аргумента w (обозначим его ^ ) на основе уравнений (2.59) или (2.70). Рассмотрим алгоритм работы такой подпрограммы на примере функции х (w) [107].

Итак, задача заключается в следующем. Известно выражение для функции ^ (х) (2.59), дано значение w0. Требуется найти такое значение х, для которого щ (х ) = w0.

Приступим к решению задачи. Выражение щ (х ) = w0 представляет собой нелинейное уравнение, поэтому определение значения х при заданном значении ^ может быть выполнено различными методами, используемыми для решения нелинейных уравнений. Однако поскольку на характер функции ^ (х) оказывает влияние параметр о, применение

численных методов, построенных на вычислении производной функции w3 (х), может быть неэффективным из-за низкой скорости или нарушения условий сходимости. Поэтому для

решения задачи воспользуемся хорошо известным методом деления пополам [109], который, если пренебречь погрешностями вычислений, обладает практически гарантированной сходимостью, скорость которой не зависит от характера функции.

Метод деления пополам заключается в последовательном уменьшении интервала [с, ё],

в котором находится решение х0, на основе результатов сравнения значений функции ^ (х) в точке, являющейся серединой интервала, со значением ^. Уменьшение интервала прекращают, когда его размер становится меньше наперед заданного малого значения 8 .

Поскольку значения величины X должны лежать в интервале [—1,1], перед началом

поиска решения х0 следовало бы задать значения с = — 1, ё = 1. Однако благодаря монотонно возрастающему характеру функции ^ (х) (при любых значениях х wЗ(х)> 0 - см. (2.59)), можно уменьшить размер начального интервала вдвое, основываясь на знаке ^ . Если w0 > 0, искать решение х0 следует в интервале [0,1], в противном случае - в интервале [—1,0].

Из возрастающего характера функции ^ (х) вытекает алгоритм изменения границ интервала [с, ё]. Если в точке Ь, являющейся серединой интервала, функция ^ (р) оказывается больше заданного значения ^, то следует изменить правую границу интервала. В противном случае - левую. Изменение границ следует прекратить, когда размер Д. = ё. — с.

текущего интервала окажется меньше некоторого значения 8 . Поскольку после каждой итерации размер интервала уменьшается вдвое, можно априорно определить количество итераций М для поиска решения методом деления пополам. Если начальный размер интервала [с, ё] составлял Д = 1, то после первой итерации он уменьшится вдвое:

Д =у, (2.71)

а после второй итерации - вчетверо:

Д2 = Д =1. (2.72) 2 2 22

Таким образом, после М-й итерации размер текущего интервала [с, ё] составит

ДМ =^М . (2.73)

Следовательно, для выполнения условия прекращения поиска решения Дм < 8 количество итераций М должно удовлетворять условию:

М >— 1о§2 8. (2.74)

Наименьшее значение М, удовлетворяющее этому условию, составляет

М = |_- 1св2 е>1, (2.75)

где операция [...] означает округление вниз до ближайшего целого.

Итак, метод деления пополам, не давая точного значения решения х , позволяет сократить размер интервала [с, ё], содержащего это решение. Для получения приближенного значения х воспользуемся уточнением, основанным на следующих рассуждениях.

Если функция щ (х) монотонна, то интервалу значений аргумента [с, ё] соответствует интервал значений функции [(с), (ё)], в котором находится точка м0. Разложив функцию

М (х) в ряд Тейлора в окрестности решения х0 и пренебрегая в силу малости интервала [с, ё] высшими членами ряда, получим:

М3 (х) = М (х0 ) + М3 (х0 ) • (х - х0 ) . (2 76)

Для граничных точек интервала [с, ё ] (2.76) можно записать:

3 (с ) = М3 (х0 ) + М3( х0 )•(с - х0 );

3 (ё ) = М3 (х0 ) + М3( х0 )•(ё - х0 ).

Вычитая из второго выражения системы (2.77) первое, получим:

(2.77)

М (ё)-м (с ) = м'3( х0 )•( ё - с) . (2.78)

Тогда оценить производную функции м (х) в точке х = х0 можно по формуле:

, , ч ж (ё ) - ж (с)

м3(х0)= 3( с ) . (2 79)

Сложив первое и второе выражения системы (2.77), получим:

М (с) + м (ё) = 1мъ (х0) + а'ъ (х0)•(с + ё-2х0) . (2.80)

Преобразуем (2.80) следующим образом:

М (с

(с ) + м3 (ё )- 2м3 (х0 )

М3( х0 )

Отсюда следует

= с + ё - 2х0. (2.81)

м (с) + м (ё) - 2м (х„) 2х0 = с + ё —^--. (2.82)

М3( х0 )

Поскольку м (х0) = м, запишем выражение (2.82) в виде:

х =с + ё м3 (с) + м3 (ё)-2м0 , .

0 2 2м3(х0) . (. )

Итак, по формулам (2.83), (2.79) можно рассчитать решение х0, если найден малый (настолько, что можно пренебречь высшими членами ряда Тейлора) интервал [с, ё]: х0 е [с, ё].

Разобравшись с алгоритмом численного определения значений функции ^ (х), составим алгоритм процедуры «Функциональное преобразование» в режиме формирования последовательности {хк } с законом распределения (2.7) (рис. 2.7) [107].

Рис. 2.7. Блок-схема процедуры «Функциональное преобразование» в режиме формирования последовательности {хк} с законом распределения (2.7)

Изложенный выше метод расчета х0 может быть использован и для функции ^ (х). Схема алгоритма формирования последовательности {хк} с законом распределения (2.8) в целом аналогична схеме рис. 2.7 (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Блок-схема процедуры «Функциональное преобразование» в режиме формирования последовательности {хк} с законом распределения (2.8)

На рис. 2.7, 2.8 предполагается, что значение М определено во внешней процедуре.

Разумеется, для создания полноценных компьютерных процедур необходимо предусмотреть способы защиты от некорректных значений параметров, поступающих на входы процедур. Однако эти функции можно возложить и на внешние программы, использующие процедуры формирования массивов }, {х^} в качестве подпрограмм, поэтому в данном

параграфе они рассматриваться не будут.

Таким образом, в п. 2.2.1 разработаны алгоритмы и созданы компьютерные процедуры для формирования псевдослучайных последовательностей с законами распределения вида (2.3), (2.5) - (2.8). Для подтверждения корректности изложенной методики и работоспособности компьютерных процедур, приведем примеры формирования псевдослучайных последовательностей с законами распределения (2.5) - (2.8). На рис. 2.9 для иллюстрации приведены гистограммы, построенные на основе сформированных последовательностей {х},

к = 0, N -1, и графики законов распределения, ожидаемых при заданных значениях параметров (длина последовательности N = 11111, шаг гистограммы постоянный Д = 1/ 20 ).

Рис. 2.9. Гистограммы и графики теоретически ожидаемых законов распределения (а - закон распределения (2.5) при a0 = 0,2, Ь0 = 0,7; б - закон распределения (2.6) при a = 2; в - закон распределения (2.7) при с = 1; г - закон распределения (2.8) при aí¡ = 0,00, al = 1,00, a2 = 2,50, aъ = 1,50, a4 = -4,93)

Из рис. 2.9 можно сделать вывод о качественном соответствии теоретического закона распределения и гистограммы, рассчитанной по каждой из сформированных последовательностей. Более строгая проверка гипотез о законах распределения, результаты которой приведены в приложении 2, также не дала повода усомниться в соответствии закона распределения величины X теоретически ожидаемому закону. Поэтому в целом изложенный метод формирования псевдослучайных последовательностей и алгоритмы разработанных компьютерных процедур могут быть использованы для имитации неодинаковой пространственной ориентации частиц в компьютерной модели поликристаллического материала. При этом регулировка параметров законов распределения позволит при моделировании управлять качеством текстуры виртуального материала.

2.2.2. Имитация распределения частиц по значению поля анизотропии

Как уже говорилось, частицы в поликристаллическом материале имеют различную форму и значение констант кристаллографической анизотропии. Разброс соотношения осей эллипсоида и значений константы К приводит к разбросу первой константы поля анизотропии Н АХ частиц. Для имитации такого разброса в компьютерной модели необходимо сформировать

псевдослучайную последовательность с законом распределения, характерным для поля анизотропии реальных поликристаллических материалов; согласно п. 2.1.1, таковым является нормальный закон распределения (2.13).

Из-за большой распространенности нормального закона во многих программных средах существуют стандартные подпрограммы для формирования псевдослучайных последовательностей с таким законом распределения. В LabVIEW 7.0 такой подпрограммой является блок «Gaussian White Noise.vi» [103]. Поэтому при создании компьютерной модели нет необходимости в самостоятельной разработке процедур для имитации распределения частиц значению константы поля анизотропии Н .

Входными параметрами блока «Gaussian White Noise.vi»» являются количество элементов последовательности и среднеквадратическое отклонение (СКО); при этом блок формирует псевдослучайную последовательность с нулевым математическим ожиданием. Для изменения среднего значения сформированной последовательности необходимо увеличить значение каждого ее элемента на h . На рис. 2.10 приведен пример сопоставления гистограммы, построенной на основе сформированной последовательности, с графиком ожидаемого при заданных параметрах закона распределения (h = 20 кЭ, ан = 1 кЭ).

Ь, кЭ

Рис. 2.10. Гистограмма и график ожидаемого нормального закона распределения

Из рис. 2.10 можно сделать вывод о качественном соответствии теоретически ожидаемого закона распределения и закона распределения сформированной последовательности. Более строгая количественная проверка, результаты которой приведены в приложении 2, также не дала повода усомниться в этом соответствии. Таким образом, блок «Gaussian White Noise.vi» позволяет формировать псевдослучайные последовательности с нормальным законом распределения и может быть использован для имитации распределения виртуальных частиц по значению поля анизотропии; при этом регулировка параметров закона распределения (h и он) позволяет при моделировании управлять средним значением и разбросом константы поля анизотропии Н АХ.

2.2.3. Имитация распределения частиц по размерам

Еще одной характерной чертой зернистой структуры поликристаллических материалов является неидентичность частиц по размерам. Как будет показано далее, при расчете статических и КВЧ-характеристик нас будет интересовать объем частицы, а не ее линейные размеры. Однако в теоретических и экспериментальных работах обычно приводятся данные о распределении частиц (при аппроксимации реальной формы частиц эллипсоидальной формой) по длине только одной из главных осей эллипсоида. Информации о законе распределения Рк (у) объема частиц в литературных источниках обнаружить не удалось. Поэтому при выборе

закона распределения (V) будем исходить из следующих качественных рассуждений.

Наверное, вполне логичным было бы предположить, что закон распределения при

тг » а(, (где т,. - математическое ожидание, о,2, - дисперсия) близок к нормальному. Однако при ту~<5у нормальный закон отличен от нуля при отрицательных значениях объема, что

противоречит физическому смыслу. Следовательно, в этих случаях закон распределения ру (V)

должен быть отличен от нормального.

В радиотехнике известен закон Райса [105], характерной чертой которого является то, что при ту'» а у он близок к нормальному, а по мере уменьшения математического ожидания постепенно переходит в закон Рэлея:

/XV Г V2 1 Ру (V) = —ехр -—з- . (2.84)

0У

V 2оу J

Таким образом, для учета в компьютерной модели неидентичности частиц по объему (хотя бы приближенно) можно воспользоваться законом Райса или (для его аппроксимации) одним из его предельных случаев - в частности, законом Рэлея (2.84).

К сожалению, в среде LabVIEW 7.0 не существует стандартной процедуры для формирования псевдослучайных последовательностей с законом распределения (2.84). Поэтому при разработке компьютерной модели такую процедуру нужно создать самостоятельно.

В статистической радиотехнике считается, что закон распределения Рэлея имеет огибающая U(t) нормального узкополосного случайного процесса [105, 106]. Как известно,

огибающую U (t) случайного процесса можно выразить через синфазную А (t) и квадратурную

В (t) компоненты, имеющие нормальный закон распределения с нулевым математическим

ожиданием и одинаковой дисперсией о 2У:

U(t) = ^A2 (t) + B2 (t) . (2.85)

Таким образом, алгоритм работы компьютерной процедуры для формирования псевдослучайной последовательности с законом распределения Рэлея заключается в формировании двух последовательностей с нормальным законом распределения (с нулевым средним значением и одинаковой дисперсией о2 ) и в функциональном преобразовании этих

последовательностей подобно формуле (2.85). Формирование последовательностей с нормальным законом в компьютерной модели будем выполнять при помощи описанной выше подпрограммы «Gaussian White Noise.vi».

На рис. 2.11 представлен пример сопоставления гистограммы, построенной на основе анализа сформированной последовательности, и графика ожидаемого при заданном параметре ov = 100 закона распределения; подчеркнем, что по причинам, которые будут изложены далее, объем частиц можно считать безразмерной величиной.

0,0070,0060,005-

^ 0,004 -

>

0,0020,001-

о.ооо-.........

0 50 100 150 200 250 300 350 400

V

Рис. 2.11. Гистограмма и график ожидаемого закона распределения Рэлея

Из рассмотрения рис. 2.11 можно сделать вывод о качественном соответствии закона распределения сформированной последовательности закону (2.84). Более строгая количественная проверка, результаты которой приведены в приложении 2, также не дали повода усомниться в этом соответствии. Таким образом, разработанная компьютерная процедура позволяет формировать псевдослучайные последовательности с законом распределения (2.84) и может быть использована для имитации распределения виртуальных частиц по размерам.

Подводя итоги, отметим, что в параграфе 2.2 разработаны алгоритмы и созданы компьютерные процедуры для формирования псевдослучайных последовательностей с законами распределения (2.3), (2.5) - (2.8), (2.13) и (2.84). Это позволяет имитировать основные особенности зернистой структуры поликристаллического материала в компьютерной модели гиромагнитного резонатора: разброс частиц гексаферрита по пространственной ориентации, размерам и значению поля анизотропии. Перейдем к разработке методов расчета магнитостатических и КВЧ-характеристик резонатора.

2.3. Имитационная методика расчета основных магнитостатических характеристик

Параграф 2.3 посвящен разработке нового (имитационного) метода решения статической задачи и нового алгоритма для расчета кривых перемагничивания поликристаллического материала, отличающихся учетом и отслеживанием магнитной предыстории каждой частицы в материале. Благодаря этому, новый метод решения позволяет устранить неоднозначность при определении направления вектора статической намагниченности, а разработанный алгоритм позволяет рассчитывать кривые перемагничивания, относящиеся не только к предельным, но и к произвольным частным петлям гистерезиса; при этом пространственная ориентация и качество текстуры поликристаллического материала могут быть произвольными.

2.3.1. Решение статической задачи при произвольном начальном состоянии частиц в материале

В обзоре (п. 2.1.2) было показано, что для расчета вектора статической намагниченности поликристаллического материала нужно выполнить усреднение векторов статической намагниченности по всем частицам материала. При этом в литературе усреднение по частицам заменяют интегрированием по пространственным координатам 9 и ф. Поскольку в литературных источниках правомерность такой замены практически не обсуждается (переход от дискретной суммы (2.14) по частицам к интегралу по углам 9 и ф считается очевидным), попробуем обосновать ее самостоятельно. Это позволит определить границы применимости такого метода расчета.

Для простоты рассмотрим поликристаллический материал, частицы в котором отличаются друг от друга только по ориентации в пространстве. Пусть направление оси текстуры материала во внешнем магнитном поле известно.

Рассмотрим двумерную систему координат (9, ф). В этой системе выделим точки с

координатами (9^., ф), к = 1, N , соответствующими пространственной ориентации частиц в поликристаллическом материале (рис. 2.12).

,ф

* * *

— * * . *

* * * # *

Дф- * * +

■Н- Н*Н 1 *

— -М' * А

1

0 1 1 1 1 1 1Л6

Рис. 2.12. Двумерная система координат

Каждой выделенной точке поставим в соответствие вектор статической намагниченности частицы, пространственная ориентация которой совпадает с координатами точки. Разобьем всю область возможных значений переменных (9, ф) на одинаковые ячейки

размером Д9хДф и присвоим каждой ячейке пару чисел (/, ]), в которой I означает порядковый номер ячейки по координате 9, а ] - порядковый номер по координате ф. Последовательно обойдем все ячейки, попав в каждую из них только один раз. В каждой ячейке найдем сумму Му векторов статической намагниченности принадлежащих ей точек. После

обхода всех ячеек найдем сумму получившихся векторов. Эта сумма должна быть равна сумме векторов статической намагниченности частиц поликристаллического материала (2.14), ведь описанными выше действиями мы всего лишь изменили порядок суммирования:

(2.86)

k i j

Если размеры ячеек достаточно малы, а количество точек в каждой ячейке достаточно велико, то в каждой ячейке вектор МЕ может быть приближенно найден путем умножения среднего

значения вектора статической намагниченности для текущей ячейки . ^ на количество

точек и . в ней:

(2.87)

При большом количестве частиц N в поликристаллическом материале количество точек . в (i, j) -й ячейке можно приближенно определить через вероятность р . «попадания» в соответствующую ячейку:

и,, - N0 • рj. (2.88)

Если считать, что при создании текстуры материала изменение угловых координат 9 и ф пространственной ориентации частиц осуществляется независимо, то вероятность р . можно приближенно вычислить через законы распределения угловых координат:

Ри - р,(91 )-Д9-рв (ф; )^Дф, (2.89)

где 9 и ф. - координаты одной из вершин (/', j) -й ячейки.

С учетом (2.87) - (2.89) формулу (2.86) можно записать следующим образом:

k=1 i j

Приближение (2.90) выполняется тем точнее, чем меньше размеры ячейки.

Как было показано в главе 1, направление вектора статической намагниченности зависит от напряженности внешнего поля, поля анизотропии и от пространственной ориентации частицы. Поскольку в рассматриваемом сейчас примере внешнее поле неизменно, а частицы идентичны по полю анизотропии, направления векторов статической намагниченности частиц внутри каждой ячейки неодинаковы из-за разной пространственной ориентации частиц. Если считать, что при изменении пространственной ориентации (углов 9 и ф ) направление вектора статической намагниченности меняется непрерывно, то среднее значение вектора статической намагниченности в каждой ячейке может быть найдено путем интегрирования:

ег+деФ^+Аф

I I м0(н0,нА1,нА2,®{^))а^. (2.91)

Приближение (2.91) выполняется тем точнее, чем меньше размеры ячейки.

Будем уменьшать размеры ячеек. В пределе, когда размеры станут дифференциально малы (Д0^ ё0, Дф ^ ёф), дискретные значения параметров в формулах (2.89) и (2.90)

перейдут в непрерывные (0г, ф;)^-(0, ф), среднее значение вектора статической

намагниченности в формуле (2.91) станет равно значению вектора статической

намагниченности от текущих координат (Мг ^ (Яо,ЯЛ1,ЯЛ2,0(0,ф)), а дискретная

сумма из (2.90) - перейдет в интеграл:

м°

= М0Црв (д)рв (ф)м0 (Яо,ЯЛ,Я,2,®(0,ф))^ф. (2.92)

к=1

Интегрирование в (2.92) проводится по области допустимых значений параметров 0 и ф (см. рис. 2.1). Таким образом, формула (2.14) для расчета вектора статической намагниченности поликристаллического материала может быть записана в виде:

1 71 271

м0 (Н0) =—Н0Ц рв (в)ре (ф)м0 (Н0,НА1,НА2,®(в,ц>))ёц>ёв =

0 0

71 271

= 11 рв {е)рв (ф)м0 (Н0,НА1,НА2,®(в,ц>))ёц>ёв. (2.93)

0 0

Путем аналогичных рассуждений можно обобщить расчетную формулу (2.93) на случай, когда частицы в материале отличаются по значению поля анизотропии (см. формулу (2.15)).

При выводе выражения (2.93) (и, как следствие, выражения (2.19)) предполагалось, что

функция М0 (Яо,ЯЛ1,ЯЛ2,0(0, ф)) является непрерывной относительно переменных 0 и ф. Как было показано в главе 1, при одних и тех же значениях параметров (Я0, ЯЛ1, ЯЛ2,0) в

зависимости от направления поля анизотропии вектор статической намагниченности частицы в общем случае может иметь два различных направления. Из-за разных направлений поля анизотропии две частицы поликристаллического материала даже при одинаковой пространственной ориентации гексагональных осей могут иметь разные направления векторов статической намагниченности. Таким образом, в общем случае функция М0 (Яо,ЯЛ1,ЯЛ2,0(0,ф)) не является непрерывной относительно переменных 0 и ф.

Сделанное же при выводе формулы (2.93) предположение о непрерывности этой функции означает, что поле анизотропии частиц, примерно одинаково ориентированных в пространстве, направлено примерно в одну сторону. Такое состояние частиц может наблюдаться только при

предварительном намагничивании материала до состояния технического насыщения, поэтому методика, основанная на интегрировании по пространственным координатам по формуле (2.19), позволяет рассчитать предельную петлю гистерезиса поликристаллического материала. Расчет частных петель гистерезиса таким методом не представляется возможным.

Таким образом, использование при создании компьютерной модели метода решения статической задачи и расчета кривых перемагничивания, основанного на формуле (2.19), приведет к тому, что возможности компьютерной модели будут ограничены предельной петлей гистерезиса. Чтобы такого не произошло, необходимо использовать другой метод расчета. Как и в главе 1, для решения статической задачи воспользуемся методом имитационного моделирования. Как было сказано ранее, при имитационном моделировании расчет характеристик гиромагнитного резонатора должен проводиться путем симуляции поведения гексаферритового поликристаллического материала во внешнем магнитном поле.

Разработку имитационного способа расчета кривых перемагничивания и петель магнитного гистерезиса начнем с рассмотрения статической задачи - задачи о направлении вектора намагниченности образца поликристаллического материала, помещенного в постоянное магнитное поле. При решении этой задачи будем исходить из общих физических представлений; при этом, согласно изложенным выше допущениям, пренебрежем магнитным взаимодействием частиц гексаферрита в поликристаллическом материале.

Как известно [110], намагниченностью называется дипольный магнитный момент единицы объема вещества. Если поликристаллический материал состоит из частиц, к-я из

которых характеризуется дипольным магнитным моментом рк, то дипольный магнитный

момент образца материала ръ может быть найден по формуле:

Л'о

(2-94)

к=1

Если к-я частица имеет объем Ук и характеризуется вектором намагниченности Мк, то ее дипольный магнитный момент может быть определен следующим образом:

(2.95)

Подставляя (2.95) в (2.94), получим выражение для расчета вектора намагниченности образца поликристаллического материала:

Г) 1 м° 1 м°

М = = (2-96)

У У к=\ У к=\

Поскольку, как следует из (2.16),

1 = _Р_ V V

(2.97)

из (2.96) получаем

N„

YykMk jvkMk

М = р

к=1

V

= р

к=1

ЕЕ V

к=1

(2.98)

Если поликристаллический материал находится в постоянном магнитном поле, формула (2.98) позволяет найти вектор статической намагниченности [111]:

м0=р^—

(2.99)

ЕЕ V

к=1

Поскольку при расчете кривых перемагиичивания возникает потребность в определении проекции вектора статической намагниченности М0 на орт условно-положительного

направления внешнего поля е+, рассмотрим скалярное произведение векторов М0 и е+ :

2ХК-+)

мн=(м0.ё+) = р^То-

ЕЕ V

(2.100)

к=1

Если считать, что вектор статической намагниченности к-й частицы ориентирован под углом \\/к к орту ё , а все частицы в материале являются однодоменными и обладают одинаковой

намагниченностью насыщения

М„

= MS, то формулу (2.100) можно преобразовать:

MH = р

к=1

= P

к=1

ЕЕ V

ЕЕ V

■ = PMsS

(2.101)

ЕЕ V

к=1 к=1 к=1 Если в формуле (2.101) устремить все значения углов ук к нулю (что имеет место при бесконечно большой напряженности внешнего магнитного поля), получится выражение для расчета намагниченности насыщения М5 поликристаллического материала:

N

M = lim M„ = рМ„

Zv

k=1 = pm .

(2.102)

Zv

к=1

N

N.

к

N

N

N

Тогда нормированная проекция тн вектора статической намагниченности на орт условно-положительного направления внешнего магнитного поля может быть найдена так:

mH = MT = PM *1 „„ = ^-• (2-103)

Ё Vkcos у* Z Vk cos^k

=1__ _k=i_

N0 = No

' " k

k=1 k=1

Таким образом, из общих физических представлений получены формулы (2.99) и (2.103) для решения статической задачи и определения нормированной проекции вектора статической намагниченности на орт условно-положительного направления внешнего поля. По формуле (2.103) в компьютерной модели может быть проведен расчет точки на графике нормированной петли гистерезиса; чтобы перевести рассчитанное значение из относительных единиц в абсолютные, нужно умножить его на намагниченность насыщения материала.

Поскольку в качестве модели частицы используется разработанная в главе 1 модель однодоменной частицы, для расчета cos ук в компьютерной модели поликристаллического материала будем использовать описанный в п. 1.2.1 метод решения статической задачи и созданную на ее основе процедуру «Статика частицы». Процедуру, выполняющую решение статической задачи для поликристаллического материала, назовем «Статика поликристалла». Входными параметрами этой процедуры являются набор параметров процедуры «Статика

частицы» (массивы {НА1 }, {©¿} и {x0i j, константа поля анизотропии НЛ2 и напряженность

внешнего поля H [ j]), а также массив объемов {Vk }, суммарный объем V и количество частиц N в материале. Выходными параметрами процедуры «Статика поликристалла» являются массивы выходных параметров процедуры «Статика частицы» ( {cos 0Oi}[j] и {cos ук }[j]), а также нормированная проекция вектора статической намагниченности mH [ j].

2.3.2. Расчет кривых перемагничивания и петель магнитного гистерезиса с учетом магнитной предыстории частиц в материале

Как было показано в главе 1, при фиксированной напряженности внешнего поля вектор статической намагниченности частицы в общем случае имеет два возможных направления, в зависимости от направления поля анизотропии. Это означает, что при одной и той же напряженности поля в общем случае существует большое количество (до 2М°) вариантов пространственного распределения векторов статической намагниченности частиц. Каждый из вариантов приводит к практически уникальному направлению вектора статической

намагниченности поликристаллического материала и, как следствие, к практически уникальному значению m . Таким образом, решение статической задачи для поликристаллического материала неоднозначно: одному значению напряженности внешнего магнитного поля соответствует множество возможных значений mH . Эта неоднозначность

присутствует и в расчетной формуле (2.103): разные направления вектора статической намагниченности частицы приводят к разным значениям величины cos у; из-за этого при фиксированной напряженности внешнего поля может существовать большое количество возможных значений массива {cos ук} и, как следствие, mH .

Для устранения неоднозначности при решении статической задачи для монокристалла в главе 1 предложено выбирать направление вектора намагниченности на основе магнитной предыстории. Таким же образом можно поступить и при решении статической задачи для поликристаллического материала. Если использовать информацию о магнитной предыстории, можно однозначно определить направление вектора статической намагниченности каждой частицы и получить единственное, вполне определенное значение массива {cos ук}.

Единственность массива {cos ук} приведет к единственному значению mH . Для этих целей, как и в процедуре «Статика частицы», в процедуре «Статика поликристалла» можно использовать массив начальных приближений {x0i}. Таким образом, процедура «Статика поликристалла»

позволяет решить статическую задачу для поликристаллического материала и рассчитать точку на графике петли гистерезиса на основе информации о магнитной предыстории частиц. При помощи этой процедуры можно провести расчет кривых перемагничивания и петель магнитного гистерезиса поликристаллического материала. Для расчета кривой перемагничивания следует организовать цикл, в котором напряженность внешнего поля H [ j ]

будет изменяться в требуемых пределах (от значения H до значения H ) и на каждом такте

цикла осуществлять расчет проекции mH [ j] при помощи процедуры «Статика поликристалла».

После расчета полученные массивы значений {H [ j]} и {mH [ j]} нужно вывести на график.

Характерной чертой кривых перемагничивания поликристаллического материала, как и монокристалла, является гистерезис. В параграфе 1.2 гистерезис кривых перемагничивания монокристалла учтен путем выбора начального приближения x0 [ j] при текущем значении напряженности поля H[j] на основе знака решения, полученного для предыдущего значения напряженности поля H [ j — 1]. Следуя этому, при расчете кривых перемагничивания поликристаллического материала в цикле, предназначенном для изменения напряженности

поля, организуем передачу массива решений jcos 0Oi j[ j], полученного на j-м такте цикла, на

(j +1) -й такт. Тогда алгоритм расчета кривых перемагничивания можно представить блок-схемой, изображенной на рис. 2.13 [111].

( Коне1$)

Рис. 2.13. Блок-схема алгоритма расчета кривой перемагничивания поликристаллического материала

Входными параметрами алгоритма, помимо упоминавшихся выше {Vk}, {ИА11 j, {©^},

HA2, N0 и V, являются начальное H и конечное И2 значения напряженности поля, а также