Эффекты поляризации в процессах e+e- аннигиляции при высоких энергиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Дыдышко Егор Вячеславович

• Дыдышко Егор Вячеславович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Дыдышко Егор Вячеславович

Введение

Глава 1. Теоретическая поддерржка экспериментов на

ускорителях в системе БАМС

1.1 Ситуация с экспериментами

1.2 Структура однопетлевых поправок

1.3 Ковариантная амплитуда

1.4 Описание произвольной поляризации пучков

1.5 Спинорная алгебра

Глава 2. Электрослабые поправки для электрон-позитронного

рассеяния

2.1 Введение

2.2 Дифференциальное сечение

2.2.1 Ковариантная амплитуда для виртуальной части и борновского уровня

2.2.2 Спиральные амплитуды для виртуальной части и борновского уровня

2.2.3 Амплитуды жёсткого тормозного излучения

2.3 Численные результаты и сравнения

2.4 Выводы

Глава 3. Электрослабые поправки для процесса

ассоциированного рождения бозона Хиггса с

^-бозоном

3.1 Введение

3.2 Дифференциальное сечение

3.2.1 Ковариантная амплитуда для виртуальной части и борновского уровня

3.2.2 Спиральные амплитуды для виртуальной части и борновского уровня

3.2.3 Лмплитуды жёсткого тормозного излучения

3.3 Численные результаты и сравнения

3.4 Выводы

Глава 4. Электрослабые поправки для процесса рождения

лептонных пар

4.1 Введение

4.2 Дифференциальное сечение

4.2.1 Ковариантная амплитуда для борновской и виртуальной части

4.2.2 Спиральные амплитуды для виртуальной части

4.2.3 Амплитуды жёсткого тормозного излучения

4.3 Численные результаты и сравнения

4.3.1 Сравнение с другими программными кодами

4.3.2 Борновское, однопетлевое сечение и относительные поправки

4.3.3 Поляризационная асимметрия

4.4 Выводы

Глава 5. Электрослабые поправки для процесса рождения yZ

5.1 Введение

5.2 Дифференциальное сечение

5.2.1 Ковариантная амплитуда для борновской и виртуальной части

5.2.2 Спиральные амплитуды для борновской и виртуальной части

5.2.3 Вклады мягкого и жесткого тормозного излучения

5.2.4 Амплитуды жёсткого тормозного излучения

5.3 Численные результаты и сравнения

5.3.1 Тройное сравнение результатов на древесном уровне: борновское сечение и сечение жёсткого тормозного излучения

5.3.2 Борновское, однопетлевое сечение и относительные поправки

5.3.3 Поляризационная асимметрия

5.4 Выводы

Заключение

Перечень условных обозначений

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение

Исследования в области фундаментальных взаимодействий в последние десять лет велись по двум основным направлениям: поиску новых частиц и поиску отклонений от Стандартной модели (СМ) элементарных частиц [1] в прецизионных измерениях. Важнейшим успехом стратегии поиска было открытие предсказанного теорией электрослабых взаимодействий бозона Хиггса в 2013 году на Большом адронном коллайдере. При этом новых частиц, выходящих за рамки СМ обнаружено не было. Однако прецизионные измерения аномального магнитного момента мюона в Лаборатории Ферми показали отклонение от предсказаний СМ [2]. Рефлексия над сложившейся экспериментальной ситуацией объясняет логику построения планов для будущих исследований. В частности, на сегодняшний день выглядит нецелесообразным построение новых адронных ускорителей сверхвысоких энергий в ближайшее время. В то время, как прецизионное исследование свойств бозона Хиггса и других предсказаний СМ даёт надежду на обнаружение отклонений, вызванных новой физикой.

Наибольшую точность среди ускорительных экспериментов дают элек-трон-позитронные коллайдеры [3]. Точечный характер начальных частиц обеспечивает чистоту сигнатур при детектировании различных процессов и упрощает выделение сигнала из относительно низкого фона. Принципиально существует два типа е+е- ускорителей: линейные и циркулярные. Отсутствие синхротронного излучения даёт линейным ускорителям преимущество при достижении больших энергий пучков. Наибольшую известность получили проект Международного линейного коллайдера (ILC) [4] и проект Компактного линейного коллайдера (CLIC) [5]. Причём дизайн обоих ускорителей предполагает использование поляризованных пучков (со степенью поляризации до 80% для электронов и до 60% для позитронов). Главным достоинством циркулярных ускорителей является возможность получить высокую светимость пучков, позволяющую уменьшить статистическую неопределённость измерений. Синхротронное излучение ограничивает возможности достижения особенно больших энергий, однако на масштабе уже открытых частиц (до 350 ГэВ) потери оцениваются как приемлемые. В настоящее время созданы коллаборации для проектов Будущего циркулярного коллайдера (FCC) [6] и

для Циркулярного электрон-позитронного коллайдера (СЕРС) [7]. Поляризованные пучки на них также обсуждаются.

Диапазон энергий для будущих е+е" коллайдеров должен включать энергию 250 ГэВ, которая является оптимальной для ассоциированного рождения бозона Хиггса через процесс е+е" ^ ZH, что наиболее важно для осуществления прецизионных измерений массы бозона Хиггса, его спина, СР-чётности, константы взаимодействия Хиггса с Z-бозоном и различных парциальных ширин распада.

Другим важным направлением развития е+е" ускорителей является создание фабрик ароматов. При небольшой энергии (2-7 ГэВ) планируется достижение большой светимости для изучения свойств тау-лептонов и Э-мезо-нов и поиска отклонений от СМ. При описании распадов этих частиц важную роль играет их поляризация.

Интерпретация данных на современных и будущих ускорителях требует детального учёта радиационных эффектов [8—11]. Радиационные поправки играют важную роль при поиске новой физики через отклонения от СМ. Задача прецизионной люминометрии также требует учёта радиационных эффектов.

Наибольшую актуальность в свете будущих проектов ускорителей имеют задачи вычисления электрослабых радиационных поправок с учётом поляризации частиц [12—14]. Требуемая точность предполагает отказ от ультрарелятивистского приближения и удержание масс всех частиц. Желательным является максимально широкий кинематический диапазон применимости результатов.

Целью настоящей работы является теоретическая поддержка экспериментов на будущих е+е" ускорителях. В неё входит расчёт радиационных поправок в рамках СМ, вызванных как вкладом петлевых диаграмм, так и тормозным излучением. Результаты расчётов оформляются в виде численных программных модулей и Монте-Карло генераторов событий, позволяющих моделировать наблюдаемые и псевдо-наблюдаемые величины.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Вычислить однопетлевые электрослабые поправки к электрон-пози-тронному рассеянию

е+е" ^ е+е" (1)

с учётом поляризации начальных и конечных частиц;

2. Вычислить однопетлевые электрослабые поправки к процессу ассоциированного рождения бозона Хиггса с ^-бозоном

е+е- ^ гН (2)

с учётом поляризации начальных частиц;

3. Вычислить однопетлевые электрослабые поправки к процессу рождения лептонных пар

е+е- ^ 1+1- (3)

с учётом поляризации начальных и конечных частиц;

4. Вычислить однопетлевые электрослабые поправки к процессу рождения yZ

е+е- ^ у г (4)

с учётом поляризации начальных частиц; Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:

— предложен метод экономичного вычисления поляризационных матричных элементов для вклада тормозного излучения с помощью проекции на световой конус фотона;

— предложен способ приведения матричных элементов для процессов с участием безмассового калибровочного бозона к форме, ковариантной относительно калибровочных преобразований; получена калибровочно-инвариантная форма для фотонного случая;

— предложена форма для аксиальной калибровки в терминах тензора Максвелла для наиболее общего случая массивного вектор-параметра;

— предложен метод вычисления поляризационных матричных элементов для массивных частиц через тензорные блоки, ковариантные относительно малых групп внешних импульсов, с использованием спиноров 6-мерного пространства.

Практическая значимость диссертации состоит в том, что созданные на основе выполненных расчётов программные продукты могут быть использованы для интерпретации данных, учёта фоновых процессов и прецизионной люминометрии на будущих е+е- ускорителях высоких энергий.

Учёт поляризации начальных и конечных частиц и удержание всех масс делает возможным применение поправок к процессам (1) и (3) в условиях проектируемой в России «с - т-фабрики».

Поправки для процесса (2) при энергии в системе центра масс 250 ГэВ могут быть использованы при прецизионном измерении массы бозона Хиггса.

Поправки для процесса (4) могут быть использованы для уменьшения систематической неопределённости при измерении массы Хиггса, а также при поиске отклонений от Стандартной модели трёхбозонных констант взаимодействия вида или уZZ.

Полученные в диссертационной работе спиральные амплитуды для процессов являются их фундаментальными характеристиками. Они позволяют определить систематическую погрешность в измерениях на будущих ускорителях.

Результаты получены в рамках государственного задания N 3.9696.2017/8.9 от Министерства образования и науки РФ.

Методология и методы исследования.

В диссертационной работе использовались современные методы квантовой теории поля. При вычислении амплитуд процессов рождения лептонной пары использовался метод спиральных амплитуд; тензорная редукция петлевых интегралов осуществлялась методом Пассарино-Вельтмана; интегрирование по фазовому объёму проводилось численным методом Монте-Карло; петлевые интегралы вычислялись аналитически методом т'Хофта-Вельтмана; инфракрасные сингулярности выделялись с помощью метода Бардина-Шумейко.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Впервые вычислены электрослабые радиационные поправки первого порядка с учётом поляризации входящих частиц для процесса Баба-рассеяния.

2. Впервые получены электрослабые радиационные поправки первого порядка с учётом поляризации входящих частиц для процесса ассоциированного рождения бозона Хиггса совместно с Z-бозоном.

3. Впервые получены электрослабые радиационные поправки первого порядка с учётом поляризации всех частиц для процесса рождения леп-тонных пар в электрон-позитронных столкновениях в полном фазовом объёме.

4. Впервые получены электрослабые радиационные поправки первого порядка с учётом поляризации входящих частиц для процесса рождения пары фотон^-бозон.

5. Разработана в рамках проекта SANC автоматизированная процедура учёта тормозного излучения методом спиральных амплитуд.

Достоверность

Результаты расчётов радиационных поправок для процессов рассеяния Баба, ассоциированного рождения бозона Хиггса с Z-бозоном, рождения леп-тонных пар и рождения пары фотон^-бозон сравнивались с результатами существующих программных пакетов в пределах применимости последних, а также многократно докладывались на международных конференциях.

Достоверность результатов контролировалась посредством многочисленных внутренних тестов: аналитическое сокращение калибровочных параметров, выполнение тождеств Уорда и др., а также путём сравнения с численными ре-

о

зультатами пакетов alTALC [15], CalcHEP [16] и WHIZARD [9; 17—19] в областях их применимости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффекты поляризации в процессах e+e- аннигиляции при высоких энергиях»

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. Семинар «Физика адронов», ЛТФ ОИЯИ, Дубна (2018), Поляризованное е+е- рассеяние в проекте SANC.

2. Семинар «Физика адронов», ЛТФ ОИЯИ, Дубна (2018), Поляризованная аннигиляция е+е- в пару массивных фермионов в проекте ARIeL.

3. Семинар «Физика адронов», ЛТФ ОИЯИ, Дубна (2018), Ассоциированное рождение бозона Хиггса в поляризованной аннигиляции е+е- в Z-бозон в проекте ARIeL.

4. 7th International Workshop on Calculations for Modern and Future Colliders (CALC-2018), ОИЯИ, Дубна (2018), Bremsstrahlung helicity amplitudes with massive fermions.

5. Loops and Legs in Quantum Field Theory, DESY Zeuthen, Санкт-Гоар, Германия (2018), Electroweak radiative corrections to polarized Bhabha scattering.

6. Mini Workshop on Precision EW and QCD Calculations for the FCC Studies: Methods and Techniques, CERN, Женева, Швейцария (2018).

7. 11th FCC-ee workshop: Theory and Experiments, CERN, Женева, Швейцария (2019), One-loop electroweak radiative corrections to е+е- ^ e+ e-,f f,ZH for polarized e+e- beams.

8. CEPC Topical Workshop: Theoretical Uncertainty Controls for the CEPC measurements, IHEP, Пекин, Китай (2019), Helicity amplitudes for Bremsstrahlung 2f ^ 2f (y), 2f ^ 2b(y).

9. 19th International Workshop on Advanced Computing and Analysis Techniques in Physics Research (ACAT-2021), Saas Fee, Швейцария (2019), QED and electroweak radiative corrections to polarized Bhabha scattering.

10. Международный семинар «LHC Days in Belarus», НИИЯП БГУ, Минск (2019), Complete one-loop electroweak corrections to polarized e+ e- scattering in SANC.

11. Общелабораторный семинар, ЛЯП ОИЯИ, Дубна (2020), Процесс е+ е- ^ 1+1- с учётом продольной поляризации.

12. 20th International Workshop on Advanced Computing and Analysis Techniques in Physics Research (ACAT-2021), Virtual and IBS Science Culture Center, Южная Корея (2021), Development of the automatic procedures for spinor matrix element calculation with massive particles.

Личный вклад.

Все основные результаты, вошедшие в диссертацию, получены в составе группы соавторов при определяющем или значительном личном вкладе её автора.

Вклад автора был определяющим при вычислении аналитических выражений для спиральных амплитуд тормозного излучения и форм-факторов, учитывающих вклад петлевых диаграмм для процессов (1), (2), (3), (4). Соавторы работали над численным моделированием, верификацией и текстом статей.

Автор разработал и внедрил в среду SANC метод учёта тормозного излучения с помощью спиральных амплитуд, обобщённого на случай массивных частиц.

Автор внёс значительный вклад в реализацию устойчивого численного анализа дифференциальных сечений и поляризационных асимметрий.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 7 печатных изданиях, 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК (в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science или Scopus).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 97 страниц, включая 14 рисунков и 13 таблиц. Список литературы содержит 106 наименований.

Глава 1. Теоретическая поддерржка экспериментов на ускорителях

в системе SANC

1.1 Ситуация с экспериментами

В физике высоких энергий были предложены экспериментальные установки для электрон-позитронной аннигиляции (с/без поляризации исходных пучков) для прецизионных измерений, такие как Международный линейный коллайдер (ILC) [4; 12—14; 20; 21], Будущий Циркулярный е+е--Коллайдер (FCC-ee) [6; 22—25], Компактный линейный коллайдер (CLIC) [5; 26; 27], и циркулярный электрон-позитронный коллайдер (CEPC)[7].

Теоретическая точность для будущих е+е- коллайдеров должна быть лучше 0,5% [28].

Существует три основных процесса е+е-, предназначенных для использования для высокоточной люминометрии, предлагаемой на фабриках ароматов и будущих коллайдерах: электрон-позитронное рассеяние, рождение лептонных пар е+е- ^ 1-1+ и рождение фотонных пар е+е- ^ уу.

Физические программы на будущих е+е- коллайдерах разрабатываются таким образом, чтобы они дополняли и взаимодействовали с будущими адрон-ными коллайдерами.

Для будущих программ е+е- коллайдеров оптимальными параметрами ускорителя являются: энергия центра масс 250 ГэВ и выше и продольная электронная ±80% и позитронная 0, ±30% степени поляризации. Более того, предлагается баланс между поляризацией и набором энергий для оптимального разнообразия физики.

Чистые экспериментальные условия, контролируемая энергия центра масс, точность сечений для сигнальных и фоновых процессов, хорошо изученный фон для конечных состояний, позволяют сканировать новую физику путём точного измерения отклонений от Стандартной модели[28; 29].

Для прямого наблюдения такой новой физики необходим адронный коллайдер с энергией порядка 100 ТэВ. Но есть трудности, которые возникают из-за самого богатства программы е+е-. Необходимо согласовать теоретическую точность со статистической, принимая во внимание электрослабые

радиационные поправки. Поляризованные пучки могут улучшить возможности для исследования свойств фундаментальных частиц [3; 25; 28; 30; 31].

1.2 Структура однопетлевых поправок

Полный результат для О ( а) поправок может быть разделен на виртуальный (петлевой) вклад, часть, обусловленную эмиссией мягкого фотона, и наконец, обусловленный излучением реального жесткого фотона.

На уровне одной петли сечение процесса можно разделить на четыре части:

а1-1оор = аВогп + а^(А) + а80Й(Л,ш) + аЬагё(ш),

где аВогп — сечение в борновском приближении, — вклад виртуальных (петлевых) поправок, ст^ — вклад из-за эмиссии мягких фотонов, стЬагй — вклад из-за эмиссии жёстких фотонов (с энергией Еу > ш). Вспомогательные параметры Л ("масса фотона") и ш взаимно сокращаются между вкладами после их суммирования.

Мы считаем все вклады с помощью метода спиральных амплитуд.

1.3 Ковариантная амплитуда

Система БАМС [25; 32; 33] в настоящее время развивается в сторону включения процессов с поляризованными е+е- пучками.

Однопетлевая ковариантная амплитуда (КА) получается из прямого стандартного расчёта с помощью программ и процедур БЛМС от всех диаграмм, вносящих вклад в данный процесс на древесном (борновском) и однопетлевом уровнях. Амплитуда содержит кинематические факторы и константы связи. Она параметризуется определенным числом форм-факторов (ФФ), которые обозначаются Т в общем случае с индексом, обозначающим соответствующую тензорную структуру. Число ФФ равно числу соответствующих структур. Для

процессов с ненулевыми амплитудами на древесном уровне ФФ имеют вид

Т =1 + кТ, (1.1)

где "1" означает борновский уровень, а член Т с фактором

* =!&, (12)

обусловлен однопетлевыми поправками. После возведения амплитуды в квадрат мы пренебрегаем членами, пропорциональными &2, чтобы получить чистое однопетлевое приближение без примеси членов высшего порядка, которые могут быть добавлены позже.

1.4 Описание произвольной поляризации пучков

Чтобы изучить случай продольной поляризации, мы получаем спиральные амплитуды и осуществляем формальное применение уравнения (1.15) из [3]. В наших обозначениях соответствующее сечение электрон-позитронного рассеяния с произвольной поляризацией может быть выражено как

^|2 = Ь11Г_+12 + Щ- Ь"е+ |Г+_|2 + Ь1Ь"е+1Н--12 + Щ- |Г++|

1

_ 2 ^ П-+ Ие

+-

+ Р^- Ие

_ Ре"+ Ие

е

¿ф_

7"п и и* I рп П1 и

ГЪ+_ гъ__+ + гъ++ гъ

+ г++г_+

' VI-г_+г__ + Щ-г++г+_

где Ь1± = 2(1_Р'±), = 2(1+Ре±), Ф± = ф±_ф. Продольные и попе-

речные Ре"- составляющие векторов поляризации, а также азимутальные углы ф, ф±, изображены на рисунке 1.1. Для перекрёстной проверки мы получили аналитический ноль для разницы между квадратом ковариантной амплитуды (мы ввели матрицу спиновой плотности в наши процедуры) и Ед. (1.3).

2

р

е+

е —

Рисунок 1.1 — Декомпозиция векторов поляризации начальных пучков е ±.

Асимметрия А^д и относительная поправка 6 определяются как

6 = 1с1-1оор(ре-,ре+) (.)

■ 1авот(ре- ,ре+) '

где мы опустили 1 сое -0 для краткости.

1.5 Спинорная алгебра

Мы работаем в киральном представлении гамма-матриц. рАВ\ I Р 1

( раА _( р\

\Рав ) V3 )'

г = _

С г,) _ (Г г).

(1.4)

Для Вейлевских спиноров мы используем безындексные обозначения, которые соответствуют [34; 35]. Для изотропного 4-вектора р2 _ 0

ла(Р) = |у)' ЛА(Р) _ лв(Р)^ва _ I' ЛА(р) = |р]. Лл(р)_ елвЛВ(р)_ (р|

Раа = р _ |У)[У1' РАА = р _ 1 У](У| •

Мы разлагаем массивный импульс с р2 _ т2 на 2 безмассовых с помощью вспомогательного безмассового импульса с 2 _ 0, который соответствует вектору Паули-Любанского

2

рг _ кг +

т

-Ъ'

к* _ </2 _ 0,

(1.5)

2рг • Яг 2р г • ^

Ниже мы используем следующее обозначение для разложения спинора Дирака на спиноры Вейля:

и _

И _ (Й ' и_ (и^. и.) _ ((и|' [и|) . (1.6)

Используя проекцию на световой конус (1.5), можно построить решения для уравнения Дирака. Мы группируем их в матрицы 4 х 2 и вводим дополнительные обозначения, используемые в Главе 5

иХ(Рг) = |р) _ {и+(Рг),и Ы}

^х(рг) = |р\ _ {v+(рг)' ^-Ы}

| )

тг

[ | г]

тг

(А Яг |^г] К ]

тг

| Ы

(

\

( | г) | ]

| г)

/

К) ^

тг

тй т|

[ | г]

| ) | ]

| г)

| г]

(1.7)

Чтобы получить спинор Дирака в состоянии спиральности, достаточно выбрать = о0|г] и = о0 |г).

Построение вектора поляризации фотона требует введения вспомогательного безмассового вектора д для фиксации калибровки. Физические амплитуды не зависят от него. Мы используем следующую параметризацию:

Е+да = (М, £_да = = (£+(А,)Г

ц( ) *Д(ц\к) ц( ) У^Ык] ( ц(

ё+(к) = е+( к) = ^2|9)[*1 + 1*М, Г( к) = ^2|<г]( *' + !

(1.8)

Глава 2. Электрослабые поправки для электрон-позитронного

рассеяния

2.1 Введение

Полные однопетлевые электрослабые поправки к неполяризованному электрон-позитронному рассеянию [36] тщательно изучались в течение многих лет, начиная с работы [37] и позже в работах [15; 38—46]. Сечение электрон-пози-тронного рассеяния с однопетлевым вкладом КЭД, включающее поперечную и продольную поляризации входящих пучков, представлено в [47] и [48]. Было создано несколько генераторов событий Монте-Карло для электрон-позитрон-ного рассеяния, см. например, [49] и ссылки в ней. В нашем обзоре [32] мы представили модули SANC для однопетлевых электрослабых радиационных поправок (РП) для электрон-позитронного рассеяния: спиральные амплитуды и форм-факторы.

В данной главе представлен полный однопетлевой расчёт электрослабой радиационной поправки к электрон-позитронному рассеянию с поляризованными пучками. Численные оценки показаны для поправки к дифференциальному распределению по косинусу угла рассеяния электрона. Соответствующие вклады в сечение рассчитываются аналитически, а затем оцениваются численно.

Для проверки полученных результатов, был осуществлён ряд согласованных сравнений с результатами альтернативных систем, в тех областях, где это возможно. Сумма вкладов виртуальных частиц и мягкого тормозно-

о

го излучения в неполяризованном случае сравнивается с кодом alTALC-1.4 [15]. Вклады древесных диаграмм, включающие борновское приближение и жёсткое тормозное излучение с учётом поляризации сравниваются с результатами, полученными с помощью WHIZARD code [9; 17; 18]. Вклад неполяризованного жёсткого тормозного излучения фотона аналитически и численно сравнивается с результатом кода CalcHEP [16].

2.2 Дифференциальное сечение

Рассмотрим рассеяние продольно поляризованных пучков е+ и е с 4-импульсами р1 и р2 для входящих частиц и р3 и р4 для выходящих частиц:

е +(рi,Xi) + е~(Р2,Х2) —> е"(рз,Хз) + е +(р4,Х4). (2.1)

Там, где это возможно, мы работаем в безмассовом пределе и пренебрегаем эффектами, подавляемыми отношением массы электрона к энергии пучка. Для дифференциального сечения е+е- ^ е~е + получаем

1 -2

dG = —— \П\ dcosЪ , (2.2)

32ns

где - спиральная амплитуда процесса, y/s/2 - энергия электрона и Ъ - угол рассеяния электрона в системе центра масс (СЦМ).

2.2.1 Ковариантная амплитуда для виртуальной части и

борновского уровня

Ковариантную амплитуду для электрон-позитронного рассеяния можно записать (если пренебречь массой электрона и в силу симметрии процесса: Тья = Тяь) через электромагнитную бегущую константу связи и четыре форм-фактора с перестановочными аргументами и в виде:

Л = Лу(в) + А( в) - [Лу(г) + А(£)]

= г е

Уц 8 У^-^ - Уц 8 Уц Y

+

Xz (s)

2

( 43)) Уц (1 + Уз) 8 Уц (1 + Уз) TLL(s,t,u)

+ 26е43)Уц (8) Уц (1 + Уз) TQL(s,t,u) + §2Уц 8 УцTQQ(s,t,u) J

- Xf{--}■

Мы также используем константы связи

Qf ■ /f3) ■ Gf = Vf + af ■ bf = Vf -af

= e =MW s w — ■ cw —

M

(2.3)

(2.4)

Z

Более подробную информацию см. [50].

Символ 0 используется в следующих обозначениях:

0 Л _ V (р 1) /ци (Р2) и (рз) ^ (Р4). (2.5)

для -канала и

0 _ г; (рз) (Р2) и (р 1) ^ (р4). для ¿-канала. Функция х^(<§) определена как

1 5

Хг ( в) _ 5 - м| + ш, Гг • (2.6)

В ¿-канала в функции х^(¿) ширина Г^ полагается равной нулю.

2.2.2 Спиральные амплитуды для виртуальной части и

борновского уровня

Полный результат для поправок О (а) может быть разделен на виртуальный (петлевой) вклад, часть, обусловленную эмиссией мягкого фотона, и вклад, обусловленный излучением реального жёсткого фотона.

Наш основной подход заключается в вычислении сечения путём возведения в квадрат спиральных амплитуд. На первом этапе в ковариантных амплитудах мы выводим тензорные структуры и форм-факторы. Следующим шагом является проекция на спиральный базис. В результате получается набор непересекающихся амплитуд, поскольку все они характеризуются различными наборами квантовых чисел спиральности.

В этом подразделе приводятся аналитические выражения для спиральных амплитуд. В ультрарелятивистском приближении неисчезающими являются шесть спиральных амплитуд. Для электрон-позитронного рассеяния Т*^ _ за счёт симметрии, т.е. только четыре спиральные амплитуды независимы, как и должно быть.

Мы получаем компактное выражение для борновского вклада 1) и виртуальной части с помощью метода спиральных амплитуд (2.7):

U

++++

— и____=

-2 е 2-

—I— — ^—|—+ —

+-+

2 2

^^,«,«) - Xz(i)6e^¿(i,s,u) T{HQZ\s,i,w) - Xz(s)6eJJJs,i,w)

__+ — -e c+

- 26e,i,u) )

^—II— — — 6 2 c+

W,«) + Xz(s)

(2.7)

z + t

+ -[. о

где c± — cosд ± 1 и }(аДс) — с) +Xz(а)^(аДс).

• Вклад мягкого тормозного излучения

Модуль тормозного излучения системы SANC вычисляет вклады от мягкого и инклюзивного жёсткого излучения реальных фотонов. Вклад мягких фотонов содержит инфракрасные расходимости и должен компенсировать соответствующие расходимости однопетлевых виртуальных поправок КЭД.

Поправка тормозного излучения мягких фотонов может быть вычислена аналитически. Она факторизуется перед борновским сечением. Поправка зависит от вспомогательного параметра, который разделяет кинематические области мягкого и жесткого фотонного излучения в заданной системе отсчёта. Поляризационная зависимость содержится в борновском сечении. Явная форма для вклада мягких фотонов имеет вид

2 w 2

eoft — — ^Bornад2| (l+ln(

+ Ш Н)2 - - (-J)2 - 2L, (-^)

+ 2LiJ -Ч +4Li2 (1) - 1

(2.8)

+ 2 ln

4ш2

?)-Ч:) ]}.

Здесь ш - разделитель мягкой и жёсткой областей, Л - вспомогательная инфи-нитезимальная масса фотона.

2.2.3 Амплитуды жёсткого тормозного излучения

Вклад жёсткого тормозного излучения может быть представлен как сумма четырёх калибровочно-инвариантных подгрупп диаграмм: излучение в начальном состояния в э-канале (1БК), излучение в начальном состояния в э-канале (РБК), излучение электронной линии в ^канале (ЕБК), излучение позитронной линии в ^канале (РБК). Данные группы диаграмм связаны между собой кроссинг-симметрией, поэтому достаточно вычислить только одну из них, например,

дь^ = 2^2е 3К (Д18К + ДГ8К + ДЕ8К + ДР8К)

Л?18ХК2Х3Х4Х5 СРЬ Р2> Р3> Р4,РБ) = -^-хКз-Х4-Х1-Х2Х5 + Р4, - Р1, - Р2 ,РБ) ,

^1X2X3X4X5 Р2> Р3, Р4,РБ) = -Л1+8Х^1-Х3-Х2+Х4Х5 (+РЬ - ^ - ^ + Р4 ,РБ) , ^-р1Х2ХзХ4Х5 Р^ P3, Р4,РБ) = -Л-8Х^4+Х2+Х3-Х1Х5 (-Рь + ^ + P3, - Р1 ,РБ). Кроме того, для процессов с лептонами выполняется СР-симметрия, используя которую можно получить амплитуду, все поляризации которой инвертированы

ЛХшХзХ4Х5 (Р^ Р2, P3, Р4 Ф5 ) = -Х1Х2Х3Х4 Л-аХГ;1-Х2 -Хз -Х4-Х5 (Р2, ^ , Р^ Р3 #5 ).

Следовательно, достаточно рассмотреть, например, амплитуды только с одной положительной спиральностью тормозного фотона.

Мы проецируем (1.5) все импульсы массивных частиц р2 = т2 на световой конус фотона д = и вводим ассоциированные "импульсы":

2

т

кг = Рг ——Ръ, к2 = 0, г = 1..4, 2рг • Ръ

4 4 2 4 2

*=-?>=К- К=1+£ =1+е ^ (2.9)

г=1 г=1 г=1

4 4 2 4 2

»=-^»=К 'к-К'=1 - £^=1 - Е ^ ■

г=1 г=1 г=1

Вектор = Крб оказывается светоподобным, поэтому выполняется закон "сохранение импульса" для ассоциированных векторов.

д+®+_+ = Р++Л,[23б] +т2 Р+"Лш[2?] + т21 ^"+^[244 , д+ж_++ = ®+-Л[!4б] + т} ®++ДОМ[23б] +т2, ®~Д4[24б] , Д18+!+-+ = -т2®++Л4[?4Б] - т2] - ®-+Л[?3Ч , .д,®_++ = -™2р+-^4[?Зб] - щР-+Л,м[ГЗб] - Р~ДО[?4б] ,

л ТЧР

Л-++++ = ш/1ш/

р++л[245] + р+-Л[245] - ^-+л[235] - ^--л[245]

р-+л[135] + р-

-л[135] - ^++л[?45] - Р+-Л[235

14

А

А А А А А

+++-+

= -т/

++-++ +++-+ ++-++ -++++ + -+++

р-+лВ5] + ^++л[235]

-шл 2[235] + ] шл [р-+л[?45] - л[145]], т/1 [р--Л[235] - ^+-л[145]

ш/ [^-+л[245] + ^--л[245 ш/ [р++л[245] + ^+-л[135

А А А А

+---+

ш/

-+—+ —+-+

®++л[135] + ®+-д„[245]

-ш/ [р-+] +

шл [®++Дз[?35] - ®-+Лз[145] ш/, [©+-Дз[?351 - ©~Дз[2451

1---++ — ш/1 ^3[14 ] - ^ ^^24 1

Здесь введены сокращения для комбинаций пропагаторов и констант связи

■раЬ — ^е +

9е9Ъе

з' з'-М| + Ш| Г|'

К — 1 -

ш

ш

+

ш

+

ш

К 1

2^1 • У5 2^2 • У5 2^3 • Р5 2^4 • Р5 '

К —

К

где

киральные константы связи электрона с векторным бозоном ^. Матричный элемент удалось выразить через 8 независимых субамплитуд

л 1~135 ^0|_24

<1|4>2[4|3] к (1|4}[5|3]

К

(1|5>(2|5>

(2|5>

Л Г135

(2|3>(3|5> [4|3] к (3|5> [5|4] (115>(215>2 (115>(215>'

л Г135

Лом |_24

Л[245

Л [135

Л[245

(1|2>[5|2] (2|5>(3|5> [5|4]' (1|2>(1|4>[5|3]

^25(1|5> '

(1|3> [4|3]

" (2|5>(3|5>' (1|2>[5|3]

" ^25(4|5> '

Л Г135

Л Г135 Л^24

Л Г135 ^б|_24

(1|2>(3|5>[5|1]_ 4]

3]

(115>(215>2[5 (1|2>(4|5>[5

^15(215>2

(1|2>(1|4>[5|2] (1|5>(2|5>[5|3]

где *15 = (1|5) [5|1], ^2б = <2|5>[5|2].

Свобода в выборе проекции светового конуса соответствует произвольности направления квантования спина. Мы используем её для того, чтобы сделать выражения компактными.

Для получения амплитуд Н с определенным состоянием спиральности следует применить матрицу поворота спина независимо для каждого индекса Х входящих частиц:

= с * а.*...

Явные выражения для матриц С можно найти в [51]. Геометрически они реализуют вигнеровское вращение оси спина [52; 53]. В нашем случае они имеют вид

г Хъ _ =

[ М5] те(кг*|5) '

[ г |5] (кг* |кгь )(г|5)

те[кг* |5] (кгь |5>

[кг* |кгЬ][ г|5] <рг1 Рб>

(кг* К ) те(к* |5) '

(кг* |кгь) (кг* |кгь )(г|5) те[ кг* |5] [кг* | Ц

_[ кг* | кгь ][ г |5] [ кг* | кгь ]

(2.10)

где

кг* = Ш|, -Р*, - руг, -р!}, к2* 2

кгь

= Рг

т

2Рг • кг

кг*

к2ь =

2.3 Численные результаты и сравнения

В этом разделе представлены численные результаты для ЭС РП - элек-трон-позитронного рассеяния, полученные с помощью Монте-Карло генератора событий КепеБАМСе, а также сравнение наших результатов для конкретных вкладов с существующими в литературе.

Существует множество исследований, посвящённых процессу электрон-позитронного рассеяния, например, [15] и ссылки в них. Провести согласованное сравнение численных результатов весьма нетривиально, поскольку авторы обычно не представляют полный список входных параметров и не указывают схему расчёта. В конечном итоге, мы сравниваем с современными пакетами

MH = 125 ГэВ,

Mz = 91.1876 ГэВ,

me = 0.51099907 МэВ,

mT = 1.77705 ГэВ,

ms = 0.215 ГэВ,

mu = 0.062 ГэВ,

mt = 173.8 ГэВ.

a(0).

(2.11)

alTALC и WHIZARD, при следующем наборе входных параметров:

а-1(0) = 137.03599976, Mw = 80.4514958 ГэВ, rz = 2.49977 ГэВ,

= 0.105658389 ГэЕ md = 0.083 ГэВ, ть = 4.7 ГэВ, тс = 1.5 ГэВ,

Все результаты получены для набора энергий в системе центра масс Ецм = 250, 500 и 1000 ГэВ для следующих величин поляризации пучка электрона ( Ре-) и позитрона (Ре+): (0,0), (-0.8,0), (-0.8, - 0.6), (-0.8,0.6).

• Сравнение для борновского и жёсткого фотонного вкладов

Прежде всего, мы проверили согласие между нашим аналитическим результатом для неполяризованного жёсткого фотонного тормозного излучения с сечением, полученным с помощью системы CalcHEP [16].

Численное сравнение для сечения излучения жёсткого фотона с поляризованными начальными частицами выполнено с помощью системы WHIZARD. Таблица 1 показывает хорошее согласие между результатами SANC (вторая строка) для борновского и жёсткого фотонного вкладов с результатами, полученными с помощью программы WHIZARD [54] (первый ряд). В этом сравнении диапазон углов рассеяния для конечных электронов и позитронов был ограничен условием | cos 0| < 0.9 с дополнительным условием Еу ^ 1 ГэВ для энергии испускаемого фотона.

• Сравнение вкладов виртуальных и мягких тормозных фотонов

Мы получили очень хорошее согласие (шесть значащих цифр) при

о

сравнении результатов SANC и alTALC-1.4 [15] для неполяризованного дифференциального борновского сечения и для суммы виртуального вклада с вкладом мягкого тормозного излучения. Сравнение проводилось для различных значений углов рассеяния (cos-0: от -0.9 до +0.9999).

• Результаты для борновского и однопетлевого сечения

Неполяризованное дифференциальное сечение электрон-позитронного

рассеяния и относительная 0(a) поправка 6 (в процентах) как функция угла

Born 1-loop

-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

cos(9)

300 250 200 150 100 50 0

-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

cos(9)

Рисунок 2.1 — Дифференциальное сечение (слева) [в пб] и относительная поправка 6 (справа) [в %] в зависимости от косинуса угла рассеяния электрона

для — 250 ГэВ.

Born 1-loop

-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

cos(0)

120 100 80 60 40 20 0

-20

-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.

cos(9)

Рисунок 2.2 — Дифференциальное сечение (слева) [в пб] и относительная поправка 6 (справа) [в %] в зависимости от косинуса угла рассеяния электрона

при ф — 500 ГэВ.

Born 1-loop

-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

cos(e)

120 100 80 60 40 20 0

-20

-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.

cos(9)

Рисунок 2.3 — Дифференциальное сечение (слева) [в пб] и относительная поправка 6 (справа) [в %] в зависимости от косинуса угла рассеяния электрона

при ф = 1000 ГэВ.

Born 1-loop

соэ(е)

Рисунок 2.4 — Поляризационная асимметрия А^д как функция косинуса угла

рассеяния электрона при л/з = 250 ГэВ.

Born 1-loop

соэ(е)

Рисунок 2.5 — Поляризационная асимметрия А^д как функция косинуса угла

рассеяния электрона при л/з — 500 ГэВ.

Born 1-loop

соэ(е)

Рисунок 2.6 — Поляризационная асимметрия А^д как функция косинуса угла

рассеяния электрона при л/з — 1000 ГэВ.

рассеяния электронов показаны на рис. 2.1, 2.2, и 2.3 для | cos 0| < 0.9. и различных энергий с.ц.м.

Огромные относительные радиационные поправки для углов обратного рассеяния обусловлены малостью борновского сечения в этой области, что не связано никак с проблемой теории возмущений.

Интегральное сечение электрон-позитронного рассеяния и относительная поправка 6 приведены в таблице 2 для различных энергий и степеней поляризации пучка.

Асимметрия Air при л/s — 250, 500, и 1000 ГэВ показана на рис. 2.4-2.6. Видно, что электрослабые радиационные поправки очень сильно влияют на асимметрию.

Таблица 1 — Согласованное сравнение результатов БЛМС и УН^ЛБС для борнов-ского и жёсткого тормозного вкладов в поляризованное электрон-позитронное рассеяние для л/в = 250, 500 и 1000 ГэВ.

Ре~, Ре+ 0 0 -0.8 0 -0.8 -0.6 -0.8 0.6

у/в = 250 ГэВ

^Богп пб 56.677(1) 57.774(1) 56.272(1) 59.276(1

^Богп пб 56.677(1) 57.775(1) 56.272(1) 59.275(1

^hard пб 48.62(1) 49.58(1) 48.74(1) 50.40(1)

^hard пб 48.65(1) 49.56(1) 48.78(1) 50.44(1)

ф = 500 ГэВ

^Богп пб 14.379(1) 15.030(1) 12.706(1) 17.355(1

^Богп пб 14.379(1) 15.030(1) 12.706(1) 17.354(1

^hard пб 15.14(1) 15.81(1) 13.54(1) 18.07(1)

^hard пб 15.12(1) 15.79(1) 13.55(1) 18.11(2)

ф = 1000 ГэВ

^Богп пб 3.6792(1) 3.9057(1) 3.0358(1) 4.7756(1

^Богп пб 3.6792(1) 3.9057(1) 3.0358(1) 4.7755(1

^hard пб 4.693(1) 4.976(1) 3.912(1) 6.041(1)

фhard пб 4.694(1) 4.975(1) 3.913(1) 6.043(2)

Таблица 2 — Борновское и однопетлевое сечение для электрон-позитронного рассеяния и соответствующая относительная радиационная поправка 6 для ф = 250, 500 и 1000 ГэВ.

Ре-, Ре+ 0,0 -0.8,0 -0.8,-0.6 -0.8,0.6

у/в = 250 ГэВ

■т-Богп 0е+е-, пб 56.6763(1) 57.7738(1) 56.2725(4) 59.2753(5)

1-1оор 0е+е- , пб 61.731(6) 62.587(6) 61.878(6) 63.287(7)

6, % 8.92(1) 8.33(1) 9.96(1) 6.77(1)

л/б = 500 ГэВ

■т-Богп 0е+е-, пб 14.3789(1) 15.0305(1) 12.7061(1) 17.3550(2)

1-1оор 0е+е- , пб 15.465(2) 15.870(2) 13.861(1) 17.884(2)

6, % 7.56(1) 5.59(1) 9.09(1) 3.05(1)

ф = 1000 ГэВ

■т-Богп 0е+е-, пб 3.67921(1) 3.90568(1) 3.03577(3) 4.77562(5)

1-1оор 0е+е- , пб 3.8637(4) 3.9445(4) 3.2332(3) 4.6542(7)

6,% 5.02(1) 0.99(1) 6.50(1) -2.54(1)

2.4 Выводы

Теоретическое описание электрон-позитронного рассеяния с учётом радиационных поправок имеет решающее значение для высокоточного измерения этого процесса и , следовательно , для мониторинга светимости на современных и будущих е + е- коллайдерах. Учёт поляризации пучка является новым требованием для теоретических предсказаний для е+е- столкновений при энергиях CLIC и ILC. Более того , наши результаты могут быть актуальны для физической программы Супер c-т фабрики [55], которую планируется построить в России , где также предусматривается поляризация электронного пучка.

Мы показываем , что полные электрослабые радиационные поправки оказывают значительное влияние на дифференциальное сечение и лево-правую асимметрию. Более того сами поправки довольно чувствительны к степеням поляризации исходных пучков.

Наблюдаемая величина поправок первого порядка , безусловно , вызывает вопрос о величине поправок высшего порядка в этом процессе. Некоторые из этих поправок известны в литературе (но в основном это поправки чистой КЭД для неполяризованного случая). Для оценки теоретической неопределённости мы планируем внедрить известные поправки высшего порядка к электрон-пози-тронному рассеянию в наш Монте-Карло генератор событий.

Результаты , изложенные в данной главе , опубликованы в статье [56], а также в материалах семинаров и конференций [25; 57—59].

Глава 3. Электрослабые поправки для процесса ассоциированного рождения бозона Хиггса с Z-бозоном

3.1 Введение

Диапазон энергий для будущих е+е- коллайдеров будет составлять 250 — 1000 ГэВ, при этом 250 ГэВ является оптимальной энергией для ассоциированного рождения бозона Хиггса через процесс е+е- ^ ZH, что наиболее важно для получения прецизионных измерений массы бозона Хиггса, его спина, CP-чётности, константы взаимодействия Хиггса с Z-бозоном и различных парциальных ширин распада. Таким образом, важно учитывать поляризацию пучка в теоретических расчётах.

В е+е— коллайдерах доминируют три основных процесса производства Хиггса — это ассоциированное рождение Хиггса е+е- ^ ZH, W-слияние е+е- ^ veve(Ж—) ^ veveH и Z-слияние е+е- ^ е+е-(ZZ) ^ е+е-H [12; 25; 29; 60—62].

В этой главе представлены результаты для полных однопетлевых электрослабых поправок к процессу

е+(рi,Xi) + е-(Р2,Х2) ^ Z(уз,Хз) + H(у4),

для произвольных продольных поляризаций Ре+ и Ре- позитронного и электронного пучков, соответственно. Численные результаты оценены для следующих продольных поляризаций: (0,0;-0.8,0;-0.8, - 0.6;-0.8,0.6) и для энергий: 250, 500,1000 ГэВ.

Радиационные поправки к е+е- ^ ZH с неполяризованными начальными частицами были подробно рассмотрены в литературе [63—65]. Влияние поляризации на виртуальные ЭС РП и вклад мягких фотонов в процессе ассоциированного рождения Хиггса было рассчитано ранее в [66; 67]. В настоящей работе также учитывается вклад жёсткого тормозного излучения.

Численные оценки представлены для поправки к полному сечению, дифференциальному распределению по углу рассеяния Z-бозона cos -0 z и для лево-правой асимметрии Air, как функции cos —z. Соответствующие вклады в сечение рассчитываются аналитически, а затем оцениваются численно.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дыдышко Егор Вячеславович, 2022 год

Список литературы

1. Bardin, D. The standard model in the making: Precision study of the elec-troweak interactions / D. Bardin, G. Passarino. — Oxford, UK: Clarendon (1999) 685 p, 1999.

2. Measurement of the Positive Muon Anomalous Magnetic Moment to 0.46 ppm / B. Abi [et al.] // Phys. Rev. Lett. - 2021. - Apr. - Vol. 126, issue 14. - P. 141801.

3. The Role of polarized positrons and electrons in revealing fundamental interactions at the linear collider / G. Moortgat-Pick [et al.] // Phys. Rept. — 2008. - Vol. 460. - P. 131-243.

4. ILC, homepages. — https://www.linearcollider.org/ILC.

5. CLIC, homepages. — http://clic-study.web.cern.ch.

6. FCCee, homepages. — http://tlep.web.cern.ch.

7. CEPC, homepages. — http://cepc.ihep.ac.cn.

8. Full 0(a) electroweak radiative corrections to tty and e-e+y productions at ILC with GRACE-Loop / P. H. Khiem [et al.] // 9th Rencontres du Vietnam: Windows on the Universe.

9. Ohl, T. WHiZard and O'Mega / T. Ohl // LoopFest V: Radiative Corrections for the International Linear Collider: Multi-loops and Multi-legs. — 06/2006.

10. High-precision Luminosity at e+e- Colliders: Theory Status and Challenges / C. M. Carloni Calame [et al.] // Acta Phys. Polon. B. - 2015. - Vol. 46, no. 11. - P. 2227.

11. Riemann, S. Status and Prospects of e+e- Linear Collider Projects / S. Riemann // Acta Phys. Polon. B. - 2015. - Vol. 46, no. 11. - P. 2213.

12. Physics with e+e- linear colliders / E. Accomando [et al.] // Phys. Rept. — 1998. - Vol. 299. - P. 1-78.

13. Physics at the CLIC multi-TeV linear collider / E. Accomando [et al.] // Proceedings, 11th International Conference on Hadron spectroscopy (Hadron 2005): Rio de Janeiro, Brazil, August 21-26, 2005. - 2004.

14. Physics at the e+ e- Linear Collider / A. Arbey [et al.] // Eur. Phys. J. / ed. by G. Moortgat-Pick [et al.]. - 2015. - Vol. C75, no. 8. - P. 371.

15. One-loop photonic corrections to Bhabha scattering in d=4-2e dimensions / J. Fleischer [et al.] // Eur. Phys. J. C. - 2006. - Vol. 48. - P. 35-52.

16. Belyaev, A. CalcHEP 3.4 for collider physics within and beyond the Standard Model / A. Belyaev, N. D. Christensen, A. Pukhov // Comput. Phys. Commun. - 2013. - Vol. 184. - P. 1729-1769.

17. Kilian, W. WHIZARD: Simulating Multi-Particle Processes at LHC and ILC / W. Kilian, T. Ohl, J. Reuter // Eur. Phys. J. - 2011. - Vol. C71. -P. 1742.

18. WHIZARD 2.2 for Linear Colliders / W. Kilian [et al.] // International Workshop on Future Linear Colliders. — 03/2014.

19. New Developments in WHIZARD Version 2.6 / W. Kilian [et al.] // International Workshop on Future Linear Collider (LCWS2017) Strasbourg, France, October 23-27, 2017. - 2018.

20. Complementarity between ILC250 and ILC-GigaZ / A. Irles [et al.] // Linear Collider Community Meeting Lausanne, Switzerland, April 8-9, 2019. — 2019.

21. The International Linear Collider Technical Design Report - Volume 2: Physics / H. Baer [et al.]. - 2013.

22. HE-LHC: The High-Energy Large Hadron Collider Volume / A. Abada [et al.] // Eur. Phys. J. ST. - 2019. - Vol. 228, no. 5. - P. 1109-1382.

23. FCC Physics Opportunities / A. Abada [et al.] // Eur. Phys. J. - 2019. -Vol. C79, no. 6. - P. 474.

24. Blondel, A. Circular and Linear e+e- Colliders: Another Story of Complementarity / A. Blondel, P. Janot. — 2019.

25. Standard Model Theory for the FCC-ee: The Tera-Z / A. Blondel [et al.] // Mini Workshop on Precision EW and QCD Calculations for the FCC Studies : Methods and Techniques CERN, Geneva, Switzerland, January 12-13, 2018. - 2018.

26. Updated baseline for a staged Compact Linear Collider / M. J. Boland [et al.]. - 2016.

27. The Compact Linear Collider (CLIC) - 2018 Summary Report / T. K. Charles [et al.] // CERN Yellow Rep. Monogr. / ed. by P. N. Burrows [et al.]. -

2018. - Vol. 1802. - P. 1-98.

28. Theory Requirements and Possibilities for the FCC-ee and other Future High Energy and Precision Frontier Lepton Colliders / A. Blondel [et al.]. — 2019.

29. Blondel, A. Future strategies for the discovery and the precise measurement of the Higgs self coupling / A. Blondel, P. Janot. — 2018. — Sept.

30. Physics Case for the International Linear Collider / K. Fujii [et al.]. — 2015.

31. The International Linear Collider: A Global Project / P. Bambade [et al.]. —

2019. - Mar.

32. SANCscope - v.1.00 / A. Andonov [et al.] // Comput. Phys. Commun. — 2006. - Vol. 174. - P. 481-517. - [Erratum: Comput. Phys. Com-mun.177,623(2007)].

33. Update of the MCSANC Monte Carlo integrator, v. 1.20 / A. Arbuzov [et al.] // JETP Lett. - 2016. - Vol. 103, no. 2. - P. 131-136.

34. Recursion relations for gauge theory amplitudes with massive particles / S. D. Badger [et al.] // Journal of High Energy Physics. — 2005. — July. — Vol. 2005, no. 07. - P. 025-025.

35. Maître, D. SaM, a mathematica implementation of the spinor-helicity formalism / D. Maître, P. Mastrolia // Computer Physics Communications. — 2008. - Vol. 179, no. 7. - P. 501-534.

36. Bhabha, H. J. The scattering of positrons by electrons with exchange on Dirac's theory of the positron / H. J. Bhabha // Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 1936. - Vol. 154. - P. 195-206.

37. Consoli, M. One Loop Corrections to e+e- ^ e+e- in the Weinberg Model / M. Consoli // Nucl. Phys. B. - 1979. - Vol. 160. - P. 208-252.

38. Radiative Corrections to Bhabha Scattering in SU(2) X U(1) / M. Bohm [et al.] // Phys. Lett. B. - 1984. - Vol. 144. - P. 414.

39. Tobimatsu, K. Radiative Correction to e+e- ^ e+e- in the Electroweak Theory. 2. Corrected Elastic Cross-section and Positron Energy Spectrum / K. Tobimatsu, Y. Shimizu // Prog. Theor. Phys. — 1986. — Vol. 75. — P. 905.

40. Bohm, M. Radiative Corrections to Bhabha Scattering at High-Energies. 1. Virtual and Soft Photon Corrections / M. Bohm, A. Denner, W. Hollik // Nucl. Phys. B. - 1988. - Vol. 304. - P. 687-711.

41. Berends, F. A. Radiative Corrections to Bhabha Scattering at High-Energies. 2. Hard Photon Corrections and Monte Carlo Treatment / F. A. Berends, R. Kleiss, W. Hollik // Nucl. Phys. B. - 1988. - Vol. 304. - P. 712-748.

42. BHABHA SCATTERING AT HIGH-ENERGY / S. Kuroda [et al.] // Com-put. Phys. Commun. - 1988. - Vol. 48. - P. 335-351.

43. Bardin, D. Y. Bhabha scattering with higher order weak loop corrections / D. Y. Bardin, W. Hollik, T. Riemann // Z. Phys. C. - 1991. - Vol. 49. -P. 485-490.

44. Beenakker, W. Large angle Bhabha scattering / W. Beenakker, F. A. Berends, S. C. van der Marck // Nucl. Phys. B. - 1991. - Vol. 349. - P. 323-368.

45. Beenakker, W. Small angle Bhabha scattering / W. Beenakker, F. A. Berends, S. C. van der Marck // Nucl. Phys. B. - 1991. - Vol. 355. - P. 281-294.

46. On a semianalytical and realistic approach to e+e- annihilation into fermion pairs and to Bhabha scattering within the minimal Standard Model at LEP energies / G. Montagna [et al.] // Nucl. Phys. B. - 1993. - Vol. 401. -P. 3-66.

47. Hollik, W. Polarized Bhabha Scattering in Multiboson Electroweak Gauge Models / W. Hollik, A. Zepeda // Z. Phys. C. - 1982. - Vol. 12. - P. 67.

48. Hollik, W. HIGHER ORDER QED CONTRIBUTIONS TO POLARIZED BHABHA SCATTERING / W. Hollik // Phys. Lett. B. - 1983. -Vol. 123. - P. 259-264.

49. Event generators for Bhabha scattering / S. Jadach [et al.] // CERN Workshop on LEP2 Physics (followed by 2nd meeting, 15-16 Jun 1995 and 3rd meeting 2-3 Nov 1995). - 02/1996.

50. Update of one loop corrections for e+ e- —> f anti-f, first run of CalcPHEP system / A. Andonov [et al.] // Phys. Part. Nucl. - 2003. - Vol. 34. -P. 577-618.

51. Schwinn, C. On-shell recursion relations for all Born QCD amplitudes / C. Schwinn, S. Weinzierl // JHEP. - 2007. - Vol. 04. - P. 072.

52. Wigner, E. P. Relativistic Invariance and Quantum Phenomena / E. P. Wigner // Rev. Mod. Phys. - 1957. - Vol. 29. - P. 255-268.

53. Wigner, E. P. SYMMETRY AND CONSERVATION LAWS / E. P. Wigner // Phys. Today. - 1964. - Vol. 17. - P. 34-40.

54. Ohl, T. O'Mega & WHIZARD: Monte Carlo event generator generation for future colliders / T. Ohl. - 2000. - [AIP Conf. Proc.578,638(2001)].

55. Eidelman, S. Project of the Super-tau-charm Factory in Novosibirsk / S. Ei-delman // Nucl. Part. Phys. Proc. / ed. by A. Stahl, I. M. Nugent. — 2015. - Vol. 260. - P. 238-241.

56. One-loop electroweak radiative corrections to polarized Bhabha scattering / D. Bardin [et al.] // Phys. Rev. D. - 2018. - Vol. 98, no. 1. - P. 013001.

57. Electroweak radiative corrections to polarized Bhabha scattering / A. Arbu-zov [et al.] // PoS. - 2018. - Vol. LL2018. - P. 010.

58. QED and electroweak radiative corrections to polarized Bhabha scattering / A. B. Arbuzov [et al.] // J. Phys. Conf. Ser. - 2020. - Vol. 1525, no. 1. -P. 012011.

59. Electron-positron annihilation processes in MCSANCee / A. Arbuzov [et al.] // CERN Yellow Reports: Monographs / ed. by A. Blondel [et al.]. — 2020. - Vol. 3. - P. 213-216.

60. Gounaris, G. J. Supersimple analysis of e-e+ ^ ZH at high energy / G. J. Gounaris, F. M. Renard // Phys. Rev. D. - 2014. - Vol. 90, no. 7. -P. 073007.

61. Higgs factories: Higgsstrahlung versus W fusion / R. Lafaye [et al.] // Phys. Rev. D. - 2017. - Vol. 96, no. 7. - P. 075044.

62. Higgs bosons: Intermediate mass range at e+ e- colliders / V. D. Barger [et al.] // Phys. Rev. D. - 1994. - Vol. 49. - P. 79-90.

63. Fleischer, J. Radiative Corrections to Higgs Production by e+e- ^ ZH in the Weinberg-Salam Model / J. Fleischer, F. Jegerlehner // Nucl. Phys. B. — 1983. - Vol. 216. - P. 469-492.

64. Kniehl, B. A. Radiative corrections for associated ZH production at future e+e- colliders / B. A. Kniehl // Z. Phys. C. - 1992. - Vol. 55. -P. 605-618.

65. Mixed QCD-EW corrections for Higgs boson production at e+e colliders / Y. Gong [et al.] // Phys. Rev. D. - 2017. - Vol. 95, no. 9. - P. 093003.

66. Denner, A. Radiative corrections to e+ e- —> Z H / A. Denner, B. A. Kniehl, J. Kublbeck // Nucl. Phys. B Proc. Suppl. - 1992. - Vol. 29. -P. 263-269.

67. Electroweak radiative corrections to e+ e- —> H Z / A. Denner [et al.] // Z. Phys. C. - 1992. - Vol. 56. - P. 261-272.

68. Standard SANC Modules / A. Andonov [et al.] // Comput. Phys. Commun. - 2010. - Vol. 181. - P. 305-312.

69. SANCnews: Sector ffbb / D. Bardin [et al.] // Comput. Phys. Commun. — 2007. - Vol. 177. - P. 738-756.

70. Automatic calculations in high energy physics and Grace at one-loop / G. Belanger [et al.] // Phys. Rept. - 2006. - Vol. 430. - P. 117-209.

71. One-loop electroweak radiative corrections to polarized e+e- ^ ZH / S. Bon-darenko [et al.] // Phys. Rev. D. - 2019. - Vol. 100, no. 7. - P. 073002.

72. Passarino, G. One Loop Corrections for e+ e- Annihilation Into mu+ mu-in the Weinberg Model / G. Passarino, M. J. G. Veltman // Nucl. Phys. — 1979. - Vol. B160. - P. 151-207.

73. Bardin, D. On the Lowest Order Electroweak Corrections to Spin 1/2 Fermion Scattering. 2. The One Loop Amplitudes / D. Bardin, P. K. Khristova, O. M. Fedorenko // Nucl. Phys. - 1982. - Vol. B197. - P. 1-44.

74. Bardin, D. On the Lowest Order Electroweak Corrections to Spin 1/2 Fermion Scattering. 1. The One Loop Diagrammar / D. Bardin, P. K. Khristova, O. M. Fedorenko // Nucl. Phys. - 1980. - Vol. B175. - P. 435-461.

75. Exact Calculations of the Lowest Order Electromagnetic Corrections for the Processes e+e- ^ |j+^-(t+t-) / A. A. Akhundov [et al.] // Sov. J. Nucl. Phys. - 1985. - Vol. 42. - P. 762. - [Yad. Fiz.42,1204(1985)].

76. The Standard Z Peak / F. A. Berends [et al.] // Phys. Lett. - 1988. -Vol. B203. - P. 177-182.

77. Dizet: A Program Package for the Calculation of Electroweak One Loop Corrections for the Process e+ e- —> f+ f- Around the Z0 Peak / D. Bardin [et al.] // Comput. Phys. Commun. - 1990. - Vol. 59. - P. 303-312.

78. Hollik, W. F. L. Radiative Corrections in the Standard Model and their Role for Precision Tests of the Electroweak Theory / W. F. L. Hollik // Fortsch. Phys. - 1990. - Vol. 38. - P. 165-260.

79. TOPAZO 4.0: A New version of a computer program for evaluation of deconvolved and realistic observables at LEP-1 and LEP-2 / G. Montagna [et al.] // Comput. Phys. Commun. - 1999. - Vol. 117. - P. 278-289.

80. ZFITTER v.6.21: A Semianalytical program for fermion pair production in e+e- annihilation / D. Bardin [et al.] // Comput. Phys. Commun. —2001. — Vol. 133. - P. 229-395.

81. Beenakker, W. Higher order corrections to the forward - backward asymmetry / W. Beenakker, F. A. Berends, S. C. van der Marck // Phys. Lett. — 1990. - Vol. B251. - P. 299-304.

82. Bardin, D. On the Radiative Corrections to P Odd Asymmetry in Deep Inelastic Scattering of Polarized Leptons on Nucleons / D. Bardin, O. M. Fedorenko, N. M. Shumeiko // Sov. J. Nucl. Phys. - 1980. - Vol. 32. - P. 403. -[Yad. Fiz.32,782(1980)].

83. Hollik, W. e+e- Annihilation With Polarized Beams in the Standard Model and Extended Electroweak Gauge Models / W. Hollik // Z. Phys. — 1981. — Vol. C8. - P. 149.

84. Bohm, M. Radiative Corrections to Polarized e- e+ Annihilation in the Standard Electroweak Model / M. Bohm, W. Hollik // Nucl. Phys. - 1982. -Vol. B204. - P. 45-77.

85. Bohm, M. Electroweak Radiative Corrections to the e+e- ^ n+ |x- Asymmetry / M. Bohm, W. Hollik // Phys. Lett. - 1984. - Vol. 139B. -P. 213-216.

86. Kukhto, T. V. RADIATIVE EFFECTS IN DEEP INELASTIC SCATTERING OF POLARIZED LEPTONS BY POLARIZED NUCLEONS / T. V. Kukhto, N. M. Shumeiko // Nucl. Phys. - 1983. - Vol. B219. -P. 412-436.

87. Grunewald, M. W. Experimental tests of the electroweak standard model at high-energies / M. W. Grunewald // Phys. Rept. - 1999. - Vol. 322. -P. 125-346.

88. Carloni Calame, C. M. Radiative corrections in e+e collisions with the BabaYaga event generator / C. M. Carloni Calame // EPJ Web Conf. — 2017. - Vol. 142. - P. 01006.

89. Matrix elements and Parton Shower in the event generator BABAYAGA / G. Balossini [et al.] // Nucl. Phys. Proc. Suppl. - 2006. - Vol. 162. -P. 59-62. - [,59(2006)].

90. The BABAYAGA event generator / C. M. Carloni Calame [et al.] // Nucl. Phys. Proc. Suppl. - 2004. - Vol. 131. - P. 48-55. - [,48(2003)].

91. Jadach, S. The Precision Monte Carlo event generator K K for two fermion final states in e+ e- collisions / S. Jadach, B. Ward, Z. Was // Comput. Phys. Commun. - 2000. - Vol. 130. - P. 260-325.

92. Jadach, S. KK MC 4.22: Coherent exclusive exponentiation of electroweak corrections for f f ^ f ]' at the LHC and muon colliders / S. Jadach, B. Ward, Z. Was // Phys. Rev. D. - 2013. - Vol. 88, no. 11. - P. 114022.

93. Bondarenko, S. G. NLO EW and QCD proton-proton cross section calculations with mcsanc-v1.01 / S. G. Bondarenko, A. A. Sapronov // Comput. Phys. Commun. - 2013. - Vol. 184. - P. 2343-2350.

94. Sadykov, R. Polarized NLO EW e+e" cross section calculations with Rene-SANCe-v1.0.0 / R. Sadykov, V. Yermolchyk // Comput. Phys. Commun. — 2020. - Vol. 256. - P. 107445.

95. One-loop electroweak radiative corrections to lepton pair production in polarized electron-positron collisions / S. Bondarenko [et al.] // Phys. Rev. D. — 2020. - Vol. 102, no. 3. - P. 033004.

96. Electroweak radiative corrections to the three channels of the process f(1) an-ti-f(1) ZA —> 0 / D. Bardin [et al.] // Eur. Phys. J. - 2008. - Vol. C54. -P. 187-197.

97. Bohm, M. ELECTROWEAK RADIATIVE CORRECTIONS TO e+ e- —> gamma Z0 / M. Bohm, T. Sack // Z. Phys. - 1987. - Vol. C35. - P. 119.

98. Berends, F. A. QED Radiative Corrections to the Reaction e+e" ^ Zy / F. A. Berends, G. J. H. Burgers, W. L. van Neerven // Phys. Lett. — 1986. — Vol. B177. - P. 191-194.

99. Anomalous gauge boson interactions / H. Aihara [et al.] // Electroweak symmetry breaking and new physics at the TeV scale / ed. by T. L. Barklow [et al.]. - 03/1995.

100. Gounaris, G. J. The Processes e- eH--> gamma gamma, Z gamma, ZZ in

SM and MSSM / G. J. Gounaris, J. Layssac, F. M. Renard // Phys. Rev. -2003. - Vol. D67. - P. 013012.

101. Hollik, W. Electroweak corrections to gamma Z production at hadron colliders / W. Hollik, C. Meier // Phys. Lett. - 2004. - Vol. B590. - P. 69-75.

102. Transverse beam polarization and CP-violating triple-gauge-boson couplings in e+ e- —> gamma Z / B. Ananthanarayan [et al.] // Phys. Lett. — 2004. — Vol. B593. - P. 95-104. - [Erratum: Phys. Lett.B608,274(2005)].

103. Capdequi Peyranere, M. WEAK RADIATIVE CORRECTIONS TO e+ e—> gamma Z / M. Capdequi Peyranere, Y. Loubatieres, M. Talon // Nuovo Cim. - 1985. - Vol. A90. - P. 363.

104. Complete NLO EW calculations for the polarized e+e- cross section with MC-SANCee-1.0.0 integrator / A. B. Arbuzov [et al.] // Comput. Phys. Commun. (to be published). - 2021.

105. Penrose, R. Spinors and space-time: Volume 2, Spinor and twistor methods in space-time geometry. Vol. 2 / R. Penrose, W. Rindler. — Cambridge University Press, 1984.

106. One-loop electroweak radiative corrections to polarized e+e- ^ yZ process / S. Bondarenko [et al.]. - 2021. - arXiv:2111.11490.

Список рисунков

1.1 Декомпозиция векторов поляризации начальных пучков е ±...... 15

2.1 Дифференциальное сечение (слева) [в пб] и относительная поправка 6 (справа) [в %] в зависимости от косинуса угла рассеяния электрона для л/s = 250 ГэВ........................ 26

2.2 Дифференциальное сечение (слева) [в пб] и относительная поправка 6 (справа) [в %] в зависимости от косинуса угла рассеяния электрона при л/s = 500 ГэВ....................... 26

2.3 Дифференциальное сечение (слева) [в пб] и относительная поправка 6 (справа) [в %] в зависимости от косинуса угла рассеяния электрона при л/s = 1000 ГэВ....................... 27

2.4 Поляризационная асимметрия A^r как функция косинуса угла рассеяния электрона при л/s = 250 ГэВ................. 27

2.5 Поляризационная асимметрия A^r как функция косинуса угла рассеяния электрона при л/s = 500 ГэВ................. 28

2.6 Поляризационная асимметрия A^r как функция косинуса угла рассеяния электрона при л/s = 1000 ГэВ................ 28

3.1 Распределения по cos d z для поляризационной асимметрии A^r при

трёх различных энергиях л/s = 250, 500,1000 ГэВ............ 40

4.1 Борновское (пунктир) и однопетлевое (сплошная) дифференциальное сечение для процесса е+е— ^ Ц--Ц+ при

энергиях в с.ц.м. y/s = 250, 500, 1000 ГэВ............... 58

4.2 Поляризационная асимметрия A^r в зависимости от угла вылета мюона для борновского (пунктирная) и однопетлевого (сплошная) вклада для трёх энергий в с.ц.м. л/s = 250, 500,1000 ГэВ....... 60

5.1 Поляризованное дифференциальное сечение [слева, в пб, только Набор II] и относительные поправки [справа, в %] в зависимости от косинуса угла рассеяния Z при энергии в с.ц.м. л/s = 250 ГэВ. Верхняя панель - для конфигураций со спиральностью (—+), нижняя - для конфигураций со спиральностью (+—).......... 74

5.2 Поляризованное дифференциальное сечение [слева, в пб, только Набор II] и относительные поправки [справа, в %] в зависимости от косинуса угла рассеяния Z при энергии в с.ц.м. yfs = 500 ГэВ. Верхняя панель - для конфигураций со спиральностью (—+),

нижняя - для конфигураций со спиральностью (+-).......... 75

5.3 Поляризованное дифференциальное сечение [слева, в пб, только Набор II] и относительные поправки [справа, в %] в зависимости от косинуса угла рассеяния Z при энергии в с.ц.м. yfs = 1000 ГэВ. Верхняя панель - для конфигураций со спиральностью (—+),

нижняя - для конфигураций со спиральностью (+-).......... 76

5.4 Зависимость поляризационной асимметрии A^r от cos$z для борновского и однопетлевого уровней для энергий в с.ц.м. л/s =

250, 500, 1000 ГэВ в схеме а(0) и для Набора II............ 80

Список таблиц

1 Согласованное сравнение результатов SANC и WHIZARD для борновского и жёсткого тормозного вкладов в поляризованное электрон-позитронное рассеяние для л/s = 250, 500 и 1000 ГэВ. ... 30

2 Борновское и однопетлевое сечение для электрон-позитронного рассеяния и соответствующая относительная радиационная

поправка 5 для л/s = 250, 500 и 1000 ГэВ................ 31

3 Жесткиое тормозное, борновское и однопетлевое сечения в фб для процесса е+е- ^ ZH, а также относительная поправка 5 в процентах для энергии 250 ГэВ и различных поляризаций начальных частиц, полученные SANC................... 39

4 Жесткое тормозное, борновское и однопетлевое сечения в фб для процесса е+е- ^ ZH, а также относительная поправка 5 в процентах для энергии 500 ГэВ и различных поляризаций начальных частиц, полученные с помощью SANC............ 39

5 Жесткое тормозное, борновское и однопетлевое сечения в фб для процесса е+е- ^ ZH, а также относительная поправка 5 в процентах, для энергии 1000 ГэВ и различных поляризаций начальных частиц, полученные с помощью SANC............ 40

6 Тройное сравнение между SANC (S) и CalcHEP (C) и WHIZARD (W)

для сечения жёсткого тормозного излучения (4.5)........... 54

7 Борновские сечение, слабый вклад (weak) и полный однопетлевой вклад, и относительные поправки 5 (%) для энергии л/s = 250 ГэВ и набора (4.13) степеней поляризации начальных частиц в схемах

а(0) и ................................... 56

8 То же, что и в Таблице 7 для энергии в с.ц.м. л/s = 500 ГэВ..... 56

9 То же, что в таблице 7 для энергии в с.ц.м. л/s = 1000 ГэВ...... 57

10 Тройное согласованное сравнение между БЛМС (первая строка), Са1сНЕР (вторая строка) и УН^ЛБС (третья линия) результатов для вклада жёсткого тормозного излучения для поляризованного процесса е+е- ^ у Z(у) при различных энергиях и степенях поляризации................................. 71

11 Борновское и полное однопетлевое сечения а в пб, и относительные поправки 6 в % для энергии в с.ц.м. л/в = 250 ГэВ, при различных степенях поляризации начальных частиц в ЭС схемах а(0) и а

для Набора I и Набора II.......................... 77

12 Борновское и полное однопетлевое сечения а в пб, и относительные поправки 6 в %. для энергии в с.ц.м. л/в = 500 ГэВ,при различных степенях поляризации начальных частиц в схемах а(0) и и для Набора I и Набора II............................ 78

13 Борновское и полное однопетлевое сечения а в пб, и относительные поправки 6 в % для энергии в с.ц.м. л/в = 1000 ГэВ, при различных степенях поляризации начальных частиц в схемах а(0) и для Набора I и Набора II............................ 78