Эффекты квантовой теории поля в расширенной стандартной модели под влиянием внешних условий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Харланов, Олег Георгиевич

• Харланов, Олег Георгиевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Харланов, Олег Георгиевич

1 Введение

2 Эффекты нарушения лоренц-инвариантности в водородопо-добных атомах

2.1 Введение.

2.2 Используемая модель.

2.3 1/«^-приближение в уравнении Дирака с поправкой Ьи

2.4 Водородоподобный атом: квазирелятивистский подход

2.5 Разложение решения уравнения Дирака по bo.

2.6 Свойства излучения атома водорода, характерные для случая bo Ф 0.

2.7 Обсуждение.

3 Эффект Казимира в (3+1 )D электродинамике Максвелл а-Черна-Саймонса

3.1 Введение.

3.2 Электродинамика Максвелла-Черна-Саймонса.

3.2.1 Динамические инварианты.

3.2.2 Квантование поля.

3.3 Однофотонные моды электромагнитного поля между параллельными пластинами.

3.4 Энергия Казимира: регуляризация методом дзета-функции

3.5 Энергия Казимира: суммирование ряда с помощью теоремы вычетов.

4 Эффект Казимира в электродинамике Максвелла-Черна-Сай-монса: метод диадной функции Грина.

4.1 Введение.

4.2 Общее выражение для диадной функции Грина через скалярную функцию Грина.

4.3 Диадная функция Грина: параллельные проводящие пластины

4.4 Обсуждение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффекты квантовой теории поля в расширенной стандартной модели под влиянием внешних условий»

В данной главе мы изучим, как нарушение лоренц- и СРТ-инвариант-ности может сказываться на свойствах простейшего атома — атома водорода. Для некоторой общности мы будем считать заряд ядра Z произвольным, т.е. рассматривать т.н. водородоподобный атом. До сегодняшнего дня эта система активно изучалась в рамках расширенной стандартной модели [32,33,35-38]. Тем не менее, большинство вычислений сводилось к (не всегда обосновашюму) применению теории возмущений по нарушающим лоренц-инвариантность поправкам. Это в лучшем случае позволяло обнаружить влияние нарушения лоренц-инвариантности на энергетический спектр атома.

В нашей работе мы придерживаемся коренным образом другого подхода. Мы стараемся напрямую решить задачу на собственные состояния электрона в связывающем потенциале ядра, пусть и приближенно. Это позволяет, в частности, изучать радиационные свойства атома, такие как поляризация и угловое распределение излучения. В нашем исследовании мы будем работать в рамках расширенной электродинамики с нарушающим лоренц-инвариантность аксиально-векторным конденсатом Ь^. С использованием приближенных методов мы покажем, что можно выразить собственные функции релятивистского уравнения Дирака с малой поправкой bo в центральном электрическом поле через его решения в этом же поле при bo = 0. С помощью этого отображения мы в явном виде найдем решения для интересного с практической точки зрения случая ку-лоновской потенциальной ямы (см. раздел 2.5). Окажется, что существует квадратичное по bo расщепление энергетического спектра, соперничающее с лэмбовским сдвигом [47], которое может в принципе наблюдаться в эксперименте.

Разлагая решение уравнения Дирака с поправкой Ь^ по степеням 1 /с, мы также получим гамильтониан квазирелятивистского (1 /с2-) приближения с этой поправкой (раздел 2.3). Эта тематика в последнее время обсуждалась в литературе [48-53], однако никто до нас не рассматривал 1/с2-приближение во внешнем поле, включающее, в отличие от 1/с-при-ближения Паули, релятивистские поправки. С использованием такого приближенного подхода мы также получили волновые функции собственных состояний электрона в атоме водорода и проанализировали, как эффективно должно проявляться в динамике электрона наличие нарушающей Р-четность поправки bo (см. раздел 2.4). Оказывается, последняя приводит к модификации взаимодействия электрона с внешним магнитным полем, а именно, к появлению СРТ-нечетной добавки к оператору магнитного момента электрона. Это отражается, как мы увидим, в частности, в асимметрии углового распределения излучения атома (раздел 2.6), а также в появлении ненулевого анапольного момента [54] у электронной оболочки. Последняя характеристика описывает системы с нарушением Р-четности, взаимодействующие с электромагнитным полем. Например, из-за электрослабых радиационных поправок нейтрино в стандартной модели приобретает такой момент. Более того, это единственная электромагнитная характеристика, которая может быть приписана майорановскому нейтрино [55].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Харланов, Олег Георгиевич

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. В рамках расширенной электродинамики с СРТ-нечетпым нарушающим лоренц-инвариантность взаимодействием с аксиально-векторным конденсатом Ь^ рассмотрено одночастичное приближение для электрона во внешнем электромагнитном поле. Для такой теории выведен гамильтониан 1 /с2-приближепия и на его основе получены собственные функции и энергетический спектр электрона в водо-родоподобном атоме при малом bo Ф 0. Также исправлена оценка энергетического расщепления, обусловленного наличием пространственных компонент bp, предлагавшаяся другими авторами.

2. Спектр атома водорода и собственные функции электрона в нем также исследованы с использованием точного релятивистского уравнения Дирака с нарушающей Р-четность ^-поправкой. В случае центрального электрического поля задача на собственные состояния сведена к случаю bo = 0 с квадратичной точностью по bo и в результате явно решена для кулоновского потенциала. В последнем возникает квадратичное по bo расщепление эпергетического спектра, снимающее вырождение по квантовому числу / и соперничающее с лэмбов-ским сдвигом при больших j. Экспериментальное наблюдение этого расщепления позволило бы усилить ограничения на абсолютную величину bo.

3. Оказалось, что особенности динамики электрона в атоме, имеющие место при малом Ь0 Ф 0, могут быть сведены к наличию СРТ- и

Р-нечетной добавки к оператору магнитного момента электрона, (в 1 /с2-приближении). Эта поправка приводит к нарушению центральной симметрии углового распределения спонтанного излучения поляризованного по спину атома водорода, а также к наличию у электронной оболочки такого атома анапольного момента. Величина этого момента, как выяснилось, может на много порядков превосходить анапольные моменты самого электрона и ядра, индуцированные электрослабыми радиационными поправками.

4. В рамках (3+1 )D электродинамики Максвелла-Черна-Саймонса (MCS-электродинамики) с нарушающей лоренц- и СРТ-инвариантность поправкой к лагранжиану вида ^lFetIvapAv Fafi рассмотрена задача об эффекте Казимира. В частном случае = (kAF, 0) найдены ка-либровочно-инвариантные выражения для энергии и силы Казимира, несмотря на невозможность полностью симметризовагь и сделать калибровочно-инвариантным тензор энергии-импульса. В случае бесконечных параллельных проводящих пластин показано, что нестабильность электромагнитного вакуума теории, имеющая место при kAF Ф 0, является пренебрежимо малой при достаточно малом (но конечном для фиксированного kAi) расстоянии между пластинами.

5. В случае параллельных пластин найден полный набор стационарных однофотонных состояний. Энергетический спектр MCS-фотона оказался задан неявно в виде трансцендентного уравнения, на основании которого мы получили ведущую /^-поправку к энергии (и, как результат, к силе) Казимира. Мы использовали метод регуляризации введением дзета-функции и разработанный нами метод явного суммирования и перенормировки ряда по корням трансцендентного уравнения с помощью теоремы вычетов. Полученная поправка к силе Казимира, квадратичная по kAF, исправляет результаты других авторов, неоправданно полагавшихся при ее нахождении на аналогию с (2+1)-мерной MCS-электродинамикой.

6. В рамках той же теории Максвелла-Черна-Саймонса развит метод построения диадной функции Грина электромагнитного поля для кЛр Ф 0, сводящий волновые уравнения на ее компоненты к уравнениям, характерным для случая кАр = 0- На основании этого метода построена диадная функция Грина для случая параллельных пластин в MCS-электродинамике, с помощью которой найдено натяжение Казимира. Восстановлено выражение для последнего, полученное нами же другими методами, кроме того, к нему найдена непертурбативная поправка, пропорциональная kAF Inгде D — расстояние между пластинами. С использованием полученных поправок и экспериментальных данных по эффекту Казимира на абсолютную величину кАР наложены ограничения.

Автор выражает благодарность профессору В. Ч. Жуковскому за научное руководство, за неотступное внимание и терпение, а также за талантливое разъяснение в своих лекциях основных идей квантовой теории поля. Автор также глубоко признателен А. В. Борисову и А. Е. Лобанову за обсуждение и советы в отношении исследований, составляющих содержание настоящей диссертационной работы.

Написание данной работы было бы невозможным без помощи лекционных курсов Ю. С. Владимирова, Д. В. Гальцова, Ю. В. Граца, К. А. Казакова, JI. С. Кузьменкова, П. И. Пронина, А. А. Славнова, Н. Э. Смирнова и К. В. Степаньянца, которые автор имел удовольствие слушать. Отдельное спасибо автор хочет сказать Б. А. Лысову за его курс "Дополнительные главы квантовой механики", который значительно углублял видение этого предмета.

Наконец, автор признателен Г. Л. Октябрьской и Н. А. Соколовой за помощь в решении административных вопросов и чуткое отношение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Харланов, Олег Георгиевич, 2010 год

1. Rovelli С. Quantum gravity. — Cambridge: Cambridge University Press, 2004. - 455 pp.

2. Giulini D., Kiefer C., Lammerzahl C. Quantum gravity: From theory to experimental search. — Berlin: Springer, 2003.— 400 pp.

3. Green M., Schwarz J. H., Witten E. Superstring theory.— Cambridge: Cambridge University Press, 1987. — Vol. 1. Introduction. — P. 484.

4. Green M., Schwarz J. H., Witten E. Superstring theory.— Cambridge: Cambridge University Press, 1987.— Vol. 2. Loop Amplitudes, Anomalies, and Phenomenology. — P. 614.

5. Randall L., Sundrum R. A large mass hierarchy from a small extra dimension. — Phys. Rev. Lett.— 1999.— Vol. 83, no. 17.- Pp. 33703373.

6. Connes A. Non-commutative geometry. — New York: Academic Press, 1994.-661 pp.

7. Seiberg N., Witten E. String theory and noncommutative geometry.— JHEP. 1999. - Vol. 1999, no. 09. - P. 032.

8. Doplicher S., Fredenhagen K., Roberts J. E. The Quantum Structure of Spacetime at the Planck Scale and quantum fields.— Commun. Math. Phys. 1995. - Vol. 172, no. 1. - Pp. 187-220.

9. Kostelecky V. A., Samuel S. Gravitational Phenomenology in Higher Dimensional Theories and Strings. — Phys. Rev. D. — 1989. — Vol. 40, no. 6.-Pp. 1886-1903.

10. Andrianov A. A., Soldati R., Sorbo L. Dynamical Lorentz symmetry breaking from (3+1) axion-Wess-Zumino model.— Phys. Rev. D. — 1999. Vol. 59, no. 2. — P. 025002.

11. Field G. В., Carroll S. M. Cosmological magnetic fields from primordial helicity. Phys. Rev. D. - 2000. - Vol. 62, no. 10. - P. 103008.

12. Shapiro I. L. Physical aspects of the space-time torsion. — Phys. Rept. — 2002. Vol. 357, no. 2. - Pp. 113-213.

13. Coleman S., Weinberg E. Radiative Corrections as the Origin of Spontaneous Symmetry Breaking. — Phys. Rev. — 1973. — Vol. 7, no. 6. — Pp. 1888-1910.

14. Nambu Y., Jona-Lasinio G. Dynamical Model of Elementary Particles Based on an Analogy with Superconductivity, I. — Phys. Rev. — 1961. — Vol. 122, no. 1. — Pp. 345-358.

15. Nambu Y., Jona-Lasinio G. Dynamical Model of Elementary Particles Based on an Analogy with Superconductivity, II. — Phys. Rev. — 1961. — Vol. 124, no. l.-Pp. 246-254.

16. Klimenko K. G. Three-dimensional Gross-Neveu model at nonzero temperature and in the presence of an external electromagnetic field. — Zeitschrift fur Physik C. 1992. - Vol. 54, no. 2. - Pp. 323-329.

17. Colladay D., Kostelecky V. A. Lorentz-violating extension of the standard model. — Phys. Rev. D.~ 1998.- Vol. 58, no. 11. — P. 116002.

18. Bluhm R. Overview of the SME: Implications and Phenomenology of Lorentz Violation. — Lect. Notes Phys. — 2006.— Vol. 702.— Pp. 191226.

19. Zhukovsky V. Ch., Lobanov A. E., Murchikova E. M. Radiative effects in the standard model extension. — Phys. Rev. D. — 2006. — Vol. 73, no. 5. — P. 065016.

20. Arbuzova E. V., Lobanov A. E., Murchikova E. M. Pure quantum states of a neutrino with rotating spin in dense magnetized matter. — Phys. Rev. D. 2010. - Vol. 81, no. 4. - P. 045001.

21. Shabad A. E., Usov V. V. Electric field of a point-like charge in a strong magnetic field and ground state of a hydrogen-like atom. — Phys. Rev. D. 2008. - Vol. 77, no. 2. - P. 025001.

22. Kostelecky V. A., Lehnert R. Stability, causality, and Lorentz and CPT violation. Phys. Rev. D. — 2001. — Vol. 63, no. 6. — P. 065008.

23. Ebert D., Zhukovsky V. Ch., Razumovsky A. S. Chern-Simons-like term generation in an extended model of QED under external conditions. — Phys. Rev. D. 2004. - Vol. 70, no. 2. - P. 025003.

24. Andrianov A. A., Giacconi P., Soldati R. Lorentz and CPT violations from Chern-Simons modifications of QED.- JHEP.- 2002.- Vol. 2002, no. 02. P. 030.

25. Altschul B. Gauge invariance and the Pauli-Villars regulator in Lorentz-and CPT-violating electrodynamics. — Phys. Rev. D. — 2004. — Vol. 70, no. 10.-P. 101701.

26. Jackiw R., Kostelecky V. A. Radiatively induced Lorentz and CPT violation in electrodynamics.— Phys. Rev. Lett.— 1999.— Vol. 82, no. 18.-Pp. 3572-3575.

27. Kostelecky V.A., Pickering A. G. M. Radiatively induced Lorentz and CPT violation in electrodynamics. — Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 91, no. 3.-P. 031801.

28. Adam С., Klinkhamer F. R. Photon decay in a CPT violating extension of quantum electrodynamics. — Nucl. Phys. B. — 2003. — Vol. 657, no. 1. — Pp. 214-228.

29. Altschul B. Lorentz violation and synchrotron radiation. — Phys. Rev. D. 2005. - Vol. 72, no. 8. - P. 085003.

30. Andrianov A. A., Espriu D., Giacconi P., Soldati R. Anomalous positron excess from Lorentz-violating QED.— JHEP.— 2009.— Vol. 2009, no. 09. P. 057.

31. Frolov I. E., Zhukovsky V. Ch. Synchrotron radiation in the standard model extension. — J. Phys. A — 2007.— Vol. 40, no. 34. Pp. 1062510640.

32. Bluhm R., Kostelecky V. A., Russell N. CPT and Lorentz tests in hydrogen and antihydrogen. — Phys. Rev. Lett.— 1999.— Vol. 82, no. 11.-Pp. 2254-2257.

33. Casimir H. B. G. On the attraction between two perfectly conducting plates. Proc. K. Ned. Akad. Wet. - 1948. - Vol. 51. - Pp. 793-795.

34. Bluhm R. Lorentz and CPT tests in atomic systems. — AIP Conf. Proc. — 2000.-Vol. 539, no. 1. — Pp. 109-118.

35. Bluhm R., Kostelecky V. A. Lorentz and CPT Tests with Spin-Polarized Solids. Phys. Rev. Lett. — 2000. - Vol. 84, no. 7. - Pp. 1381-1384.

36. Milton K. A., Ng Y. J. The Maxwell-Chern-Simons Casimir Effect. — Phys. Rev. D.- 1990.— Vol. 42, no. 8.- Pp. 2875-2880.

37. Chern S.-S., Simons J. Characteristic forms and geometric invariants. — Ann. Math. II- 1974.- Vol. 99, no. 1.- Pp. 48-69.

38. Frank M., Turan I. Casimir force in a Lorentz violating theory. — Phys. Rev. D. 2006. - Vol. 74, no. 3. - P. 033016.

39. Elizalde E. Dynamical Casimir Effect with Semi-Transparent Mirrors and Cosmology. J. Phys. A. - 2008. - Vol. 41, no. 16. - P. 164061.

40. Antonsen F., Bormann K. Evolution of a hyperspatial tube due to the Casimir effect. Phys. Rev. D. — 1995. — Vol. 51, no. 2. - Pp. 568-578.

41. Nojiri Sh., Odintsov S., Zerbini S. Bulk versus boundary (gravitational Casimir) effects in quantum creation of inflationary brane world universe. — Class. Quant. Grav. — 2000.— Vol. 17, no. 23. — Pp. 48554866.

42. Brevik I. H., Milton K. A., Odintsov S. D., Osetrin К. E. Dynamical Casimir effect and quantum cosmology.— Phys. Rev. D.— 2000.— Vol. 62, no. 6. — P. 064005.

43. Elizalde Е. The vacuum energy: Casimir effect and the cosmologicalconstant. AIP Conf. Proc. — 2007. — Vol. 905, no. 1. — Pp. 50-55.i

44. Lamb W. E., Retherford R. C. Fine Structure of the Hydrogen Atom by a Microwave Method. — Phys. Rev. — 1947. — Vol. 72, no. 3. — Pp. 241243.

45. Kostelecky V. A., Lane C. D. Nonrelativistic quantum Hamiltonian for Lorentz violation.— J. Math. Phys.— 1999.— Vol. 40, no. 12. — Pp. 6245-6253.

46. Ferreira Jr. M. M., Moucherek F. M. O. Influence of Lorentz- and CPT-violating terms on the Dirac equation. — Int. J. Mod. Phys. A. — 2006. — Vol. 21, no. 30.- Pp. 6211-6227.

47. Belich H., Costa-Soares Т., Ferreira Jr. M. M., Helayel-Neto J. A., Mouchereck F. M. O. Lorentz-violating corrections on the hydrogen spectrum induced by a non-minimal coupling. — Phys. Rev. D. — 2006. — Vol. 74, no. 6. P. 065009.

48. Belich H., Costa-Soares Т., Ferreira Jr. M. M., Helayel-Neto J. A,, Orlando M. T. D. A comment on the topological phase for anti-particles in a Lorentz-violating environment. — Phys. Lett. B. — 2006. — Vol. 639, no. 6. Pp. 675-678.

49. Belich H., Costa-Soares Т., Ferreira Jr. M. M., Helay61-Neto J. A. Classical solutions in a Lorentz-violating scenario of Maxwell-Chern-Simons-Proca electrodynamics.— Eur. Phys. J. C. — 2005.— Vol. 42, no. l.-Pp. 127-137.

50. Belich H., Costa-Soares Т., Ferreira Jr. M. M., Helayel-Neto J. A., Orlando M. T. D. Lorentz-symmetry violation and electrically charged vortices in the planar regime. — Int. J. Mod. Phys. A. — 2006. — Vol. 21, no. 11.- Pp. 2415-2429.

51. Зельдович Я. Б. Электромагнитное взаимодействие при нарушении четности. — ЖЭТФ. — 1957.- Т. 33, № 6.- С. 1531.

52. Борисов А. В., Жуковский В. Ч., Тернов А. И. Электромагнитные свойства массивных нейтрино.— ДАН СССР.— 1989.— Т. 308, № 4. С. 841-843.

53. Coleman S., Glashow S. L. High-energy tests of Lorentz invariance. — Phys. Rev. D.— 1999.- Vol. 59, no. 11.- P. 116008.

54. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. — Москва: Физматлит, 2002. — Т. 4 из Теоретической физики. — 720 с.

55. Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч. Квантовая механика. — Москва: Наука, 1979. — 528 с.

56. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля.— Москва: Физматлит, 2006. — Т. 2 из Теоретической физики. — 534 с.

57. Foldy L. L., Wouthysen S. A. On the Dirac theory of spin 1/2 particles and its non-relativistic limit. — Phys. Rev.— 1950.— Vol. 78, no. 1.— Pp. 29-36.

58. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Москва: Физматлит, 2004. — Т. 3 из Теоретической физики. — 800 с.

59. Weber Е. W., Goldsmith J. Е. М. Double-Quantum Spectroscopy in Hydrogen: Measurement of the ЗРз/2-3£>з/2 Lamb Shift. — Phys. Rev. Lett. 1978. - Vol. 41, no. 14. - Pp. 940-944.

60. Weitz M., Schmidt-Kaler F., Hansch T. W. Precise Optical Lams Shift Measurements in Atomic Hydrogen. —Phys. Rev. Lett. — 1992. — Vol. 68, no. 8.-Pp. 1120-1123.

61. Hagley E. W., Pipkin F. M. Separated oscillatory field measurement of hydrogen IS хц-^Ръ/г fine structure interval. — Phys. Rev. Lett. — 1994. — Vol. 72, no. 8. —Pp. 1172-1175.

62. Новиков В. H., Хриплович И. Б. Несохранение четности в переходах между компонентами сверхтонкой структуры тяжелых атомов. — Письма в ЖЭТФ. 1975. - Т. 22, № 3. - С. 162-165.

63. Bouchiat М. A., Bouchiat С. С. Weak neutral currents in atomic physics. Phys. Lett. B. — 1974. — Vol. 48, no. 2. — Pp. 111-114.

64. Хриплович И. Б. Несохранение четности в атомах. — УФН. — 1988. — Т. 155, № 2. — С. 325.

65. Дубовик В. М., Тосунян Л. А. Тороидные моменты в физике электромагнитных и слабых взаимодействий. — ЭЧАЯ.— 1983. — Т. 14, № 5.- С. 1193-1228.

66. Curtis Michel F. Neutral Weak Interaction Currents. — Phys. Rev. — 1965. Vol. 138, no. 2B. — P. 408.

67. Рекало M. П. Анапольный момент легггонов и кварков как источник Р-нечетного взаимодействия лептонов с адронами. — Письма в ЖЭТФ. 1979. - Т. 29, № 5. - С. 299-302.

68. Milton К. A. The Casimir Effect: Physical Manifestation of Zero-Point Energy. New York: World Scientific, 2001. — 320 pp.

69. Vepstas L., Jackson A. D., Goldhaber A. S. Two-Phase Models of Baryons and the Chiral Casimir Effect. — Phys. Lett. В. — 1984.— Vol. 140, no. 5-6. Pp. 280-284.

70. Bordag M., Elizalde E., Kirsten K., Leseduarte S. Casimir energies for massive scalar fields in a spherical geometry. — Phys. Rev. D. — 1997. — Vol. 56, no. 8. Pp. 4896-4904.

71. Lee H.-J., Min D.-P., Park B.-Y., Rho M., Vento V. The proton spin in the chiral bag model: Casimir contributions and Cheshire Cat principle. — Nucl. Phys. A. 1999.- Vol. 657, no. 1.- Pp. 75-94.

72. Frank M., Turan I., Ziegler L. The Casimir force in Randall-Sundrum models. Phys. Rev. D. — 2007. — Vol. 76, no. 1. — P. 015008.

73. Elizalde E., Odintsov S. D., Saharian A. A. Repulsive Casimir effect from extra dimensions and Robin boundary conditions: from branes to pistons. Phys. Rev. D. — 2009. — Vol. 79, no. 6. — P. 065023.

74. Mohideen U., Roy A. Precision measurement of the Casimir force from 0.1 to 0.9jim.— Phys. Rev. Lett. — 1998.— Vol. 81, no. 21,- Pp. 45494552.

75. Harris B. W., Chen F., Mohideen U. Precision measurement of the Casimir force using gold surfaces. — Phys. Rev. A. — 2000. — Vol. 62, no. 5. — P. 052109.

76. Chan Н. В., Aksyuk V. A., Kleiman R. N., Bishop D. J., Capasso F. Quantum mechanical actuation of microelectromechanical system by the Casimir force. Science.— 2001.— Vol. 291, no. 5510.— Pp. 19411944.

77. Chan H. В., Aksyuk V. A., Kleiman R. N., Bishop D. J., Capasso F. Nonlinear micromechanical Casimir oscillator. — Phys. Rev. Lett. — 2001.-Vol. 87, no. 21.-P. 211801.

78. Antonini P., Bressi G., Carugno G., Galeazzi G., Messineo G., Ruoso G. Casimir effect: a novel experimental approach at large separation. — New J. Phys. 2006. - Vol. 8, no. 10. — P. 239.

79. Antonini P., Bimonte G,, Bressi G., Carugno G., Galeazzi G., Messineo G., Ruoso G. An experimental apparatus for measuring the Casimir effect at large distances. — J. Phys. Conf. Ser. — 2009. — Vol. 161, no. l.-P. 012006.

80. Bressi G„ Carugno G., Onofrio R., Ruoso G. Measurement of the Casimir Force between Parallel Metallic Surfaces. — Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88, no. 4.-P. 041804.

81. Flachi A., Toms D. J. Quantized bulk scalar fields in the Randall-Sundrum brane model. — Nucl. Phys. В.— 2001.— Vol. 610, no. 1-2.- Pp. 144168.

82. Ponton E., Poppitz E. Casimir energy and radius stabilization in five and six dimensional orbifolds.— JHEP.— 2001.- Vol. 2001, no. 06.-P. 019.

83. Lifshitz E.M. The theory of molecular attractive forces between solids. — Sov. Phys. JETP. — 1956. — Vol. 2, no. 1.- Pp. 73-83.

84. Boyer Т. H. Quantum Electromagnetic Zero-Point Energy of a Conducting Spherical Shell and the Casimir Model for a Charged Particle. — Phys. Rev. 1968. - Vol. 174, no. 5. - Pp. 1764^1776.

85. Milton K. A. Vector Casimir effect for a i)-dimensional sphere. — Phys. Rev. D. 1997. - Vol. 55, no. 8. - Pp. 4940^1946.

86. Bordag M. The Casimir effect for a sphere and a cylinder in front of plane and corrections to the proximity force theorem. — Phys. Rev. D. — 2006.- Vol. 73, no. 12.- P. 125018.

87. Bordag M., Nikolaev V. Casimir force for a sphere in front of a plane beyond Proximity Force Approximation. — J. Phys. A. — 2008. — Vol. 41, no. 16.-P. 164002.

88. Linares R., Morales-Tecotl H. A., Pedraza O. Casimir force for a scalar field in warped brane worlds. — Phys. Rev. D. — 2008. — Vol. 77, no. 6. — P. 066012.

89. Kirs ten K., Fulling S. A. Kaluza-Klein models as pistons. — Phys. Rev. D. 2009. - Vol. 79, no. 6. - P. 065019.

90. Frank M., Saad N., Turan I. The Casimir Force in Randall-Sundrum Models with q + 1 dimensions. — Phys. Rev. D. — 2008. — Vol. 78, no. 5. P. 055014.

91. Saharian A. A. Fermionic Casimir effect in toroidally compactified de Sitter spacetime.— Class. Quant. Grav.— 2008.— Vol. 25, no. 16.— P. 165012.

92. Herdeiro C. A. R., Ribeiro R. H., Sampaio M. Scalar Casimir effect on a Z)-dimensional Einstein static Universe. — Class. Quant. Grav. — 2008. — Vol. 25, no. 16.-P. 165010.

93. Nesterenko V. V., Pirozhenko I. G. A simple model for cosmic string of a finite thickness. — 2010. — URL:http://arxiv.org/pdf/1003.0886 (дата обращения: 03.10.2010).

94. Nam S. Casimir force in compact noncommutative extra dimensions and radius stabilization. JHEP. — 2000. - Vol. 2000, no. 10. - P. 044.

95. Chaichian M., Demichev A., Presnajder P., Sheikh-Jabbari M. M., Tureanu A. Quantum theories on noncommutative spaces with nontrivial topology: Aharonov-Bohm and Casimir effects.— Nucl. Phys. В.— 2001.-Vol. 611, no. 3.- Pp. 383-402.

96. Milton K. A., Ng Y. J. Maxwell-Chern-Simons Casimir effect. П. Circular boundary conditions. — Phys. Rev. D. — 1992. — Vol. 46, no. 2. — Pp. 842852.

97. Carroll S.M., Field G. В., Jackiw R. Limits on a Lorentz- and parity-violating modification of electrodynamics. — Phys. Rev. D. — 1990.— Vol. 41, no. 4. —Pp. 1231-1240.

98. Dobado A., Maroto A. L. Standard model anomalies in curved space-time with torsion. Phys. Rev. D. — 1996. - Vol. 54, no. 8. — P. 5185.

99. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред.— Москва: Физматлит, 2003. — Т. 8 из Теоретической физики. — 656 с.

100. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — Москва: Наука, 1999. — 799 с.

101. Nesterenko V. V. Boundary conditions at spatial infinity for fields in Casimir calculations. —J. Phys. A. — 2006. — Vol. 39, no. 21. Pp. 66096616.

102. Elizalde E. Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions.— Berlin: Springer, 1995. — 224 pp.

103. Edwards Н. М. Riemann's Zeta Function. — New York: Dover Publications, 2001. — 330 pp.

104. Markushevich A. I. Theory of Functions of a Complex Variable. — New York: AMS, 2005. 1138 pp.

105. Mostepanenko V. M., Trunov N. N. The Casimir Effect and Its Applications. — Oxford: Oxford University Press, 1997. — 212 pp.

106. Bouniakowsky V. Ya. Sur quelques inegalites concernant les integrates aux differences finies. — Mem. Acad. Sci. St. Petersburg VII. — 1859. — Vol. 1, no. 9. — Pp. 1-18. — (на франц. языке).

107. Тамм И. Е. Основы теории электричества. — Москва: Наука, 2003. — 616 с.