Эффективное хеджирование на основе эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Соколов, Павел Иванович

• Соколов, Павел Иванович
• кандидат экономических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Соколов, Павел Иванович

Введение

Глава 1: Коинтеграция и хеджирование в финансовом анализе

1.1 Коинтеграция

1.2 Методы использования ко интеграции участниками рынка

1.3 Обзор методов хеджирования

1.4 Эконометрнческие исследования коинтеграции на валютном рынке

Глава 2: Развитие методов хеджирования при помощи коинтеграции

2.1 Постановка и решение задачи об оптимальном комбинировании коинтеграционных соотношений

2.2 Численный пример построения оптимальных комбинаций коинтеграционных соотношений

2.3 Некоторые особенности динамики валютных курсов, связанные со скоростями их изменения

2.4 Метод формирования модельной информации на основе деления динамики цеп на «быстрые» и «медленные» периоды

Глава 3: Поиск коинтеграционных соотношений на рынке Рогех и определение целесообразности их использования для хеджирования

3.1 Поиск коинтеграционных соотношений среди треугольных наборов валютных пар

3.2 Поиск коинтеграционных соотношений среди тех наборов валютных пар, которые могут быть использованы для хеджирования обязательств по поставке валюты

3.3 Целесообразность применения метода комбинирования коинтеграционных соотношений для хеджирования обязательств по поставке валюты

3.4 Описание авторских программ, использованных для расчётов 105 Заключение 106 Список литературы 109 Приложение 1. Сравнение зависимостей недельных приростов валютных курсов от усреднённых «быстрых» и «медленных» 116 Приложение 2. Сравнение динамики «быстрых» и «медленных» приростов для разных валютных курсов 121 Приложение 3. Сравнение статистической значимости коинтеграционных соотношений оценённых по модельной информации и по обычным ценам закрытия

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффективное хеджирование на основе эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов»

Важной задачей, решаемой агентами, оперирующими на финансовых рынках, является хеджирование (буквально — страхование) различных обязательств. Оно подразумевает покупку такого портфеля финансовых инструментов (например, акций), колебания цены которого повторяют динамику стоимости финансового обязательства инвестора. Такой портфель называется хеджирующим или реплицирующим. Эффективность хеджирования тем выше, чем меньше отклонение стоимости реплицирующего портфеля от стоимости хеджируемого обязательства, измеряемое обычно среднеквадратическим отклонением или дисперсией.

Одним из основных видов обязательств, хеджируемых на валютных рынках, являются обязательства по поставке валюты. В последнее время получили распространение методы хеджирования, основанные на эконометрической оценке взаимосвязи валютных курсов. Они подразумевают построение хеджирующего портфеля при помощи выделяемого на основе предварительного исследования специального набора коинтегрированных валютных курсов. Специальный набор должен состоять из курса валюты, обязательство по поставке которой хеджируется, и курсов альтернативных валют к некоторой «базовой» валюте. Коинтегрированность такого набора означает, что суммарная стоимость альтернативных валют в единицах «базовой» отличается от стоимости хеджируемого валютного обязательства на стационарный ряд, малая дисперсия которого свидетельствует об эффективности хеджирования.

Стандартный метод построения валютного портфеля при помощи коинтегрированного набора валютных курсов ориентирован на случай существования ровно одного набора. Между тем известно, что по самой природе валютного рынка таких наборов может быть несколько, поскольку определённая взаимосвязь в динамиках валютных курсов должна иметь место, чтобы обеспечить отсутствие арбитражных возможностей. Развитие метода хеджирования на основе эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов на случай нескольких коинтегрированных наборов валютных курсов может обеспечить более эффективное (в смысле минимизации дисперсии отклонения) хеджирование и использоваться участниками финансовых рынков (например, банками), для получения прибыли или снижения затрат.

Результаты применения методов хеджирования зависят не только от самих методов, но и от способа формирования модельной информации для них. Обычно используют либо цены закрытия какой-либо периодичности, то есть последние цены за каждую минуту, час или другой временной период, либо данные обо всех зарегистрированных изменениях цен (тиковые данные). Однако, в области формирования модельной информации, необходимой для эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов, практически нет исследований. Создание метода построения модельной информации, очищенной от сиюминутных рыночных флуктуации, позволит получить более обоснованные оценки долгосрочных рыночных тенденций.

Таким образом, развитие существующих методов хеджирования на основе эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов на случай нескольких коинтегрированных наборов валютных курсов, а также разработка принципов формирования необходимых для этого временных рядов, в большей мере, чем цены закрытия, отражающих долгосрочные рыночные тенденции, является актуальной задачей и представляет как теоретический, так и практический интерес.

Цель — разработка экономико-математического инструментария, позволяющего строить эффективные хеджирующие портфели на основе информационного обеспечения, учитывающего специфику валютного рынка.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

- Разработать метод хеджирования на основе задачи нахождения оптимальной с точки зрения эффективности хеджирующего портфеля комбинации нескольких коинтегрированных наборов валютных курсов.

- Оценить, насколько хеджирование с использованием нескольких коинтегрированных наборов валютных курсов эффективней хеджирования с использованием одного набора коинтегрированных валютных курсов.

- Выявить валюты, наиболее подходящие на роль базовых, то есть тех, в которых измеряется стоимость валютных портфелей, используемых при хеджировании.

- Разработать компьютерную программу, позволяющую проводить расчеты по методу хеджирования на основе эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов в случае нескольких коинтегрированных наборов валютных курсов на реальных данных.

- Выявить закономерности динамики валютных курсов, связанные с различной длительностью временных промежутков между последовательными изменениями цен.

- Предложить метод преобразования посекундных статистических данных в модельную информацию, учитывающий особенности скоростей изменения валютных курсов.

- Показать, что использование модельной информации позволяет получить статистически значимую эконометрическую оценку взаимосвязи валютных курсов в тех случаях, когда её нельзя получить по обычным ценам закрытия.

Объектом исследования является валютный рынок Forex. Предмет исследования — взаимосвязь валютных курсов с точки зрения её использования для построения хеджирующих валютных портфелей.

Теоретической и методологической основой исследования явились труды отечественных и зарубежных учёных, а также материалы научных конференций. Использовались модели и методы эконометрики (наиболее активно — метод Йохансена для оценки коинтеграционных соотношений и проверки соответствующих статистических гипотез) и теории экстремальных задач. Информационной базой исследования послужили данные о динамике валютных курсов на рынке Forex, доступные на http://ratedata.gaincapital.com. Обработка статистических данных проводилась с использованием стандартных подпрограмм статистического пакета «R», а также программ, написанных автором на языках «R», «С» и «Objective Caml».

Научная новизна работы состоит в следующем:

- Метод хеджирования на основе эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов развит на случай нескольких коинтегрированных наборов валютных курсов. В диссертации впервые поставлена специфическая для этого случая задача по поиску оптимальной (с точки зрения наименьшей дисперсии отклонения реплицирующего портфеля) комбинации таких наборов. Для случая двух коинтеграционных соотношений решение этой оптимизационной задачи найдено в явном виде.

- Проверена эффективность разработанного метода хеджирования с использованием нескольких коинтеграционных соотношений. Анализ большого количества наборов валютных пар (около 1800 наборов из более чем 30 валютных пар) показал, что применение метода при построении хеджирующих портфелей даёт снижение дисперсии отклонения реплицирующего портфеля от хеджируемого обязательства до 0.55 — 0.7 дисперсии, получающейся при использовании одного коинтеграционного соотношения.

- Обоснован выбор базовых валют, в которых наиболее целесообразно сравнивать стоимости других валют при построении хеджирующего портфеля. В качестве базовых валют были проанализированы японская иена, американский доллар, евро, фунт стерлингов и австралийский доллар. Сравнение количеств коинтегрированных наборов и точностей реплицирования показало, что на роль базовых наиболее подходят американский доллар и австралийский доллар, а также, хотя и в меньшей степени, фунт стерлингов.

- Разработана компьютерная программа, позволяющая проводить расчёты по предложенному в диссертации методу снижения дисперсии отклонения реплицирующего портфеля на реальных данных. В качестве входных параметров программа получает файл, содержащий временные ряды валютных пар, название базовой валюты и валюты, обязательство по поставке которой будет хеджироваться, а также требуемый для оценки коинтеграционных соотношений уровень значимости. В расчётах программа использует метод Йохансеиа.

- На основе предложенного разделения динамики цен на «быстрые» и «медленные» периоды, то есть периоды, состоящие соответственно из подряд идущих коротко и долгоживущих (с точки зрения экзогенно заданного порогового значения, имеющего порядок в десятки секунд) цен, выявлены следующие закономерности: корреляция «быстрых», но не «медленных», приростов цен с недельными приростами; значительно большее, по сравнению с «медленными», количество экстремальных значений среди «быстрых» приростов. Показано, что эти закономерности сохраняются при выборе порогового значения времени в определённом диапазоне, и предложены подходы к определению этого диапазона.

- Предложен метод формирования модельной информации: каждый промежуток времени следует характеризовать не последней ценой (ценой закрытия), а ценой закрытия последнего за этот промежуток «быстрого» периода. Автором был разработан ряд компьютерных программ, производящих выборку этой модельной информации из посекундных статистических данных в зависимости от заданного порогового значения времени. значимости коинтеграционных соотношений показало, что у коинтеграционных соотношений, оценённых по модельной информации, статистическая значимость существенно выше, а характер изменения этой значимости со временем для обоих типов данных одинаков. Кроме того, количество коинтегрированных наборов при использовании модельной информации существенно меньше зависит от частоты данных, то есть модельная информация в этом смысле даёт более устойчивые результаты.

Теоретическая значимость работы состоит в развитии с использованием аппарата экстремальных задач методики хеджирования на основе эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов на случай нескольких коинтеграционных соотношений, что позволяет, используя специфику этого случая, строить более эффективные хеджирующие ■ стратегии. Теоретическое значение имеет предложенное в диссертации разделение динамики цен на «быстрые» и «медленные» периоды, основанием для которого служат выявленные в работе существенные отличия в их статистических свойствах. Такое разделение позволяет получать модельную информацию, использование которой повышает статистическую значимость эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов по сравнению с использованием обычных цен закрытия.

Практическая значимость работы состоит в том, что предложенный в ней метод снижения дисперсии отклонения реплицирующего портфеля от хеджируемого обязательства может быть использован при хеджировании обязательств по поставке валюты на валютном рынке Рогех. Предложенный в работе подход по разделению динамики цен на «быстрые» и «медленные» периоды также имеет практическое значение, поскольку позволяет оценивать коинтеграционые соотношения по менее частотным данным, снижая, тем самым, вычислительные затраты.

Основные результаты работы неоднократно докладывались на научном семинаре "Динамические модели экономики" кафедры "Математические методы анализа экономики" экономического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (последний доклад — в марте 2009 года). Основные результаты были представлены на международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2009" (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, апрель 2009) и на межфакультетском научно-исследовательском семинаре «Финансовая Эконометрика» (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, март 2009).

Работа объёмом 135 стр. состоит из введения, трёх глав, заключения, списка используемой литературы и трёх приложений.

В первой главе даётся обзор эконометрических методов оценки коинтеграционных соотношений и проверки соответствующих гипотез. Описываются современные методы хеджирования финансовых обязательств, а также работы, посвящённые исследованию коинтеграции на рынке Богех.

Во второй главе предлагается методика, позволяющая снижать дисперсию отклонения реплицирующего портфеля, строящегося на основе коинтеграционных соотношений, от хеджируемого валютного курса. Также во второй главе демонстрируется особенность процессов валютных курсов, допускающая их представление в виде чередующихся периодов двух типов («быстрых» и «медленных»). На основе этой особенности предлагается методика формирования модельных данных путём преобразования секундных статистических данных по определённым правилам.

Третья глава посвящена поиску коинтеграционных соотношений на рынке Богех и проверке того, насколько хорошо работают методики, предложенные во второй главе.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Соколов, Павел Иванович

Основные результаты и выводы работы.

Проведённое исследование позволило сформулировать следующие выводы и результаты:

1. Анализ подходов к решению задачи хеджирования на финансовых рынках показал, что имеется возможность усовершенствовать метод хеджирования на основе эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов, введя в рассмотрение случай нескольких коинтеграционных соотношений.

2. Анализ статистических данных по рынку Богсх позволил сделать вывод о том, что наличие нескольких коинтеграционных соотношений является достаточно распространённым и, следовательно, задача по разработке методов хеджирования, специфичных для данного случая, актуальна и отвечает особенностям валютного рынка.

3. Разработан метод хеджирования, позволяющий использовать специфику случая нескольких коинтеграционных соотношений. Согласно этому методу, реплицирующий портфель строится как комбинация имеющихся коинтеграционных соотношений. Он может быть найден через решение поставленной в диссертации задачи по поиску оптимальной, с точки зрения наименьшей дисперсии отклонения реплицирующего портфеля, комбинации коинтеграционных соотношений. Для случая двух коинтеграционных соотношений решение этой оптимизационной задачи получено в явном виде.

4. На практических примерах показано, что положительный эффект от применения предложенной усовершенствованной методики хеджирования состоит в снижении дисперсии отклонения реплицирующего портфеля от хеджируемого обязательства на 30 — 40%.

5. Разработана компьютерная программа «CointegCurrencyHedge», позволяющая проводить более быстрые, по сравнению со стандартными статистическими пакетами, расчёты по предложенной усовершенствованной методике хеджирования.

6. Показано, что динамику валютных курсов можно рассматривать как чередование периодов двух различных типов, названных в работе «быстрыми» и «медленными». На многочисленных примерах продемонстрированы ключевые отличия «быстрых» приростов цен от «медленных»: высокая корреляция «быстрых» (но не «медленных») приростов с недельными приростами и значительно большая по сравнению с «медленными» зависимость «быстрых» приростов от времени. Выявление этих отличий позволило разработать оригинальный метод формирования модельной информации.

7. Разработан метод формирования модельной информации путём преобразования посекундных статистических данных, основанный на принципе разделения динамики цен на «быстрые» и «медленные» периоды. Например, поминутная модельная информация такого типа будет состоять из цен закрытия последних для данной минуты «быстрых» периодов.

8. На практических примерах доказано, что коинтеграционные соотношения, оценённые по ценам закрытия «быстрых» периодов, обладают существенно более высоким уровнем статистической значимости, чем те, которые оценивались по обычным ценам закрытия подобной частоты. В то же время, характер динамических изменений статистической значимости таких оценок совпадает для модельной информации и для обычных цен закрытия аналогичной частоты. Таким образом, модельная информация в более явном виде описывает те же тенденции, что и обычные цены закрытия.

Заключение.

Настоящая работа была посвящена изучению возможностей использования коинтеграции при построении торговых стратегий на валютном рынке. Обзор литературных источников, представленный в первой главе диссертации, показал, этот и смежные вопросы активно исследовались на протяжении последних 15-20 лет. Эти исследования позволяют говорить о том, что коинтеграция на валютных рынках — скорее правило, чем исключение. Кроме того, анализ исследований на эту тему позволяет говорить о двух известных способах использования коинтеграции участниками рынка: хеджирование и торговля парами.

Метод комбинирования коинтеграционных соотношений, призванный повысить эффективность хеджирования на основе коинтеграции, предложен во второй главе диссертации. Там же продемонстрирован эффект от его применения на реальных данных. Кроме того, во второй главе предложен метод получения модельных данных, учитывающий скорости изменения валютных курсов.

Третья глава посвящена исследованию вопросов о том, насколько именно коинтеграция распространена на валютном рынке, насколько часто встречаются случаи, допускающие применение метода, предложенного во второй главе, и насколько такое применение оказывается эффективных. Для ответа на эти вопросы используются современные данные за разные временные периоды, разной частоты и для разных валют. Все эти изыскания позволяют утверждать достаточную распространённость тех случаев, когда предложенным методом можно повысить эффективность хеджирования на основе коинтеграции, и достаточную эффективность такого применения (снижение дисперсии отклонения в среднем около 30%).

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Соколов, Павел Иванович, 2010 год

1. Акелис Стивен Б., 1999, Технический анализ от А до Я

2. Буренин А.Н., 2008, Управление портфелем ценных бумаг, Москва Научно-техническое общество имени академика С.И. Вавилова

3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А., 2000, Эконометрика. Начальный курс, Дело

4. Малы хин В.И., 2003, Финансовая математика, Юнити, Москва

5. Мантенья Росарио Н. Стенли Юджин Г., 2009, Введение в эконофизику: Корреляции и сложность в финансах, У PC С

6. Медведев Г.А., 2003, Математические основы финансовой экономики Электронный ресурс.: Учебное пособие Научно-методический центр "Электронная книга БГУ" Мельников А.В. Волков С.Н. Нечаев M.JL, 2001, Математика финансовых обязательств, ГУ ВШЭ

7. О'Брайен Дж. Шривастава С., 1995, Финансовый анализ и торговля ценными бумагами, Дело Лтд

8. Петере Э., 2000, Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка, Мир

9. Петере Э., 2004, Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории хаоса в инвестициях и экономике, Интернет-трейдинг

10. Сорнетте Д., 2003, Как предсказывать крахи финансовых рынков. Критическиесобытия в комплексных финансовых системах

11. Тьюлз Р., Брэдли Э., Тьюлз Т., 1997, Фондовый рынок, Инфра-М

12. Уотшем Терри Дж. Паррамоу Кейт, 1999, Количественные методы в финансах, Финансы

13. Шарп Уильям Ф., Александер Гордон Дж., Бэйли Джеффри В., 2001, Инвестиции, Инфра-М

14. Ширяев А. Н., 1998, Основы стохастической финансовой математики, Фазис Alexander С., 2001, Market models. A guide to financial data analisys, John Wiley & Sons Ltd

15. Alexander С. O., 1999, Optimal hedging using cointegration, Philosophical Transactions of the Royal Society A 357, 2039-2058

16. Alexander C. O., 1999, Correlation and Cointegration in Energy Markets, Managing Energy Price Risk (2nd Edition) RISK Publications pp291-304

17. Alexander C. O., Dimitriu A., Cointegration based trading strategies: a new approach to enhansed index tracking and statistical arbitrage

18. Appleby John A. D., Edelman David C., Miller John J.H. (Eds.), 2008, Numerical methods for finance, Chapman & Hall/CRC

19. Baillie Richard T., 1989, Econometric tests of rationality and market efficiency, Econometric reviews, 8(2), 151-186 (1989)

20. Bauwens Luc, Pohlmeier Winfried , Veredas David (Eds.) , 2008, High frequency financialeconometrics recent developments , Physica-Verlag Heidelberg

21. Booker Rob, 2006, The currency trader's handbook strategies for Forex success

22. Boswijk H. Peter, 2001, Testing for a Unit Root with Near-Integrated Volatility, Tinbergen1.stitute Discussion Paper, TI 2001-077/4

23. Breitung Jorg, Hassler Uwe, 2002, Inference on the cointegration rank in fractionally integrated processes , Journal of Econometrics 110 (2002)

24. Breton Michele, Ben-Ameur Hatem, 2005, Numerical methods in finance, Springer Brockwell Peter J., Davis Richard A., 2002, Introduction to time series and forecasting , Second edition, Springer

25. Brooks Chris, 2008, Introductory econometrics for finance, Second edition, Cambridge university press

26. Burke Simon P., Hunter John, 2005, Modelling non-stationary time series , PALGRAVE MACMILLAN

27. Campbell John Y. Lo Andrew W. McKinlay A. Craig, 1997, The econometrics of financial markets, Princeton university press

28. Cont R., 2001, Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues, Quantitative Finance, vol 1 (2001)

29. Davidson James, 2002, A model of fractional cointegration, and tests for cointegration using the bootstrap , Journal of Econometrics 110 (2002) . Davies R. B„ Harte D. S., 1987, Testing for Hurst effect, Biomelrika, Vol. 74, № 1, (Mar. 1987)

30. Dittmann Ingolf, 2004, Error correction models for fractionally cointegrated time series, Journal of time series analisys, Vol. 25, № 1

31. Do Binh, Faff Robert, Hamza Kais, 2006, A new approach to modeling and estimation for pairs trading

32. Dolado Juan J., Gonzalo Jesus, Mayoral Laura, 2002, A Fractional Dickey-Fullcr Test for Unit Roots , Econometrica, Vol. 70, No. 5 (Sep., 2002)

33. Dunis Christian L. Ho Richard, 2005, Cointegration Portfolios of European Equities for Index Tracking and Market Neutral Strategies

34. Fabozzi Frank J., Kolm Petter N„ Pachamanova Dessislava A., Focardi Sergio M., 2007,

35. Robust portfolio optimization and management, John Wiley & Sons Inc.

36. Florens Jean-Pierre, Marimoutou Velayoudom, Peguin-Feissolle Anne , 2007, Econometricmodeling and inference, Cambridge university press

37. Focardi Sergio M., Fabozzi Frank J., 2004, The mathematics of financial modeling and investment management, John Wiley & Sons Inc.

38. Gavrishchaka Valeriy V., Discovery of multi-spread portfolio strategies for weakly-cointegrated instruments using boosting-based optimization

39. Ghosh Asim, 1996, Cross-hedging foreign currency risk: empirical evidence from an errorcorrection model Review of Quantitative Finance and Accounting, 6, 1996

40. Goodall Thilo, 2002, Adequate decision rules for portfolio choise problems, PALGRAVE

41. Hamilton James D., 1994, Time series analisys, Princeton University Press

42. Harris R.I.D., 1995, Using cointegration analisys in econometric modelling, Prentice Hall

43. Harris Richard D. F., Shen Jian, Stoja Evarist, 2007, The Limits to Minimum-Variance

44. Hedging, University of Exeter XFi working paper series №07-12

45. Heij Christiaan, de Boer Paul, Franses Philip Hans, Kloek Teun, van Dijk Herman K. , 2004, Econometric methods with applications in business and economics, Oxford university press

46. Henderson Callum, 2002, Currancy strategy. A practioneer's guide to currency trading, hedging and forecasting, John Wiley & Sons Ltd

47. Higham Desmond J., 2004, An introduction to financial option valuation. Mathematics, stochastics and computation, Cambridge university press

48. Hosking J.R.M., 1981, Fractional differencing, Biometrika, Vol. 68, № 1 (Apr. 1981) Kargin Vladislav, 2004, Optimal convergence trading

49. Kirchgassner Gebhard, Wolters Jiirgen, 2007, Introduction to modern time series analysis , Springer1.vy George, 2004, Computational finance numerical methods for pricing financial instruments, Elsevier

50. Marinuccia D., Robinson P.M., 2001, Semiparametric fractional cointegration analysis, Journal of econometrics 105 (2001)

51. Marmol Francesc, Escribano Alvaro, Aparicio Felipe M., 2002, Instrumental variable interpretation of cointegration with inference results for fractional cointegration, Econometric Theory, 18,2002

52. Martin Vance L., Wilkins Nigel P., 1999, Indirect estimation of ARFIMA and VARFIMA models , Journal of econometrics 93 (1999)

53. Mills Terence C., Markellos Raphael N., 2008, The econometric modelling of financial time series, Cambridge university press

54. Odaki Mitsuhiro, 1993, On the invertibility of fractionally differenced ARIMA process, Biometrika, vol. 80, № 3 (Sep. 1993)

55. Pardo Robert, 2008, The evaluation and optimization of trading strategics , Sccond edition, John Wiley & Sons, Inc.

56. Perron Pierre, 1990, Testing for a Unit Root in a Time Series with a Changing Mean ,

57. Phillips Peter C. B., Loretan Mico, 1991, Estimating Long-Run Economic Equilibria , The Review of Economic Studies, Vol. 58, No. 3, Special Issue: The Econometrics of Financial Markets (May, 1991)

58. Phillips Peter C. B., Perron Pierre, 1988, Testing for a Unit Root in Time Series Regression, Biometrika, Vol. 75, No. 2 (Jun., 1988)

59. Prigent Jean-Luc, 2007, Portfolio optimization and performance analisys, Chapman & Hall/ CRC

60. Robinson Peter M., Yajima Yoshihiro, 2002, Determination of cointegrating rank infractional systems, Journal of econometrics 106 (2002)

61. Rosenstreich Peter, 2005, Forex revolution, Financial Times Prentice Hall

62. Sarno Lucio, Taylor Mark P., 2003, The economics of exchange rates, Cambridge universitypress

63. Shaffer David R., Demaskey Andrea, 2005, Currency Hedging Using the Mean-Gini Framework Review of Quantitative Finance and Accounting, 25: 125-137, 2005 Sowell Fallaw, 1990, The fractional unit root distribution, Econometrica, Vol. 58, №. 2, (Mar, 1990)

64. Stein Jerome L., 2006, Stochastic optimal control, international finance and debt crises, Oxford university press

65. Teyssiere Gilles, Kirman Alan P. (Eds.), 2007, Long memory in economics, Springer Tieslau A. Schmidtb Peter Baillie Richard T., 1996, A minimum distance estimator forlong-memory processes, Journal of Econometrics 71 (1996)249-264

66. Thompson G.W.P., Optimal trading of an asset driven by a hidden Markov process in the presence of fixed transaction costs

67. Tsay Wen-Jen, Chung Ching-Fan, 2000, The spurious regression of fractionally integrated processes , Journal of Econometrics 96 (2000)

68. Velasco Carlos, 2003, Gaussian semi-parametric estimation of fractional cointegration, Journal of time series analisys Vol. 24, №. 3

69. Vidyamurthy Ganapathy, 2004, Pairs trading. Quantative methods and analisys, John Wiley & Sons Inc.

70. Whistler Marc, 2004, Trading pairs. Capturing profits and hedging risk with statistical arbitrage strategies, John Wiley & Sons Inc.

71. Wilcox Stephen E. Geppert John M., 2007, An error-correction model for forecasting changes in foreign currency futures spreads, Journal of economics and finance, 9 Volume 31 9 Number 19 Spring 2007

72. Wright Jonathan H., 1999, The local asymptotic power of certain tests for fractional integration, Econometric theory, 15

73. Yor Marc (Editor), 2008, Aspects of mathematical finance, Springer