Дзета-функции монодромии и диаграммы Ньютона тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Гусев, Глеб Геннадьевич

• Гусев, Глеб Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гусев, Глеб Геннадьевич

1 Введение

2 Торическая геометрия и алгебраические инварианты

2.1 Дзета-функции и интегрирование по эйлеровой характеристике

2.1.1 Локальные дзета-функции.

2.1.2 Глобальные дзета-функции.

2.1.3 Формула А'Кампо и принцип локализации.

2.2 Торические разрешения и компактификации.

2.2.1 Вееры и торические многообразия.

2.2.2 Диаграммы и многогранники Ньютона, достаточно мелкие вееры и разрешения.

2.3 Инварианты и диаграммы Ньютона.

2.3.1 Эйлерова характеристика полного пересечения

2.3.2 Формулы для дзета-функций ростков.

2.3.3 Формулы для дзета-функций многочленов.

3 Дзета-функция деформации ростка

3.1 Формула типа Варченко

3.2 Формула типа А'Кампо.

3.3 Доказательство теоремы.

3.4 Дзета-функция деформации ростка полного пересечения

4 Многообразия бифуркаций многочлена одной переменной

4.1 Случай многочлена степени два.

4.1.1 Комбинаторно-геометрические следствия.

4.2 Случай многочлена степени три.

5 Дзета-функция многочлена на полном пересечении

5.1 Дзета-функция полиномиальной деформации.

5.1.1 Формулы для дзета-функций деформации.

5.1.2 Доказательство теорем.

5.2 Дзета-функция многочлена на полном пересечении.

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дзета-функции монодромии и диаграммы Ньютона»

Моему папе, Геннадию Гусеву

Диссертация посвящена вычислению дзета-функций монодромий некоторых аналитических и алгебраических функций и их деформаций в терминах многогранников Ньютона. Задача вычисления топологических инвариантов алгебраических многообразий или ростков аналитических пространств в терминах многогранников Ньютона определяющих их уравнений была поставлена В. И. Арнольдом в начале 70-ых годов. Она была мотивирована тем фактом, что для уравнений общего положения с фиксированными многогранниками Ньютона дискретные инварианты множества решений одинаковы и зависят только от многогранников. .

Первый общий результат в этом направлении был получен А. Кушни-ренко. Он был развит в работах А. Хованского, Д. Бернштейна и других. Кроме того, А. Хованский предложил наиболее эффективный подход к решению таких задач с использованием торических разрешений, связанных с многогранниками Ньютона. Первая формула для дзета-функции монодромии ростка аналитической функции в терминах его диаграммы Ньютона была получена А. Варченко в 1976 г. Она была обобщена в нескольких направлениях. М. Ока получил ее аналог для некоторых полных пересечений. С. М. Гусейн-Заде, И. Луенго и А. Мелле-Эрнандес определили дзета-функцию монодромии ростка мероморфной функции и получили формулу, выражающую эту дзета-функцию в терминах диаграмм Ньютона ростков числителя и знаменателя.

Известны также некоторые «глобальные» аналоги перечисленных результатов. Так, для многочлена Лорана на комплексном торе получена формула, выражающая его дзета-функцию на бесконечности в терминах его многогранника Ньютона (А. Либгобер, С. Спербер, 1995).

Ю.Матсуи и К.Такеучи обобщили этот результат, получив формулу для дзета-функции на бесконечности многочлена на некоторых полных пересечениях.

С. М. Гусейн-Заде и Д. Сирсма предложили «принцип локализации». Он связывает дзета-функцию деформации сечения одномерного расслоения с дзета-функциями ростков деформации в различных точках многообразия (2007). Эта связь выражается в терминах интегрирования по эйлеровой характеристике, которое было введено О. Виро в 1988 году. Принцип локализации оказывается удобным языком для получения некоторых новых результатов в этом направлении.

Структура диссертации

Во второй главе вводятся основные понятия, рассматриваемые в работе, кратко излагаются классические методы, связанные с подсчетом эйлеровых характеристик и дзета-функций, приводятся некоторые формулы для инвариантов, полученные ранее.

В первом параграфе содержатся определения дзета-функций моно-дромий в различных постановках, которые далее рассматриваются в работе. Приведено понятие интегрирования по эйлеровой характеристике и рассмотрены некоторые технические утверждения, в частности, аналоги формулы Фубини и теоремы о замене переменной в интеграле. Сформулированы теоремы, лежащие в основе техники вычисления дзета-функций. Первой из них является формула А'Кампо (1975), выражающая дзета-функцию ростка функции через его разрешение. Также сформулировано обобщение формулы А'Кампо в терминах интеграла по эйлеровой характеристике для модификации особенности, которая является изоморфизмом вне множества нулей. Приводится «принцип локализации» С. М. Гусейн-Заде и Д. Сирсмы.

Во втором параграфе изложен метод подсчета инвариантов алгебраических и аналитических множеств, разработанный А. Хованским в 1977, 1978 годах. Для многообразия общего положения, заданного в комплексном торе, строится подходящая торическая компактификация, в которой замыкание многообразия неособо и трансверсально орбитам компак-тификации. Соответственно, для ростка невырожденного полного пересечения строится торическая модификация, разрешающая особенности ростка.

В третьем параграфе приводятся основные теоремы, полученные ранее, для вычисления эйлеровых характеристик и дзета-функций в терминах многогранников и диаграмм Ньютона определяющих уравнений. Это формула Бернштейна-Кушниренко-Хованского для эйлеровой характеристики невырожденного полного пересечения в торе, формула Варчен-ко для дзета-функции ростка функции в комплексном аффинном пространстве, обобщения формулы Варченко, полученные М. Ока с одной стороны-и С. М. Гусейн-Заде, И. Луенго и А. Мелле-Эрнандесом с другой. В конце приводится формула для дзета-функции на бесконечности многочлена на невырожденном полном пересечении в аффинном пространстве, полученная А. Либгобером и С. Спербером и обобщенная Ю. Матсуи и К. Такеучи.

В третьей главе получены формулы для дзета-функции невырожденной деформации ростка функции и дзета-функции невырожденной деформации ростка полного пересечения. (Понятие дзета-функции мо-нодромии деформации было введено С. М. Гусейн-Заде и Д. Сирсмой для исследования монодромий семейств полиномиальных функций.) Эти формулы обобщают формулу Варченко, формулу Ока, и формулу, полученную Гусейн-Заде, Луенго и Мелле-Эрнандесом.

Пусть ■ • ■, ^ - ростки голоморфных функций на Сп+1 = Сст х в начале координат. Они задают деформацию

Д^г) := г = 1,2,., к ростков функций := Д0 в точке 0 € .

Для произвольного множества I С {0,1,.,п} обозначаем через К7, Г'(.Р{) множества {к | к* = 0, г £ 1} С и Г(^) П Е7 соответственно (где координаты ко, к\,., кп отвечают переменным сг, ¿1,., гп соответственно, Г— диаграмма Ньютона ростка Fi). Множество 2/ С (К7)* состоит из примитивных целочисленных ковек-торов. Подмножество ZI++ С ZI состоит из ковекторов, все компоненты которых строго положительны. Если Г1^) ф 0, для каждого ковек-тора а € определена грань Г/,а(^) С на которой достигает своего минимального значения.

Для каждого подмножества I е {0,1,., п}, содержащего число О, рассмотрим множество — {з £ {1,2,.,к} | Г7 (2^-) ф 0} и рациональную функцию С^!,^,.,.^^)' определенную следующим образом. Для I ф {0} положим:

П .г1-"^/))), где I = \1\ — 1, -Л--вектор вЕ'с единственной ненулевой координатой дк0 ко = 1, {Э1,32,---,3к(1)} = ОЪ(х1,х2,.,хк) = где

•]г - однородная часть степени I рассматриваемого ряда, однородный многочлен степени I от набора /-мерных тел понимается как соответствующая линейная комбинация их целочисленных смешанных объемов. Пусть = - *)> если Г<0}(^) = 0 при всех i = 1, 2,., к, и CFbF2,.,Ffc,(0 = 1 в остальных случаях.

Теорема. Пусть система ростков функций Fi, F2,., Fk невырождена относительно своих диаграмм Ньютона r(Fi), ., Г(^). Тогда имеют место следующие формулы для дзета-функции деформации /¿)(Т ростка множества {/i = /2 = . = Д = 0}, рассмотренного в (С*)п и С" соответственно:

С/ЫсДО = П CFi.il,.

I: 0eic{0,l,.,n}

Рассмотрим набор ростков функций F0,Fi,. ,Fk на (Сп+1,0) вида F0(a, z) = /0(z) - a, F{{a, z) = /¿(z), г = 1,2,., к, где {/¿} — невырожденная система ростков функций на (Сп,0). Приведенная теорема дает формулу для дзета-функции С/окСО = C/i,<T|c«(i). гДе V = {/1 = h = . ■ = fk = 0} С (С", 0) — росток невырожденного полного пересечения.

Следствие. Формула М. Ока для дзета-функции ростка функции на невырожденном полном пересечении останется верной, если отказаться о.т условия «удобства» («convenience»).

Изучение дзета-функций полиномиальных деформаций тесно связано со следующим вопросом. Пусть коэффициенты многочлена Pz.it) = Ро{ъ)Ьк + . + рк{ъ) есть многочлены Лорана от п комплексных переменных (21, г2,., гп) = ъ. Пространство параметров (С*)п, где С* = С \ 0, разбивается на страты, соответствующие различным степеням с^ Рг < к многочлена Рх и различным комбинациям совпадения его корней. Для многочлена общего положения с фиксированными многогранниками Ньютона 60,61,. ,6к коэффициентов Ро,Р1,. ,Рк эйлеровы характеристики этих стратов фиксированы. Возникает задача вычисления этих эйлеровых характеристик в терминах многогранников Ньютона. В главе 4 получены формулы, выражающие их в терминах многогранников 6{ для случаев к — 2,3.

При к = 2 множество (С*)" параметров разбивается на 5 стратов — К: = 2, корни многочлена Рх различны; Ь: deg(Pz) — 2, корни совпадают; М: <1её(Рг) = 1; N1 = 0; О: Р2 = 0.

Теорема. Для многочленов Лорана общего положения с фиксированными многогранниками Ньютона 8i, г = 0,1,2, имеем:

Х(К) =(—1)"п! [8% + 25" + <5») + С%(8*,82) + (&(80,8Х)+

Х(Ь) =(-1Г-1п! [25? + С%{6о, 5.) + 52) + 8г) + ¿1, й)], Х(М) =(-1 )"-1п! № + (¿№0,81)}, Х(Ю =(-1)»п! [<ДО„А) + О^(30,5и62)], где 8, = и 1/2(<50-Ь<^2)) 5 (•) обозначает выпуклую оболочку, Н—сумма Минковского.

Для приведенного многочлена степени два Рх (£) = £2 +Р1(г) ¿+р2(2)> используя метод торических компактификаций, можно доказать индукцией по п еще одну формулу для эйлеровой характеристики страта Ь:

Х(Ь) = (-г)"-1™! [(25,)" - <22(2<М1) +

Две формулы для страта оказываются различными. Это приводит к следующим комбинаторно-геометрическим следствиям.

Предложение. Пусть выпуклые тела 5о, ¿г, ¿12 С Еп связаны соотношением £о = {¿"х и в2). Тогда

Дп(50) 5Ь б'г) = 0, где Яп(х0,х1,х2) = (2П - 2)х% + 0^{хг,2х2) ~ О^2х0,хх) - Я%{х<>,2х2) — однородный многочлен степени п. «Прямое» геометрическое доказательство этих соотношений нам не известно.

Пример. Для выпуклых фигур 5о, £1, ¿г на плоскости, связанных соотношением 5о = и в2), имеется тождество:

50 - йХ^о - = 0.

При к = 3 множество (С*)" параметров разбивается на 8 стратов. Кроме 5-ти стратов К, Ь, М, ./V, О появляется еще 3 — Н: = 3, корни многочлена Рг различны; I: = 3, два корня из трех совпа дают; Л: deg(Pz) = 3, все три корня совпадают.

Рассмотрим вложения М" с Кп+1 С Кп+2, где первое пространство снабжено координатами к = (кг, к2 . ■, кп), второе — дополнительной координатой к1, а третье — еще одной координатой ка. Обозначим через 'щ,'иа точки в Мп+2 с единственной ненулевой координатой кг = 1 и единственной ненулевой координатой ка — 1 соответственно. Обозначим Д = ((¿о + Зг>4) и + 2г^) и (52 + г>4) и ¿з), Д 1,2,3 — {(^ + 2уг) и (62 + уг) и 53>, = и (¿г- + (3 - г)г/4)>.

Теорема. Для многочленов Лорана общего положения с фиксированными многогранниками Ньютона <5», г = 0,1,2,3, имеем:

Х(Я) =(-1)пп! [(п + 1)(п + 2)д2+2(Эо,2>1, ©2, Эз)+ + {п + 1)(ДП+1 + <2£+1(й>,Лш))

- 2 5% - 6" - <Э%(60,53) - ДОь ¿2, ¿з) - ДО о, ¿1, ¿2, ¿з)], =(-1)п~1п! [2(п + 1)(п + 2)дГ2(^о, 2>з)+ (п + 1)(дп+1 + дГ1№,А12з))

- З^о - - ¿з) - 2ДО1, ¿2, (Уз) - 2<да0,¿2, «Уз)], х(7) =(-1)"п! [(п + 1)(п + 2)д2+2(5?о, ©1, ®2, Эз) ~ <2%(¿ъ ¿2, з)

-ДОоААЛ)], х(К) =(—1)п~1го! [(п + ШГ^о, Аш) - - ДОо, ¿з)+ ДОо, ¿1,¿2) + 6г)],

Х(Ь) =(—1)"п! [(п + Аш) - 2£0" - ДОоЛЬ

- ДОо, ¿1) + ДОо, ¿1, ¿2) + ДОо, ¿1, ¿2, ¿з)], Х(М) =(—1)пп! [д^(<50, ¿1) + ДО0, 61,62)], Х(ЛГ) =(-1)"-^! [<Э5(50, ¿1, ¿г) + ДОо, 51,52,5з)], х(0) =(-1)пп\С%(б0,6и62,53).

В пятой главе получены некоторые «глобальные» аналоги формул для дзета-функций. Это формулы для дзета-функций в нуле и на бесконечности однопараметрической полиномиальной деформации полного пересечения в комплексном торе. В частности, из этих формул выведена формула для дзета-функции в нуле многочлена на полном пересечении, которую можно считать аналогом формулы Либгобера-Спербера.

В первом параграфе получен следующий результат. Пусть ¿Ъ, • • ■, ^ — набор функций на С", заданных как многочлены от п комплексных переменных г = (г\, г2,., гп). Для произвольного множества I С {1,2,., тг} обозначим через А\ множество Д* П М7, где Аг = А{(Р) — многогранник Ньютона многочлена Если Д[ ф 0, для каждого ковектора а е. Ъ1 определена грань Д[,а С Д[, на которой а|д/ достигает своего минимального значения.

Пусть индексное множество I содержит число п. Обозначим через ZI+ С ZI ( 2/ С 2/) подмножество ковекторов а = . + ап йкп, последняя компонента которых положительна: ап > 0 (последняя компонента которых, отрицательна: ап < 0). Координаты &2,., кп пространства К" здесь отвечают переменным г\, г^-,., гп соответственно. Рассмотрим рациональные функции Сд^^дДО» Сд~д2.дк(0> определенные следующим образом. Обозначим: Е{1) — {3 е {1,2,., к} | 2<у ^ 0}. Для I ф {п} имеем:

Й.Л,.д.« = п .А>"<»\

П (1-- .4«о\ где I = |/| - 1, {з\,]2, ■ ■ ■ ,]к{1)} = Введем обозначения:

СЙд2,.,д,(г) = СЙЙ.= - *). если А*{п} = 0 ПРИ всех < =

1,2,., к, и сЦда,.^^) = = 1 в остальных случаях.

Теорема. Для многочленов Р\, ,., ^ общего положения дзета-функции в нуле (на бесконечности) деформации /г, (-2^1», • • • ,271-1) := ^(¿1,22,., г„) пространства {Д = Д = . = Д = 0} С С"-1, где Л = /¿,о, вычисляются по следующим формулам:

Сгп|уп(с*)п = Сд^дг,'.^^)»

С*п|Д0 = П ^ДьДг.¿Л*)'

I: п6/С{1,2.п} п|уп(С)" ' — . П Сд'ьДа.аД^)

I: ПЕ/С{1,2.п} здесь У = {г е С" I ^(г) = = . = ^(г) = 0} — множество нулей).

Во втором параграфе получена формула для дзета-функции в нуле многочлена на полном пересечении. Рассмотрим набор многочленов Л^о, {., от переменных ^1,22,., гп и множество V = {г е С" | = F2(z) = . =

Рк(т) = 0}. Пусть Дí = Д(Д) — многогранник Ньютона многочлена г = 0,1,., /с. Обозначим через £до множество ковекторов а € 2/, для которых тт(а:|д/) > 0. Если Дд = 0, имеем: ZIAo = 0. Обозначим: о;Д1.п а -.дй>\ где {З1,32,---,3т} = Р{1), тА1о(а) — тт(а|д/) — минимальное значение ковектора а на множестве Д^ и Я1к{х0,хг,. ,хк) = [П£=1 — п1о ттк , = Ок(хь ■ • •, хк) - д^иС^о, • • •, хк).

Теорема. Для многочленов /<о, ^,., общего положения

С*ыЛ*) = П С1о;Д1.

С{1,2,.,п}: 1ф<Ь

Благодарности

Хочу выразить благодарность Анатолию Вадимовичу Егорову, своему первому школьному учителю, при котором зародился мой интерес к математике; Борису Михайловичу Давидовичу и Юрию Витальевичу Че-канову, благодаря которым я получил первое представление об основах и принципах науки; моему другу и однокласснику Евгению Горскому за энергию и энтузиазм, которыми он меня заражал. Я признателен Ас-кольду Георгиевичу Хованскому за интересные лекции и личные беседы; а также своему деду, Владимиру Ильичу Бельтюкову, за моральную поддержку.

Особую благодарность хочу выразить Сабиру Меджидовичу Гусейн-Заде, моему научному руководителю, за постановку задач, поддержку, а главное - терпение. Спасибо!

Глава 2

Торическая геометрия и алгебраические инварианты

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гусев, Глеб Геннадьевич, 2009 год

1. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М., Особенности дифференцируемых отображений., М.: Наука, 1984.

2. Бернштейн Д. Н., Число корней системы уравнений, Функ. анал. и прил., 9: 3, с. 1-4, 1975.

3. Бернштейн Д. Н., Кушниренко А. Г., Хованский А. Г., Многогранники Ньютона, УМН, 31: 3, с. 201-202, 1976.

4. Буземан Г., Выпуклые поверхности, М.: Наука, 1964.

5. Варченко А. Н., Теоремы топологической эквисингулярности семейств алгебраических многообразий и семейств полиномиальных отображений, Изв. АН СССР. Сер. матем., 36: 5, с. 957-1019, 1972.

6. Кушниренко А. Г., Многогранник Ньютона и числа Милнора, Функ. анал. и прил., 9: 1, с. 74-75, 1975.

7. Кушниренко А. Г., Многогранник Ньютона и число решений системы к уравнений с к неизвестными, УМН 30, с. 266-267, 1975.

8. Милнор Дж., Особые точки комплексных гиперповерхностей., М.: Мир, 1971.

9. Хиронака X., Разрешение особенностей алгебраических многообразий над полями характеристики нуль, Математика, 9: 6, с. 2-70, 1965; 10: 1, с. 3-89, 1966; 10: 2, с. 3-58, 1966.

10. Хованский А. Г., Многогранники Ньютона и торические многообразия, Функ. анал. и прил., 11: 4, с. 56-64, 1977.

11. Хованский А. Г., Многогранники Ньютона и род полных пересечений, Функ. анал. и прил., 12: 1, с. 51-61, 1978.

12. Эстеров А. И., Индексы 1-форм, индексы пересечения и многогранники Ньютона, Матем. сб., 197: 7, с. 137-160, 2006.

13. A'Campo N., La fonction zeta d'une monodromie, Comm. Math. Helv., 50, p. 233-248, 1975.

14. Gusein-Zade S. M., Luengo I., Melle-Hernandez A., Partial resolutions and the zeta-function of a singularity, Comment. Math. Helv., 72: 2, p. 244-256, 1997.

15. Gusein-Zade S. M., Luengo I., Melle-Hernandez A., Zeta-functions for germs of meromorphic functions and Newton diagrams, Funct. Anal. Appl., 1998.

16. Gusein-Zade S. M., Siersma D., Deformations of polynomials and their zeta-functions, Journal of Mathematical Sciences, 144: 1, p. 3782-3788, 2007.

17. Kempf G., Knudsen F., Mumford D., Saint-Donat В., Toroidal embeddings I, Lecture Notes in Math., vol. 339, Springer-Verlag, 1973.

18. Lê Dung Trâng, Some remarks on relative monodromy, Real and complex singularities, Ed. by P. Holm, Nordhoff Publ., p. 397-403, 1977.

19. Libgober, A., Sperber, S., On the zeta function of monodromy of a polynomial map, Compositio Mathematica, 95: 3, p. 287-307, 1995.

20. Yutaka Matsui, Kiyoshi Takeuchi, Monodromy zeta-function at infinity, Newton polyhedra and constructible sheaves, arXiv: math. AG/0809.3149v3.

21. Oka M., Principal zeta-function of non-degenerate complete intersection singularity, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA., 37, p. 11-32, 1990.

22. Oka M., Non-degenerate complete intersection singularity, Paris: Hermann, Actualités Mathématiques, 1997.

23. Siersma D., Tibar M., Deformations of polynomials, boundary singularities and monodromy, Mosc. Math. J., 3, no. 2, p. 661-679, 2003.

24. Thom R., Ensembles et morphisms stratifies, Bull. Amer. Math. Soc., 75, p. 240-284, 1969.

25. Varchenko A. N., Zeta function of monodromy and Newton's diagram, Inv. Math. 37, p. 253-262, 1976.

26. Viro O. Y., Some integral calculus based on Euler characteristic, Lecture Notes in Math., vol. 1346, Springer-Verlag, p. 127-138, 1988.Работы автора по теме диссертации

27. Г. Г. Гусев, Эйлерова характеристика многообразия бифуркаций для многочлена степени 2, УМН, 63: 2, с. 167-168, 2008.

28. G. G. Gusev, Monodromy zeta-functions of deformations and Newton diagrams, Rev. Mat. Complut., 22: 2, p. 447-454., 2009.

29. G. G. Gusev, Monodromy zeta-function of a polynomial on a complete intersection and Newton polyhedra, proceedings of the conference «Topology, Geometry, and Dynamics: Rokhlin Memorial», p. 43-44, 2010.