Дырочные состояния в кубических полупроводниках и в низкоразмерных полупроводниковых гетероструктурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.10, доктор физико-математических наук Полупанов, Александр Федорович

• Полупанов, Александр Федорович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Полупанов, Александр Федорович

Введение

Глава 1. Спектры энергий и оптического поглощения мелких акцепторов в кубических полупроводниках S

1.1. Правило сумм для сечения оптического поглощения мелких примесей в кубических полупроводниках

1.2. Методы расчёта связанных состояний и состояни непрерывного спектра акцепторов в линейном приближении по параметру гофрировки

1.3. Спектры энергий и оптического поглощения мелких акцепторов в Ge

1.4. Влияние гофрировки валентных зон на ^ состояния мелких акцепторов

1.5. Спектры рз/2 акцепторов III группы в кремнии

Глава 2.0сновное состояние пары акцепторных примесных центров в кубическом полупроводнике

2.1. Поляризуемости и квадрупольные моменты примесей III группы в Ge

2.2. Основное состояние пары акцепторных примесных центров

Глава 3. Решения одночастичного уравнения Шредингера в случае матричных гамильтонианов с кулоновским слагаемым

3.1. Система уравнений для радиальных волновых функций

3.2. Поведение решений в окрестности точки г =

3.3. Решение. Окрестность регулярной особенности г =

3.4. Вычисление матриц

3.5. Построение решений в окрестности иррегулярной сингулярности г =

3.6. Сшивка решений. Сингулярная задача на собственные значения

3.7. Уравнение Шредингера в случае гамильтониана Латтинджера. Сферическое приближение

Глава 4. Влияние заряда глубокой примеси на оптические переходы в сложную валентную зону

4.1. Факторы Зоммерфельда при оптических переходах в сложную валентную зону

4.2. Сравнение с экспериментом

Глава 5. Спектры акцепторов в квантовых точках и дырочные состояния в квантовых ямах со сложным профилем потенциала

5.1. Оптические спектры акцептора в полупроводниковой квантовой точке

5.2. Дырочные состояния в квантовых ямах со сложным профилем потенциала 128 Заключение 143 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дырочные состояния в кубических полупроводниках и в низкоразмерных полупроводниковых гетероструктурах»

Актуальность темы. Интенсивные исследования кулоновских состояний дырок (в частности, состояний мелких акцепторов) в объемных кубических полупроводниках и в низкоразмерных полупроводниковых гетероструктурах, размерно-квантованных состояний дырок в структурах с квантовыми ямами ведутся уже много лет, и интерес к их изучению не ослабевает. Это связано, во-первых, со сложностью проблемы. Хорошо известно, что для зонной структуры кубических полупроводников с решеткой алмаза и цинковой обманки характерна сложная структура валентной зоны, а именно, вырожденный её максимум, наличие нескольких ветвей - зоны тяжелых и легких дырок и. спин-орбитально отщепленной зоны. Наличие кулоновского потенциала, создаваемого примесными центрами, или разрывов потенциала в низкоразмерных гетероструктурах, приводит к смешиванию дырочных состояний, относящихся к разным подзонам, что, в свою очередь, ведет к крайне сложному характеру уравнений приближения эффективной массы, решения которых дают энергии и волновые функции связанных состояний, волновые функции непрерывного спектра. Во-вторых, с развитием технологии получения все более чистых полупроводниковых материалов, все более совершенных и разнообразных низкоразмерных структур, в результате совершенствования методов исследования и появления новых методов возникает целый ряд новых проблем, например, при интерпретации спектров, особенно в области высоковозбужденных состояний (многие вновь разрешённые линии обозначались просто буквами, например, ЗА, ЗВ - ранее разрешался только переход, обозначаемый цифрой 3), при объяснении новых эффектов.

Связь между состояниями мелких примесей - примесей, состояния которых определяются кулоновским потенциалом примесного иона - и зонной структурой полупроводника была установлена Киттелем и Мит-челом [1], Латтинджером и Коном [2], которыми был разработан метод эффективной массы и установлен гамильтониан приближения эффективной массы |1-3} (в случае дырочных состояний его принято называть гамильтонианом Латтинджера), уравнение Шредингера с которым описывает кулоновские состояния дырок в кубическом полупроводнике. Необходимо отметить, что до настоящего времени этот метод является наиболее эффективным (например, с точки зрения объяснения экспериментальных данных) методом описания состояний носителей заряда как в объемных полупроводниках, так и в низкоразмерных гетерострукту-рах.

С тех пор, как был получен гамильтониан эффективной массы для мелких акцепторов в кубических полупроводниках, многократно в разных приближениях решалась задача об энергии их основного и первых возбуждённых состояний [4-13]. Фактически, до момента написания работ, составляющих диссертацию, единственным методом расчета куло-новских состояний дырок был вариационный метод, с помощью которого были вычислены энергии основного и нескольких первых возбужденных уровней мелкого акцептора в ряде кубических полупроводников [13). Существует, однако, большой круг проблем, для решения которых необходимо знать не только энергии связанных состояний, но и - с хорошей точностью, - соответствующие волновые функции, а также волновые функции непрерывного спектра: вычисление интенсивностей спектральных линий (они необходимы, в частности, для надежной интерпретации наблюдаемых оптических спектров), спектров сечения фотоионизации, вероятностей термической ионизации возбуждённых состояний, поляри-зуемостей, констант деформационного потенциала и т.д.

Известно, что вариационный метод позволяет получать довольно точные значения энергий уровней, но при этом с меньшей (и, фактически, неопределенной) точностью - соответствующие волновые функции, кроме того, вариационный метод не позволяет определять волновые функции непрерывного спектра. Таким образом, появляется самостоятельная задача построения прямых невариационных методов решения соответствующих уравнений приближения эффективной массы, позволяющих решать их с заранее определённой точностью, что фактически сводится к решению значительно более общей проблемы - задачи о построении решений уравнения Шредингера в случае матричных гамильтонианов с кулоновским потенциалом, т.е решений сингулярной задачи на собственные значения.

Это определяет как актуальность избранной темы, так и цели работы.

Научная новизна Являются новыми и выносятся на защиту следующие основные результаты:

1. Установлено правило сумм для сечения дипольного оптического поглощения мелких примесей в кубических полупроводниках.

2. Развит численный невариационный метод расчета энергий и волновых функций связанных состояний и волновых функций непрерывного спектра мелких акцеторов в кубических полупроводниках в линейном приближении по параметру несферичности дырочных зон. Предложена модель и развит метод расчета волновой функции основного состояния акцептора с учетом поправки на центральную ячейку. Вычислены энергии уровней, силы осцилляторов наиболее интенсивных оптических переходов, спектры сечения фотоионизации и дана интерпретация наблюдаемых оптических спектров мелких акцепторов в Се.

3. Получены уравнения для радиальных функций и вычислены спектр энергий и силы осцилляторов дипольных оптических переходов акцепторов III группы (В, А1, ва, 1п) в с учетом как гофрировки валентных зон, так и конечной величины спин-орбитально расщепления валентных зон. Дана полная интерпретация наблюдаемых спектров рз/2 примесей

III группы в Si.

4. Вычислены поляризуемости и квадрупольные моменты основного и первого возбужденного состояния мелких акцепторов в Ge. Установлено, что при возбуждении акцептора из основного в первое возбужденное состояние его поляризуемость растет более, чем на порядок, что говорит в пользу существования примесного фотодиэлектрического эффекта в р-Ge. В сферическом приближении точно решена задача о молекулярных термах и волновых функциях пары мелких акцепторов, возникающих при больших расстояниях между ними из-за квадруполь-квадрупольного и дисперсионного взаимодействий.

5. Развит численно-аналитический метод решения одночастичного уравнения Шредингера в случае матричных гамильтонианов, являющихся квадратичной формой импульса и содержащих кулоновский потенциал. Метод основан на сшивке точных решений, построенных как алгебраические комбинации степенных функций, степенных рядов и логарифмической функции, и асимптотических разложений решений в окрестности г = оо и позволяет вычислять с заданной точностью энергии и волновые функции дискретного спектра, волновые функции непрерывного спектра и резонансные состояния. Получаемые волновые функции выражаются в аналитическом виде.

6. Показано, что влияние заряда глубокого центра на спектральную зависимость его сечения фотоионизации при переходах в сложную валентную зону может быть учтено путем умножения парциальных сечений фотопереходов в подзоны тяжелых и легких дырок, соответствующих нейтральному фотовозбужденному центру, на соответствующие факторы Зоммерфельда. Вычислен спектр сечения фотоионизации глубокой примеси Нд~ в Ge с учетом влияния зарядового состояния примеси и электрон-фононного взаимодействия и показано, что учет совместного влияния этих двух факторов позволяет объяснить как наблюдаемую температурную, так и спектральную зависимость сечения фотоионизации, включая область длинноволнового края примесного поглощения.

7. Развит численно-аналитический метод расчета размерно - квантованных состояний и состояний непрерывного спектра в системах с квантовыми ямами со сложным профилем потенциала, описываемых связанными уравнениями Шредингера. Исследовано рассеяние дырок на квантовых ямах. Построена Я-матрица в случае многоканального рассеяния и вычислены зависимости коэффициентов прохождения и отражения дырок, а также времен задержки от энергии падающей дырки для различных значений параметров структур и величины компоненты квазиимпульса /с;, параллельной гетерограницам. Установлено, что при ненулевой величине к\ в интервале энергий, в котором закрыт канал с превращением "тяжелой" дырки в распространяющуюся "легкую", рассеяние "тяжелой" дырки на квантовой яме имеет резонансный характер, что связано с появлением резонансных состояний.

Научная и практическая ценность работы заключается в том, что развитые методы позволяют определять с высокой и наперёд заданной точностью различные характеристики дырочных состояний как в объемных полупроводниках, так и в низкоразмерных полупроводниковых гетероструктурах: энергии и волновые функции связанных состояний акцепторов и размерно-квантованных состояний, интенсивности спектральных линий, волновые функции непрерывного спектра, в том числе, резонансных состояний, спектры сечения фотоионизации. Это, в частности, необходимо при интерпретации наблюдаемых спектров, для определения вероятностей термической ионизации уровней, для расчета спетров приемников излучения, при расчетах параметров полупроводниковых лазеров. Полученные в работе результаты позволили объяснить ряд экспериментальных данных, в частности дать интерпретацию наблюдаемых оптических спектров акцепторов. Кроме того, развитые численно-аналитические методы пригодны не только для построения решений систем связанных уравнений Шредингера, рассматриваемых в физике полупроводников, атомной и ядерной физике и квантовой химии, но и для рассмотрения более общего круга проблем - построения решений многокомпонентных сингулярных задач на собственные значения.

Заключение диссертации по теме «Физика полупроводников», Полупанов, Александр Федорович

Основные результаты и выводы диссертации состоят в следующем:

1. Получено правило сумм для сечения дипольного оптического поглощения мелких примесей в кубических полупроводниках. Развит численный невариационные методы расчета энергий и волновых функций связанных состояний и волновых функций непрерывного спектра мелких акцеторов в кубических полупроводниках в линейном приближении по параметру несферичности дырочных зон. Предложена модель и развит метод расчета волновой функции основного состояния акцептора с учетом различия энергий основных уровней примесей, т.е с учетом поправки на центральную ячейку. Вычислены энергии уровней и волновые функции дискретного и непрерывного спектра акцепторов в Се, силы осцилляторов наиболее интенсивных оптических переходов и спектр сечения фотоионизации и дана интерпретация наблюдаемых спектров оптического поглощения мелких акцепторов (В, А1 и в а) в Се.

2. Исследовано влияние гофрировки валентных зон на основное состояние (1Г§ ) и первое возбужденное четное состояние той же симметрии (2Г§ ) мелкого акцептора в кубических полупроводниках. Получены уравнения для радиальных функций и с помощью численного невариационного метода - метода переноса условий ограниченности из особых точек [31] - вычислены соотвествующие энергии и волновые функции в целом ряде кубических полупроводников. Установлено, что гофрировоч-ная поправка к энергии этих состояний не мала и может превосходить, в частности, центрально-ячеечную поправку для наиболее мелких акцепторов, что связано с большой величиной отношения масс тяжёлой и лёгкой дырки. Вычислен спектр энергий и силы осцилляторов оптических переходов для примесей В, АЬ, Са и 1п в с учетом как гофрировки валентных зон, так и влияния спин-орбитально отщепленной валентной зоны. Дана наиболее полная интерпретация спектров р3/2 примесей III группы в Si.

3. Вычислены поляризуемости и квадрупольные моменты основного и первого возбужденного состояния акцепторов в Се. Установлено, что при возбуждении акцептора из основного в первое возбужденное состояние его поляризуемость растет более, чем на порядок, что говорит в пользу существования примесного фотодиэлектрического эффекта в р — Ge. В сферическом приближении точно решена задача о молекулярных термах и волновых функциях пары акцепторов, возникающих при больших расстояниях между ними из-за квадруполь-квадрупольного и дисперсионного взаимодействий. Сделаны оценки в случае мелких акцепторов в германии.

4. Развит численно-аналитический метод решения одночастичного уравнения Шредингера в случае матричных гамильтонианов любойко-нечной размерности, являющихся квадратичной формой импульса и содержащих кулоновский и полиномиальный потенциалы. Метод основан на сшивке найденных точных решений, построенных как алгебраические комбинации степенных функций, степенных рядов и логарифмической функции, и асимптотических разложений решений в окрестности г = оо и позволяет вычислять с высокой точностью энергии и волновые функции дискретного спектра, волновые функции непрерывного спектра и резонансные состояния. Получаемые волновые функции выражаются в аналитическом виде.

5. Вычислен спектр сечения фотоионизации мелких акцепторов в кубических полупроводниках как функция отношения эффективных масс тяжёлой и легкой дырки ß. При больших значениях ß сечение фотоионизации остается практически постоянных в широком интервале изменения энергий, что связано с разной энергетической зависимостью парциальных сечений фотоионизации с генерацией легкой (ст;) и тяжелой (о^) дырки: если ан ведет себя "водородоподобно", т.е. довольно резко падает с энергией, то а\ - есть кривая с максимумом, напоминающая спектр сечения фотоионизации глубокой примеси.

6. Показано, что влияние заряда глубокого центра на спектральную зависимость его сечения фотоионизации при переходах в сложную валентную зону может быть учтено путем умножения парциальных сечений фотопереходов в подзоны тяжелых и легких дырок, соответствующие нейтральному фотовозбужденному центру, на соответствующие факторы Зоммерфельда. Вычислен спектр сечения фотоионизации глубокой примеси Нд~ в Сге с учетом влияния зарядового состояния примеси и электрон - фононного взаимодействия и показано, что учет совместного влияния этих двух факторов позволяет объяснить как наблюдаемую температурную зависимость, так и спектральную зависимость сечения фотоионизации, включая область длинноволнового края примесного поглощения.

7. Вычислены зависимости энергий уровней и сил осцилляторов ди-польных оптических переходов мелкого акцептора, расположенного в центре сферической квантовой точки с бесконечными барьерами на границе от энергии спин-орбитального расщепления валентных зон Д, радиуса точки (Я) и величины отношения эффективных масс тяжелой и легкой дырки (/?). Наибольшее влияние спин-орбитальное взаимодействие оказывает на нижайшее состояние симметрии 1Гё, поскольку его характер изменяется от тяжелодырочного (Д = 0) до легкодырочного (Д = оо). При Д = оо и /3 = 1 (случай мелкого водородоподобного донора) и при малых радиусах точки практически все поглощение донора (~ 99 %) приходится на единственный оптический переход 1а — 2р.

8. Развит численно-аналитический метод расчета размерно-квантованных состояний и состояний непрерывного спектра в системах с квантовыми ямами со сложным профилем потенциала, описываемых связанными уравнениями Шредингера, таких как состояния дырок в полупроводниковых квантовых ямах. Состояния сплошного спектра находятся в постановке, соответствующей задаче рассеяния. Построены состояния рассеяния и ¿¡"-матрица в случае многоканального рассеяния, проанализированы их свойства симметрии. Исследовано рассеяние дырок на квантовых ямах GalnAs - InGaAsP. Вычислены зависимости коэффициентов прохождения и отражения дырок от энергии падающей дырки для различных значений параметров структур и величины компоненты квазиимпульса, параллельной гетерограницам. В интервале энергий, в котором закрыт канал с превращением "тяжелой" дырки в распространяющуюся "легкую", рассеяние тяжелой дырки на квантовой яме имеет резонансный характер, что связано с появлением резонансных состояний.

Я благодарен своим соавторам, коллегам и друзьям, в результате доброжелательного общения с которыми возникали новые задачи, и находилось их решение. В особенности я благодарен А.Я. Шульману, Ш.М. Когану, В.И. Галиеву, И. Шпарлинскому, Р. Таскинбоеву, A.A. Пахомо-ву, И.Н. Яссиевич, В.И. Перелю, A.B. Петрову, М. Новаку, А. Морозову, А.Н. Круглову, А. ван дер Поортену, А. Сафонову.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Полупанов, Александр Федорович, 2002 год

1. C.Kittel, A. Mitchell// Phys. Rev., 1954, 96, 1488

2. J.M. Luttinger, W. Kohn// Phys. Rev., 1955, 97, 869

3. J.M. Luttinger// Phys. Rev., 1956, 99, 1903

4. W. Kohn, D. Schecter// Phys. Rev., 1956, 99, 1903

5. D. Schecter//J. Phys. Chem. Solids, 1962, 23, 237

6. K.S. Mendelson, H.M. James//J. Phys. Chem. Solids, 1964, 25, 729

7. K. Suzuki, M. Okazaki, H. Hasegawa// J. Phys. Soc. Japan, 1964, 19, 930

8. В.И. Шека, Д.И. Шека// ЖЭТФ, 1966, 51, 1445

9. K.S. Mendelson, D.R. Schults//Phys. Status Solidi, 1969, 31, 59

10. B.H. Мурзин, А.И. Демешина, Л.М. Умаров// ФТП, 1972, 6, 488

11. Б.Л. Гельмонт, М.И. Дьяконов// ФТП, 1971, 5, 401

12. A. Baldereschi, N.O. Lipari// Phys. Rev., 1973, B8, 2697

13. A. Baldereschi, N.O. Lipari// Phys. Rev., 1974, B9, 1525

14. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц//Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Наука. М., 1974

15. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц//Теория поля. Наука. М., 1974

16. Г.Л. Вир, Г.Е. Пикус//Симметрия и деформационные эффекты в полупроводгиках. Наука. М., 1979

17. N.O. Lipari, A. Baldereschi// Solid State Commun., 1978, 25, 665

18. Ш.М. Коган, А.Ф. Полупанов// ЖЭТФ, 1981, т. 80, 394

19. P. Lawaetz// Phys. Rev., 1971, 4, 3460

20. R.A. Faulkner// Phys. Rev., 1969, 184, 713

21. E. Burstein, G. Pikus, B. Henvis, R. Wallis //J. Phys. Chem. Solids, 1956, 1, 1956

22. А. Эдмондс. Угловые моменты в квантовой механике.// В сб. Деформация атомных ядер. М.: ИЛ, 1958

23. W. Wasow. Asymptotic expansions for ordinary differential equations (New York: Interscience publishers) 1965

24. R.L. Jones, P. Fisher// J. Phys. Chem. Solids, 1965, 26, 1125

25. А.Ф. Полупанов// ФТП, 1982, 16, 27

26. А.Ф. Полупанов, P. Таскинбоев// ФТП, 1984, 18, 279

27. Ш.Н. Гифейсман, В.П. Коропчану// ФТП, 1985, 19, 1853

28. М. Said, М.А. Kanehisa, М. Balkanski// Solid State Commun., 1986, 57, 417

29. Б.Л. Гельмонт, М.И. Дьяконов// ЖЭТФ, 1972, 62, 713

30. А.А. Абрамов, В.В. Диткин, Н.Б. Конюхова, B.C. Парийский, В.И. Ульянова// ЖВМиМФ, 1980, 20, 1155

31. Ю.А. Курский, B.C. Парийский, Р. Таскинбоев// Сообщения по прикладной математике ВЦ АН СССР, Москва, 1980

32. Е.С. Биргер, Н.Б. Ляликова// ЖВМиМФ, 1965, 5, 979; 1966, 6, 446

33. Е.М. Гершензон, Е.М. Гольцман, М.Л. Кагане// ЖЭТФ, 1977, 72,1466

34. Sh.M. Kogan, Т.М. Lifshits// Phys. Stat. Solidi (a), 1977, 39, 11

35. A. Onton, P. Fisher, A.K. Ramdas// Phys. Rev. , 1967, 163, 686

36. M.S. Skolnick, L. Eaves, R.A. Stradling, J.C. Portal, S. Askenazy// Solid State Commun., 1974, 15, 1403

37. D.W. Fisher, J.J. Rome// Phys. Rev. , 1983, B27, 4826

38. E. Burstein, G. Pikus, B. Henvis, R.F. Wallis// J. Phys. Chem. Solids, 1956, 1, 65

39. N. Sclar// J. Appl. Phys., 1984, 55, 2972

40. A.K. Ramdas, S. Rodriguez// Rep. Progr. Phys., 44, 1297

41. R.A. Lewis, P. Fisher, N.M. McLean// Inst. Phys. Conf. Ser., 1989, 95, 95

42. R. Buczko, F. Bassani// Inst. Phys. Conf. Ser., 1989, 95, 107

43. N. Bingelli, A. Baldereschi// Solid State Commun., 1988, 66, 323

44. P. Lawaetz// Phys. Rev., 1971, B4, 3460

45. B. Pajot, I.L. Beinikhes, Sh.M. Kogan, M.G. Novak, A.F. Polupanov, C. Song// Semicond. Sci. Technol., 1992, 7, 1162

46. A.B. Петров, В.И. Бочарников, Э.Э. Годик, В.П. Синие// Письма в ЖЭТФ, 1980, 32, 479

47. В.Ф. Гантмахер, В.Н. Зверев// ЖЭТФ, 1976, 71, 1891

48. С.В. Мешков, Э.И. Рашба// ЖЭТФ, 1979, 77, 2206

49. Р. Нокс, А. Голд// Симметрияв твёрдом теле. Наука, М. 1970

50. F. D'Altroy, Н. Fan// Phys. Rev., 1956, 103, 1671

51. Ш.М. Коган, Нгуен Ван Лиен// ФТП, 1981, 16, 44

52. G.A. Thomas, М. Capizzi, F. De Rosa, et al.// Phys. Rev., 1981, B23, 5472

53. Б.И. Шкловский, A.Jl. Эфрос// Электронные свойства легированных полупроводников. М.: Наука, 1979

54. R.J. Le Roy// In: Molecular Spectroscopy/ Ed. by Barrow R.F., Long D.A. and Millen D.J. Specialist Periodical Report (Chemical Society, London, 1973), v. 1.

55. И.Г. Каплан, О.Б. Родимова// УФН, 1978, 126, 403.

56. V.I. Galiev, A.F. Polupanov, I.E. Shparlinski// J. Comput. Appl. Math., 1992, 39, 151

57. M.B. Федорюк // Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений., Москва, Наука, 1983

58. P. Janiszewski, М. SufFczynski// Solid State Commun., 1981, 37, 812

59. В.И. Перель, И.Н. Яссиевич// ЖЭТФ, 1982, 82, 237

60. V.L. Bonch-Bruevich, Р.Т. Landsberg// Phys. Stat. Sol., 1968, 20, 1

61. В.К. Ridley// J. Phys. С, 1980, 13, 2015

62. H.H. Аблязов, Б.Л. Гельмонт, М.Э. Райх, А.Л. Эфрос// ЖЭТФ, 1984, 87, 646

63. Г. Корн, Т. Корн.// Справочник по математике. М.: Наука, 1978. 832 с.

64. В.И. Перель, И.Н. Яссиевич//. Сб. "Материалы X Зимней школы ФТИ". Л. 1982, 4

65. Н.М. Колчанова, И.Д. Логинова, И.Н. Яссиевич// ФТТ, 1983, 25, 1650

66. К. Huang, A. Rhys// Proc. Royal Soc. A., 1950, 204, 406

67. Э.Э. Годик, A.M. Кузнецов, В.П. Синие// ФТП, 1981, 15, 1787

68. Э.З. Имамов, А.А. Пахомов, И.Н. Яссиевич// ЖЭТФ, 1987, 93, 1410

69. К.К. Ребане// Элементарная теория колебательной структуры спектров примесных центров кристаллов., М.: Наука, 1968, 323 с.

70. Urbach F.// Phys. Rev., 1953, 92, 1324

71. Б.Л. Гельмонт, В.И. Перель, И.Н. Яссиевич// ФТТ, 1983, 25, 727

72. А.С. Иоселевич// ЖЭТФ, 1981, 81, 1508

73. М. Lanno// Proc. 18th Int. Conf. on the Physics of Semiconductors. Warsaw, 1988, V. 2, 951

74. S. Fraizzoli, A. Pasquarello// Physica Scripta, 1991, T39, 182

75. Ал.Л. Эфрос, А.Л. Эфрос// ФТП, 1982, 16, 1209

76. L.E. Brus// J. Chem. Phys., 1984, 80, 4403

77. А.И. Екимов, А.А. Онущенко, А.Г. Илюхин, Ал.Л. Эфрос// ЖЭТФ, 1985, 88, 1490

78. М.Sweeny, J. Xu// Solid State Commun., 1989, 72, 301

79. Г.Б. Григорян, Э.М. Казарян, Ал.Л. Эфрос, Т.В. Язева// ФТТ, 1990, 32, 1772

80. D.S. Chuu, С.М. Hsiao, W.N. Mei// Phys. Rev., 1992, B46, 3898

81. J.-L. Zhu// Phys. Rev., 1989, B39, 8780; J.-L. Zhu, J.-J. Xiong, B.-L. Gu// Phys.Rev., 1990, B41, 6001

82. J.-L. Zhu, X. Chen// J. Phys.: Condens. Matter, 1994, 6, L123

83. Б.Л. Гельмонт, Р.П. Сейсян, Ал.Л. Эфрос, A.B. Варфоломеев // ФТП, 1977, 11, 238

84. D. Bimberg, К. Hess, N.O. Lipari, J.K. Fischbach, M. Altarelli// Physica, 1977, 89B, 139

85. D.C. Herbert, P.J. Dean, H, Venghaus,J.C. Pfister// J. Phys. C., 1978, 11, 3641

86. M.S. Skolnick, A.K. Jain, R.K. Stradling, J. Leotin, J.C. Ouseet, S. Askenazy// J. Phys. C., 1976, 11, 2809

87. S.R. White, L.J. Sham// Phys. Rev. Lett., 1981, 47, 879

88. G. Bastard// Phys. Rev., 1981, B24, 5693

89. G.D. Sanders, Y.C. Chang// Phys. Rev., 1985, B31, 6892

90. L.C. Andreani, A. Pasquarello, F. Bassani// Phys. Rev., 1987, B36, 5887

91. S.L. Chuang// Phys. Rev., 1989, В 40, 9649

92. S.L. Chuang// Phys. Rev., 1991, В 43, 9649