Двухпараметрические кососимметрические методы решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Крукиер, Борис Львович

• Крукиер, Борис Львович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Крукиер, Борис Львович

введение. i. итерационные методы решения слау.

1.1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ И ТЕОРИИ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ.

11.1. Типы матриц и их основные свойства.

1.1.2. Сведения из теории матриц.

1.1.3. Локализация спектра матриц.

1.1.4. Лемма Кеяюга.

1.1.5. Основные сведения из теории итерационных методов.

1.1.6. Методы ускорения сходимости.

1.2. КЛАССИЧЕСКИЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ (ОБЗОР). 2.1. Метод Якоби.

1.2.2. Метод Гаусса-Зейделя.

1.2.3. SOR (метод последовательной верхней релаксации).

1.2.3.1. Модифицированный SOR (modified successive overrelaxation) MSOR.

1.2.3.2. Метод релаксации с ускорением (accelerated overrelaxation) - AOR.

1.2.4. SSOR (симметричный метод SOR) и USSOR (Несимметричный SOR).

1.2.5. Треугольные методы.

1.2.6 Попеременно-треугольные методы.

1.2.7. LU-разложение.

1.3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИЛЬНО НЕСИММЕТРИЧНЫХ СЛАУ.

1.3.1. Вариационные методы.

1.3.2. Кососимметричные итерационные методы (КМ).

1.3.2.1. Треугольные КМ (ТКМ).

1.3.2.2. Попеременно-треугольные КМ (ПТКМ).

1.3.2.3. Двуциклические треугольные КМ (ДТКМ).

1.3.2.4. Численное исследование на модельной задаче.

1.3.3. Методы эрмитова и косоэрмитова разложения. ii. двухпараметрические кососимметрические треугольные итерационные методы.

II. 1. двухпараметрический ПТКМ.

11.1.1. Условия сходимости ПТКМ (Энергетический подход).

11.1.2. Нахождение оптимального параметра метода (Энергетический подход).

II. 1.3. Условия сходимости метода (Спектрачьный подход).

II. 1.4. Нахождение оптимального параметра метода (Спектрачьный подход).

11.2. двухпараметрический ДТКМ.

11.2.1. Условия сходимости метода.

11.3. ускорение треугольных кососимметричных методов.

11.4. Численное исследовai ihe на модельной задаче. iii. использование кососимметрических итерационных методов для переобуславливания вариационных методов.

111.1. Методы подпространства Крылова.

111.2. Переобуславливание.

111.3. GMRES и его модификации.

111.4. BiCG и его модификации.

111.5. Переобуславливание GMRES и BiCG.

111.6. Численное исследование на модельной задаче. литература.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двухпараметрические кососимметрические методы решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений»

Теория итерационных методов является интенсивно развивающейся областью численного анализа и занимает важное место в вычислительной математике \ 1 - ' ! ^ ■ . I . - .-.,■'■•■ < ' " ■ . ' ■ > . : ■ ■ • ■ - ■* ' ' . и механике.

Для решения задач математической физики широко используются методы дискретизации исходных дифференциальных или интегральных уравнений, краевых и начальных условий, которые позволяют преобразовать исходную непрерывную задачу в дискретную, т.е. перейти из бесконечномерного в конечномерное пространство, как правило, достаточно большой размерности. Далее, в этом конечномерном пространстве задачу преобразуют в систему линейных алгебраических уравнений, которую затем надо решить на ЭВМ. Такая технология решения сложных научно-технических задач, описываемых системами интегро-дифференциальных уравнений, краевых и начальных условий была разработана в начале 60-тых годов А.А.Самарским и была названа им вычислительным экспериментом. В данной работе особое внимание уделяется предпоследнему этапу технологии вычислительного эксперимента - решению системы линейных алгебраических уравнений. В соответствии с мировой статистикой 80% задач, решаемых на ЭВМ - это задачи нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В работе рассматриваются итерационные методы решения этой задачи, т.к. речь идет о СЛАУ содержащих сотни тысяч неизвестных и уравнений, а прямые методы их решений при таком размере СЛАУ не эффективны. Несмотря на то, что теория итерационных методов в достаточной степени разработана для достаточно большого класса матриц, остаются проблемы по созданию новых эффективных итерационных методов решения СЛАУ для матриц, обладающих достаточно специфическими свойствами. Одним из таких классов матриц являются сильно несимметричные матрицы, которые получаются, например, при центрально-разностной аппроксимации уравнения конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной.

В связи с этим актуальность работы обусловлена потребностью в эффективных методах решения такого класса СЛАУ.

Построение «быстрых» итерационных методов решения сильно несимметричных систем в данной работе основываются на включении в обращаемый оператор итерационного метода треугольной части лишь кососимметрической составляющей исходной матрицы.

Целью данной работы является разработка эффективных численных методов решения сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений. В работе предложены двухпараметрические попеременно-треугольный и дву-циклический методы для решения СЛАУ из рассматриваемого класса.

В соответствии с этими целями решен ряд задач:

• разработаны, теоретически обоснованы и численно проверены двухпараметрические попеременно-треугольный (ПТКМ) и двуциклический (ДТКМ) итерационные методы решения СЛАУ с сильно несимметричной матрицей;

• рассмотрены вопросы ускорения двухпараметрических ПТКМ и ДТКМ;

• предложено использование параметрических и безпараметрических ПТКМ и ДТКМ в качестве переобуславливателей для методов вариационного типа.

Научная новизна работы определяется полученными теоретическими результатами исследования:

• доказательством сходимости предложенных новых классов двухпараметрических попеременно - треугольных и двуциклических кососимметрических методов решения СЛАУ с сильно несимметричными матрицами;

• определением оптимальных параметров двухпараметрических ПТКМ;

• исследованием возможности использования этих методов в качестве переобуславливателей для методов вариационного типа.

Разработанные итерационные методы вносят вклад в развитие численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений специального вида. Вместе с тем, с помощью разработанных методов можно эффективно решать задачи типа «пограничного слоя» при конвективно-диффузионном переносе с преобладанием конвекции.

К защите представлены следующие результаты диссертационной работы:

1. предложены двухпараметрические итерационные методы решения сильно несимметричных систем: попеременно-треугольный (ПТКМ) и двуцик-лический (ДТКМ) кососимметричные методы;

2. получены достаточные условия сходимости двухпараметрических ПТКМ и ДТКМ;

3. проведены исследования по нахождению оптимального итерационного параметра для двухпараметрического ПТКМ;

4. предложен метод ускорения сходимости двухпараметрических ДТКМ и ПТКМ за счет специального выбора компонент обращаемого оператора;

5. показана эффективность использования этих методов в качестве пере-обуславливателя для методов вариационного типа.

Основные результаты диссертации докладывались на IX и X Всероссийских школах-семинарах молодых ученых «Современные проблемы математического моделирования» (п. Абрау-Дюрсо, 2001г., 2003г.); на 5-ой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (г. Казань, 2004г.); на международной конференции «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике» (г. Ростов-на-Дону, 2001г.); на международной конференции IMMC-2002 «Итерационные методы и матричные вычисления» (г. Ростов-на-Дону, 2002г.); IX и X Всероссийские Совещания по проблемам построения сеток для решения задач математической физики (п. Абрау-Дюрсо, 2002г., 2004г.), Всероссийской научно-технической конференции «Параллельные вычисления в задачах математической физики» (Ростов-на-Дону, 2004). Annual Scientific Congerence GAMM 2003; Session 22, 2003, Abano Terme -Padua; Conference «Computational linear algebra with applications», MILOVI, 2002; International Conference on Computational Mathematics, Novosibirsk, 2002.

По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, из них 3 статьи в российских и зарубежных реферируемых журналах, 6 статей в сборниках трудов и 3 в тезисах докладов российских и международных конференций. В совместных работах автор принимал участие на всех этапах исследования.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определенны цели и задачи исследования, приведена структура диссертации, а также сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе содержится обзор известных сведений по тематике работы. Рассмотрена общие формулировки теории сходимости итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений

Ау = /. ■ (1)

Большинство итерационных методов, которые применяются для решения СЛАУ, могут быть объединены общей канонической формулой v"+1 - vя

В/-^- + Ау" = /, (2) где Вп - операторы метода, А - исходная матрица системы (1), тп > 0 — последовательность итерационных параметров; у0 - начальное приближение,/- правая часть (1), f,y° g Н, Н — конечномерное гильбертово пространство,У - решение на п-ой итерации, п - номер итерации.

Итерационный метод (2) можно записать в эквивалентном виде zmX = z"-vnB'nlrn, где г" = Ау" -/ - вектор невязки на п-ой итерации, a zn =у"-у — вектор погрешности (ошибки) этого метода, >> - точное решение системы (1).

В разделе 1.1. и его подразделах изложены некоторые сведения из теории матриц и теории итерационных методов, а именно: типы матриц и их основные свойства, теоремы о локализации спектра матриц, лемма Келлога и ее обобщение, а также методы ускорения сходимости.

В разделе 1.2. рассматриваются классические итерационные методы: Якоби, Гаусса-Зейделя, последовательной верхней релаксации (SOR), симметричной и несимметричной последовательной верхней релаксации (SSOR и USSOR), треугольные, попеременно-треугольные и методы неполного разложения.

Там же даны определения Я-циклического, стационарного и треугольного (ТМ) (попеременно-треугольным (ПТМ)) итерационных методов.

В разделе 1.3. рассматриваются различные итерационные методы решения сильно несимметричных СЛАУ1: вариационные методы, методы эрмитова и ко-соэрмитова разложения и кососимметрические методы (КМ) - треугольные (ТКМ), попеременно-треугольные (ПТКМ) и двуцикличиские (ДТКМ), которые являются основой нашего исследования.

Для любой действительной матрицы А справедливо разложение на симметричную и кососимметричную составляющие части исходной матрицы, т.е.

А^Ао+Аь А0= (А + АТ)/2=А0Т, А1=(А-Ат)/2 = -А]т. Причем для кососимметричной составляющей справедливо следующее разложение

А^Ки+Кь где К1 и Кц строго нижняя и верхняя треугольные части матрицы А ¡, причем

Ки~ - К1 .

Для исследования итерационного метода (2) рассмотрим однородное уравнение для векторов погрешностей в-+ Агк = 0, к = 0,1,2,.; г0 = у0-у, т или в разрешенной относительно гк+х форме гк+х = Gz*, где й = В~1(В-тА) (3) называется оператором перехода итерационного метода (2).

Если оператор перехода О = С{т) зависит от итерационного параметра т, то метод (2) будем считать однопараметрическим итерационным методом, если же (7 = зависит не только от г, но и от некоторого второго параметра со, то

- двухпараметрическим.

1 Оператор называется сильно несимметричным, если в какой либо норме\А, II»||л 0II .

Для получения условий сходимости итерационного метода (2) надо исследовать его оператор перехода (3) и оценить его спектр /?(С) = шах|ЯА (Сг)| < 1 или его норму ЦбЦ < 1.

Класс кососимметричных методов был предложен в 1979 году Л.А. Крукие-ром и основан на идеи включения в оператор В итерационного метода (2) треугольных частей К1 или Ки только кососимметрической составляющей А1 , т.е.

В = (Вс + 2тК1) или В = (Вс+2тКи),где ВС=ВТС.

Теоретическое и численное исследование этого класса методов, выполненное за последние годы, позволило построить сходящиеся методы для СЛАУ с диссипативными сильно несимметричными матрицами. Были получены однопа-раметрические треугольные (ТКМ), попеременно треугольные (ПТКМ) и дву-циклические (ДТКМ) кососимметрические итерационные методы решения для сильно несимметричных диссипативных2 матриц.

Отметим, что основное свойство этого класса методов состоит в том, что ко-сосимметричная составляющая оператора метода пропорциональна кососиммет-ричной составляющей оператора системы, причем:

В1 = тАу.

Исследования были проведены в энергетической норме В0 + В*) > 0.

Оператор перехода ТКМ в этой норме имеет вид

О(т) = (Е + тР1У\Е-тР0), где = ¿?о,/24А1/2=р; > о , ^=Щх12ах12=-Р: . 2

Оператор А называется диссипативным, если для любого вектора X -ф- 0 его симметричная часть положительно определена (Ах,х) = (у^х,*) > 0 .

Т.к. норма оператора (Е + тРг) 1 <1, а оператор Е-тР0 симметричен, то исследование оператора Е-тР0 дало достаточное условие сходимости ТКМ (ПТКМ, ДТКМ) в виде В0 > 0,5

Во второй главе представлены основные теоретические и численные результаты.

Исследовано обобщение однопараметрических ПТКМ и ДТКМ, введением в оператор метода В параметра со, отличного, в общем случае, от параметра метода т. Исследования таких двухпараметрических ПТКМ(т, со) и ДТКМ(т, со) проводилось по методике, отличной от разработанной ранее для однопараметрических методов.

Энергетический подход позволил доказать достаточные условия сходимости ПТКМ(т,со) в норме М0 = В0-соА() ^(г,«)^ <1|, отличной от рассмотренной ранее. Спектральный подход требует условия = В0— соАц > 0 тах|4(с(г,<у))|<1|. Вначале достаточные условия сходимости методов даны, без каких либо ограничений на свойства невырожденного оператора системы А, а затем в следствиях они приведены для случая диссипативного оператора системы (1). Для исследования сходимости ДТКМ(т,со) применен другой подход.

В разделе 11.1. и его подразделах рассмотрены энергетический и спектральный подходы исследования ПТКМ(т,со), доказаны теоремы сходимости и следствия к ним. В каждом подходе найдены оптимальные параметры метода. Двухпараметрический ПТКМ имеет вид

Вс + соК1)в^(Вс+о)Ки)^^--Ауп =/. (4) г

Оператор перехода метода (4) имеет вид (3), в котором оператор метода

В = (ВС + С0КЬ)В-1(ВС + (оКи ). (5)

То, что для (5) В1 =^(в-ВТ} = соА1, позволяет достаточно простыми преобразованиями в (3), привести оператор перехода к виду в = (Ы0 + соА) (ЛГ0 -(т-а>)А), А\=В0-(оА^ = N1. Требование положительной определенности оператора Ы0

М0 = В0-о>А0 = Мт0>0, (6) где В0=ВС-0)2К1В^К1, достаточно, чтобы получить оператор перехода в виде О = Ы^1 , в котором д = (Е + й?Р)~1 (Е-(т-со)Р),Р = N¡^N¡1.

Для исследования сходимости итерационного метода (2) достаточно исследовать и оценить спектр или норму оператора перехода (3). Т.к. оператор С подобен оператору С, то ЦсЦ^ = Сг||, \хк = |я4и возможны два подхода к исследованию сходимости метода: энергетический и спектральный. В энергетическом подходе для сходимости метода достаточно потребовать О < 1, а в спектральном подходе - < 1.

В разделе 11.2. и его подразделах рассмотрен энергетический подход исследования ДТКМ (т, ю), доказана теорема сходимости и следствие к ней. Проверена чувствительность метода к изменениям оптимального параметра.

Деухпараметрический ДТКМ имеет вид

В, ) + сок, )У-У— + Ау"+1/2 = /, и+1/2 п

Ша8(Ви ) + соКи)±-- + Ауп = /,

7) где BL=(Diag(BL) + a)KL>)- оператор первого цикла, Ви —i^Diag(кB,J) + соКи)-оператор второго цикла. Оператор перехода метода (7) имеет следующий вид

С = В1Х (Вь - ТА) Я-1 {Ви - ТА) = ОьОи где Оь = В? {Вь - тА), Ои = В~х (Ви - тА). Рассмотрим операторы

Оь = В1\Вь-тА), С^В^Ви-тА) и подставим в выражения для операторов Вь и Ви их симметричные и кососим-метричные части

В10 + + 0,5соА1 -тА0-тА1), (вио + 0,5аЦ)1 (Вио + 0,5соАх -тА0 -тАх),

Введем операторы

Мьо=В10-0,5й)А0 = Ы10, Ми0 = Ви0-0,5соА()=ЫГ0, что позволит записать сомножители и оператора перехода О в следующем виде

С, = (ЛГ£0 + 0,5соА)-х (Ыьо - (г - 0,5со)А),

Ои = {Мио + 0,5соА)~х (Ыио - (г - 0,5со)а).

Потребуем, чтобы операторы Л^ и Ыио были положительно определены, т.е. о = ~0,5й)Ао = Ит10 > 0, ^ио=Вио-0,5соА0 = М^0>0,

Преобразуем сомножители в операторе перехода С = , оценим норму произведения операторов Цб^^Ц и найдем условия, при которых она меньше единицы. я + 0,(£-(?--0,5*»)/^.) • (£ + 0,5й^)-1(£-(г-0,5бу)^) <1,

Для выполнения этого неравенства достаточно потребовать, чтобы

8)

Оь | =(Е + о, 5^ )'1 {Е-(т- 0, 5со) ^ )

Е + 0,5 а>Ри )"' (Е- (т - 0,5 а))Еи)

1, <1. где^ = 0, Ги = Щ\А.

В разделе И.З. рассмотрены возможности ускорения сходимости предложенных методов, на примере двухпараметрического ДТКМ.

Ускорение треугольных методов может быть достигнуто не только за счет наличия параметров и их оптимального выбора, но и за счет специального построения операторов В& Вь и Вц, входящих в структуру обращаемого оператора методов ПТКМ и ДТКМ. Такой выбор оказывает существенное влияние на скорость сходимости метода. Очевидно, что этот оператор должен быть диагональным, иначе его обращение представляет достаточно трудоемкую вычислительную задачу.

Рассмотрим в первую очередь условия положительной определенности операторов и Ыио и запишем их в виде

Так как матрицы Ы10 и симметричны, их собственные числа действительны, то по теореме Гершгорина, для положительной определенности операторов и Ыио достаточно выполнения следующих условий: причем хотя бы для одной строки в каждой системе неравенство должно быть строгим.

Тогда, очевидно, что если в качестве диагоналей операторов метода взять следующие выражения: где Т=Ь, и, то они обеспечат выполнения условий положительной определенности операторов NLй и тем самым увеличат скорость сходимости двухпара-метрического ДТКМ, сохраняя при этом в операторах Вь и Ви информацию об изменениях в строках и столбцах исходной матрицы. Кроме того, построение диагоналей матриц Вь и Ви не требует существенных вычислительных затрат, что не снижает эффективность метода.

NLO = Diag{BL) + 0,5в)[KL + Kl)-Ъ,5cDA(í>{i,

Ко }„>0, [№,о}„>0,

I '*) 7

В разделе 11.4. приведены численные результаты тестирования рассмотренных методов и их сравнения с классическими треугольными методами.

Модельной задачей, на которой проведено тестирование методов, является стационарное двумерное уравнение конвекции-диффузии, записанное в симметричное форме, в единичном квадрате, с граничными условиями первого рода.

1 А 1 ( ds d{iis) ds и~ + ——- + v 1 '

--As + —

Ре 2 V дх дх ду ду DivV = 0,V = (u,v), (х,у)е Q = [0,l]x[0,l], S^O.

Правая часть /и краевые условия выбирались таким образом, чтобы аналитическим решением задачи была гладкая функция S(xj>)=£?^sin(;a)sin(;zy).

В рассматриваемой области строилась регулярная сетка размера 32x32 с равными шагами по обоим направлениям. После аппроксимации этого уравнения на стандартном пятиточечном шаблоне, где конвективная часть аппроксимировалась центральными разностями, получается система линейных алгебраических уравнений с диссипативной пятидиагоналыюй матрицей А.

Поле скоростей подобранно таким образом, чтобы удовлетворить условие несжимаемости среды, т.е. Div(V)=0, V={u,v}

Численное исследование на модельной задачи проводилось для кососиммет-рических методов, разработанных ранее, их модификаций, SSOR и двухпарамет-рических ПТКМ, ДТКМ. Все эти методы имеют похожую структуру. Таким образом, для оценки эффективности методов достаточно сравнивать лишь число итераций. Все расчеты выполнялись на одной и той же ПЭВМ.

В главе III рассмотрены вариационные методы BiCG и GMRES(m), которые использовались для решения модельной задачи как самостоятельно, так и с пере-обуславливанием, где в качестве переобуславливателей использовались двухпа-раметрические ПТКМ и ДТКМ. Для оценки эффективности такого подхода, полученные численные результаты сравнивались с аналогичными результатами для «классического» переобуславливателя, которым является SSOR. Для улучшения сходимости вариационных методов предлагалась технология левого переобу-славливания.

По результатам данных тестов можно заметить, что все рассматриваемые операторы являться хорошими переобуславливателями для метода ОМ11Е8(10), но достаточно слабыми переобуславливателями для метода ВЮв.

Таким образом, использование разработанного класса двуциклических и попеременно-треугольных методов в качестве переобуславливателей методов вариационного типа наиболее эффективно для задач конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией и сильно меняющимся полем скоростей, соответствующей модельной задаче 4.

I. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

I. 1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ И ТЕОРИИ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ

В проводимом исследовании будут использованы некоторые определения из теории матриц и функционального анализа [5, 6, 8, 9, 10, 13, 26, 27, 32, 38, 39, 41, 49, 70, 100, 120], а также некоторые свойства матриц [15, 18, 20, 25, 42, 43, 55, 113, 129].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Крукиер, Борис Львович, 2006 год

1. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. М: Мир, 1990

2. Булеев Н.И. Пространственная модель турбулентного обмена. М.: Наука, 1989.

3. Вабищевич П.Н. Итерационные методы решения задач конвекции-диффузии.// Труды Международной летней школы молодых ученых "Итерационные методы и матричные вычисления". Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2002, стр. 328-367.

4. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М: Наука, 1980

5. Воеводин В.В., Кузнецов В.А. Матрицы и вычисления. М: Наука, 1984

6. Г.И. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных уравнений с конвективными членами в случае смешанных краевых условий.//Дифференциальные уравнения, 1996, 32 (5), 689-701.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, М: Наука, 1966

8. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления, Москва: Мир, 1999

9. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения, М: Мир, 2001

10. Еремин А.Ю., Капорин И.Е. Реализация явных чебышевских методов при решении задач большой размерности. в кн. Многопроцессорные вычислительные структуры, Таганрог, ТРТИ, 1985, вып.7, стр. 43-46

11. Капорин И.Е. О предобуславливании и распараллеливании метода сопряженных градиентов. в кн. Ортега Дж. "Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем". Москва: Мир, 1991, стр. 180-190

12. Крукиер Л.А, Чикина Л.Г. Кососимметрические итерационные методы решения стационарных задач конвекции-диффузии.// Изв. ВУЗов, Матем., 2000. №11. с.62-76.

13. Крукиер Л.А. Достаточное условие сходимости треугольного итерационного метода с несамосопряженным исходным оператором.// Изв. СКНЦ ВШ. Ест. Науки, 1989, №4, стр. 52-54

14. Крукиер Л.А. Кососимметричные итерационные методы решения стационарной задачи конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной.// Изв. ВУЗов. Математика, 1997, №4, стр.77-85.

15. Крукиер Л.А. Мартынова Т.С. О влиянии формы записи уравнения конвек-ции-дифузии на сходимость метода верхней релаксации.// ЖВМиМФ, т. 39, №11, 1999, стр. 1821-1827

16. Крукиер Л.А. Неявные разностные схемы и итерационный метод их решения для одного класс систем квазилинейных уравнений.// Изв. Вузов. Математика, 1979, №7, стр. 41-52

17. Крукиер Л.А. Математическое моделирование гидродинамики Азовского моря при реализации проектов реконструкции его экосистемы// Матем. мо-дел. 1991. - Т.З. - №9. - С.3-20.

18. Крукиер Л.А. Решение сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений итерационным методом, основанным на кососимметрич-ной части исходной положительной матрицы.// Математическое моделирование, том 13, №3, 2001, стр. 49-56

19. Крукиер Л.А., Бочев М.А. Об итерационном решении сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений.// ЖВМ и МФ, т. 37, №11, 1997, стр. 1283-1293

20. Лебедев В.И. Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе.// ЖВМ и МФ, 1971, т. 11, №2

21. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М: Наука, 1970.

22. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричным неравенствам. М.: Наука, 1972.

23. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1973

24. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. Москва: Мир, 1991

25. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980

26. Самарский A.A. О регуляризации разностных схем //ЖВМ и МФ, -1967. -Т.7. -№1. С.62-93.

27. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем, М: Наука, 1971

28. Самарский A.A. Введение в численные методы. М: Наука, 1987

29. Самарский A.A. Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений М: Наука, 1978

30. Самарский A.A. Теория разностных схем М: Наука, 1977

31. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. Изд. УРСС, Москва, 1998

32. Самарский A.A., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями, Минск, 1998

33. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М: Наука, 1989

34. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Спб: Лань, 2002, 736 стр.

35. Хейгеман Л. Янг Д. Прикладные итерационные методы, Москва: Мир, 1986

36. Хорн Р. Джонсон Ч. Матричный анализ. Москва: Мир, 1989

37. Чикина Л.Г. Об одном методе решения уравнения конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией.// Математическое моделирование, 1997, т. 9, № 2, стр. 20-25.

38. Arnoldi W.E. The principle of minimized iteration in the solution of the matrix eigenproblem.// Quart. Appl. Math., 1951, №9, p. 17-29

39. Axelsson O. A generalized SSOR method.// BIT, 1972, 12, p. 443-467t i

40. Axelsson O. Iterative solution Methods. Cambridge University Press, Cambridge, j 1994

41. Axelsson O., Vasilevski P.S. A black box generalized conjugate gradient solver with inner iterations and variable-step preconditioning.// SIAM J. Matrix Analysis and Applications, 1991, №12, p.625-644

42. Bai Z.Z., Golub G., Ng M. Ilermitian and Skew-Hermitian splitting methods for non-Hermitian positive definite systems, SIAM J.Matrix Anal.Appl., 24, 2003, pp.603-626

43. Barrett R., Berry M., Chan T.F., Demmel J., Donato J., Dongarra J., Eijkhout V., Pozo R., Romine C., and Van der Vorst. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, 2nd Edition. SIAM, Philadelphia, PA,1994

44. Buleev N.I. A numerical method for solution of two-dimensional and three -dimensional equations of diffusion.// Math. Sb., 1960, №51, p. 227-238

45. Chan T.F., Galloloulos E., Simoncini V., Szeto T., Tong C.H. A quasi-minimal residual variant of the BiCGSTAB algorithm for nonsymmetric systems.// SIAM J. Sei. Statist. Comput., 1994, №15, p. 338-347

46. Chikina L.G., Krukier B.L. Solution of linear equation systems with a dominant skew-symmetric part using the product triangular iterative method. Comp. Methods in Appl. Math, V. 3, №4,2003, pp.647-650

47. Chow L.C., Tien C.L. An examination of four differencing shemes for some elleptic-type convection equations // Numer. Heat Trasfer., 1978. -V.l. -P. 87100.

48. D'Sylva E., Miles G.A. The SSOR iteration scheme for equations with order-ings.// Computer J., 1963, №6, p.271-273

49. DeLong M. SOR as preconditioner, Doctor of Philosophy (Computer Science) Dissertation, University of Virginia, 1997

50. Dongarra Jack., J. Duff Iain., S. Sorensen Danny C., Van der Vorst H. Numerical Linear Algebra for high-performance computers. SIAM, Philadelphia, 1998

51. Elman ILC. Relaxed and stabilized incomplete factorizations for nonselfadjoint linear systems, BIT, 29(4), 1989, p.890-915

52. Elman H.C. A stability analysis of incomplete LU factorization.// Math. Comp., 1986, №47, p. 191-217

53. Fisher B., Ramage A., Silvester D.J., Wathen A.J. Towards parameter-free streamline upvvinding for advection-diffusion problems, Strathclyde Mathematics Research Report, №37 (1996)

54. Fletcher R. Conjugate gradient methods for indefinite systems.// G.A. Watson (Ed.), Proceedings of the Dundee Biennal Conference on Numerical analysis, Springer, New York, 1975, p.73-89

55. Frankel S.P. Convergence Rates of Iterative Treatment of Partial Differential equation, //Math. Tables Aids Comp., 1950, v.4, p.66-75

56. Freund R.W., Nachtigal N.M. An implementation of the look-ahead Lanczos algorithm for non-Hermitian matrices.// Technical Report 90.46, Part2, RIACS, NASA Ames Center, 1990

57. Golub G.H., Van der Vorst H. A. Closer to the solution: Iterative linear solvers.// in I.S. Duff and G.A.Watson (eds), The State of the Art in Numerical Analysis, Clarendon Press, Oxford, 1997, p. 63-92

58. Golub G.H., Varga R.S. Chebychev semi-iterative methods, successive overrelaxation iterative methods and second order Richardson iterative methods.// Part I, Numer. Math., 1961, V.3, p. 147-156

59. Golub G.H., Varga R.S. Chebychev semi-iterative methods, successive overrelaxation iterative methods and second order Richardson iterative methods.// Part II, Numer. Math, 1961, V.3, p. 157-166

60. Golub Gene, Van Loan Ch. Matrix Computations, Oxford, North Oxford Academic Publishing, 1983

61. Golub G., Vanderstraeten D. On the preconditioning of matrices with a dominant skew-symmetric component, Nurrier. Algorithms, 25, 2000, pp223-239

62. Greenbaum A. Iterative methods for solving Linear Systems. SIAM, Philadelphia, PA,1997

63. Grote ML, Huckle T. Parallel preconditioning with sparse approximate inverses.// SIAM J. Sci. Comput., 1997, №18, p. 838-853

64. Hadjidimos A. A survey of the iterative methods for the solution of linear systems by extrapolation, relaxation and other techniques.// J. Comput. Appl. Maths., 1987, №20, p. 37-51

65. Hadjidimos A. Accelerated Overrelaxation method.// Math. Comp., 1978, №32, p. 149-157

66. Hadjidimos A., Psirmani A., Yeyios A.K. On the convergence of the modified accelerated overrelaxation method (MAOR).// Applied Numerical Math., 1992, №10, p. 115-127

67. Hadjidimos A., Yeyios A.K. Symmetric accelerated overrelaxation method (SAOR).// Math. Comput. Simulation, 1982, №24, p. 72-76

68. Kaporin. I.E. Explicitly preconditioned conjugate gradient method for the solution ofunsymmetric linear systems, Int.J.Comp. Math., 40, 1992, p. 169-187

69. Kaporin. I.E. High quality preconditioning of a general symmetric positive matrix based on its UTU + UTR + RTU-decomposition.- Numer. Linear Algebra Appls., N 1, 1999.

70. Kaporin I.E., A practical algorithm for faster matrix multiplication, Numerical Linear Algebra Appl., 1999, v.6, 687-700.

71. Kaporin I.E. New convergence results and preconditioning strategies for the conjugate gradient method, Numer. Linear Algebra with Appls., v.l, N 2, 1994, pp. 179-210.

72. Karamzin Yu. N. Zakharova I.G. On new additive difference method for parabolic equations, Math. Mod. Meth. Appl. Science., 6 (1996), pp. 353-363.

73. Kototilina L. Yu., Yeremin A. Yu. Block SSOR preconditionings for high order 3D FE systems.// BIT., 1989, v. 29, №4, p. 805-823

74. Kototilina L. Yu., Yeremin A. Yu. Factorized sparse approximate inverse preconditionings.// SIAM J. Matrix Analysis and Applications, 1993, №14, p. 45-58

75. Krukier L.A., Chikina L.G., Belokon T.V. Triangular skew-symmetric iterative solvers for strongly nonsymmetric positive real linear system of equations.// Applied Numerical Mathematics, 2002, №41, p. 89-105

76. Krukier L.A., Convergence acceleration of triangular iterative methods based on the skew-symmetric part of the matrix.// Applied Numer. Math., 1999, v.30, N3-4, p.281-290

77. Krukier L.A., Lapshina O., Krukier B.L. Special preconditioners for solution of transport-dominated convection-diffusion problem, PAMM, Proceedings Appl. Math.&Mech., Wiley InterScience publisher, 2003, v.3, №1, 549 550.

78. Krukier L.A., Lapshina O., Krukier B.L. Special preconditioners for solution of transport-dominated convection-diffusion problems Annual Scientific Conger-ence GAMM 2003; Session 22, 2003, pp.234, Book of Abstracts. Abano Terme -Padua

79. Kuznetsov Y.A. Matrix Iterative Methods in subspace.// Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Warszawa, August 16-24, 1983, North Holland, Amsterdam

80. Lanczos C. Chebyshev polynomials in the solution of large-scale linear systems.// . Toronto Symposium on Computing Techniques, 1952, p. 124-133

81. Lynn M.S. On the equivalence of SOR, SSOR and USOR as applied to ordered systems of linear equations.// Computer J., 1964, №7, p.72-75

82. Manteuffel T.A. Adaptive procedure for estimating parameters for the nonsym-metric Tchebychev iteration.// Numerical Math., 1978, v. 31, p 183-208

83. Manteuffel T.A. An incomplete factorization technique for positive definite linear systems.// Math Comp., 1980, V. 34, p. 473-497

84. Manteuffel T.A. The Tchebychev iteration for nonsymmetric linear systems.// Numerical Math., 1977, v. 28, p. 307-327

85. McDowell Variable Successive Overrelaxation.// Report №244, Dept. Computer Sciences, University of Illinois, Utbana.

86. Meijerink J.A., Van Der Vorst H.A. An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is symmetric M-matrix.// Math. Comp., 1977, №31(137), p. 148-162

87. Meurant G. Computer solution for large linear systems. Elsevier Science B.V., 1999

88. Morton K.W. Numerical solution of convection-diffusion problems. Chap-man&Hall, 1996

89. Nachtigal N. A look-ahead variant of the Lanczos algorithm and its application in quasi-minimal residual method for non-Hermitian linear systems, Ph. D. Dissertation, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge MA, 1991

90. Paige C.C., Saunders M.A. Solution of sparse indefinite systems of linear equations.// SIAM J. Numerical Anal., 1975, №12, p. 617-629

91. Parlett B.N., Taylor D.R., Lin Z.A. A look-ahead Lanczos algorithm for unsym-metric matrices.// Math. Comp., 1985, №44, p. 105-124

92. Raithby G.L., Skew upstream differencing schemes for problems involving fluid flow // Comput neths. Appl. Mech. Engrg., 1976. V.9. - P. 153-164

93. Russell D.B. On obtaining Solutions to Navier-Stokes equations with automatic digital computers.// Aeronautical research council report R&M 3331 Engineering Laboratory, Oxford, 1963

94. Saad Y. A flexible inner-outer preconditioned GMRES algorithm.// SI AM J. Scientific Computing., 1993, №14, p. 461-469

95. Saad Y. Iterative methods for Sparse Linear Systems. PWS Publishing Company, 1995

96. Saad Y., Schultz M.H. GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems.// SIAM J. Scientific and Statistical Computing., 1986, p. 856-869iL

97. Saad Y., Van der Vorst H. A. Iterative solution of linear systems in the 20 century.// J. of Computanional and Applied Mathemetics , Elsevier Science, 2000, №123, p. 1-33

98. Sonnoveld P. CGS: a fast Lanzos-type solver for nonsymmetric linear systems.// SIAM J. Sei. Statist. Comput., 1989, №10, p. 36-52

99. Sturler E. De Truncation strategies for optimal Krylov subspace methods.// SIAM J. Numerical Anal., 1999, v. 36, №3. p. 864-889

100. Taussky O. Positive-definite matrices and their role in the study of the characteristic roots of general matrices.//Adv. Math., 1968, v.2, p. 175-186

101. Taylor P.J. A generalization of Systematic Relaxation methods for consistently ordered matrices.// Num. Math., 1969, №13, p. 377-395

102. Van der Vorst H.A. Bi-CGSTAB: a fast and smoothly converging variant if Bi-CG for the solution of non-symmetric linear systems.// SIAM J. Sei. Statist. Comput., 1992, №3, p. 631-644

103. Van der Vorst H.A. Krylov Subspace Iteration.// Computing in Science and Engineering, Vol. 2(1) January/February 2000, p. 32-37

104. Van Der Vorst H.A. Iterative solution methods for certain sparse linear systems with a non-symmetric matrix arising from PDE problems.// J. Comput. Phys., 1981, №44, p. 1-19

105. Van der Vorst, H.A. Vuik C. GMRESR: a family of nested GMRES methods.// Numerical linear Algebra with Applications, 1994, №1, p. 369-386

106. Varga R.S. Factorization and normalized iterative methods.// R.E. Langer (Ed), Boundary Problems in Differential equation, University of Wisconsin Press, Madison, 1960, p. 121-142

107. Varga R.S. Matrix iterative analysis, Aprentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1962

108. Varga R.S., Eiermann M., Niethammer W. Acceleration of Relaxation Methods for Non-Hermitian linear systems.// SIAM J. Matrix Anal. Appl., 1991, №13, p. 979-991

109. Wang C-L, Bai Z-Z. Sufficient conditions for the convergent splittings of non-Hermitian positive definite matrices, Linear Alg. Appl. 330, 2001, 215-218

110. Wang C-L, Bai Z-Z Skew-Hermitian triangular splitting iteration methods for non-Hermitian positive definite linear systems of strong skew-Hermitian parts, BIT Numerical Mathematics, 44, 2004, pp.363-386

111. Weiss R. Parameter-Free linear solvers, Berlin: Akademie Verlag, 1996

112. Woznicki Z.I. Matrix splitting principles.// International Journal of mathematics and mathematical sciences, № 28(5), 2001, p.251-284

113. Woznicki Z.I. Nonnegative splitting theory.// Japan Journal of industrial and applied mathematics, 1994, V.l 1, №2, p. 289-342

114. Woznicki Z.I. The sigma-SOR algorithm and the optimal strategy for the illustration of the SOR iterative method.//Math. Comp., 62, 1994, p. 619-644

115. Young D.M. Iterative methods for solving partial differential equations of elliptic type, Doctoral Thesis, Harvard University, Cambridge, MA, 1950

116. Young D.M. Iterative solution of large linear iterative systems.// Academic Press, New York, 1971

117. Young D.M. On accelerated SSOR method for solving large linear systems.// Advances in Mathematic, V.23, 1977, p.215-271