Двойные суммы Гаусса и распределение целых точек на гиперболических поверхностях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Дохов Резуан Ауесович

• Дохов Резуан Ауесович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Дохов Резуан Ауесович

Оглавление

Введение

1 Предварительные вспомогательные утверждения

1.1 Леммы об однократных гауссовых суммах

1.2 Леммы, используемые в задаче о целых точках на гиперболоидах

2 О сумме произведений характера групп классов идеалов

мнимого квадратичного поля на двойные суммы Гаусса

2.1 Двойные суммы Гаусса, соответствующие классам идеалов мнимого квадратичного поля

2.2 Об обращении в нуль одной тригонометрической суммы

3 О целых точках на многомерных гиперболоидах

3.1 Введение

3.2 Ассимптотическая формула для взвешенного числа целых точек на некоторых многомерных гиперболических поверхностях

3.3 Об особом ряде в задаче о взвешенном числе целых точек

3.4 Об одной задаче А.В. Малышева о целых точках на многомерных гиперболоидах

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двойные суммы Гаусса и распределение целых точек на гиперболических поверхностях»

Введение

Актуальность темы. Предлагаемая диссертация посвящена приложениям экспоненциальных сумм с бинарными квадратичными формами к вопросам суммирования произведений характера групп классов идеалов мнимого квадратичного поля на двойные суммы Гаусса и распределению целых точек на некоторых многомерных гиперболических поверхностях. Экспоненциальные суммы различных видов играют важную роль как в теории диофантовых уравнений, так и в теории конечных полей. В математической литературе известны соотношения ортогональности мультипликативных характеров на конечных абелевых группах, играющие важную роль в некоторых вопросах теории чисел. Так, например, соотношение ортогональности

где О - группа характеров мультипликативной группы классов вычетов О = Z/mZ по модулю т, существенно используется в доказательстве знаменитой теоремы Дирихле о бесконечности множества простых чисел в арифметической прогрессии а + тЬ, где Ь е Z, нод (а,т) = 1.

В связи с используемыми в нашей диссертации двойными суммами Гаусса нас заинтересовал один из аналогов таких соотношений ортогональности на группе классов идеалов мнимого квадратичного поля. В нашей работе вывод одного аналога соотношения ортогональности на указанной группе решен с помощью гауссовой теории композиции бинарных

хеа

^Х(9)

0, если д = е

<р(т), если д = е, е — единичный элемент группыО

квадратичных форм, при этом предварительно были получены точные значения двойных сумм Гаусса соответствующих классам идеалов мнимого квадратичного поля.

Другое направление, проводимого исследования связано с вопросом о числе целых точек на гиперболических поверхностях. Этот вопрос издавна привлекает внимание многих специалистов по теории чисел. (см.напр.[1-

5])

Данное направление берет свое начало с результата Лагранжа о том, что каждое натуральное число представимо суммой четырех квадратов целых чисел, т.е. что при любом п € N уравнение х2 + у2 + г2 + £2 = п разрешимо в целых числах.

Результат Лагранжа был обобщен Клостерманом [4] в 1926г, получившим асимптотическую формулу для числа целых рациональных решений уравнений ах2 + Ьу2 + сг2 + (И2 = п с остаточным членом 0(п17/18+£), где £ > 0 -сколь угодно малое число при этом а, Ь, с, ( -целые положительные числа.

В дальнейшем для изучения числа целочисленных решений диофан-товых уравнений второй степени с несколькими переменными стали рассматривать задачу о взвешенном числе целых точек на соответствующих многомерных поверхностях (см.[1-3]).

Пусть

р (х1,..., х8) = 0 (1)

- уравнение второй степени от п переменных х1,... ,х3 с целыми коэффициентами и ш(х1,... ,х8) - многочлен второй степени с комплексными коэффициентами.

Тогда с уравнением (1) связываем сумму вида

П{р,ж) = ^ е-11 ш(Х1'""Хя), (2)

р(х 1,...,ж8)=0 4

называемую взвешенным числом целых точек на поверхности (1), взятых с весом e-N<4хь...,х); Где N -вещественный параметр, при этом суммирование ведется по всем целым точкам, лежащим на поверхности (1).

В 1947 г. Долсианы - ученицей Зигеля был получен следующий результат (см.[5]) о том, что для взвешенного числа R(p,w/N) целых точек на гиперболической поверхности (1) существует и положителен предел

lim Ri#.

N^TO N2-i

В предположении разрешимости сравнения p(x\,...,xs) = 0(modg) для любого целого числа g = 0, при этом

p(xi,... ,Xs) = ak X1 - m и ^ \ак\xl,

k=i k=i за исключением случая s = 4 и m = 0.

Несколько ранее Зигель [6] доказал, что в случае конической поверхности (1) существует и положителен предел

lim RM

N^ N ln N

В дальнейшем исследования по асимптотическому подсчету взвешенного числа целых точек значительно были развиты А.В. Малышевым на случай многомерных поверхностей второго порядка, задаваемых диагональными квадратичными формами. В частности, А.В. Малышевым [2] получен следующий результат о том, что при некоторых ограничениях на коэффициенты многочленов p(xi,... ,xs) и ш(хх,... ,xs) для величины R(p,u/N) справедлива асимптотическая формула

R (p, = пsN2-le-YW(p,u, N)H(p) + O (d2+1N4-4+f+^+£) , (3)

где W(p,u, N) - некоторый комплексный интеграл, его явный вид и оценка

W(p,u,N) < —=N^+е (4)

d

приводятся в указанной работе А.В. Малышева; H(p) - особый ряд задачи, выражающийся через кратную сумму Гаусса; N - растущий вещественный параметр; y - комплексное число, входящее в ш как свободный член; т,п - фиксированные вещественные числа, причем 0 < т < п < 1/2.

Результат А.В. Малышева был обобщен В.В. Головизиным [3] на случай произвольной квадратичной формы, содержащейся в неоднородном многочлене второй степени p(x1,...,xs), при этом остаточный член имеет вид

O (ПАН2d4+2Ns-1+ъ+^,

где

s

\\А\\ = ^ А =(ак^) 1 ^ k ^ s

< < 3=1

-матрица квадратичной формы в многочлене p(x1,... ,xs).

В последнее время в случае четырехмерных гиперболических поверхностей в работах Куртовой Л.Н. [15,16] используется подход, основанный на точных значениях двойных сумм Гаусса и на современных оценках, связанных с суммой Клостермана. Ее результат в наших обозначениях имеет вид

2 2 q-\ ту

ih(n,4) = Eq-4 E e-2ni~Gi(q,1,0)o2{q, -i,0) + o(n3/4+e)

1 F 1 q= 1 l=0 ^

(l,q)=1

где Gk(q,i, 0) -двойные суммы Гаусса, Öf -дискриминант соответствующего мнимого квадратичного поля.

В дальнейшем в [1], где обосновывается естественность использования результатов о взвешенном числе целых точек на поверхностях второго порядка, ставится еще более общая задача о взвешенном числе целых точек, лежащих в заданной области на квадратичной поверхности (1) и в заданном классе вычетов по данному модулю m.

Наряду с вопросом о взвешенном числе целых точек на поверхностях второго порядка ведутся также активные исследования и по вопросу о

числе целых точек в заданной области на квадратичных поверхностях. К последнему из этих вопросов относится также один из результатов третьей главы нашей диссертации.

Пусть - какая-либо область на поверхности (1). Тогда

Я(ПР) = Е 1

р(хь...,х„)=0

есть количество целых точек, лежащих в области 0,р поверхности (1).

В 1938 году Де Лури [7] в случае четырехмерной гиперболической поверхности

4

р(х\,..., х4) = ^^ акх\ — т, т = 0 к=1

в области 0,р = &Р(Ь) на ней определяемой неравенством

4

^21ак 1хк ^ Ь, к=1

получил асимптотическую формулу для величины Я(&р) при Ь ^ то и фиксированных а\,а2,а3,а4 и т, при этом Де Лури остаток не оценивает.

На этой же поверхности в 1962 году Эстерман [8] рассматривает области ир = 0,р(Ь), определяемые системой неравенств |ак |хк < Ь(к = 1,. . . , 4) и получает для них асимптотическую (Ь ^ то) для величины т(0.р) с остаточным членом 0(Ь3/4+£), где £ > 0 сколь угодно малое число.

Результат Де Лури был обобщен и уточнен А.В. Малышевым [2] на случай многомерных гиперболойдов.

Исследование в [2] ведется на основе кругового метода Харди-Литтлвуда при п > 4 .В случае п = 3 трехмерных поверхностей второго порядка круговой метод не применим. Этот случай исследовался совершенно другим методом, разработанным Ю.В. Линником [9 ] и получившим название дискретного эргодического метода (см. также А.В.

Малышев [10]) . В частности, Ю.В. Линник [11] и Б.Ф. Скубенко [12] исследовали распределение целых точек на гиперболической поверхности

хх — у2 = т, т = 0, т ^ <х>.

Их результаты значительно были обобщены У.М. Пачевым в [13,14]. Цель работы.

Цель диссертационного исследования заключается в решении следующих задач:

• Вычислить точные значения двойных сумм Гаусса, соответствующих

классам идеалов мнимого квадратичного поля;

• Применить двойные суммы Гаусса к доказательству одного аналога

соотношения ортогональности для комплексного характера группы

классов идеалов мнимого квадратичного поля;

• Получить асимптотическую формулу для взвешенного числа точек

1н{п, з) = ^ е—!/п)+д(2)(^))

р(х,у,г,:ь)=н

с явным вычислением главного члена и особого ряда этой задачи, где п ^ <ж - вещественный параметр, при этом гиперболоид задается уравнением

в

р(х,у,х,г) = ^(Я('\хг,уг) + Я?\хг,и)) = Н, Н = 0;

%=1

• Обобщить результаты Де Лури и А.В. Малышева на многомерные гиперболические поверхности, задаваемые некоторыми недиагональными квадратичными формами.

Методы исследования. В работе применяются методы элементарной и аналитической теории чисел (в частности, круговой метод), методы комплексного анализа.

Научная новизна. В диссертации представлены доказательства следующих новых результатов:

• точные значения для двойных сумм Гаусса, соответствующих классам

идеалов мнимого квадратичного поля;

• обращение в нуль одной тригонометрической суммы, являющегося

новым аналогом соотношения ортогональности характеров конечных абелевых групп;

• асимптотическая формула для взвешенного числа целых точек на гиперболоидах, определяемых прямой суммой кватернарных квадратичных форм;

• исследование особого ряда задачи о взвешенном числе целых точек

на гиперболоидах;

• асимптотическая формула с остаточным членом для числа целых точек в областях на многомерных гиперболоидах специального вида.

Положения, выносимые на защиту:

1. Доказательство точных формул для двойных сумм Гаусса, соответствующих классам идеалов мнимого квадратичного поля;

2. Доказательство обращения в нуль суммы произведения комплексного характера на двойные суммы Гаусса (новый аналог соотношения

ортогональности для характеров абелевых групп);

3. Доказательство асимптотической формулы для взвешенного числа

целых точек на многомерных гиперболоидах с остаточным членом и

исследование особого ряда задачи о целых точках на гиперболоидах;

4. Доказательство асимптотической формулы с остаточным членом для

числа целых точек в специальных областях на многомерных гиперболоидах (обобщение результатов Де Лури и А.В. Малышева на недиагональные квадратичные формы, эквивалентные диагональным формам).

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы их доказательств могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных вопросам распределения целых точек на гиперболических поверхностях, а также при разработке специальных курсов по теории чисел.

Достоверность результатов. Достоверность результатов, полученных в диссертации определяется подробно обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы элементарной и аналитической теории чисел.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и международных конференциях:

- Научно-исследовательский семинар математического факультета Кабардино-Балкарского государственного университета им. Х.М. Бербе-кова;

- Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Белгород, 26-31 мая 2013 г.;

- XII Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения посвященная 80-летию В.Н. Латышева. Тула, 21-25 апреля 2014 г.;

- Международная конференция "Алгебра и приложения посвященная 100-летию Л.А. Калужнина. Нальчик, 6-11 сентября 2014 г.

Публикации. Все работы диссертации опубликованы в работах автора [1] - [8]. Из них статьи [1] - [4] опубликованы в журналах из списка ВАК РФ. Список публикаций автора приведен в конце диссертации.

Личный вклад автора. Постановка задач в работе принадлежит научному руководителю У.М. Пачеву. Все представленные в диссертации результаты за исключением работ [1,3] из списка работ автора, в которых вклад каждого автора, составляет 50%, получены лично автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Список литературы содержит 46 наименований, включая работы автора. Общий объем диссертации 89 страниц машинописного текста.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дохов Резуан Ауесович, 2017 год

Литература

[1] Малышев А.В. О представлении целых чисел квадратичными формами // Труды четвертого всесоюзного математического съезда. 1964, т. 2. с.118-124.

[2] Малышев А.В. О взвешенном количестве целых точек, лежащих на поверхности второго порядка // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1966. т. 1. с. 6-83.

[3] Головозин В.В. О распределении целых точек на гиперболических поверхностях второго порядка // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1981. т. 106. с.52-69.

[4] KLOOSTERMAN H.D. On the representation of numbers in the form ax2 + by2 + cz2 + dt2. Acta Math.,49; 407-464 (1926).

[5] DOLCIANI M.P. On the representation of integers by quadratic forms// Thesis Jthaca. New York. 1947. 1-56.

[6] Siegel C.L. Equivalence of quadratic forms. Amer. J. Math. 1941. 63. p. De 658-680.

[7] Lury D.B. On the representation of numbers by the indefinite form ax2 + by2 + cz2 + dt2. Univ. of Toronto Studies, math. ser., №5. 1938.1-17.

[8] ESTERMANN T.A. A new application of the Hardy-Littiewood-Kloostermann method. Proc. London Math. Soc. 1962,12, №3, 425-444.

[9] Линник Ю.В. Эргодические свойства алгебраических полей. Издательство ЛГУ 1967.

[10] МАЛЫШЕВ А.В. Дискретный эргодический метод Ю.В. Линника и его дальнейшее развитие. В кн. Ю.В.Линник. Избранные труды. Теория чисел. Эргодический метод и L-функции. Л.Наука, 1979.-С.418-430.

[11] Линник Ю.В. Асимптотическое распределение приведенных бинарных квадратичных форм в связи с геометрией Лобачевского // Вестник ЛГУ. 1955, №2, 3-23; 3-32; №8, 45-27.

[12] Скубенко Б.Ф. Асимптотическое распределение целых точек на од-нополостном гиперболоиде и эргодические теоремы // Изв.АН СССР, сер.матем. 1962, 26.-С.721-752.

[13] Пачев У.М. Представление целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами // Изв.РАН.-2006. Сер. матем. Т.70. №3.-С.167-184.

[14] Пачев У.М. Обзор исследований по дискретному эргодическому методу в теории чисел // Чебышевский сборник. Т.11 Вып.1 (33), 2010.-С. 217-233.

[15] Куртова Л.Н. Об одной бинарной аддитивной задаче с квадратичными формами // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. Математика. 2007. №7 (57). С.107-121.

[16] Куртова Л.Н. О числе решений одного уравнения с квадратичными формами // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика, Физика: Научный рецензируемый журнал. - Белгород: Изд-во НИУ "БелГУ".- 2012- №17(136).- С.51-55.

[17] Пачев У.М., Дохов Р.А. О двойных суммах Гаусса, соответствующих классам идеалов мнимого квадратичного поля// Научные ведомости БелГУ №19 (162) 2013. Вып. 32.-С.108-119.

[18] Дохов Р.А. Об обращении в нуль суммы произведений характера группы классов идеалов мнимого квадратичного поля на двойные суммы //Научные ведомости БелГУ №26 (169) вып.33, 2013. С 14-21.

[19] ГРИЦЕНКО С.А. О функциональном уравнении одного арифметического ряда Дирихле // Чебышевский сборник. 2003. т. 4. Вып. 2(6). с. 55-67.

[20] Р.А. Дохов, У.М. ПАЧЕВ. О взвешенном числе целых точек на некоторых многомерных гиперболоидах // Чебышевский сборник т. XVI. Вып. 3 (55). 2015. С 220-246.

[21] Дохов Р.А. Об одной задаче А.В. Малышева о целых точках на многомерных гиперболоидах Чебышевский сборник T.XVI. Вып. 3 (55). 2015. С 209-219 // Научные ведомости БелГУ №26 (169) 2013.

[22] Субханкулов М.А. Тауберовы теоремы с остатком. М. 1967.403с.

[23] Малышев А.В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Труды Математического ин-та АН СССР. 1962. Т.65.

[24] OGG А.Р. Modular Forms and Dirichlet Series /A.P.Ogg. N.-Y.: W.A. Benjamin, Jnc., 1969.-211p.

[25] Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М. "Наука". 1967-304с.

[26] Hardy G.H. & Wrigt E.M. (1979). An introduction to the theory of numbers. 5 th edn. Oxford i Oxford University Press.-421p.

[27] КАССЕЛС Дж. Рациональные квадратичные формы. М.: Мир, 1982.-436с.

[28] Дэвенпорт Г. Высшая арифметика/М.: Наука , 1965. 175с.

[29] Боревич З.И., Шафаревич. Теория чисел. М. 1985. 439с.

[30] Венков Б.А. Элементарная теория чисел/ М.-Л.:ОНТИ.1937.218с.

[31] Виноградов И.М. Основы теории чисел. Изд-во 1981.- с.167.

[32] КАРАЦУБА А.А. Основы аналитической теории чисел. М. "Наука". 1983. 238с.

[33] Г. БЕйТМЕН, А. ЭрдеЙИ. Высшие трансцендентные функции. -М.: Наука. 1967. 299 с.

[34] ВАЛЬФИШ А.З. О представлении чисел суммами квадратов. Асимп-тотитесские формулы // Успехи математических наук Т.7, вып.6, 1952, с. 97-178.

[35] МОРОЗ Б.З. Распределение целых точек на многомерных гиперболоидах и конусах // Зап. научн. семин. ЛОМИ. т.1. М. Москва, 1966.стр.84-113.

[36] Виноградов А.И. О продолжении в левую полуплоскость скалярного произведения L-рядов Гекке с характерами величины // Изв. АН СССР, Серия математическая 29 (1965), 485-492.

[37] Постников А.Г. Избранные труды // пед.ред. В.Н.Чубарикова -М. Физматлит.2005. 512с.

[38] Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел "Нау-ка"М. 1971. 416 с.

[39] H.Davenport. Analytic Methods for Diophantine Eqnations and Diophantine Jneqnalities. 2004. P.135.

Работы автора по теме диссертации

[40] У.М.Пачев, Р.А.Дохов. О двойных суммах Гаусса, соответствующих классам идеалов мнимого квадратичного поля // Научные ведомости БелГУ, №19(162) 2013. Вып. 32. С.108-119.

[41] Р.А.Дохов. Об обращении в нуль суммы произведений характера группы классов идеалов мнимого квадратичного поля на двойные суммы Гаусса // Научные ведомости БелГУ, №26 (169) вып.33 / 2013. С 14-21.

[42] Р.А. Дохов, У.М. ПАЧЕВ. О взвешенном числе целых точек на некоторых многомерных гиперболоидах // Чебышевский сборник T.XVI. Вып. 3 (55). 2015. С 220-246.

[43] Р.А. Дохов. Об одной задаче А.В. Малышева о целых точках на многомерных гиперболоидах Чебышевский сборник T.XVI. Вып. 3 (55). 2015. С 209-219 // Научные ведомости БелГУ, №26 (169) 2013. Вып.33.с.14-21.

[44] Р.А.Дохов. О суммировании произведений характера группы классов идеалов мнимого квадратичного поля на двойные суммы Гаусса // Дифференциальные уравнения и их приложения: материалы Международной конференции (Белгород 2013).

[45] Р.А.Дохов, У.М.ПАЧЕВ. О двойных суммах Гаусса, соответствующих классам идеалов мнимого квадратичного поля // Дифференциальные уравнения и их приложения: материалы Международной конференции (Белгород 2013).

[46] Р.А.Дохов. О взвешенном числе целых точек на некоторых четырехмерных квадратичных поверхностях // Материалы XII Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Тула 2014. с.227-228.

[47] У.М.Пачев, Р.А.Дохов. Об особом ряде для задачи о взвешенном числе целых точек на четырехмерных квадратичных поверхностях // Материалы XII Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Тула 2014.с.240-242.