Движение вязкой жидкости с диффузионными пограничными слоями при микроконвекции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Фроловская, Оксана Александровна

• Фроловская, Оксана Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фроловская, Оксана Александровна

Введение

Глава 1. Пограничные слои при свободной конвекции с большими числами Шмидта

1.1 Постановка задачи.

1.2 Вывод уравнений пограничных слоев.

1.3 Стационарные пограничные слои.

1.4 Начальные асимптотики.

1.5 Нестационарные пограничные слои.

Глава 2. Групповые свойства уравнений диффузионно-динамического пограничного слоя

2.1 Уравнения движения.

2.2 Групповой анализ уравнений стационарного пограничного слоя.

2.2.1 Допускаемая группа.

2.2.2 Инвариантные решения.

2.2.3 Групповое расслоение.

2.3 Групповые свойства уравнений нестационарного пограничного слоя

2.3.1 Основная группа.

2.3.2 Инвариантные решения.

2.3.3 Групповое расслоение.

Глава 3. Краевая задача для диффузионно-динамического пограничного слоя

3.1 Постановка задачи.

3.2 Основные предположения. Теорема существования.

3.3 Доказательство теоремы существования.G

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Движение вязкой жидкости с диффузионными пограничными слоями при микроконвекции»

За последнее время возрос интерес к течениям, которые вызываются действием выталкивающей силы жидкости или газа и часто встречаются в природе и в технике. Эти течения, называемые естественно-или свободноконвективными течениями, обусловлены процессами тепло-или массообмена в поле объемных сил, например гравитационных. Различные процессы, представляющие большой интерес и имеющие важное значение в природе и технических приложениях, определяются механизмами естественной конвекции, а в некоторых случаях эти механизмы содействуют или противодействуют другим процессам, определяющим перенос тепла или материи.

В последние годы изучение теплообмена связано с очень широким кругом задач, каждой из которых присущи свои требования к точности определения искомых характеристик и степени понимания физической сути конкретных процессов, представляющих интерес. Эти задачи относятся как к физике атмосферы, геофизике и воздействию на окружающую среду, так и к процессам отвода тепла, космическим исследованиям и производственным процессам.

В разнообразных исследованиях теплообмена значительное внимание уделяют конвекции, при которой относительное движение жидкости создает дополнительный механизм переноса энергии и материальных частиц; последний имеет наиболее важное значение в случаях, когда возникает массообмен, обусловленный разностью концентраций.

В конвективном теплообмене выделяют два основных процесса. Если движение возникает под действием какого-либо внешнего фактора, например наложенного извне течения жидкости около нагретого тела, то процесс называют вынужденной конвекцией. Если же таких наложенных извне течений нет и течение возникает "естественно", т.е. просто вследствие разности плотностей, обусловленной разностью температур или концентраций в поле массовых сил, например в гравитационном поле, то процесс называют естественной (свободной) конвекцией. Разность плотностей создает выталкивающую силу, под действием которой возникает течение. Течение может возникать также вследствие разностей концентраций, обусловленных, например, различием солености в океане или различием состава среды в химико-технологических установках; в этих случаях возникает естественный конвективный массообмен.

Естественная конвекция — один из видов макроскопического движения, который наиболее распространен в природе, а также во многих областях техники и технологии. Хотя наблюдения и качественное описание естественной конвекции восходит к далеким временам, развитие ее количественных моделей началось в конце XIX и начале XX столетия.

Развитие экспериментальных и теоретических исследований естественной конвекции, связанное с задачами теплоэнергетики, строительной техники, химической технологии, металлургии, гео- и астрофизических приложений, а также окружающей среды, привело к выделению естественной конвекции в самостоятельный раздел механики жидкости и газа.

При естественной конвекции основная движущая сила обусловлена наличием поля температуры или концентрации. Поэтому возникающее течение заранее неизвестно, и его определяют из совместного решения уравнений неразрывности, движения и уравнений тепло- и массоперено-са. Уравнения естественной конвекции являются довольно сложными, так как необходимо учитывать изменение плотности от температуры или концентрации. Для упрощения этих уравнений делают различные приближенные допущения, например, приближение Буссинеска. Другие приближенные уравнения относятся к допущению о течении в пограничном слое.

При изучении массообмена мы встречаемся с механизмами переноса, в основе которых лежит движение компонентов смеси химических веществ, обусловленное существующими в системе градиентами. Как правило, рассматривается только поток массы, связанный с градиентами концентраций; вкладом градиентов тепловых параметров, известным под названием эффекта Соре, пренебрегается. Рассматриваются диффузии в разбавленных (слабых) растворах и смесях, поскольку в этих случаях можно воспользоваться аналогией между тепло- и массообменом. Для задач массообмена справедливы приближение Буссинеска, приближение пограничного слоя, автомодельные параметры, метод переменных подобия и т.п. Основные уравнения массообмена в условиях естественной конвекции получены для малой концентрации, постоянных свойств жидкости и в приближении Буссинеска для описания зависимости плотности от концентрации. Задачи массообмена представляют значительный интерес для химических систем и реакторов. В настоящее время исследованы процессы массообмена в различных сложных условиях, например, в концентрированных растворах и реагирующих смесях. Выполнен ряд исследований массообмена в задачах о массоотдаче от тел сферической формы в условиях естественной конвекции. Проводились экспериментальные исследования массообмена в условиях естественной конвекции около вертикальных и обращенных вверх наклонных поверхностей. Изучены ламинарные, переходные и турбулентные течения и найдены распределения потоков массы в продольном и поперечном направлениях. Установлено, что данные по массообмену хорошо согласуются с теоретическими расчетами. Оказалось, что результаты аналогичны соответствующим результатам для теплообмена. Таким образом, результаты, полученные при исследованиях массообмена в случае малых концентраций, можно, вообще говоря, использовать в задачах теплообмена, и наоборот. Основные результаты теоретических и экспериментальных исследований процессов тепло- и массообмена при естественной конвекции изложены в монографиях Й. Джалурия [10], Б. Гебхарт и др. {45].

В настоящее время, в связи с получением новых материалов из расплавов и растворов—расплавов, стала актуальной проблема определения параметров движения неодинаково нагретой жидкости под действием массовых сил и их влияние на процесс роста пленок.

В диссертации рассмотрена задача о движении вязкой жидкости вблизи вертикальной стенки (подложки) и переносе примеси при эпитакси-альном росте тонкой пленки из раствора—расплава. При этом геометрию области можно считать неизменной, так как будем полагать скорость роста пренебрежимо малой (в реальных условиях за 1 час нарастает 2-10 мкм пленки). Тем не менее, если средняя концентрация примеси в растворе не равна равновесной и при этом плотность раствора зависит от концентрации примеси, то вблизи подложки образуется зона пониженной концентрации примеси (при растворении будет зона повышенной концентрации) и возникает движение жидкости, называемое обычно свободной или естественной конвекцией. Свободная конвекция изучена достаточно хорошо, в том числе и методом выделения пограничных слоев (см., например, [26, 28, 29, 45, 56, 58, 59, 60]). Исследования свободноконвек-тивного тепло- и массообмена на вертикальной поверхности проводили А. А. Березовский, О. Г. Мартыненко, Ю. А. Соковишин, В. Gebhart, Е. J. Le Fevre, S. Roy, J.R. Selman, К. T. Yang и многие другие. В работах [2, 21, 55] изучались процессы эпитаксиального роста пленок, в которых учитывался только процесс диффузии. Вопросами разрешимости краевых задач теории пограничного слоя занимались О. А. Олейник, В. Н. Са-мохин, Н.В. Хуснутдинова, Т.Д. Джураев и другие.

Для описания свободной конвекции вязкой жидкости вблизи вертикальной стенки используются классическая модель Обербека — Бусси-неска и модель микроконвекции [42]. В модели Обербека — Буссинеска основная задача заключается в определении компонент и, v вектора скорости v, концентрации с и отклонения от гидростатического давления р в области у > 0, ограниченной бесконечной вертикальной стенкой {У = 0}- Сила тяжести направлена по оси Ох и ее ускорение в координатах (х,у) имеет вид д = {—<7,0). Считаем, что плотность расплава р линейно зависит от концентрации: р = /?о[1+/3(с — Coo)]i где /9q, Ссо — средние плотность и концентрация раствора; /3 = (1/po)(dp/dc) = const (для определенности полагаем /3 > 0). Тогда уравнения движения в приближении Обербека — Буссинеска имеют вид $1) 1 + vVv =--¥р + vAv + Р{с- Соо)^; at ро div v — 0; dc А 4. vVc = DAc. at

В начальный момент времени и t=o = vUo = 0' с

0 ~~ с°°' граничные условия задаются в виде ^ = 0, и -yz+oj wTO(t,х), cL=0 = co (t,y), = c-y^cc0.

Здесь i/ — кинематический коэффициент вязкости; D — коэффициент диффузии; Coo = const; co(t,у), cu(t,x) — заданные функции; ii^t,x) определяется в процессе решения задачи.

Задача о микроконвекции состоит в нахождении концентрации с, вектора модифицированной скорости w=v + j3DVc и модифицированного давления q = р/р0 - дх + /3(и - D)DAc1 где р — p0(l - j3(c - cj)"1, удовлетворяющих начально-краевой задаче:

5 + „V. - /3D (VcVu, - VteVc) + fDH^Vc - V| Vcf/2) = (1 - в (с - Coo))(-V? + и Aw) + ,в (с - Соо)р, div ги = О, дс о + ttfVc - /Ш| Vc|2 = £>(1 - /3(с - Coo))Ac;

4t=o = ^Lo = °> =

W^^DVc^, Woo с|ж=0 = c0(t,y), c\y=0 = cu(t,x), c-y^c0о ( wi, и'2 — компоненты вектора w; iux(t.x) подлежит определению).

Известно, что в модели Обербека — Буссинеска при больших числах Рейнольдса можно выделить пограничный слой и с помощью решений задачи в этом слое получить интегральные характеристики течения (числа Нуссельта). При микроконвекции числа Рейнольдса, как правило, невелики.

В настоящей работе при больших числах Шмидта (Прандтля) выделены асимптотические формы уравнений движения типа пограничного слоя, пригодные также и при малоинтенсивных течениях с умеренными и даже малыми числами Рейнольдса. Актуальность такого подхода еще более увеличивается в связи с тем, что модель Обербека — Буссинеска не всегда адекватно описывает свободную конвекцию. Например, приближение Обербека — Буссинеска непригодно для описания конвекции, если

V = gl*lvD < 1, (0.1) где I — характерный размер. Если параметры жидкости и и D фиксированы, то (0.1) удовлетворяется при конвекции в микромасштабах либо под действием микроускорений. Для таких условий В. В. Пухна-чёвым [42] разработана так называемая модель микроконвекции, основанная на точном выполнении уравнения неразрывности. Под микроконвекцией понимается концентрационная (тепловая) гравитационная конвекция в условиях выполнения неравенства (0.1). Аналогичный подход применялся в работе P. S. Perera R. F. Sekerca [58] при изучении концентрационной конвекции. В работах О. Н. Гончаровой [8, 9] проводился сравнительный анализ структур рассчитанных по обеим моделям полей скорости и концентрации (температуры). Так как при микроконвекции числа Рейнольдса не велики, то обычный пограничный слой не выделяется. Поэтому возможность выделять при микроконвекции диффузионно-динамический пограничный слой позволяет сравнивать для обеих моделей конвекции интегральные характеристики течений, такие как числа Нуссельта.

Здесь рассматривается случай, когда кинематический коэффициент вязкости v и коэффициент диффузии D связаны соотношением D -С v. При больших числах Шмидта Sc = v/D в области течения выделяется диффузионно-динамический пограничный слой толщиной порядка (Re2Sc)"1/4. При этом на число Рейнольдса не накладывается никаких ограничений. Вне диффузионно-динамического пограничного слоя концентрация примеси мало отличается от средней, а характер течения зависит от числа РеЙнольдса Re следующим образом. При Re < Sc1/2 движение соответствует приближению Стокса, при Re ~ Sc1'2 оно описывается уравнениями Навье — Стокса, при Re ^ Sc1^2 образуется также динамический пограничный слой толщиной порядка (Sc/Re2)1^4, сопрягающийся на внутренней границе с диффузионно-динамическим пограничным слоем, а на внешней — с состоянием покоя.

Предлагаемый метод применим и при свободной конвекции вблизи вертикальной стенки, обусловленной неравномерным распределением температуры жидкости. При этом числу Шмидта соответствует число Прандтля, а концентрации — температура. Однако случай D <С v более типичен, например, при росте тонких пленок из раствора-расплава полупроводниковых материалов v имеет величину порядка 10~2 -г Ю~3 см2/с, a D порядка 10"5 см2/с.

Целью выполненных исследований является создание и теоретическое исследование моделей, описывающих движение в диффузионных пограничных слоях с большими числами Шмидта, возникающих при свободной конвекции.

Полученные результаты могут использоваться при расчетах полей скорости и концентрации в процессах получения полупроводниковых материалов и их пленок методами жидкофазной эпитаксии и другими, в том числе при искусственно пониженной силе тяжести.

Остановимся кратко на моделях, рассмотренных в каждой из глав.

В главе 1 для пограничного слоя в обоих типах конвекции выведены уравнения диффузионно-динамического пограничного слоя и поставлены граничные условия. Если число Рейнольдса велико, то в области движения имеется также динамический пограничный слой с большей асимптотической толщиной, сопрягающийся на внутренней границе с диффузионно-динамическим слоем, а на внешней — с состоянием покоя. Для обоих способов описания конвекции на основе анализа автомодельных решений стационарного пограничного слоя выведены формулы для чисел Нуссельта Nu (местного и общего) в зависимости от чисел Рейнольдса, Шмидта и параметра Буссинеска, аналогичные полученным в [48] в результате анализа автомодельных решений системы обычного диффузионно-динамического пограничного слоя [56]. Эти формулы применимы также для движений с умеренными и малыми числами Рейнольдса. Рассмотрены начальные асимптотики. Построены автомодельные решения нестационарных движений в диффузионно-динамических пограничного слоя и динамического пограничного слоя, сопрягающегося на внутренней границе с диффузионно-динамическим слоем. Среди решений выделялись только решения, имеющие ограниченную скорость при удалении от подложки. Показано, что в динамическом пограничном слое в области течения возможно возникновение зоны противотока. На основе автомодельных решений получены формулы для массообмена между растущей пленкой и раствором.

В главе 2 методами Ли — Овсянникова исследуются групповые свойства уравнений диффузионно-динамического пограничного слоя. Основная группа, допускаемая системой уравнений пограничного слоя, бесконечномерна. Проведена классификация инвариантных решений, построены инвариантные решения. Проведено групповое расслоение множества решений этой системы, что позволило от системы трех дифференциальных уравнений перейти к системе двух уравнений. Показано, что краевая задача для уравнений пограничного слоя преобразуется в краевую задачу для разрешающей системы.

В главе 3 исследуется вопрос о разрешимости основной краевой задачи. Система уравнений стационарного диффузионно-динамического пограничного слоя нестандартна. В ней одно из уравнений является квазилинейным параболическим, вырождающимся на границе области, а другое — обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, при этом одна из независимых переменных входит как параметр. Кроме того, в данном случае скорость во внешнем потоке не задается, а определяется в процессе решения задачи. Поэтому может оказаться, что скорость на внешней границе диффузионного слоя неограничена, что физически нереально. В связи с этим возникает вопрос о корректности основной краевой задачи. Для преодоления трудностей используется известное в классической теории пограничного слоя преобразование Ми-зеса, имеющее теоретико-групповую природу и позволяющее понизить порядок исходной системы уравнений. На его основе при естественных допущениях на данные задачи доказана разрешимость ив целом" двумерной краевой задачи для вырождающейся системы уравнений стационарного диффузионно-динамического пограничного слоя; при этом решение глобально ограничено.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

Методы исагедования. При получении результатов использовались методы теории уравнений математической физики, асимптотические методы, методы пограничного слоя, теоретико-групповые методы. Для численного решения краевых задач применялись конечно-разностные методы. Достоверность результатов исследований подтверждается сравнением с аналитическими решениями, расчетами других авторов.

О структуре работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, которые делятся на пункты (п. 1.1-1.5, п. 2.1-2.3, п. 3.1-3.3), заключения и списка литературы. Некоторые из пунктов для удобства чтения разбиты на подпункты. Все леммы идентифицируются набором из двух чисел, первое из которых соответствует номеру главы, а второе указывает на порядковый номер утверждения в этой главе: например, лемма 3.2 является второй леммой третьей главы. Нумерация формул и рисунков в работе также двойная и сквозная внутри каждой главы: первая цифра указывает на номер главы, а вторая — на порядковый номер формулы или рисунка в этой главе. Список литературы составлен последовательно по двум алфавитам — русскому и английскому. Рйботы автора помещены в конце списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Фроловская, Оксана Александровна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. В моделях Обербека — Буссинеска и микроконвекции при больших числах Шмидта (Прандтля) выведены уравнения особого диффузионно-динамического пограничного слоя. Для полученных систем уравнений поставлены начально-краевые задачи. В отличие от классического случая данный слой выделяется, в том числе, при умеренных и даже малых значениях числа Рейнольдса.

2. Для обоих способов описания конвекции в стационарном случае, на малых временах и в режиме нестационарных движений построены автомодельные решения. На основе анализа этих решений получены формулы для чисел Нуссельта в зависимости от чисел Рейнольдса, Шмидта и параметра Буссинеска.

3. Методами Ли — Овсянникова исследованы групповые свойства уравнений стационарного и нестационарного диффузионно-динамических пограничных слоев. Вычислены основные группы. Проведена классификация инвариантных решений, построены примеры инвариантных решений. Проведено групповое расслоение множества решений исследуемых систем. В отличие от классического случая разрешающая система не имеет форму Крокко.

4. В переменных Мизеса при естественных допущениях на данные задачи доказана разрешимость "в целом" краевой задачи для системы уравнений стационарного диффузионно-динамического пограничного слоя.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фроловская, Оксана Александровна, 2002 год

1. Андреев В. К., Капцов О. В., Пухначёв В. В., Родионов

2. А. А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: ВО Наука, 1994.

3. Беннетт К. О., Майерс Дж. Е. Гидродинамика, теплообмен и массообмен. М.: Недра, 1966.

4. Бэтчелор Дж. К. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.

5. Верещагина Л.И. Групповое расслоение уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя // Вестник ЛГУ. 1973. № 13, вып. 3. С. 82-86.

6. Верещагина Л. И. Об одном решении уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя // Вестник ЛГУ. 1974. № 7, вып. 2. С. 102-106.

7. Вишик М. И. Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12, вып. 5. С. 3122.

8. Гончарова О. Н. Микроконвекция в слабых силовых полях. Сравнение двух моделей при численном исследовании // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 2. С. 58-63.

9. Гончарова О.Н. Численное исследование микроконвекции в областях со свободными границами // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 3. С. 64-68.

10. Джалурия Й. Естественная конвекция: тепло- и массообмен / Пер. с англ. С.Л. Вишневецкого; Под ред. В.И. Полежаева. М.: Мир, 1983.

11. Джозеф Д. Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981.

12. Джураев Т.Д. О системе уравнений температурного пограничного слоя для несжимаемой жидкости // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-матем. наук. 1971, № 3. С. 64-68.

13. Джураев Т.Д. О системе уравнений теории пограничного слоя для стационарного течения несжимаемой жидкости // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4, № И. С. 2068-2083.

14. Джураев Т.Д. Об однозначной разрешимости основной краевой задачи теории температурного пограничного слоя // Прикладная математика и механика. 1974. Т. 38, вып. 1. С. 170-175.

15. Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения втрого порядка параболического типа // Успехи матем. наук. 1962. Т. 17, вып. 3(105). С. 3-146.

16. Камке Э. Справочниик по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

17. Каплан В. С. Условия существования инвариантных решений трехмерного ламинарного пограничного слоя на развертывающихся поверхностях // Уч. зап. ЦАГИ. 1972. Т. 3, № 3. С. 36-44.

18. Кибель И. А., Кочин Н.Е., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963.

19. Кружков С.Н. Квазилинейные параболические уравнения и системы с двумя независимыми переменными // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1979. Вып. 5. С. 217-272.

20. Крылов Н. В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гёльдера: Пер. с англ. — Новосибирск: Научная книга, 1998.

21. Кузнецов В. В. Моделирование эпитаксиального роста пленок // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1996. Вып. 111. С. 59-67.

22. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н.

23. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

24. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971.

25. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

26. Ланкерович М. Я. Групповые свойства уравнений трехмерного пограничного слоя на произвольной поверхности // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1971. Вып. 7. С. 12-24.

27. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физмат-гиз, 1962.

28. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

29. Мартыненко О.Г., Березовский А.А., Соковишин Ю.А.

30. Асимптотические методы в теории свободно-конвективного теплообмена. Минск: Наука и техника, 1979.

31. Мартыненко О. Г., Соковишин Ю. А. Свободно-конвективный теплообмен на вертикальной поверхности. Минск: Наука и техника, 1977.

32. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. М.: Мир, 1982.

33. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

34. Овсянников Л. В. Групповое расслоение уравнений пограничного слоя // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1969. Вып. 1. С. 24-35.

35. Овсянников Л. В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1960.

36. Олейник О. А. Математические задачи теории пограничного слоя // Успехи матем. наук. 1968. Т. 23, вып. 3. С. 3-65.

37. Олейник О. А. О системе уравнений Прандтля в теории пограничного слоя // Докл. АН СССР. 1963. Т. 150, № 1. С. 28-31.

38. Олейник О. А. О системе уравнений теории пограничного слоя // Ж. вычислит, матем. и матем. физ. 1963. Т. 3. № 3. С. 489-507.

39. Олейник О.А., Венцель Т.Д. Задача Коши и первая краевая задача для квазилинейного параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1954. Т. 97, № 4. С. 605-608.

40. Олейник О. А., Кружков С. Н. Квазилинейные параболические уравнения второго порядка со многими независимыми переменными // Успехи матем. наук. 1961. Т. 16. № 5. С. 116-155.

41. Олейник О. А., Самохин В. И. Математические методы в теории пограничного слоя. М.: Наука. Физматлит, 1997.

42. Павловский Ю. Н. Исследование некоторых инвариантных решений уравнений пограничного слоя // Ж. вычислит, матем. и матем. физ. 1961. Т. 1, № 2. С. 280-294.

43. Прандтль JI. Гидроаэромеханика. М.: Изд. иностр. лит., 1949.

44. Пухначёв В. В. Модель конвективного движения при пониженной гравитации // Моделирование в механике / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т теорет. и прикл. механики. 1992. Т. 6 (23), № 4. С. 47-56.

45. Пухначёв В. В. Неклассические задачи теории пограничного слоя. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1979.

46. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

47. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен: В 2-х кн. / Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б.; Пер. с англ. C.JI. Вишневецкого, С. С. Мартыненко. — М.: Мир, 1991.

48. Смирнова Г. Н. Линейные параболические уравнения, вырождающиеся на границе области // Сиб. матем. ж. 1963. Т. 4, № 2. С. 343-358.

49. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968.

50. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.

51. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные кравнения. М.: Мир, 1970.

52. Хуснутдинова Н. В. Краевая задача для системы уравнений температурного пограничного слоя // Докл. АН СССР. 1972. Т. 206, JV® 1. С. 64-67.

53. Хуснутдинова Н.В. О корректности краевых задач для систем уравнений теплового пограничного слоя // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1979. Вып. 38. С. 160-174.

54. Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена. М.—JI.: Госэнергоиздат, 1961.

55. Badratinova L. G., Kuznetsov V. V., Petrova A. G., Pukhnachov V. V. Direct and inverse problems of liquid-phase epitaxy. Abstr. of Contr. Papers. The Fifth Intern. Conf. on numerical analysis of semiconductor devices. Dublin, 1987.

56. Le Fevre E. J. Laminar free convection from a vertical plane surface. Mech. Eng. Res. Lab., Heat 113 (Gt. Britian), 1956.

57. Ondich J. A differential constraints approach to partial invariance. Euro. J. Appl. Math. 1995. 6(6). P. 329-354.

58. Perera P. S., Sekerka R. F. Non-solenoidal flows in a liquid diffusion couple // Phys. Fluids. 1997. V. 9. P. 376-391.

59. Roy S. A note on natural convection at high Prandtl number // Intern. J. Heat Mass Transfer. 1969. V. 12. P. 239-241.

60. Selman J. R., Newman J. High Sc limit of free convection at a vertical plate with uniform flux condition // Trans. ASME, Ser. C, J. Heat Transfer. 1971. V. 93. P. 465-466.

61. Кузнецов В. В., Фроловская О. А. Пограничные слои при свободной конвекции // ПМТФ. 2000. Т. 41, № 3. С. 92-100.

62. Фроловская О. А. Групповые свойства уравнений диффузионно-динамического пограничного слоя // Тр. междунар. конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. С. 241-244.

63. Фроловская О. А. Структура течения жидкости при свободной конвекции с большими числами Шмидта // Тр. междунар. конф. "Математические модели и методы их исследования". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. С. 237-239.

64. Фроловская О. А. Свободная конвекция при больших числах Шмидта // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 12 / Материалы международной молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения 2001". Казань: ДАС, 2001. С. 120.

65. Фроловская О. А. Автомодельные решения нестационарных пограничных слоев // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 1. С. 65-70.

66. Фроловская О. А. Точные решения и математические свойства краевых задач для диффузионно-динамических пограничных слоев // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 2. С. 29-38.

67. РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ВВБЛИОТГЯА ""- ъ с>ъ