Движение дислокаций в кристаллах с высоким рельефом Пайерлса: Численное моделирование тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Кравцов, Андрей Владимирович

• Кравцов, Андрей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кравцов, Андрей Владимирович

Введение.

Глава 1. Используемая модель и методика расчётов.

1.1 Формулировка модели.

1.2 Описание методики расчётов.

Глава 2. Режимы движения дислокации.

2.1 Общее описание режимов.

2.2 Надбарьерное движение дислокаций при внешнем напряжении, ниже напряжения Пайерлса.

2.3 Термоактивированный режим движения дислокации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Движение дислокаций в кристаллах с высоким рельефом Пайерлса: Численное моделирование»

3.2 Описание наблюдаемой картины зарождения перегибов. 41

3.3 Влияние силы (температуры) на зарождение перегибов. 48

3.4 Заключение. 52

Глава 4. Взаимодействие дислокационных перегибов. 53

4.1 Введение. 53

4.2 Солитоноподобное прохождение кинков при столкновениях. 54

4.3 Увеличение числа дислокационных перегибов при их столкновениях. 72

4.4 Изменения в динамике дислокационных кинков при увеличении температуры ( внешней силы ). 81

4.5 Заключение. 85

Глава 5. Анализ результатов моделирования.

Сравнение с экспериментом. 87

5.1 Механизмы термоактивированного движения дислокации по рельефу Пайкрлса. 87

5.2 Сопоставление с экспериментальными данными. 90 Заключение. 100 Приложение. 105

Введение

Хорошо известно, что многие физические свойства твёрдых тел определяются дефектами их кристаллических решёток. В силу этого, очень большой объём научных работ, как теоретических, так и экспериментальных, посвящён изучению влияния дефектов на различные свойства: электрические, оптические, механические.

Одним из видов дефектов являются дислокации - линейные дефекты, образующиеся в кристалле как в процессе его роста, так и в процессе деформации (источники Франка-Рида) [1].

Наибольшее влияние дислокации оказывают на механические свойства кристаллов - процесс пластической деформации определяется главным образом движением и размножением дислокаций в кристаллической решётке вещества. Собственно говоря, представление о дислокациях исторически возникло именно при попытке теоретически описать пластическую деформацию, когда Френкель, пытаясь получить оценку напряжения, при котором начинается пластическая деформация идеальной решётки металлов, получил значение, которое было на 3 — 4 порядка выше экспериментального [14]. Это дало основание для введения представления о дислокации - дефекте, являющемся источником внутренних напряжений в кристалле. Поэтому изучение подвижности дислокаций имеет большое прикладное значение. Вскрывая микроскопические механизмы пластической деформации, оно позволяет эффективно решать задачу упрочнения материалов.

Кроме механических, дислокации оказывают существенное влияние также и на электрические свойства вещества. В частности, в полупроводниках, наряду с примесными атомами, дислокации являются центрами рекомбинации электронов и дырок [24].

Вскоре после появления представления о дислокациях были предприняты попытки их модельного описания (Френкель и Конторова [15], Пайерлс и Набарро [16, 17]), имевшие целью рассмотреть поведение дислокаций в различных веществах с единых позиций.

Однако выяснилось, что механизмы, определяющие подвижность дислокаций в материалах разных типов, различны [1].

В ковалентных полупроводниках (Ge, Si) вследствие трансляционной инвариантности кристалла имеется периодический потенциал (рельеф Пай-ерлса) W(x), который и оказывает основное тормозящее влияние на дислокацию. Для его преодоления внешнее напряжение г, двигающее дислокацию, должно быть выше величины тр = которая называется напряжением Пайерлса. При г < тр дислокация может двигаться тер-моактивационно, то есть путём образования на ней пар локализованных перегибов кинк-антикинк, которые, разбегаясь в разные стороны, "перетаскивают" дислокацию в следующую долину рельефа Пайерлса. При этом скорость дислокации v определяется соотошением: v = Xhvk (1) где ^-скорость кинка, h-ero высота, А-плотность кинков на единицу длины дислокации, которая определяется по формуле:

А = — (2) Щ где ж-средняя длина свободного пробега кинка, J-вероятность зарождения пары кинк-антикинк на единице длины дислокации в единицу времени:

T Vk f Udk\ где Udk~энергия пары кинк-антикинк, Т-температура, ^-постоянная Больц-мана [1].

Таким образом: v = 2 Jxh (4)

Если длина дислокации L меньше длины свободного пробега кинка Lk =

2 Ь ехр то он добегает до конца дислокации и тогда х — L/2. В этом случае: v = Lh¥exp{-w) (5)

Если же длина дислокации больше длины свободного пробега кинка, то он аннигилирует со встречным антикинком. В этом случае:

Vk ( Udk \ v = 2 hsITuk = 2 hf ехр (6)

Скорость кинка вдоль линии дислокации определяется по формуле [1]: rbh 2 ( Wm\

Vk = Wai/Dexp{-JT) (7) где И^-величина энергетического барьера, существующего для движения кинка вдоль линии дислокации и называемого барьером Пайерлса второго рода, г/р- дебаевская частота, а-постоянная решётки, 6-вектор Бюргерса дислокации [1].

Поэтому формулы (5, 6) соответственно приобретают вид: r,2 ( Udk + Wm\ , v = Lh тЬ (jJ — ехр ^--—-j , при L < Lk (8)

Q7 2 hVD ( Udk/2 + Wm\ v = 2h exp I--—-I , при L> Lk (9)

Описанный механизм движения дислокации называется пайерлсовским механизмом. Предполагается, что рельеф Пайерлса является основным фактором, ограничивающим подвижность дислокации в Si и Ge, а влиянием точечных и других дефектов можно пренебречь.

В ГЦК и ГПУ металлах, напротив, пайерлсовский рельеф является низким и главным ограничивающим фактором являются неоднородности кристаллической структуры. Кроме того, в этих металлах энергия дефектов упаковки очень низка и дислокации расщепляются на частичные дислокации Шокли в плоскости скольжения [1].

В ОЦК металлах величина рельефа Пайерлса является промежуточной между полупроводниками и ГЦК металлами. Однако существенное влияние на подвижность дислокации оказывает её расщепление в разных плоскостях [1, 2].

На основе этих представлений был достигнут существенный прогресс. В частности, теоретически было выяснено, что напряжение Пайерлса может быть значительно ниже модуля сдвига. Этот факт получил экспериментальное подтверждение. Так для ГЦК металлов тр < Ю-5//, для ОЦК тр ~ 5 • 10~3//, для Si и Ge тр ~ fi [2]. Далее, было получено правильное качественное описание явления Бордони [21], а также объяснены температурные зависимости предела текучести [1]. Обобщая, можно сказать, что простые модели дают удовлетворительное описание деформации макроскопических количеств вещества. Казалось, что процессы движения дислокаций по кристаллической решётке достаточно хорошо поняты.

Ситуация изменилась в начале 60-х годов прошлого века. К тому времени техника и точность эксперимента позволили наблюдать движение отдельной дислокации в кристалле, а не только деформацию большого куска, содержащего сотни дислокаций. Вот тут то и выяснилось, что имеющиеся представления о движении дислокации в полупроводниковых кристаллах Si и Ge не соответствуют наблюдаемым фактам.

По-видимому, первой работой, указавшей на такое несоответствие, была работа [4], в которой было проведено экспериментальное исследование зависимости скорости индивидуальной дислокации v от внешнего напряжения г в германии. Теория указывает, что кривая г>(т) должна быть выпукла вниз, в то время как эксперимент показывает, что она выпукла вверх. Этот факт является очень серьёзным противоречием, ибо выпуклость кривой v(t) есть свойство, характеризующее механизм движения дислокации.

Попытка разрешить это несоответствие в рамках пайерлсовского механизма привела к появлению концепции "слабых препятствий" ( weak obstacles, dragging points ) [5]. Под этим термином подразумевают различные неоднородности кристаллической решётки, распределённые, в простейшем случае равномерно, вдоль линии дислокации, которые создают дополнительные препятствия для движения кинков. Учёт возможного влияния "слабых препятствий" заставляет ввести в теорию ещё один параметр - энергию, необходимую для преодоления "слабого препятствия" Ed. В итоге формулы для скорости дислокации приобретают вид [13, 5]: и = LhJQ (l + e-Tl//r exp , при L< Lk (10) v = h\]2lJ{)v{)^l + ~ exp ' ПрИ L> Lk (П) где 7\ — Ed/bhl, Г-среднее расстояние между "слабыми препятствиями" вдоль линии дислокации, г/о-характерная частота колебаний кинка. Обычно полагают uq = vp. Формулы (10, 11) являются упрощёнными предельными случаями общей формулы для скорости движения дислокации, полученной в [23], справедливыми в том случае, когда движение кинков по дислокации определяется главным образом "слабыми препятствиями", а не барьером Пайерлса второго рода.

Ввиду неясности даже физической природы " слабых препятствий", величина Ed является, по существу, подгоночным параметром теории.

Как показано в [5], параметр Еd позволяет добиться удовлетворительного согласия с экспериментом только в предположении, что движение кинков является бесстолкновительным, то есть описывается формулой (10). Если же допустить возможность столкновения кинков, то подгонкой параметра Ed объяснить эксперименты работы [4] не удаётся.

Если посмотреть на уравнения (10, 11), то можно видеть, что при переходе к столкновительному режиму при L > L^ не только должна пропадать зависимость скорости дислокации от L, но также и уменьшаться почти в два раза энергия активации.

Долгое время зависимость v(L) не удавалось обнаружить экспериментально, и это считалось серьёзной трудностью теории [20]. Однако, в экспериментах по наблюдению дислокационных петель в тонких слоях Si методом просвечивающей электронной микроскопии, такая зависимость была найдена. Выяснилось, что она пропадает при L ~ 1 fim. Вместе с тем, параллельные измерения энергии активации показали, что никакого её уменьшения в два раза при L ~ L& не происходит, она вообще не зависит от L [22]. Этот факт пытаются объяснить опять же влиянием гипотетических "слабых препятствий".

Насчёт их природы высказывались и высказываются различные соображения [13, 22]. Это могут быть:

1. примесные атомы

2. собственные точечные дефекты решётки - вакансии и междоузлия

3. ступеньки на дислокационной линии.

Что касается примесных атомов, то для того, чтобы они сыграли роль, достаточную для объяснения известных экспериментов, их концентрация в районе ядра дислокации должна быть аномально высокой. Было высказано предположение, что дислокация способна аккумулировать примесные атомы возле себя при своём движении по кристаллу.

Ступеньки рассматриваются как более реальный кандидат в "слабые препятствия", но лишь потому, что об их реальной концентрации на линии дислокации ничего не известно.

Таким образом, вопрос о физической природе "слабых препятствий", которые, как считается, оказывают очень существенное влияние на подвижность дислокаций в полупроводниковых кристаллах, остаётся открытым.

Ещё один непонятный экспериментальный факт связан связан с ходом зависимости энергии активации Q от внешнего напряжения г [б, 12]. Теория показывает, что величина Q при достаточно низких напряжениях зависит от т следующим образом:

Q = ^ + Wrn = Uk->feab:l: + Wm (12) где а-константа упругого взаимодействия кинков [1]. Эксперимент показывает, что величина Q быстро спадает с ростом т при г < 7fc, при т > т\. Q заметно не меняется. Для германия т* « 2 и не зависит от концентрации электрически активных примесей.

В [6] было высказано предположение, напряжение тсоответствует преодолению кинками барьера, создаваемого примесями, расположенными в области ядра дислокации. Однако, как было показано в цитируемой работе, это ведёт к неразумным теоретическим оценкам ряда величин, измеренных экспериментально. В частности, было получено, что Lk не может быть меньше 15 см, что более чем на пять порядков превосходит найденное позднее экспериментальное значение.

К настоящему времени не существует убедительного объяснения полученной зависимости Q (г).

Все изложенные к настоящему моменту факты относятся к стационарному движению дислокации, при котором она проходит путь в десятки и сотни межатомных расстояний. В середине 80-х годов прошлого века был разработан метод периодического импульсного нагружения [8]. Этот метод позволяет исследовать непосредственно динамические свойства дислокационных перегибов и потому даёт наиболее полную информацию о движении дислокации. Первой работой, в которой этим методом были детально изучены дислокации в кремнии, была работа [9]. Были определены энергия активации движения дислокации Q, энергия активации миграции кинков Wm, коэффициент диффузии кинков вдоль линии дислокации Dp, среднее расстояние между кинками в условиях эксперимента Lk, скорость дислокации при стационарном нагружении v. Между некоторыми из этих величин существуют установленные теоретически связи. Однако оказалось, что полученные экспериментально значения не следуют этим связям. В частности, между энергией активации движения дислокации и энергий активации миграции кинков с одной стороны, а также вероятностью зарождения перегибов J с другой стороны, существует соотношение, выражаемое формулой ( 3 ). Эксперимент показывает, что получаемое теоретически значение почти натри порядка меньше, чем экспериментальное.

Это означает, что имеются какие-то необычные источники пар перегибов. В [9] было указано, что такими источниками могут быть неоднородности потенциального рельефа, создаваемые точечными дефектами, а также нелинейные возбуждения на линии дислокации, типа бризеров. Такие возбуждения являются обычными для магнитных подсистем решётки, где они получены как теоретически [43], так и обнаружены экспериментально [42]. Что же касается динамики решётки, то там бризерные возбуждения очень интенсивно изучались методом численного моделирования [41]. Экспериментального наблюдения подобных объектов, по крайней мере для идеальной решётки, не известно.

Кроме отмеченного несоответствия, касающегося величины вероятности зарождения кинков, в [9] были получены и другие. Одно из них касается величины напряжения Пайерлса. Исходя из полученных данных, была сделана оценка, что тр « 56 • Однако скорости индивидуальных дислокаций измерены вплоть доги 100 [7]> а характеристики пластической деформации - до т и 300 [26], и нигде не обнаруживается резкого изменения измеряемых параметров, которое должно было бы произойти при переходе через напряжение Пайерлса, разделяющее области двух различных механизмов движения дислокации - термоактивированного и надба-рьерного.

Итак, с одной стороны термоактивированный механизм движения дислокаций (механизм Пайерлса) в кремнии и германии не вызывает сомнений. Убывание величины предела текучести и рост скорости индивидуальных дислокаций с ростом температуры являются мощными экспериментальными подтверждениями этого факта. С другой стороны, существующая теория этого механизма не способна описать достаточно большое число экспериментов. Предложенные модификации, учитывающие влияние точечных дефектов, далеки от своего завершения и даже их перспективы остаются не ясными. Теория "слабых препятствий", в частности, не решила имеющихся проблем, и привлекается, как правило, когда ситуация совсем туманна, так как ввиду неясности их природы на них можно списать всё что угодно. Как сказано в [13], до сих пор не существует законченной теории, использующей разумные допущения, способной количественно объяснить все имеющиеся эксперименты.

Вместе с тем динамика дислокационных перегибов ранее не была достаточно хорошо рассмотрена теоретически. Имеющиеся представления, составляющие базис теории механизма Пайерлса, являются умозрительными. Поэтому представляет безусловный интерес модельное рассмотрение движения дислокации.

Впервые такое рассмотрение было предпринято в работе [30]. Было использовано обобщение известной модели Френкеля-Конторовой на случай двумерной квадратной решётки. Динамика дислокации изучалась при отличных от нуля температурах, для чего был применён метод уравнения Ланжевена. Однако основное внимание уделялось быстрому надбарьер-ному движению дислокации при т > тр. Термоактивированное движение, имеющее место при т < гр, не было в достаточной степени исследовано и потому эта работа не привела к какому-либо уточнению картины движения дислокаций в этой области напряжений.

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы восполнить этот пробел. Задача заключается в выполнении численного моделирования движения дислокации при конечных температурах. При этом основное внимание уделяется динамике дислокаций при т < тР) что соответствует ситуации, имеющей место в экспериментах по движению дислокаций в полупроводниковых кристаллах.

Материал диссертации организован следующим образом. В главе 1 опи 14 — сывается используемая модель, даётся краткое описание существующих методов численного интегрирования систем стохастических дифференциальных уравнений, а также излагается методика проведённых расчётов. Главы 2—4 содержат основные результаты численного моделирования. В главе 2 описываются режимы движения дислокации,возможные в используемой модели, и их взаимосвязь. Глава 3 содержит описание наблюдаемого процесса образования термического перегиба на дислокации. В главе 4 приведены результаты, касающиеся взаимодействия кинков. В главе 5 проводится анализ полученных результатов с точки зрения возможной модификации теории движения дислокаций. Модифицированная теория сопоставляется с известными экспериментальными фактами.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Кравцов, Андрей Владимирович

Заключение.

Итак, в настоящей работе впервые выполнено численное моделирование движения дислокации при внешних напряжениях ниже напряжения Пайерлса при конечных температурах. Было обнаружено, что при т < тр дислокация, действительно, движется по пайерлсовскому механизму. Однако, динамика термических перегибов не является столь тривиальной, как это предполагалось традиционно.

Выяснилось, что в рассматриваемой модели такой перегиб представляет собой не просто геометрический изгиб линии дислокации, а решёточный солитон. Поэтому к нему не могут быть применены простейшие представления, заключающиеся, по существу, в предположении об обязательной аннигиляции перегибов при их столкновениях. Вместо этого, правильное описание его движения требует применения методов нелинейной механики, чего раньше никогда не делалось.

Во введении было указано, что традиционные представления о движении перегибов противоречат целому ряду экспериментов по движению индивидуальных дислокаций. Вместе с тем, в главе 5 было показано, что представление о солитонном характере столкновений перегибов приводит к такому хорошему согласию с экспериментами, какого ранее никогда не получалось. При этом объяснение получают независимые экспериментальные факты: независимость энергии активации от длины дислокации, аномально высокая вероятность зарождения перегибов, низкий вклад равновесных кинков в движение дислокации.

Можно сказать, что основной результат выполненной работы состоит в том, что при рассмотрении движения дислокаций в кристаллах с высоким барьером Пайерлса основное внимание следует уделять именно динамическим эффектам в движении перегибов, а не влиянию точечных дефектов, как делалось до сих пор. Конечно, влияние неоднородностей решётки, безусловно, присутствует и должно учитываться, однако, оно, по-видимому, даёт лишь поправки к основной картине, которая определяется нелинейной динамикой атомов вблизи ядра дислокации. Поэтому представляется вполне обоснованным предложение никогда более не привлекать гипотетических "слабых препятствий" для объяснения экспериментов по движению дислокаций.

В качестве следующего вывода из проведённого исследования следует отметить тот факт, что при т < тр могут иметь место различные динамические режимы движения дислокации. Впервые было обнаружено, что при повышении внешнего напряжения начинается увеличение числа перегибов на дислокации в результате эволюции бризерного состояния, образованного столкнувшимися кинками. Было высказано предположение, что именно этой смене режимов соответствует известный загиб на экспериментальной кривой Q (г).

Однако, этот вопрос нуждается в дополнительном исследовании, как теоретическом, так и экспериментальном. В теоретическом плане встаёт задача аналитического описания бризеров на дислокациях, что, по-видимому, может быть точно сделано в рамках двумерной модели синус-Гордона. С экспериментальной точки зрения было бы интересно выполнить исследование движения дислокации методом периодического импульсного нагру-жения для т > т*. В частности, интересно знать, выполняется ли в этой области соотношение ( 3 ).

Более того, было обнаружено, что как раз само напряжение Пайерлса тр не является величиной, разграничивающей области двух принципиально различных режимов движения дислокации — она может двигаться надбарьерно и при г < тр. Этот факт может иметь отношение к обсуждавшейся во введении и в главе 5 проблеме экспериментального обнаружения напряжения Пайерлса.

Численные расчёты показывают, что получающиеся результаты не чувствительны к конкретным значениям параметров модели, в частности к форме нелинейного потенциала подложки. Это позволяет надеяться, что наблюдавшаяся в расчётах картина движения дислокации действительно имеет место в целом классе материалов, а не только в конкретных кристаллах кремния и германия, которые изучались в большинстве экспериментов по термоактивированному движению дислокаций, выполненных к настоящему времени.

Итак, в ходе выполнения настоящей работы в результате модификации существующей теории было достигнуто хорошее количественное описание экспериментов по изучению движения дислокаций в кремнии, выполненных методом периодического импульсного нагружения, несмотря на то, что использованная модель не учитывает многих факторов, короые имеют место в реальных экспериментах ( расщепление дислокаций, ковалентный характер межатомных связей в кремнии ).

В общем плане, в качестве теоретического результата настоящей работы можно назвать указание на настоятельную необходимость применения к дислокации нелинейной механики. В качестве значения данной работы для экспериментальной физики можно назвать необходимость сосредоточиться в большей степени на изучении динамики дислокационных перегибов в разных областях напряжений и температур, чем на изучении влияния примесей на движение дислокации. Идеальным инструментом для этого представляется метод периодического импульсного нагружения.

На защиту выносятся следующие факты:

1. Обнаружен новый механизм зарождения двойных перегибов, обусловленный распадом скоррелированных колебаниями атомов в области ядра дислокации на пару кинк-антикинк. Таким образом, зарождение перегибов на дислокации может происходить не только за счёт случайных термических флуктуаций, но и в результате развития неустойчивости колебаний, локализованных в области ядра дислокации.

2. Установлено, что существует интервал параметров модели (температура, внешнее напряжение, вязкость) в котором, несмотря на дискретность, затухание и тепловые флуктуации, при столкновениях кинк и антикинк демонстрируют солитоноподобное (безаннигиляци-онное) прохождение друг сквозь друга.

3. Обнаружен новый источник пар перегибов, представляющий собой бризерное возбуждение на линии дислокации, оставшееся на месте столкновения пары пары кинк-антикинк после их прохождения. Это возбуждение при достаточно высокой температуре (внешнем напряжении) может распадаться на новую пару кинк-антикинк.

4. Продемонстрировано, что надбарьерное движение дислокации возможно при г < тр за счёт кинетической энергии, аккумулированной в области её ядра, на предшествующей стадии её движения, контролируемой кинковым механизмом. 104 — * *

Эту работу я посвящаю памяти Владимира Ермолаевича Старцева, который, несмотря на очевидную разницу между нами в возрасте и служебном положении, был мне добрым другом и, по моему мнению, истинным учёным, обладавшим ярким талантом экспериментатора и не обременённым тяжким гнётом тщеславия.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кравцов, Андрей Владимирович, 2002 год

1. Дж. Хирт, И. Лоте. "Теория дислокаций." "Атомиздат", 1972.

2. Т. Судзуки, X. Есинага, С. Такеути. "Динамика дислокаций и плстич-ность." "Мир", 1989.

3. А. М. Косевич. "Физическая механика реальных кристаллов." "Нау-кова думка", 1981.

4. М. N. Kabler. Phys. Rev. 131, 1963, p. 54.

5. У. Celly, M. Kabler, Т. Ninomiya, R. Thomson. Phys. Rev. 131, 1963, p. 58.

6. И. E. Бондаренко, В. H. Ерофеев, В. И. Никитенко. ЖЭТФ, 64, 1973, стр. 2196.

7. В. Н. Ерофеев, В. И. Никитенко. ЖЭТФ, 60, 1971, стр. 1780.

8. В. И. Никитенко, В. Я. Фарбер, Ю. Л. Иунин. Письма в ЖЭТФ, 41, 1985, стр. 103.

9. В. И. Никитенко, В. Я. Фарбер, Ю. Л. Иунин. ЖЭТФ, 93, 1987, стр. 1304.

10. Ю. Л. Иунин, В. И. Никитенко, В. И. Орлов, В. Я. Фарбер. ЖЭТФ, 100, 1991, стр. 1951.

11. И. Yu. L. Iunin, V. I. Nikitenko. Scripta Mater., 45, 2001, p. 1239.

12. H. Schaumburg. Phil. Mag., 25, 1972, p. 1429.

13. H. Alexander. In: Dislocation in solids, ed. by F. R. N. Nabarro, North-Holland, Amsterdam, vol. 8, 1986, p. 115.

14. Я. И. Френкель. Z. Phys., 37, 1926, p. 572.

15. Я. И. Френкель, Т. Конторова. ЖЭТФ, 1349, 1938, стр. 1340.

16. R. Е. Peierls. Proc. Roy. Soc., 52, 1940, p. 23.

17. F. R. N. Nabarro. Proc. Roy. Soc., 59, 1947, p. 256.

18. F. C. Frank, J. H. van der Merwe. Proc. Roy. Soc., A198, 1949, p. 205. F. C. Frank, J. H. van der Merwe. Proc. Roy. Soc., A200, 1950, p. 125.

19. А. О. Анохин, M. JI. Гальперин, Ю. H. Горностырёв, M. И. Кацнель-сон, А. В. Трефилов. ФММ, 79, 1995, стр. 16.

20. В. И. Никитенко. "Подвижность дислокаций в потенциальном рельефе Пайерлса." В сб. "Динамика дислокаций." "Наукова думка", 1975, стр. 7.

21. А. Зегер, П. Шиллер. "Перегибы на дислокациях и их влияние на внутреннее трение." В сб. "Физическая акустика." т. 2, часть 3, под ред. У. Мэзона, "Мир", 1969.

22. К. Maeda, S. Takeuchi. In: Dislocation in Solids, ed. by F. R. N. Nabarro, vol 10, 1996, p. 445.

23. В. В. Рыбин, A. H. Орлов. ФТТ, 11, 1969, стр. 3251.

24. В. Л. Бонч-Бруевич, С. Г. Калашников. "Физика полупроводников." "Наука", 1977.

25. В. И. Алыпиц, В. JI. Инденбом. "Динамическое торможение дислокаций." В сб. "Динамика дислокаций", "Наукова думка", 1975, стр. 232.

26. J. Rabier, P. Veyssiere, J. L. Demenet. J. de Phys., 44, 1983, p. C4-243.

27. Ю. H. Горностырёв, M. И. Кацнельсон, А. В. Кравцов, А. В. Трефилов. Phys. Rev. B, 60, 1999, p. 1013.

28. Ю. Н. Горностырёв, М. И. Кацнельсон, А. В. Кравцов, А. В. Трефилов. Phys. Rev. Е, 66, 2002, р. 027201.

29. Ю. Н. Горностырёв, М. И. Кацнельсон, А. В. Кравцов, А. В. Трефилов. ФТТ. В печати.

30. D.H. Srolovitz, P.S. Lomdahl. Physica D, 23, 402, (1986).

31. P.S. Lomdahl, D.H. Srolovitz. Phys. Rev. Lett., 57, 2702, (1986).

32. R. Boesh, M. Peyrard. Phys. Rev. B, 43, 1991, p. 8491.

33. C. A. Condat, R. A. Guyer, M. D. Miller. Phys. Rev. B, 27, 1983, p. 474.

34. H. Г. Ван Кампен. "Стохастические процессы в физике и химии." "Высшая школа", 1990.

35. К. В. Гардинер. "Стохастические методы в естественных науках." "Мир", 1986.

36. Ю. Н. Горностырёв, М. И. Кацнельсон, С. В. Третьяков, А. В. Трефилов. Phys. Rev. В, 54, 1996, р. 3286

37. Н. S. Greenside, Е. Helfand. Bell. Syst. Tech. J., 60, 1981, p. 1927.

38. G. N. Milshtein. "Numerical Integration of Stochostic Differential Equations". Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1995.

39. G. N. Milshtein, M.V. Tret'yakov. Weierstrass-Institut fur Angevandte Analysis und Stochastic, Preprint, IAAS N 102, Berlin, (1994)

40. Д. Ниблетт. "Пик Бордони в гранецентрированных кубических металлах." В сб. "Физическая акустика." т. 2, часть 3, под ред. У. Мэзона, "Мир", 1969.

41. I. G. Ritchie, G. Fantozzi. In: Dislocation in solids, ed. by F. R. N. Nabarro, North-Holland, Amsterdam, vol. 9, 1992, p. 57.110 —

42. S. Flach, С. R. Willis. Phys. Rep., 295, 1998, p. 181.

43. V. I. Nikitenko, L. M. Dedukh, V. K. Vlasko-Vlasov. Proc. of Yamada Conf. IX on Dislocations in Solids. Ed. H. Suzuki, University of Tokyo press, 1985, p. 493.

44. А. Б. Борисов, А. П. Танкеев, А. Г. Шагалов. ФММ, 60, 1985, стр. 467.