Докритический рост трещины при неравномерном распределении напряжений перед её вершиной тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Галатенко, Григорий Васильевич

• Галатенко, Григорий Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Галатенко, Григорий Васильевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ ВЯЗКО

УПРУГИХ И УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕД С ТРЕЩИНАМ.

§ I.I. Модели и критерии механики разрушения

§ 1.2. Обзор основных работ в области исследования докритического роста трещин в вязко-упругих и упруго-пластических материалах.

§ 1.3. Цель исследования и структура диссертационной работы.

Глава П. ДОКРИТИЧЕСКИЙ РОСТ ТРЕЩИНЫ В ВЯЗКО-УПРУГОЙ

ПЛАСТИНЕ С НЕОДНОРОДНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ НАПРЯЖЕНИЙ В ОБЛАСТИ ПРЕДРАЗРУШЕНИЯ.

§ 2.1. Исходные положения.

§ 2.2. Трещина в упругой пластине.

§ 2.3. Инкубационный период развития трещины в вязко-упругой пластине

§ 2.4. Переходной этап развития трещины

§ 2.5. Основной этап медленного роста трещины

§ 2.6. Случай линейного распределения напряжений

§ 2.7. Сравнение полученных результатов

§ 2.8. Приближенный анализ долговечности вязкоупругой пластины с трещиной.

Глава Ш. ДОКРИТИЧЕСКИЙ РОСТ УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН В УПРОЧНЯЮЩИХСЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛАХ.

§ 3.1. Обобщение модели трещины Дагдейла на случай упрочняющегося материала.

§ 3.2. Энергетическая у - концепция

Г.П.Черепанова.

§ 3.3. Подрастание трещины при монотонном нагружении.

§ 3.4. Скорость роста усталостной трещины.

§ 3.5. Макроскопическая трещина

§ 3.6. Учет существования безопасных нагрузок и порогового значения коэффициента интенсивности напряжений Кту.

§ 3.7. Сравнение с теоретическими и экспериментальными данными.

Глава 1У. УСТАЛОСТНЫЙ РОСТ ТРЕЩИНЫ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ

§ 4.1. Постановка задачи.

§ 4.2. Скорость роста трещины вследствие ползучести

§ 4.3. "Скорость роста усталостной трещины.

§ 4.4. Суммарный эффект от ползучести и усталости .юо

§ 4.5. Случай макроскопической трещины

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Докритический рост трещины при неравномерном распределении напряжений перед её вершиной»

В последние годы особую актуальность в механике разрушения приобрели исследования докритического роста трещин в вязко-упругих и упруго-пластических материалах. Было установлено, что в отличие от идеально упругих тел, характер их разрушения является более сложным процессом, вследствие чего одних критериев линейной механики разрушения оказалось недостаточно.

Главная особенность при разрушении даных материалов заключается в наличии длительного периода медленного докритического роста трещины, который не описывается известной теорией Гриффитса-Ирвина. .Причиной медленного роста трещин обычно является ползучесть материала для вязко-упругих тел и исчерпание способности материала к пластическому деформированию вблизи вершины трещины для упруго-пластических.

Вторая особенность связана с образованием вблизи вершин трещины так называемых концевых зон или областей предразрушения. Причем в полимерах здесь происходит расслоение материала, в металлах- пластическое течение. Чтобы учесть это сложное нелинейное состояние, было предложено ряд модельных представлений относительно поведения полуразрушенного материала.

Наибольшее распространение получила модель трещины Леонова-Панасюка-Дагдейла. Суть ее заключается в следующем: на продолжении линии трещины область предразрушения заменяется разрезом длиной & , на берегах: которого приложены самоуравновешенные сжимающие напряжения, равные в модели Леонова-Панасюка пределу хрупкой прочности , в модели Дагдейла - пределу текучести бт

Большинство исследований по докритическому росту трещин в вязко-упругих и упруго-пластических пластинах выполнено на основе упомянутой модели с равномерным распределением напряжений в области предразрушения. К ним относятся работы Л.В.Никитина, В.В.Кострова и Л.М.Флитмана, А.А.Каминского, Г.П.Черепанова, В.З.Нартона, E.ivl. Морозова, Внука и других авторов.

Наряду с этим, в работах М.Я.Леонова и В.В.Панасюка, Г.Н.Савина и А.А.Каминского, Кнауеса, Шепери указывалось, что действительное распределение напряжений может носить более сложный характер, например, в полимерах или металлах вследствие упрочнения материала в пластической зоне, других факторов. Это было экспериментально подтверждено Бессоновым М.И. и Кувшинским Е.В. для полиметилметакрила-та.Внастоящее время имеется ограниченное число исследований докри-тического роста трещин, выполненных на основе сложных распределений напряжений в области предразрушвния.

Целью настоящей диссертационной работы является исследование кинетики развития трещины в вязко-упругих и упруго-пластических телах на основе обобщенных моделей разрушения, учитывающих неравномерное распределение напряжений перед концом трещины (концевая зона).

На защиту выносятся следующие положения:

- вывод основных уравнений докритического роста трещины нормального отрыва в вязко-упругих и упруго-пластических пластинах с неравномерным распределением напряжений в области предразрушения;

- исследование развития усталостных трещин в упруго-пластических средах с учетом существования порогового коэффициента интенсивности напряжений Kjy.

- установление новых закономерностей докритического роста трещины вследствие ползучести и усталости материала.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Галатенко, Григорий Васильевич

Основные выводы по диссертации заключаются в следующем.

I. Характеристики длительного разрушения вязко-упругой пластины с трещиной (т.е. скорость роста трещины,долговечность) зависят от характера распределения напряжений в концевой зоне трещины. Однако для приближенного определения этих характеристик можно пользоваться моделированием концевой зоны разрезом с приложенными на его берегах постоянными напряжениями, являющимися некоторыми усредненными значениями истинных напряжений в этой области.

2. Упрочнение материала в пластической зоне усталостной трещины приводит к уменьшению скорости ее роста и, следовательно, к увеличению долговечности упруго-пластической пластины.

3. Установлено, что в рамках рассматриваемой модели трещины с вырожденной пластической зоной вблизи вершины трещины и ^ - концепции Г.П.Черепанова существует пороговый коэффициент интенсивности напряжений Kiy , такой, что при Kjnutx< Н-1У трещина при однократном и циклическом нагружении не развивается. Величину \Cjy можно определить через удельную энергию страгивания трещины ^ и механические характеристики Е и ПЬ

4. Показано, что в случае циклического нагружения при #хтм< < К1у скорость роста усталостной трещины зависит от значения Kjу и не зависит от fCjпик - Полученная на этой основе формула для скорости роста трещины удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными для сплавов Д16АТ, B95ATI.

5. В том случае, если рост усталостной трещины происходит в условиях ползучести, упрочнение материала в пластической зоне приводит к снижению скорости ее роста и увеличению долговечности тела с трещиной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЕ

В работе проведены исследования кинетики докритического развития трещины вследствие ползучести и усталости материала на основе усложненных моделей разрушения, учитывающих неравномерное распределение напряжений в области предразрушения трещины.

I, В квазистатической постановке получены определяющие уравнения, описывающие рост трещины в линейных вязко-упругих материалах при сложных распределениях напряжений в концевой зоне трещины. Изучено влияние характера распределения этих напряжений на долговечность тела при постоянной или медленно возрастающей нагрузке.Предложен подход для приближенного определения долговечности тела с трещиной.

П. Исследован рост трещины в упруго-пластическом материале при однократном и циклическом нагружении. В рамках jf -концепции Г.П.Черепанова предложен энергетический критерий страгивания трещины при монотонном нагружении. Для макроскопических трещин найдено аналитическое соотношение между удельной энергией страгивания трещины и пороговым значением коэффициента интенсивности напряжений Kjy . Получена формула для скорости роста усталостной трещины, хорошо согласующаяся с эскпериментальными данными.

Ш. Рассмотрена кинетики роста усталостных трещин в условиях ползучести. Изучено влияние упрочнения материала в пластической зоне на долговечность тела с трещиной при совместном действии ползучести и усталости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Галатенко, Григорий Васильевич, 1984 год

1. Андрейкив А.Е. Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии,- Киев: Наук, думка, 1979.141 с.

2. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении,- Журн. прикл. механикии техн. физики, 1961, № 4, с. 3-56.

3. Баренблатт Г.И., Ентов В.И., Салганик Р.Л. О кинетике распространения трещин. Общие представления. Трещины, близкие к равновесным.- Инж. журн. Механика твердого тела, 1966, № 5,с. 82-92.

4. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Салганик Р.Л. О кинетике распространения трещин: Условия разрушения и длительная прочность.-Инж. журн. Механика твердого тела, 1966, № 6, с.76-80.

5. Баренблатт Г.И,, Ботвина Л.Р. Автомодельность усталостного разрушения. Накопление повреждаемости.- Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1983, № 4, с.161-165.

6. Бессонов М.И. Механическое разрушение твердых полимеров.-Успехи физ. наук, 1964, 83, № I, с.107-135.

7. Бессонов М.И., Кувшинский Е.В. Об особенностях развития трещин в твердых полимерах. Физика твердого тела, 1961, 3,2, с.607-610.

8. Болотин В.В. Уравнения роста усталостных трещин.- Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1983, № 4, с.153-160.

9. Вавакин А.С., Козырев Ю.И., Салганик Р.Л. Напряженно-деформированное состояние концевой области трещины в полиметилмета-крилате.- Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1976, № 2, C.III-I20.

10. Витвицкий П.М., Панасюк В.В., Ярема С.Я. Пластические деформации в окрестности трещин и критерии разрушения: Обзор. -Пробл. прочности, 1973, № 2, с.3-18.

11. Галатенко Г.В. 0 влиянии неравномерности распределения напряжений в немалой концевой зоне на рост трещин в вязко-упругих средах.- Прикл. механика, 1983, 19, № 5, с.80-85.

12. Галатенко Г.В., Каминский А.А. 0 докритическом росте трещины в вязко-упругой среде с нелинейным распределением напряжений в концевой зоне трещины.- Прикл. механика, 1983, 19, № 12,с. 78-86.

13. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.- М.: Наука, 1971 1108 с.

14. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями.- Киев: Наук, думка, 1983.- 296 с.

15. Екобори Т., Инхикава М. Подход к проблеме взаимодействия усталости и ползучести.- В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975, с.178-182.

16. Ентов В.М., Салганик P.JI. 0 трещинах в вязко-упругих телах.-Инж. журн. механика твердого тела, 1968, № 2, с.88-94.

17. Журков С.Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел.-Вестн. АН СССР, 1968, № 3, с.46-52.

18. Иванова B.C., Терентьев В.Ф. Природа усталости металлов. М.: Металлургия, 1975.- 456 с.

19. Иванова B.C. Концепция циклической вязкости разрушения.- В кн.: Циклическая вязкость разрушения металлов и сплавов.М.: Наука, 1981. с.5-19.

20. Каминский А.А. 0 медленном росте трещин в вязко-упругих телах. Докл. АН УССР, Сер.А, 1975, № 5, с.424-427.

21. Каминский А. А. Исследование кинетики развития трещин в вязко-упругой пластине произвольной формы.- Докл. АН УССР. Сер. А, 1977, № б, с.508-513.

22. Каминский А.А., Докритический рост трещины с немалой пластической зоной в вязко-упругой среде.- Прикл. механика, 1978, 14, № 10, с.82-89.

23. Каминский А.А. 0 долговечности вязко-упругих тел с трещинами. Докл. АН СССР, 1979, 248, № 4, с.819-821.

24. Каминский А.А. Механика разрушения вязко-упругих тел. Киев: Наук, думка, 1980. - 160 с.

25. Каминский А.А. Исследование в области механики разрушения вязко-упругих тел. Прикл. механика, 1980, 16, № 9, с.3-26.

26. Каминский А.А. Докритический рост усталостных микротрещин в вязко-упругих телах. Прикл. механика, 1983, 19, II, с.

27. Каминский А.А., Галатенко Г.В. 0 влиянии неравномерности распределения напряжений в концевой зоне на долговечность вязко-упругих тел с трещинами. Республиканский симпозиум "Концентрация напряжений": Тез. докл. Донецк: ДонГУ, 1983. с.43-45.

28. Каминский А.А., Галатенко Г.В. Рост усталостных трещин в материалах с упрочнением. ПРикл. механика, 1984, 20, № 4,с.36-39.

29. Кнаусс У. Дж. Механика разрушения полимеров. Механика, 1974, 144, № 2, с.116-143.

30. Костров Б.В., Никитин Л.В., Флитман Л.М. Механика хрупкого разрушения.- Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1969, № 3, с.112-125.

31. Костров Б.В., Никитин Л.В., Флитман Л.М. Распространение трещин в упруго-вязких телах.- Изв. АН СССР. Физика Земли, 1970, № 7, с.20-35.

32. Кристенсен Р. Введение в теорию вязко-упругости. М.: Мир, 1974, - 338 с.

33. Кудрявцев П.И. ^распространяющиеся усталостные трещины. -М.: Машиностроение, 1982-174 с.

34. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Песков Ю.А., Черепанов Г.П. О локальной пластической зоне вблизи конца щели. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1970, № I, с.61-64.

35. Кулиев В.Д. Стационарное движение трещины в полосе.- Прикл. математика и механика, 1973, 37, № 3, с.572-575.

36. Леонов М.Я., Витвицкий П.М., Ярема С.Я. Полосы пластичности при растяжении пластин с трещиновидным концентратором. Докл.

37. АН СССР, 1963, 148, № 3, с.541-544.

38. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Розвиток найдр1бн1ших трещин в твердому т1л1.- Прикл. механ1ка, 1959, 5, № 4, с.391-401.

39. Морозов Е.М. Вариационный принцип в механике разрушения. -Докл. АН СССР, 1969, 184, № 6, с.1308-1311.

40. Морозов Е.М. Об одном обобщении -теории трещин. Прикл. механика, 1970, 6, Ш 4, с.29-33.

41. Морозов Е.М. Распространение трещин в упруго-пластическоми наследственно-упругом телах.- В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975, с.304-312.

42. Морозов Е.М., Сапунов В.Т. Докритический рост трещин.

43. В кн.: Материалы атомной техники. М.: Атомиздат, 1975, с.76-82.

44. Москвитин В.В. Циклическое: нагружение элементов конструкций. М.: Наука, 1981. - 256 с.

45. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

46. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкойпрочности.- Прикл. математика и механика, 1969, 33, № 2,1. О • *

47. Олькин С.И. О методике прогнозирования долговечности при чередовании ползучести и усталости на стадиях образованияи развития трещины. Проблемы прочности, 1979, № 12, с.19-24.

48. Онышко Л.В. О влиянии закона распределения сил взаимодействиямежду поверхностями микротрещин на условия разрушения крупного тела. Вопр. механики реал, твердого тела, 1964, вып.2, с.38-48.

49. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. -Киев: Наук, думка, 1968. 246.с.

50. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения.- М.: Наука, 1974.-416 с.

51. Партон В.З., Черепанов Г.П. Механика разрушения. В кн.: Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1972, т.З, с.365-467.

52. Пестриков В.М. Исследование докритического роста трещин в стареющих вязко-упругих материалах. Автореф. дис. . кандидата физ.-мат. наук. Киев, 1983. - 13 с.

53. Прикладные вопросы вязкости разрушения (Дж.Р.Ирвин, К.Д.Багем, У.Ф.Броун и др.) М.: Мир, 1968. - 552 с.

54. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. - 752 с.

55. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел.-М.: Наука, 1977 383 с.

56. Райе Дж.Р. Метаметические методы в механике разрушения. -В кн.: Разрушение. М.: Мир, 1975, т.2, с.204-335.

57. Разрушение и усталость /Ш.Ф.Ленг, М.Дж. Оуэн, Г.А.Купер и др./. -М.: Мир, 1978. 484 с.

58. Савин Г.Н. Распределение напряжений возле отверстий. Киев: Наук, думка, 1968. - 887 с.

59. Савин Г.Н., Каминский А. А. Рост трещин при разрушении твердых полимеров. Прикл. механика, 1967, 3, с.33-39.

60. Савин Г.Н., Каминский А.А. Об одной модели разрушения вязко-упругих сред. Прикл. механика, 197I, 7, № 9, с.3-12.

61. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения. В кн.: Разрушение. М.: Мир, 1975, т.2, с. 83-203.

62. Слепян Л.И., Троянкина Л.В. К теории роста трещины при циклических нагрузках. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1983, № 5, с.I13-126.

63. Степанов С.Л. Модель развития трещин в тонких упруго-пластических пластинах с учетом образования шейки у их вершины: Авторефер. дис. . кандидата физ.-мат. наук. Куйбышев, 1982. - 12 с.

64. Тынный А.Н., Ярошевская Л.С. Развитие усталостных трещин в полимерах (Обзор). Физ.-хим. мех. материалов, 1979, № 6,с.26-37.

65. Циклическая вязкость разрушения металлов и сплавов. М.: Наука, 1981. - 200 с.

66. Черепанов Г.П. 0 распространении трещин в сплошной среде. -Прикл. математика и механика, 1967. 31, If0 3, с.476-488.

67. Черепанов Г.П. 0 квазихрупком разрушении. Прикл. математика и механика, 1968, 32, № 6, с.1034 - 1042.

68. Черепанов Г.П. 0 росте трещин при циклическом нагружении. -Журн. прикл. механики и техн. физики, 1968, № 6, с.

69. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. - 640 с.

70. Черепанов Г.П. Пластические линии разрыва в конце трещины. -Прикл. математика и механика, 1976, 40, № 4, с.720-728.

71. Черепанов Г.П. Инвариантные J интегралы и некоторые их приложения в механике. -Прикл. математика и механика, 1977, 41, № 3, с.399-412.

72. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов.-М.: Наука, 1983.- 296 с.

73. Ярема С.Я., Микитишин С.И. Аналитическое описание диаграмм усталостного разрушения материалов.- Физ.-хим. механ. материалов, 1975, № б, с.47-54.

74. Ярема С.Я., Остаппп О.П. и др. Развитие усталостных трещин в листах из алюминиевых сплавов Д16А и В95А. Ф,из.-хим. мех. материалов, 1977, № I, с. 46-51.

75. Ярема С.Я. Методология определения характеристик сопротивления развитию трещин (трещиностойкости) материалов при циклическом нагружении. Физ.-хим. мех. материалов, 1981, № 4, c.IOO-IIO.

76. Ярема С.Я. Исследование роста усталостных трещин и кинетические диаграммы усталостного разрушения.- Физ.-хим. мех. материалов, 1977, № 4, с.3-22.75 • Christensen Е.Ы. A rate-dependent criterion for crack growth. Int. J.Fract., £979,15, I, p.3-21.

77. Ghristensen Е.Ы. A theory of crack grov/th in viscoelastic materials.- Eng. Fract. Ilech., 1981, 14, I, p.215-225.77* Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits.-J. Ые-ch. and Phys. Solids, I960, 8, N2, p.100-104.

78. Frost Ы.Е. Significance of non-propagating cracks in the inter-prat at ion of notched fatigue data.- J. Llech. Engng. Sci., 1951, 5, 1*4, p.299.

79. Frost H.E., Holden J., Phillips " C.E. Experimental studies into the behavior of fatique cracks.-Proc. Crack propagation Syrup., Cranfield( England), Granfield College Aeronaut., 1962, I,p.166.

80. Forman E.G., Kearney V.E., Engle E.Li. Numerical analysis ofof crack propagation in cycle loaded structures.- Trans. ASME 1967, ser.D, 89, N3, P.8.

81. Graham G.A. The solution of mixed boundary value problems that involve time-dependent boundary regions for viscoelastic mathe-rials with one relaxation function.-Aeta Mech., 1969, 8, 3-4-, p. 188-204.

82. Griffith A.A. The fenomena of rupture and flow in solids.-Phil. Trans. Roy. Бос. A., 1921, 221, 2, p.163-198.

83. Griffith A.A. The theory of rupture.- In: Proc.First Int. Congr. Appl. Mech., Delft, 1924, p.33-63.

84. Irwin G.R. Fracture dynamics.- Inj Fracturing of metals. Cleveland: Amer. Soc. Mech., 1948, p.147-166.

85. Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate.- J. Appl. Mech., 1937, 24, 113, p. 361-364.

86. Johnson H.H., Paris P.S. Sub-critical flow growth.-J. Engng. Fracture Mech., 1968, I, N1, p.3-43.

87. Knauss V7.G, Delayed failure- the Griffith problem for linearly viscoelastic matherials.- Int. J. Fract. Mech., 1970, 6, N1, p.7-20.

88. Knauss W.G, On steady propagation of a crack in a viscoelastic sheet: Experiment and analysis.- In: Deformation and fracture of high polymers. New-York: Plenum press, 1974, p.301-341.

89. Knauss W.G., Dietmann H. Crack propagation under variable load histories in linearly viscoelastik solids.- Int. J. Eng. Sci., 1970, 8, N8,p.643-656.

90. Mueller H.K., Knauss 17.G. Crack propagation in a linearly viscoelastic strip.- J. Appl. Iviech., 1971, 58, N5, p.76-91.

91. Orowan E.O, Fundamentals of brittle behavior of metals.- In: Fatigue and fructure of metals. Hew York: Wiley, 1950, p.139-167.

92. Rice J.R. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and crack.- J. Appl. Mech. 1968, 35, N4, p.379-386.

93. Schapery R.A. A theory of crack initiation and growth in viscoelastic media.- Int. J. Fract., 1975, II, HI, p.I4I-I59.

94. Williams H.L. The kinetic energy contribution to fracture propagation in a linearly viscoelastic material.- Int. J. Fract. Llech. , 1968, 2, H4, p.69-78.

95. ЭЭ» Wnuk M.P. Effects of time and plasticity on fracture.- Brit. J. Appl. Phys., Ser. 2, 1969, 2, III, p.I245-I236.100. wnuk M.P. Subcritical growth of fracture (inelastic fatique).-Int. J. Fract. Iviech., I97I, N7, p.383-407.

96. Wnuk Ы.Р., Knauss W.G. Delayed fracture in viscoelastic-plastic solids.- Int. J. Solids and Struct., 1970, 6, Ж7, p.993-IOIO.