Диссипативные автоструктуры в оптических системах с внутренними резонансами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Долинина Дарья Александровна

• Долинина Дарья Александровна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Долинина Дарья Александровна

Реферат

Synopsis

Введение

1. Формирование устойчивых пространственно-однородных состояний с нарушенной симметрией в нелинейном волноводе с периодически-меняющимся показателем преломления под действием когерентного излучения

1.1 Связанное состояние в континууме в оптических системах

1.2 Рассматриваемая система и её математическая модель

1.3 Стационарные состояния

1.4 Краткие выводы первой главы

2. Динамика доменных стенок в волноводе с бифуркацией спонтанного нарушения симметрии

2.1 Доменные стенки в оптических системах

2.2 Доменные стенки в рассматриваемой системе

2.3 Краткие выводы второй главы

3. Формирование диссипативных солитонов в волноводе с бифуркацией спонтанного нарушения симметрии

3.1 Солитоны в оптических системах

3.2 Тёмные солитоны

3.3 Яркие солитоны

3.4 Движение солитонов в неоднородном поле и их взаимодействие

3.5 Краткие выводы третьей главы

4. Спонтанное нарушение симметрии в активных системах

4.1 Дискретная система трёх связанных нелинейных резонаторов

4.1.1 Математическая модель лазерного тримера

4.1.2 Антисимметричные состояния

4.1.3 Гибридные состояния

4.1.4 Симметричные состояния

4.1.5 Численное моделирование динамики тримера

4.2 Взаимодействие лазерных кластеров

4.2.1 Физическая система и математическая модель

4.2.2 Эффективное взаимодействие тримеров

4.2.3 Модель связанных осцилляторов

4.2.4 Синхронизация симметричных димеров

4.2.5 Синхронизация асимметричных димеров

4.2.6 Численное моделирование полной системы с волноводом

4.3 Краткие выводы четвёртой главы

5. Влияние бигармонической накачки на движение

__гл гл гл гл -1 о Г"

диссипативной доменной стенки с захваченной частицей

5.1 Математическая модель

5.2 Взаимодействие доменных стенок с частицами под воздействием однородной стационарной накачки

5.3 Взаимодействие доменных стенок с частицами под воздействием бигармонической накачки

5.4 Краткие выводы пятой главы

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список иллюстративного материала

Список литературы

Приложение А (обязательное) Тексты статей

Реферат

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Диссипативные автоструктуры в оптических системах с внутренними резонансами»

Актуальность темы

Диссертационная работа посвящена рассмотрению влияния эффектов нарушения симметрии, в том числе спонтанного, на динамику одномерных диссипативных оптических волноведущих систем с кубической нелинейностью. Нелинейные системы, в том числе диссипативные могут быть классифицированы по типу доминирующей нелинейности. Мы будем использовать термин "консервативная нелинейность", имея в виду такой тип нелинейности, который приводит к изменению эффективного показателя преломления. Нелинейность, приводящую к зависимости коэффициента поглощения от интенсивности поля, мы будем называть "диссипативной нелинейностью". К системам с доминирующей диссипативной нелинейностью относятся различные лазерные системы, представляющие большой научный и практический интерес, к примеру такие как вертикально-излучающие лазеры [1,2]. Кроме систем с доминирующей диссипативной нелинейностью, активно исследуются микрорезонаторы и волноводные системы с консервативной нелинейностью, которые могут быть использованы, например, для генерации высших гармоник или для наблюдения нелинейных паттернов, в том числе уединённых волн (солитонов). Последние могут быть использованы во многих областях нелинейной оптики, к примеру для генерации новых частот или кодирования информации в оптических вычислениях [3,4].

Все оптические солитоны - это устойчивые локализованные структуры света, которые не изменяются по мере распространения за счёт баланса между нелинейными и линейными эффектами расплывания и сжатия в среде [5,6]. Существование диссипативных оптических солитонов, изучению которых посвящена данная диссертационная работа, также требует сохранения баланса между притоком и оттоком энергии в системе. Ди-

намика диссипативных солитонов зависит от параметров системы и, при определенных условиях, такие зависимости могут быть сильными. Оптические диссипативные солитоны в резонаторах изучаются уже на протяжении нескольких десятилетий и до сих пор являются областью активных исследований, см. [7-15].

Несмотря на неугасающий интерес к диссипативным оптическим соли-тонам, многие интересные теоретические результаты всё ещё не получили экспериментальной проверки. Одна из причин, затрудняющих экспериментальную реализацию, кроется в том, что мгновенные оптические нелинейности обычно слабы, в связи с чем наблюдение нелинейных эффектов требует высоких уровней мощности излучения.

Одним из способов увеличения интенсивности света при заданной лазерной накачке является использование резонансной структуры, позволяющей аккумулировать свет. Такой подход может быть реализован с помощью оптических резонаторов с высокими показателями добротности. Одними из самых перспективных на данный момент системами с высокими показателями добротности, помимо кольцевых резонаторов [16], являются оптические системы, в которых поддерживается эффект связанного состояния в континууме ("ССК" или "BIC" от "bound state in the continuum").

Эффект связанного состояния в континууме был предсказан ещё в первой половине двадцатого века, но в последние несколько лет снова стал привлекать к себе активное внимание исследователей [17], [18] за счёт своей потенциальной пользы в научных и прикладных задачах. Впервые эффект ССК был предсказан фон Нейманом в квантовой механике [19], но затем ССК был также обнаружен во многих физических системах абсолютно разной природы, например, в упругих волнах твердого тела [20], акустических волнах в воздухе [21], волнах на воде [22] и в фотонных системах [23]. Связанные состояния в континууме представляют собой особый класс локализованных решений волнового уравнения, энергия которых заложена в спектр делокализованных состояний, и поэтому такие состояния и носят название связанных состояний в континууме. Существование ССК может быть обусловлено определенной симметрией системы, при которой происхо-

дит зануление общих радиационных потерь системы за счёт деструктивной интерференции между радиационными потерями двух или более мод системы. Если внутренние (нерадиационные) потери в системе равны нулю, то добротность такого ССК состояния становится бесконечной.

Однако такие резонансные состояния с высокими показателями добротности слабо связаны со свободно распространяющимся светом, а потому они не могут быть эффективно возбуждены внешней накачкой. Но при наличии кубической нелинейности в системе высокодобротная мода может быть возбуждена параметрически, за счёт эффективного возбуждения менее добротной моды. Такое параметрическое возбуждение высокодобротной моды может реализовано за счёт спонтанного нарушения симметрии [24]. Эффект спонтанного нарушения симметрии хорошо известен в динамике нелинейных волн и, в частности, в нелинейной оптике [25-27]. Суть эффекта состоит в том, что хотя симметричная система всегда имеет симметричное решение, это решение не всегда является динамически устойчивым. Неустойчивость симметричного состояния приводит к переключению системы в другое состояние, которое может быть асимметричным. Такой эффект спонтанного переключения симметричной системы в асимметричное состояние является одним из самых фундаментальных в нелинейной науке, а потому его активно исследуют по сей день. В частности, в оптических системах эффект спонтанного нарушения симметрии проявляется в таких системах как массивы взаимодействующих волноводов [28, 29], двухямные системы [30-32], системы двух связанных оптоволо-кон [33,34] и нелинейные метаповерхности [35,36].

Как упоминалось ранее, диссипативные солитоны очень чувствительны к параметрам системы, а потому предполагается, что нарушение симметрии, в том числе спонтанное, способно значительно повлиять на динамику и устойчивость солитонов в оптических системах.

Научная новизна

В диссертации впервые продемонстрировано существование автоструктур на пьедестале пространственно-однородного состояния с нарушенной симметрией в нелинейных оптических волноводах, поддерживающих связанное состояние в континууме. В частности, показано, что в таких системах может формироваться большое количество различных доменных стенок, связывающих состояния с разной симметрией. Связанные состояния таких доменных стенок могут рассматриваться как тёмные или яркие диссипативные солитоны. В работе показано движение солитона за счёт спонтанного нарушения симметрии пьедестала. Также исследован эффект спонтанного нарушения симметрии в системе трёх взаимодействующих активных резонаторов. Кроме того, впервые продемонстрировано, что взаимная фаза взаимодействующих лазерных кластеров может быть не кратна п. Помимо эффектов спонтанного нарушения симметрии впервые рассмотрено влияние когерентной накачки с нарушенной симметрией во времени (бигармонической накачки) на движение доменной стенки с захваченной частицей на поверхности нелинейного резонатора.

Цели и задачи

Целью диссертационной работы является исследование влияния эффектов нарушения симметрии, в особенности спонтанного, на формирование и динамическую устойчивость нелинейных диссипативных структур в оптических системах с разной накачкой. Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

1. Исследовать роль параметрических процессов в спонтанном нарушении симметрии в диссипативных системах с консервативной нелинейностью, возбуждаемых когерентным излучением.

2. Исследовать формирование и устойчивость волн переключения (доменных стенок), связывающих пространственно-однородные состояния с разной симметрией.

3. Исследовать образование связанных состояний доменных стенок (дис-сипативных солитонов) в таких системах и взаимодействие между ними.

4. Исследовать параметрическое возбуждение ССК и связанное с этим спонтанное нарушение симметрии в системах трёх взаимодействующих активных нелинейных резонаторов (тримерах).

5. Исследовать нарушение симметрии в системах оптических тримеров, связанных с общим волноводом.

6. Исследовать захват и перемещение частиц диссипативными доменными стенками в режиме пространственно однородной когерентной накачки с нарушенной во времени симметрией.

Научные положения, выносимые на защиту

1. При нормальном падении когерентной пространственно-однородной электромагнитной волны (света) на периодически модулированный нелинейный волновод может происходить бифуркация спонтанного нарушения симметрии, в результате которой в волноводе формируется динамически устойчивое пространственно-однородное нелинейное состояние с потоком энергии, направленном вдоль волновода. В основе данного нарушения симметрии лежит параметрическое возбуждение состояния с симметрией, отличной от симметрии состояния возбуждаемого внешней накачкой.

2. В периодически модулированных нелинейных волноводах существуют устойчивые волны переключения (доменные стенки), связывающие состояния с нарушенной и ненарушенной симметриями. При

определенных параметрах (в так называемых точках Максвелла) доменные стенки являются неподвижными.

3. В периодически модулированных нелинейных оптических волноводах возможно формирование устойчивых диссипативных солитонов, представляющих собой связанные состояния доменных стенок, связывающих состояния с нарушенной и ненарушенной симметриями.

4. Системы состоящие из двух идентичных лазеров, взаимодействующих друг с другом через линейный резонатор, могут рассматриваться как аналог систем, поддерживающих связанные состояния в континууме. За счет керровской нелинейности в таких системах может происходить бифуркация спонтанного нарушения симметрии. При определённых параметрах стационарные состояния с нарушенной симметрией становятся неустойчивыми, что приводит к формированию осциллирующего состояния.

5. Оптические автоструктуры, формирующиеся в нелинейных волноводах, могут захватывать частицы, находящиеся на поверхности этих волноводов. Бигармоническая накачка нарушает симметрию времени и приводит оптические автоструктуры с захваченными частицами в движение.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты, представленные в первых трёх главах, вносят важный вклад в фундаментальное понимание физики автоструктур, формирующихся в системах, поддерживающих связанное состояние в континууме. В частности, диссертационное исследование проливает свет на влияние эффектов спонтанного нарушения симметрии на динамику автоструктур. С прикладной точки зрения, полученные результаты могут послужить теоретической основой для экспериментального наблюдения диссипативных солитонов в системах, поддерживающих связанное состояние в контину-

уме, которые в свою очередь могут быть использованы для оптических вычислений. Результаты четвёртой главы способствуют пониманию динамики взаимодействующих лазерных систем и влияния на неё внутренних степеней свободы. Полученные результаты могут найти применение в конструировании оптических триггеров, а также могут послужить теоретической основой для разработки направленных источников излучения, состоящих из массива взаимодействующих лазеров. Результаты пятой главы могут послужить основой для разработки нового вида оптического манипулирования с помощью диссипативных автоструктур, поведение которых напрямую контролируется внешним излучением.

Достоверность и апробация

Достоверность научных положений и результатов, представленных в диссертации, обуславливается использованием различных аналитических и численных методов исследования, сверкой результатов, полученных независимыми друг от друга численными методами, между собой и с аналитическими результатами, воспроизводимостью результатов, апробацией полученных результатов на международных научных конференциях, а также публикацией результатов в ведущих реферируемых научных журналах. Кроме того, представленные результаты не входят в противоречие с существующими работами других исследователей. Основные результаты были доложены на ведущих российских и международных конференциях: Международная конференция по нанофотонике и метаматериалам "МЕТА-НАНО-2019" (Санкт-Петербург, 15.07.2019-19.07.2019), Workshop "Optical solitons and frequency comb generation" (Берлин, 18.09.2019-20.09.2019), Международная конференция «XIX научная школа "Нелинейные волны - 2020"» (Нижний Новгород, 29.02.2020-06.03.2020), Международная конференция по нанофотонике и метаматериалам "METANAN0-2020" (он-лайн 14.09.2020-18.09.2020), 5й Международный симпозиум "Advances

in Nonlinear Photonics" (Минск, 28.09.2020-02.10.2020), CLEO (он-лайн, 09.05.2021-14.05.2021), Международная школа молодых учёных "Нелинейная фотоника" (Новосибирск, 15.08.2022-19.08.2022).

Личный вклад автора

Автор внес ключевой вклад в получение всех результатов, представленных в диссертации. Все теоретические выкладки и результаты численного анализа были получены лично автором. Соискатель принимал определяющее участие в постановке и решении задач и последующей подготовке публикаций. Автор диссертации представлял результаты исследований на конференциях и семинарах.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 137 наименований. Количество рисунков в диссертации - 39. Количество страниц в диссертации - 224.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность приведенных в диссертации исследований, формулируются цель и задачи. В первой главе рассматривается формирование пространственно-однородных стационарных состояний в волноводе с периодически-меняющимся показателем преломления под воздействием постоянного нормально падающего лазерного излучения. Схематически рассматриваемая система показана на Рисунке 1(а). Для

описания динамики света в периодически модулированном нелинейном волноводе, применяется двухмодовая модель, когда поле представлено как комбинация двух слабо взаимодействующих противоположно-распространяющихся волн [24]:

д,и+ = -дхи+ + (¿6 -у)и+ + 1<х(\и+12 + 2|U_|2)U+ + - Г)(^+ + и-) + Р,

(1а)

дги_ = дхи_ + (гЬ_у)и_+iа(\U_|2+2|^+|2)^_ + (га_Г)(и_+и+)+Р, (1Ь)

где и+ - это медленно-меняющаяся комплексная амплитуда волны, распространяющейся слева направо, и_ - амплитуда волны, распространяющейся справа налево, 6 - отстройка частоты накачки от центра щели дисперсионной характеристики волновода, у учитывает внутренние потери, а = ±1 - коэффициент нелинейности, а - консервативная часть коэффициента связи, определяющая скорость перерассеяния двух противоположно-распространяющихся волн и Г - диссипативная связь, учитывающая, что радиационные потери зависят от интерференции волн.

Частота линейных волноводных мод в рассматриваемой системе задана следующей дисперсионной характеристикой:

ш = 6 + а + ¿(у + Г) к2 _ (га _ Г)2, (2)

где мнимые и действительные части частоты ш являются функциями от к, см. Рисунок 1(Ь,с). Хорошо видно, что одна из мод характеризуется очень маленькими потерями при малых к.

Это также может быть продемонстрировано с помощью прямого численного интегрирования (1) из случайных начальных условий. На Рисунке 1(Ь) цветом показана спектральная интенсивность поля |^7+|2 + |^_|2 на плоскости к_ш, где и±(ш,к) = $ /0 и±(Ь, х) ех.р(1ш1+г1кх)<И<Лх - это Фурье образ поля по отношению ко времени и координате. Из этого рисунка видно, что, как и ожидалось, максимумы спектральной интенсивности соответствуют дисперсионной характеристике.

(а)

(Ь)4 2

си о (X 0

-2

верхняя

ижняя

Кс) 0-6 0.4

0.2 0

ерхняя

-3 -2 -1 |<0 1 2 3 ~ -6 -4 -2к0 2 4 б

Рисунок 1 - (а) Схематичное изображение рассматриваемой системы (Ь) Действительная часть дисперсионной характеристики (чёрные линии), изображённая поверх Фурье образа IV = \1)+{ш,к)\2 + \1)-{ш,к)\2 поля низкой интенсивности. (с) Мнимые части дисперсионной характеристики

Как следует из (2), верхняя и нижняя моды могут иметь разные потери при наличии диссипативной связи Г. Если у = 0, то одна из мод имеет нулевые потери при к = 0, что является проявлением связанного состояния в континууме. При этом, вторая мода имеет максимальные потери, равные 2Г. Эти предсказания хорошо совпадают с результатом численного моделирования, показывающим, что спектрограмма имеет максимум интенсивности при к = 0 для нижней моды (что означает, что эта мода при данной волновом векторе испытывает минимальные потери) и минимум интенсивности для верхней моды (что означает максимальные потери).

Для дальнейшего анализа динамики системы удобно ввести новый базис

иъ =

и++и_

/ь = '^д и Пл = и+лд . Уравнения для иъ и С/^ принимают следующий вид:

3

{дг - гЬ - г-К + у + 2Г - 2г^Щ + (дх + %М)ий = 2Р, (3а) 2

3

{дг - гЬ - г^К + у)Щ + {дх + %М)иь = 0,

(3Ь)

где К = а{\иь\2 + \^\2), М = аЯе{иьи^). Если поле не зависит от координаты, то решения могут быть найдены в виде иъ = {Щ = 0,и<-2 = 0)т и ил = {Щ = 0,и^ = 0)т. В линейном случае эти моды являются собственными модами системы. Мода ил имеет меньшими потерями, но не может быть возбуждена внешней накачкой, поэтому её можно называть "тёмной" модой. Другая мода - С/ь - обладает большими эффективными потерями

в связи с взаимодействием с модами свободного пространства. Эта мода может быть возбуждена внешним излучением, падающим по нормали к волноводу, поэтому её можно называть "яркой" модой. Стоит отметить, что в нелинейном случае также могут существовать решения с ненулевыми компонентами обеих мод, такие решения можно называть "гибридными".

Бифуркационная диаграмма при 6 = 0.13 для нелинейных ярких состояний иь показана на Рисунке 2(а) синим цветом. Анализ динамической устойчивости таких состояний по отношению к малым возмущениям, имеющим такую же симметрию, как и само нелинейное состояние С = (С, 0)т, показал, что верхняя и нижняя ветви бифуркационной диаграммы устойчивы, а средняя - неустойчива. Инкремент неустойчивости (скорость нарастания линейного возбуждения во времени) такого состояния показан на Рисунке 2(Ь) синим цветом.

Однако оказалось, что яркие состояния нижней бифуркационной ветви могут быть неустойчивы по отношению к возмущениям, имеющим структуру тёмной моды П = (0, п)Т. Это проявление бифуркации спонтанного нарушения симметрии, которая впервые была открыта в оптических системах в [37]. Инкремент неустойчивости таких возбуждений в зависимости от интенсивности нелинейного состояния W = |^+|2 + |^_|2 = |^ь|2 + |^|2 показан на Рисунке 2(Ь) зелёной линией. Такую неустойчивость можно интерпретировать как параметрическое возбуждение тёмной моды. В связи с тем, что нелинейное стационарное состояние и малое возбуждение обладают разными симметриями, неустойчивость приводит к формированию гибридного стационарного состояния, которое характеризуется ненулевыми компонентами обеих, тёмной и яркой, мод.

Численно были найдены все существующие в системе стационарные состояния, бифуркационная кривая для гибридного состояния показана на Рисунке 2(а) зелёным цветом. Из рисунка видно, что гибридное состояние бифурцирует от яркого состояния в точках, где яркое состояние дестабилизируется линейным возмущением с симметрией тёмной моды. Важно отметить, что гибридные состояния характеризуются ненулевым потоком энергии, т.к. они формируются в результате спонтанного нарушения сим-

1.8 1.6 1.4

1.2 * 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

(а) 1.8 1.6 1.4 1 1 (Ь)

■ * % • * • % 1.2

ч> % % • % • % % ^ 1 у

% % ■ * ■ % % 0.8 У

* 0.6

X 0.4

.....••" 0.2 )

_ -г------ 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.3 0.6

1.8 1.6 1.4

1.2 * 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

тах(ДеА)

(С)

с >

2 0 0

Рисунок 2 - (а) Бифуркационная диаграмма интенсивности стационарных состояний W = |^+|2 + |^-|2 = |^ъ|2 + |^|2 в зависимости от накачки Р для ярких (синяя кривая) и гибридных (показаны зелёным) состояний при 6 = 0.13. Динамически неустойчивые состояния показаны пунктиром. Остальные параметры системы: а = -1, а =1, у = 0.001, Г = 0.299. (Ь) Инкременты неустойчивости, дестабилизирующие яркие стационарные состояния, имеющие симметрию яркой и тёмной моды показаны синей и зелёной кривыми, соответственно. (с) Поток энергии, определённый как Е = |^+|2 — |^-|2 в ярких (синяя линия) и гибридных (зелёная линия) состояниях

метрии. Бифуркационная ветвь гибридных состояний дважды вырождена, поскольку система инвариантна по отношению к замене х ^ —х, Е-

±

Е:

т

(поток энергии может быть направлен в противоположные стороны), см. Рисунок 2(с).

Далее пространственно-однородные состояния были исследованы на модуляционную неустойчивость и было показано, что верхняя ветвь ярких однородных состояний всегда является модуляционно-неустойчивой. В свою очередь гибридные состояния, бифурцирующие от ярких состояний, являются динамически устойчивы в волноводах любой длины.

Кроме того, был исследован характер пространственной релаксации малых возмущений к однородным состояниям. Продемонстрировано, что яркие состояния, лежащие на динамически-устойчивой бифуркационной

Р

Р

(нижней) ветви, а также асимметричные стационарные состояния обладают пространственной динамикой, потенциально подходящей для формирования на них локализованных автоструктур.

Вторая глава посвящена рассмотрению формирования и динамики доменных стенок в оптическом волноводе, поддерживающем связанное состояние в континууме, рассмотренном в первой главе. В связи с обилием стационарных состояний, существующих в системе, для удобства рассмотрения доменных стенок введено их буквенное обозначение. Поскольку, как было показано в первой главе, динамически устойчивыми являются только яркие состояния нижней бифуркационной ветви, рассматриваются доменные стенки, соединяющие гибридные состояния именно с нижним ярким состоянием. Поэтому для обозначения доменных стенок для краткости введены обозначения "В" и "Н", где "В" - это яркое стационарное состояние, формирующее доменную стенку, а "Н" - гибридное. К примеру, доменная стенка, обозначенная как "ВН" - это стенка, соединяющая яркое состояние, находящееся слева, и гибридное состояние справа. Тогда "НВ" - это доменная стенка, где яркое и гибридное состояние поменяны местами (гибридное состояние находится слева от стенки, а яркое - справа). При этом индексами ± при Н обозначается направление потока энергии в гибридном состоянии, где + соответствует потоку энергии вдоль оси х (или слева

направо), а--против оси х (или справа налево). Следует отметить, что

доменные стенки Н+В и Н-В неодинаковы с физической точки зрения, поскольку в первом случае поток энергии в гибридном состоянии направлен в сторону доменной стенки, а во втором - в сторону от неё. Бифуркационная диаграмма, показывающая зависимость скорости V различных видов доменных стенок от накачки Р, показана на Рисунке 3(Ь).

Для начала были рассмотрены доменные стенки Н+В, соединяющие гибридное состояние Н+ слева и нижнее яркое В справа. Зависимость скорости доменных стенок от накачки для выбранных параметров показана на Рисунке 3(Ь) чёрной кривой. Из рисунка видно, что существует такое значение накачки, называемое точкой Максвелла (по аналогии с термодинамикой), при которой скорость доменной стенки равна нулю. Область

Рисунок 3 - (а) Часть бифуркационной диаграммы, показывающая зависимость интенсивности W = |^+|2 + |^-|2 гибридных (зелёная кривая) и принадлежащих нижней ветви ярких (синяя кривая) пространственно-однородных состояний от амплитуды накачки. Точка бифуркации спонтанного нарушения симметрии отмечена как "ЯЗВ". Вертикальные пунктирные линии на обеих панелях соответствуют границам существования гибридных состояний и точкам ББВ. (Ь) Зависимость скорости различных доменных стенок от накачки. Пунктирные кривые соответствуют динамически неустойчивым доменным стенкам. Вставка показывает увеличенный регион вблизи точки Максвелла Н+В и ВН+ стенок. Точки, где скорости Н+В и ВН+ (или Н-В и ВН-) равны, отмечены как иРед". Параметры: 6 = 0.05, а = -1, а =1, у = 0.001, Г = 0.299

существования доменной стенки вида Н+ В почти полностью совпадает с областью существования устойчивых гибридных состояний (верхняя ветвь бифуркационной кривой гибридных состояний, показанная на Рисунке 3(а) зелёной сплошной лининей). При малых накачках доменная стенка шире, чем при более высоких амплитудах накачки: численный расчёт показал, что ширина доменной стенки уходит в бесконечность с левого края области существования стенки. Типичное распределение полей в доменной стенке Н+В показано на Рисунке 4 (а)-(с) для разных интенсивностей накачки.

Важным замечанием является то, что в связи с симметрией х ^ -х, и± ^ ит уравнений (1) доменные стенки ВН- могут быть получены из доменных стенок Н+В перестановкой полей и± и инверсией координаты

0.03 <^_0.02 0.01 0

0.03

^0.02

0.01 0

0.03

<^0.02

0.01 0

> | ^ | 2 —| ^ | 2 АлХХзоо°—-

-100 0 100 х

-—ООО(Ш

-100 0 100 х

:-~<*Ш

-100 0 100 х

0.04 2 0.03 _ 0.02 0.01 0

0.04 2 0.03 0.02 0.01 0

0.04 2 0.03 _0.02 0.01 0

(Ь)

-100 0 100 х

-осой!

-100 0 100 х

(ЬО --соо/Н! г

0.04 2 0.03 _0.02 0.01 0

-100 0 100 х

0.04 — 0.03 0.02 0.01 0

0.04 ^0.03 _0.02 0.01 0

(0 (Кл.. :

J

-100 0 х 100

(0 оосШ

-100 0 х 100

(i) —«хлЛ г

-100 0 100 х

Рисунок 4 - Распределение полей в доменных стенках. (а) Н+В при Р = 0.14; (Ь) Н+В в точке Максвелла; (с) Н+ В при Р = 0.27; (а) ВН— при Р = 0.14; (е) ВН— в точке Максвелла; (Щ) ВН— при Р = 0.27; ВН+ при Р = 0.14; (Ь) ВН+ в точке максвелла; (1) ВН+ при Р = 0.24 на неустойчивой ветви

х. Это легко увидеть, сравнивая панели (а)-(с) и (а)-(Щ) на Рисунке 4, показывающие распределение полей в доменных стенках Н+В и ВН— при одинаковых интенсивностях накачки. При фиксированной накачке скорости доменных стенок Н+В и ВН— одинаковы, но направлены в противоположные стороны, см. соответствующие бифуркационные диаграммы для доменных стенок Н+В и ВН— на Рисунке 3(Ь).

Ещё одним видом доменных стенок являются Н— В стенки, и превраща-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Долинина Дарья Александровна, 2022 год

Список литературы

1. Vertical-cavity surface-emitting lasers: design, growth, fabrication, characterization / Jack L Jewell, JP Harbison, Axel Scherer et al. // IEEE Journal of Quantum Electronics. — 1991. — Vol. 27, no. 6. — Pp. 1332-1346.

2. Wilmsen Carl W, Temkin Henryk, Coldren Larry A. Vertical-cavity surface-emitting lasers: design, fabrication, characterization, and applications. — Cambridge University Press, 2001. — Vol. 24.

3. McDonald G. S., Firth W. J. Spatial solitary-wave optical memory // J. Opt. Soc. Am. B. — 1990. — Jul. — Vol. 7, no. 7. — Pp. 1328-1335. — URL: http://josab.osa.org/abstract.cfm?URI=josab-7-7-1328.

4. Logic gates on stationary dissipative solitons / Bogdan A. Kochetov, Iaroslavna Vasylieva, Alexander Butrym, Vladimir R. Tuz // Phys. Rev. E. — 2019. — May. — Vol. 99. — P. 052214. — URL: https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.99.052214.

5. Akhmediev N., Ankiewicz A. Optical Solitons, Theoretical and Experimental Challenges. — Springer, Berlin, 2003.

6. Розанов Николай Николаевич. Диссипативные оптические солитоны. От микро-к нано-и атто. — 2011.

7. Chiao R. Y, Garmire E., Townes C. H. Self-Trapping of Optical Beams // Phys. Rev. Lett. — 1964. — Oct. — Vol. 13. — Pp. 479-482. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.13.479.

8. Rozanov N. N. Hysteresis phenomena in distributed optical systems // Pis'ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. — 1981. — January. — Vol. 80. — Pp. 96-108. — URL: http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/e/index/e/53/1/p47?a=list.

9. Rosanov N. N., Khodova G. V. Diffractive autosolitons in nonlinear interferometers // J. Opt. Soc. Am. B. — 1990. — June. — Vol. 7. — Pp. 1057-1065.

10. Observation of spatial optical solitons in a nonlinear glass waveguide / J. S. Aitchison, A. M. Weiner, Y. Silberberg et al. // Opt. Lett. — 1990.

— May. — Vol. 15, no. 9. — Pp. 471-473. — URL: http://ol.osa.org/ abstract.cfm?URI=ol-15-9-471.

11. Experimental observation of spatial soliton interactions / J. S. Aitchison, A. M. Weiner, Y. Silberberg et al. // Opt. Lett. — 1991. — Jan.

— Vol. 16, no. 1. — Pp. 15-17. — URL: http://ol.osa.org/abstract.cfm? URI=ol-16-1-15.

12. Kivshar Yuri S., Stegeman George I. Spatial Optical Solitons // Opt. Photon. News. — 2002. — Feb. — Vol. 13, no. 2. — Pp. 59-63. — URL: http://www.osa-opn.org/abstract.cfm?URI=opn-13-2-59.

13. Cavity solitons as pixels in semiconductor microcavities / Stephane Barland, Jorge R. Tredicce, Massimo Brambilla et al. // Nature. — 2002. — October. — Vol. 419. — Pp. 699-702. — URL: https://www.nature.com/ articles/nature01049#citeas.

14. Spatial solitons in optically induced gratings / Dragomir Neshev, Elena Os-trovskaya, Yuri Kivshar, Wieslaw Krolikowski // Opt. Lett. — 2003. — May. — Vol. 28, no. 9. — Pp. 710-712. — URL: http://ol.osa.org/abstract. cfm?URI=ol-28-9-710.

15. Rozanov N.N., Chan S.Ch. Dissipative solitons in active Bragg gratings // Optics and Spectroscopy. — 2006. — September. — Vol. 101.

— Pp. 271-277.

16. Silicon microring resonators / Wim Bogaerts, Peter De Heyn, Thomas Van Vaerenbergh et al. // Laser & Photonics Reviews. — 2012.

— Vol. 6, no. 1. — Pp. 47-73.

17. C W Hsu, B Zhen, A D Stone et al. // Nature Reviews Materials. — 2016.

— Vol. 1. — P. 16048.

18. Marinica D C, Borisov AG // Physical Review Letters. — 2008. — Vol. 100. — P. 183902.

19. von Neumann J, Wigner EP // Phys. Z. — 1929. — Vol. 30. — Pp. 465-7.

20. Penunuri D, Lakin KM // 1975 IEEE Ultrasonics Symposium. — 1975.

— P. 478-83.

21. Parker R // Journal of Sound and Vibration. — 1966. — Vol. 4. — Pp. 62-72.

22. P J Cobelli, V Pagneux, A Maurel, P Petitjeans // Europhysics Letters.

— 2009. — Vol. 88. — P. 20006.

23. C W Hsu, B Zhen, J Lee et al. // Nature. — 2013. — Vol. 499. — Pp. 188-191.

24. Krasikov S. D., Bogdanov A. A., Iorsh I. V. Nonlinear bound states in the continuum of a one-dimensional photonic crystal slab // Physical Review B. — 2018. — June. — Vol. 97, no. 224309. — URL: https://journals.aps. org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.97.224309.

25. Wright E. M., Stegeman G. I., Wabnitz S. Solitary-wave decay and symmetry-breaking instabilities in two-mode fibers // Phys. Rev. A. — 1989.

— Oct. — Vol. 40. — Pp. 4455-4466. — URL: https://link.aps.org/doi/ 10.1103/PhysRevA.40.4455.

26. Akhmediev Nail, Ankiewicz Adrian. Novel soliton states and bifurcation phenomena in nonlinear fiber couplers // Phys. Rev. Lett. — 1993. — Apr.

— Vol. 70. — Pp. 2395-2398. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevLett.70.2395.

27. Malomed Boris A. Spontaneous Symmetry Breaking, Self-Trapping, and Josephson Oscillations. — Springer, Berlin, Heidelberg, 2013.

28. Mak William C. K., Malomed, Chu P. L. Asymmetric solitons in coupled second-harmonic-generating waveguides // Phys. Rev. E. — 1998. — Jan.

— Vol. 57. — Pp. 1092-1103. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevE.57.1092.

29. Driben Rodislav, Malomed Boris A, Chu Pak L. All-optical switching in a two-channel waveguide with cubic-quintic nonlinearity // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. — 2006. — Vol. 39, no. 11. — P. 2455.

30. Matuszewski M., Malomed B. A., Trippenbach M. Spontaneous symmetry breaking of solitons trapped in a double-channel potential // Phys. Rev. A. — 2007. — Jun. — Vol. 75. — P. 063621. — URL: https://link.aps. org/doi/10.1103/PhysRevA.75.063621.

31. Mayteevarunyoo Thawatchai, Malomed Boris A., Dong Guangjiong. Spontaneous symmetry breaking in a nonlinear double-well structure // Phys. Rev. A. — 2008. — Nov. — Vol. 78. — P. 053601. — URL: https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.78.053601.

32. Switch between the types of the symmetry breaking bifurcation in optically induced photorefractive rotational double-well potential / Guihua Chen, Zhihuan Luo, Jianxiong Wu, Muying Wu // Journal of the Physical Society of Japan. — 2013. — Vol. 82, no. 3. — P. 034401.

33. Albuch Lior, Malomed Boris A. Transitions between symmetric and asymmetric solitons in dual-core systems with cubic-quintic nonlinearity // Mathematics and Computers in Simulation. — 2007. — Vol. 74, no. 4-5.

— Pp. 312-322.

34. Birnbaum Ze'ev, Malomed Boris A. Families of spatial solitons in a two-channel waveguide with the cubic-quintic nonlinearity // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2008. — Vol. 237, no. 24. — Pp. 3252-3262.

35. Abrashuly Aivar, Valagiannopoulos Constantinos. Photonic memory with nonlinear plasmonic nanotubes // APL Materials. — 2021. — Vol. 9, no. 10. — P. 101111.

36. Valagiannopoulos Constantinos, Sarsen Adilkhan, AlU Andrea. Angular memory of photonic metasurfaces // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 2021. — Vol. 69, no. 11. — Pp. 7720-7728.

37. Resonant coupling of near-infrared radiation to photonic band structure waveguides / V. N. Astratov, J. S. Culshaw, R. M. Stevenson et al. // Journal of Lightwave Technology. — 1999. — Vol. 17, no. 11. — Pp. 2050-2057.

38. Skryabin Dmitry V. Instabilities of cavity solitons in optical parametric oscillators // Phys. Rev. E. — 1999. — Oct. — Vol. 60. — Pp. R3508-R3511.

— URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.60.R3508.

39. Kozyreff G., Chapman S. J. Asymptotics of Large Bound States of Localized Structures // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Jul. — Vol. 97. — P. 044502.

— URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.97.044502.

40. Burke John, Knobloch Edgar. Homoclinic snaking: Structure and stability // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2007.

— Vol. 17, no. 3. — P. 037102. — URL: https://doi.org/10.1063/L2746816.

41. Gomila Damia, Oppo Gian-Luca. Subcritical patterns and dissipative solitons due to intracavity photonic crystals // Phys. Rev. A. — 2007. — Oct. — Vol. 76. — P. 043823. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevA.76.043823.

42. Yanchuk Serhiy, Schneider Klaus R, Recke Lutz. Dynamics of two mutually coupled semiconductor lasers: instantaneous coupling limit // Physical Review E. — 2004. — Vol. 69, no. 5. — P. 056221.

43. Yulin AV, Champneys AR, Skryabin DV. Discrete cavity solitons due to saturable nonlinearity // Physical Review A. — 2008. — Vol. 78, no. 1. — P. 011804.

44. Yulin A. V., Aladyshkina A., Shalin A. S. Motion of dissipative optical fronts under the action of an oscillating pump // Phys. Rev. E. — 2016.

— Aug. — Vol. 94. — P. 022205. — URL: https://link.aps.org/doi/10. 1103/PhysRevE.94.022205.

45. Bonnet-BenDhia Anne-Sophie, Starling Felipe. Guided waves by electromagnetic gratings and non-uniqueness examples for the diffraction problem // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 1994. — April. — Vol. 17. — Pp. 305-338. — URL: https://onlinelibrary.wiley. com/doi/abs/10.1002/mma.1670170502.

46. Paddon P., Young J. F. Two-dimensional vector-coupled-mode theory for textured planar waveguides // Physical Review B. — 2000. — January.

— Vol. 61, no. 2090. — URL: https://journals.aps.org/prb/abstract/10. 1103/PhysRevB.61.2090.

47. Polariton Effect in Distributed Feedback Microcavities / A. L. Yablonskii, E. A. Muljarov, N. A. Gippius et al. // Journal of the Physical Society of Japan. — 2001. — Vol. 70. — Pp. 1137-1144. — URL: https://journals. jps.jp/doi/abs/10.1143/JPSJ.70.1137.

48. Waveguide-plasmon polaritons in photonic crystal slabs with metal nanowires / S. G. Tikhodeev, N. A. Gippius, A. Christ et al. // Phys-ica Status Solidi. — 2005. — February. — Vol. 2. — Pp. 795-800. — URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/pssc.200460303.

49. Quasiguided modes and optical properties of photonic crystal slabs / S. G. Tikhodeev, A. L. Yablonskii, E. A. Muljarov et al. // Physical Review B. — 2002. — July. — Vol. 66, no. 045102. — URL: https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.66.045102.

50. Observation and Differentiation of Unique High-Q Optical Resonances Near Zero Wave Vector in Macroscopic Photonic Crystal Slabs / J. Lee, B. Zhen, S.-L. Chua et al. // Physical Review Letters. — 2012. — August.

— Vol. 109, no. 067401. — URL: https://journals.aps.org/prl/abstract/ 10.1103/PhysRevLett.109.067401.

51. Transition from Optical Bound States in the Continuum to Leaky Resonances: Role of Substrate and Roughness / Z. F. Sadrieva, I. S. Sinev, K. L. Koshelev et al. // ACS Photonics. — 2017. — March. — Vol. 4. — Pp. 723-727. — URL: https://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/ acsphotonics.6b00860.

52. Experimental observation of a polarization vortex at an optical bound state in the continuum / H. M. Doeleman, F. Monticone, W. Hollander et al. // Nature Photonics. — 2018. — June. — Vol. 12. — Pp. 397-401.

— URL: https://www.nature.com/articles/s41566-018-0177-5.

53. High-Q Supercavity Modes in Subwavelength Dielectric Resonators / M. V. Rybin, K. L. Koshelev, Z. F. Sadrieva et al. // Physical Review Letters. — 2017. — December. — Vol. 119, no. 243901. — URL: https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.119.243901.

54. Observation of trapped light within the radiation continuum / C. W. Hsu, B. Zhen, J. Lee et al. // Nature. — 2013. — July. — Vol. 499. — Pp. 188-191. — URL: https://www.nature.com/articles/nature12289.

55. Bulgakov E. N., Sadreev A. F. Bound states in the continuum with high orbital angular momentum in a dielectric rod with periodically modulated permittivity // Physical Review A. — 2017. — July. — Vol. 96, no. 013841.

— URL: https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.96. 013841.

56. Experimental observation of symmetry protected bound state in the continuum in a chain of dielectric disks / M. A. Belyakov, M. A. Balezin, Z. F. Sadrieva et al. // arXiv:1806.01932. — 2018. — June. — URL: https://arxiv.org/abs/1806.01932.

57. Strong coupling between excitons in transition metal dichalcogenides and optical bound states in the continuum / K. L. Koshelev, S. K. Sychev, Z. F. Sadrieva et al. // Physical Review B. — 2018. — October. — Vol. 98, no. 161113(R). — URL: https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/ PhysRevB.98.161113.

58. Asymmetric Metasurfaces with High-Q Resonances Governed by Bound States in the Continuum / K. Koshelev, S. Lepeshov, M. Liu et al. // Physical Review Letters. — 2018. — November. — Vol. 121, no. 193903.

— URL: https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.121. 193903.

59. Bound states in the continuum and Fano resonances in the strong mode coupling regime / A. A. Bogdanov, K. L. Koshelev, P. V. Kapitanova et al. // Advanced Photonics. — 2019.

— January. — Vol. 1, no. 016001. — URL: https://www. spiedigitallibrary.org/journals/advanced-photonics/volume-1/issue-01/ 016001/Bound-states-in-the-continuum-and-Fano-resonances-in-the/10. 1117/1.AP.1.1.016001.full.

60. Bulgakov E. N., Sadreev A. F. Nonlinear response from optical bound states in the continuum // Physical Review A. — 2018. — Vol. 97, no. 033834. — URL: https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/ PhysRevA.97.033834.

61. Experimental observation of optical bound states in the continuum / Y. Plotnik, O. Peleg, F. Dreisow et al. // Physical Review Letters. — 2011.

— Vol. 107, no. 183901. — URL: https://journals.aps.org/prl/abstract/ 10.1103/PhysRevLett.107.183901.

62. Observation and Differentiation of Unique High-Q Optical Resonances Near Zero Wave Vector in Macroscopic Photonic Crystal Slabs / J. Lee, B. Zhen, S.-L. Chua et al. // Physical Review Letters. — 2012. — Vol. 109, no. 067401. — URL: https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/ PhysRevLett.109.067401.

63. Watt-class high-power, high-beam-quality photonic-crystal lasers / K. Hi-rose, Y. Liang, Y. Kurosaka et al. // Nature Photonics. — 2014. — April.

— Vol. 8. — Pp. 406-411. — URL: https://www.nature.com/articles/ nphoton.2014.75.

64. Lasing action from photonic bound states in continuum / A. Kodigala, T. Lepetit, Q. Gu et al. // Nature (London). — 2017. — January. — Vol. 541. — Pp. 196-199. — URL: https://www.nature.com/articles/ nature20799.

65. Bulgakov E. N., Sadreev A. F. Resonance induced by a bound state in the continuum in a two-level nonlinear Fano-Anderson model // Physical Review B. — 2009. — September. — Vol. 80, no. 115308. — URL: https: //journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.80.115308.

66. Bulgakov E. N., Sadreev A. F. Bound states in photonic Fabry-Perot resonator with nonlinear off-channel defects // Physical Review B. — 2010.

— March. — Vol. 81, no. 115128. — URL: https://journals.aps.org/prb/ abstract/10.1103/PhysRevB.81.115128.

67. Bulgakov E. N., Maksimov D. N. Nonlinear response from optical bound states in the continuum // Scientific Reports. — 2019. — Vol. 9, no. 7153.

— URL: https://www.nature.com/articles/s41598-019-43672-y2.

68. Pichugin K. N., Sadreev A. F. Frequency comb generation by symmetry-protected bound state in the continuum // Journal of the Optical Society of America B. — 2015. — Vol. 32. — Pp. 1630-1636. — URL: https://www.osapublishing.org/josab/abstract.cfm?uri=josab-32-8-1630.

69. Wang T., Zhang Sh. Large enhancement of second harmonic generation from transition-metal dichalcogenide monolayer on grating near bound states in the continuum // Optics Express. — 2018. — Vol. 26. — Pp. 322-337. — URL: https://www.osapublishing.org/oe/abstract.cfm? uri=oe-26-1-322.

70. Peschel U., Michaelis D., Weiss C. O. Spatial solitons in optical cavities // IEEE Journal of Quantum Electronics. — 2003. — Vol. 39, no. 1.

— Pp. 51-64.

71. McLaughlin D. W., Moloney J. V., Newell A. C. Solitary Waves as Fixed Points of Infinite-Dimensional Maps in an Optical Bistable Ring Cavity //

Phys. Rev. Lett. — 1983. — Jul. — Vol. 51. — Pp. 75-78. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.51.75.

72. Cross M. C., Hohenberg P. C. Pattern formation outside of equilibrium // Rev. Mod. Phys. — 1993. — Jul. — Vol. 65. — Pp. 851-1112. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.65.851.

73. Malomed Boris A. Optical domain walls // Phys. Rev. E. — 1994. — Aug.

— Vol. 50. — Pp. 1565-1571. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevE.50.1565.

74. Staliunas K., Sánchez-Morcillo Víctor J. Spatial-localized structures in degenerate optical parametric oscillators // Phys. Rev. A. — 1998. — Feb.

— Vol. 57. — Pp. 1454-1457. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevA.57.1454.

75. Convection versus Dispersion in Optical Bistability / S. Coen, M. Tli-di, Ph. Emplit, M. Haelterman // Phys. Rev. Lett. — 1999. — Sep. — Vol. 83. — Pp. 2328-2331. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevLett.83.2328.

76. Vector dark domain wall solitons in a fiber ring laser / Han Zhang, DY Tang, LM Zhao, RJ Knize // Optics express. — 2010. — Vol. 18, no. 5. — Pp. 4428-4433.

77. Dual-wavelength domain wall solitons in a fiber ring laser / Han Zhang, Dingyuan Tang, Luming Zhao, Xuan Wu // Optics express. — 2011. — Vol. 19, no. 4. — Pp. 3525-3530.

78. Observation of polarization domain wall solitons in weakly birefringent cavity fiber lasers / Han Zhang, Ding Yuan Tang, LM Zhao, Xuan Wu // Physical Review B. — 2009. — Vol. 80, no. 5. — P. 052302.

79. Particle-like light structures in a wide-aperture laser with saturable absorption / N.N. Rozanov, A.V. Fedorov, S.V. Fedorov, G.V. Khodova // JETP. — 1995. — Feb. — Vol. 80, no. 2. — P. 199. — URL: http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/e_080_02_0199.pdf.

80. Rozanov N. N. Dissipative optical solitons // J. Opt. Technol. — 2009. — Apr. — Vol. 76, no. 4. — Pp. 187-198. — URL: http://jot.osa.org/ abstract.cfm?URI=jot-76-4-187.

81. Agrawal Govind P. Nonlinear fiber optics // Nonlinear Science at the Dawn of the 21st Century. — Springer, 2000. — Pp. 195-211.

82. Zabusky Norman J, Kruskal Martin D. Interaction of"solitons"in a col-lisionless plasma and the recurrence of initial states // Physical review letters. — 1965. — Vol. 15, no. 6. — P. 240.

83. Russell John Scott. Report on Waves: Made to the Meetings of the British Association in 1842-43. — 1845.

84. Method for solving the Korteweg-deVries equation / Clifford S Gardner, John M Greene, Martin D Kruskal, Robert M Miura // Physical review letters. — 1967. — Vol. 19, no. 19. — P. 1095.

85. Shabat Aleksei, Zakharov Vladimir. Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media // Sov. Phys. JETP. — 1972. — Vol. 34, no. 1. — P. 62.

86. Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering / Mark J Ablowitz, MA Ablowitz, PA Clarkson, Peter A Clarkson. — Cambridge university press, 1991. — Vol. 149.

87. Observation of dissipative superluminous solitons in a Brillouin fiber ring laser / Eric Picholle, Carlos Montes, Claude Leycuras et al. // Physical review letters. — 1991. — Vol. 66, no. 11. — P. 1454.

88. Dissipative periodic waves, solitons, and breathers of the nonlinear Schrodinger equation with complex potentials / F Kh Abdullaev, VV Konotop, M Salerno, AV Yulin // Physical Review E. — 2010. — Vol. 82, no. 5. — P. 056606.

89. Turaev Dmitry, Vladimirov Andrei G, Zelik Sergey. Chaotic bound state of localized structures in the complex Ginzburg-Landau equation // Physical Review E. — 2007. — Vol. 75, no. 4. — P. 045601(R).

90. Renninger W. H., Chong A, Wise F. W. Dissipative solitons in normal-dispersion fiber lasers // Physical Review A. — 2008. — Vol. 77, no. 2. — P. 023814.

91. Vector dissipative solitons in graphene mode locked fiber lasers / Han Zhang, Dingyuan Tang, Luming Zhao et al. // Optics Communications. — 2010. — Vol. 283, no. 17. — Pp. 3334-3338.

92. Breathing dissipative solitons in mode-locked fiber lasers / Junsong Peng, Sonia Boscolo, Zihan Zhao, Heping Zeng // Science advances. — 2019. — Vol. 5, no. 11. — P. eaax1110.

93. Effect of frequency detunings and finite relaxation rates on laser localized structures / S. V. Fedorov, A. G. Vladimirov, G. V. Khodova, N. N. Rosanov // Physical Review E. — 2000. — Vol. 61, no. 5. — P. 5814.

94. Stable dissipative solitons in semiconductor optical amplifiers / Er-dem A Ultanir, George I Stegeman, Dirk Michaelis et al. // Physical review letters. — 2003. — Vol. 90, no. 25. — P. 253903.

95. Incoherent and coherent writing and erasure of cavity solitons in an optically pumped semiconductor amplifier / S Barbay, Y Menesguen, X Hachair et al. // Optics letters. — 2006. — Vol. 31, no. 10. — Pp. 1504-1506.

96. Pattern formation in a passive Kerr cavity / A.J Scroggie, W.J Firth, G.S McDonald et al. // Chaos, Solitons and Fractals. — 1994. — Vol. 4, no. 8. — Pp. 1323-1354. — Special Issue: Nonlinear Optical Structures, Patterns, Chaos. URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/0960077994900841.

97. Tlidi Mustapha, Gelens Lendert. High-order dispersion stabilizes dark dissipative solitons in all-fiber cavities // Opt. Lett. — 2010. — Feb. — Vol. 35,

no. 3. — Pp. 306-308. — URL: http://www.osapublishing.org/ol/abstract. cfm?URI=ol-35-3-306.

98. Drift of dark cavity solitons in a photonic-crystal fiber resonator / Mustapha Tlidi, L Bahloul, L Cherbi et al. // Physical Review A. — 2013.

— Vol. 88, no. 3. — P. 035802.

99. Temporal localized structures in photonic crystal fibre resonators and their spontaneous symmetry-breaking instability / L Bahloul, L Cherbi, A Hariz, Mustapha Tlidi // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 2014. — Vol. 372, no. 2027. — P. 20140020.

100. Spatiotemporal dynamics of optical parametric oscillators / Gian-LucaOp-po, Massimo Brambilla, Dario Camesasca et al. // Journal of modern optics. — 1994. — Vol. 41, no. 6. — Pp. 1151-1162.

101. Transverse patterns in degenerate optical parametric oscillation and degenerate four-wave mixing / G. J. de Valcarcel, Kcstutis Staliunas, Eugenio Roldan, V. J. Sanchez-Morcillo // Physical Review A. — 1996.

— Vol. 54, no. 2. — P. 1609.

102. Multicolour nonlinearly bound chirped dissipative solitons / Sergey A Babin, Evgeniy V Podivilov, Denis S Kharenko et al. // Nature communications. — 2014. — Vol. 5, no. 1. — P. 4653.

103. Temporal solitons in optical microresonators / Tobias Herr, Victor Brasch, John D Jost et al. // Nature Photonics. — 2014. — Vol. 8, no. 2. — Pp. 145-152.

104. Breathing dissipative solitons in optical microresonators / Erwan Lucas, Maxim Karpov, Hairun Guo et al. // Nature communications. — 2017. — Vol. 8, no. 736.

105. Dissipative Kerr solitons in optical microresonators / Tobias J Kippenberg, Alexander L Gaeta, Michal Lipson, Michael L Gorodetsky // Science. — 2018. — Vol. 361, no. 6402.

106. Yulin A. V., Skryabin D. V., Russell P. St. J. Dissipative localized structures of light in photonic crystal films // Optics Express. — 2005. — Vol. 13. — Pp. 3529-3534. — URL: https://www.osapublishing.org/oe/ abstract.cfm?uri=oe-13-9-3529.

107. Nonlinear eigenmodes of a three-core fibre coupler / C Schmidt-Hatten-berger, R Muschall, U Trutschel, F Lederer // Optical and quantum electronics. — 1992. — Vol. 24, no. 6. — Pp. 691-701.

108. Bernstein Lisa J. The three-waveguide nonlinear directional coupler: the center waveguide excitation // Optics communications. — 1992. — Vol. 94, no. 5. — Pp. 406-416.

109. Molina Mario I, Tsironis George P. Tuning the Kenkre-Campbell self-trapping transition // Physical Review A. — 1992. — Vol. 46, no. 2. — P. 1124.

110. Molina MI, Deering WD, Tsironis GP. Optical switching in three-coupler configurations // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1993. — Vol. 66, no. 1-2. — Pp. 135-142.

111. Deering WD, Molina MI, Tsironis GP. Directional couplers with linear and nonlinear elements // Applied physics letters. — 1993. — Vol. 62, no. 20. — Pp. 2471-2473.

112. Eilbeck JC, Tsironis GP, Turitsyn Sergei K. Stationary states in a doubly nonlinear trimer model of optical couplers // Physica Scripta. — 1995. — Vol. 52, no. 4. — P. 386.

113. Logic gates based in two-and three-modes nonlinear optical fiber couplers / JWM Menezes, WB De Fraga, AC Ferreira et al. // Optical and quantum electronics. — 2007. — Vol. 39, no. 14. — Pp. 1191-1206.

114. Perovskite materials for light-emitting diodes and lasers / Sjoerd A Veld-huis, Pablo P Boix, Natalia Yantara et al. // Advanced materials. — 2016. — Vol. 28, no. 32. — Pp. 6804-6834.

115. Sutherland Brandon R, Sargent Edward H. Perovskite photonic sources // Nature Photonics. — 2016. — Vol. 10, no. 5. — Pp. 295-302.

116. Recent advances in perovskite micro-and nanolasers / Kaiyang Wang, Shuai Wang, Shumin Xiao, Qinghai Song // Advanced Optical Materials.

— 2018. — Vol. 6, no. 18. — P. 1800278.

117. Polariton Laser Using Single Micropillar GaAs-GaAlAs Semiconductor Cavities / Daniele Bajoni, Pascale Senellart, Esther Wertz et al. // Phys. Rev. Lett. — 2008. — Jan. — Vol. 100. — P. 047401. — URL: https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.100.047401.

118. Interactions in Confined Polariton Condensates / Lydie Ferrier, Esther Wertz, Robert Johne et al. // Phys. Rev. Lett. — 2011. — Mar.

— Vol. 106. — P. 126401. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevLett.106.126401.

119. Polariton lasing in high-quality selenide-based micropillars in the strong coupling regime / T Klein, S Klembt, Emilien Durupt et al. // Applied Physics Letters. — 2015. — Vol. 107, no. 7. — P. 071101.

120. Exciton-polariton trapping and potential landscape engineering / Ch Schneider, K Winkler, Michael D Fraser et al. // Reports on Progress in Physics. — 2017. — Vol. 80, no. 1. — P. 016503.

121. Amo Alberto, Bloch Jacqueline. Exciton-polaritons in lattices: A non-linear photonic simulator // Comptes Rendus Physique. — 2016. — Vol. 17, no. 8. — Pp. 934-945.

122. Polaritonic XY-Ising machine / Kirill P Kalinin, Alberto Amo, Jacqueline Bloch, Natalia G Berloff // Nanophotonics. — 2020. — Vol. 9, no. 13.

— Pp. 4127-4138.

123. Jensen Stephen. The nonlinear coherent coupler // IEEE Journal of Quantum Electronics. — 1982. — Vol. 18, no. 10. — Pp. 1580-1583.

124. Snyder Allan W. Coupled-mode theory for optical fibers // JOSA. — 1972.

— Vol. 62, no. 11. — Pp. 1267-1277.

125. Botez Dan, Scifres Don R. Diode laser arrays // Diode Laser Arrays. — 2005.

126. Experimental demonstration of anticipating synchronization in chaotic semiconductor lasers with optical feedback / S Sivaprakasam, EM Shahverdiev, PS Spencer, K Alan Shore // Physical Review Letters.

— 2001. — Vol. 87, no. 15. — P. 154101.

127. Shahverdiev EM, Sivaprakasam S, Shore KA. Parameter mismatches and perfect anticipating synchronization in bidirectionally coupled external cavity laser diodes // Physical Review E. — 2002. — Vol. 66, no. 1. — P. 017206.

128. Localized synchronization in two coupled nonidentical semiconductor lasers / Angela Hohl, A Gavrielides, Thomas Erneux, Vassilios Kovanis // Physical review letters. — 1997. — Vol. 78, no. 25. — P. 4745.

129. Experimental observation of chimeras in coupled-map lattices / Aaron M Hagerstrom, Thomas E Murphy, Rajarshi Roy et al. // Nature Physics. — 2012. — Vol. 8, no. 9. — Pp. 658-661.

130. Coherence and Incoherence in an Optical Comb / Evgeny A. Viktorov, Tatiana Habruseva, Stephen P. Hegarty et al. // Phys. Rev. Lett. — 2014.

— Jun. — Vol. 112. — P. 224101. — URL: https://link.aps.org/doi/10. 1103/PhysRevLett.112.224101.

131. Chaos synchronization and spontaneous symmetry-breaking in symmetrically delay-coupled semiconductor lasers / Tilmann Heil, Ingo Fischer, Wolfgang Elsässer et al. // Physical Review Letters. — 2001. — Vol. 86, no. 5. — P. 795.

132. Recent advances in optical tweezers / Jeffrey R Moffitt, Yann R Chemla, Steven B Smith, Carlos Bustamante // Annu. Rev. Biochem. — 2008. — Vol. 77. — Pp. 205-228.

133. Fazal Furqan M, Block Steven M. Optical tweezers study life under tension // Nature photonics. — 2011. — Vol. 5, no. 6. — Pp. 318-321.

134. Evidence for resonance optical trapping of individual fluorophore-labeled antibodies using single molecule fluorescence spectroscopy / Haitao Li, De-jian Zhou, Helena Browne, David Klenerman // Journal of the American Chemical Society. — 2006. — Vol. 128, no. 17. — Pp. 5711-5717.

135. Manipulation and assembly of nanowires with holographic optical traps / Ritesh Agarwal, Kosta Ladavac, Yael Roichman et al. // Optics express.

— 2005. — Vol. 13, no. 22. — Pp. 8906-8912.

136. Observation of a single-beam gradient force optical trap for dielectric particles / Arthur Ashkin, James M Dziedzic, John E Bjorkholm, Steven Chu // Optics letters. — 1986. — Vol. 11, no. 5. — Pp. 288-290.

137. Experimental and numerical investigations of switching wave dynamics in a normally dispersive fibre ring resonator / Bruno Garbin, Yadong Wang, Stuart G Murdoch et al. // The European Physical Journal D. — 2017.

— Vol. 71, no. 9. — Pp. 1-8.

Приложение А (обязательное)

Тексты статей

®

Check for updates

Letter

Vol. 45, No. 13/1 July 2020/Optics Letters 3781

Spontaneous symmetry breaking of nonlinear states in optical cavities with radiative losses

D. Dolinina and A. Yulin*

National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics (ITMO University), Saint-Petersburg 197101, Russia 'Corresponding author: [e-mail]

Received 7 May 2020; revised 4 June 2020; accepted 5 June 2020; posted 8 June 2020 (Doc. ID 396951); published 30 June 2020

The dynamics of one-dimensional periodically modulated optical cavities are studied in the framework of coupled counterpropagating wave approximation. It is shown that in these systems, a spontaneous symmetry breaking bifurcation can occur, resulting in the formation of the dynamically stable asymmetric states with nonzero energy flux. Bright cavity solitons nestling on the spatially uniform backgrounds with broken symmetry are found and investigated in detail. One of the distinguishing features of the solitons on the asymmetric background is that they can exist at the pump powers much less than those needed for the formation of the solitons on the symmetric backgrounds. © 2020 Optical Society of America

https://doi.org/10.1364/OL.396951

The effect of spontaneous symmetry breaking is well known in the dynamics of the nonlinear waves and in particular in nonlinear optics [1—3]. The essence of the effect is that, although a symmetric system always possesses a symmetric solution, this solution must not necessarily be stable. The instability of the symmetric state results in the switching of the system to another state that can be asymmetric. In this Letter, we discuss this bifurcation in the optical cavities with periodical grating coupling the guided modes between themselves and to free propagating waves.

First of all, let us acknowledge the importance of the optical nonlinear effects in microcavities that can be used, for example, for higher harmonic generation or for observation of optical nonlinear patterns including solitary waves. The latter can be used in many areas of nonlinear optics, for instance, for coding information in optical computing [4,5]. Optical dissipative solitons in cavities have been studied for decades, and it is still an area of active research (see [6—14]). However, many of interesting theoretical findings are still waiting for experimental verification.

The reason for this is that instantaneous optical nonlinear-ities are normally weak, and so the observation of nonlinear effects requires high power levels. These power levels can easily be achieved in short optical pulses, and so optical fibers are proven to be a very convenient test bench for studying different nonlinear phenomena in optics. At the same time, it is a very challenging task to observe stationary spatial nonlinear patterns oflight.

One of the ways to increase the intensity of the light with a given pump is to use a resonant structure allowing accumulation of the photons. This can be realized using optical resonators with high quality factors. However, the resonant modes with high quality factors are weakly coupled to the free propagating light, and thus the resonant modes cannot be excited efficiently. In this Letter, we suggest the use of a parametric effect to pump a high-Q cavity mode by a mode with relatively high radiative losses which, consequently, can be efficiently excited by external coherent light. We show that this can be achieved through a spontaneous symmetry breaking bifurcation. Below it will be demonstrated that this bifurcation can result in the formation of the stable spatially uniform states and that these states can support nonlinear optical structures, in particular, bright cavity solitons.

To realize this effect, we consider a one-dimensional optical waveguide with periodically modulated refractive index [see Fig. 1(a), showing the sketch of the system]. This modulation with the lattice constant k couples the counterpropagating guided modes of the same frequency resonantly if the wave vectors of the modes ±k satisfy the condition 2k = nK, where n is an integer. It is worth mentioning that the lowest gap opened at the edge of the Brillouin zone is normally below the light line, and therefore these modes are not coupled to the free propagating waves. The states belonging to the higher gaps, in particular to the second lowest gap opened at k = 0, are coupled to the free propagating waves. Therefore, these states experience radiative losses and can be excited by incident waves.

The special feature of the waves with k = nK is that they are coupled to the nonguided waves propagating perpendicular to the waveguide. This means that the components of the guided waves with k = ±nK scatter in the same free propagating waves. Thus, the total radiative losses of the mode can be either enhanced by the constructive or suppressed by the destructive interference of the individual contributions of the components of the mode to the radiation field. In some cases, the radiation losses can be eliminated completely, this effect is known as bound state in the continuum (BIC) and has been widely discussed in literature [15—24]. For our purposes, we do not need a true BIC, but we assume that the losses of the upper and the lower modes are very different.

To describe the dynamics of the light in a nonlinear cavity with grating, we adopt a model when the field is represented as a combination of two weakly interacting counterpropagating

0146-9592/20/133781-04 Journal © 2020 Optical Society of America

3782 Vol. 45, No. 13 /1 July 2020 / Optics Letters

Letter

-3 -2 -lk0

6 -4 -2 k0

Fig. 1. (a) Schematic view of the considered system. (b) Real part of the dispersion characteristics (black lines) placed over the Fourier representation W=l U+(a, k)|2 + | U—(a, k)|2 of the low intensity field. (c) Imaginary parts of the dispersion characteristics.

waves [24],

(dt ± dx)U± = (iS - Y)U± + ia(\U±\2 + 2\Ut\2)U±

+ (ia - r)(U± + UT) + P,

(1)

where U± represents the slowly varying amplitudes of the coun-terpropagating waves, 5 is the detuning of the frequency of the pump from the center of the gap of the dispersion characteristics, Y accounts the internal losses, a = ±1 is the nonlinearity coefficient, a is the conservative part of the coupling coefficient defining the rate of the mutual rescattering of the two counter-propagating waves, r is the dissipative coupling accounting the fact that the radiative losses depend on the interference of the waves, and P is the amplitude of the coherent pump.

Let us remark that the applicability of the model is restricted to the case of corrugated waveguides where the high-order transverse modes are suppressed by higher losses. Otherwise, the nonlinearity can result in the excitation of higher modes, which makes the dynamics of the system very complicated. We would like to acknowledge here that the behavior of nonlinear systems depends on the dispersion properties of the waves strongly, and it is known that in a BIC system consisting of the arrays of cylindrical resonators, symmetry breaking bifurcation and optical bistability can occur [25—27]. It is also important to note that in those systems, the instability can result in the formation of oscillating states and frequency comb generation [28].

The frequency of the linear guided modes is given by dispersion characteristics,

o = S + a + i(y + V) ±J k2 - (ia - V)

(2)

and its real and imaginary parts are functions ofthe wave vector k [see Figs. 1(b) and 1(c)]. It is clearly seen that one of the modes can have very low losses at small k.

To illustrate this, we did direct numerical simulations of Eq. (1) taking small random noise as the initial condition. Then, we made Fourier transform U±(a, k) = f jj U±(t, x) exp(iat + ikx)dtdx of the field in respect to time and coordinate, plotted the spectral intensity |U+|2 + |U_|2 on k — a plane, and overlapped it with the plot showing the real parts of the dispersion characteristics. It is seen that, as expected, the maximums of the spectral intensity follow the dispersion characteristic, and the width of the maximums depends on the losses and on the calculation time .

As it follows from Eq. (2) the upper and the lower modes can have very different losses in the presence of the dissipative coupling r.In the case Y = 0, one of the modes has zero losses at k = 0, and this is the manifestation of the BIC effect. At this k, another mode has maximum losses equal to 2T. This complies

well with the results of the numerical simulations showing that the spectrogram has maximum of the intensity at k = 0 for the lower mode (which means minimal losses) and the minimum for the upper mode (meaning maximal losses).

The important thing to note is that Eq. (1) is invariant in respect to the change a ^ —a, a ^ —a, U± ^ U± .So within the framework of our model, the change of the nonlinearity sign is equivalent to the change of the sign of the conservative coupling.

The spatially uniform nonlinear states described by Eq. (1) are analyzed in details in [24] for the focusing nonlinearity and positive a. In this Letter, we focus on the case of the opposite sign of the nonlinearity and show that in this case, the properties of the system are very different so that stable parametrically driven asymmetric spatially uniform states and bright solitons can exist.

For further analysis, it is convenient to introduce a new basis Ub = U+'+U_ and Ud = U+_U_ . The equations for Ub and

V2

have the form

.3

(dt - iS - i-K + y + 2V - 2ia)Uh + (3X + iM)Ud = 2P,

(3)

2

(dt — i 5 — i-K + Y)Ud + (dx + iM)Ub = 0, (4)

where K = a(\Ub |2 + |Ud |2), M = a Re (UbU*d). Let us note that if the field does not depend on the coordinate, then the solutions can be found in the form Ub = (Ub = 0, = 0)T and Ud = (Ub = 0, Ud = 0)T. In the linear case, these modes are the eigenmodes of the system. The mode Ud has lower losses but cannot be excited by the driving force; therefore, we refer to it as the dark mode. The other mode Ub has higher effective losses due to coupling to the nonguided waves. This mode can be excited by the external waves at normal incidence, and thus it will be referred as the bright mode. Let us remark here that in the nonlinear case, there may exist solutions with both components not equal to zero; these solutions will be referred as hybrid solutions.

The bifurcation diagram for the nonlinear bright states Ub is shown in Fig. 2(a) by the blue color for 5 = 0.13. We study the dynamical stability of this state with respect to the perturbation having the same symmetry as the bright state f = , 0)T, and it was found that the lower and the upper branches ofthe bifurcation diagram are stable and the intermediate branch is unstable. The growth rate of such instability is shown in Fig. 2(b) by the blue color.

However, it happened that the bright states belonging to the lower branch can be unstable with respect to the perturbations having a structure of the dark mode, i.e., f = (0, . This is a symmetry breaking bifurcation that was revealed in optical systems in [16]. The increment of these excitations is shown in Fig. 2(b) as a function of the state intensity W = | U+12 + | U— |2 = | Ub|2 + | Ud|2 by the green line. This instability can be interpreted as parametric excitation of the dark component. Since the nonlinear state and the perturbation have different symmetries, it means that this instability can result in the formation of the hybrid states having both the bright and the dark components.

2

Letter

Vol. 45, No. 13 / 1 July 2020 / Optics Letters 3783

Fig. 2. (a) Bifurcation diagrams W =\Ub |2 + \Ud |2 = |U+|2 + |U—|2 versus P of the bright (blue line) and the hybrid (green line) states for 5 = 0.13. Dynamically unstable solutions are shown by dashed lines. Other parameters are a = — 1, a = 1, Y = 0.001, T = 0.299. (b) Growth rates of the excitations destabilizing the bright states are shown by the blue line for the unstable modes having the symmetry of the bright state and by the green line for the modes of the symmetry of the dark state. (c) Energy flows defined as F = | U+12 — |U—|2 in the bright (blue line) and hybrid (green line) states.

We numerically found the full set of the stationary solutions, and the bifurcation curve of the hybrid solution is shown in Fig. 2(a) by the green color. It is seen that the hybrid states bifurcate from the bright state at the points where the bright states get destabilized by the perturbations having the structure of the dark states. It is important to mention that because the hybrid states appear as a result of the spontaneous symmetry breaking, these states have nonzero flux. In the hybrid state, | U+12 = | U-12, and thus formation of these modes, means that there is an energy flow along the waveguide excited at normal incidence. The branch ofthe hybrid states is double degenerate because the states belonging to the branch can have opposite directions of the energy flux, see Fig. 2(c).

We analyzed numerically the stability of the hybrid states and found out that they can be stable in some ranges of the pump amplitude. We also studied the spatial behavior ofthe stationary deviations of the fields from the spatially uniform states, and it is found that the small stationary perturbations decay to the uniform hybrid states. This means that these hybrid states can serve as the backgrounds for the dissipative solitary structures such as bright solitons, switching waves [7], and gray solitons that can be seen as bound states of the switching waves [8,14]. In this Letter, we focus on the bright dissipative solitons; the other kinds of nonlinear localized waves will be considered in forthcoming articles.

The dissipative solitons were found numerically; their bifurcation diagram and the distributions of the fields in the soliton are shown in Fig. 3. For small detunings 8, the soliton bifurcates from the folding point of the bright spatially uniform states, and its pedestal is the bright spatially uniform state; the field distributions in this soliton at the pump close to the bifurcation point are illustrated in Fig. 3(c). This soliton is very much similar to the dissipative gap solitons reported in [29].

However, the soliton undergoes an important transformation at the point where the hybrid spatially uniform state bifurcates from the bright state. Beyond this point, the soliton nestles on the hybrid background [see Fig. 3(d)]. The hybrid states on the right and on the left of the soliton belong to the same double degenerate branch of the bifurcation curve but have different symmetries; that is why the energy flux at both sides is directed

Fig. 3. (a) Bifurcation diagrams of the soliton (red line) and the spatially uniform states (black line) for 5 = 0.05. The uniform states serving as backgrounds of the solitons are shown by thick black lines. The inset shows the zoomed part of the bifurcation curve of the homogeneous states. (b) Same as on (a), but for 5 = 0.125; red shaded rectangle shows the region where background of the soliton becomes unstable. (c) Soliton supported by the pump P = 0.9 [marked by vertical line S(c) in panel (a)]. (d) Soliton on the hybrid background supported by the pump P = 0.51; this pump is marked by vertical line S(d) in panel (a).

towards the bright soliton. The soliton can be seen as a special reflectionless defect, which absorbs all the photons coming to it. It is worth mentioning that the solitons on the hybrid background can exist down to quite low intensities of the pump, and this fact makes them interesting from the point of view of the experimental observation.

An important finding is that the bright solitons nestling on both the bright or the hybrid backgrounds can be stable. For larger values of the detuning 5, the solitons can become unstable in the certain intervals of the pumps [see Fig. 3(b) showing the bifurcation curve of the bright solitons; the region of the unstable solitons is highlighted by the red color]. It is worth mentioning that the solitons become unstable due to destabilization of their background.

From the experimental point of view, it is important to estimate the power required to observe the solitons. To make the pump power lower, we made the estimates for highly nonlinear materials where strong light-matter interaction is realized [30]. For the mode area of 5 |im2, the mode coupling strength 0.03 |im— 1 and the grating period 3 |im the power of the pump can be estimated as less than 1 W/|m, which is a high but experimentally achievable value.

Let us now suggest and verify by numerical simulations a protocol ofthe experimental observation ofthe bright solitons. The length ofthe system is taken to be much longer than the healing length of the spatially uniform states. For the simulation, we use reflectionless boundary conditions, and we take random noise as the initial condition. The pump is localized in the central part of the system.

At the time t = 0, the system is excited by spatially nonuniform pump with the amplitude profile shown in Fig. 4(a). After some transitional processes die out, the intensity distribution W becomes stationary and has the shape shown in Fig. 4(d). The energy flux corresponding to this state is shown in Fig. 4(g). In the central area, the field is close to the bright state belonging to

3784 Vol. 45, No. 13/1 July 2020/Optics Letters Letter

Fig. 4. (a) Spatially nonuniform pump applied in the time interval 0 < t < 114. (b) The shape of the pump P(x) = 0.8 acting on the system at 114 < t < 804. (c) The pump of decreased intensity P(x) = 0.55 acting on the system at 804 < t. The field intensity distributions for the pumps (a)—(c) are shown in (d)—(f), correspondingly. Panels (g)—(i) show the energy flows corresponding to (d)—(f).

the upper branch of the bifurcation diagram [Fig. 3(a)] because the pump has a maximum in the center. In the peripheral area, the pump is lower, and the field is close to the bright state belonging to the lower branch ofthe bifurcation characteristics.

Then, the profile of the pump is changed and made spatially uniform as shown in Fig. 4(b). If the maximum of the field intensity exceeds a threshold value, then the solution remains to be spatially nonuniform even after the pump becomes independent on the coordinate [see Fig. 4(e) showing the stationary distribution of the field intensity corresponding to the spatially uniform pump shown Fig. 4(b)]. This spatially nonuniform solution is a dissipative soliton nestling on the background having the symmetry of the bright mode. The energy flux corresponding to this solution is nonzero only in the area of the soliton and decays to zero with the increase of |x | [see Fig. 4(h)].

To obtain a soliton on the background having the structure of the hybrid mode, it is sufficient to decrease the pump [see Fig. 4(c)]. The change of the pump causes the transitional processes, and a stationary soliton on the hybrid background forms [see Fig. 4(f)]. In this case, the energy flux is nonzero not only within the soliton area but also in the backgrounds [see Fig. 4(i)]. Thus, playing with the intensity and the profile of the pump, it is possible to obtain bright solitons nestling on the backgrounds having a structure of either a bright or a hybrid mode. The dissipative soliton on the hybrid background can exist down to quite low intensities of the pump, which is good from the point of view of experimental observation of the solitons. It can also be promising from the point of view of possible application of the dissipative solitons for optical memory and information processing.

Now let us briefly summarize the main results of the Letter. First, we have found that the nonlinear hybrid states in corrugated waveguides can be stable in the systems of arbitrary length. It is shown that the mechanism of the hybrid state formation is the parametric instability leading to spontaneous symmetry breaking. Because of the broken symmetry, the hybrid states have nonzero energy flux. It is also demonstrated that stable bright dissipative solitons can form on both the pure bright and the hybrid backgrounds. It is important that the solitons on the backgrounds of both kinds can be dynamically stable and

thus can be observed experimentally. The protocol of possible experimental observation of the solitons is suggested and tested by numerical simulations.

Funding. Russian Science Foundation (18-72-10127); Russian Foundation for Basic Research (18-02-00414); Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Goszadanie no. 2019-1246, Megagrant no. 14.Y26.31.0015).

Disclosures. The authors declare no conflicts ofinterest.

REFERENCES

1. E. M. Wright, G.I. Stegeman, and S. Wabnitz, Phys. Rev. A 40, 4455 (1989).

2. N. Akhmediev and A. Ankiewicz, Phys. Rev. Lett. 70,2395 (1993).

3. B. A. Malomed, Spontaneous Symmetry Breaking, Self-Trapping, and Josephson Oscillations (Springer, 2013).

4. G. S. McDonald and W. J. Firth, J. Opt. Soc. Am. B 7,1328 (1990).

5. B. A. Kochetov, I. Vasylieva, A. Butrym, and V. R. Tuz, Phys. Rev. E 99, 052214(2019).

6. R. Y. Chiao, E. Garmire, and C. H. Townes, Phys. Rev. Lett. 13, 479 (1964).

7. N. N. Rozanov, Pis'maZh. Eksp. Teor. Fiz. 80,96 (1981).

8. N. N. Rosanovand G. V. Khodova, J. Opt. Soc. Am. B7,1057 (1990).

9. J. S. Aitchison, A. M. Weiner, Y. Silberberg, M. K. Oliver, J. L. Jackel, D. E. Leaird, E. M. Vogel, and P. W. E. Smith, Opt. Lett. 15,471 (1990).

10. J. S. Aitchison, A. M. Weiner, Y. Silberberg, D. E. Leaird, M. K. Oliver, J. L. Jackel, and P. W. E. Smith, Opt. Lett. 16,15 (1991).

11. Y. S. Kivshar and G. I. Stegeman, Opt. Photon. News 13,59 (2002).

12. S. Barland, J. R. Tredicce, M. Brambilla, L. A. Lugiato, S. Balle, M. Giudici, T. Maggipinto, L. Spinell, G. Tissoni, T. Knödl, M. Miller, and R. Jäger, Nature 419, 699 (2002).

13. D. Neshev, E. Ostrovskaya, Y. Kivshar, and W. Krolikowski, Opt. Lett. 28, 710 (2003).

14. N. Rozanov and S.Chan, Opt. Spectrosc. 101,271 (2006).

15. J. von Neumann and E. P. Wigner, in The Collected Works of Eugene Paul Wigner, A. Wightman, ed. (Springer, 1993).

16. V. N. Astratov, J. S. Culshaw, R. M. Stevenson, D. M. Whittaker, M. S. Skolnick, T. F. Krauss, and R. M. de la Rue, J. Lightwave Technol. 17, 2050 (1999).

17. S. Fan and J. D. Joannopoulos, Phys. Rev. B 65,235112(2002).

18. S. G. Tikhodeev, N. A. Gippius, A. Christ, T. Zentgraf, J. Kuhl, and H. Giessen, Phys. Status Solidi C 2,795 (2005).

19. E.N. Bulgakov and A. F. Sadreev, Phys. Rev. B 80,115308 (2009).

20. J. Lee, B. Zhen, S.-L. Chua, W. Qiu, J. D. Joannopoulos, M. Soljacic, and O. Shapira, Phys. Rev. Lett. 109,067401 (2012).

21. C. W. Hsu, B. Zhen, S.-L. Chua, S. G. Johnson, J. D. Joannopoulos, and M. Soljacic, Light Sci. Appl. 2, e84 (2013).

22. C. W. Hsu, B. Zhen, A. D. Stone, J. D. Joannopoulos, and M. Soljacic, Nat. Rev. Mater. 1, 16048 (2016).

23. Z. F. Sadrieva, I. S. Sinev, K. L. Koshelev, A. Samusev, I. lorsh, O. Takayama, R. Malureanu, A. A. Bogdanov, and A. Lavrinenko, ACS Photon. 4, 723(2017).

24. S. D. Krasikov, A. A. Bogdanov, and I. V. Iorsh, Phys. Rev. B 97, 224309 (2018).

25. L. Yuan and Y. Y. Lu, Phys. Rev. A 94, 013852 (2016).

26. L. Yuan and Y. Y. Lu, Phys. Rev. A 95, 023834 (2017).

27. E. Bulgakov and D. Maksimov, Sci. Rep. 9,7153(2019).

28. K. N. Pichuginand A. F. Sadreev, J. Opt. Soc. Am. B 32,1630(2015).

29. A. V. Yulin, D. V. Skryabin, and P. St.J. Russell, Opt. Express 13, 3529 (2005).

30. P. M. Walker, L. Tinkler, D. V. Skryabin, A. Yulin, B. Royall, I. Farrer, D. A. Ritchie, M. S. Skolnick, and D. N. Krizhanovskii, Nat. Commun. 6, 8317(2015).

PHYSICAL REVIEW E 103, 052207 (2021)

Dissipative switching waves and solitons in the systems with spontaneously broken symmetry

D. Dolinina* and A. Yulin^

Faculty of Physics, ITMO University, Saint-Petersburg 197101, Russia

(Received 16 February 2021; accepted 15 April 2021; published 7 May 2021)

The paper addresses the bistability caused by spontaneous symmetry breaking bifurcation in a one-dimensional periodically corrugated nonlinear waveguide pumped by coherent light at normal incidence. The formation and the stability of the switching waves connecting the states of different symmetries are studied numerically. It is shown that the switching waves can form stable resting and moving bound states (dissipative solitons). The protocols of the creation of the discussed nonlinear localized waves are suggested and verified by numerical simulations.

DOI: 10.1103/PhysRevE.103.052207

I. INTRODUCTION

It has been known that in bistable nonlinear systems, two different spatially uniform states can be connected by a switching wave preserving its shape. These structures have first been reported in [1] and then found in many optical systems [2-6]. The integrity of the domain wall is supported by the exact balance of different linear and nonlinear effects such as diffraction, the dependency of the effective refractive index on the light intensity, linear and nonlinear losses, the external pump, etc. In these respects, the domain walls are similar to nonlinear localized waves called solitons. It is important to note that the domain walls connecting different spatially uniform states can be at rest (this is so-called Maxwell point), but the general case is when domain walls are moving. The motion of a domain wall results in the expansion of one of the uniform states and to the shrinking of another, and this is why these localized structures are called switching waves. Let us remark that these switching waves are also often referred to as domain walls because they separate different states. In the present paper, we use both terms.

If two or more domain walls have formed in a system, then they can interact with each other provided that the distance between the domain walls is comparable to their characteristic size. In some cases, this interaction can result in the formation of bound states of the switching waves. These bound states can also be seen as dissipative solitons [7-14]. The dissipative solitons play an important role in optics; for example, they are used for the generation of femtosecond pulses in fiber lasers [15,16]. This explains why dissipative optical solitons have been actively studied for many years.

In the present paper, we consider dissipative localized waves in optical systems where there may exist modes of different symmetries that have very different losses. These systems are related to the so-called optical bound states in continuum (BIC) that are actively studied now because this

*[e-mail] t [e-mail]

phenomenon opens a way to achieve solitary high-Q resonances. BIC systems have already been used for second and third harmonic generation [17,18] and in laser design [19].

The characteristic feature of BIC states is that they cannot be directly excited by the external coherent light, and therefore they are often referred to as dark states (DS). The states coupled to free propagating waves have higher losses, but can be directly excited; these states are called bright states (BS). It is obvious that in the presence of the finite intrinsic losses, no stationary states can have a structure of pure DS. However, the BS can be unstable against the linear excitations having a structure of DS. This instability breaks the symmetry of the solution, leading to the formation of hybrid states (HS) that can be seen as a combination of BS and DS. It is important to note that the dominating component of HS can be of the DS kind and, thus, HS can experience very low effective losses and so they can exist at lower levels of pump intensities. This can facilitate the experimental observation of optical bistabil-ity and other nonlinear effects.

For our purposes, we do not need a true BIC when, for some modes, the radiative losses vanish completely, but a quasi-BIC when the radiative losses of some modes are significantly depressed by destructive interference. In the general case of a quasi-BIC, the quasi-DS can weakly interact with nonguided waves, but within the model used in this paper, these losses are accounted for as effective intrinsic losses of DS. Recently it was shown that bright dissipative solitons can nestle on the HS in such systems; see [20]. The aim of the present paper is to study the domain walls connecting different spatially uniform states. It will be shown that the domain walls connecting HS and BS exist, can be dynamically stable, and can form stable bound states.

It is well known that the symmetric systems can have asymmetric soliton solutions and that the symmetry breaking sets the dissipative solitons in motion [21-31]. Let us remark that symmetry breaking bifurcation is also known for connecting two physically equivalent spatially uniform states. In this case, the symmetry breaking transforms a resting Ising-type domain wall into a moving domain wall of the Bloch kind [32-35]. In addition, recently it was demonstrated that the nonlocal

2470-0045/2021/103(5)/052207(11)

052207-1

©2021 American Physical Society

2 1.8 1.6 1.4 1.2 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

1.2

FIG. 1. Bifurcation diagram of the bright (blue line) and hybrid (green line) states, where W = \Ub\2 + \Ud|2 = |U+|2 + |U_|2 is the intensity of states; dynamically unstable solutions are shown by the dashed line. Parameters are 8 = 0.05, a = -1, a = 1, y = 0.001, and F = 0.299. The inset shows a schematic view of the considered system.

Raman response sets the localized structures in motion [36-38]. In our paper, we discuss both the resting and moving dissipative solitons, but in our case, the motion of the solitons is caused by the broken symmetry of the solitons' pedestals and the type of the soliton pedestal defines the direction of the soliton motion.

The article is organized as follows. In Sec. II, we briefly discuss the physical system and formulate the mathematical model describing it. In this section, we also summarize important facts regarding the structure and the stability of the spatially uniform states. The formation and the stability of the switching waves connecting spatially uniform states of different symmetries are studied in Sec. III. Section IV is devoted to the bound states of the switching waves, i.e., to dissipative solitons. In this section, we also suggest protocols that allow one to observe the dissipative solitons in the experiments. Finally, in the conclusion, we list the main results of the paper.

II. THE PHYSICAL SYSTEM AND ITS MATHEMATICAL MODEL

As a system possessing quasi-BIC states, we consider externally pumped one-dimensional waveguides with periodical grating and Kerr nonlinearity, as schematically shown in the inset of Fig. 1 (taken from Fig. 1(a) of [20]). The resonant scattering on the periodical grating results in the appearance of a gap in the dispersion characteristics and to a dramatic decrease of the eigenwaves group velocity, which becomes equal to zero at the exact resonance. It is worth noting that the upper and lower modes can experience very different radiative losses. A simple explanation of this is that each mode can be seen as a composition of two counterpropagating waves. Each of the counterpropagating waves can leak from the waveguide, but the total radiative losses are defined by the interference of the contributions from each of the counterpropagating waves. In the case of destructive interference, the contributions from the counterpropagating waves cancel each other and, thus, the

radiative losses get suppressed. The constructive interference enhances the radiative losses.

The dynamics of the system is described as in [39] by a two counterpropagating waves approach and can be expressed mathematically by the following system of equations:

(3t ± 3X)U± = (i8 - y)U± + ia(|U±|2 + 2|UT|2)U±

+ (ia - r)(U±+ UT) + P, (1)

where U+ and U- are the slow varying complex amplitudes of the two counterpropagating waves, 8 is the detuning of the frequency of the pump from the center of the gap of the dispersion characteristics, y are the losses of different nature that cannot be compensated for by the U+ and U- waves interference, a = ±1 is the Kerr-nonlinearity coefficient, a is the conservative part of the coupling coefficient defining the rate of the mutual rescattering of the counterpropagating waves, and F is the dissipative coupling accounting for the fact that the radiative losses depend on the interference of the waves.

It is convenient to reformulate the problem in terms of the complex amplitude of bright modes, Ub = U++U-, and dark

modes, Ud = U+-U-. With these variables, Eq. (1) reads dt - i8 - i 3 K + y + 2F - 2ia*j Ub + (dx + iM )Ud = 2P,

(2)

(3)

dt - i8 - i-K + y )Ud + (dx + iM)Ub = 0,

where K = a(|Ub|2 + |Ud|2) and M = aRe(UbU**). From (2) and (3), it is seen that linear eigenmodes in the form e-iat+'kx with k = 0 have the structure (Ub = 0, Ud = 0) and (Ub = 0, Ud = 0). The second mode has only intrinsic losses y* = Y and, thus, the losses are lower than the losses of the first mode, Yb = y + 2F. It is also obvious from Eq. (3) that the second mode cannot be excited by the driving force accounting for the action of the pumping wave at normal incidence. Thus, this mode is the dark one. The first mode can be excited by the pump and so it is a bright mode. In the nonlinear regime, there may exist the states such that both their components are nonzero, Ub = 0, Ud = 0 [20,39]. These modes are the hybrid nonlinear modes.

As it is shown in [39], the spatially uniform hybrid states are always unstable for a = 1 and, therefore, we consider only the case a = -1. To facilitate the discussion of the nonlinear localized waves and, in particular, switching waves, we briefly reproduce the results on the formation and stability of the spatially uniform states reported in [20]. Stationary nonlinear states can be classified as bright states (BS) with Ub = 0, Ud = 0 and as hybrid states (HS) with Ub* = 0. The bifurcation diagram of the BS is shown in Fig. 1 by the blue curve. The HS bifurcating from the BS are shown by the green curve. The spectral linear stability analysis as well as direct numerical simulations show that the HS belonging to the upper branch of the bifurcation curve are stable and, thus, are of interest from a physical point of view.

Here we acknowledge an important fact that the hybrid states are produced by the spontaneous symmetry breaking and, therefore, they consist of two counterpropagating waves

of different amplitudes, |U+| = \U-\, and so these are the states with energy flow FHS = |U+|2 — |U-|2 directed either from the left to the right or from the right to the left. The symmetry of the equations x ^ —x, U± ^ UT insures that if U+ = a, U— = b is a spatially uniform solution, then U+ = b, U— = a is also a spatially uniform solution. Thus, the spatially uniform HS are double degenerate and have the energy flux of the same absolute value but of different signs.

III. DOMAIN WALLS CONNECTING THE HYBRID AND BRIGHT STATES

In this section, we consider the stationary domain walls connecting different spatially uniform HS to spatially uniform BS. To find stationary solutions, we set to zero the temporal derivatives and thus reduce the system (1) to a system of ordinary differential equations. Then, substituting the derivatives by their discrete analogues, we approximate the ordinary differential equations by a system of nonlinear algebraic equations. The algebraic system is solved numerically by the iteration method. The linear stability of the stationary solutions is examined by finding the eigenmodes of the weak perturbations of the stationary solution. The dynamics of these excitations is described by linear equations with coefficients being functions of the spatial coordinate. To find the eigenvalues and eigenmodes of the perturbation, we substitute the spatial derivatives by their discrete analogues and then solve the corresponding spectral problem numerically. The existence of the modes growing in time means that the background state is dynamically unstable. The growth rate is defined by the real part of the eigenvalue of the mode and thus if the spectrum of the perturbation contains one or more eigenvalues with positive real part, then the examined solution is unstable. To check the results of the spectral stability analysis and to study the nonlinear stage of the instability, we performed direct numerical simulations of (1) using the split-step Fourier method; see [40]. This method is proven to be highly efficient and is widely used for modeling of different nonlinear optical systems.

Let us start with introducing the notation of the domain walls. In the present paper, we focus on the domain walls connecting the stable hybrid states to the bright states belonging to the lower branch of the bifurcation characteristics. Then it is possible to mark the domain walls by the kinds of spatially uniform states connected by the domain walls. For example, a domain wall BH is a connection of the bright state on the left to the hybrid state on the right. Then, HB is a domain wall where the bright and the hybrid states are swept (HS is on the left side of the domain wall and BS is on the right). It is important to note that the characteristic size of the domain walls should be much larger than the grating period; otherwise the slowly varying amplitude approximation is not applicable and new effects appear [41].

As mentioned above, the hybrid states have nonzero energy flux and so we need to distinguish the hybrid states where energy flows from the left to the right from the hybrid states with opposite direction of the energy flow. We denote the former ones as H+ and the latter as H—. The bright states have zero energy flux and will be marked as B without indices. Let us emphasize that from a physical point of view, it is obvious

that the domain walls H+B and H—B are different; in the first case, the energy flow in the HS is directed towards the domain wall, and in the second case, it is directed away from the domain wall.

The linear analysis of the stationary perturbations on the H±S and BS background has revealed that the small excitations can exponentially decay with or without oscillations to the backgrounds. Therefore, one can expect that the states can be connected by domain walls with exponential tails. As mentioned before, the domain walls move with some velocity which depends on the parameters of the system. The assumption that the domain wall is moving without changing its shape allows one to look for this solution in a moving reference frame where the domain wall field distribution depends only on the coordinate f = x — vt and so is described by ordinary differential equations. The equations have to be solved with the boundary conditions corresponding to the prescribed spatially uniform states on the left and on the right. From the mathematical point of view, a domain wall is a heteroclinic phase trajectory connecting two different equilibrium points in the phase space of the differential equation written in the moving reference frame. These trajectories do not exist for an arbitrary velocity, but for some values of v the heteroclinic trajectories can be found. We solved the corresponding boundary value problem numerically and found the domain walls connecting the upper hybrid state to the lower bright state; a typical bifurcation diagram v vs P of the domain walls is shown in Fig. 2(b).

Let us first discuss the domain walls H+B connecting the state H+ on the left and B on the right. The dependency of the velocity of the domain walls on the pump is shown for typical parameters in Fig. 2(b) by the black line. One can see that there is a special value of the pump called a Maxwell point (due to analogy with thermodynamics) at which the velocity of the domain wall is zero. The existence of resting domain walls is known in many physical systems, including optical ones [1,3,4,42]. The existence of the Maxwell point in our system is important for the formation of the dissipative solitons (bound states of domain walls) that are considered in the next section in detail.

The range of the existence of H+B almost coincides with the range of the existence of the stable HS [the upper branch of the HS bifurcation curve shown in Fig. 2(a)]. The domain wall is wide for the low pump intensities; numerical simulations indicate that the domain wall width goes to infinity at the left border of the existence domain. Typical distributions of the domain wall fields are shown in Figs. 3(a)-3(c) for different intensities of the pump.

Let us remark here that it is also possible to find other family of H+ B domain walls; see Fig. 2(b) where the corresponding branch of the bifurcation diagram is shown by a blue dashed line. These domain walls have a more complex structure, but we did not manage to find stable domain walls of such a kind.

Another important remark is that because of the symmetry x ^ —x, U± ^ UT of Eq. (1), the domain walls BH— can be obtained from the domain walls H+B by the inversion of the direction of the x axis and the swap of the fields U±; compare Figs. 3(a)-3(c) and Figs. 3(d)-3(f), showing the field distributions in H+B and BH— domain walls for the same

0.12

0.25 0.3 0.35 0.4

P

FIG. 2. (a) The part of the bifurcation diagram showing the dependencies of the intensities of the hybrid and bright (belonging to the lower branch) spatially uniform states on the pump amplitudes. Two vertical dashed lines mark the range of the existence of the stable hybrid states. The green lines and arrows show the range of the existence of resting H+BH_ and H_BH+ solitons. The range of existence of moving H+BH+ and H_BH_ solitons is shown by the red lines and arrows. The point where the bright states become unstable is marked as SSB. (b) Velocity dependencies of the domain walls on the pump. The bifurcation curves of the different domain walls are shown by different colors. The solid lines correspond to the stable domain walls and the dashed lines to the unstable domain walls. The inset shows the enlarged region near the Maxwell points of H+B and BH+ domain walls. The points where the domain walls H+B and BH+ (or H_B and BH_) have equal velocities are marked as Peq.

pump intensities. For a fixed pump, the velocities of H+B and BH_ domain walls are of the same absolute value but of different sign; see the bifurcation diagrams of the domain walls presented in Fig. 2(b).

Now let us discuss an important issue of the dynamical stability of the domain walls. It is obvious that if one of the backgrounds of the domain wall is unstable, then the whole state is unstable and, thus, the domain walls existing to the right from the point of the SSB (spontaneous symmetry breaking bifurcation destabilizing the lower bright state) are always unstable. However, the linear stability analysis shows that the

0.03^

_0.02 >

0.01 0

0.03r

(a)

-IU+1* |U_I'

3(b) 2 1 Iw

J

■2-0.02 0.01 0

0.03 ™ 0

0.04

•Ï-0.03 (C)

— 0.02 1.

0.01 km

-100 0 100

(d)

-■-■-■- —

(9) f

.02

„1—«riw

(h) 3 2 1 j f

FIG. 3. Field distributions of the domain walls. (a) H+B at P = 0.14, (b) H+B at Maxwell point, (c) H+B at P = 0.27, (d) BH- at P = 0.14, (e) BH- at Maxwell point, (f) BH- at P = 0.27, (g) BH+ at P = 0.14, (h) BH+ at Maxwell point, and (i) BH+ at P = 0.24 of the unstable branch.

domain wall loses its stability at the pump values lower then that of SSB. The simulations of Eq. (1) confirmed that for relatively low pump intensity, the backgrounds remain stable but the domain wall gets destroyed; see Fig. 4 showing the development of the instability.

The instability results in the development of an oscillating pattern separating the HS and BS. At longer times, the hybrid state expands, but stable dark solitons stay incorporated in the HS. The interaction between the dark solitons leads to their collision and annihilation; this process is seen well in Fig. 4. However, the interaction between the solitons decreases exponentially with the distance. Therefore, the HS with incorporated solitons can be seen as a metastable state. We remark here that the oscillation pattern can be an indication of the existence of a periodic nonlinear state, but this problem requires a separate consideration and is beyond the scope of the present paper.

Another kind of domain walls considered in this paper is H_B or BH+ which are related to each other by the inversion of the x axis and the swap of the fields. Their bifurcation diagrams are shown in Fig. 2(b) by the red and yellow curves. The typical field distributions in the BH+ for different pump intensities are shown in Figs. 3(g)-3(i). At low pumps, the domain walls are wide, with the width going to infinity at the left end of the bifurcation diagram.

At some pump, the domain wall experiences a fold bifurcation and becomes unstable. The domain wall belonging to the lower unstable branch of the bifurcation diagram can be seen as an equilibrium combination of a BH+ domain wall and a dark soliton. This becomes obvious at the left end of the bifurcation curve, where the distance between the domain wall and the soliton goes to infinity.

The structure of these domain walls suggests the possible mechanism of their instability. If the distance between the soliton and the domain wall becomes smaller, then the soliton gets attracted and collides with the domain wall. Alternatively,

, xio2

2000

4000 t 6000 0.251—1-—

8000

10000

900

FIG. 4. (a) The evolution of the unstable H+B wall at P = 0.31 obtained by numerical simulations of Eq. (1). The colors shows the total intensity of the state |U+|2 + | U-12: the blue color corresponds to the lowest intensity and the yellow color corresponds to the highest intensity. (b)-(e) The distribution of the fields at different times.

120 „220 320 420

FIG. 5. (a) The evolution of the unstable H- B domain wall at P = 0.22 obtained by numerical simulations of Eq. (1). The colors show the total intensity of the state, |U+|2 + |U-|2: the blue color corresponds to the lowest intensity and the yellow color corresponds to the higher intensity. (b) Numerically found unstable domain wall taken as the initial conditions for the numerical simulations shown in (a). The domain wall can be seen as an unstable bound state of the H+B wall and a dark soliton (H-BH+ soliton) used as an initial condition in the numerical simulation. (c) Field intensity distributions at t = 10 000.

as stable bound states of two domain walls. This calls for systematic studies of the dissipative solitons that occur in the system. This is the subject of the next section.

if the distance between the soliton and the domain wall increases, then they depart from each other. Numerical simulations fully confirmed this guess. The development of the H-B domain wall instability is illustrated in Fig. 5. It is clearly seen that the development of the instability results in the formation of a resting dark soliton and the domain wall moving away from the soliton.

Considering the nature of the instability, it can be concluded that the instability growth rate becomes small at low pumps where the domain wall and the dark soliton are well separated and, thus, interact very weakly. At the fold bifurcation, the instability growth rate also goes to zero, and thus the maximum instability growth rate is inside the region of the domain wall existence. The numerical analysis shows that the point of the maximal instability growth rate is shifted towards the fold bifurcation point.

In this section, it is shown that in the considered system, there are several kinds of domain walls and that some of the domain walls are stable. It was also shown that the instability can result in the formation of dark solitons that can be seen

IV. DARK SOLITONS

In this section, we discuss different dissipative solitons that can be interpreted as bound states of the domain walls connecting the lower bright and the hybrid spatially uniform states.

We start with the solitons that are formed by the domain wall H+B on the left and domain wall BH_ on the right. As discussed above, the hybrid states forming these domain walls are related by the operation of simultaneous inversion of the spatial coordinate and the swap of the fields U±. Each of the hybrid states H+ on the left and H_ on the right have the energy flow directed towards the bound state formed by the domain walls. The intensity of the field in the center of the bound state is lower than the intensity of the backgrounds, and so the bound state can be referred to as a dark dissipative soliton. We can denote the soliton as the H+BH_ soliton, meaning that the soliton is the state consisting of the H+B on the left and BH_ on the right. Let us note here that from the mathematical point of view, these soliton solutions are the heteroclinic trajectories connecting different stationary points

5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1

0.5 0

,! 0.04

(I)W") 3

II ii 0.02

11 Si

1 0.04

% 0.02

s> 0

(i)

0.04c

—IUJ2 (M (¡¡)

■IU.I* =>

0.02 I J