Дискретный математический анализ и нечеткая логика в геофизических приложениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.35, доктор физико-математических наук Агаян, Сергей Мартикович

• Агаян, Сергей Мартикович
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Агаян, Сергей Мартикович

Введение

Глава 1. Дискретный математический анализ в конечных метрических пространствах

1.1. Нечеткие сравнения

1.1.1. Нечеткие сравнения действительных чисел

1.1.2. Нечеткие сравнения точечных масс

1.1.3. Нечеткие сравнения взвешенных подмножеств действительных чисел

1.2. Меры близости в конечных метрических пространствах

1.2.1. Близость точек в конечном метрическом пространстве

1.2.2. Близость точки к подмножеству в конечном метрическом пространстве

1.2.3. Стационарный предел в конечном метрическом пространстве

1.2.4. Плотность в конечном метрическом пространстве

1.2.5. Непрерывность отображений конечных метрических пространств

1.3. Выводы

Глава 2. Выделение плотных областей в конечных метрических пространствах

2.1. Основы в конечных метрических пространствах

2.1.1. Локализация в конечном метрическом пространстве

2.1.2. Алгоритм «Выбор основ» 40 2.2 Кристаллизация в конечных метрических пространствах

2.2.1. Алгоритм «Глобальный Кристалл»

2.2.2. Алгоритм «Локальный Кристалл»

2.3. Кластеризация в конечных метрических пространствах

2.3.1. Алгоритм «Глобальный Роден»

2.3.2. Алгоритм «Локальный Роден»

2.3.3. Алгоритм «Нечеткий жесткий Роден»

2.3.4. Алгоритм «Нечеткий мягкий Роден»

2.4. Трассирование в конечных метрических пространства

2.5. Выводы

Глава 3. Дискретный математический анализ временных рядов

3.1. Гладкие временные ряды

3.1.1. Построение гладких временных рядов: алгоритм «Равновесие»

3.1.2. Прогнозирование гладких временных рядов: алгоритм «Прогноз»

3.2. Аномалии на временных рядах

3.2.1. Выпрямление временных рядов

3.2.2. Поиск аномалий па временных рядах: алгоритм DRAS

3.2.3. Поиск аномалий на временных рядах: алгоритм FLARS

3.3. Динамика временных рядов

3.3.1. Монотонность временных рядов

3.3.2. Иерархия монотонностей

3.3.3. Экстремумы временных рядов

3.3.4. Выпуклость временных рядов

3.4. Геометрические меры на временных рядах

3.4.1. Атомарные меры

3.4.2. Геометрия рельефа и нечеткая логика

3.5. Выводы

Глава 4. Геофизические приложения (ДМА)

4.1. Выделение плотных областей и кластеризация при поиске источников аномалий магнитного поля

4.1.1. Эйлерова деконволюция

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дискретный математический анализ и нечеткая логика в геофизических приложениях»

Актуальность работы. "Дискретный анализ - область математики, занимающаяся изучением свойств структур конечного характера. Дискретный анализ представляет собой важное направление в математике, имеющее характерные для него предмет исследования, методы и задачи, специфика которых обусловлена, в первую очередь, необходимостью отказа в дискретном анализе от основополагающих понятий классической математики -предела и непрерывности - и (в связи с этим) тем, что для многих задач дискретного анализа сильные средства классической математики оказываются, как правило, мало приемлемыми" (Мат. энциклопедия, 1979).

Если принять во внимание, что любые данные имеют дискретный характер, то актуальность дальнейшего развития анализа дискретных структур сомнений не вызывает.

Цель работы. Создание нового подхода к изучению многомерных массивов и временных рядов, основанного на моделировании предела в конечной ситуации и реализованного в серии алгоритмов под общим названием "Дискретный математический анализ".

Постановка конкретных задач. Цель работы определила постановку следующих задач:

• разработка алгоритмов поиска плотных областей в конечных метрических пространствах, в частности, кластеризации и трассирования в многомерных массивах;

• функциональный подход к временным рядам, включающий в себя: определение, построение и прогнозирование гладких временных рядов; поиск аномальных участков на произвольных временных рядах; определение понятий монотонности, экстремума, выпуклости и точки перегиба для временных рядов; разработка на их основе алгоритмов разбиения временного ряда на монотонные, выпуклые участки, а также поиска экстремумов и точек перегиба;

• морфологический анализ временных рядов на основе нечеткой логики;

• геофизическое приложение дискретного математического анализа (выделение плотных областей и кластеризация при поиске источников аномалий потенциальных полей, выделение аномалий па геоэлектрических и гравитационных временных рядах).

Методологическая основа исследования. Сформулируем принятую в работе концепцию дискретного математического анализа: отсутствие предела и непрерывности в конечной ситуации и более устойчивый по сравнению с математическим характер восприятия человеком дискретности и стохастичпости делают необходимым то, что

В.И.Кейлис-Борок называл моделированием "на глаз" (Выч. сейсм., 1968): решает не математика, а человек, и его решение нужно формально выразить. Приведем три примера.

1. Гладкая в классическом смысле функция / на отрезке [а, Ь] после даже достаточно тщательной дискретизации [а, Ъ\, либо под воздействием небольшого стохастического возмущения s:f-> f + s потеряет это свойство, по по прежнему останется гладкой для человека).

2. Формальную монотонность /на [а,Ь] может нарушить любое сингулярное возмущение, в то время как, человеческое понимание тренда более устойчиво к нему: лишь достаточно «большое» возмущение заставит человека изменить свое решение о монотонности / на [а, Ъ].

3. В многомерном конечном массиве X любой, в частности, геофизической природы особую роль реперных точек играют наиболее «плотные» из них, сильнее всего концентрирующие X вокруг себя. Они важны для анализа X, например, при кластеризации или трассировании в нем. Нетривиальное формальное выражение плотности в X не может быть построено в рамках классической математики, потому что для nee X - дискретное пространство, все точки которого одинаково изолированы и не интересны.

Определенные в ДМА дискретная гладкость и мягкая (стохастическая) монотонность для конечных и временных рядов, а также подход к плотности в точке, как к мере дискретной предельности пространства в ней, дает содержательные ответы в описанных выше примерах.

Техническая основа исследования. Нечеткая математика и нечеткая логика обладают достаточно большими возможностями для моделирования человеческих представлений и рассуждений по сравнению с обычными множествами и булевой логикой, и потому именно они послужили технической основой дискретного математического анализа.

Пример. В булевой логике основные связки «и», «или», «не» моделируются однозначно. В нечеткой логике для этого предназначены целые параметрические семейства, так называемых, Т-норм и Т-конорм [1], [42], моделирующие связки «и» и «или». Аналогично дело обстоит и с отрицанием. Опыт практического применения нечеткой логики и нечеткой математике показал их достаточность поскольку при необходимости благодаря параметрам возможен нестандартный выбор операторов для логических связок, отражающий характерные особенности конкретного приложения. Преимущество этого подхода состоит в том, что, избегая фиксированных, конкретнонезависимых определений нечеткая математика и нечеткая логика достигают плюрализма, которая повышает их гибкость и выразительные возможности. * Таким образом нечеткая математика и нечеткая логика позволяют дать строгое математическое описание в действительности расплывчатых экспертных утверждений и преодолеть лингвистический барьер между человеком, суждения и оценки которого являются приближенными, качественными и нечеткими, и компьютером, который может выполнять только четкие инструкции. Научная новизна.

• В дискретном математическом анализе аналоги фундаментальных математических понятий: предела, непрерывности, связности, монотонности, выпуклости представляют собой моделирование при помощи нечеткой математики и нечеткой

Л логики человеческих представлений об этих понятиях.

• Реализованные алгоритмы поиска плотных подмножеств в конечных метрических пространствах расширяют возможности классического кластерного анализа, поскольку не требует отделимости найденных подмножеств.

• Анализ временных рядов осуществлен в работе на основе новых для них понятий гладкости, монотонности, экстремума, выпуклости, геометрических мер.

Практическая значимость

• Все алгоритмы носят универсальный характер: они способны работать с данными существенно разной природы.

• Цели и задачи, на которые ориентированы алгоритмы, общеизвестны и ф фундаментальны.

• Алгоритмы "Роден" и "Кристалл" совместно с деконволюцией Эйлера послужили основой интерпретации магнитных аномалий в заливе Сан-Мало (Франция) и массиве Аххагар (Алжир).

• Алгоритм DRAS используется в мониторинге вулкана JIa Фурнез (Франция).

• Алгоритм FLARS используется при обработке данных мировой сети сверхпроводящих гравиметров (GGP Network).

Построенная в работе геометрия временных рядов дает возможность по новому подойти к анализу рельефов, что имеет большое значение в геоморфологии, батиметрии и т.д.

Схема построения ДМА.

Заключение диссертации по теме «Геоинформатика», Агаян, Сергей Мартикович

4.3. Выводы

Созданные в рамках ДМА алгоритмы "Роден" и "Кристалл" применялись при интерпретации магнитных аномалий в заливе Сан-Мало (Франция) и массиве Аххагар (Алжир), алгоритм DRAS явился ключевым звеном в мониторинге вулкана Ла Фурнез ^ (Франция), алгоритм FLARS анализировал остаточные гравиметрические данные в рамках международного научного проекта Global Geodynamic Project (GGP).

Геофизические приложения ДМА изложены в реферируемых международных и российских журналах ("Earth and Planetary Science Letters", "Geophysics", ДАН, «Физика Земли», «Кибернетика и системный анализ», "System Research & Information Technologies").

Заключение

Общий итог работы состоит в создании нового подхода к дискретным данным, основанном на моделировании дискретных аналогов фундаментальных математических понятий (предела, непрерывности, связности, монотонности, выпуклости) и названного "Дискретным математическим анализом". Отправной точкой такого моделирования послужил "мягкий", более устойчивый по сравнению с математическим, характер восприятия человеком дискретности и "стохастичности". Технической основой ДМА явились нечеткая математика и нечеткая логика, поскольку они обладают достаточно большими выразительными возможностями для передачи человеческих представлений и рассуждений.

ДМА реализован в серии алгоритмов. Первая из них: алгоритмы "Выбор основ", "Кристалл", "Роден", "Трассирование" посвящены выделению плотных областей в многомерных массивах данных, в частности, кластеризации и поиску линейных структур в них.

Вторая серия алгоритмов ("Равновесие", "Прогноз", DRAS, FLARS, алгоритмы поиска нечетких монотонностей, экстремумов, выпуклости, точек перегиба) представляет собой функциональный подход к конечным временным рядам, во многом схожий с классическим математическим анализом гладких функций.

В ДМА также входит морфологический анализ конечных временных рядов, основанный на нечетких геометрических мерах.

Геофизические применения ДМА представлены в работе применением алгоритмов "Роден" и "Кристалл" к интерпретации магнитных аномалий соответственно в заливе Сен-Мало (Франция) и массиве Аххагар (Алжир), а также использованием алгоритмов DRAS и FLARS для выделения аномалий на геоэлектрических и гравитационных временных рядах.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Агаян, Сергей Мартикович, 2005 год

1. А.Н. Аверкин, И.З. Батыршин, А.Ф. Блишун, В.Б. Силов, В.Б. Тарасов.- Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта /Под ред. Д.А. Поспелова/.- М., Наука, 1986, 312 с.

2. Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Еиюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности. Справ. Изд./ под ред. С.А. Айвазяна. М.: Финансы и статистика, 1989. 606 стр.

3. Аронов В.И. Обработка па ЭВМ значений аномалий силы тяжести при произвольном рельефе поверхности наблюдений. М.: Недра, 1976.

4. Агаян С.М., Соловьев А.А. Выделение плотных областей в метрических пространствах на основе кристаллизации. System Research & Information Technologies. 2004, № 2, с. 7-23.

5. Агаян С.М., Богоутдинов Ш.Р., Гвишиапи А.Д., Граева Е.М., Злотники Ж., Родкин М.В. Исследование морфологии сигнала на основе алгоритмов нечеткой логики. Сборник ИФЗ РАН. 2006 (в печати).

6. Боровков А.А. Курс теории вероятностей, М., Наука, 1972,287с.

7. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач, М., Наука, 1980, 508с.

8. А.Д. Гвишиани, М. Диаман, В.О. Михайлов, А. Гальдеано, С.М. Агаян, Ш.Р. Богоутдинов, Е.М. Граева. Алгоритмы искусственного интеллекта для кластеризации магнитных аномалий. М.: Физика Земли, 2002, № 7, с. 13-28.

9. А.Д. Гвишиани, С.М. Агаян, Ш.Р. Богоутдинов. Математические методы геоинформатики. I. О новом подходе к кластеризации. Киев: Кибернетика и системный анализ, 2002, № 2, с. 104-122.

10. А.Д. Гвишиани, М. Злотники, В.О. Михайлов, С.М. Агаян, Ш.Р. Богоутдинов. Применение методов нечеткой логики в задачах выделения геофизических13.