Дискретные ортогональные преобразования с шумоподобными базисными функциями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат физико-математических наук Бесполитов, Олег Владимирович

• Бесполитов, Олег Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бесполитов, Олег Владимирович

Введение.

ГЛАВА 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ.

1.1. Рекуррентные функции в конечных полях.

1.1.1. Некоторые свойства показательных и рекуррентных функций в конечных полях.

1.1.2. Тригонометрические суммы и суммы характеров с показательными функциями.

1.2. Канонические системы счисления в квадратичных полях.;.

1.2.1. Классификация канонических систем счисления.

1.2.2. Представление данных в канонических системах счисления.

ГЛАВА 2. ОДНОМЕРНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ШУМОПОДОБНЫМ БАЗИСОМ.

2.1. М -преобразования.

2.1.1. Шумоподобные базисы с равномерным распределением значений.

2.1.2. Шумоподобные базисы с полиномиальным законом распределения значений.

2.1.3. Специальный случай: редуцированные базисы, порожденные показательной функцией в конечном поле.

2.2. Статистические свойства значений базисных функций

М -преобразований.

2.2.1. Проверка равномерности и независимости, следующих друг за другом пар.

2.2.2. Проверка комбинаций (Покер-тест).

ГЛАВА 3. ДВУМЕРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

С ШУМОПОДОБНЫМ БАЗИСОМ.

3.1. Синтез базисов двумерных шумоподобных преобразований.

3.2. Хаотичность последовательности значений базисных функций.

3.3. Быстрые алгоритмы М-преобразований.

ГЛАВА 4. ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.

4.1. Алгоритмы и программы определения параметров

М -преобразований.

4.1.1. Алгоритм определения характеристик квадратичных полей, в которых существуют КСС.

4.1.2. Алгоритм представления целых чисел в канонических системах счисления.

4.1.3. Алгоритм генерации "фундаментальных" областей для квадратичных полей, в которых существуют КСС.

4.1.4. Алгоритм нумерации элементов "фундаментальной" области.

4.1.5. Алгоритм нумерации элементов периодического ограничения "фундаментальной" области.

4.1.6. Алгоритм синтеза базисных функций двумерных

М -преобразований.

4.2. Корреляционные свойства поля ошибок.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дискретные ортогональные преобразования с шумоподобными базисными функциями»

Целью диссертационной работы является разработка и исследование нового класса дискретных ортогональных преобразований, базисные функции которых имеют "шумоподобную" структуру.

Актуальность темы. В составе алгоритмического обеспечения компьютерных систем обработки сигналов и изображений одно из центральных мест занимают алгоритмы дискретных ортогональных преобразований (ДОП). Историю систематического использования методов дискретного спектрального анализа сигналов принято отсчитывать с 1965 г., когда Кули и Тьюки опубликовали свой быстрый алгоритм вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ), хотя ранее Гуд (1960 г.) и Томас (1963 г.) опубликовали в практически незамеченных современниками работах свои быстрые алгоритмы ДПФ, базирующиеся на несколько ином подходе. За время, прошедшее с первых публикаций, дискретный спектральный анализ стал одним из основных средств решения задач цифровой обработки сигналов, распознавания образов, машинного зрения, компьютерной оптики и т.д.

Разработке различных аспектов теории и применения дискретного спектрального анализа с использованием различных ДОП посвящено большое количество публикаций как у нас в стране, так и за рубежом. Значительный вклад в развитие общей теории ДОП внесли С.С. Агаян, Н.Н. Айзенберг, В.А. Власенко, A.M. Крот, В.Г. Лабунец, A.M. Трахтман, Л.П. Ярославский, Р. Агарвал, Ш. Виноград, Г. Нуссбаумер, Ч. Рейдер и др. Высокоэффективные алгоритмы конкретных преобразований, адаптированные к характеристикам применяемых вычислительных средств разработаны A.M. Григоряном, И.Е. Капориным, Е.Е. Тыртышниковым и др.

В настоящее время теория ДОП развивается, в частности, в следующих направлениях:

• синтез параметрических семейств новых ортогональных базисов со структурой быстрых алгоритмов, инвариантной по отношению к той или иной концепции синтеза таких алгоритмов;

• разработка новых конкретных алгоритмов ДОП, обладающих повышенной точностью и/или быстродействием, адекватных по структуре вычислений последним разработкам в области специализированных процессоров и характеристикам каналов передачи информации.

Именно последний этот аспект теории ДОП — разработка, синтез и исследование ДОП, адекватных особенностям реальных или целенаправленно созданных каналов передачи информации, представляется до сих пор мало исследованным, хотя широкое распространение методов дискретного спектрального анализа в разнообразных задачах передачи и обработки информации делает эту проблему весьма актуальной.

Одним из важных свойств "классических" дискретных ортогональных преобразований определяющим возможность их эффективного применения к задачам кодирования цифровой видеоинформации, является концентрация энергии спектра в относительно небольшом числе спектральных компонент. В задачах, например, компрессии изображений это свойство во многом определяет эффективность конкретных алгоритмов компрессии. С другой стороны, при передаче кодированной видеоинформации по реальному каналу возникают помехи, искажения, зависящие от физической природы канала. И если специфика канала такова, что какая-то часть передаваемой

N-1 и=0

N-1

0.1)

0.2) информации случайным образом утрачивается ("канал с пропусками"), то при утрате "энергетически значимых" компонент спектра на изображение накладываются "структурированные помехи", к которым зрительная система человека более чувствительна, чем к точечному шуму. На рисунках 0.1 (б)-(в) показаны примеры таких структурированных помех, отличающиеся от точечного шума (рисунок 0.1 (г)). а) Исходное изображение б) Искажения при применении преобразования Хартли в) Искажения при применении (г) Искажения при применении преобразования Адамара хаотического преобразования

Рис. 0.1. Примеры структурированных помех от применения различных дискретных ортогональных преобразований

В связи с этим целесообразно рассматривать такие преобразования, которые не обладают свойством концентрации энергии в нескольких спектральных компонентах. В частности, желательно, чтобы влияние канальных ошибок было бы менее заметно, чем при применении классических дискретных ортогональных преобразований Фурье, Уолша, Хартли и др. Другими словами, мы намерены рассматривать дискретные ортогональные преобразования, базисные функции которых имеют шумоподобный характер. Для таких преобразований спектральные компоненты "энергетически равноправны".

Такие одномерные преобразования (0.1), базисные функции hm(n) которых принимают "хаотическим" образом два различных значения, введены в [89]. В работах [88], [100], [107] рассмотрены приложения таких преобразований к кодированию видеоинформации. Различные обобщения основной конструкции работы [106] рассматривались в [59], [71], [79], [80] для случая к-значных функций hm(n).

Основой для построения семейства базисных функций исследуемых дискретных ортогональных преобразований является линейная рекуррентная последовательность (т-последовательность [14], [40]) y(n)=aly(n-l)+.+asy(n-s); ajeGF(q), а3Ф0 (0.3) элементов конечного поля GF(#) из q=ps элементов (р — простое число) с максимально возможным периодом T=qs-1.

При построении базисных функций преобразования (0.1) члены последовательности >>(/2)eGF(#) заменяются вещественными числами hm(n) таким образом, чтобы для функций выполнялось условие ортогональности (0.2).

Одной из основных проблем, препятствующих экстраполяции методов цитированных работ на двумерный случай, является проблема построения "хорошей" одномерной нумерации двумерного массива ,«2)» п1>п2еЩ.

В работах [96], [97] введено понятие канонической системы счисления в кольце S^V^j целых элементов квадратичного поля

Q^\[d^={z=a+byjd; a,6eQj, позволяющих представить элементы zeS^V^j в форме конечной суммы z=^zjaj, k(z)=s, (0.4) j=0 где "цифры" zj принадлежат некоторому конечному подмножеству NczZ, а элемент а (основание системы счисления) есть некоторый элемент кольца s(V^).

В настоящей работе мы устанавливаем взаимнооднозначное соответствие между элементами "гусеницы"

Y0=(>>(0),. • Y1 =(^(1),. • • ->YN-1 =(y{N~0" • -1+*)) (0.5)

A^-периодической m -последовательности (0.3) и элементами кольца S^/jj, представимыми s -членными суммами (0.4). На основе такого соответствия мы вводим двумерные ортогональные преобразования

N-1 N-1 х(тьт2)= £ Z хЫ'ПгЖч/пг0пЪп2) (°-6)

1=0 «2=0 с условием ортогональности

N-1 N-1

Е Е hm\("1 ,к2 ("1 '"2^ Лг

1=0 и2=0 и с шумоподобным поведением значений базисных функций («1,^2).

Эти факторы и определяют в основном задачи диссертационного исследования.

Задачи диссертационной работы.

1. Синтез одномерных М -преобразований, базисные функции которых принимают q различных значений с равными частотами (q - степень простого числа р).

2. Синтез одномерных обобщенных М -преобразований, базисные функции которых принимают "случайным образом" значения в соответствии с полиномиальным законом распределения.

3. Синтез двумерных преобразований с шумоподобными базисами, ассоциированными с псевдослучайной разверткой (нумерацией) массива пикселей входного и выходного изображений.

4. Разработка необходимого программного обеспечения для определения параметров рассматриваемых преобразований.

Следует отметить, что приводимые в диссертации экспериментальные результаты, свидетельствующие об эффективности применения синтезированных преобразований для кодирования изображений, имеют иллюстративный характер. Проведение подробных экспериментальных исследований в задачи диссертационного исследования не входило и представляет предмет самостоятельного исследования.

Перечисленные задачи определяют структуру работы и содержание отдельных глав.

Краткое содержание диссертации. Диссертационная работа, содержащая 127 стр., состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, составляющего 121 наименование и 2 приложений объемом 16 страниц.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Бесполитов, Олег Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим наиболее важные на наш взгляд выводы, следующие из диссертационного исследования.

1. Синтезированы одномерные дискретные ортогональные преобразования, базисные функции которых принимают q различных значений с равными частотами (q - степень простого числа р);

2. Синтезированы одномерные дискретные ортогональные преобразования, базисные функции которых принимают "случайным образом" значения в соответствии с полиномиальным законом распределения;

3. На основе синтезированных одномерных дискретных ортогональных преобразований с "шумоподобными" базисами синтезированы двумерные преобразования с "шумоподобными" базисами согласованные с псевдослучайной разверткой (нумерацией) массива пикселей входного и выходного изображений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бесполитов, Олег Владимирович, 2006 год

1. Бахтурин Ю.А. Основные структуры современной алгебры. - М.: Наука, 1990.

2. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. — М.: Мир, 1989.

3. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. 3-е изд., доп. - М.: Наука, 1985.

4. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.

5. Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли. М.: Мир, 1990.

6. Бесполитов О.В., Чернов В.М. Быстрое вычисление дискретной свертки в редуцированных системах счисления для комплексных полей Мерсенна // Компьютерная оптика, 24. 2002. - С. 126-129.

7. Бесполитов О.В., Чернов В.М. Параллельные алгоритмы вычисления свертки в редуцированных канонических системах счисления для квадратичных полей // Искусственный интеллект. 2004. - № 2. - С. 197-200.

8. Бесполитов О.В. Дискретные ортогональные преобразования с "хаотическими" базисными функциями // Вестник Самарского гос. Университета. Естественнонаучная серия. 2005. - № 3(37). - С. 5-19.

9. И. Бесполитов О.В. Дискретные ортогональные преобразования с "хаотическими" базисными функциями // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 2005. - Т. 12. - В. 4. - 850 с.

10. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1979.

11. Виноградов И.М. Основы теории чисел. 8-е изд. - М.: Наука, 1972.

12. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. М.: Мир, 1991.-352 с.

13. Елизаров В.П. Конечные кольца. М.: 1993.

14. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1984.

15. Камловский О.В. Распределение элементов на циклах линейных рекуррентных последовательностей над кольцами Галуа // Успехи мат. наук, 53. 1998. -№ 2. - С. 149-150.

16. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. 2-е изд. М.: Наука, 1977.

17. Кейперс JL, Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Мир, 1985. - 408 с.

18. Кнут Д.Е. Искусство программирования для ЭВМ. М.: Мир, 1977. - Т. 2.

19. Коробов Н.М. О распределении дробных долей показательных функций // Вестник МГУ. Серия матем., мех. 1966. - № 4. - С. 42-46.

20. Коробов Н.М. Числа с ограниченным отношением и их приложения к вопросам диофантовых приближений // Изв. АН СССР, 19. 1955. — С. 361-363.

21. Коробов Н.М. Распределение невычетов и первообразных корней в рекуррентных рядах // Докл. АН СССР, 88. 1953. - № 4. - С. 603-606.

22. Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.-240 с.

23. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

24. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. -М.: Постмаркет, 2000.

25. Лаксов Д. Линейные рекуррентные последовательности над конечными полями // Математика (Сб. переводов), 11.- 1967. -№ 6. С. 145-158.

26. Ленг С. Алгебра.-М.: Мир, 1968.-564 с.

27. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М.: Мир, 1988. - Т. 1,2.- 824 с.

28. Макклеллан Дж.Х., Рейдер Ч.М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов / Под ред. Манина Ю.И. М.: Радио и связь, 1983.

29. Марпл С.Л. (мл.) Цифровой спектральный анализ и его приложения. -М.: Мир, 1990.

30. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

31. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990.

32. Ноден П., Китте К. Алгоритмическая алгоритмика. М. Мир, 1999.

33. Нечаев В.И. Линейные рекуррентные сравнения с периодическими коэффициентами // Мат. заметки, 3. 1968. - № 6. - С. 625-632.

34. Нечаев В.И. Линейные сравнения по модулю простого идеала и линейные рекуррентные последовательности // Уч. зап. Моск. пед. инст. им. В.И. Ленина, 375. 1971. - С. 124-132.

35. Нечаев В.И., Полосуев A.M. О распределении невычетов и первообразных корней в последовательности, удовлетворяющей конечно-разностному уравнению с полиномиальными коэффициентами // Вестник Моск. унив. Серия матем., мех., 6. 1964. - С. 75-84.

36. Нечаев В.И. Рекуррентные последовательности // Уч. зап. Моск. пед. инст. им. В.И. Ленина, 375. 1971. - С. 103-123.

37. Нечаев В.И., Степанова Л.Л. Распределение невычетов и первообразных корней в рекуррентных последовательностях над полем алгебраических чисел // Успехи мат. наук, 20. 1965. - № з. - С. 197-203.

38. Нечаев В.И. Тригонометрические суммы для рекуррентных последовательностей элементов конечного поля // Мат. заметки, 11.-1972.-№5. с. 597-607.

39. Нечаев В.И. Тригонометрические суммы для рекуррентных последовательностей // Докл. АН СССР, 206. 1972. - № 4. - С. 811814.

40. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток. -М.: Радио и связь, 1985.

41. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979.

42. Применение цифровой обработки сигналов / Под ред. Э. Оппенгейма. -М.: Мир, 1980.

43. Постников А.Г. Арифметическое моделирование случайных процессов // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. М.: Изд-во АН СССР, 1960. -Т. 57.-84 с.

44. Постников А.Г. Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофантовых приближений // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. -М.: Наука, 1966.-Т. 82.

45. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. -М.: Мир, 1978.

46. Сидельников В.М. Оценки для числа появлений знаков на отрезке рекуррентной последовательности над конечным полем // Дискрет, мат., 3.- 1991.-№ 2.-С. 87-95.

47. Общая алгебра / Под ред. Л.А. Скорнякова. -М.: Наука, 1990. Т. 1,2.

48. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. — М.: Наука, 1973. 311 с.

49. Солонина А.И., Улахович Д.А., Яковлев Л.А. Алгоритмы и процессоры обработки сигналов. СПб.: БХВ-Петербург, 2001.

50. Таусворт Р. Случайные числа, порождаемые линейными рекуррентными соотношениями по модулю 2 // Киберн. сбор. 1979. - Вып. 16. - С. 6273.

51. Усольцев Л.П. Задача на построение, связанная с равномерным распределением дробных долей показательных функций // Изв. ВУЗов. Математика. 1967. - № 12. - С. 75-83.

52. Федер Е. Фракталы / Пер. с англ. Данилов Ю.А. М.: Мир, 1991.

53. Хассе X. Лекции по теории чисел. М.: ИЛ, 1953.

54. Чебышев П.Л. Теория вероятностей. Лекции 1879-1880. М.-Л., 1936. -С. 139-147.

55. Чернов В.М., Коломиец Э.И. Дискретные ортогональные преобразования с шумоподобным базисом // Труды коллоквиума "Стохастические методы геометрии и анализа". М., 1994. - С. 59-61.

56. Шпарлинский И.Е. О распределении значений рекуррентных последовательностей // Проблемы передачи информации, 25. 1989. -№2.-С. 46-53.

57. Шпарлинский И.Е. Распределение дробных долей рекуррентных последовательностей // Журн. вычисл. мат. и мат. физ., 21. 1981. — № 6.-С. 1588-1591.

58. Шпарлинский И.Е. Распределение невычетов и первообразных корней в рекуррентных последовательностях // Мат. заметки, 24. 1978. - № 5. -С. 605-615.

59. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск: Изд. Дом "Удмуртский университет", 2000.

60. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.

61. Adier R.J. The Geometry of Random Fields. New York: John Wiley & Sons, 1981.

62. Akiyama S., Petho A. On canonical number systems // Theoretical Computer Science, 270. 2002. - P. 921-933.

63. Assaf D., Gadbois S. Definition of Chaos // American Mathematical Monthly. 1992. - Vol. 99. - № 9. - 865 p.

64. Barnsley M.F. Fractals everywhere. New York: Academic Press, 1988.

65. Brillart J., Lehmer D.H., Selfridge J.L., Tuckerman В., Wagstaff S.S.

66. Factorization of b"± 1, 6=2,3,5,6,7,10,11,12 up high powers // Contemp.1. Math.- 1988.-Vol. 22.

67. Cerlienco L., Mignotte M., Piras F. Linear recurrent sequences: algebraic and arithmetical properties // Enseign. Math., 33. 1987. - № 1, 2. - P. 67-108.

68. Chernov V.M., Dmitriyev A.G. Image Compression Using Discrete Orthogonal Transforms with the "Noise-Like" Basis Functions // Компьютерная оптика, № 19. 1999.

69. Chernov V.M., Bespolitov O.V. A new method for embedding secret data to the container image using 'chaotic' discrete orthogonal transforms // Proceedings of The 4th International Workshop on Security In Information Systems (WOSIS-2006). Springer, 2006.

70. Chin W., Goldman J. Bialgebras of linearly recursive sequences // Commun. Algebra, 21. 1993. - № 11. - P. 3935-3952.

71. Clark W.E., Liang J.J. Enumeration of finite commutative chain rings // J. of Algebra, 27. 1973. -№ 3. - P. 445-453.

72. Crownover R.V. Introduction to Fractals and Chaos. Jones Barlett Publ., 1995.

73. Davio M, Deschamps J.P., Gossart C. Complex arithmetic. — Brussels: Philips M.B.L.E. Research Lab, 1978. Report 369.

74. Davis C., Knuth D.E. Number Representations and Dragon Curves // Journal of Recreational Mathematics. 1970. - Vol. 3. - P. 66-81 and 133-149.

75. Devaney R.L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Addisson-Wesley, Reading, Mass., 1993.

76. Dmitriev A.G., Chernov V.M. Generating Pseudostochastic Basis Function for Discrete Orthogonal Transforms // Pattern Recognition and Image Analysis.-2001.-Vol. 11.-№ l.-P. 155-157.

77. Dmitryev A.G., Chernov V.M. Two-dimensional Discrete Orthogonal Transforms with the "Noise-like" Basis Functions // Proc. Int. Conf. GraphiCon 2000. P. 36-41.

78. Falconer K. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. -New York: John Wiley & Sons, 1990.

79. Fraenkel A.S. Arrays, numeration systems and Frankenstein games // Theoretical Computer Science, 282. 2002. - P. 271-284.

80. Gilbert W.J. Arithmetic in complex bases // Math. Mag. 1984. - Vol. 57. -P. 77-81.

81. Gilbert W.J. Radix representations of quadratic fields // J. Math. Anal. Appl. 1981. - Vol. 83. - P. 264-274.

82. Gilbert W.J. Complex numbers with three radix expansions // J. Math. -1982.-Vol. 34. — P. 1335-1348.

83. Gilbert W.J. Fractal Geometry derived from Complex Bases // Math. Intelligencer. 1982. - Vol. 4. - P. 78-86.

84. Gilbert W.J. The Fractal Dimension of Sets derived from Complex Bases // Math. Bull. 1986. - Vol. 29. - P. 495-500.

85. Grallert H.-J. Source encoding and error protected transmission of pictures with help of orthonormalized m-sequences // Proc. 12-th Int. Television Symp. Switzerland: Montreux, 1981. - P. 441-454.

86. Grallert H.-J. Application of orthonormalized m-sequences for data reduced and error protected transmission of pictures // Proc. IEEE Int. Symp. on Electromagnetic Compability. Baltimore: MD, 1980. - P. 282-287.

87. Gulick D. Encounters with Chaos. NY: McGraw-Hill, 1992.

88. Haukkanen P. On a convolution of linear recurring sequences over finite fields//J. of Algebra, 149.- 1992.-№ l.-P. 179-182.

89. Herlestam T. On functions of linear shift register sequences // Lect. Notes Comput. Sci., 219. 1986. - P. 119-129.

90. Herlestam T. On the complexity of functions of linear shift register sequences // Int. Symp. Inform. Theory. France: Les Arc, 1982.

91. Hutchinson J.E. Fractals and self similarity // Math. J. Indiana Univ., 1981. -Vol. 30.-P. 713-747.

92. Ifeachor E.C., Jervis B.W. Digital Signal Processing. Prentice Hall, 2001.

93. Katai I. Generalized number systems in Euclidean spaces // Mathematical and Computer Modelling, 38. 2003. - P. 883-892.

94. Katai I., Ко vacs B. Canonical Number Systems in Imaginary Quadratic Fields. Hungaricae: Acta Math. Acad. Sci., 1981. - Vol. 37. - P. 159-164.

95. Katai I., Kovacs B. Kanonische Zahlensysteme in der Theorie der quadratischen algebraischen. Szeged: Acta Sci. Math., 1980. - Vol. 42. - P. 99-107.

96. Katai I., Szabo J. Canonical number systems for complex integers. Szeged: Acta Sci. Math., 1975. - Vol. 37. - P. 255-260.

97. Keesen W.G, Riemann U, Grallert H.-J. Codierung von Farbensehsignalen mittels modifizierten M-Transformmationen fuer die Uebertragung ueber 34-Mbit/s-Kanaele. German: Frequenz, 1984. - Vol. 38. - № 10. - P. 238243.

98. Kovacs A., Petho A. Number systems in integral domains, especially in orders of algebraic number fields // Szeged: Acta Sci. Math., 1991. Vol. 55. -P. 287-299.

99. Kovacs A. Generalized binary number systems // Sci. Sect. Сотр., 20. -Budapest: Annales, 2001. P. 195-206.

100. Kovacs A. On expansions of Gaussian integers with non-negative digits // Mathematica Pannonica, 10/1. 1999. - P. 177-191.

101. Lu P., Song G. Feasible calculation of the generator for combined LFSR sequences //Led. Notes Comput. Sci., 508. 1991. - P. 86-95.

102. Lu P., Song G., Zhou J. Tensor product with application to linear recurring sequences // J. Math. Res. Exposition, 12. 1992. - № 4. - P. 551-558.

103. Mac Williams F.J., Sloane N.J. Pseudo-random sequences and arrays //Proc. IEEE, 64. 1976. -№ 11. - P. 1715-1729.

104. Musmann H.G, Pirsch P., Grallert H.-J. Advances in picture coding // IEEE Proc., 1985. Vol. 73. - № 4. - P. 523-548.

105. Peitgen H.-O, Jurgens H, Saupe D. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag, 1992.

106. Reeds J.A., Sloane N.J. Shift-register synthesis (modulo m) // J. on computing, 14.- 1985.-№ 3. -P. 505-513.

107. Rees C.S, Shah S.M., Stanojevic C.V. Theory and Applications of Fourier Analysis. New York: Marcel Dekker, 1981.

108. Rees D. Note on a paper by I.J. Good // J. London Math. Soc., 213. 1946. -№ 83.-169 p.

109. Safer T. Polygonal radix representations of complex numbers // Theoretical Computer Science, 210. 1999. - P. 159-171.

110. Selmer E.S. Linear recurrence relations over finite fields. Norway: Univ. of Bergen, 1966.

111. Sylvester J.J. Note on Complex Integers // J. Pure and Applied Math. 1861. -Vol. 4.-P. 94-96.

112. Thuswaldner J.M. Elementary Properties of Canonical Number Systems in Quadratic Fields. In: Applications of Fibonacci Numbers. Kluwer, 1998. -Vol. 7.-P. 405-409.

113. Vajda I., Nemetz T. Substitution of characters in q-oiy m -sequences I I Lect. Notes Comput. Sci., 508. 1991. - P. 96-105.

114. Ward M. Arithmetical properties of sequences in rings // Ann. Math., 39. -1938.-P. 210-219.

115. Ward M. The arithmetical theory of linear recurring series // Trans. Amer. Math. Soc., 35. 1933. -№ 3. - P. 600-628.

116. Zierler N. Linear recurring sequences and error-correcting codes. Error Correcting Codes. New York: Wiley, 1968. - P. 47-59.

117. Zierler N. Linear recurring sequences // J. Soc. Ind. Appl. Math., 7. 1959. -№ 1. - P. 31-48. / Русский перевод: Цирлер H. Линейные возвратные последовательности // Кибернетический сб., 6. - М.: ИЛ, 1963. - С. 5579.

118. Zierler N., Mills W.H. Products of linear recurring sequences // J. of Algebra, 27.-1973.-№ l.p. 147-157.