Динамика взаимодействия вихрей и волн в задачах физики атмосферы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Гряник, Владимир Макарович

• Гряник, Владимир Макарович
• 1984

Оглавление диссертации Гряник, Владимир Макарович

Введение и обзор.\.

Глава I. Динамика сингулярных геострофических вихрей в двухуровенной модели, атмосферы (океана).J.I

§ 1* Уравнения движения сингулярных геострофических вихрей

§ 2. Гамильтоновость уравнений движения вихрей, Интегралы движения .i.

§ 3. Динамика двух вихрей.i.

§4. Вихри в потоке с постоянным потенциальным вихрем

§ 5), Сравнение модельных расчетов с данными наблюдений по динамике парных тропических циклонов .:.45)

Глава 2. Динамика трехмерных сингулярных геострофических вихрей в бароклинной атмосфере (океане) .1.

§ б. Уравнения движения трехмерных сингулярных геострофических вихрей.i.

§ 7. Сингулярные геострофические вихри в модели полубесконечной атмосферы с постоянной частотой!.

Брента-Вяйсяля .! • • •

§ 8. Динамика.двух вихрей.;.

§ 9. Коллапс вихрей .L.

Глава. 3- Генерация и диссипация акустико-гравитационных волн в атмосфере .I.

§10. Излучение звука прямолинейными вихревыми нитями.

§ II. Радиационное затухание акустико-гравитационных волн в неизотермической атмосфере. Основные уравнения .1.

§ 12* Коэффициенты затухания .L.

§ 13. Модель экспоненциального распределения поглощающего вещества.

§ 14, Численные оценки. Относительная роль радиационного затухания

Глава. 4. Радиационная релаксация температурных возмущений в конечной неоднородной атмосфере

§ 15. Постановка задачи. Основные уравнения

§ 16. Экспоненциальная аппроксимация. Асимптотические уравнения. Приближение эффективно серой среды

§ 17. Модели.

§ 18. Широтный ход времен радиационной релаксации в атмосфере.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика взаимодействия вихрей и волн в задачах физики атмосферы»

Атмосфера является сложной гидротерюдинамической системой. j

Характерные масштабы изменения геофизических полей (скорости. V j температуры т , давления |р и других) охватывают, диапа

3 7 зоны от 10 м до Юм.

Основными энергонесущими движениями в атмосфере являются синоптические движения с характерными пространственными и временными масштабами L ^ 10 км и ТГ ^ I « б сут., соответственш i

Именно эти движения атмосферы ответственны за изменение "погоды" на земном шаре £ • их описании Фундаментальную роль играет закон сохранения потенциального вихря JT2. , имеющий мес>-то при движении, вращающейся расслоенной жидкости в отсутствии дис-сипативных факторов где СО угловая скорость вращения жидкости, V - относительная скорость, § - плотность, сГ - параметр, характеризующий расслоенность* в задачах динамической метеорологии это энтропия S $ 6 = S/c • в задачах океанологии <> - - >о;

В основополагающей работе Обухова A.M. на примере баротропной модели атмосферы было установлено, что движения атмосферы синоптического масштаба являются квазидвухмерными ивихревыми и развиваются вблизи состояния гидростатического и геострофического равновесия, а вывод прогностических уравнений сводится к доказательству теоремы о сохранении потенциального вихря в соответствующем приближении, В дальнейшем эти результаты были обобщены на бароклинные модели атмосферы [ Так в приближении £ -плоскости (или «плоскости), т.е. при постоян ном параметре Кориолиса, уравнение эволюции потенциального вихря для бароклинной модели атмосферы имеет вид [35

If е) где - квазигеострофичнский аагенциальный вихрь, ^

- функция тока, « стационарный профиль плотности, С - па« раметр Кориолиса, А— ^ьуг."^ ^г. - двухмерный оператор

Лапласа, « ^ ^ - Щ- ^ - Якобиан полей ty и , £-=t £ g л • Квазигеострофическому приближению, кроме отмеченных выше, посвящено большое число|работ (см. обзоры и монографии

5,30,52,56,8*] 3.

Уравнение (2), дополненное граничными условиями, являI ется основным уравнением динамической метеорологии и эффективно используется при численном, прогнозе погоды •

В силу нелинейного характера уравнение (2) достаточно сложно для j аналитического исследования, В настоящее время для него известны только отдельные точные решения, описывающие простые геофизические ситуации. Поэтому его аналитическое исследование является ак~ туальной задачей физики атмосферы.

Помимо вихревых движений синоптического масштаба|в атмосфере, вследствии её сжимаемости и в среднем устойчивой стратифиi кации возбуждаются и волновые движения, это акустико-гравитационные (АГ) волны Не смотря на то, что лишь не значите л ная часть энергии атмосферы запасена в волновых степенях свободы

- АГ волнах [56], они играют важцую роль, обеспечивая, как это впервые показано Обуховым [62.J , адаптацию геофизических полей к геострофическому равновесию ["52,56 J . АГ волны порождаются также нестационарными вихревыми движениями в атмосфере [6^8,59]' в связи с этим, наряду с исследованием динамики вихрей, важной задачей физики атмосферы является исследование обмена энергией между вихревой и волновой компанентами геофизических полей. Естественно, что' энергия волновой компаненты, порожденная в результате адаптации или нестационарным движением вихрей должна диссипировать благодаря молекулярным процессам; и радиационному теплообмену. Последний механизм, однако, ещё мало изучен в применении к атмосфере.

В данной диссертации рассмотрен ряд конкретных задач прилегающих к описанному выше кругу актуальных вопросов физики атмос феры. :

Исследование вихревых движений синоптического масштаба проводится в главах I и 2. В настоящее время используется три систематических приближенных метода исследования уравнения эволюции потенциального вихря t I) метод линеаризации, использующийся в основном для исследования устойчивости зональных течений, основные результаты полученные этим методом изложены в [35^,1 2) спект~ ральный метод, который в сочетании с методом Бубнова-Галёркина по: воляет сводить задачу интегрирования уравнения (2) к исследованию конечных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие основных энергонесущих мод [2^1^,1?]» 3) ме« тод "многих тел" или дискретных (сингулярных) вихрей, в рамках которого используется приближенное представление непрерывного поля вихревых возмущений конечным числом сингулярных вихрей [?Ч0,Й ЮЗ] и удается свести решение уравнения (2) к исследованию конечн системы обыкновенных дифференциальных уравнений для эволюции ин-* тенсивностей и координат вихрей,

В главах I и 2 данной диссертации развивается вариант метода "многих тел" для описания динамики локализованных вихревых возмущений в бароклинной атмосфере (океане), основанный на введении сингулярных геострофических вихрей (СГВ) для уравнения (2), а также его двухуровеиного аналога.Введение трехмерных иг двухмер ных бароклинных сингулярных геострофических вихрей в геофизическую гидродинамику расширяет область применимости методаа "многих тел" и позволяет эффективно исследовать механизмы бароклинных вихревых взаимодействий в атвосфере (океане),

В гидродинамике двухмерной несжимаемой жидкости этот подход был известен ещё в XIX в., начиная с работ Гельмгольца и Кир-гоффа[/|2.;^^;5'^. Дальнейшее развитие он получил в работах

• В недавнем обзоре [-?•£>] проведен анализ развития этого направления и содержится подробный список литературы, СГВ в ба~ ротропной модели атмосферы введены Обуховым! и Стюартом[lo3]'

В отличие от сингулярных вихрей в двухмерной гидродинамике >44] СГВ в баротропной атмосфере являются экранированными, т.е, обладают конечным радиусом действия

Я=ШУг/е . где j н высота однородной атмосферы, СГВ для описания колебаний центров действий в атмосфере использовались в £ 10ij , В дальнейшем! эта модель получила развитие в работах Морикавы и др, [9/lj92jl) где численными методами были исследованы различные модели; поясов центров действия не только на устойчивость, но и вычислены траек тории относительного и абсолютного движения вихрей. Бауэр и Мо-рикава исклЬЗовали модель баротропных СГВ так же для моделировани перемещения урагана во внешнем потокеС?'? J • В исследованиях Громека и цикле работ Богомолова [ Ц- - J ] были получены уравнения движения сингулярных вихрей на сфере и на их основе смо-делированоы некоторые крупномасштабные течения геофизической гидродинамики. Седов в [fe^J исследовал режим коллапса на сфере. Влияние Ji -эффекта на динамику СГВ в баротропной модели атмосферы исследовалось b[82>;40SJ. Для бароклинных моделей атмосферы трехмерные сингулярные геострофические вихри рассматривались в их динамика изучалась Чарни j

В главе I анализируется адиабатическая динамика СГВ в двух-уровенной модели атмосферы (океана). Получены уравнения; описываюI щие как собственную динамику СГВ, так и их взаимодействие с регулярными течениями. Проанализирован характер взаимного влияния СГВ.

Рассмотрена динамика двух СГВ в отсутствии регулярного течения j и в потоке с постоянным потенциальным, вихрем зонального типа. На основе модели проведен анализ относительного движения парных тропических ураганов. i

В главе 2 анализируется адиабатическая динамика СГВ в непрерывно стратифицированной модели атмосферы (океана). Получены уравнения движения системы СГВ. Рассмотрена динамика двух СГВ в отсутствии регулярного течения и автомодельный режим - коллапс в системе трех и более СГВ.

В главе 3 рассматриваются вопросы, связанные с генерацией и диссипацией АГ волн в атмосфере»

В параграфе 10 рассмотрена задача о взаимодействии вихревых движений и акустического волнового поля в двухмерном приближении, и исследуется механизм излучения и характер зависимости звукового поля, возбуждаемого вихревыми движениями в сжимаемой жидкости, от структуры вихревого поля. Особенности этой зависимости,; а также характер изменения вихревого поля в процессе излучения; удается проследить, рассматривая излучения звуковых волн квазистационар ной конфигурацией образованной двумя прямолинейными вихревыми нитями разной интенсивности и А/ вихрями равной интенсивности, расположенными на окружности.

Отметим., что задачи об излучении звука прямолинейными вихревыми нитями-fдалее просто вихрям ^рассматривались в ряде работ различными методами [45^80, 1 ОО^ . В вычислены характеристики волновых полей и интенсивность излучения звука, генерируемого движением; двух вихрей равной интенсивности и знака, в рассматривалось излучение при столкновении двух вихревых пар, в при движении вихря вблизи неподвижных плоских границ. Анализировалось также обратное влияние излучения на динамику двух вихрей равной интенсивности и знака показано, что с течением времени, теряя энергию на излучение, вихри расходятся.

Оказывается, что в отличии от £^S] поведение двух вихрей разной интенсивности и знака существенно иное. Уже в системе двух вихрей воаможен коллапс в центр вращения за конечное время, причём время коллапса существенно зависит от интенсивности вихрей.

В §§ II - 14 анализируется один из механизмов затухания акустико-гравитационных волн - радиационный.Определяется относительная роль радиационного механизма среди прочих. К настоящему времени; рассчитаны коэффициенты затухания для механизмов молекулярной вязкости: [15,23,25,101,10^] и теплопроводности 2^26JiojJ, для турбулентной вязкости и теплопроводности [iSjZ% 2.GjWj, второй вязкости [3] $ как в простых моделях - в предположении о постоянстве кинематических диссипативных коэффициентов, позволяющем сводить задачу к решению системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 16] , - так и более реалистических моделях - в предположении об их экспоненциальном убывании с высотой [25, -10^3 .

Влияние радиационного теплообмена на затухание АГ - волн изучено менее детально. В ос.новном. изучалось затухание в модели изотермической атмосферы в приближении эффективно серой среды. В работах[1£;23,2^01;10^исследовано затухание АГ-волн в коротковолновом пределе кН^ кНл»Х С К -волновое число, Ц - высота однородной атмосферы, На. ~ характерный масштаб неоднородности распределения поглощающего вещества), когда можно не учитывать дисперсию волн и стратификацию поглощающего вещества. Рассматривался также другой предельный случай -- затухание волн с учетом их пространственной дисперсии, но в модели ньютоновского охлаждения, при модельном предположении, что стратификация поглощающего вещества повторяет стратификацию плотности • Только в этих специальных случаях систему уравнений с учетом радиационного затухания удается свести к системе уравнений с постоянными: ко&ффициентами и решить точно. По-видимому, единственная оценка влияния на затухание АГ-волн радиационного теплообмена внутри атмосферы также в изотермической модели сделана, в (см, также обзор

В реальной неизотермической атмосфере анализ механизмов затухания не проводился. Поэтому вопрос об области применимости изотермической модели при анализе затухания и о затухании в волне-водных областях оставался открытым. Расчеты выполнены методом, ВКБ с использованием ньютоновского приближения, т.е. без учета радиационного теплообмена. Рассмотрена также модель экспоненциального распределения поглощающего вещества в атмосфере, доцускающая точное решение, и позволяющая уточнить область применимости ВКБ --приближения.

Влияние радиационного теплообмена на процессы релаксации в атмосфере анализируется и в главе 4 , где рассматривается задача о радиационной релаксации (РР) температурных

-ивозмущений в неоднородной атмосфере конечной оптической толщины,, находящейся в состоянии локального термодинамического равновесия.

Механизм РР хорошо изучен на примере бесконечной однородной изотермической среды [22., , А02.J . В дальнейшем эти результаты использовались для оценки времен РР в атмосферах планет. РР в более реалистических моделях - конечной оптически неоднородной изотермической атмосферы рассматривалась в 81,98,93] (см. также обзор ] ). В [ 2.6,8время РР вычиллялось в приближении ньютоновского охлаждения, когда релаксация происходит за счет излучения в пространство и не учитывается перенос излучения в атмосфере. Оценка времени РР с учетом переноса излучения в пределе оптически прозрачной среды произведена в , где рассматривалась модель изотермических плоскопаралельных слоев. В для оценок времен РР использовало лось разложение решения в ряд по времени. Величина, обратная произ водной от температуры по времени, вычисленная в начальный момент и отнесенная к начальной температуре, интерпретировалась как время PP.

В главе Ч времена РР оптически конечной, неоднородной атмосферы находятся путем решения задачи на собственные значения для соответствующего интегрального уравнения и исследованием ас. им с тотики: решения при Оо ( "t - время). Аналогичный подход для конечных оптически, однородных атмосфер разрабатывался в • Получены, оценки времен РР в реалистической модели распределения поглощающего вещества в атмосфере. Обнаружен немонотонный характер изменения времен релаксации с широтой. Полученные результаты могут быть использованы при построении моделей общей циркуляции атмосферы

S, О, 52,96,

Следует отметить также, что аналогичные сингулярным. геострофическим вихрям объекты возникают в различных областях физики : замагниченной плазме [.^-Т^Эо] , теории сверхтекучести [j>1 /В]» сверхпроводимости; [.^jSI^ , а задачи радиационного теплообмена близки задачам теории переноса нейтронов • Поэтому рассмотренные в диссертации вопросы могут оказаться полезными и в этих областях физики.

Расположения материала в диссертации поглавное, нумерация параграфов сплошная. Основные, полученные в диссертации, результаты перечисленны в Заключении, там же намечены некоторые перспективы дальнейшего их использования.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Гряник, Владимир Макарович

Основные результаты полученные в работе i

1. Развито обобщение метода сингулярных (.или дискретных) геострофических вихрей для бароклинных 2* -уровекных моделей атмосферы (океана). Это позволило исследовать характер взаимного влияния систем: бароклинных вихрей в атмосфере и их взаимодействия с течениями.

2. Показано хорошее согласие теории с эмпирическими данными: по динамике парных тропических циклонов. Построенная модель позволяет предсказывать скорости и направление перемещения парных ураганов, что представляет практическую ценность.

3. Показано, что в бароклинной атмосфере возможно явление типа коллапса трех вихрей. Механизм коллапса ранее был известен только в двухмерной гидродинамике.

4. Решена задача об излучении звука системой двух аихрей разной интенсивности и знака. Обнаружено явление коллапса в такой системе ("акустическая неустойчивость").

5. Впервые исследовано радиационное затухание в неизотермической атмосфере акустико-гравитационных волн, в частности в её волно-водных областях. Выяснена относительная роль радиационного механизма затухания: внутренние гравитационные волны, за исключением самых высокочастотных, затухают в основном благодаря радиационному механизму, а акустические, за исключением низкочастотных,

- благодаря вязкости.С высотой роль радиационного механизма затм хания уменьшается, а вязкого растет. ^кЩ

65. Развит метод оценок: и расчета времен радиационной релаксации температурных возмущений в атмосфере, основанный на решении задачи Коши для соответствующего линейного интегродифференциального уравнения, что позволило обнаружить немонотонный Характер изменения времен релаксации с: широтой : минимальные времена релаксаг-ции. реализуются на широтах В л 30° - 45)° • Полученные результаты представляются важными для моделей общей циркуляции атмосферы (прогноза погоды).

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю чл.-корр. АН СССР Г.С.Голицыцу за внимательное руководство и всестороннюю помощь, академику АН СССР А.М.Обухову, привлёкшему моё внимание к задачам, рассмотренным в главах 3 и4 а также д.ф.-м;.н. М.Б.Галину, к.ф.-м.н. А.С.Гинзбургу, к.ф.-м.н. В.П.Гончарову, к.ф.-м.н. В.К.Петухову, к.ф.-м:.н. И.И.Мохову за полезное обсуждение рассмотренных в диссертации задач в процессе их выполнения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Список литературы диссертационного исследования Гряник, Владимир Макарович, 1984 год

1. Александров В.В., Рыжов О.С. О нелинейной акустике излучающего газа. 1. Общий анализ уравнений, - ЖВММФ, 1972, т.12, № б, е. 1489-I5XI.

2. Александров В.В., Рыжов О.С.О нелинейной акустике излучающего газа. III. Экспоненциальная аппроксимация, ЖВММФ, 1974, т.14, № 3, с. 717-727.

3. Алиевский М.Я. Релаксационное поглощение низкочастотного звука в нейтральном и частично ионизированном атмосферном, молекулярном газе, Изв. АН СССР ФАО, 1978, т. 14, № 5:, с.484-492.

4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики,- Ms Наука, 1974, 431 с.5л Белов П.Н. Практические методы численного прогноза погоды, - Л: Гвдрометеоиздат, 1967, 336 с.

5. Блохинцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся среды, М: Наука, 1981, гл. 4, 206 с.

6. Богомолов В.А. Динамика завихренности на сфере, Изв.АН СССР ФАО, 1977, т.13, № 6, с. 57-65.

7. Богомолов В.А. О двухмерной гидродинамике на сфере, Изв. АН СССР$А0, 1979, т.15, № I, с. 29-3б.

8. Богомолов В.А. Модель колебания центров действия атмосферы,- Изв. АН СССР ФАО, 1979, т.15, № 3, с. 243-249.

9. Богомолов В.А.Взаимодействие вихрей в плоскопаралельном. потоке, Изв. АН СССР ФАО, 1981, т.17, № 2, с.199-201.

10. Булеев Н.И., Марчук Г.И. О динамике крупномасштабных атмос>-ферных процессов,-Тр. ин-та физики атмосферы АН СССР, 1958, № 2, с.66

11. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости, М: Мир, 1973, гл.7, 760 с.

12. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. Mi Наука, 1976, 527 с.

13. Гаврилин Б.М. Об описании вертикальной структуры синоптических процессов, Изв. АН СССР ФАО, 1965, т.1, № I, с. 8-17.

14. Гаврилов Н.М., Швед Г.М. Затухание акустико-гравитационных волн в анизотропной турбулентной излучающей атмосфере, Изв. АН СССР ФАО, 1975, т.И, № 7, с.681-689,

15. Галин М.Б, 0 поведении волн планетарного масштаба в атмосферных моделях, Изв. АН СССР ФАО, 1968, т.4, № 10, C.III0-III5.

16. Галин М.Б. Двенадцатикомпонентная модель общей циркуляции атмосферы,- Изв. АН СССР ФАО, 1978, т.14, №9, с.915-925.

17. Гинзбург А.С., Фейгельсон Е.М. Некоторые закономерности лучистого теплообмена в планетных атмосферах, Изв. АН СССР ФАО, 1971, т.7, № 4, с.377-384.

18. Гинзбург А.С. Радиационное затухание температурных волнв конечной несерой атмосфере, Изв. АН СССР ФАО, 1980, т.16, № I, с.32-39.

19. Гинзбург А.С., Евсеева М.Г., Подольская ЭЛ., Сушкевич Т.А., Хромова Н.В. Функция процускания теплового излучения,- в кн.: Радиация в облачной атмосфере. Л: Гвдрометеоиздат, 1981, 280с.

20. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов A.M. Системы гидродинамического типа и: их применение, М: Наука, 1981, 366 с.

21. Голицын Г.С. О механизме радиационной теплопроводности,- Изв. АН СССР Сер. геофиз. 1964, № 5, с.782-786.

22. Голицын Г.С., Романова Н.Н. Вертикальное распространение звуковых волн в атмосфере с переменной по высоте вязкостью, Изв. АН СССР ФАО, 1968, т.4, № 2, с.210-214.

23. Госсард Э., Хук У. Волны в атмосфере. М: Мир, 1978, 532 а.

24. Громека И.С. О вихревых движениях жидкости на сфере,- Собр. со*- Ms Изд. АН СССР, 1952, с.184-205.

25. Гряник В.М. Динамика сингулярных геострофических вихрей в двух-уровенной модели атмосферы (океана), Изв. АН СССР ФАО, 1983, т.19, № 3, с.227-240.

26. Гряник В.М. Динамика локализованных вихревых возмущений,- " вихревых зарядов" в бароклинной жвдкости, Изв. АН СССР ФАО, 1983, т.19, № 5, с.467-475.

27. Гряник В.М. Излучение звука прямолинейными вихревыми нитями,- Изв. АН СССР ФАО, 1983, т.19, № 2, с.203-206.

28. Гряник В.М. Радиационное затухание акустико-гравитационных волн в неизотер*ической атмосфере, Изв. АН СССР ФАО, 1982, т.18,№ Ю, с. 1026-1035.

29. Гряник В.М. Радиационная релаксация температурных возмущений в неоднородной атмосфере, Изв. АН СССР ФАО, 1982, T.l8t1. I, с. 19-29.

30. Гуди P.M. Атмосферная радиация. Ms Мир, 1966 , 552 с.

31. Де Жен П. Сверхпроводимость металов и сплавов, М: Мир, 19б§, 280 с.

32. Дикий Л.А. Гидродинамическая неустойчивость и динамика атмосферы, Л:. Гидрометеоиздат, 1976, 108 с.

33. Дикий Л.А. Теория колебаний земной атмосферы. Л: Гидрометеоиздат, 1969, 196 с.

34. Динамическая метеорология (под ред. Извекова Б.И. и Кочина Н.Е. Л. : ЦУЕГМС, 1935, гл.6, 352 с. ^^

35. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов,, Ms Атомиздат^^в^^в-Но

36. Каменкович В.М., Кошляков М.Н., Монин А.С. Синоптические вихри в океане. 1: Гидрометеоиздат, I98B, 264 о.

37. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М: Наука, 1971, 596 с-.

38. Кибель И.А. О приспособлении движения воздуха к геострофическому. Докл. АН СССР, 1955, т. 104, № I.

39. Кибель И.А. Введение в гидродинамические методы краткосрочного прогноза погоды, М: Гоа. изд. технико-теоретич. лит.,. 1957, 376 с.

40. Кикнадзе Л.В., Мамаладзе Ю.Г. Движение вихрей в равномерно и. неравномерно вращающемся гелии II, ЖЭТФ, 1978, т.75,2, с.607-616.

41. Киргофф Г. Механика. Ms АН СССР, 1962 , 404 с.

42. Кляцкин В.И. Излучение звука системой вихрей, Изв. АН СССР МЖГ, 1966, № 6, с. 87-92.

43. Козлов В.Ф. Модели топографических вихрей в океане. М: Наука, 1983, 200 с.

44. Котеров В.Н. О трансзвуковых течениях излучающего газа в каналах, ЖВММФ, 1975, т. 15, № 3, с. 682-694.

45. Лайтхил Дж. Волны в жидкостях, Ms. Мир, 1981, 598 с.

46. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М: Наука, 1973 , 208 с.

47. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М: Г ос тех-издат, 1953, 795 с.

48. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика, часть 2,- М: Наука, 1978, 448 с.

49. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды Л: Гидромете издат, 1967, 356 а.

50. Марчук Г.И. Методы расчета атомных реакторов, М: Атомиздат, 1961.

51. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидромеханика. М: Мир, 1975,392 с.

52. Михайловский А.Б. Колебания неоднородной плазмы В кн. Вопросы теории плазмы, т.З, М: Атомиздат.

53. Монин А.С, Прогноз погоды как задача физики. М: Наука, 1970, 185 с.

54. Монин А.С., Обухов A.M. Малые колебания атмосферы и адоптация метеорологических полей, Изв. АН СССР, Сер. геофиз., 1958, № II, с.I360-1373.

55. Монин А.С. Изменения давления в бароклинной атмосфере,- Изв. АН СССР., Сер. геофиз., 1958, № 4, с.497-514.

56. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидродинамика. М: Наука, 1965, т.1, 1967, т.2.

57. Новиков Е.А. Динамика и статистика системы вихрей,- ЮТФ, 1975, т.68, № 5, а. 1868-1882.

58. Новиков Е.А., Седов Ю.Б. Коллапс вихрей, 1Э1Ф, 1979, т.77, № 2, с.558-597.

59. Обухов A.M. К вопросу о геострофическом ветре. Изв. АН СССР, Сер. геофиз., 1949, т.8, № 4, с.281-306.

60. Обухов A.M. К динамике расслоенной жидкости, Докл. АН СССР, 1962, т.145, № 6, с.3239-1242.

61. Обухов A.M., Чаплыгина А.С. Изменение барического поля в средней тропосфере, Тр. ин-та физики атмосферы АН СССР, 1958, № 2, с. 23

62. Океанология, (под ред. Монина А.С.), т.2, М: Наука, 1978,456с

63. Пет^иашвили В.И., Яньков В.В. Двухслойные вихри во вращающейся стратифицированной жидкости, Докл. АН СССР, 1982, т.267, № 4, с.825-828.

64. Седов Ю.Б. Коллапс вихрей на сфере, Изв. АН СССР ФАО, 1980, т. 16, № 10, c.II02-II05.

65. Соболев В.В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд кпланет, М: йз-во АН СССР, 1956, Гл. 9, 391 е.

66. Татарский В.И. К теории распространения звука в стратифидиро-ванной атмосфере, Изв. АН СССР ФАО, 1979, т.15, № II, с*П40 -1150.

67. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М: Наука, 1966, 724 с.

68. Хазин Л.Г. Правильные многоугольники! из точечных вихрей hi резонансная неустойчивость стационарных состояний. Докл.АН СССР,'^%ЙО, № 4, с.799-802.

69. Ханин К.М. Устойчивость периодического движения системы вихрей, УМН, 1981, т.36, № I, с;.231-г32.

70. Халатников Й.М. Теория сверхтекучести, М: Наука, 1971, 320 с

71. G-си/ Thomas PadLCitL^e temp>ezatute dissipation in a. finite, cctmosphe^e -1 jfce homogeneous cccse, T. Qculh£. <foec£. /2ас/саёг^€

72. Tvuufvt, 198i, v- 25} n4, p. 55i -Z80.

73. Zighthitl J/.f. fin- zoutbci деп&ъал&сС OMi£>c/yn.<L~ пъс(Хь&£ч Ptoa. Рои. £оиюСоп /45,2 v. 211 p. 564-52?. 89. Жп&ёг S.? Т., HtdaJk&L JQ.F.

74. UnuilcubeeL dt/ncUoSoag ofcL genvuiZ citeuXa&o* modei uo-itA cl h^a/^tow^ce /^ont WeatAe

75. Рек, J9G5'J К 93, л//2, p. 2W- гоз<?. go. Motdgom&cy J9.} Tocfcz f.Atya-tcoe -беж/гж&^ике. iicute*, jrVt the, tux? -aiudiHg. iOL рШ>пъагУ- Р&ама 49?3«v.dC>}p. JO?- dZi.

76. JL/oti&cuO-a. K.} SivwAOtb £ V. J/btebCLfr&Hg Motion, of Pe&U&nuvc (Рео&чо/эАьа vettc'cu,- PlufS. НШс/7 vW9 л/6, p. 1052-10 ¥Z.

77. IfotikcLuxx, K. (?zos£top/ue юъ-беж. /?w£tonP- J. MzUowe., mo, v. iv,nz,p m- is*.

78. MoLt&h о£штс&с jfe IptMc/ia оог6сел& oli а &ои.ш о/ wound., Л fcjip,® CP, 196¥} PtLpwlh^.

79. RhcUcpZ N.J. £Шгiwp/itc J/otCoK, Pci/. of1963, V. 1, Ы2, p. 12392. Pterin K. On, ike woUcl&№ deunpetta of? ainvoip/iestt иХШ1, X 6ctrt7oi. Sec. 9 к 34J

80. N9, p. 1326-14 od. 99. Sccs&mot^'j lon</on. S.9 cteeziu of гре,ш£илг. pesvtuA Sat con £ fa thAma,C 'i&zi&btc&n. Cn, tfiA cutnwipfwz, T. (Wboi, Sec., 1966, к л/5, p 543- 55V.

81. Scuye&d-uA.- Pdhmcin, <£. BzttoAtucng

82. Mm jwhstcL&n, zuLlCLmm&nUefикч^е&аале, tLeubttca.9 19¥1 f 24, /vl9 p. 50 - 54.

83. Yatbomtch, P. T. Effect of oi&mcty on. jUL&ttyшно-ел 041yd -ьке, upp&t joundaw с&илСШоп} -X Fitud МЖ.7 d96¥, 299 tf2)p.20S,

84. IQAua&U V.X; №. тШсип* T.C. CL якк/уШесС point-otrtUx. model 4оъ oeoztwpAtej ^J>--ptant dyruLrrtiu, ~ Ptyi. F&tid£, JP<?29 v'25y nW p. Zi 45-2192,.