Динамика взаимодействия и перепутывание атомных систем с квантовыми электромагнитными полями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Балыбин Степан Николаевич

• Балыбин Степан Николаевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Балыбин Степан Николаевич

Введение

Глава 1. Современное состояние исследований в физике неклассических полей и их взаимодействия с

атомными системами

1.1 Неклассические состояния света

1.1.1 Фоковские состояния

1.1.2 «Шредингеровские коты» и N00N - состояния

1.1.3 Когерентные состояния с малым числом фотонов

1.1.4 Сжатые состояния и яркий сжатый свет

1.2 Эффективное взаимодействие малого числа фотонов с атомами

и перспективы ридберговских атомов

1.3 Ионизация атомов классическим и неклассическим светом

1.4 Атомные кубиты

1.5 Кодирование и передача квантовой информации

1.6 Эффект фазовой самомодуляции ФСМ и его использование для генерации негауссовских состояний

1.7 Квантовые невозмущающие измерения числа квантов

Глава 2. Взаимодействие неклассических полей разного типа с

атомными системами в режиме ионизации

2.1 Ионизация ридберговских атомов неклассическим светом в условиях рамановских переходов через континуум и

резонансный уровень

2.1.1 Теоретический подход

2.1.2 Решение задачи в терминах квазиэнергетических состояний

2.1.3 Случай кубита из двух фоковских состояний

2.1.4 Случай когерентного состояния малой интенсивности и случай состояния сжатого вакуума

2.1.5 Зависимость ионизации от фазы поля и сверхточное измерение фазы по сигналу ионизации

2.1.6 Перепутанность между атомной и полевой подсистемой и управление атомным состоянием

2.1.7 Выводы

2.2 Надпороговая и многофотонная ионизация атомов

неклассическим электромагнитным полем

2.2.1 Теоретический подход

2.2.2 Скорость ионизации в зависимости от фотонной статистики

2.2.3 Анализ полевого матричного элемента

2.2.4 Особенности ионизации ярким сжатым вакуумом по сравнению с когерентным полем

2.2.5 Выводы

Глава 3. Генерация негауссовских состояний поля в

нелинейной среде с фазовой самомодуляцией и их

взаимодействие с атомными системами

3.1 Генерация квазифоковского состояния с помощью резонансной фазовой самомодуляции в оптических микрорезонаторах

3.1.1 «Банановые» состояния в системе с х(3) нелинейностью

3.1.2 Критерий негауссовости

3.1.3 Метод получения состояния с малой неопределенностью числа квантов

3.1.4 Точное решение с учетом оптических потерь

3.1.5 Функция Хусими яркого «бананового» состояния

3.1.6 Оценки для реальных микрорезонаторов

3.1.7 Выводы

3.2 Особенности взаимодействия квантовой точки с неклассическим светом в режиме фазовой самомодуляции

3.2.1 Аналитическое решение методом квазиэнергий

3.2.2 Динамика возбуждения квантовой точки

3.2.3 Случай превалирующей роли нелинейности

3.2.4 Режим сильной связи с квантовой точкой

3.2.5 Выводы

3.3 Квантовая точка, взаимодействующая с неклассическим полем в нелинейных керровских средах, как ресурс для повторяемых

квантовых вычислений

3.3.1 Аналитическое решение

3.3.2 Оптимальный режим взаимодействия

3.3.3 Случай когерентного поля

3.3.4 Случай сжатого вакуума

3.3.5 Выводы

Глава 4. Динамика неклассических полей в нелинейной среде и их использование для проведения квантового невозмущающего измерения

4.1 Генерация одномодового и двухмодового сжатого света в резонаторе с кубической нелинейностью

4.1.1 Анализ сжатия

4.1.2 Выводы

4.2 Квантовые неразрушающие измерения числа фотонов в кристаллических микрорезонаторах

4.2.1 Критерий квантового измерения

4.2.2 Упрощенный анализ

4.2.3 Погрешность измерения

4.2.4 Апостериорное состояние сигнальной моды

4.2.5 Оценки параметров

4.2.6 Выводы

4.3 Улучшение чувствительности КНИ с помощью сжатого света

4.3.1 Идея использования сжатого света

4.3.2 Учет эффекта фазовой само-модуляции и потерь в системе

4.3.3 Потери в сигнальной моде

4.3.4 Выводы

Заключение

Публикации автора по теме диссертации

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика взаимодействия и перепутывание атомных систем с квантовыми электромагнитными полями»

Введение

Актуальность темы. Одним из направлений современной физики взаимодействия излучения с веществом является исследование систем, «одетых» различными классическими или квантовыми полями. Для таких систем был обнаружен целый ряд интересных эффектов: ионизация и стабилизация атомов сильным лазерным полем [1; 2], вынужденное тормозное рассеяние и спонтанное тормозное излучение электронов в лазерном поле [3], «вакуумные» осцилляции Раби [4], коллапс и возрождение атомной инверсной населенности в модели Джейнса-Каммингса, нелинейные процессы на базе электромагнитно-индуцированной прозрачности [5] и т.д. Тем не менее, проблема динамики «одетой» неклассическим полем атомной системы на сегодняшний день достаточно мало исследована, хотя и является важной как для развития фундаментальной науки, так и для разработки перспективных практических приложений. Наличие полевой степени свободы и возникающее перепутывание между атомом и полем существенно затрудняет рассмотрение динамики такой «двухкомпо-нентной» системы и одновременно с этим приводит к возникновению новых физических эффектов, не имеющих места при воздействии на атом классических полей. В последние годы интерес к изучению таких систем сильно возрастает, поскольку стало возможным экспериментальное создание большого числа различных состояний квантового света. Это и однофотонные состояния, и фоковские состояния с малым числом фотонов, неклассические когерентные состояния малой интенсивности, состояния сжатого вакуума и др. [6—13]. Кроме того, стало доступным изготовление и использование высококачественных резонаторов, а также сильной фокусировки неклассического света в очень маленьком фокальном объеме, что позволяет обеспечить сильную связь между атомом и квантовым полем [14; 15].

Эффективное взаимодействие между атомной и полевой подсистемами открывает новые перспективы при работе с квантовой информацией и стимулирует развитие методов хранения, обработки и передачи квантовой информации, а также разработку квантовой памяти и квантовых логических элементов. Уже достигнута возможность «записи» и «считывания» фотонных состояний «по требованию» с использованием эффекта индуцированной прозрачности [16; 17]. Передавать информацию оказывается очень удобно, используя состояния

неклассического света, а манипулировать ею при помощи логических элементов на атомных кубитах. Поэтому очень важной и крайне востребованной задачей является разработка интерфейса между атомной и квантово-полевой подсистемами, осуществляющего передачу информации от одного к другому. Примерами уже частично изученных эффектов являются перепутывание между атомом и полем и обмен фазой между полевой и атомной подсистемами. Но польза атомных систем может проявляться не только в задачах хранения и обработки квантовой информации, но и в задачах генерации и томографии полевых состояний.

Таким образом, анализ и теоретическое описание взаимодействия между атомными системами и неклассическими полями представляет собой крайне актуальную задачу. В настоящей работе исследуется взаимодействие неклассических электромагнитных полей с атомами и полупроводниковыми нано-системами как в режиме ионизации, так и в случае резонансной связи. Проанализированы новые физические эффекты, обусловленные квантовой природой воздействующего излучения. Особое внимание уделено роли нелинейной фазовой самомодуляции поля в процессе взаимодействия и ее влиянию на динамику электронной подсистемы. Проведенный анализ и выявленные закономерности служат основой для создания как новых измерительных устройств, так и интегральной платформы для проведения квантовых операций с использованием перепутанных состояний атомных и полевых систем.

Цели и задачи Целью данной работы является теоретическое исследование взаимодействия неклассических состояний электромагнитного поля с атомами и полупроводниковыми системами в условиях сильной перестройки атомной и полевой подсистем (за рамками пертурбативных режимов), анализ перепутанности между ними, а также изучение влияния обнаруженных корреляций на динамику системы. Данные исследования открывают новые возможности для построения атомно-полевого контролируемого интерфейса, позволяющего управлять свойствами как атомной, так и полевой подсистем на основе возникающих новых физических эффектов. Проводимый анализ также нацелен на разработку новых измерительных квантовых схем со сверхвысоким разрешением, основанном на использовании рассматриваемых гибридных перепутанных систем.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Исследовать взаимодействие полевого и атомного кубита с учетом связи с ионизационным континуумом и проанализировать существование стабильных собственных состояний перепутанной атомно-полевой системы.

2. Разработать теоретический подход для анализа ионизации атома неклассическим светом в однофотонном и многофотонном режимах и исследовать ее особенности и наиболее значимые отличия от случая ионизации классическим полем.

3. Исследовать возможность формирования состояний неклассического света с новыми свойствами в процессе взаимодействия с атомными или полупроводниковыми системами.

4. Проанализировать возможность генерации сжатых состояний света, и особенно негауссовых серповидных состояний, с использованием кер-ровской нелинейности в современном резонаторе с модой шепчущей галереи с высоким значением добротности.

5. Теоретически проанализировать возможность томографии, то есть разработать методы получения информации о неизвестном атомном или полевом состоянии по измерению другой подсистемы с повышенной точностью по сравнению с известными методами.

6. Разработать схему квантового невозмущающего измерения, использующую неклассическую природу света.

Объект и предмет исследования Объектом исследования являются атомы, полупроводниковые квантовые точки, атомные и сверхпроводящие кубиты, а также взаимодействующие с ними неклассические электромагнитные поля. Предметом исследования являются новые физические эффекты, возникающие при взаимодействии рассматриваемых атомных систем с неклассическими электромагнитными полями, обусловленные квантовыми свойствами полей, возникающими корреляциями и перепутанностью в системе, а также наличием нелинейности для поля.

Методология и методы исследования. Основные результаты, представленные в настоящей работе получены при помощи аналитического решения нестационарного уравнения Шредингера, а также уравнений Гейзенберга для операторов рождения и уничтожения поля. Используется метод квазиэнергий

и квазиэнергетических состояний, а также метод перехода к базису «одетых» состояний за счет преобразования оператора Гамильтона системы. Для анализа перепутанности между атомом и полем используется формализм матрицы плотности, а также параметр Шмидта. Для анализа возникающих состояний поля используется функция Вигнера, а также подход квантовых ковров. Для исследования роли потерь в оптической системе используется метод виртуального светоделителя. Все необходимые численные расчеты, взятие интегралов и вычисление сумм, а также построение графиков производилось в вычислительной системе Wolfram Mathematica.

Научная новизна:

1. Впервые представлен теоретический подход к описанию ионизации атомных систем неклассическим полем, в том числе в состоянии сжатого вакуума, за рамками теории возмущений.

2. Разработан атомно-полевой интерфейс, реализующий эффективную передачу фазовой информации от полевого кубита к атомному.

3. Предложен метод, позволяющий за счет канала ионизации измерять фазу когерентного состояния поля с рекордной точностью.

4. Разработан теоретический подход для анализа динамики полевых мод в нелинейной среде с керровской нелинейностью, предсказано формирование негауссовских состояний поля и выполнены оценки для реальных оптических систем.

5. Впервые аналитически исследована динамика квантовой точки под действием неклассического когерентного и сжатого состояний поля в условиях нелинейности и исследована структура «коллапсов» и «возрождений» возбуждений и перепутанности в системе.

6. Обнаружен новый режим строго периодических атомных возбуждений, позволяющий контролируемо управлять состояниями атомно-полевой системы и перепутанностью в ней, что имеет принципиальное значение для реализации квантовых логических операций и квантовых вычислений.

7. Впервые представлена схема квантового невозмущающего измерения числа фотонов с использованием сжатых состояний.

Теоретическая и практическая значимость данной работы состоит в разработанных новых теоретических подходах, обнаруженных новых физических эффектах, выявленных особенностях взаимодействия атомных и

полупроводниковых наностистем с квантовыми полями, а также предложенных схемах высокоточных квантовых измерений, разработанных на основе квантовых свойств гибридных перепутанных систем. В результате работы была построена фундаментальная теория ионизации атомных систем неклассическими электромагнитными полями, на основе которой были выявлены особенности режимов ионизации и стабилизации атомных систем, обусловленные квантовыми свойствами воздействующих полей и возникающей перепутанностью между атомной и полевой подсистемами. На основе разработанного теоретического подхода к исследованию динамики квантовой точки при взаимодействии с произвольными неклассическими полями в условиях нелинейной фазовой самомодуляции были предложены схемы по управлению возбуждением квантовой точки, а также ее перепутанностью с полевой подсистемой, что имеет практическую значимость для построения квантовых логических алгоритмов и развития квантово-информационных технологий. Полученные результаты вносят важный вклад в разработку сверхчувствительных квантовых измерений. Предложен принципиальный метод сверхточных измерений на основе эффекта фазовой чувствительности скорости ионизации. Кроме того предложена схема квантовых невозмущающих измерений, а также проведено её усовершенствование за счет использования сжатых состояний поля. Данное улучшение позволяет приблизиться к однофотонным пределам чувствительности, что является ключевым для реализации множества квантовых оптических устройств.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Интерференция переходов в континуум из двух близких атомных уровней, индуцированных неклассическим электромагнитным полем, приводит к формированию перепутанного атомно-полевого состояния, устойчивого к ионизации, свойства которого существенно зависят от фазы поля.

2. Наблюдаемый в процессе ионизации эффект захвата населенности в стабильное собственное состояние перепутанной атомно-полевой системы, позволяет осуществлять обмен фазовой информацией между квантовым полем и атомом.

3. Разработанный в диссертации аналитический метод описания ионизации атома квантованным электромагнитным полем позволяет получить значение скорости ионизации за рамками теории возмущений как в од-

нофотонном, так и в многофотонном режиме для любых начальных состояний поля, включая состояние сжатого вакуума.

4. Исчезновение эффекта «закрытия каналов» в случае ионизации атома квантовым полем в состоянии сжатого вакуума обусловлено широким распределением и большой квантовой неопределенностью по числу фотонов рассматриваемого полевого квантового состояния.

5. Существенное уширение и перекрытие пиков в спектре фотоэлектронов, наблюдаемое при ионизации атома квантовым полем в состоянии сжатого вакуума, обусловлено возникающей интерференцией переходов различного порядка многофотонности.

6. Взаимодействие и перепутывания квантовой точки с квантовым электромагнитным полем в условиях керровской фазовой самомодуляции приводит к формированию новых типов негауссовских полевых состояний.

7. Оптимальная отстройка квантового поля от резонанса при взаимодействии с атомным кубитом в условиях керровской фазовой самомодуляции приводит к новому режиму строго периодических коллапсов и возрождений атомных возбуждений и перепутанности в системе, который наблюдается даже в случае воздействия сжатого вакуума и позволяет контролируемо управлять атомно-полевыми состояниями.

8. Найденная аналитическая формула для оптимальной отстройки является универсальной и не зависит от начального состояния поля и среднего числа фотонов в нем.

9. Использование квантового поля в состоянии сжатого вакуума в схеме с кроссфазовым взаимодействием, разработанной для квантового невоз-мущающего измерения числа фотонов, позволяет улучшить точность измерения более чем в 7 раз по абсолютной величине при использовании сжатия 10 дБ.

Достоверность полученных результатов определяется использованием обоснованных теоретических подходов, совпадением решений с известными предельными или частными случаями, использованием различных методов решения и сходством результатов, полученных разными способами, а также согласием полученных результатов с имеющимися расчетами других исследователей и с экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах в МГУ и Российском Квантовом Центре, а также были представлены на 20 международных конференциях и симпозиумах:

1. International Conference on Many Particle Spectroscopy of Atoms, Molecules, Clusters and Surfaces (MPS2016), Москва, Россия, 23-26 августа 2016.

2. The International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO 2016) / The Lasers, Applications, and Technologies Conference (LAT 2016) ICONO/LAT 2016, Минск, Беларусь, 26-30 сентября 2016.

3. XXIV Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2017», МГУ имени М.В.Ломоносова, Россия, 20 апреля 2017.

4. Quantum 2017 Advances in Foundations of Quantum Mechanics and Quantum Technologies with atoms and photons, Турин Италия, Италия, 7 мая - 11 июня 2017.

5. 26th International Laser Physics Workshop (LPHYS'17), Казань, РФ, Россия, 17-21 июля 2017.

6. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2018», МГУ имени М.В. Ломоносова, Россия, 10-11 апреля 2018.

7. Студенческая конференция «От ядер галактик до атомных масштабов» факультета физики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики», учебный центр Вороново, Московская область, Россия, Россия, 20-22 апреля 2018.

8. XVI Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах"имени профессора А.П. Сухорукова («Волны-2018»), Краснови-дово, Моск. обл., Россия, 27 мая - 1 июня 2018.

9. 27th International Laser Physic Workshop, Ноттингем, Великобритания, Великобритания, 16-20 июля 2018.

10. The International Conference on Many Particle Spectroscopy of Atoms, Molecules, Clusters and Surfaces, Будапешт, Венгрия, 21-24 августа 2018.

11. XVII Всероссийская школа-семинар «Физика и применение микроволн» имени профессора А.П. Сухорукова (Волны 2019), Красновидо-во, Московская область, Россия, 26-31 мая 2019.

12. 26th Central European Workshop on Quantum Optics (CEWQO-2019), Падерборн, Германия, 3-7 июня 2019.

13. 28th Annual International Laser Physics Workshop (LPHYS'19), Gyeongju, Корея, Республика, 8-12 июля 2019.

14. 5th International Conference on Quantum Technologies (ICQT2019), Москва, Россия, 15-19 июля 2019.

15. XIX Научная школа «Нелинейные Волны - 2020», Нижний Новгород, Институт прикладной физики РАН, Россия, 28 февраля - 6 марта 2020.

16. 19th International Conference on Laser Optics «ICLO 2020», Санкт-Петербург, Россия, 2-6 ноября 2020.

17. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2020», Москва, Россия, 10-27 ноября 2020.

18. 6th International Conference on Quantum Technologies (ICQT2021), Москва, Россия, 12-16 июля 2021.

19. 5th International School of Quantum Technologies (QTS'22), Хоста, Сочи, Россия, 3-8 октября 2022.

20. «Нелинейные волны - 2022», Нижний Новгород, Россия, 7-13 ноября 2022.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 25 печатных работах, в том числе в 8 статьях в рецензируемых научных журналах, удовлетворяющих Положению о присуждении учёных степеней в МГУ имени М.В. Ломоносова, и 17 публикациях в других научных изданиях и сборниках тезисов конференций. Список работ автора приведен в конце диссертации перед списком литературы.

Личный вклад. Все представленные в диссертационной работе результаты получены автором лично, либо при его определяющем участии.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка цитируемой литературы. Полный объём диссертации составляет 177 страниц с 52 рисунками и 1 таблицей. Список литературы содержит 201 наименование.

Краткое содержание диссертации. Первая глава представляет собой подробный обзор литературы по теме исследования, в котором обсуждаются работы по неклассическим полям разного типа, исследованию ионизации атомных систем, влиянию нелинейности и квантовым невозмущающим измерениям.

Вторая глава посвящена исследованию взаимодействия атомных систем с квантовым электромагнитным полем в режиме возможной ионизации атома. Первоначально рассматривается взаимодействие между модельным ридбергов-ским атомом и малофотонным квантовым электромагнитным полем в условии перезаселения состояний атома рамановскими переходами как через континуум, так и через нижнее резонансное состояние. Учитываются и атомные, и полевые степени свободы системы. Рассматриваются однофотонные переходы электрона в ионизационный континуум и обратно, и демонстрируется возможность атомных состояний «выживать» в процессе ионизации. Задача решается с помощью нахождения энергий и волновых функций квазиэнергетических состояний, характеризующих атомную систему, «одетую» полем. Обнаружено формирование состояния, стабильного относительно процесса ионизации. Отдельно рассмотрен случай, когда квантовое поле изначально представляет собой фотонный кубит с некоторой относительной фазой между состояниями. Разработаны методы когерентного контроля атомного квантового состояния в результате взаимодействия с неклассическим полем. Реализована схема передачи относительной фазы от полевого кубита к атомному в процессе их взаимодействия. Также разработан метод измерения неизвестной фазы полевого кубита в процессе взаимодействия с атомом. В условиях, когда фаза полевого состояния изначально неизвестна, атомная подсистема может выступать в качестве прибора для ее измерения. Для такого режима была исследована запутанность между атомной и полевой подсистемами в процессе взаимодействия и выявлено влияние фазы полевого кубита на характеристики атомного состояния, формирующегося в процессе динамики. Обнаружено существенное влияние фазы полевого состояния на процесс ионизации атомной подсистемы и на вероятность ионизации. Также рассмотрены случаи других неклассических начальных состояний поля, характеризующихся определенной фазой: когерентного состояния с малым средним числом фотонов и состояния сжатого вакуума. Продемонстрирована возможность получения информации о полевом состоянии при помощи измерений вероятности ионизации атома. Далее в данной главе в качестве отдельной задачи исследуется взаимодействие невозбужденного атома с квантовым электромагнитным полем и анализируются особенности ионизации атомной системы при воздействии многофотонных (ярких) сжатых состояний поля. Разработан теоретический подход, основанный на использовании собственных состояний свободного электрона, «одетого» квантованным

электромагнитным полем, найденных Берсоном в релятивистском случае и Бергу в нерелятивистском режиме. Этот подход позволяет исследовать зависимость процесса ионизации от среднего числа фотонов в поле и от вида фотонной статистики. В данной главе рассматривается надпороговая ионизация с учетом каналов различного порядка многофотонности и выводятся аналитические выражения для скорости ионизации в квантовом поле различного типа: когерентного и сжатого. Наиболее важным является то, что все решения найдены за рамками стандартной теории возмущений, поскольку влияние квантового поля на электрон в континууме учтено точно. На основе удачно найденного аналитического приближения для полевого матричного элемента перехода впервые получены замкнутые аналитические выражения для скорости ионизации атома в квантовом поле. Было обнаружено, что в случае ионизации атома сжатым светом вклады каналов высокого порядка многофотонности оказываются существенно выше по сравнению со случаем воздействия когерентным излучением. Как следствие, суммарная вероятность ионизации в единицу времени в сжатом поле оказывается нанесколько порядков выше для одинакового среднего числа фотонов. Также в работе впервые выявляются особенности спектров фотоэлектронов в континууме в случае ионизации сжатым светом и физические механизмы их возникновения.

Третья глава посвящена изучению эффекта нелинейной фазовой самомодуляции и его влиянию на взаимодействие неклассических полей с атомными системами. В первой части главы рассматривается одномодовый свет и его эволюция в Керровской среде. Обсуждается сосредоточенная модель микрорезонатора, выполненного из материала с керровской нелинейностью, и находятся характерные значения квантового сжатия, которые могут быть получены в системе. Также проводятся оценки возможности экспериментальной генерации квантовых состояний на эффекте фазовой самомодуляции в нелинейной среде. Далее исследуется динамика оптического поля при прохождении когерентного состояния и состояния сжатого вакуума через среду с более сильной кубичной нелинейностью. При исследовании динамики когерентного состояния обнаружевается формирование негауссовских состояний, аналогичных состояниям кота Шреднгера. В случае сжатого вакуума впервые демонстрируются новые негауссовские состояния света, динамика которых проанализирована как в рамках формализма функций Вигнера, так и при помощи квантовых ковров. Для анализа практической пользы таких состояний исследовано

их действие на полупроводниковые квантовые точки. Рассматривается взаимодействие однофотонной моды с полупроводниковой квантовойточкой в твердотельном нелинейном резонаторе с использованием модели Джейнса-Кам-мингса. Динамика взаимодействия квантовой точки с неклассическим полем в условиях нелинейности анализировалась в рамках нестационарного уравнения Шредингера, и было найдено аналитическое решение данной задачи. Продемонстрировано, что динамика системы характеризуется различными режимами, которые были проанализированы: режим слабого взаимодействия поля с квантовой точкой, режим их сильного взаимодействия, а также режим оптимального взаимодействия с учетом отстройки от резонанса. Для всех исследованных режимов были найдены возможности их использования для практических приложений в области разработки квантовых алгоритмов, а также передачи и хранения квантовой информации. В частности, было продемонстрировано, что при наличии нелинейности повторяющиеся коллапсы и возрождения возбуждения квантовой точки оказываются более проявленными. Также был обнаружен новый физический эффект, заключающийся в компенсации влияния нелинейности за счет выбора оптимальной отстройки, что приводит к строго периодическому повторению «коллапсов» и «возрождений» электронных возбуждений. Существенно, что данный эффект имеет место и в случае воздействия поля в состоянии сжатого вакуума, что не было обнаружено ранее. В диссертации было получено выражение для оптимальной отстройки, которое является универсальным, поскольку не зависит ни от начального состояния поля, ни от среднего числа фотонов в нем. Для более глубокого понимания динамики в диссертации также рассматривается перепутывание между полевой подсистемой и квантовой точкой. Доказывается, что в данном режиме взаимодействия периодически возникают моменты времени, когда подсистемы оказываются распутанными, чего ранее не удавалось обнаружить в подобных системах. Данный эффект можно использовать для периодического воздействия на каждую из подсистем в моменты распутывания для измерений или внешнего воздействия.

В четвертой главе диссертации изучается проблема генерации двумодо-вых сжатых состояний за счет эффекта фазовой кроссмодуляции в открытой квантовой системе. Аналитически выводится коэффициент качества, указывающий на такую возможность в произвольном оптическом резонаторе и зависящий от кубической нелинейности резонатора, затухания и объема моды. В резуль-

тате показывается, что существующие сверхвысокодобротные кристаллические микрорезонаторы могут генерировать сжатый свет в реалистичных экспериментальных условиях при достаточно высокой добротности и высокой связью накачки с микрорезонатором. Данные оценки позволяют вернуться к идее квантового неразрушающего измерения оптических квантов через резонансно усиленную керровскую нелинейность с учетом квантового обратного действия. Показано, что кристаллические микрорезонаторы позволяют проводить квантовые неразрушающие измерения числа фотонов в поле слабого сигнала с использованием классического пробного поля. Получено точное решение уравнений Гейзенберга для этой системы и вычислена погрешность измерения с учетом оптических потерь на детекторах. В результате продемонстрировано, что лучшие современные кристаллические микрорезонаторы позволяют достичь погрешности измерения в несколько раз лучше стандартного квантового предела. В заключении данной главы предлагается способ увеличения чувствительности квантового неразрушающего измерения почти на порядок за счет использования сжатого вакуума.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Балыбин Степан Николаевич, 2024 год

/// -

/ -

i / lili lili"

9 10 11 12 13 14 15

log!о of field intensity P, W/cm2 Рисунок 2.15 — Скорость ионизации атома когерентным полем (а) и сжатым

вакуумом (b) для различных ионизационных каналов (k = 10, 15, 20, 25, 30) в

зависимости от интенсивности поля.

когерентного состояния по количеству фотонов. Тот же график, но для сжатого вакуума представлен на Рис. 2.15(Ь). В этом случае ситуация совершенно иная из-за различий в фотонной статистике. Различные вклады в ионизационные каналы, соответствующие различным слагаемым из фотонной статистики сжатого света, начинают закрываться с хвоста распределения. Из-за очень большой дисперсии распределения по числу фотонов в случае сжатого вакуума закрытие определенного канала начинается на два порядка раньше, чем для когерентного поля, и происходит очень постепенно. Поэтому закрытие фиксированного канала становится очень плавным и больше напоминает выход на

насыщение. Фактически, закрытие каналов при ионизации в сжатом вакууме не имеет места.

Рассмотрим особенности энергетических спектров фотоэлектронов при многофотонной ионизации неклассическим полем. Энергетический спектр представляет собой зависимость (1\¥г/(1 Е от энергии фотоэлектронов. Начнем с рассмотрения спектров, полученных для когерентного состояния в режиме низкой интенсивности и представленных на Рис. 2.16(ах). Видно, что разные

Малые Р Средние Р Большие Р

Рисунок 2.16 — Энергетические спектры фотоэлектронов для случая ионизации когерентным полем (верхний ряд) и сжатым вакуумом (нижний ряд) для различных интенсивностей (1013,1014,1015 Вт/см2 слева направо).

каналы хорошо разделяются по энергии относительно друг друга, а спектр является эквидистантным. При этом выполняется режим теории возмущений и каждый следующий пик в спектре значительно ниже предыдущего. С ростом интенсивности (или среднего числа квантов поля), то есть при переходе от (а1), соответствующего теории возмущений, к (а2) происходит перераспределение вероятности выхода электрона в более высокие каналы ионизации. При дальнейшем увеличении интенсивности, то есть при переходе к случаю (а3), спектр становится шире, а его максимум перемещается в область еще более высоких каналов.

В случае ионизации сжатым светом спектры значительно трансформируются. Из Рис. 2.16(б1) видно, что теория возмущений перестает работать на порядок раньше по сравнению со случаем когерентного поля из-за большей ширины распределения сжатого состояния по фоковским состояниям. При средних

интенсивностях, как видно из случая (б2), вклад каждого канала очень размыт и наблюдается перекрытие разных каналов. А для случая (б3) было обнаружено полное размывание каналов и появление формы огибающей с одним очень широким и несколькими побочными максимумами. Появление горбов вызвано поведением функции Бесселя, входящей в полевой матричный элемент (2.54).

Рассмотрим зависимость скорости ионизации от угла вылета фотоэлектрона, которая неявно присутствует в (2.51) или более явно под интегралом в (2.52). На Рис. 2.17 в верхнем ряду представлены угловые распределения для случая когерентного света, а в нижнем ряду для сжатого вакуума при аналогичных интенсивностях для различных каналов ионизации.

- 10 - 15 - 20 - 25 - 30 - 35 - 15 - 20 - 25 - 30 - 35 - 40 - 60 - 65 - 70 - 75 - 80 - 85

Рисунок 2.17 — Угловые распределения фотоэлектронов для случая ионизации когерентным полем (верхний ряд) и сжатым вакуумом (нижний ряд) для различных интенсивностей (1013,1014,1015 Вт/см2 слева направо) и различных открытых каналов, отмеченных разными цветами.

Видно, что ионизация сжатым вакуумом обладает иными особенностями распределений по сравнению с когерентным светом. Особенно сильные отличия

наблюдаются для интенсивностей 1014 — 1015 Вт/см2, при которых ионизация сжатым вакуумом происходит в существенно больший угловой раствор, а различные каналы очень сильно перекрывают друг друга. Стоит отметить, что при интенсивности 1015 Вт/см2 в случае когерентного поля возникает интересный эффект: ионизация для разных многофотонных каналов обладает наибольшей эффективностью при разных углах вылета электрона, то есть происходит разделение каналов ионизации по углам вылета. При этом электроны с большей энергией вылетают под большим углом относительно начальной поляризации когерентного поля. Для ионизации сжатым вакуумом этого эффекта не наблюдается.

2.2.5 Выводы

В этом разделе разработан теоретический подход к описанию ионизации атомов неклассическими полями, найдены аналитические выражения для скорости ионизации в различных многофотонных каналах и суммарно с учетом всех каналов. Проанализированы свойства возникающих матричных элементов перехода между свободными и возмущенными состояниями поля и предложена аппроксимация для их вычисления, позволяющая рассматривать любые начальные полевые состояния. Обнаружены и исследованы особенности ионизации сжатым светом по сравнению с ионизацией когерентном полем, заключающиеся в гораздо более плавном спаде скорости ионизации в зависимости от номера канала надпороговой ионизации. Продемонстрировано существенное различие спектров электронов в континууме для когерентного и сжатого полей, обусловленное широким начальным распределением сжатого поля по числу фотонов. Для поля в сжатом вакууме обнаружено, что поглощение одного и того же числа квантов может приводить к разным энергиям электронов, то есть давать вклад в различные надпороговые пики.

Представленная теория может быть обобщена и на случай ионизации неклассическим светом в твердотельных системах. В таком процессе электрон переходит из валентной зоны в зону проводимости, а его состояние описывается Блоховской функцией с конкретным квазиимпульсом. Это позволяет использовать формализм, во многом аналогичный представленному.

Глава 3. Генерация негауссовских состояний поля в нелинейной

1 о о о

среде с фазовой самомодуляцией и их взаимодействие с атомными

системами

Основные результаты данной главы представлены в статьях [А4; А5; А7].

3.1 Генерация квазифоковского состояния с помощью резонансной фазовой самомодуляции в оптических микрорезонаторах

Оптические резонаторы с кубической нелинейностью были среди первых простейших физических систем, предложенных для генерации сжатых состояний света, а также для проверки концепции квантового неразрущающего измерения. Обычные линейно сжатые состояния характеризуются гауссовым распределением по полевой координате и положительной функцией Вигнера, часто рассматриваются как квазиклассические. При этом квантовые состояния, возникающие из высших порядков нелинейности, характеризуются отрицательной функцией Вигнера. Такие состояния могут быть преобразованы в близкое к Фоковскому состоянию при помощи классического преобразования смещения. Используя эти известные особенности, была разработана стратегия эксперимента по детектированию и описанию неклассического состояния в системе на основе высокодобротного нелинейно-оптического микрорезонатора. В данном разделе обсуждаются технические ограничения на параметры генерируемого состояния, связанные с потерями в системе и шумами классических оптических источников, участвующих в измерении.

3.1.1 «Банановые» состояния в системе с х(3) нелинейностью

Рассмотрим гамильтониан, описывающий ФСМ в оптической моде:

Н = — ^й)2, (3.1)

здесь операторы а ий' являются операторами уничтожения и рождения в данной моде, а константа д пропорциональна величине нелинейности.

Уравнение Гейзенберга для оператора уничтожения а с таким гамильтонианом получается следующим:

г - 1

а = — [Н, а] = 1д(а'а + -)а. (3.2)

' 1 2

Поскольку исходный гамильтониан коммутирует с оператором числа фотонов в системе ТУ = й'й, то оператор ТУ является не зависящим от времени. А значит уравнение может быть решено аналитически:

а = е1 з а0. (3.3)

Это решение содержит в себе полную информацию о поведении нелинейной системы при воздействии на произвольное начальное состояние поля. Для анализа решения перейдем к обобщенной координате и импульсу:

а = (х + ¿р)/-^2, (3.4)

И произведя замену в решении получаем:

х + гр= (со8#(/у + 1/2)£ + ¿вт^ТУ + 1/2)^ (хо + гро), (3.5)

откуда, взяв мнимую и действительную часть, а также заменив оператор числа фотонов через х и р, получаем преобразование операторов:

( х0 + р0Л- • ( х0 + ро Л - /О г\

х = сое I д —2—1 )хо — 81П I д —2—1 )Ро, (3.6)

Р = оп () хо + соо ()Ро. (3.7)

Это преобразование операторов в квазиклассическом понимании на фазовой плоскости задает траекторию точки с начальными координатами хо, ро. Такое понимание динамики будет корректным до тех пор, пока что состояние остается гауссовым или почти гауссовым. Однако, для качественного понимания влияния нелинейности на состояние, этого достаточно.

Для дальнейшей иллюстрации динамики системы необходимо выбрать начальное состояние поля. Пусть это будет когерентное состояние |а) с действительным положительным значением а, то есть (хо) = \/2а > 0 и (ро) = 0.

Field quadrature X Field quadrature к

Рисунок 3.1 — Динамика когерентного состояния на фазовой плоскости в среде с Х(3) нелинейностью. В левой части изображена динамика трех разных когерентных состояний, а в правой - центрированные состояния при помощи обратного

поворота фазовой плоскости для а = 10.

Представим когерентное состояние на фазовой плоскости в виде круга с центром в точке (хо,Ро) и единичным радиусом. Изменение положения центра и формы этого круга будет происходить в соответствии с законами изменения координат (3.6,3.7) и изображено на Рис. 3.1 для различных значений

Мы видим, что нелинейность осуществляет фазовый поворот состояния, который будет разным для разных точек фазовой плоскости исходного состояния. Чем дальше точка плоскости оказывается от начала координат, тем сильнее будет величина поворота. Это выражает классическое проявление Керровской нелинейности как зависимость показателя преломления среды от интенсивности света. Чем выше интенсивность поля, то есть удаление от начала координат, тем меньше показатель преломления и тем сильнее происходит накрутка фазы. Уже из этого рассмотрения видно, что когерентный «круг» сначала вытягивается, а затем начинает изгибаться в виде «банана». Отличительной чертой чисто гауссовских состояний является наличие гауссовой огибающей распределения на фазовой плоскости, а значит линии уровней представляют собой окружности или эллипсы. А в данном случае возникает

отклонение от эллипса, что свидетельствует о формировании негауссовского состояния. Получается, что в данной системе формируется негауссовское сжатое состояние, а величина сжатия которого тем больше, чем больше параметр |а|2дЬ. Для получения степени сжатия необходимо оценивать параметр д, время взаимодействия Ь и количество фотонов внутри резонатора равное |а|2.

Для более тщательного анализа таких состояний квазиклассический подход не годится, необходимо перейти к полностью квантовому рассмотрению. В этом случае удобнее оказывается использовать представление Шредингера, в котором эволюционирует волновая функция состояния поля, а координаты фазовой плоскости и операторы остаются постоянными с течением времени. Для гамильтониана (3.1) будет более целесообразной запись через оператор числа квантов

Н = — у^2, (3.8)

тогда нестационарное уравнение Шредингера с начальным условием

то

№о> = ^Сп1п), (3.9)

п=о

можно решить аналитически. Решение оказывается достаточно простым и может быть также записано в виде разложения по Фоковским состояниям:

№(*)> = ехр( ^ п2)Сп|п>. (3.10)

п=о 2

Рассмотрим данное решение с относительно небольшим числом квантов, и построим его функцию Вигнера при помощи формулы [123] :

W (х,р) = (х,р )ехр(г(& — 1)атс1апх/р), (3.11)

к,1

где Wкl - матричные элементы функции Вигнера Фоковских состояний, а коэффициенты Ск - амплитуды разложения анализируемой волновой функции по Фоковским состояниям.

Дальнейший расчет функции Вигнера заключается в вычислении суммы и он производился численно. В согласии с предыдущим квазиклассическим анализом, поведение функции Вигнера оказалось аналогичным. При этом центр распределения поворачивался на угол ф N1 = (| а|2+ 1/2)дЬ относительно начала

координат, и для расчета это представляет сложность. Поэтому перед построением этот поворот нужно «вычитать» из состояния. На Рис. 3.2 в левой части показана итоговая функция Вигнера для параметров, схожих с предыдущим квазиклассчисеским рассмотрением при а =10 и а= 0.2.

Field quadrature х

Рисунок 3.2 — Динамика функции Вигнера когерентного состояния в среде с Х(3) нелинейностью. В левой части изображена динамика для а = 10, а в правой

- для а = 20.

Возникают отрицательные области распределения, изображенные синим цветом, что доказывает существенную негауссовость состояния. Для численных расчетов с большими п = |а|2 данное решение оказывается достаточно трудоемким за счет быстро осциллирующего показателя экспоненты. Даже небольшие неточности в расчете могут давать относительно высокую погрешность. Поэтому для оптических схем актуальной является разработка других подходов к решению данной задачи, поскольку за частую внутри резонаторов содержится одновременно порядка нескольких миллонов квантов в одной моде.

Рекордный расчет, который удалось произвести данным методом изображен в правой части данного рисунка. При этом а = 20, что очень далеко от реальных оптических систем, где а ~ 103. При этом видно, что получающееся состояние поля даже при таких значениях интенсивности визуально схоже с частью Фоковского п-фотонного состояния. Возникающая сильная негауссо-вость, выраженная в виде отрицательных областей функции Вигнера, может

быть использована для создания ортогональных состояний. Для двух состояний одномодовой системы их свертка может быть выражена как интеграл от произведения функций Вигнера по всей фазовой плоскости. И поэтому без отрицательных областей данный интеграл никогда не обратится в ноль. А значит только негауссовские состояния могут быть ортогональными, что важно различных квантовых приложений. Поскольку расчет функции Вигнера является затруднительным, необходимо разработать другой критерий негауссовости, который позволил бы произвести оценку возможности генерации таких состояний в реальных системах без её прямого расчета.

3.1.2 Критерий негауссовости

Полученные выше результаты демонстрируют природу сжатия в системе с фазовой самомодуляцией, и сжатие состояния по ширине функции Вигнера происходит почти по радиальному направлению. Если же немного сдвинуть состояние вверх или вниз, в зависимости от знака нелинейности, то состояние окажется сжатым по радиальному направлению от начала координат (см. 3.1, на правой части красное состояние можно сдвинуть вверх и тогда оно станет «параллельно» огибающим окружностям). Отличительной особенностью такого оптимально сдвинутого состояния будет сильно уменьшенная неопределенность числа квантов, ограниченная следующим фактором [67]

Ancres « п1/6 , (3.12)

который значительно меньше, чем

Ansqz « п1/3 , (3.13)

достижимый с гауссовскими сжатыми состояниями [72], и

Ancoh = п1/2, (3.14)

достижимый при когерентных состояниях и называемый пределом дробового шума или стандартным квантовым пределом. Здесь п — среднее число квантов в моде. Ancres, Ansqz и Ancoh представляют минимальные неопределенности числа фотонов, достижимые для конкретных состояний.

3 4 5 6 3 4 5 6 0.0 05 1 0 1.5 20

х х Га2

Рисунок 3.3 — Функции Вигнера для Га2 = 0,2 (а) и Га2 = 1 (б), рассчитанные численно при а = 3, и (в) зависимость абсолютного значения минимума отрицательной части функции Вигнера W(х,р) от параметра Га2, где Г = ^ — нелинейность на один фотон, а а — безразмерная амплитуда когерентного

поля.

Предположим, что в квантовой системе с кубической нелинейностью измеряется число фотонов с неопределенностью Дп. Если получена неопределенность меньше, чем этого можно достичь в случае линейного сжатия, то можно утверждать о фотмировании негауссовского состояния. Тогда условие Дп < Дпздг может быть использовано как удобный достаточный критерий негауссовости квантового состояния. Вместо прямой демонстрации отрицательности функции Вигнера, что требует сложного численного расчета в теории и утомительного процесса квантовой томографии в эксперименте, можно просто следить за неопределенностью числа квантов. Кроме того данный критерий также значительно упрощает теоретические расчеты, позволяя использовать только картину Гейзенберга. Поэтому далее будем следовать этому подходу.

В идеальном случае без потерь даже сколь угодно слабая Керровская нелинейность создает негауссовские квантовые состояния [67], описываемые функцией Вигнера с отрицательными значениями. Для демонстрации этого были точно рассчитаны по описанной выше методике функции Вигнера при очень маленьких сжатиях. Для демонстрации этого на Рис. 3.3 были построены контурные схемы для функции Вигнера с выделением отрицательной области, а также построен график зависимости модуля минимального значения функции Вигнера в зависимости от парамера а2 = Га2, который демонстрирует величину отрицательности в зависимости от величины нелинейности. Это озна-

чает, что чистое керровское состояние по своей сути является негауссовским. Однако оптические потери, которые присутствуют в любой системе, убирают небольшие негауссовости [124; 125], при этом тонкие негауссовские квантовые состояния, которые наблюдаются при больших нелинейностях оказываются особенно уязвимыми к потерям. Эта задача была проанализирована теоретически ранее [126], а ее варианты изучены в [127—134]. При наличии оптических потерь чистые квантовые состояния эволюционируют в смешанные, теряя при этом отрицательность функции Вигнера. Поэтому вопрос о возможности сохре-нения отрицательности в реальных оптических системах является актуальной особенно с учетом оптических потерь.

В следующем параграфе данного раздела мы отойдем от анализа отрицательности функции Вигнера, а будем анализировать в основном неопределенность по числу фотонов в качестве критерия негауссовости состояний.

3.1.3 Метод получения состояния с малой неопределенностью

числа квантов

Начнем снова с гамильтониана, описывающего ФСМ в закрытой системе и произведем предыдущие выкладки более аккуратно, используя другой подход. Данный подход будет больше подходить для реальных систем с большим средним числом квантов. Гамильтониан с учетом освободной динамики выглядит следующим образом:

НГаш = Ьша^а + Нуа)2а2 , (3.15)

где а, а — операторы уничтожения и рождения, ш — собственная частота моды, у = — д/2 — керровский коэффициент нелинейности. Данный вид гамильтониана отличается от рассмотренного ранее, однако он является более правильным. При этом здесь также присутствует нелинейный сдвиг фазы фмь, от которого следует избавиться.

Гамильтониан порождает следующее уравнение Гейзенберга для а

(1(1(1) (И

= — гша(^) — 2гуа^(£)а2(£). (3.16)

Как уже говорилось ранее, оператор числа квантов п = а)а коммутирует с гамильтонианом (3.15) и, следовательно, является интегралом движения:

^ = 0 ^п(1)=п. (3.17)

Ранее уже были использованы разные представления квантовой механики. Для предостережения путанницы операторы с явно указанной зависимостью от времени (а(Ъ), п{Ъ), и т.п.) будут соответствовать картине эволюции Гейзенберга, а без нее (а, п, и т.п.) - представлению Шредингера.

Будем считать, что начальным состоянием оптической моды является когерентное состояние |а) с амплитудой

а =у/п > 1. (3.18)

Без ограничения общности предполагается, что а — действительное положительное число. Тогда, как и п, параметр а являются интегралами движения.

Для удобста перейдем во вращаюшуюся систему отсчета, учитывающую как поворот за счет собственной частоты на угол , так и поворот из-за нелинейности от фазовой самомодуляции 2уа2£, про который было сказано:

а(Ь) :=а(1)е—г. (3.19)

Тогда

^г^ = — 2гу[а*(*)а(*) — а2]а(*) = —2^у(п — а2)а(1). (3.20)

Этому уравнению движения соответствует следующий эффективный гамильтониан:

Н = йу(^2а2 — 2а°а^), (3.21)

к которому удобно перейти для анализа влияния нелинейности на «неподвижное» состояние системы.

Рассмотрим сначала возникающий тут линейный эффект, который даст нам нулевое приближение и обеспечит удобную точку отсчета для нелинейных вычислений. Представим оператор уничтожения в виде суммы классической и квантовой частей

а(г) = а + а(£) , (3.22)

где а принимает большое действительное классическое значение (поскольку рассматривается случай оптического диапазона), а ^ 1, а г)(£) — относительно

малые квантовые флуктуации. Это аналогично действию оператора сдвига на квантовое состояние, что в данном случае означает перенос начала координат фазовой плоскости в центр когерентного состояния.

Подставляя выражение (3.22) в (3.20) и оставляя только линейные по г)(£) члены, $ (£), получаем следующее уравнение

(И

= — 2гуа2[г)(£) + , (3.23)

которое по сути приводит к линейному пондеромоторному сжатию света, широко известному в квантовой оптомеханике. Решение этого уравнения следующее:

#(т) = (1 — гк)д — Ыдt, (3.24)

где

к = 2Га2 (3.25)

— коэффициент эффективного сжатия, а Г = ут — коэффициент нелинейности на один фотон.

С учетом смещения (3.22) начальное состояние |а) света в моде соответствует основному квантовому состоянию |0). Преобразование (3.24) приводит к сжатому состоянию с взаимно коррелированными квадратурами. Это состояние может быть преобразовано в состояние с уменьшенной неопределенностью по числу квантов (в данном случае амплитудным сжатием) путем смещения сжатого состояния ФСМ в направлении, ортогональном а [67]. В случае действительного а смещение описывается мнимым множителем

в = гв" (3.26)

Оператор уничтожения эффективной смещенной моды имеет вид

Ь = а + ¿в" + (1 — гк)Ъ — гк%t. (3.27)

Для числа квантов этого состояния имеем

п = (0| РЬ |0) = а2 + в''2 + к2 , (3.28)

(Дп)2 = (0| (РЬ)2 |0) — п2 = (а — 2кв'')2 + в''2 + 2к2(1 + к2). (3.29)

Неопределенность числа фотонов (Дп)2 минимизируется, когда

в'' = 4^. М

Тогда неопределенность становится

а2

(Дп)2 = 4К^ТТ + 2к2(1 + к2). (3.31)

Если сжатие достаточно сильное, к ^ 1 (но все же к ^ а), то

а

в'' « — < а, (3.32)

2к

а двумя последними членами в (3.28) можно пренебречь, что дает

п « а2 , (3.33)

(Дп)2 = Й + 2к4 > а4/3 , (3.34)

что теперь нужно сравнить с пределом для сжатых состояний (3.13). Неопределенность числа фотонов составляет примерно п1/3. Это максимальное значение амплитудного сжатия, если учитывать только члены, пропорциональные операторам рождения и уничтожения.

3.1.4 Точное решение с учетом оптических потерь

Хотя в [67] был проведен более строгий анализ сжатия на основе ФСМ, неизбежные оптические потери в этой работе не рассматривались. Поэтому воспроизведем расчеты [67] с учетом оптических потерь.

Начнем со строгого решения уравнения (3.20), представленного в форме

а(т) = и^аих = е—°г("'—а2)) , (3.35)

где

йк = е—гг(«|2«2—2а2«1а) (3.36)

является оператором эволюции для гамильтониана Керровского взаимодействия.

Эволюция в Керровской нелинейности, сопровождаемая смещением состояния на величину в и зависящая от оптических потерь, может быть представлена следующим уравнением:

Ъ = и]кГ)\в)ЬПцаЬц1Э(в)йк = у/ц[е—22гПй—{а2)й + в + £ а] . (3.37)

Здесь ¿(в) — оператор смещения

^(в)аВ(в) = а+ в , (3.38)

Ьп — оператор эволюции, описывающий оптические потери

ЬПаЬц = /па + а/1 — п £ , (3.39)

— оператор уничтожения моды связанного с потерями при взаимодействии с термостатом, который можно полагать находящимся в основном состоянии |0)яв, П ^ 1 - квантовая эффективность, и

е = П. (3.40)

В отличие от предыдущего раздела, здесь приближение линеаризации (3.22) не используется. Начальное состояние системы — когерентное, |а). Поэтому

Ма) 10)нв = /л[ае—2гГ(й—а2) + в] |а) |0)яв , (3.41)

Ь2 |а) 10)нв = п[е—2гГ(2-+1—2а2)а2 + 2аве—2гГ(й—а2) + в2] |а) |0)яв . (3.42)

Далее, произведя нормальное упорядочение операторов, можно найти, что для любого Л

Е(Л) = (а| егЛ(й—а2) |а) = еа2(е<Л—1—Л). (3.43)

Это выражение приводит к

п = нв (0| (а| |а) |0)нв = п{а2 + |в|2 + 2аЯе[вЕ(2Г)]} , (3.44)

(Дп)2 = нв (0| (а| Р2Ь2 |а) |0)нв + п — п2 = п + п2{4а3Яе[вЕ(2Г)(е2гГ — 1)] +

+ 2а21в12 + 2а2Яе[в2Е(4Г)е2гГ] — 4а2Яе2[вЕ(2Г)]} . (3.45)

Для случая малых коэффициентов нелинейности Г ^ 1 и |Л| ^ 1 получаем

Е(Л) « е—а2Л2/2 , (3.46)

мы находим

п = п(а2 + |в|2 + 2аЯев е—2а2Г2), (3.47)

(Дп)2 = п + п2[4а3 Яе (2гГв) е-2а2г2 + 2а2|в|2+

—2а2Г2

22

2 п„п2 -8а2Г

+ 2а2 Яе в2е

22

- 4а2Яе2 в е-4а2Г2]. (3.48)

22

Следуя [67] и меняя состояние с помощью условия (3.26), получаем

п = л(а2 + в ),

3 2а2г2

(Дп)2 = п + л2[-8а3Гв//е"2а2Г2 + 2а2в''2(1 - е

,—8а2Г2

)]

Минимум (3.50)

(Дп)2 = ла2

1

16ла4Г2 е

4т^-4а2Г2

2а2(1 -е-8а2Г2 ) + 1/л_

достигается при оптимальном в'

в'' =

4«3Ге-°»2Г2

Предполагая, что

2а2(1 -е-8а2Г2 ) + 1/Л'

к

аГ = — < 1. 2а

мы находим

в'' =

2ак

4к2 + 1/л

и

(Дп)2 = па24к2(1 - п) + 1/п

(3.49)

(3.50)

(3.51)

(3.52)

(3.53)

(3.54)

(3.55)

4к2 + 1/л

Полезно сравнить неопределенности числа фотонов, заданные уравнением (3.55) и уравнением (3.31). При достаточно малых оптических потерях и достаточно сильном сжатии погрешность (3.55) может быть меньше предельной (3.34). Причина в том, что в точное решение не входит член 2к2(1 + к2), возрастающий как к4 в пределе больших к.

3.1.5 Функция Хусими яркого «бананового» состояния

Выведем выражение для функции Хусими для решения задачи, так как это сделать проще, чем получить функцию Вигнера для случая большого числа фотонов.

Q-функция Хусими определяется следующим образом

д(£,) =1 (£| р |£) ,

71

(3.56)

где р — оператор плотности, а |£) — когерентное состояние. Начальное квантовое состояние оптической моды |а). Соответствующее конечное состояние в приближении вращающейся волны будет

р = ик |а) (а| и]к .

(3.57)

Поэтому

где

Я(£) = 11 (а| иК |£) |:

00

(а|^ |£) = е—(«2+|£|2)/2£

¿Г[п2 — (2а2+1)п]

п=0

П!

(3.58)

(3.59)

(а снова предполагается вещественным).

Точное вычисление суммы для больших значений а и £ не является очевидным. И здесь будет использовано следующее трехэтапное приближение. Во-первых, заменим п! его приблизительным значением, определяемым формулой Стирлинга

П

! « л/2тпппе п ->■

(3.60)

(а| иК |£) = е—(а2+1£12)/2 ^ (—) ехр{п + ^Г[п2 — (2а2 + 1)п]} . (3.61)

п=0 * П \ /

Во-вторых, учтем, что основной вклад в это суммирование вносят члены с

1 -

а|£|

п

< 1

(3.62)

что позволяет использовать следующее приближение:

а|£|

п

= ехр

(

1п 1 +

а| £| — п

п

ехр

а|£| — п 1 / а|£| — п

п

2

^,)

(3.63)

А значит,

(а| иК |£) =

-(а—|£|)2/2

оо

£

п=0

л/2Пп

ехр

(п — а|£|)2 2п

+ ¿фп + гГ[п2 — (2а2 + 1)п] }, (3.64)

1

где

Ф = arg £. (3.65)

И, в-третьих, суммирование можно заменить интегрированием

<а|^|£> =

exp|———+ ¿фп + iГ[п2 — (2а2 + 1)п] \dn.

(3.66)

■>00

3—(а— !£!)2/М _1_expf — (П — а|£|)2 + -п + ,' ГП — (2а2

Jn=oV2nn \ 2п

Далее можно учесть оптические потери, используя стандартную процедуру размытия по Гауссу. Известно, что функция Хусими представляет собой преобразование Фурье антинормально упорядоченной характеристической функции

Са

Q(£) = -2 Са(и)e—i(u*£+u£Vu , (3.67)

1

П2 „

где

Са(и) = Тг(реги*йе) = ^ Q(£,). (3.68)

Теперь введем оптические потери в уравнение, используя формулу (3.39)

Claoss(u) = Tr(LnpLjeiu*aeгиа ) = Tr(peг_пи*ae_uat) x нв <0| ег_т—Пи*1 eг_-nuaí |0>нв = Ca(_nu)e—(1—n)|u|2. (3.69)

Откуда получаем, что Qloss(£) = ^ / Ca(_nu)exp[—(1 — Л)|и|2 — + u£*)]d2u

= ^J Q(£')exp[—(1 — n)|u|2 — i(u*£ + u£*) + i_n(u*+ u£'*)]d2ud2£/

Q(£')exp(.

d2. (3.70)

п(1 — п) У V 1 — п

Эта формула представляет собой приближенное выражение для функции Ху-сими, которое вполне можно использовать для оценки возможности генерации серповидных состояний в реальных оптических системах.

3.1.6 Оценки для реальных микрорезонаторов

Оценим минимальное число внутрирезонаторных фотонов, необходимое для наблюдения формирования негауссовости. Для оценок возьмем один из рекордных по добротности резонаторов типа МШГ из фторида кальция. Линейное пондеромоторное сжатие можно наблюдать, когда мощность внешней накачки достигает значения [135]

* - П&■ (3.71)

где п0 = 1,44 — показатель преломления материала, п2 = 3,2 х 10—16см2/Вт - коэффициент нелинейности, V ~ 8х 10—9ст3 - объем моды (2 мкм х 6 мкм х 2 п 102 мкм), Q = 1010 и Л =1 мкм. Пороговая мощность накачки, необходимая для наблюдения сжатия, составляет Р^ = 5 нВт.

Число внутрирезонаторных фотонов, соответствующее мощности накачки, равно

п^ = , 2']'шг ■ (3.72)

hш0вw

где ш0 — несущая частота (2пс/Л), а BW = ш0/Q — полная ширина на полувысоте резонанса. Соответствующее число фотонов приблизительно равно щн = 3 х 105.

Представляя частотный сдвиг для одиночного фотона как

П2 ьШ0С

у = Ш0----. (3.73)

п0 Vп

и учитывая, что к = 2уа2/В W (т х BW = 1), перепишем уравнение (3.34) в виде

П « а2 , (3.74)

BW2 у4П4 (Дп)2 = + 32 ^П-г (3.75)

v ; 16у2П BW4 v 7

и находим, что неопределенность числа квантов (Дп)2 становится меньше линейного предела П2/3 в точке

П = Пр = ^¿117^) (3.76'

где

(3.77)

Для указанных выше значений параметров находим пр сжатия в этом случае можно определить как

3 х 106. Параметр

(3.78)

Этот прараметр К также показывает минимальное сжатие состояния, при котором может наблюдаться неклассическое (негауссовское) поведение системы. С практической точки зрения, наблюдаемая величина сжатия ограничена потерями в системе. Поэтому желательно создать резонатор, в котором К может быть близко к единице. Для этого необходимо выбрать резонатор с максимально возможной добротностью и нелинейностью и как можно меньшим объемом моды.

Для наблюдения «бананового» состояния сжатие должно превышать примерно пр/6 ~ 10. При этом параметр сжатия зависит только от свойств резонатора. Неклассическое поведение при малой мощности излучения можно наблюдать тольео в резонаторах с большими нелинейностями (и малым объемом моды) и малой шириной полосы (большие добротности).

Функции Хусими, рассчитанные для указанных выше параметров, представлены на рис. (3.4). Параметры резонаторов из различных нелинейных материалов представлены в таблице (1). В соответствии с таблицей широкополосные диэлектрики, такие как СаГ2, лучше всего подходят для генерации негауссовского состояния.

В этом разделе была рассмотрена модель нелинейного оптического резонатора с сосредоточенными параметрами и проанализировали изменение квантового состояния света, удерживаемого в моде нелинейного резонатора, за счет эффекта Керра. Было обнаружено, что хотя керровская нелинейность всегда генерирует неклассические состояния света в резонаторе без потерь, в реальной системе необходимо достичь определенного порогового значения сжатия, чтобы получить действительно негауссовское состояние, которое может

3.1.7 Выводы

Q(x,p)

10.014 0.012 --0.010 — 0.008 -0.006 -0.004 -0.002

Рисунок 3.4 — Расчет функций Хусими для резонатора из фторида магния (a) а2 = nth — 3 х 105 и (b) а2 = пр — 3 х 106 и резонатора c указанными в тексте

параметрами.

выдержать потери внутри резонатора. Величина этого сжатия зависит исключительно от ширины полосы резонаторной моды и величины нелинейности резонатора. Экспериментальная реализация генерации негауссовского состояния возможна в резонаторе с очень высокой добротностью и/или очень сильной нелинейностью. Было показано, что для этой цели подходит резонатор с модой шепчущей галереи с высокой добротностью, изготовленный из монокристаллического фторида кальция (CaF2) или магния (MgF2). Хотя резонаторы из кристаллического кремния демонстрируют как большие п2, так и высокую добротность, их применение на длинах волн ниже 2,3 мкм ограничено двух-фотонным поглощением.

Было показано, что для современных резонаторов нужно достичь сжатия порядка К = 10, чтобы однозначно утверждать, что негауссовское состояние света создается в резонаторе и может быть измерено. Одной из важных особенностей микрорезонаторов является внутреннее подавление явления самопроизвольного рассеяния вперед, что ограничивает степень сжатия в опти-

Материал п2, 10-16 см2/Вт BW, 106 рад/с у, рад/с К-1, дБ

АЬОз 2.8 2 х 109 [136] 0.63 0.06 12.8

СаР2 3.2 3 х 1011 [137] 0.004 0.4 8

MgF2 0.9 (е,о) 6 х 109 [138] 0.3 0.03 (е,о) 12.5

Кварц 3.4 5 х 109 [139] 0.25 0.1 11.6

Кварцевое стекло 2.6 9 х 109 [140] 0.14 0.08 11.3

Ь1№Оз 20 (о) 109 [141] 1.25 0.26 (о) 12(о)

^N4 25 8 х 107 [142] 15.7 0.39 14

100 109 [143] 1.25 0.5 11.6

Таблица 1 — Нелинейный показатель преломления п2, минимальная ширина полосы моды, измеренная экспериментально [144], соответствующая константа взаимодействия у и параметр сжатия К, при которых может быть зарегистрирована генерация серповидного состояния для различных прозрачных материалов. Параметр у = Нш>0п2с/^Щ) (где ш0 — частота непрерывного света накачки на длине волны 1,5 мкм, п0 - линейный показатель преломления материала) для резонатора с объемом моды V = 8 х 10-9 см3. Обозначение «о» означает обычную поляризацию света, соответственно. Результаты варьируются от исследования к исследованию в пределах 20%. Показаны самые высокие достигнутые добротности. Не факт, что перечисленные значения совместимы с предлагаемым размером и формой резонатора.

ческих волокнах. Кроме того, было показано, что микрорезонаторы позволяют генерировать солитоны, то есть режим, который оказался полезным для генерации обычного сжатого света в волокнах.

3.2 Особенности взаимодействия квантовой точки с

неклассическим светом в режиме фазовой самомодуляции

В данном разделе исследуется возбуждение полупроводниковой квантовой точки неклассическим электромагнитным полем в нелинейном резонаторе и исследуется влияние эффекта фазовой самомодуляции за счет эффекта Кер-ра на процесс взаимодействия. Рассмотрены различные начальные состояния поля и степени нелинейности, а также проанализировано поведение возбуждения квантовой точки во времени. Кроме того, с помощью формализма функций

Вигнера [145; 146] и метода «квантового ковра» [147; 148] исследуются эволюция и особенности изменения состояния квантового поля при взаимодействии в условиях фазовой самомодуляции, обеспечивающие более глубокое понимание эволюции полевого состояния, детально анализируются деформация волнового пакета поля и его квадратурное сжатие.

Взаимодействие полупроводниковых систем и наноструктур с неклассическим полем является одной из перспективных и интересных проблем современной физики твердого тела и квантовой оптики и может привести к новым фундаментальным эффектам [149—151]. В то же время здесь могут быть разработаны различные практические приложения, основанные на этих эффектах. В эксперименте обычно используются твердотельные резонаторы, где можно наблюдать различные типы нелинейных эффектов [149], однако в теоретических рассмотрениях данные эффекты зачастую игнорируются. Важным аспектом является формирование негауссовых состояний поля, индуцированных нелинейностью среды резонатора [113; 152; 153]. Физический механизм этого можно понять, используя простую модель нелинейного осциллятора. В этом случае ангармонизм потенциальной ямы влияет на квантовое поле и приводит к возможному появлению негауссовости [154]. Экспериментально показано, что негауссовские состояния очень перспективны для разработки протоколов квантовой информации [155; 156]. По этой причине генерация данных состояний и их изучение является перспективной и актуальной проблемой.

Анализ керровской фазовой самомодуляции часто ограничивается рассмотрением только когерентных состояний света и в основном в пределе чрезвычайно малой нелинейности [157—160]. В то же время роль керровской нелинейности при взаимодействии света с квантовыми атомно-полупроводнико-выми системами представляется малоизученной.

3.2.1 Аналитическое решение методом квазиэнергий

Рассмотрим взаимодействие одиночной моды квантового поля с полупроводниковой квантовой точкой в твердотельном нелинейном резонаторе с использованием модели Джейнса-Каммингса [149; 161]. Предполагается, что сплошной нелинейный микрорезонатор аналогичен использовавшемуся в экспе-

рименте [149], основанному на вытравленных сухим способом микростолбчатых структурах и распределенных брэгговских отражателях, изготовленных из слоистых полупроводников. Такая конструкция обеспечивает качественный резонатор с хорошим удержанием фотонов и относительно долгим временем жизни, а также режим сильной связи с квантовыми точками, расположенныи в резонаторе в пучности моды пространственного фотонного поля.

Гамильтониан системы в приближении вращающейся волны имеет вид:

Н = Пшо^ + Пша^а _ П^(а^)2а2 + ПО(а+а_ + аа+). (3.79)

2 2

Здесь операторы а^,а обозначают операторы рождения/уничтожения фотонов, а матрицы Паули а описывают полупроводниковую квантовую точку. О — вакуумная частота Раби, характеризующая силу взаимодействия полупроводника с квантовым полем О = ц^е£0/л/2П, которая пропорциональна матричному элементу дипольного перехода ц.де двухуровневой системы и вакуумному полю £0 = у/4пПш/Ь3, сила которого зависит от объема резонатора Ь3. Третий член описывает вырожденный нелинейный процесс четырехволново-го смешения [157; 162] и отвечает за фазовую самомодуляцию поля. Параметр д характеризует эту керровскую нелинейность и пропорционален нелинейной восприимчивости среды третьего порядка. Обычно его значение намного меньше резонансной частоты перехода, тем не менее такие нелинейности могут быть важны, особенно в полупроводниковых средах. В то же время могут быть обеспечены разные соотношения между керровской нелинейностью и силой связи, приводящие к разным режимам нелинейной динамики взаимодействия.

Для нестационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом (3.79) было найдено аналитическое решение с учетом разложения по свободным собственным состояниям подсистем |п) и |д),|е) (для фотонной моды и квантовой точки соответственно):

00

ф = ^ д)1п)е_*^ + 6п|е)|п)е_*Ееп^ (3.80)

п=0

с энергиями, равными сумме соответствующих свободных собственных энергий: Едп = Ед + Пш(п + 1/2), Ееп = Ее + Пш(п + 1/2). (3.81)

Далее рассматривается резонансный случай. Найденные квазиэнергии одетых состояний для квантовой точки, связанной с квантованным полем, имеют вид:

Г, = - ^ ^ + ^. (3.82)

Если изначально квантовая точка приготовлена в основном состоянии, а поле находится в некоторой суперпозиции фоковских состояний Сп|п), то амплитуды вероятности в (3.80) находятся в виде

= 1(1 _ 9(п _ 1) )е_^ + 1(1 + д(п _ 1)),

Сп 2 2 & п 2 2 & п

^П^М = ^ (е_т* _ е_^) , (3.83)

Сп п

где используется обозначение 8п = у^2п + д2(п — 1)2/4.

Найденное решение позволяет получить всю информацию о динамике системы. Вероятность возбуждения квантовой точки Р(£) можно рассчитать следующим образом:

р и = £ | ь,т2. (3.84)

п=0

Для дальнейшего анализа рассмотрим квадратуру поля х = (а + а))/л/2. Используя временную эволюцию найденной волновой функции (3.80), волновой пакет для поля можно вычислить при помощи следующего выражения

|Ф(х, ¿)|2 = ^рп(х)рк (х) е1ш(к—п) (¿п<11 + Ъп Ь%), (3.85)

п,к

где Рп(х) = (х|п) - волновая функция осциллятора поля на п-м уровне, заданная в представлении квадратурных переменных. Дисперсию квадратуры поля можно рассчитать по формуле:

Уаг[х](г) = (^(¿)|х2|^(^)) — |(^(^)|х|^(^))|2 . (3.86)

Полученные решения являются общими и могут быть использованы для произвольных полевых состояний. В качестве частных случаев детально исследована динамика взаимодействия для когерентного света с малым средним числом фотонов и сжатого вакуумного света. Соответствующие состояния поля можно представить в виде разложения по фоковским состояниям [146]:

то и

2ю а

|а) = £е-М72^|fc), (3.87)

к=0

i то, ^ ^vm-

I R) = , tanh rf^—11 | 2k). (3.88)

1 ) ; 2кк\ 1 ) 1 ;

иапп г]к

к=0

Здесь когерентное состояние |а) характеризуется параметром а, определяющим среднее число фотонов такого состояния (п) = |а|2. Для сжатого вакуума заселены только четные фоковские состояния, г — параметр сжатия, а Я = ехр(г) — коэффициент сжатия, определяющий квадратурное сжатие этого состояния.

3.2.2 Динамика возбуждения квантовой точки

Найденная зависящая от времени вероятность возбуждения квантовой точки, полученная для различных степеней фазовой самомодуляции, представлена на рис. 3.5 для когерентного и сжатого состояния входного поля.

Vacuum Rabi cycles Qt/2n Vacuum Rabi cycles Qt/2n

Рисунок 3.5 — Зависящая от времени вероятность возбуждения квантовой точки, полученная при различных отношениях g/Q для когерентного состояния с а =4 (а) и состояния сжатого вакуума с R = 6 (б) входного поля.

На рисунке 3.5(а) представлены известные режимы коллапса и возрождения, наблюдающиеся в случае возбуждения полем в когерентном состоянии [5; 163]. Видно, что при большей нелинейности вероятность возбуждения подавляется по сравнению с процессом без нелинейности. Причину этого эффекта можно понять из аналитического решения (3.82,3.83), которое показывает, что

0

2

3