Динамика вихревых структур в двухслойной модели океана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.28, доктор физико-математических наук Соколовский, Михаил Абрамович

• Соколовский, Михаил Абрамович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Соколовский, Михаил Абрамович

1 Вводная

глава

1.1 Предисловие.

1.2 Математическое введение.

1.2.1 Вывод уравнений сохранения потенциального вихря

1.2.2 Формальное решение. Интегральные инварианты.

1.2.3 Метод контурной динамики.

1.2.4 Стационарное осесимметричное решение

1.2.5 Алгоритм исследования устойчивости осесимметричного двухслойного вихря.

1.2.6 Структура простейших типов внешнего поля.

1.2.7 Предельный случай дискретных вихрей

1.2.8 Фазовые портреты. Хореографии

1.3 Выводы

2 Динамика дискретных вихрей

2.1 Два вихря в двухслойной жидкости.

2.2 2А вихрей в двухслойной жидкости.

2.2.1 Случай произвольного А.

2.2.2 Случай А

2.2.2.1 Два хетона с нулевым суммарным импульсом и ненулевым моментом.

2.2.2.2 Два хетона с ненулевым суммарным импульсом и нулевым моментом.

2.2.2.3 Два хетона с нулевыми суммарными импульсом и моментом.

2.2.3 Вихревые структуры: теплый хетон - холодный хетон, два антихе-тона, две "горизонтальные" пары.

2.3 А + 1 вихрей в двухслойной жидкости.

2.3.1 Вихревые структуры с нулевым суммарным импульсом при А > 2.

2.3.2 Случай ненулевого суммарного импульса при А = 2.

2.3.2.1 Фазовые портреты в трилинеарных координатах.

2.3.2.2 Анализ стационарных состояний.

2.3.2.3 Классификация движений триангулярных вихревых структур: траектории абсолютного движения, хореографии.

2.4 Выводы

3 Динамика распределенных вихрей

3.1 Исследование линейной устойчивости двухслойного вихря.

3.1.1 Вихрь с вертикальной осью: два круговых вихревых пятна.

3.1.1.1 Хетон с вертикальной осью.

3.1.1.2 "Баллистический" закон распространения границы вихревой области: приложение к глубокой конвекции в океане.

3.1.1.3 Аналогия с Л-симметричной структурой дискретных хето

3.1.1.4 Некомпенсированный двухслойный вихрь.

3.1.2 Кольцевой двухслойный вихрь: четыре круговых пятна.

3.1.2.1 Об устойчивости рингов.:

3.1.2.2 Моделирование трансформации океанского ринга в вихревые структуры меньших масштабов.

3.2 Воздействие конечных возмущений.

3.2.1 Хетон с наклонной осью: два круговых пятна.

3.2.2 Хетон с вертикальной осью: два эллиптических пятна.

3.3 Взаимодействие двух хетонов

3.3.1 Два хетона с вертикальными осями (ci = С2 = d = 0).

3.3.2 Хетон с вертикальной осью и хетон с наклонной осью (с\ — d =

0, с2 > 0).

3.3.3 Два хетона с наклонными осями, случай нулевого суммарного момента (d = 0).

3.3.4 Два хетона с наклонными осями, случай ненулевого суммарного момента (d > 0).

3.3.5 Взаимодействие теплого и холодного хетонов

3.4 Замечание о роли бароклинных вихрей в формировании термохалинной структуры океана.

3.5 Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика вихревых структур в двухслойной модели океана»

Теория вихревых движений идеальной несжимаемой жидкости [7, 31, 44, 49, 55, 80], восходящая к классическим работам Гельмгольца, Гребли, Кирхгофа, Рэнкина, Грин-хила, Тейлора, Пуанкаре (см. [4, 66, 96]), в значительной мере возникла из потребности объяснить свойства атмосферных циклонов и антициклонов. Действительно, простейшие двумерные гидродинамические модели дискретных вихрей дают некоторое представление о характере взаимодействий между элементарными вихрями и о структуре индуцируемого ими поля скоростей. Однако многие эффекты, присущие движениям (в частности, - вихревым) в атмосфере или океане, невозможно объяснить без учета факторов вращения среды как целого и неоднородности (стратификации) поля плотности, сформированной под действием силы тяжести. Решение ряда актуальных гидродинамических проблем планетарного характера стало возможным с развитием посвященной изучению этого класса задач геофизической гидродинамики (ГГ) [28, 63, 273] - области гидромеханики, сложившейся за последние три десятилетия в качестве ее самостоятельного раздела, выявлению областей параметров течений, доминируемых вихревыми движениями [15, 121, 131, 184], и обобщению методов гамильтоновой динамики на описание геофизических процессов [4, 28, 273]. Так, в частности, в рамках квазигеострофи-ческого приближения, обоснованного для быстро вращающихся устойчиво стратифици-' рованных жидкостей [28, 63], Гряником с соавторами последовательно были построены теории дискретных вихрей применительно к двухслойной жидкости [12], слоистой среде с произвольным количеством однородных по плотности слоев [17, 18, 19], а также' для случая непрерывно стратифицированной жидкости [13, 14]. Козловым и др. [41] развит метод контурной динамики (МКД) для описания вихрей конечного размера в двухслойной жидкости, в [76, 77, 276] дано его обобщение на случай трех слоев, а в [34] для непрерывной стратификации. Эти работы послужили основой для последующих исследований, результаты которых частично отражены ниже.

Диссертационная работа главным образом посвящена анализу динамики как дискретных, так и распределенных вихрей с нулевой суммарной интенсивностью - хето-нов в двухслойной среде (с постоянными значениями плотности в слоях), поскольку известно [28, 63], что двухслойная модель сохраняет основные черты крупномасштабной (мезомасштабной) динамики атмосферы и океана. Бароклинные вихри, в отличие от классических (баротропных) вихрей в идеальной жидкости, обладают запасом не только кинетической, но и доступной потенциальной (тепловой) энергии. Как показано в [12], бароклинная природа вихрей кардинально изменяет как структуру индуцируемых ими полей скорости, так и характер вихревого взаимодействия. При условии равенства нулю суммарной интенсивности структуры из двух вихрей обладают важным свойством самодвижения (образуется двухслойная пара, движущаяся без изменения формы и интенсивности ¡12]). В частности, каждый из двух точечных вихрей, сосредоточенных в разных слоях двухслойной жидкости и имеющих равновеликие интенсивности противоположных знаков, индуцирует прямолинейное и равномерное движение своего партнера. а)

1Ъ=1

Ь)

Рис. 1: Схематическое представление распределенного теплого хетона с вертикальной осью - (а) и с наклонной осыо - (Ь). и П2 - потенциальные завихренности для верхнего и нижнего слоев соответственно

Понятие хетпонбыпо введено Хоггом и Стоммелом [180], чтобы подчеркнуть способность бароклииной вихревой пары переносить тепло. "Хетон (НеЛоп)" - производное от "heaf, т. е. теплота, тепло. Действительно, при выполнении традиционных в ГГ геострофического и гидростатического приближений |28, 63] любой вихрь верхнего (нижнего) слоя, имеющий отрицательную (положительную) интенсивность, индуцирует локальное искривление поверхности раздела между слоями в виде впадины, и тогда говорят о "теплом хетоне" Смена знаков завихренности вихрей на противоположные влечет смену знака кривизны поверхности раздела, что соответствует "холодному хетону". Поскольку в условиях устойчивой стратификации нижний слой должен быть более плотным и более холодным, то интегральное количество тепла в области, содержащей вихри указанного вида, очевидно, будет аномальным по отношению к последнему в любой другой равновеликой области. Поэтому ясно, что именно движение хетонов, представляющих собой a) Freshening source (b) Brine source

Рис. 2: Схематическое представление механизмов образования теплого - (а) и холодного - (Ь) хетона (согласно S.-Y. Chao к Р.-Т. Sliaw (12G))

Рис. 3: Схема формирования хетона с наклонной осью (согласно Y. Morel & J. МсWilliams |238[). Здесь аномалия потенциальной завихренности обозначена через AQ

Рис. 4: Пространственная структура хетона с наклонной осью, полученная на основе прямых инструментальных наблюдений в Антарктическом Циркумполярном Течении (V. G. Savchenko, W. J, Emery, О. A. Vlatlimirov [269]) комбинации вихрей противоположных вращений, в большей степени, чем перемещение каких-либо других вихревых структур, приводит к перераспределению тепла (тепла и солей - в океане). Понятие "хетон" используется и для вихрей с конечными горизонтальными размерами (вихревых пятен - областей с постоянными значениями потенциальной завихренности П1 и Пг в верхнем и нижнем слоях соответственно). Если центры вихревых пятен разных слоев совпадают, говорят, что хетон имеет "вертикальную ось", если разнесены via некоторое расстояние - "наклонную ось" (рисунок 1). Возможные механизмы формирования теплого (холодного) хетона с вертикальной осью подо льдом в океане за счет таяния (намораживания) льда представлены на рисунке 2. Схема образования хетона с наклонной осью за счет механизма бароклинной неустойчивости фронта аномалии потенциального вихря (PVA - Potential Vorticity Anomaly - в терминологии авторов [238]) дана на рисунке 3. Вихревая структура, полученная на основе инструментальных наблюдений к югу от Австралии вдоль 132° восточной долготы в Антарктическом Циркумполярном Течении в январе-марте 1977 года на научно-исследовательском судне "Профессор Зубов" и представляющая собой хетон с наклонной осью, приведена на рисунке 4.

Хетоны генерируются в лабораторных экспериментах источниками и стоками массы [166,167], механическим локальным закручиванием жидкости верхнего слоя [162, 287], а также тепловыми источниками [176]. Такие вихри естественно возникают при развитии неустойчивости бароклинных течений, связанных с феноменом глубокой конвекции в океане [99, 6, 20, 25, 116, 137, 138, 142, 143, 144, 145, 168, 169, 204, 205, 206, 211, 221, 224, 232, 244, 282, 302, 301, 304]. Хетонная идеализация применяется также при анализе динамики тропических циклонов и ураганов в атмосфере [60, 235, 81, 153], поверхностных температурных аномалий [126, 127, 128, 129], средиземноморских внутритермоклинных линз (meddy) [182] и неустойчивости пограничных течений в океане [274].

Указанные обстоятельства позволяют полагать, что тема диссертации актуальна как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Целью работы является построение математической модели геострофических вихревых движений в двухслойной жидкости. Основные этапы работы:

• вывод уравнений движения границ вихревых пятеп в рамках традиционной двухслойной квазигеострофической модели;

• обобщение на случай двухслойной вращающейся жидкости метода контурной динамики (МКД);

• создание алгоритма линейного анализа устойчивости осесимметричных вихревых структур;

• применение этого алгоритма для исследования устойчивости осесимметричных вихрей хетонного типа;

• исследование нелинейного этапа развития неустойчивости вихрей, и анализ различных типов взаимодействия нескольких хетонов с помощью МКД;

• постановка задачи для предельного случая системы дискретных (сингулярных) вихрей;

• качественное исследование соответствующей динамической системы для широкого класса вихревых структур;

• исследование свойств абсолютного и относительного движения дискретных вихрей;

• сопоставление моделей распределенных и дискретных вихрей;

• исследование механизмов процессов глубокой конвекции, смешения водных масс и формирования новых квазистационарных вихревых структур океане.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использованы современные методы математической физики, а также авторская численная двухслойная модификация МКД.

Достоверность полученных результатов и выводов. Основные результаты работы получены аналитическими методами теории дифференциальных уравнений. Достоверность результатов определяется корректностью постановки задачи и эффективностью используемых методов. Часть результатов представлена в аналитической форме, что допускает непосредственную проверку. Результаты, полученные численно с помощью МКД, многократно тестировались на решениях, полученных другими вычислительными методами, а также, при возможности, сравнивались с аналитическими расчетами, лабораторными и натурными измерениями, что также убеждает в их достоверности.

Научная и практическая значимость работы Диссертационная работа носит теоретический характер и относится к области фундаментальных исследований. Она выполнялась в рамках проектов РФФИ (95-05-14972, 96-05-66265, 98-05-65446, 01-0564646, 04-05-64367, 07-05-00452, 07-05-92210-НЦНИЛ, 08-05-00061) и ШТАБ (94-3614, 04-80-7297). Практическую значимость в диссертации представляют результаты моделирования нелинейного этапа неустойчивости бароклинных вихрей, которые позволяют: (а) дать обоснование "баллистическому" закону распространения фронта температурных аномалий при глубокой конвекции; (б) объяснить механизмы формирования грибовидных вихревых структур и мелкомасштабных вихрей (ринглетов) на периферии океанских рингов; (в) указать роль вихрей в процессе перемешивания водных масс в океане. Прикладное значение работы определяется еще и тем, что полученные результаты создают основу для создания более общих гидродинамических моделей.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из трех глав, заключения и списка литературы, содержит 229 страниц (включая 149 рисунков, 3 таблицы и список литературы из 313 наименований).

Заключение диссертации по теме «Океанология», Соколовский, Михаил Абрамович

3.5 Выводы

Отметим главные результаты, полученные для распределенных вихрей:

1. Проведено исследование устойчивости двухслойных осесимметричных вихревых структур относительно малых возмущений их формы. Изучена роль геометрических характеристик вихря и стратификации среды на свойства устойчивости. Указана возможность реализации так называемой "каскадной" неустойчивости при относительно слабой стратификации.

2. С помощью метода контурной динамики изучены особенности нелинейного этапа эволюции неустойчивых вихрей. В частности, установлен асимптотический "баллистический" закон распространения границы пятна тепловой аномалии, а также дано объяснение механизма формирования грибовидных структур и системы периферийный мелкомасштабных вихрей - ринглетов.

3. Установлена качественная аналогия между хетоном с конечным ядром и Л-сим-метричной структурой дискретных хетонов.

4. Численно исследована устойчивость двухслойных вихрей при воздействии конечных возмущений (хетоны с "наклонной осью" и квази-эллиптические хетоны). Проведена классификация режимов, к которым эволюционируют неустойчивые вихревые структуры.

5. Изучены закономерности взаимодействия двух хетонов для различных вариантов начального расположения вихревых пятен. Построены диаграммы возможных результирующих состояний в зависимости от степени стратификации и кинематических параметров. Найдены области существования для новых стационарных состояний - как устойчивых, так и неустойчивых, а также финитного и инфинит-ного типов. В частности, дано объяснение механизма формирования триполярных бароклинных вихревых структур А- и Z-образной формы.

6. Получены критерии слияния и разрушения бароклинных вихрей, в том числе их возможного повторного слияния с последующим развалом. Предложен механизм процесса перемешивания водных масс в океане.

4 Заключение

Полученные в работе результаты свидетельствует о содержательности двухслойной ква-зигеострофической модели, позволяющей в общих чертах исследовать роль стратификации в динамике вихрей синоптического масштаба.

Сформулируем основные результаты, выносимые на защиту:

1. В рамках разработанной автором модификации метода контурной динамики построена математическая модель двухслойных вихревых пятен на вращающейся плоскости, показавшая свою эффективность в задачах исследования нелинейной эволюции вихрей и фронтов в океане.

2. На основе исследования устойчивости двухслойных осесимметричных вихревых структур установлена фундаментальная роль радиуса деформации Россби как показателя верхней границы масштаба устойчивых вихрей. Обнаружен новый тип так называемой "каскадной" неустойчивости для вихрей с радиусом, существенно превышающих радиус Россби. Дана классификация режимов (по геометрическим характеристикам и параметру стратификации), к которым эволюционируют неустойчивые вихревые структуры.

3. Установлен асимптотически линейный по времени ("баллистический") закон распространения границы пятна температурной аномалии. Указана необходимость использования этого закона при параметризации тепловых процессов в численных моделях общей циркуляции атмосферы и океана.

4. На примерах взаимодействия двух хетонов выявлена определяющая роль вихрей в процессе горизонтального перемешивания водных масс в океане. Дано объяснение механизмов формирования грибовидных структур и системы периферийных ринглетов за счет нелинейного развития сдвиговой и бароклинной неустойчивости вихря. Предложен механизм образования двухслойных триполярных структур как результат встречного нецентрального столкновения хетонов.

5. На основе качественного анализа различных дискретных вихревых структур получены несколько классов новых точных решений динамики трех и четырех вихрей в двухслойной вращающейся жидкости. Установлена аналогия между осесиммет-ричным ансамблем дискретных вихрей и вихревым пятном с конечным ядром. Показано, что в случае сильной стратификации среды теория дискретных вихрей может удовлетворительно описывать траектории центров реальных вихрей.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Соколовский, Михаил Абрамович, 2009 год

1. Борд Е. Г. О нелинейных возмущениях правильной полигональной системы вихрей // Нелинейная динамика. 2006, т. 2, № 3, с. 353-360.

2. Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С. Абсолютные и относительные хореографии в задачах о движении точечных вихрей на плоскости // Докл. РАН. 2005, т. 400, № 4, с. 457-462.

3. Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С. Переход к хаосу в динамике четырех вихрей на плоскости // Докл. РАН. 2006, т. 408, № 1, с. 49-54.

4. Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильто-новой механике // Ижевск. Изд. дом Удмуртский университет. 1999, 464 с.

5. Борисов А. В., Мамаев И. С. Математические методы динамики вихревых структур // Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. Москва-Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2003, с. 17-178.

6. Бышев В. И. О некоторых особенностях внутритермоклинной линзы на субполярном фронте в Северной Атлантике // Океанология. 1992, т. 32, вып. 4, с. 1012-1018.

7. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости // Пер. с англ. М. Мир. 1973. 758 с.

8. Ван-Дайк М. Альбом течений о/сидкости и газа // Пер. с англ. М. Мир. 1986. 184 с.

9. Воропаев С. И. Грибовидные течения: лабораторный эксперимент, теория, численный расчет. Когерентные структуры и самоорганизация океанических движений II Москва. Наука, 1992, с. 177-189.

10. Гинзбург А. И., Федоров К. Н. Грибовидные течения в океане (по данным спутниковых изображений) // Исследование Земли из космоса. 1984, № 3, с. 18-26.

11. Гладышев С. В. Особенности эволюции теплых антициклонических вихрей Куро-сио // Эксперимент "Мегаполигон". Сб. научных трудов. Ин-т океанологии РАН. Москва. Наука. 1992, с. 136-140.

12. Гряник В. М. Динамика сингулярных геострофических вихрей в двухуровенной модели атмосферы (океана) // Изв. АН СССР. ФАО. 1983, т. 19, № 3, с. 227-240.

13. Гряник В. М. Динамика локализованных вихревых возмущений "вихревых зарядов" в бароклинной жидкости // Изв. АН СССР. ФАО. 1983, т. 19, № 5, с. 467-475.

14. Гряник В. М. Локализованные вихревые возмущения "вихревые заряды" и "вихревые нити" в бароклинной дифференциально вращающейся жидкости // Изв. АН СССР. ФАО. 1988, т. 24, № 12, с. 1251-1261.

15. Гряник В. М. Теоретические модели динамики локализованных квазигеострофи-ческих вихрей в атмосфере и океане // Исследования вихревой динамики и энергетики атмосферы и проблемы климата. Л. Гидрометеоиздат. 1990, с. 31-60.

16. Гряник В. М., Соколовский М. А., Веррон Ж. Динамика бароклинных вихрей с нулевой суммарной интенсивностью (хетонов) // Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. Москва-Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2003, с. 547-622.

17. Гряник В. М., Тевс М. В. Динамика сингулярных геострофических вихрей в И-слойной модели атмосферы (океана) // Изв. АН СССР. ФАО. 1989, т 25, № 3, с. 243-256.

18. Гряник В. М., Тевс М. В. Динамика сингулярных геострофических вихрей вблизи критических точек течений в Ы-слойной модели атмосферы (океана) // Изв. АН СССР. ФАО. 1991, т 27, № 7, с. 733-745.

19. Гряник В. М., Тевс М. В. Исследование динамики и энергетики взаимодействия хетонов в линейно и экспоненциально стратифицированных средах // Изв. АН. ФАО. 1997, т 33, № 4, с. 419-433.

20. Дикарев С. Н. Глубокая конвекция процесс формирования глубинных вод в открытом море // Когерентные структуры и самоорганизация океанических движений. Москва. Наука, 1992, с. 145-155.

21. Должанский Ф. В., Крымов В. А., Манин Д. Ю. Устойчивость и вихревые структуры квазидвумерных сдвиговых течений // УФН. 1990, т. 160, вып. 7, с. 1-47.

22. Жмур В. В., Щепеткин А. Ф. Взаимодействие между двумя квазигеострофиче-скими бароклинными вихрями: тенденция к сближению и слиянию // Изв. АН СССР. ФАО. 1992, т 28, № 5, с. 538-551.

23. Журбас В. М., Ох И. С., Пыжевич М. Л. Карты коэффициента горизонтального перемешивания и лагранжевых масштабов в Тихом океане, полученные по данным дрифтеров // Океанология. 2003, т. 43, № 5, с. 660-670.

24. Зацепин А. Г., Костяной А. Г. Лабораторные исследования неустойчивости баро-клинных вихрей и фронтов // Когерентные структуры и самоорганизация океанических движений. Москва. Наука, 1992, с. 163-177.

25. Зеленько А. А., Реснянский Ю. Д. Глубокая конвекция в модели общей циркуляции океана: изменчивость на суточном, сезонном и межгодовом масштабах // Океанология. 2007, т. 47, № 2, с. 211-224.

26. Зиглин С. JI. Неинтегрируемость задачи о движении четырех точечных вихрей // Докл. АН СССР. 1980, т. 250, № 6, с. 1296-1300.

27. Ибраев Р. А., Кукса В.И., Скирта А. Ю. Моделирование переноса пассивной примеси вихревыми течениями восточной части Черного моря // Океанология. 2000, т. 40, № 1, с. 22-29.

28. Каменкович В. М., Кошляков М. Н., Монин А. С. Синоптические вихри в океане // Л. Гидрометеоиздат. 1987, 512 с.

29. Кизнер 3. И. Солитоны Россби с осесимметричными бароклинными модами // Докл. АН СССР. 1984, т. 275, № 6, с. 1495-1498.

30. Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике // М. АН СССР, 1962.

31. Козлов В. В. Общая теория вихрей // Ижевск. Изд. дом Удмуртский университет. 1998, 238 с.

32. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамилътоновой механике // Издательство Удмуртского университета. 1995, 430 с.

33. Козлов В. Ф. Метод контурной динамики в модельных задачах о топографическом циклогенезе в океане // Изв. АН СССР. ФАО. 1983, т. 19, № 8, с. 845-854.

34. Козлов В. Ф. Построение численной модели эволюции геострофических вихрей в бароклинной жидкости на основе метода контурной динамики // Изв. АН СССР. ФАО. 1985, т. 21, № 2, с. 211-213.

35. Козлов В. Ф. Модель двухмерного вихревого движения жидкости с механизмом вовлечения // Изв. РАН. МЖГ. 1992, № 6, с. 49-56.

36. Козлов В. Ф. Нелинейная модель диссипации вихря Кирхгофа // Океанология. 1992, т. 32, вып. 4, с. 629-634.

37. Козлов В. Ф. Модель взаимодействия эллиптических вихревых пятен с учетом эффектов вовлечения // Изв. РАН. ФАО. 1993, т. 29,№ 1, с. 98-105.

38. Козлов В. Ф. Геофизическая гидродинамика вихревых пятен // Морской гидрофизический журнал. 1994, № 1, с. 26-35.

39. Козлов В. Ф., Макаров В. Г. Моделирование эволюции неустойчивых геострофических вихрей в баротропном океане // Океанология. 1984, т. 24, вып. 5, с. 737743.

40. Козлов В. Ф., Макаров В. Г. Моделирование неустойчивости осесимметричных вихревых шнуров с помощью метода контурной динамики // Изв. АН СССР. МЖГ. 1985, № 1, с. 33-39.

41. Козлов В. Ф., Макаров В. Г., Соколовский М. А. Численная модель бароклин-ной неустойчивости осесимметричных вихрей в двухслойном океане // Изв. АН СССР. ФАО. 1986, т. 22, № 8, с. 868-874.

42. Козлов В. Ф., Ярощук Е. В. Численное моделирование структурных переходов в лоском сдвиговом слое // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986, № 5, с. 43-46.

43. Коновалюк Т. П. Классификация взаимодействия вихревой пары с точечным вихрем в идеальной жидкости // Гидромеханика. 1990, вып. 62, с. 64-71.

44. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидродинамика // Ч. 1. М. Физматгиз. 1963, 400 с.

45. Кузьмина Н. П., Журбас В. М., Руделс В., Стипа Т., Пака В. Т., Муравьев С. С. О роли вихрей и интрузий в процессах обмена в Балтийском халоклине // Океанология. 2008, т. 48, № 2, с. 165-175.

46. Куракин Л. Г., Юдович В. И. О нелинейной устойчивости стационартюго вращения правильного вихревого многоугольника // Докл. РАН. 2002, т. 384, № 4, с. 476-482.

47. Куракин Л. Г., Юдович В. И. Устойчивость стационарного вращения правильного вихревого многоугольника // Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. Москва-Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2003, с. 238-299.

48. Ламб Г. Гидродинамика // М.-Л. Гостехиздат. 1947, 927 с.

49. Ларичев В. Д., Резник Г. М. О двумерных уединенных волнах Россби // Докл. АН СССР. 1976, т. 231, № 5, с. 1077-1079.

50. Ларичев В. Д., Резник Г. М. О столкновении двумерных уединенных волн Россби // Океанология. 1983, т. 23, вып. 5, с. 725-734.

51. Макаров В. Г. Комплекс программ для исследования методом контурной динамики плоских вихревых течений идеальной жидкости // Метод контурной динамики в океанологических исследованиях. Владивосток. ДВО АН СССР. 1990, с. 28-39.

52. Макаров В. Г. Вычислительный алгоритм метода контурной динамики с изменяемой топологией исследуемых областей // Моделирование в механике. 1991, т. 5(22), № 4, с. 83-95.

53. Макаров В. Г. Численное моделирование формирования триполярных вихрей методом контурной динамики // Изв. АН. ФАО. 1996, т. 32, № 1, с. 46-55.

54. Мелешко В. В., Константинов М. Ю. Динамика вихревых структур // Киев. Наукова Думка. 1993, 280 с.

55. Мелешко В. В., Константинов М. Ю. Столкновение двух пар коллинеарных точечных вихрей в безграничной идеальной жидкости // Докл. АН УССР. 1988, № 4, с. 33-37.

56. Мирабель А. П., Монин А. С. О неустойчивости океанских круговоротов // Докл. АН СССР. 1988, т. 303, с. 976-979.

57. Мирабель А. П., Монин А. С. О неустойчивости круговорота в непрерывно стратифицированном океане // Докл. АН СССР. 1988, т. 309, с. 716-720.

58. Мирабель А. П., Монин А. С. О неустойчивости свердруповского круговорота в трехслойном и непрерывно стратифицированном океане // Изв. АН СССР. ФАО. 1990, т. 26, № 1, с. 63-71.

59. Мохов И. И., Гряник В. М., Доронина Т. Н., Лагун В. Е., Мохов О. И., Наумов Э. П., Петухов В. К., Тевс М. В., Хайруллин Р. Р. Вихревая активность в атмосфере: тенденции изменения // Препринт № 2. М. Институт физики атмосферы РАН. 1993, 97 с.

60. Новиков Е. А. Динамика и статистика системы вихрей // ЖЭТФ. 1975, т. 68, вып. 5(11), с. 1868-1882.

61. Новиков Е. А., Седов Ю. Б. Стохастические свойства системы четырех вихрей // ЖЭТФ. 1978, т. 75, вып. 3(9), с. 868-876.

62. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика // Пер. с англ. М. Мир. 1982, т. 1,2. 811 с.

63. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды // М. Наука. 1981, 800 с.

64. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции // М. Наука. 1983, 750 с.

65. Пуанкаре А. Теория вихрей // Пер. с франц. Москва-Ижевск. РХД. 2000, 160 с.

66. Романов А. С. Диполъное приближение в динамике трех вихрей // Теоретическая и математическая физика. 2007, т. 150, № 3, с. 409-416.

67. Селиванова Е. Н. Топология задачи о трехточечных вихрях // Труды МИ РАН. 1994, т. 205, с. 141-149.

68. Симо К. Новые семейства решений задачи N тел // Симо К., Смейл С., Шен-сине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2002, с. 233-251.

69. Симо К. Динамические свойства восьмеркообразных решений задачи трех тел // Симо К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2002, с. 252-279.

70. Соколовский М. А. Численное моделирование эволюции вихревых структур в двухслойном океане на основе метода контурной динамики // Препринт, ТОЙ ДВНЦ АН СССР, Владивосток, 1986, 19 с.

71. Соколовский М. А. Численное моделирование нелинейной неустойчивости осе-симметричных двухслойных вихрей // Изв. АН СССР. ФАО. 1988, т. 24, № 7, с. 735-743.

72. Соколовский М. А. О встречном столкновении распределенных хетонов // Докл. АН СССР. 1989, т. 306, № 1, с. 198-202.

73. Соколовский М. А. Численное моделирование взаимодействия распределенных хетонов при встречном столкновении // Метод контурной динамики в океанологических исследованиях. Владивосток. ДВО АН СССР. 1990, с. 40-57.

74. Соколовский М. А. О взаимодействии распределенных хетонов // Препринт, ТОЙ ДВО АН СССР, Владивосток, 1990, 19 с.

75. Соколовский М. А. Моделирование трехслойных вихревых движений в океане методом контурной динамики // Изв. АН СССР. ФАО. 1991, т. 27, № 5, с. 550562.

76. Соколовский М. А. Устойчивость осесимметричного трехслойного вихря // Изв. АН СССР. ФАО. 1997, т. 33, № 1, 16-26.

77. Соколовский М. А., Веррон Ж. Новые стационарные решения задачи о трех вихрях в двухслойной жидкости // Докл. АН. 2002, т. 383, N 1, с. 61-66.

78. Соколовский М. А., Веррон Ж. Некоторые свойства движений А + 1 вихрей в двухслойной вращающейся жидкости // Нелинейная динамика. 2006, т. 2, № 1, с. 27-54.

79. Сэффмэн Ф. Дж. Динамика вихрей // Пер. с англ. М. Научный мир. 2000, 376 с.

80. Тевс М. В. Кинематическое исследование вертикальной структуры тропических циклонов на основе И-уровенной квазигеострофической модели атмосферы Ц Изв. АН. ФАО. 1999, т. 35, № 4, с. 481-486.

81. Ткаченко В. М. О вихревых решетках // ЖЭТФ. 1965, т. 49, вып. 6(12), с. 18751883.

82. Ткаченко В. М. Устойчивость вихревых решеток // ЖЭТФ. 1966, т. 50, вып. 6, с. 1573-1585.

83. Федоров К. Н., Гинзбург А. И. Грибовидные течения (вихревые диполи) одна из наиболее распространенных форм когерентных движений в океане // Когерентные структуры и самоорганизация океанических движений. Москва. Наука, 1992, с. 12-20.

84. Хайрер Э., Нерсетт С, Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи // М. Мир. 1990, 512 с.

85. Чаплыгин С. А. О пульсирующем цилиндрическом вихре // Собрание сочинений. М.-Л. ГИТТЛ. 1948, с. 138-154.

86. Afanasyev Ya. D., Peltier W. D. Three-dimensional instability of anticyclonic swirling flow in rotating fluid: Laboratory experiments and related theoretical predictions // Phys. Fluids. 1998, v. 10, № 12, p. 3194-3202.

87. Amoretti M., Dukin D., Fajans J., Pozzoli R., Rome M. Asymmetric vortex merger: Experiments and simulations // Phys. Plasmas. 2001, v. 8, № 9, p. 3865-3868.

88. Aref H. Motion of three vortices // Phys. Fluids. 1979, v. 22, № 3, p. 393-400.

89. Aref H. Point vortex motions with a center of symmetry // Phys. Fluids. 1982, v. 25, p. 2183-2187.

90. Aref H. Integrable, chaos and turbulent vortex motion in two-dimensional flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 1983, v. 15, p. 345-389.

91. Aref H. Three-vortex motion with zero total circulation: Addendum // J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). 1989, v. 40, p. 495-500.

92. Aref H., Jones S. W., Mofina S., Zawadski I. Vortices, kinematics and chaos // Physica D. 1989, v. 37, № 1-3, p. 423-440.

93. Aref H., Pomphrey N. Integrable and chaotic motions of four vortices. I. The case of identical vortices // Proc. R. Soc. London. 1982, v. A380, № 1779, p. 359-387.

94. Aref H., Rott N., Thomann H. Grobli's solution of the three-vortex problem // Annu. Rev. Fluid Mech. 1992, v. 24, p. 1-20.

95. Barbosa J. P., Metais O. Large-eddy simulations of deep-ocean convection: analysis of the vorticity dynamics // J. Turbulence. 2000, v. 1, 009, p. 1-31.

96. Basdevant C., Couder Y., Sadourny R. Vortices and vortex-coupl'es in two-dimensional turbulence, or long-lived couples are Batchelor's couples // Lect. Notes Phys. 1984, v. 230, p. 327-346.

97. Bauer L., Morikawa G. K. Stability of rectilinear geostrophic vortices in stationary equilibrium // Phys. Fluids. 1976, v. 19, № 7, p. 929-942.

98. Beckers M., Clercx H. J. H., van Heijsts G. J. F., Verzicco R. Evolution and instability of monopolar vortices in a stratified fluid // Phys. Fluids. 2002, v. 15, № 4, p. 10331045.

99. Beckers M., van Heijst G. J. F. The observation of a triangular vortex in a rotating fluid // Fluid Dyn. Res. 1998, v. 22, № 5, p. 265-279.

100. Benilov E. S. The dynamics of a near-surface vortex in a two-layer ocean on the betaplane 11 J. Fluid Mech. 2000, v. 420, p. 277-299.

101. Benilov E. S. Baroclinic instability of two-layer flows over one-dimensional bottom topography // J. Phys. Oceanogr. 2001, v. 31, № 8, p. 2019-2025.

102. Benilov E. S. Instability of quasi-geostrophic vortices in a two-layer ocean with a thin upper layer // J. Fluid Mech. 2003, v. 475, p. 303-331.

103. Benilov E. S. Stability of a two-layer quasigeostrophic vortex over axisymmetric localized topography // J. Phys. Oceanogr. 2005, v. 35, № 1, p. 2019-2025.

104. Benilov E. S. On the stability of oceanic vortices: A solution to the problem? // Dyn. Atmos. Oceans. 2005, v. 40, № 3, p. 133-149.

105. Blackmore D., Ting L., Knio O. Studies of perturbed three vortex dynamics / / J. Math. Phys. 2007, v. 48, № 6, p. 065402-1-065402-30.

106. Borisov A. V., Pavlov A. E. Dynamics and statics of vortices on a plane and a sphere. -IH Regular & Chaotic Dyn. 1998, v. 3, № 1, p. 28-39.

107. Borisov A. V., Lebedev V. G. Dynamics of three vortices on a plane and a sphere.1.. General compact case // Regular k Chaotic Dyn. 1998, v. 3, № 2, p. 99-114.

108. Borisov A. V., Lebedev V. G. Dynamics of three vortices on a plane and a sphere.

109. I. Noncompact case. Problem of collapse and scattering // Regular &: Chaotic Dyn. 1998, v. 3, № 4, p. 74-86.

110. Borisov A. V., Bolsinov A. V., Mamaev I. S. Lie algebras in vortex dynamics and celestial mechanics. IV // Regular &: Chaotic Dyn. 1999, v. 4, № 1, p. 23-50.

111. Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A. Absolute and relative choreographies in the problem of point vortices moving on a plane // Regular & Chaotic Dyn. 2004, v. 9, № 2, p. 101-111.

112. Boyland P., Stremler M., Aref H. Topological fluid mechanics of point vortex motions // Physica D. 2003, v. 175, № 1-2, p. 69-95.

113. Brickman D. Heat flux partitioning in deep-ocean convection // J. Phys. Oceanogr. 1995, v. 25, № 11, part I, p. 2609-2623.

114. Cabral H. E., Schmidt D. S. Stability of relative equilibria in the problem on N-i-1 vortices 11 SIAM J. Math. Anal. 2000, v. 31, № 2, p. 231-250.

115. Carnevale G. F., Kloosterziel R. C. Emergence and evolution of triangular vortices // J. Fluid Mech. 1994, v. 259, p. 305-331.

116. Carnevale G. F., Velasco Fuentes O. U., Orlandi P. Inviscid dipole-vortex rebound from a wall or coast // J. Fluid Mech. 1997, v. 351, p. 75-103.

117. Carton X. J. On the merger of shielded vortices // Europhys. Lett. 1992, v. 18, JY® 8, p. 697-703.

118. Carton X. Hydrodynamical modelling of oceanic vortices // Surveys in Geophys. 2001, v. 22, № 3, p. 179-263.

119. Carton X. J., Flierl G. R., Polvani L. M. The generation of tripoles from unstable axisymmetric isolated vortex structures // Europhys. Lett. 1989, v. 9, № 4, p. 339344.

120. Carton X. J., Legras B. The life-cycle of tripoles in two-dimensional incompressible flows // J. Fluid Mech. 1994, v. 267, p. 51-82.

121. Cerretelli C., Williamson C. H. K. The physical mechanism for vortex merging // J. Fluid Mech. 2003, v. 475, p. 41-77.

122. Chao S.-Y., Shaw P.-T. Close interactions between two pairs of heton-like vortices under sea ice // J. Geophys. Res. 1999, v. 104, № C10, p. 23591-23605.

123. Chao S.-Y., Shaw P.-T. Fission of heton-like vortices under sea ice //J. Oceanogr. 1999, v. 55, № 1, p. 65-78.

124. Chao S.-Y., Shaw P.-T. Slope-enhanced fission of salty hetons undersea ice / / J. Phys. Oceanogr. 2000, v. 30, № 11, p. 2866-2882.

125. Chao S.-Y., Shaw P.-T. Heton shedding from submarine-canyon plumes in an Arctic boundary current system: Sensitivity to the undercurrent //J. Phys. Oceanogr. 2003, v. 33,№ 9, p. 2032-2044.

126. Chaplygin S. A.: On a pulsating cylindrical vortex // Trans. Phys. Sect. Imperial Moscow Soc. Frends of Nat. Sci. 1899, v. 10, p. 13-22.

127. Charney J. G. Numerical experiments in atmospheric hydrodynamics. Proc. of Symp. in Appl. Math. "Experimental Arithmetic High Speed Computing and Mathematics" // Amer. Math. Soc. 1963, p. 289-310.

128. Christiansen J. P., Zabusky N. J. Instability, coalescence and fission of finite-area vortex structures // J. Fluid Mech. 1973, v. 61, part 2, p. 219-243.

129. Correard S. M., Carton X. J. Formation and stability of tripolar vortices in stratified geostrophic flows // II Nuovo Cimento. 1999, v. 22C, № 6, p. 767-777.

130. Couder Y., Basdevant C. Experimental and numerical study of vortex couples in two-dimensional flows // J. Fluid Mech. 1986, v. 173, p. 225-251.

131. Cushman-Roisin B., Sutyrin G. G., Tang B. Two-layer geostrophic dynamics. Part I: Governing equations // J. Phys. Oceanogr. 1992, v. 22, № 2, p. 117-127.

132. Danabasoglu G., McWilliams J. C., Gent P. R. The role of mesoscale tracer transports in the global ocean circulation // Science. 1994, v. 264, № 5162, p. 1123-1126.

133. Danilov S., Gryanik V., Olbers D. Equilibration and lateral spreading of a strip-shaped convection region // Alfred Wegener - Institut fur Polar - und Meeresforschung. Marz 1998. Report 86, 66 p.

134. Danilov S., Gryanik V., Olbers D. Equilibration and lateral spreading of a strip-shaped convection region // J. Phys. Oceanogr. 2001, v. 31, № 4, p. 1075-1087.

135. Dewar W. K. Convection in small basins // J. Phys. Oceanogr. 2002, v. 32, № 10, p. 2766-2788.

136. DiBattista M. T., Majda A. J. An equilibrium statistical theory for large-scale features of open-ocean deep convection // J. Phys. Oceanogr. 2000, v. 30, № 6, p. 1325-1353.

137. DiBattista M. T., Majda A. J. Equilibrium statistical predictions for baroclinic vortices: the role of angular momentum // Theoret. Comput. Fluid Dyn. 2001, v 14, № 5, p. 293-322.

138. DiBattista M. T., Majda A. J., Marshall A. A statistical theory for the "pathiness" of open-ocean deep convection: the effect of preconditioning //J- Phys. Oceanogr. 2002, v. 32, № 2, p. 599-626.

139. Doronina T., Gryanik V., Olbers D., Warncke T. A 3D heton mechanism of lateral spreading in lacalized convection in a rotating stratified fluid // Alfred Wegener -Instituí fur Polar - und Meeresforschung. Marz 1998. Report 87, 84 p.

140. Dritschel D. G. Contour surgery: a topological reconnection scheme for extended integrations using contour dynamics //J. Comput. Phys. 1988, v. 77, № 1, p. 240-266.

141. Dritschel D. G. The repeated filamentation of two-dimensional vorticity interfaces // J. Fluid Mcch. 1988, v. 194, p. 511-547.

142. Dritschel D.G. The stability of elliptical vortices in an external straining flow // J. Fluid Mech. 1990, v. 210, p. 223-261.

143. Eckhardt B. Integrable four vortex motion // Phys. Fluids. 1988, v. 31, № 10, p. 27962801.

144. Eckhardt B., Aref H. Integrable and chaotic motions of four vortices. II. Collision dynamics of vortex pairs // Phil. Trans. R. Soc. London. 1988, v. A326, № 1593, p. 655-696.

145. Eden C., Boning C. Sources of eddy kinetic energy in the Labrador Sea //J- Phys. Oceanogr. 2002, v. 32, № 12, p. 3346-3363.

146. Fine K. S., Driscoll C. F., Molmberg J. H., Mitchell T. B. Measurements of symmetric vortex merger // Phys. Rev. Lett. 1991, v. 67, № 5, p. 588-591.

147. Flatau M., Schubert W. H., Stovens D. E. The role of baroclinic processes in tropical cyclone motion: the influence of vertical tilt //J. Atmos. Sci. 1994, v. 51, № 1, p. 25892601.

148. Flierl G. R. On the instability of geostrophic vortices // J. Fluid Mech. 1988, v. 197, p. 349-388.

149. Flierl G. R., Larichev V. D., McWilliams J. C., Reznik G. M. The dynamics of baroclinic and barotropic solitary eddies // Dyn. Atmos. Oceans. 1980, v. 5, № 1, p. 1-41.

150. Flor J. B., Govers W. S. S., van Heijst G. J. F., van Sluis R. Formation of a tripolar vortex in a stratified fluid // Appl. Sci. Res. 1993, v. 51, p. 405-409.

151. Flor J. B., van Heijst G. J. F. An experimental study of dipolar vortex structures in a stratified fluid // J. Fluid Mech. 1994, v. 279, p. 101-133.

152. Flor J. B., van Heijst G. J. F. Stable and unstable monopolar vortices in a stratified fluid // J. Fluid Mech. 1996, v. 311, p. 257-287.

153. Fujiwhara S. The mutual tendency towards symmetry of motion and its application as a principle in meteorology // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1921, v. 47, p. 287-293.

154. Fujiwhara S. On the growth and decay of vortical systems // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1923, v. 49, p. 75-104.

155. Fujiwhara S. Short note on the behavior of two vortices // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1931, ser. 3, v. 13, p. 106-110.

156. Galmiche M., Sommeria J., Thivolle-Cazat E., Verron. J. Data assimilation applied to laboratory experiments in a rotating, stratified fluid // Proceedings of the Moscow International Conference on Fluxes and Structures in Fluids. 2001, p. 56-57.

157. Gent P., McWilliams J. Isopycnal mixing in ocean circulation models //J. Phys. Oceanogr. 1990, v. 20, № 1, p. 150-155.

158. Ginzburg A. I., Kostianoy A. G., Nezlin N. P., Soloviev D. M., Stanichny S. V. Anticyclonic eddies in the northwestern Black Sea jj J. Marine Syst. 2002, v. 32, № 1-3, p. 91-106.

159. Griffiths R. W., Hopfinger E. J. Experiments with baroclinic vortex pairs in a rotating fluid // J. Fluid Mech. 1986, v. 173, p. 501-518.

160. Griffiths R. W., Hopfinger E. J. Coalescing of geostrophic vortices // J. Fluid Mech. 1987, v. 178, p. 73-97.

161. Gryanik V. M., Doronina T. N., Olbers D., Warncke T. H. The theory of three-dimensional hetons and vortex-dominated spreading in localized turbulent convection in a fast rotating stratified fluid // J. Fluid Mech. 2000, v. 423, p. 71-125.

162. Helfrich K. R., Battisti T. M. Experiments on baroclinic vortex shelding from hydrothermal plumes 11 J. Geophys. Res. 1991, v. 96, № C12, p. 12511-12518.

163. Helfrich K. R., Send U. Finite-amplitude evolution of two-layer geostrophic vortices // J. Fluid Mech. 1988, v. 197, p. 331-348.

164. Henon A. Family of periodic solutions of the planar three-body problem and their stability // Cel. Mech. 1976, v. 13, p. 267-285.

165. Hesthaven J. S., Lynov J. P., Rasmussen J. J., Sutyrin G. G. Generation of tripolar vortical structures on the beta plane // Phys. Fluids. 1993, v. A5, № 7, p. 1674-1678.

166. Hogg N. G., Stommel H. M. The heton, an elementary interaction between discrete baroclinic geostrophic vortices, and its implications concerning eddy heat-flow // Proc. R. Soc. Lond. 1985, v. A 397, p. 1-20.

167. Hogg N. G., Stommel H. M. Hetonic explosions: the breakup and spread of warm pools as explained by baroclinic point vortices // J. Atmos. Sci. 1985, v. 42, № 14, p. 1465-1476.

168. Hogg N. G., Stommel H. M. How currents in the upper thermocline could advect meddies deeper down // Deep-Sea Res. 1990, v. 37, № 4, p. 613-623.

169. Holloway G. Eddies, waves, circulation, and mixing: Statistical geofluid mechanics // Ann. Rev. Fluid Mech. 1986, v. 18, p. 91-147.

170. Hopfinger E. J., van Heijst G. J. F. Vortices in rotating fluids // Ann. Rev. Fluid Mech. 1993, v. 25, p. 241-289.

171. Huang R. X., Bryan K. A multilayer model of the thermohaline and wind-driven ocean circulation // J. Phys. Oceanogr. 1987, v. 17, № 11, p. 1909-1924 .

172. Ikeda M. Instability and splitting of mesoscale rings using a two-layer quasi-geostrophic model on an f-plane // J. Phys. Oceanogr. 1981, v. 11, № 7, p. 987-998.

173. Ikeda M., Apel J. R. Mesoscale eddies detached from spatially growing meanders in a eastward-flowing oceanic jet using a two-layer quasi-geostrophic model //J. Phys. Oceanogr. 1981, v. 11, № 12, p. 1638-1661.

174. Jamaloodeen M. I., Newton P. K. 2007: Two-layer quasigeostrophic potential vorticity model //J. Math. Phys. 2007, v. 48, № 6, p. 065601-1-065601-48.

175. Jiménez J., Wray A. A. On the characteristics of vortex filaments in isotropic turbulence //J. Fluid Mech. 1998, v. 371, p. 255-285.

176. Jones H., Marshall J. Convection with rotation in a neutral ocean: a study of deep-ocean convection //J. Phys. Oceanogr. 1993, v. 23, № 6, p. 1009-1039.

177. Kennelly M. A., Evans R. H., Joyce T. M. Small-scale cyclones on the periphery of Gulf Stream warm-core rings // J. Geophys. Res. 1985, v. 90, № C5, p. 8845-8857.

178. Kida S. Motion of an elliptic vortex in an uniform shear flow //J. Phys. Soc. Japan, 1981, v. 50, p. 3517-3520.

179. Kirchhoff G. Vorlesungen über matematische Physik: Mechanik // Taubner, Leipzig, 1876.

180. Kiya M., Takeo H., Mochizuki O., Kudo D. Simulating vortex pairs interacting with mixing-layer vortices // Fluid Dyn. Res. 1999, v. 24, № 1, p. 61-79.

181. Kizner Z. Stability and transitions of hetonic quartets and baroclinic modons // Phys. Fluids. 2006, v. 18, № 5, p. 056601-1-056601-12.

182. Kizner Z., Berson D., Khvoles R. Baroclinic modon equilibria on the beta-plane: stability and transitions // J. Fluid Mech. 2002, v. 468, p. 239-270.

183. Kizner Z., Khvoles R. The tripole vortex: Experimental evidence and explicit solutions // Phys. Rev. 2004, v. E 70, № 1, p. 016307-1-016307-4.

184. Kloosterziel R. C., van Heijst G. J. F. On tripolar vortices // Mesoscale/synoptic coherent structures in geophysical turbulence. Amsterdam Oxford - New York -Tokyo. Elsevier. 1989, p. 609-625.

185. Kloosterziel R. C., van Heijst G. J. F. An experimental study of unstable barotropic vortices in a rotating fluid // J. Fluid Mech. 1991, v. 223, p. 1-24.

186. Koiller J., Carvalho S. P., Silva R. R., Oliveira L. C. G. On Aref's vortex motions with a symmetry center // Physica D. 1985, v. 16, № 1, p. 27-61.

187. Koshel K. V., Sokolovskiy M. A., Davies P. A. Chaotic advection and nonlinear resonances in an oceanic flow above submerged obstacle // Fluid Dyn. Res. 2008, v. 20, № 10, p. 695-736.

188. Kurakin L. G., Yudovich V. I. The stability of stationary rotation of a regular vortex polygon // Chaos. 2002, v. 12, № 3, p. 574-595.

189. Kvaleberg E., Morey S. L., O'Brien J. J. Frontogenesis and subsequent formation of cold filaments and eddies on an idealized shelf // OCEANS 2003. Proceedings, v. 5, p. 2831-2834.

190. Legg S., Jones H., Visbeck M. A heton perspective of baroclinic eddy transfer in localized open ocean convection // J. Phys. Oceanogr. 1996, v. 26, № 10, p. 22512266.

191. Legg S., Marshall J. A heton model of the spreading phase of open-ocean deep convection // J. Phys. Oceanogr. 1993, v. 23, № 6, p. 1040-1056.

192. Legg S., Marshall J. The influence of the ambient flow on the spreading of convected water masses // J. Marine Res. 1998, v. 56, p. 107-139.

193. Legras B., Dritschel D. G. The elliptical model of two-dimensional vortex dynamics. I. The basic state // Phys. Fluids. 1991, v. A3, p. 845-854.

194. Legras, B., Dritschel, D. G. The elliptical model of two-dimensional vortex dynamics. I. The basic state // Phys. Fluids. 1991, v. A3, p. 845-854.

195. Legras B., Dritschel D. G. A comparison of the contour surgery and pseudo-spectral method // J. Comput. Phys. 1993, v. 104, p. 287-302.

196. Leith C. E. Minimum enstrophy vortices // Phys. Fluids. 1984, v. 27, № 6, p. 13881395.

197. Lim C. C., Majda A. J. Point vortex dynamics for coupled surface/interior QG and propagating heton clasters in models for ocean convection // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 2001, v. 94, № 3-4, p. 177-220.

198. Lim C., Nebus J. Vorticity, statistics, and Monte Carlo simulation // Springer monographs in mathematics. Springer, New York, 2007, 290 p.

199. Lin S.-J. Contour dynamics of tornado-like vortices // J. Atmos. Sci. 1992, v. 49, Ne 18, p. 1745-1756.

200. Love A. E. H. On the stability of certain vortex motion // Proc. Lond. Math. Soc. 1893, v. sl-25, p. 18-43.

201. Love A. E. H. On the motion of paired vortices with a common axis // Proc. Lond. Math. Soc. 1893, v. sl-25, p. 185-194.

202. Lovegrove A. F., Moroz I. M., Read P. L. Bifurcation and instabilities in rotating two-layer fluids: I. f-plane. Nonlinear Processes in Geophysics. 2001, v. 8, 1, p. 21-36.

203. Lovegrove A. F., Moroz I. M., Read P. L. Bifurcation and instabilities in rotating, two-layer fluids: II. (3-plane // Nonlinear Processes in Geophysics. 2002, v. 9, № 3-4, p. 289-309.

204. Mariotti A., Legras B., Dritschel D. G. Vortex stripping and the erosion of coherent structures in two-dimensional flows // Phys. Fluids. 1994, v. 6, № 12, p. 3954-3962.

205. Marshall J. S. Chaotic oscillations and breakup of quasigeostrophic vortices in the N-layer approximation // Phys. Fluids. 1995, v. 7, № 5, p. 983-992.

206. Marshall J. S., Parthasarathy B. Tearing of an aligned vortex by a current difference in two-layer quasi-geostrophic flow // J. Fluid Mech. 1993, v. 225, p. 157-182.

207. Marshall J., Schott F. Open-ocean convection: observation, theory, and models // Rev. Geophys. 1999, v. 37, № 1, p. 1-64.

208. Masina S., Pinardi N. The halting effect of baroclinicity in vortex merging // J. Phys. Oceanogr. 1993, v. 23, № 8, p. 1618-1637.

209. Matsuura T. The evolution of frontal-geostrophic vortices in two-layer ocean // J. Phys. Oceanogr. 1993, v. 23, № 8, p. 1618-1637.

210. Maxworthy T., Narimousa S. Unsteady, turbulent convection into a homogeneous rotating fluid, with oceanographic applications // J. Phys. Oceanogr. 1995, v. 25, № 10, p. 2298-2318.

211. McWilliams J. C,, Zabusky N. Interaction of isolated vortices. I: Modons colliding with modons // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1982, v. 19, № 3-4, p. 207-227.

212. Melander M. V., McWilliams J. C., Zabusky N. J. Asymmetrization and vorticity-gradient intensification of an isolated two-dimensional vortex through filamentation // J. Fluid Mech. 1987, v. 178, p. 137-159.

213. Melander M. V., Zabusky N. J., McWilliams J. C. Asymmetric vortex merger in two dimensions: Which vortex is 'victorious'? // Phys. Fluids. 1987, v. 30, № 9, p. 26102612.

214. Meleshko V. V., van Heijst G. J. F. Interaction of two-dimensional vortex structures: Point vortices, contour kinematics and stirring properties // Chaos, Solitons & Fractals. 1994, v. 4, № 6, p. 977-1010.

215. Meleshko V. V., van Heijst, G. J. F. On Chaplygin's investigations of two-dimensional vortex structures in an inviscid fluid // J. Fluid Mech. 1994, v. 272, p. 157-182.

216. Meunier P., Ehrenstein U., Leweke T., Rossi M. A merger criterion for two-dimensional co-rotating vortices // Phys. Fluids. 2002, v. 14, № 8, p. 2757-2766.

217. Mied R. P., McWilliams J. C., Lindemann G. J. The generation and evolution of mushroom-like vortices // J. Phys. Oceanogr. 1991, v. 21, JN"2 4, p. 489-510.

218. Minobe S., Kanamoto Y., Okada N., Ozawa H., Ikeda M. Plume structures in deep convection of rotating fluid // J. Japan Soc. Fluid Mech. 2000, v. 19, № 6, p. 395-396.

219. Mitchell, T.B., Rossi, L.F. The evolution of Kirchhoff elliptic vortices // Phys. Fluids. 2008, v. 20, p. 054103.

220. Miyama T., McCreary, Jr. J. P., Jensen T.G., Loschnigg J., Godfrey S., Ishida A. Structure and dynamics of the Indian-Ocean cross-equatorial cell // Deep Sea Research. Part II. 2003, v. 50, № 12-13, p. 2023-2047.

221. Moore C. Braids in classical dynamics // Phys. Rev. Lett. 1993, v. 70, № 24, p. 36753679.

222. Morel Y. G., Carton X. J. Multipolar vortices in two-dimensional incompressible flows // J. Fluid Mech. 1994, v. 267, p. 23-51.

223. Morel Y., McWilliams J. Effect of isopycnal and diapycnal mixing on the stability of oceanic currents // J. Phys. Oceanogr. 2001, v. 31, № 8, p. 2280-2296.

224. Morikawa G. K. Geostrophic vortex motion // J. Meteorol. 1960, v. 17, № 6, p. 148158.

225. Morikawa G. K., Swenson E. V. Interacting motion of rectilinear geostrophic vortices 11 Phys. Fluids. 1971, v. 14, № 6, p. 1058-1073.

226. Nof D. Generation of ringlets // Tellus. 1993, v. 45A, p. 299-310.

227. Nof D., Simon L. M. Laboratory experiments on the merging of nonlinear anticyclonic eddies //J. Phys. Oceanogr. 1987, v. 17, № 3, p. 343-357.

228. Nycander J. Steady vortices in plasmas and geophysical flows // Chaos. 1994, v. 4, № 2, p. 253-268.

229. Olbers D., Wolff J.-O., Volker C. Eddy fluxes and second-order moment balances for non-homogeneous quasigeostrophic turbulence in wind-driven zonal flows // J. Phys. Oceanogr. 2000, v. 30, № 7, p. 1645-1668.

230. Olson D. B. Rings in the Ocean // Ann. Rev. Earth and Planet. Sci. 1991, v. 19, p. 283-311.

231. Olson D. B., Schmitt R. W., Kennelly M. A., Joyce T.M. A two-layer diagnostic model of a long-time physical evolution of warm-core ring 82 B jj J. Geophys. Res. 1985, v. 90, № C5, p. 8813-8822.

232. Orlandi P. Vortex dipole rebound from a wall j j Phys. Fluids. 1990, v. 2, № A8, p. 1429-1436.

233. Orlandi P., van Heijst G. F. Numerical simulation of tripolar vortices in 2D flow // Fluid Dyn. Res. 1992, v. 9, p. 179-206.

234. Overman E. A. II, Zabusky N. J. Evolution and merger of isolated vortex structures j j Phys. Fluids. 1982, v. 25, № 8, p. 1297-1305.

235. Paldor N., Nof D. Linear instability of an anticyclonic vortex in a two-layer ocean j j J. Geophys. Res. 1990, v. 95, № C10, p. 18075-18079.

236. Pavia E. G., Cushman-Roisin B. Merging of frontal eddies j / J. Phys. Oceanogr. 1990, v. 20, № 12, p. 1886-1906.

237. Pedlosky J. The instability of continuous heton clouds j j J. Atmos. Sci. 1985, v. 42, № 14, p. 1477-1486.

238. Pingree R. D., Le Cann B. Three anticyclonic Slope Water Oceanic eDDIES (SWODDIES) in the Southern Bay of Biscay in 1990 // Deep-Sea Res. 1992, v. 39, № 7/8 A, p. 1147-1175.

239. Polvani L. M. Two-layer geostrophic vortex dynamics. Part 2. Alignment and two-layer V-states H J. Fluid Mech. 1991, v. 225, p. 241-270.

240. Polvani L. M., Carton X. J. The tripole: A new coherent vortex structure of incompressible two-dimensional flows // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1990, v. 51, № 1-4, p. 87-102.

241. Polvani L. M., Flierl G. R. Generalized Kirchhoff vortices j j Phys. Fluids. 1986, v. 29, p. 2376-2379.

242. Polvani L. M., Flierl G. R., Zabusky N. J. Filamentation of unstable vortex structures via separatrix crossing: A quantitative estimate of onset time j / Phys. Fluids. 1989, v. Al, № 2, p. 181-184.

243. Polvani L. M., Plumb R. A. Rossby wave breaking, microbreaking, filamentation, and secondary vortex formation: The dynamics of a perturbed vortex // J. Atmos. Sci. 1991, v. 49, № 6, p. 462-476.

244. Polvani L. M., Zabusky N. J., Flierl G. R. Applications of contour dynamics to two-layer quasi-geostrophic flows // Fluid Dyn. Res. 1988, v. 3, p. 422-424.

245. Polvani L. M., Zabusky N. J., Flierl G. R. Two-layer geostrophic vortex dynamics. Part 1. Upper-layer V-states and merger // J. Fluid Mech. 1989, v. 205, p. 215-242.

246. Reznik G., Kizner Z. Two-layer quasi-geostrophic singular vortices embedded in a regular flow. Part 1. Invariants of motion and stability of vortex pairs. J. Fluid Mech. 2007, v. 584, p. 185-202.

247. Reznik G., Kizner Z. Two-layer quasi-geostrophic singular vortices embedded in a regular flow. Part 2. Steady and unsteady drift of individual vortices on a beta plane. J. Fluid Mech. 2007, v. 584, p. 203-223.

248. Richardson P. L., Maillard C., Sanford T. B. The physical structure and life history of cyclonic Gulf Stream ring Allen // J. Geophys. Res. 1979, v. 84, № C12, p. 7727-77419.

249. Ripa P. On the stability of ocean vortices. Mesoscale/synoptic coherent structures in geophysical turbulence // Amsterdam Oxford - New York - Tokyo. Elsevier. 1989, p. 167-179.

250. Rossi L. F., Lingevitch J. F., Bernoff'A. J. Quasi-steady monopole and tripole attractors for relaxing vortices // Phys. Fluids. 1997, v. 9, № 8, p. 2329-2338.

251. Rott N. Three-vortex motion with zero total circulation //J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). 1989, v. 40, p. 473-494.

252. Rott N. Constrained three- and four-vortex problems // Phys. Fluids. 1990, v. A 2, № 8, p. 1477-1480.

253. Saunders P. M. The instability of a baroclinic vortex //J. Phys. Oceanogr. 1973, v. 3, № 1, p. 61-65.

254. Savchenko V. G., Emery W. J., Vladimirov O. A. A cyclonic eddy in the Antarctic Circumpolar Current south of Australia: Results of Soviet-American observations aboard the R/V Professor Zubov // J. Phys. Oceanogr. 1978, v. 8, № 9, p. 825-837.

255. Shaffer G., Salinas S., Pizarro O., Vega A., Hormazabal S. Currents in the deep ocean off Chile (SOP S) // Deep Sea Res. Part I. 1995, v. 42, № 4, p. 425-436.

256. Shaw P.-T. A numerical simulation of the evolution and propagation of Gulf Stream warm core rings // J. Phys. Oceanogr. 1994, v. 24, № 3, p. 573-586.

257. Shaw P.-T., Chao S.-Y. Effects of a baroclinic current on a sinking dense water plume from a submarine canyon and heton shedding // Deep Sea Res. Part I. 2003, v. 50, № 3, p. 357-370.

258. Shepherd T. G. Symmetries, conservation laws, and Hamiltonian structure in geophysical fluid dynamics // Advances in Geophys. 1990, v. 32, p. 287-339.

259. Shimada K., Kubokawa A. Nonlinear evolution of linearly unstable barotropic boundary currents // J. Phys. Oceanogr. 1997, v. 27, № 7, p. 1326-1348.

260. Smith G. B., Wei T. Small-scale structure in colliding off-axis vortex rings //J- Fluid Mech. 1994, v. 259, p. 281-290.

261. Sokolovskiy M. A. Stability analysis of the axisymmetric three-layered vortex using contour dynamics method // Comput. Fluid Dyn. Journal. 1997, v. 6, № 2, p. 133-156.

262. Sokolovskiy M. A., Verrón J. Finite-core hetons: Stability and interactions //J. Fluid Mech. 2000, v. 423, p. 127-154.

263. Sokolovskiy M. A., Verrón J. Four-vortex motion in the two layer approximation: Integrable case // Regular & Chaotic Dyn. 2000, v. 5. № 4, p. 413-436.

264. Sokolovskiy M. A., Verrón J. Dynamics of the triangular two-layer vortex structures with zero total intensity // Regular & Chaotic Dyn. 2002, v. 7. № 4, p. 435-472.

265. Sokolovskiy M. A., Verrón J. Dynamics of the three vortices in two-layer rotating fluid // Regular & Chaotic Dyn. 2004, v. 9. № 4, p. 417-438.

266. Spall M. A., Chapman D. C. On the efficiency of baroclinic eddy heat transport across narrow fronts // J. Phys. Oceanogr. 1998, v. 28, № 11, p. 2275-2287.

267. Stammer D. On eddy characteristics, eddy transports, and mean flow properties // J. Phys. Oceanogr. 1998, v. 28, № 4, p. 727-739.

268. Stremler M. A., Aref H. Motion of three point vortices in a periodic parallelogram // J. Fluid Mech. 1999, v. 392, p. 101-128.

269. Tang B., Cushman-Roisin B. Two-layer geostrophic dynamics. Part II: Geostrophic turbulence // J. Phys. Oceanogr. 1992, v. 22, № 2, p. 128-138.

270. Tavantzis J., Ting L. The dynamics of three vortices revisited // Phys. Fluids. 1988, v. 31, № 6, p. 1392-1409.

271. Thivolle-Cazat E., Sommeria J., Galmiche M., Verron J. An experimental investigation of heton instability in a rotating, two-layer fluid // Proceedings of the Moscow International Conference on Fluxes and Structures in Fluids. 2001, p. 205-206.

272. Thivolle-Cazat E., Sommeria J., Galmiche M. Baroclinic instability of two-layer vortices in laboratory experiments //J. Fluid Mech. 2005, v. 544, p. 69-97.

273. Valcke S., Verron J. On interactions between two finite-core hetons // Phys. Fluids. 1993, v. A5, № 8, p. 2058-2060.

274. Valcke S., Verron J. Cyclone—anticyclone asymmetry in the merging process // Dyn. Atmos. Oceans. 1996, v. 24, № 1-4, p. 227-236.

275. Valcke S., Verron J. Interactions of baroclinic isolated vortices: The dominant effect of shielding // J. Phys. Oceanogr. 1997, v. 27, № 4, p. 524-541.

276. Vandermeirsch F. O., Carton X. J., Morel Y. G. Interaction between an eddy and a zonal jet: Part I. One-and-a-half-layer model // Dyn. Atmos. Oceans. 2003, v. 36, № 4, p. 247-270.

277. Vandermeirsch F. O., Carton X. J., Morel Y. G. Interaction between an eddy and a zonal jet: Part II. Two-and-a-half-layer model // Dyn. Atmos. Oceans. 2003, v. 36, № 4, p. 271-296.

278. Velasco Fuentes O. U. Propagation and transport properties of dipolar vortices on a 7 plane // Phys. Fluids. 1994, v. 6, № 10, p. 3341-332.

279. Velasco Fuentes O. U. Chaotic advection by two interacting finite-area vortices // Phys. Fluids. 2001, v. 13, № 4, p. 901-912.

280. Velasco Fuentes O. U., van Heijst G. J. F., Cremers B. E. Chaotic transport by dipolar vortices on the (3-plane // J. Fluid Mech. 1995, v. 291, p. 139-161.

281. Velasco Fuentes O. U., van Heijst G. J. F., van Lipzing N. P. M. Unsteady behaviour of a topography-modulated tripole //J. Fluid Mech. 1996, v. 307, p. 11-41.

282. Verron J., Hopfinger E. The enigmatic merging conditions of two-layer baroclinic vortices 11 C. R. Acad. Sci. Paris. 1991, v. 313. Ser. II, p. 737-742.

283. Verron J., Hopfinger E., McWilliams J. C. Sensitivity to initial conditions in the merging of two-layer baroclinic vortices // Phys. Fluids. 1990, v. A2, № 6, p. 886-889.

284. Verron J., Valcke S. Scale-dependent merging of baroclinic vortices // J. Fluid Mech.1994, v. 264, p. 81-106.

285. Visbeck M., Marshall J., Haine Т., Spall M. On the specification of eddy transfer coefficients in coarse-resolution ocean circulation models //J- Phys. Oceanogr. 1997, v. 27, № 3, p. 381-402.

286. Visbeck M., Marshall J., Jones H. Dynamics of isolated convective regions in the ocean //J. Phys. Oceanogr. 1996, v. 26, № 9, p. 1721-1734.

287. Walsh D., Pratt L. J. The interaction of a pair of point potential vortices in uniform shear // Dyn. Atmos. Oceans. 1995, v. 22, № 3, p. 135-160.

288. Whitehead J. A., Marshall J., Hufford G. E. Localized convection in a rotating stratified fluid // J. Geophys. Res. 1996, v. 101, № C10, p. 25705-25721.

289. Wirth A. The parametrization of baroclinic instability in a simple model //J. Marine Res. 2000, v. 58, № 4, p. 571-583.

290. Yasuda I. Geostrophic vortex merger and streamer development in the ocean with special reference to the merger of Kuroshio warm core ring // J. Phys. Oceanogr.1995, v. 25, № 5, p. 979-996.

291. Yasuda I., Flierl G. R. Two-dimensional asymmetric vortex merger: Contour dynamics experiment // J. Oceanogr. 1995, v. 51, № 2, p. 145-170.

292. Yasuda I., Flierl G. R. Two-dimensional asymmetric vortex merger: merger dynamics and critical merger distance // Dyn Atmos. Oceans. 1997. v. 26, № 3, p. 159-181.

293. Young W. R. Some interactions between small numbers of baroclinic, geostrophic vortices // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1985, v. 33, № 1-4, p. 35-61.

294. Youssef A., Marcus P. S. The dynamics of jovian white ovals from formation to merger // Icarus. 2003, v. 162, № 1, p. 74-93.

295. Zabusky N. J., Hughes M. H., Roberts K. V. Contour dynamics for the Euler equations in two dimensions // J. Comput. Phys. 1979, v. 30, № 1, p. 96-106.

296. Zatsepin A. G., Ginzburg A. I., Kostyanoy A. G., Kremenetskiy V. V., Krivosheya V. G., Stanichny S. V., Poulain P.-M. Observation of Black Sea mesoscale eddies and associated horizontal mixing 11 J. Geophys. Res. 2003, v. 108, № C8, p. 3246.