Динамика трехслойной вязкоупругой сферической оболочки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Сайфутдинов, Юсуп Назипович

• Сайфутдинов, Юсуп Назипович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сайфутдинов, Юсуп Назипович

Введение

Глава I. Вывод уравнений движения

1.1 Кинематические гипотезы.

1.2 Геометрические уравнения

1.3 Вариационная формулировка задачи.

1.4 Выражение для свободной энергии.

1.5 Редукция выражения для свободной энергии.

1.6 Выбор поверхности осреднения.

1.7 Диссипация.

1.8 Кинетическая энергия.

1.9 Мощность внешних сил.

1.10 Работа реактивных усилий

1.11 Выражение для производства энтропии.

1.12 Уравнения движения и краевые условия

1.13 Уравнения движения в безразмерной форме.

1.14 Уравнение движения упругой оболочки.

1.15 Уравнение осесимметричного движения.

1.16 Уравнение движения осесимметричной упругой оболочки .'.

1.17 Внутренние усилия.

Глава II Спектральное представление решения

2.1 Спектральные представления решений. Случай самосопряженной задачи.

2.1.1 Симметричные конечные интегральные преобразования

2.1.2 Формальное построение решения начально-краевой задачи.

2.1.3 Ядра интегрального преобразования. Регулярный случай.

2.1.4 Ядра интегральных преобразований. Сингулярный случай.

2.1.5 Случай ненулевого ядра.

2.1.6 Вычисление нормирующей матрицы.

2.1.7 Условия самосопряженности

2.1.8 Вариант формул обращения.

2.2 Спектральные представления решений. Случай несамосопряженной задачи.

2.2.1 Полиномиальный операторный пучок.

2.2.2 Сопряженный пучок.

2.2.3 Резольвента пучка.

2.2.4 Главная часть резольвенты.

2.2.5 Формулировка интегральных преобразований

2.2.6 Решение начально краевой задачи.

Глава III. Численный анализ

3.1 Определение матрицы весовых функций.

3.2 Построение фундаментальной матрицы.

3.2.1 Собственные значения самосопряженных операторов порождаемых уравнением движения упругой оболочки.

3.2.2 Кратные собственным значения

3.2.3 Перемещение упругой оболочки

3.3 Спектральные представления осесимметричных перемещений неупругой оболочки.

3.3.1 Построение фундаментальной матрицы

3.4 Анализ распределения собственных значений.

3.4.1 Зависимость собственных значений от кривизны

3.4.2 Зависимость собственных значений от значений времени релаксации

3.5 Перемещения и усилия при нестационарных воздействиях

3.5.1 Скачок давления, равномерно распределенный по всей поверхности оболочки.

3.5.2 Треугольный импульс, равномерно распределенный по всей поверхности оболочки.

3.5.3 Прямоугольный импульс, равномерно распределенный по всей поверхности оболочки.

3.5.4 Импульс, изменяющийся по экспоненциальному закону, равномерно распределенный по всей поверхности оболочки.

3.5.5 Гармоническое воздействие, равномерно распределенный по всей поверхности оболочки.

3.5.6 Внезапно приложенная в полюсе оболочки сосредоточенная сила.

3.6 Оптимизация структуры пакета слоев.

3.7 Расчет защитной оболочки реакторного отделения АЭС на аварийное ударное воздействием (по диаграммам МАГАТЭ).

Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика трехслойной вязкоупругой сферической оболочки»

Исследования собственных и вынужденных колебаний трехслойных оболочек имеют как теоретическое, так и прикладное значение, поскольку подобные конструкции широко применяются в строительстве атомных электростанций, авиации и ракетной технике[43], судостроении [77], резервуаростроении [43], энергетическом и химическом машиностроении. Это связано, в частности, с тем, что трехслойные оболочки, образуемые тонкими несущими внешними слоями и средним слоем (заполнителем) значительно большей толщины, имеют меньший вес при равной жесткости в сравнении с однородными конструкциями. Кроме того, средний слой может выполнять дополнительные конструктивные функции, не связанные с обеспечением жесткости, например теплоизоляционные.

При проектировании ответственных сооружений необходимо производить динамические расчеты на сейсмические, аварийные (взрывная волна), природные воздействия (пульсация ветра, ураган), которые основаны на соотношениях для частот и форм собственных колебаний, а также для перемещений и усилий, вызванных нестационарными нагружениями. Важной является задача об ударном взаимодействии тела конечной жесткости (самолета, ракеты) и защитной оболочки реакторных отделений АЭС1, которая в ряде существующих проектных решений представляет собой сферическую трехслойную сталебетонную оболочку.

Вместе с тем существующие методы расчета даже в рамках известных математических моделей не позволяют достаточно точно описать высокоскоростные процессы деформирования конструкции. Методы учета неупругих сил, в частности сил внутреннего вязкого сопротивления (использующие гипотезу частотно-независимого трения), не являются строго обоснованными. Таким образом, развитие аналитических методов динамического расчета трехслойных оболочек на основе уточненных математических моделей и их реализация в форме вычислительных алгоритмов представляют актуальные проблемы и задачи прикладной механики деформируемого твердого тела.

1 Такой расчет, согласно действующим международным нормам МАГАТЭ, является обязательным при проектировании защитных оболочек реакторных отделений АЭС[11].

Апробация работы:

- Научный семинар "Современные проблемы математики и механики " под руководством д-ра физ.-мат. наук, проф. Ю.Н. Радаева. Самара, Самарский государственный университет, 2005-2007 гг.

- Научный семинар "Ашировские чтения", Самара, Самарский государственный технический университет,

23-26 октября 2006 гг.

- XXXI-XXXIII Summer School — Conference. Advanced Problems in Mechanics. St. Petersburg, 2003-2005 гг.

- 14-я и 15-я зимние школы по механике сплошных сред. Пермь, УрО РАН, 2006-2007 гг.

- Международная молодежная научная конференция "XXXII Гагаринские чтения". Москва, Институт проблем механики РАН, 4-8 апреля 2006 г.

- Ежегодные научные конференции преподавателей и молодых ученых Самарского государственного университета. Самара, Самарский государственный университет, 2003—2007 гг.

- IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород, Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, 22-28 августа 2006 г.

- Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, профессора Д.Д. Ивлева Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет имени И. Я. Яковлева, июнь 2007г.

Основное содержание диссертационной работы отражено в следующих публикациях:

1. Lychev, S.A. Non-stationary vibration of viscoelastic rod / S.A. Lychev, Y. N. Sayfutdinov // XXXII Summer School - Conference "Advanced problems in mechanics": Book of Abstracts, SPb., June 24-July1, 2004. - SPb., 2004. - P. 89.

2. Lychev, S.A. The dynamical reaction of 3-layered viscoelastic shell / S. A. Lychev, Y. N. Sayfutdinov // XXXIII Summer School

- Conference "Advanced problems in mechanics": Book of Abstracts, SPb., June 24-July 1, 2005. - SPb., 2005. - P. 80.

3. Лычев, С. А. Уравнения движения трехслойной вязкоупругой сферической оболочки / С. А. Лычев , Ю. Н. Сайфутдинов // Вестник Самарского гос. университета. - Естественнонаучная сер. - 2005. - № 6(40). С. 70-88.

4. Лычев, С. А. Уравнение движения трехслойной вязкоупругой оболочки / С. А. Лычев, Ю.Н. Сайфутдинов // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая): тез. докл. - Екатеринбург: УрО РАН, 2005.

5. Лычев, С. А. Трехслойные сферические оболочки наибольшей жесткости / С. А. Лычев, Ю.Н. Сайфутдинов// Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая): тез. докл. - Екатеринбург: УрО РАН, 2007.

6. Лычев, С. А. Вынужденные колебания трехслойной сферической вязкоупругой оболочки / С. А. Лычев, Ю. Н. Сайфутдинов //IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: аннот. докл. - Т. III (Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г.). - Нижний Новгород: Издательство Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 2006. - С. 112.

7. Лычев, С. А. Оптимизация структуры пакетов слоев трехслойной сферической оболочки / С. А. Лычев , Ю.Н. Сайфутдинов // Материалы III Международной конференции "Ашировские чтения", Самара, 23-24 октября 2006 г. - Самара, 2006. - С. 271-275.

8. Сайфутдинов, Ю.Н. Уравнение движения трехслойной вязко-упругой оболочки / Ю.Н. Сайфутдинов // XXXII Гагарин-ские чтения: научные труды Международной молодежной научной конференции: в 8 т., Москва, 4-8 апреля 2006 г. - М.: МАТИ, 2006. - Т. 1. - С. 94-95.

9. Лычев, С. А. Динамика трехслойной непологой сферической оболочки/ С.А. Лычев, Ю.Н. Сайфутдинов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. А. Яковлева. - Сер. Механика предельного состояния. - 2007. - № 2. - С. 55-90.

Целью работы является построение замкнутого решения динамической задачи для сферической оболочки с несимметричной структурой пакета слоев с учетом вязкоупругих свойств среднего слоя при действии нестационарных, в том числе ударных, нагрузок. Эта цель предполагает решение следующих задач:

Вывод новых уравнений движения оболочки и соответствующих краевых условий для наиболее общего (упругого) закрепления на опорном контуре, учитывающих несимметричность пакета слоев и неупругое деформирование среднего слоя.

Построение замкнутого решения соответствующей начально-краевой задачи в форме разложения по собственным и присоединенным функциям несамосопряженных дифференциальных операторов, порождаемых полученным уравнением движения.

Осуществление вычислительного эксперимента для оценки влияния несимметричности пакета слоев и вязкоупругих свойств среднего слоя на распределение собственных значений, собственных форм и перемещений оболочки при различных динамических воздействиях.

На защиту выносятся следующие положения:

Уравнения движения. На основании вариационого принципа Онзагера получены новые уравнения движения трехслойной сферической оболочки с несимметричной структурой пакета слоев и вязкоупругим средним слоем, а также краевые условия, соответствующие наиболее общим (упругим) способам закрепления оболочки на контуре.

Несимметричные конечные интегральные преобразования. Построен новый класс несимметричных конечных интегральных преобразований, ядра которых определяются полной системой собственных и присоединенных функций пучка несамосопряженных дифференциальных операторов.

Спектральные представления решения. С помощью несимметричных конечных интегральных преобразований получено замкнутое решение начально-краевой задачи о вынужденных колебаниях трехслойной сферической оболочки с вязкоупругим средним слоем.

Численный анализ собственных колебаний. На основе построенного решения разработаны и реализованы вычислительные алгоритмы, осуществлен численный анализ влияния асимметрии пакета слоев и вязкоупругих свойств среднего слоя на распределение собственных частот колебаний, а также на собственные формы и перемещения при различных нестационарных нагрузках.

Научная новизна работы состоит в следующем:

Получены новые уравнения движения и краевые условия для трехслойной сферической оболочки, новизна которых состоит в учете несимметричности структуры пакета слоев и неупругого деформирования среднего слоя.

Введен новый класс несимметричных интегральных преобразований, позволяющий представлять решения несамосопряженных начально-краевых задач в форме спектральных разложений по полной биортогональной системе функций.

Построены новые замкнутые решения нестационарных динамических задач для упругозакрепленных трехслойных сферических оболочек с вязкоупругим средним слоем.

В результате вычислительного эксперимента установлено, что гипотеза о независимости собственных форм от параметров внутреннего трения нарушается в случаях, когда период tiro собственного колебания приближается к величине времени релаксации материала среднего слоя.

Установлено, что первые собственные частоты достигают наибольшего значения для определенных соотношений толщин слоев при фиксированной удельной массе всего пакета слоев. Такие оболочки обладают наибольшей жесткостью при фиксированной массе и в этом смысле могут рассматриваться как оптимальные конструкции.

Достоверность обусловлена строгостью постановки задач, построением точных решений в рамках сформулированной модели, а также сравнением частных случаев с известными результатами, полученными другими авторами.

Практическая значимость результатов:

Решена задача оптимального выбора толщин слоев трехслойной сферической вязкоупругой оболочки, обладающей наибольшей жесткостью при фиксированной массе.

Осуществлен расчет защитной оболочки реакторного отделения АЭС ВВЭР - 1000 на специальные аварийные воздействия. В задаче рассматривается удар тела конечной жесткости (самолета, ракеты) о защитную оболочку реактора. Усилия в контактной зоне принимаются в соответствии с экспериментальной диаграммой МАГАТЭ.

Исторический обзор развития моделей и методов расчета трехслойных оболочек с вязкоупругим средним слоем

В 1850 г. Г. Кирхгофф (G. Kirchhoff) произвел первые исследования оболочек, которые имели своей целью построение теории акустических колебаний. Расчеты осуществлялись по аналогии с технической теорией пластин. В 1874 г. Г. Арон (H. Агоп) опираясь на исследования Г. Кирхгоффа и А. Клебша (A. Klebsh) о конечных деформациях тонких стержней и пластинок, получил выражение для потенциальной энергии, уравнения равновесия и деформаций оболочек в криволинейных координатах срединной поверхности. В 1881 г. Лорд Релей (Rayleigh) осуществил первые исследования свободных колебаний сферической оболочки, а несколько позже в 1882 г. Э. Матье (Е. Mathieu) рассмотрел оболочки, симметричные относительно оси вращения с помощью видоизмененного метода, примененного ранее Д. Пуассоном для пластинок. Наконец, в 1882 г. Г. Лэмбом (Н. Lamb) были построены построены уравнения движения сферических оболочек на основе кинематических гипотез Кирхгофа. В 1888 г. А. Ляв ( A.E.H.Love ) предпринял попытку построения общей теории моментных колебаний тонких оболочек. Лявом была построена модель земного шара, которая представляла собой упругий шар покрытый сферическим вязкоупругим слоем. В 1913 г: Э. Мейснером (Е. Meissner) была впервые решена задача о деформации сферической оболочки при воздействии различных нагрузок. В 1915 г. С. П. Тимошенко разработал асимптотические методы интегрирования уравнений оболочек вращения. Он на численных примерах показал, что для тонких оболочек асимптотический метод обеспечивает хорошую точность. В 1930-е г. X. Рейснер (Y Н. Reisner), Э. Мейснер развили теорию малых осесимметричных деформаций оболочек и решили ряд прикладных задач. В 1937 г. К. Федергофером (К. Federgoffer) на основе вариационного принципа Остроградского-Гауса была построена система дифференциальных уравнений колебаний непологих сферических оболочек в перемещениях [108].

В СССР 30-60 годы развитие теории оболочек происходило в двух направлниях. Первое направление представлено в работах: А.Л. Гольденвейзера [28], H.A. Кильчевского [42], А. И. Лурье [65],

Х.М. Муштари [69], В.В. Новожилова [72] , Ю.Н. Работнова [80], И. Н. Векуа [17], характеризуется установлением степени погрешности гипотез, лежащих в основе моментной теории оболочек, и разработкой альтернативных теорий.

Другое направление составляет техническая теория оболочек, включающая как частный случай общую теорию тонкостенных стержней. Это направление, представленное главным образом работами В. 3. Власова [19], а также его учеников и последователей, связано с введением В. 3. Власовым ряда новых физических гипотез в теорию оболочек и построением на их основе общей моментной и безмоментной теорий тонкостенных пространственных систем (1947 г.) В рамках этих теорий В. Г. Рекач исследовал свободные колебания сферических оболочек, упруго закрепленных на контуре (1957 г.) [78].

В 1960 г. П. Нагди, А.Калнисом [109] получены дифференциальные уравнения теории пологих трехслойных сферических оболочек. В 1967 г. Б. Коплик, Ю. Ви Юань [126] исследовали неосесим-метричные колебания пологой трехслойной сферической оболочки с симметричной структурой пакета слоев.

В 1968 г. Ю. Э. Сеницким решена нестационарная динамическая задачи для сферы и полусферы, рассматриваемая на основе безмоментной теории Власова, с помощью разработанного автором структурного алгоритма конечных интегральных преобразований (КИП). Впоследствии, на основе уравнений технической теории в смешанной форме Власова-Донелла, Ю. Э. Сеницким и его учениками методом КИП получен замкнутые2 решений для пологих сферических оболочек в случае осесимметричного [83], [84], [90] и неосесимметричного [91], [92] динамического воздействия. Рассмотрены различные случаи нестационарных воздействий и достаточно общие (упругие и идеализированные) условия закрепления на опорах. Построено замкнутое решение аналогичной осесимметрич-ной динамической задачи на основе разрешающей системы уравнений в перемещениях [92]. Был произведен анализ круговых частот, а также напряженно-деформированного состояния оболочки. Установлено взаимное влияние моментного и мембранного напряженно

2Под замкнутыми решением здесь и далее понимается решения представлены в рядах, все члены которого могут быть вычислены точно деформированного состояния.

В 1971 г, П. Цулковский, X. Райзман [102] построили замкнутое решение осесимметричной задачи о собственных и вынужденных колебаниях жестко защемленной пологой сферической трехслойной оболочки в уточненной постановке без учета тангенциальных сил инерции. Авторы этой работы применили метод разложения по собственным функциям. Приведен численный анализ частот собственных колебаний, прогибов и усилий в центре оболочки по классической и уточненной теориям.

С. Мирза (S. Mirza) и А. Синх (A. Singh) исследовали свободные колебания непологих сферических оболочек с легким заполнителем и мембранными симметричными внешними слоями [115], [116], [117]. Точные решения уравнений движения были получены в функциях Лежандра произвольной комплексной степени; числовые результаты для осесимметричных форм колебаний и для оболочек с различными углами раствора приведены в [104].

Исследованием собственных и вынужденных колебаний многослойных оболочек занимались многие ученые : H.A. Алфутов[5],

A. Н. Андреев [6], В. В. Болотин [12], П. М. Варвака[16], А. Т. Векслер [18], К.З. Галимов [21], Э.И. Григолюк[30, 31], Я.М. Григоренко [32], Г. Д. Гродский [34], С. А. Гришин [33], А. Г. Горшков [29], Э.Я. Еленицкий [38], H.A. Кильчевский [42], В.И. Королев [43],

B. А. Крысько [45], А.Д. Лизарев [47, 49], С. А. Лычев ([51]- [52]), Ю. В. Немировский [70], О. Д. Ониашвили [73], Б. Л. Пелех [74] ,В.В. Пикуль [75], Ю.Э. Сеницкий ([82]-[92]) др.

Отметим ряд прикладых задач, рассмотренные зарубежными авторами: El Hassan Boutyour, El Mostafa Daya, Michel Potier-Ferry [105]; Ravish S. Mastia, M.G. Sainsbory [121]; Laetitia Duigou, Michel Potier-Ferry [112]; Yuh-Chun Hu, Shyh-Chin Huang [125];

C. Saravanan, N. Ganesan, V. Ramamurti [123]; Karnal N. Kharti [110].

Проведенный обзор литературы показывает широту исследования динамических задач для слоистых оболочек, однако остаются неясными вопросы влияния асимметрии структуры пакета слоев и влияния неупругих свойств слоя на динамическую реакцию конструкции.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Сайфутдинов, Юсуп Назипович

Выводы

1. Из вариационного принципа Онзагера получены уравнения движения и краевые условия для трехслойной сферической оболочки, новизна которых состоит в учете несимметричности структуры пакета слоев и неупругого деформирования среднего слоя.

2. Построен новый класс несимметричных интегральных преобразований, ядра которых определяются полной системой собственных и присоединенных функций пучка несамосопряженных дифференциальных операторов. Преобразования позволяют представлять решения несамосопряженных начально-краевых задач в форме спектральных разложений по полной биортогональной системе вектор-функций.

3. Построены новые замкнутые решения нестационарных динамических задач для упругозакрепленных трехслойных сферических оболочек с вязкоупругим средним слоем.

4. На основе построенного решения разработаны и реализованы вычислительные алгоритмы, осуществлен численный анализ влияния асимметрии пакета слоев и вязкоупругих свойств среднего слоя на распределение собственных частот колебаний, а также на собственные формы и перемещения при различных нестационарных нагрузках.

5. В результате вычислительного эксперимента установлено, что гипотеза о независимости собственных форм от параметров внутреннего трения нарушается в случаях, когда период tiro собственного колебания приближается к величине времени релаксации материала среднего слоя.

6. Установлено, что первые собственные частоты достигают наибольшего значения для определенных соотношений толщин слоев при фиксированной удельной массе всего пакета слоев. Такие оболочки обладают наибольшей жесткостью при фиксированной массе и в этом смысле могут рассматриваться как оптимальные конструкции. Сравнительный анализ динамической реакции трехслойных оболочек с оптимизированной и симметричной структурой пакета слоев показал, что в оболочке наибольшей жесткости максимальные перемещения меньше на 10-20%.

7. Осуществлен расчет защитной оболочки реакторного отделения АЭС ВВЭР-1000 на специальные аварийные воздействия, определяемые экспериментальной диаграммой МАГАТЭ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сайфутдинов, Юсуп Назипович, 2007 год

1. Абрамовиц М. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами./М. Абрамовиц ,И. Стиган / М.: Наука, 1979.-С.830.

2. Амбрацумян, С. А. Общая теория анизотропных оболочек./С. А. Амбра-цумян //М.: Наука, 1974.-С. 446.

3. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики./В. И. Арнольд // М.: Наука, 1974.-С. 432

4. Айне, Э. JI. Обыкновенные дифференциальные уравнения./Э. JI. Айне / Харьков: ОНТИ, 1939.-С.7175J Алфутов, H.A. Расчет многослойных пластин и оболочек /H.A. Алфутов, H.A. Зиновьев, Б.Г. Попов // -М.: Машиностроение, 1984.-С.264

5. Андреев, А.Н. Многослойные анизотропные оболочки и пластины /А.Н. Андреев, Ю.В. Немировский // -Новосибирск.: Наука, 2001.-С.288.

6. Аткинсон, Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи./Ф. М. Ат-кинсон /: Мир, 1968.-С749.

7. Ахиезер, Н. И. Теория линейных операторов в гильбертовом проетран-стве/Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман // М.:Наука, 1966. -С.543.

8. Бахарева, И.Ф. Нелинейная неравновесная термодинамика/И.Ф. Бахарева //Саратов: Изд. Саратовского университета, 1976.

9. Био, М. Вариационные принципы в теории теплообмена/М. Био //:Пер. с англ. М.: Энергия, 1975.

10. Бирбраер А. Н. Прочность и надежность конструкций АЭС при особых динамических воздействиях./А. Н. Бирбраер, С. Г. Шульман /-М.: Энер-гоатомиздат, 1989.-С.302

11. Болотин, В.В. Механика многослойных конструкций /В.В. Болотин, Ю.Н. Новичков/ -М.: Машиностроение, 1980.-С.375

12. Болотин, В. В. О плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболочек /Болотин В. В. // Прикладная матем. и механика, 1963. т. 27, вып. 2.-С.362-364.

13. Болотин, В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. /В. В. Болотин // М.: Физматгиз, 1961.-С.339.

14. Бродский, М. С. Треугольные и жордановы представления линейных операторов/Болотин В. В. // М.: Наука, 1969.-С.287 с.

15. Варвак, П. М. Колебания многослойных оболочек./П. М. Варвак, В. Г. Пискунов, А. Ф. Рябов // В кн.: Тр. VIII Всесоюз. Конференции по теории оболочек и пластин (Ростов-на-Дону, 1971). М.: Наука, 1973.-С.415-42017 1819 20 [2122 23 [2425