Динамика спин–поляризованной плазмы и плазмы сложного химического состава тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Фомин Игорь Вадимович

• Фомин Игорь Вадимович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Фомин Игорь Вадимович

Содержание

Введение

1 Обзор литературы

1.1 Квантовое кинетическое уравнение

1.2 Рассеяние пучков спин–поляризованных заряженных частиц

1.3 Плазма, состоящая из нескольких сортов ионов

2 Динамика разреженного электронного газа в плазме с учетом его

спин–поляризации

2.1 Интеграл столкновений в кинетическом уравнении для рассеяния

электронов на ионах

2.2 Интеграл столкновений в кинетическом уравнении для рассеяния

электронов на электронах

2.3 Рассеяние электрона в кулоновском поле притяжения

2.3.1 Уравнение Шредингера для кулоновского притяжения элек-

трона

2.3.2 Теория возмущений при малых энергиях столкновений

2.3.3 Амплитуда переворота спина медленного электрона в куло-

новском поле притяжения

2.4 Взаимное рассеяние двух электронов с переворотом спина

2.4.1 Уравнение Шредингера для двух электронов

1

2.4.2 Парциальные фазы рассеяния медленных электронов друг

на друге с переворотом спина

2.4.3 Амплитуда рассеяния медленных электронов друг на друге

с переворотом спина

2.5 Оценка времени релаксации спиновой поляризации максвелловской

плазмы

2.5.1 Амплитуда взаимного рассеяния двух электронов

2.5.2 Оптическая теорема, как следствие интеграла столкновений

2.5.3 Общий вид интеграла столкновений для электрон–

электронного взаимодействия, с учетом симметрий ам-

плитуды рассеяния

2.5.4 Релаксация суммарной спин–поляризации электронов

2.5.5 Время релаксации спиновой поляризации в условиях устано-

вившегося максвелловского распределения по импульсам

2.5.6 Релаксация спина для электрон–ионного взаимодействия

2.6 Заключение

3 Перенос в плазме, содержащей малые концентрации нескольких

тяжелых примесей

3.1 Кинетические уравнения для компонент плазмы и уравнения маг-

нитной гидродинамики

3.2 Линеаризованное электронное кинетическое уравнение

3.3 Линеаризованное ионное кинетическое уравнение. Общий случай

3.4 Линеаризованные кинетические уравнения для легких ионов

3.5 Линеаризованные кинетические уравнения для тяжелых ионов, j =

2, 3, ..., N

3.6 Процедура замыкания для решения векторных частей линеаризо-

ванных электронного и ионных кинетических уравнений

3.7 Система МГД–уравнений

2

3.7.1 Система МГД–уравнений для электронов

3.7.2 Электронный поток тепла

3.7.3 Сила трения между электронами и ионами

3.7.4 Электронная вязкость

3.7.5 Система МГД–уравнений для ионов

3.7.6 Ионный поток тепла

3.7.7 Поток примеси

3.7.8 Ионная вязкость

3.8 Заключение

Заключение

Список литературы

Приложение

3

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика спин–поляризованной плазмы и плазмы сложного химического состава»

Актуальность работы

Диссертационная работа посвящена двум проблемам кинетики плазмы. Пер-

вая проблема заключается в описании кинетики плазмы с учетом спиновой степе-

ни свободы ее компонент. Вторая проблема заключается в рассмотрении влияния

примесей состава на МГД–уравнения плазмы и кинетические коэффициенты.

Спиновая поляризация плазмы редко рассматривается при кинетическом или

гидродинамическом описании ее динамики [1]–[4]. Это происходит, несмотря на то,

что время релаксации спиновой поляризации плазмы в α−4 раз дольше, чем время

установления максвелловской функции распределения в полностью ионизованной

плазме. Причиной отмеченного пренебрежения эффектами спиновой поляризации

является ее слабое влияние на обычно рассматриваемые свойства плазмы.

Свойства поляризации газов и плазмы рассматриваются в ряде работ [5]–[7].

Создание слабоионизованной плазмы с сильной степенью спиновой поляризации

приводит к избытку мeтастабильных по спину атомов и ионов. Подобная плазма

может иметь существенное практическое значение. Избыток мeтастабильных ато-

мов и ионов приводит к своеобразной консервации энергии возбужденных атомов

и ионов. Благодаря данной консервации, возникают нестандартные каналы хи-

мических реакций в такой плазме. В работах [5, 6] было установлено воздействие

оптической ориентации атомов на электропроводность плазмы и интенсивность ее

излучения. Этот эффект был обнаружен в гелиевой плазме при оптической ориен-

тации в ней мeтастабильных атомов гелия. Свойства подобной плазмы практиче-

4

ски не обсуждались в литературе, за исключением, возможно, работы [7]. Одним

из способов создания такой спин-поляризованной плазмы является использование

ферромагнитных катодов в тлеющем разряде [8, 9].

Холодный газ из мeтастабильных атомов, существующих за счет сильной спи-

новой поляризации системы связанных электронов, проявляет богатые физиче-

ские свойства. Создание и исследование такого газа является одним из важней-

ших направлений современных физических исследований [10]–[13]. Релаксация в

подобном газе изучается во многих теоретических работах, например, [14].

Для теоретического описания подобного холодного газа, E  α2 me c2 , надо по-

лучить не только динамическое описание с помощью интеграла столкновений, но

и детально рассмотреть акт парного столкновения. В классической серии работ

Мотта, Моллера, Месси, Форда и Штехле ([15]–[20]) для получения конкретных

амплитуд рассеяния используется первое борновское приближение. Результатом

такого приближения является то, что полученные амплитуды не могут быть ис-

пользованы в области параметров плазмы, отмеченной выше. Классическая рабо-

та Гордона [21] посвящена вычислению точных амплитуд рассеяния заряженных

частиц друг на друге без использования теории возмущений, но в ней рассматри-

вались только бесспиновые частицы.

Перейдем к рассмотрению второй проблемы кинетики плазмы, освещенной в

диссертационной работе. При описании динамики столкновительной плазмы, ко-

торая состоит из одного сорта ионов и электронов, обычно применяется магнито-

гидродинамическая модель с самосогласованным электромагнитным полем. Эта

модель основывается на кинетических уравнениях для одночастичных функций

распределения для обеих компонент плазмы. Диссипативные эффекты определя-

ются известным способом из исходных кинетических уравнений. Изложение этих

результатов содержится в известной работе Брагинского [22].

Во многих случаях при описании динамики столкновительной плазмы в при-

родных объектах и лабораторных условиях приходится учитывать ее сложный хи-

мический состав. Кроме электронов и одного сорта ионов в состав плазмы может

5

дополнительно входить малое количество ионов с разными массами и степенями

ионизации. Эти дополнительные ионы возникают в процессе формирования плаз-

мы или при испарении со стенок лабораторных установок. Влияние подобных

«примесей» обычно не учитывается при численном моделировании процессов в

плазме. Однако поведение ионов с разными массами и степенями ионизации как

функций от координат и времени может существенно отличаться. Таким образом,

вопрос описания столкновительной плазмы с учетом влияния «примесей» пред-

ставляет существенный интерес. Влияние сложного химического состава плазмы

на диссипативные потоки обсуждалось в работах [23]–[32].

Цели и задачи исследования

Первой целью диссертационной работы являлась разработка уравнений для

теоретического описания холодной разреженной водородной плазмы с учетом спи-

новой степени свободы частиц. Второй целью была разработка уравнений для опи-

сания множественных тяжелых примесей в плазме. Для достижения этих целей

были поставлены следующие задачи:

• вывод интеграла столкновений для спин–поляризованной электрон–ионной

плазмы;

• вывод аналитических выражений для амплитуды спин–орбитального рассея-

ния электронов на электронах и на ионах;

• вывод оценки времен релаксации спиновой поляризации в плазме с устано-

вившимся максвелловским распределением по импульсам;

• вывод кинетических уравнений, описывающих тяжелые примеси в плазме;

• вывод МГД–уравнений для случая множественных тяжелых примесей в плаз-

ме.

6

Научная новизна

• Разработан новый метод получения интеграла столкновений из первых прин-

ципов. Стандартный подход к выводу квантового кинетического уравнения

основывается на теории возмущений по малости силы взаимодействия. Этот

подход можно увидеть, например, в работах Исихары и Ван Хофа [33]. В

данной работе использована «редкость» парных столкновений, обусловлен-

ная малыми концентрациями сталкивающихся частиц. В результате движе-

ние частиц между столкновениями допустимо рассматривать как квазиклас-

сическое. При этом можно действовать аналогично «классическому» способу

вывода кинетического уравнения, но для квантового случая. При этом учи-

тывается вырождение состояний по спину.

• Получены интегралы столкновений электронов с электронами и с ионами,

учитывающие спиновые переменные и при этом не требующие первого борнов-

ского приближения при описании столкновений частиц. В работе Силина [4]

приведен вывод квантового кинетического уравнения для случая слабого вза-

имодействия f p  ~, которое допускало средние населенности f 3 ne ∼ 1. Но

при этом было так же использовано первое борновское приближение для по-

лучения амплитуд рассеяния. В данной работе вместо требования слабости

парного взаимодействия допускается f p ∼ ~, но при этом возникает условие

«разреженности» плазмы f 3 ne  1.

• Получены аналитические выражения для амплитуды рассеяния с учетом

переворота спина при рассеянии электрона на электроне и на ионе. В работах

Мотта [15] и Моллера [16], этот результат получался в виде суммы по

парциальным амплитудам, но итоговое суммирование проводилось в первом

борновском приближении. В данной работе не использовано это приближение

и получен результат, справедливый и для p  αme c.

7

 • Получены интегралы столкновений, описывающие взаимодействие электро-

нов с ионами и с электронами, которые основаны на амплитуде рассеяния

электронов в первом порядке по величине спин–орбитального взаимодействия.

На основе этих интегралов столкновений получены времена релаксации спина

за счет электрон–ионных и электрон–электронных взаимодействий.

• Предложен метод совместного решения кинетических уравнений, описываю-

щих систему множественных тяжелых примесей в плазме. В работах [24, 26,

27, 30] рассматривалась система из электронов, одного сорта легких ионов и

одного сорта тяжелых ионов, в которой последовательно применялось разло-

жение по малости отношения масс. Разработанный метод позволил продол-

жить этот подход на случай многих тяжелых ионов.

• На основании полученных уравнений, описывающих динамику множествен-

ных примесей в плазме, была впервые выведена система МГД–уравнений с

соответствующими кинетическими коэффициентами.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Предложен новый метод вывода кван-

тового кинетического уравнения. Интегралы столкновений, амплитуды рассеяния

и МГД–уравнения для примесей получены математически точно. Результаты ра-

боты, касающиеся кинетики спин–поляризованной плазмы, дают инструмент для

описания ее релаксации. Это позволяет решать широкий спектр задач плазменной

химии, связанных с химическими процессами в плазме и сроками жизни мeта-

стабильных состояний вещества. Магнитогидродинамические уравнения с учетом

примесей востребованы при описании как астрофизической, так и лабораторной

плазмы.

8

Положения, выносимые на защиту

• Разработан и применен метод вывода интеграла столкновений в квантовом

кинетическом уравнении из структуры волновых функций рассеяния с уче-

том спиновых переменных, позволяющий описывать не только слабое парное

взаимодействие f p  ~, но и сильное парное взаимодействие f p ∼ ~ за счет

дополнительного условия разреженности плазмы Ne  1.

• Выведены аналитические выражения для амплитуд переворота спина при рас-

сеянии электрона на ионе и на электроне, справедливые в области p  αme c.

Используя выражения для амплитуд рассеяния и интегралов столкновений,

получены времена релаксации, соответствующие электрон–электронному и

электрон–ионному взаимодействию.

• Разработан и применен метод замыкания векторных частей кинетических

уравнений, описывающих динамику тяжелых примесей в плазме, состоящей

из электронов и нескольких сортов ионов. В результате решения этих уравне-

ний получен законченный вид двухтемпературных МГД–уравнений и полный

набор соответствующих кинетических коэффициентов.

Достоверность и обоснованность полученных результатов

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечена

• строгостью и корректностью математических вычислений и рассуждений;

• квалифицированной апробацией на международных и российских конферен-

циях и семинарах;

• публикациями результатов исследования в рецензируемых научных изданиях,

в том числе, рекомендованных ВАК РФ;

• сопоставлением полученных результатов с существующими ранее результата-

ми для общей области применимости.

9

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы прошли апробацию на следующих

конференциях:

• 54 международная конференция МФТИ, (МФТИ, ноябрь 2011 г.)

• 39 международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и управ-

ляемому термоядерному синтезу (г. Звенигород, февраль 2012 г.)[39]

• 40 международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и управ-

ляемому термоядерному синтезу (г. Звенигород, февраль 2013 г.)[40]

• 41 международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и управ-

ляемому термоядерному синтезу (г. Звенигород, февраль 2014 г.)[41]

• 42 международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и управ-

ляемому термоядерному синтезу (г. Звенигород, февраль 2015 г.)[42]

• 43 международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и управ-

ляемому термоядерному синтезу (г. Звенигород, февраль 2016 г.)[43]

По материалам конференций были опубликованы пять тезисов докладов в сборни-

ках трудов конференций ([39]–[43]). Материалы диссертационной работы обсуж-

дались на семинарах под руководством чл.-корр. РАН Имшенника В.С. (ИТЭФ,

июнь 2010г., ИТЭФ, февраль 2012г., ИТЭФ, июнь 2012г.)

Опубликованные работы по теме диссертации

По материалам диссертации опубликованы 5 работ, из них четыре статьи в рецен-

зируемых журналах, рекомендованных ВАК РФ ([34]–[37]), один препринт [38].

1 Сасоров П.В., Фомин И.В. Интеграл столкновений в кинетическом уравнении

для разреженного электронного газа с учетом его спин-поляризации, ЖЭТФ

147, 1271 (2015);

Sasorov P.V., Fomin I.V. Collision integral in the kinetic equation for a rarefied

electron gas with allowance for its spin polarization, JETP 120, 1101 (2015).

10

 2 Сасоров П.В., Фомин И.В. Переворот спина за счет спин–орбитального взаи-

модействия сталкивающихся медленных заряженных частиц, ЖЭТФ 151, 99

(2017);

Sasorov P.V., Fomin I.V. Spin flip due to spin-orbit interaction of colliding slow

charged particles, JETP 124, 85 (2017).

3 Фомин И.В., Боброва Н.А., Сасоров П.В. Перенос в плазме, содержащей ма-

лые концентрации нескольких тяжелых примесей, Физика Плазмы 43, 521

(2017);

Fomin I.V., Bobrova N.A., Sasorov P.V. Transport processes in plasma with an

admixture of several heavy impurities, Plasma Physics Reports 43, 621 (2017).

4 Фомин И.В., Сасоров П.В. Релаксация спин–поляризованного разреженного

электронного газа, Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2017. №67. 23 с.

5 Сасоров П.В., Фомин И.В. Интеграл столкновений в кинетическом уравнении

для разреженного электронного газа с учетом его спин-поляризации, Пре-

принты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2014. № 57. 18 с.

Структура работы

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и прило-

жения. Общий объем диссертации составляет 144 страницы, из них 136 страниц

текста, включая 4 рисунка и 1 таблицу. Библиография включает в себя 90 наиме-

нований на 8 страницах.

Личный вклад автора

Все результаты диссертации получены лично соискателем при научном руковод-

стве доктора физико–математических наук Сасорова П.В. Соискатель принимал

участие во всех этапах решения задачи: постановке задачи, создании модели для

описания задачи и создании методов для ее решения, проведении аналитических

расчетов, выводе окончательных уравнений и обсуждении результатов.

11

Благодарности

Соискатель выражает благодарность д.ф.-м.н. Сасорову П.В., как научному руко-

водителю и соавтору, д.ф.-м.н. Бобровой Н.А., как соавтору, а также чл.-кор. РАН

Имшеннику В.С., д.ф.-м.н. Блинникову С.И., д.ф.-м.н. Утробину В.П. и д.ф.-м.н.

Гасилову В.А., чьи ценные критические замечания способствовали проведению

данной работы. Соискатель также благодарен д.ф.-м.н. Янькову В.В. за замеча-

ние о потенциальной важности спиновой поляризации плазмы.

12

Глава 1

Обзор литературы

1.1 Квантовое кинетическое уравнение

Кинетическое уравнение Больцмана является одним из важнейших уравнений

физической кинетики. Для описания эволюции классической системы использу-

ется уравнение Лиувилля. Дальнейшее развитие этого уравнения, а именно, идея

сокращенного описания динамических систем, была впервые выдвинута и разви-

та Боголюбовым [44]. Она также известна как иерархия уравнений Боголюбова-

Борна-Грина-Кирквуда-Ивона. Квантовое кинетическое уравнение отличается от

классического кинетического уравнения Больцмана [4, 45, 46]. Во-первых, в кван-

товой механике частицы подчиняются статистике Ферми—Дирака или Бозе—

Эйнштейна, что накладывает ограничения на конечное состояние после акта рас-

сеяния. Во-вторых, сечение рассеяния, входящие в интеграл столкновений, долж-

но вычисляться с учетом квантовомеханических взаимодействий.

В квантовой механике роль классической функции распределения выполняет

матрица плотности. Впервые ее ввели Нейман [47] и Ландау [48]. В работах Бло-

хинцева [49, 50] и Терлецкого [51] указаны способы сопоставления матрицы плот-

ности с классической функцией распределения в фазовом пространстве. При этом

квантовая система представляется как некогерентная суперпозиция собственных

состояний или микроканонический ансамбль. Роль молекулярного хаоса, исполь-

13

зуемого при выводе классического кинетического уравнения, играет предположе-

ние случайных фаз, усовершенствованное Ван Хофом [52].

При описании квантовой идеальной плазмы обычно используется кинетиче-

ское уравнение, аналогичное классическому кинетическому уравнению Балеску–

Ленарда [53, 54]. Такое кинетическое уравнение было получено для слабых откло-

нений от термодинамического равновесия Константиновым и Перелем [55]. Вывод

соответствующего интеграла столкновений приведен в работе Силина [56]. Как и в

классическом случае, в этом кинетическом уравнении учитывается динамическая

поляризация плазмы, которая обеспечивает экранировку заряженных частиц на

больших расстояниях. При этом взаимодействие частиц рассматривается лишь в

приближении теории возмущений. Для неидеальной плазмы такой подход не ра-

ботает, так как взаимодействие на малых расстояниях дает существенный вклад

в термодинамические функции. Отсюда возникает необходимость использования

приближения парных столкновений.

Дальнейшее развитие квантового кинетического уравнения для идеальной

плазмы можно увидеть в работах Боголюбова [44] и Гурова [57, 58]. В [57, 58]

был впервые получен квантовый интеграл столкновений для идеального газа в

приближении теории возмущений. В работах Климонтовича, Силина [59]–[62] и

Гольдмана [63] рассматривались квантовые колебания плазмы в самосогласован-

ном поле и получаемые атомные спектры возбуждений.

Для неидеального газа первая попытка построения квантового кинетического

уравнения Больцмана была проделана Грином [64]. Позже, в работе Хоффма-

на [65], было показано, как результат Грина [64] можно свести к классическому

интегралу столкновений Больцмана с квантовомеханическим сечением взаимо-

действия. Дальнейшие попытки построения квантового кинетического уравнения

изложены в работах Каданова и Бейма [66], Бэрвинкеля и Гроссмана [67, 68]. В

работе Климонтовича и Эбелинга [69] рассмотрены квантовые кинетические урав-

нения для неидеальной полностью ионизованной невырожденной плазмы. Даже

при высоких температурах, в кинетической теории плазмы обменные эффекты

14

могут играть важную роль. В работе Климонтовича и Крэфта [70] были рассмот-

рены обменные эффекты в кинетическом уравнении для полностью ионизованной

неидеальной плазмы. В работах Силина [56] и Балеску [71] был получен интеграл

столкновений в поляризационном приближении для неидеальной плазмы. Одна-

ко одновременный учет динамической поляризации на больших расстояниях и

сильных взаимодействий частиц на малых расстояниях приводит, как и в класси-

ческой теории, к существенным сложностям. Поэтому часто учитывается только

усредненный вклад динамической поляризации.

Отдельно стоит упомянуть дальнейшее направление развития квантового ки-

нетического уравнения в кинетике молекулярной плазмы (см. обзоры Даллера

и Хоффмана [72], Колесниченко [73] и Вальдмана [74]). В этом случае теория

усложняется необходимостью учета внутренних степеней свободы молекул газа.

Самый общий подход к выводу квантово-механического кинетического уравне-

ния был развит Ван Хофом и его последователями. Этот этап развития отражен,

например, в книге [33]. В нем рассматривалась система с невозмущенным гамиль-

тонианом H0 с известными невырожденными уровнями энергии, возмущенная ма-

ленькой добавкой в гамильтониан H1 . Теория строилась как теория возмущений,

используя малость H1 по отношению к H0 . При этом главным пунктом теории

было доказательство того, что недиагональные элементы матрицы плотности в

представлении по собственным состояниям гамильтониана H0 являются относи-

тельно малыми.

В работе Силина [4] этот подход был значительно обобщен, так, чтобы мож-

но было получить кинетическое уравнение типа Больцмана, но для газа тожде-

ственных фермионов со спином 1/2. Это возможно в случае, когда длина пробега

частиц много больше среднего расстояния между ними. В терминах амплитуды

рассеяния f это условие выглядит так:

f 3 ne  1 . (1.1)

15

Под f здесь и ниже в аналогичных оценках подразумеваются типичные (макси-

мальные) по спиновым переменным амплитуды рассеяния на угол порядка π/2.

При попытке учета того, что средние населенности квантовомеханических состо-

яний Ne ∼ ne ~3 p−3

T могут быть порядка 1, возникает условие слабости парного

взаимодействия f pT  ~. Заметим, что это условие совсем не совпадает с рас-

смотренным чуть выше условием слабой неидеальности газа, но они следуют друг

из друга при дополнительном условии Ne ∼ 1. В рассмотренных условиях Сили-

ным был получен вывод кинетического уравнения для газа фермионов с учетом

того важного обстоятельства, что состояния свободных электронов вырождены

относительно направления спинов. Поэтому основными зависимыми переменны-

ми для кинетического уравнения являются не только усредненные по поляризации

населенности состояний свободных электронов, но и, дополнительно, локальная в

фазовом пространстве спиновая часть матрицы плотности [1, 50]. Для матрицы

плотности используется смешанное (импульсное) представление, разработанное

Вигнером [75]. При описании частиц со спином, матрица плотности приобрета-

ет еще более сложный вид. Например, для статистики Ферми—Дирака матрица

плотности описана в работе Фока [76]. Ключевым требованием для упрощения

задачи является то, что точная многочастичная матрица плотности приближенно

распадется на произведения (с учетом тождественности) одночастичных матриц

плотности. Для классического газа аналогичное свойство приближенной фактори-

зации многочастичной функции распределения подробно обсуждается в [3]. При

конкретной реализации метода [4] не была учтена амплитуда переворота спина

при рассеянии, а скалярный фактор в амплитуде рассеяния предполагался зави-

сящим только от модуля переданного импульса. Последнее всегда имеет место в

первом борновском приближении.

Из сказанного в предыдущем абзаце становится понятно, что имеется еще одна

область, в которой газ является слабо неидеальным: f 3 ne  1. При этом газ дол-

жен быть сильно разреженным Ne  1, а парное взаимодействие частиц может

быть произвольно сильным: f pT ∼ ~. Такая ситуация подходит для рассмотре-

16

ния динамики спиновой поляризации газа электронов в относительно холодной

и сильно разреженной плазме. Именно этот случай представляет особый интерес

в свете задач, рассмотренных выше во Введении. При этом учет переворота спи-

на при рассеянии является основной целью данной работы. В рамках получения

интеграла столкновений будем считать амплитуды переворота спина рассеяния

известными, не используя решение задачи парного рассеяния частиц. Такой пре-

дельный случай ближе к классическому способу получения уравнения Больцмана.

Важно отметить, что, поскольку не накладывается никаких условий на f pT /~, то

области применимости рассмотренных тут двух подходов пересекаются. Это мо-

жет быть использовано для взаимного контроля полученных результатов.

Одной из задач данной работы будет вывод интеграла столкновений, приме-

1/3

нимого в области параметров плазмы e2 ne  ET  α2 mc2 . Это позволит трак-

товать электроны плазмы как сильно разреженный невырожденный электронный

газ, поскольку в указанной области энергий и плотностей числа заполнений элек-

тронных состояний малы. В этом случае можно воспользоваться подходом од-

ночастичной функции распределения (матрицы плотности). Сильное взаимодей-

ствие частиц происходит относительно редко, когда частицы сближаются, поэтому

функция распределения, как и распределение спиновой поляризации в фазовом

пространстве, медленно меняются со временем.

1.2 Рассеяние пучков спин–поляризованных заря-

женных частиц

Многие существенные успехи современной физики были достигнуты благода-

ря исследованию поведения пучков заряженных частиц. Упомянем здесь исследо-

вания катодных лучей Томсоном, Кауфманом и Астоном, которые привели к от-

крытию электрона, определению отношения e/me , обнаружению релятивистского

изменения массы и дефекта массы атомов. Дальнейшие работы по бомбардиров-

17

ке мишени пучком заряженных частиц, выполненные Резерфордом, Франком и

Герцем, дали еще больше информации. Однако эти эксперименты были направ-

лены на изучении атома, его планетарной структуры и стационарных состояний,

а не сталкивающихся с ним частиц. В 1911 г. Бор предложил теорию, описыва-

ющую тормозную способность вещества при прохождении через него α-частиц и

электронов. В 1923 г. Крамерс создал теорию излучения частицей при ее столк-

новении с неподвижной мишенью. Хотя эти формулы и были удобны для анализа

экспериментальных данных, они не имели под собой серьезного теоретического

обоснования.

Амплитуда рассеяния для заряженных частиц в кулоновском поле без учета

их спина была впервые получена Гордоном [21]. Чуть позже Мотт [15] разработал

общий подход к описанию рассеяния электрона в кулоновском поле с учетом спин–

орбитального взаимодействия. Полученные амплитуды рассеяния, выраженные с

помощью суммирования по парциальным волнам, слишком сложны для вычис-

ления в общем случае. Поэтому в большинстве работ используют иной подход

и вычисляют не саму амплитуду рассеяния, а дифференциальное сечение рас-

сеяния dσ/dΩ. В качестве амплитуды рассеяния, где это возможно, используют

амплитуду, полученную в первом борновском приближении.

Взаимное рассеяние электронов впервые рассматривалось Моллером [16]. В

своей работе он рассмотрел ионизационные потери электронов и сопоставил их с

формулой Бете–Блоха. Позже в работе Штехле [20] были получены необходимые

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фомин Игорь Вадимович, 2017 год

Литература

1. Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория).

Издание 6-е, исправленное. М.: Физматлит, 2004.

2. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика.

Квантовая электродинамика. Издание 4-е, исправленное. М.: Физматлит, 2002.

3. Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной

плазмы. М.: Наука, 1975.

4. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов М.: ФИАН, 1998.

5. Севастьянов В.Н., Житников Р.А. Влияние оптической ориентации атомов

He4 в состоянии 2 3 S1 на электронную плотность и излучение гелия в плазме.

ЖЭТФ 56 , 1508 (1969).

6. Житников Р.А. Исследования по оптической ориентации атомов и ее исполь-

зование для создания приборов квантовой электроники. УФН 104, 168 (1971).

7. Yankov V.V. Creation of spin-magnetized gas by plasma discharge. Phys. Scripta

57, 460 (1998).

8. Ваганов А.Б. Поляризованные электроны из ферромагнетиков. УФН 119, 257

(1976).

9. Sinclair C.K., Adderley P.A., Dunham B.M., et al. Development of a high average

current polarized electron source with long cathode operational lifetime. Phys. Rev.

ST. Accel. Beams, 2007. 10. 023501.

133

10. Abo-Shaeer J.R., Raman C., Vogels J.M. et al. Observation of vortex lattices in

Bose-Einstein condensates. Science 292, 476 (2001).

11. Naik D.S., Raman C. Optically plugged quadrupole trap for Bose-Einstein

condensates. Phys. Rev. A 71, 033617 (2005).

12. Streed E.W., Chikkatur A.P., Gustavson T.L. et al. Rev. Sci. Instrum. 77, 023106

(2006).

13. Comparat D., Fioretti A., Stern G. et al. Optimized production of large Bose-

Einstein condensates. Phys. Rev. A 73, 043410 (2006).

14. Fedichev P.O., Reynolds M.W., Rahmanov U.M. et al. Inelastic decay processes in

a gas of spin-polarized triplet helium. Phys. Rev. A 53, 1447 (1996).

15. Mott N.F. The scattering of fast atomic electrons by nuclei. Proc. Roy. Soc. London

А 124, 425 (1929); The polarization of electrons by double scattering. Proc. Roy.

Soc. (London), 135, 429 (1932).

16. Möller C. Zur Theorie des durchgangs schneller elektronen durch materie. Ann.

der Phys. 406, 531 (1932).

17. Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений. М.:Изд-во иностр. лит., 1951.

18. McMaster W.H. Matrix representation of polarization. Amer. J. Phys. 22, 531

(1954).

19. Ford G., Mullen C. Scattering of polarazed Dirac particles on electrons. Phys. Rev.

108, 447 (1957).

20. Stehle P. Calculation of electron-electron scattering. Phys. Rev. 110, 1458 (1958).

21. Gordon W. Uber den Stob zweier Punktladungen nach der Wellenmechanik. Z.

Phys. 48, 180 (1928).

134

22. Брагинский С.И. ЖЭTФ 33, 459 (1957);

Вопросы теории плазмы. Ред. Леонтович М.А. Вып. 1. М.: Госатомиздат, 183

(1963).

23. Vekshtein G.E. Reviews of Plasma Physics 15. Ed. B.B. Kadomtsev. N. Y.:

Consultant Bureau, (1990).

24. Боброва Н.А., Сасоров П.В. Физика плазмы 19, 789 (1993).

25. Гордеев А.В. Физика плазмы 27, 700 (2001).

26. Bobrova N.A., Lazzaro E., Sasorov P.V. Phys. Plasmas 12, 022105 (2005).

27. Боброва Н.А., Кочарян А.Э., Сасоров П.В. Физика плазмы 33, 782 (2007).

28. Rudakov L.I. Phys. Plasmas 2, 2940 (1995).

29. Chakrabarti N., Fruchtman A., et al. Phys. Lett. A. 297, 92 (2002).

30. Кочарян А.Э., Боброва Н.А., Сасоров П.В. Физика плазмы 32, 963 (2006).

31. Бисноватый-Коган Г.С. Прикладная Механика и Техническая Физика 3, 43

(1964).

32. Жданов В.М. Явления переноса в многокомпонентной плазме. М.: Энерго-

атомиздат, (1982).

33. Isihara A. Statistical Physics. Acad. Press, New York (1971).

34. Сасоров П.В., Фомин И.В. Интеграл столкновений в кинетическом уравнении

для разреженного электронного газа с учетом его спин-поляризации, ЖЭТФ

147, 1271 (2015);

Sasorov P.V., Fomin I.V. Collision integral in the kinetic equation for a rarefied

electron gas with allowance for its spin polarization, JETP 120, 1101 (2015).

135

35. Сасоров П.В., Фомин И.В. Переворот спина за счет спин–орбитального взаи-

модействия сталкивающихся медленных заряженных частиц, ЖЭТФ 151, 99

(2017);

Sasorov P.V., Fomin I.V. Spin flip due to spin-orbit interaction of colliding slow

charged particles, JETP 124, 85 (2017).

36. Фомин И.В., Боброва Н.А., Сасоров П.В. Перенос в плазме, содержащей малые

концентрации нескольких тяжелых примесей, Физика Плазмы 43, 521 (2017);

Fomin I.V., Bobrova N.A., Sasorov P.V. Transport processes in plasma with an

admixture of several heavy impurities, Plasma Physics Reports 43, 621 (2017).

37. Фомин И.В., Сасоров П.В. Релаксация спин–поляризованного разреженного

электронного газа, Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2017. №67. 23 с.

38. Сасоров П.В., Фомин И.В. Интеграл столкновений в кинетическом уравнении

для разреженного электронного газа с учетом его спин-поляризации, Преприн-

ты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2014. № 57. 18 с.

39. Сасоров П.В., Фомин И.В. Интеграл столкновений для спин–поляризованной

плазмы. 39 международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы

и управляемому термоядерному синтезу (г. Звенигород, февраль 2012 г.)

40. Сасоров П.В., Фомин И.В. Кинетическое уравнение электронов в полностью

ионизованной плазме с учетом их спиновой поляризации. 40 международная

(Звенигородская) конференция по физике плазмы и управляемому термоядер-

ному синтезу (г. Звенигород, февраль 2013 г.)

41. Сасоров П.В., Фомин И.В. Релаксация поляризации спина электронного га-

за в полностью ионизованной плазме. 41 международная (Звенигородская)

конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (г.

Звенигород, февраль 2014 г.)

136

42. Боброва Н.А., Сасоров П.В., Фомин И.В. Описание совместной диффузии раз-

реженных тяжелых примесей в плазме. 42 международная (Звенигородская)

конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (г.

Звенигород, февраль 2015 г.)

43. Боброва Н.А., Сасоров П.В., Фомин И.В. Описание совместной диффузии раз-

реженных тяжелых примесей в плазме. 43 международная (Звенигородская)

конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (г.

Звенигород, февраль 2016 г.)

44. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике.

М., (1946).

45. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964.

46. Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной

плазмы. Наука (1975).

47. Neuman F. Göttin. Nachr. 246 (1927).

48. Ландау Л.Д. Zs. Phys. 45, 430 (1927).

49. Блохинцев Д.И. J.Phys. USSR 2, 71 (1940).

50. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. 5 изд., перераб. - М.: Наука,

1976.

51. Терлецкий Я.П. ЖЭТФ 7, 1290 (1937).

52. Cohen E.G.D. Fundamental problems in statistical mechanics. Amsterdam (1962).

53. Balescu R. Irreversible processes in ionozed gases. Phys. of Fluids 3, 52 (1960).

54. Lenard A. On Bogolubovs kinetic equation for a spatially homogeneous plasma.

Ann. Phys. 3, 90 (1960).

137

55. Константинов О.В., Перель В.И. Столкновения частиц в высокотемператур-

ной плазме. ЖЭТФ 39, 861 (1960).

56. Силин В.П. Об интеграле столкновений для заряженных частиц. ЖЭТФ 40,

1768 (1961).

57. Боголюбов Н.Н., Гуров К.П.Кинетические уравнения в квантовой механике.

ЖЭТФ 17, 614 (1947).

58. Гуров К.П.Основания кинетической теории. (Метод Н.Н. Боголюбова.).

М.:Наука, 1966.

59. Климонтович Ю.Л., Силин В.П. К теории спектров возбуждений микроско-

пических систем. Докл. АН СССР 82, 361 (1952).

60. Климонтович Ю.Л., Силин В.П. О спектрах систем взаимодействующих ча-

стиц. ЖЭТФ 23, 151 (1952).

61. Климонтович Ю.Л., Силин В.П. О спектрах систем взаимодействующих ча-

стиц и коллективных потерях при прохождении частиц через вещество. УФН

70, 749 (1962).

62. Силин В.П. Исследование спектра системы многих частиц методом квантового

кинетического уравнения. Тр. ФИАН 6, 200 (1955).

63. Гольдман И.И. Колебания электронного газа с функцией распределения Фер-

ми в состоянии вырождения. ЖЭТФ 17, 681 (1947).

64. Green H. Boltzmanns equation in quantum mechanics. Proc. Roy. Soc. A66, 325

(1953).

65. Hoffman D., Mueller J., Curtiss C. Quantum mechanical Boltzmann equation. J.

Chem. Phys 43, 2878 (1965).

66. Каданов Л., Бейм Г. Квантовая статистическая механика. Мир (1964).

138

67. Baerwinkel K., Grossmann S. On the derivation of the Boltzmann - Landau

equation from quantum mechanical hierarchy. Z.Phys. 198, 277 (1967).

68. Baerwinkel K. Die Vielteilchen T-Matrix und ihre Anwendung in der Theorie realer

Gase von mittler Dichte 1. 2. Z. Naturforschung 24a, 22, 38 (1969).

69. Климонтович Ю.Л., Эбелинг В. Квантовые кинетические уравнения для

неидеального газа и неидеальной плазмы. ЖЭТФ 63, 905 (1972).

70. Климонтович Ю.Л., Крэфт В. Обменные эффекты в квантовых кинетических

уравнениях для неидального газа и неидеальной плазмы. ТМФ 19, 364 (1974).

71. Balescu R. Approach to equilibrium of quantum plasma. Phys. of Fluids 4, 94

(1961).

72. Dahler J., Hoffman D. Theory of transport and relaxation processes in poliatomic

fluids. Wiley Interscience 13, (1970).

73. Колесниченко Е.Г. О выводе кинетических уравений для разреженных хими-

чески реагирующих газов. ТВТ 3, 854 (1971).

74. Вальдман Л. Явления переноса в газах при средних давлениях. в сб. "Термо-

динамика газов под ред. В.С. Зуева, Машиностроение (1970).

75. Wigner E.P. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium. Phys.

Rev. 40, 749 (1932).

76. Фок В.А. Приближенный способ решения квантовой задачи многих тел. Тр.

ГОИ 51, 1 (1931); УФН 93, 342 (1967).

77. Wolfenstein L. Polarization of Fast Nucleons. Ann. Rev. Nucl. Sci. 1956. 6, c. 43.

78. Godberger M.L., Nambu Y., Oehme R. Dispersion relations for nucleon-nucleon

scattering. Ann. of Phys. 1957. 2, c. 226.

139

79. Пузиков Л. Д., Рындин Р. М., Смородинский Я. А. Восстановление матрицы

рассеяния в системе двух нуклонов. ЖЭТФ. 1957. Т. 32. С. 592

80. Ситенко А.Г. Теория рассеяния. “Вища школа”, Киев (1975).

81. Позняк И.М., Архипов Н.И., и др. ВАНТ. Сер. Термоядерный синтез 37,

(2014).

82. Landman I.S. Tokamak Code TOKES Models and Implementation. Karlsruhe:

Forschungszentrum Karlsruhe GmbH, (2009).

83. Wang Y., Luther B.M., et al. Phys. Rev. E. 72, 026413 (2005).

84. Собельман И.И. Введение в теорию атомных спектров. М.: Физматгиз, 1963.

85. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и ин-

женеров). М.: Наука, 1974.

86. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. — изд. 2. — М.: Физ-

матлит, 2002.

87. Chapman S., Cowling T.G. Mathematical Theory of Nonuniform Gases. Cambridge

University Press, Cambridge, 1952.

88. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Физ-

матлит, 2005.

89. Абрикосов А.А, Халатников И.М. Теория ферми-жидкости. УФН 66, 177

(1958).

90. Власов А.А. О вибрационных свойствах электронного газа. УФН 93, 444

(1967).

140

Приложение

Выражения для диссипативных коэффициентов

Запишем решение уравнения (3.39) в следующем безразмерном виде [26]:

(δfe )1,m (yvT e ) =

3/2 r 

4π vT e (∇ ln Te )∗1,m 



me −1



2

−y2 /2 

= ne [Ω1 (χ, ζ)] y − 5 ye +

2πTe 3 2νe0

(Rei )∗1,m −1 −y 2 /2

4(Ve − V0 )∗1,m  −1



−2 −y 2 /2



+ ([Ω1 (χ, ζ)] (ye )) + [Ω1 (χ, ζ)] y e ,

ne me vT e νe0 vT e

(3.181)

где  

2l(l + 1)

Ωl (χ, ζ) θ(y) = χ − − 2ζ Ll θ(y) , (3.182)

y3

а χ и ζ – параметры, первый из которых является в общем случае комплекс-

ным, а второй – положительным. Функция (δfe )1,m должна удовлетворять усло-

вию (3.42), которое позволяет получить необходимую связь между макроскопи-

ческой скоростью электронов и Rei . Подставляя (δfe )1,m из (3.181) и интегрируя,

получим:

(Rei )1,m vT e (∇ ln Te )1,m 4(Ve − V0 )1,m

A(−χ, ζ) + B(−χ, ζ) + C(−χ, ζ) = 0,

ne me vT e νe0 2νe0 vT e

(3.183)

141

где A(χ, ζ), B(χ, ζ) and C(χ, ζ) – матричные элементы обратного оператора Ω−1

1 :

Z∞

y 3 ([Ω1 (χ, ζ)]−1 (ye−y

2

/2

A(χ, ζ) = )) dy, (3.184)

0

Z∞   

3 −1 2

−y 2 /2

B(χ, ζ) = y [Ω1 (χ, ζ)] y − 5 ye dy, (3.185)

0

Z∞   

3 −1 −2 −y 2 /2

C(χ, ζ) = y [Ω1 (χ, ζ)] y e dy. (3.186)

0

Используем уравнение (3.183), чтобы получить использованное ранее для Rei вы-

ражение (3.45), где

 q

4i 2

√ 

(e) 1 1 B χ, 2 ζ

3 π

α1,m = Gα (mxe , w), Gα (χ, ζ) = (3.187)

2 A 4i 2 χ, √2 ζ

 q ,

e

3 π

 q

4i 2

√ 

π C χ, 2 ζ

r

(e) me νe 3 π

λ1,m = 2 (1 − Gλ (mxe , w)), Gλ (χ, ζ) = 1 − 3 . (3.188)

2 A 4i 2 χ, √2 ζ

 q

e ne

3 π

Используя решение (3.181) и (3.45), получим для qe следующее, использован-

ное ранее, выражение (3.46), где

!

√

r

(e) ne Te 2 4i 2

κ1,m = Gκ (mxe , w) , Gκ (χ, ζ) = Q χ, 2 ζ , (3.189)

me νe 9π 3 π

Q(χ, ζ) = B(χ, ζ) D(χ, ζ)/A(χ, ζ) − F(χ, ζ), (3.190)