Динамика солитоноподобных предельно коротких импульсов в одноосных кристаллах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат физико-математических наук Халяпин, Вячеслав Анатольевич

• Халяпин, Вячеслав Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Халяпин, Вячеслав Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННЫЕ ДОСТИЖЕНИЯ В ОПИСАНИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРЕДЕЛЬНО КОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ С ВЕЩЕСТВОМ.

1. Теоретические модели одномерного распространения импульсов в изотропных средах.

2. Способы описания распространения импульсов в оптически одноосных средах.

3. Влияние поперечных возмущений.

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИБЛИЖЁННЫЙ МЕТОД ПОИСКА СОЛИТОНОПОДОБНЫХ РЕШЕНИЙ.

1. Вывод нелинейных волновых уравнений.

2. Комбинированный подход нахождения солитоноподобных решений.

ГЛАВА 3. ОДНОМЕРНЫЕ СОЛИТОНОПОДОБНЫЕ РЕШЕНИЯ И ИХ АНАЛИЗ.

1. Динамика предельно коротких импульсов в изотропной сре

2. Распространение обыкновенно-необыкновенного импульса перпендикулярно оптической оси.

3. Солитоноподобные режимы распространения предельно коротких импульсов под произвольным углом к оптической оси.

ГЛАВА 4. ВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ.

1. Влияние дифракции на нелинейное распространение оптических импульсов, включающих в себя произвольное число колебаний.

2. Мелкомасштабные возмущения при распространении импульсов перпендикулярно оптической оси кристалла.

3. Случай произвольной геометрии распространения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика солитоноподобных предельно коротких импульсов в одноосных кристаллах»

Оптика импульсов, содержащих несколько (вплоть до одного) периодов электромагнитных колебаний, в последние годы приобретает всё большую популярность (см., например, обзоры [1-6]). Эта область лазерной физики, как и соответствующая терминология, всё ещё проходит этап становления. К настоящему времени за столь необычными для традиционной оптики сигналами устойчиво закрепились два термина: предельно короткие импульсы (ПКИ) [2-4] (англоязычный эквивалент: extremely short pulses (ESP) или ultimately short pulses (USP)) и few cycle pulses (FCP) [1]. Последний термин чаще встречается в англоязычной литературе. Термины (ESP) и (USP) иногда применяют и к квазимонохроматическим импульсам, чтобы подчеркнуть их малую длительность гр в абсолютном смысле. ПКИ могут иметь ту же длительность, что и квазимонохроматические импульсы, но отличаются тем, что включают в себя лишь несколько колебаний поля от видимого до инфракрасного диапазона. При этом длительность ПКИ может колеблется от единиц [7] до сотен [8] фемтосекунд. К настоящему время предложены различные способы генерации и аттосекундных импульсов в ультрафиолете — мягком рентгене.

ПКИ отличаются от квазимонохроматических импульсов не только формой рис.1, но и характером взаимодействия с веществом.

Ь)

Рис.1, на рисунке представлены квазимонохроматический а) и предельно короткий Ь) импульсы.

Для ГПСИ нельзя ввести понятие несущей частоты, как это делают для квазимонохроматических импульсов, поскольку ширина их спектра сравнима с центральной частотой, в то время как для квазимонохроматических импульсов спектральная ширина Ат ~1/тр мала по сравнению с несущей а> частотой.

Интерес к изучению ПКИ обусловлен их возможным применением в системах оптической связи. Ясно, что с укорочением импульсной длительности можно передавать всё большие объёмы информации в единицу времени. С теоретической точки зрения интерес к ПКИ связан с качественно новыми особенностями их взаимодействия с веществом. Понятно, что к описанию ПКИ неприменимы хорошо зарекомендовавшие себя в оптике квазимонохроматических импульсов приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз (ММАФ). Поэтому уравнения, описывающие динамику ПКИ, должны быть записаны непосредственно для электрического поля. Основой всех рассматриваемых теорий являются уравнения Максвелла, дополненные системой Блоха или полуфеноменологическими моделями поляризационного отклика. Поскольку для полученных таким образом эволюционных уравнений редко удаётся найти точное решение, часто используют различные приближения или численные методы [2, 5, 9]. Тем не менее, аналитические методы исследования сложных нелинейных уравнений, описывающих взаимодействие ПКИ с веществом, недостаточно развиты. Ситуация усложняется, если ПКИ распространяется в анизотропной среде. Здесь существенную роль играют чётные степени электрического поля в разложении поляризации среды. В общем случае электромагнитная волна не является поперечной в такой среде и нелинейные восприимчивости являются тензорными величинами. В некоторых работах используется скалярная модель, когда учитывается лишь одна компонента электрического поля ПКИ [10-12] Как показано в [6, 13], при распространении импульса поперёк оптической оси необходимо учитывать, вообще говоря, две компоненты электрического поля: обыкновенную

Еа и необыкновенную Ее. В одноосном кристалле имеется два выделенных направления, при распространении в которых поле волны оказывается строго поперечным: вдоль и поперёк оптической оси. Можно показать, что поведение ПКИ в одноосном кристалле при его распространении вдоль оптической оси эквивалентно его динамике в изотропной среде. Поэтому описание взаимодействия ПКИ с одноосным кристаллом является более общей задачей, включающей изотропный случай.

Влияние поперечных возмущений, включая дифракцию, исследовано значительно меньше, несмотря на то, что в этом имеется настоятельная необходимость в связи с возможными применениями ПКИ в системах оптической связи. До сих пор этот вопрос остаётся открытым.

Настоящая диссертации посвящена описанию как одномерной динамики, так и учёту влияния поперечных мелкомасштабных возмущений при распространении ПКИ в одноосном кристалле под произвольным углом к оптической оси.

Первая глава посвящена обзору работ, в которых рассматриваются различные модели взаимодействия ПКИ с веществом, начиная изотропными и заканчивая анизотропными средами. Рассмотрены различные режимы распространения ПКИ в таких средах как в одномерном, так и в трёхмерном случаях, когда учитываются поперечные возмущения.

Во второй главе представлена система уравнений, описывающая распространение ПКИ в частично поглощающих средах с кубической и квадратичной нелинейностью и новый комбинированный подход, позволяющий получать аналитические квазисолитонные решения сложных нелинейных уравнений.

В третьей главе аналитически исследована солитоноподобная динамика ПКИ, распространяющихся в одноосном кристалле под произвольным углом к оптической оси. Проанализированы решения, описывающие одномерную динамику импульсов, представляющих собой связные состояния обыкновенной и необыкновенной полевых компонент. При этом обыкновенная составляющая может вмещать произвольное число оптических колебаний, вплоть до одного, а необыкновенная является однополярным видеоимпульсом

Четвёртая глава посвящена влиянию мелкомасштабных поперечных возмущений (включая дифракцию) на распространение ПКИ в одноосном кристалле. Определены области значений параметров импульса и среды, при которых распространение устойчиво. Найдено минимальное число колебаний, содержащихся в импульсе при котором дифракция не может препятствовать самофокусировке.

В заключении диссертации подведены итоги исследования, перечислены основные результаты, полученные в работе.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Комбинированный подход, включающий в себя методы аналитического продолжения дисперсионных параметров на комплексную плоскость и усреднённый вариационный принцип типа Ритца-Уизема, позволяет находить приближённые солитоноподобные решения нелинейных волновых уравнений и проводить их анализ на устойчивость по отношению к поперечным возмущениям.

2. При числе импульсных колебаний солитона меньшем критического значения, которое определяется параметрами среды и центральной частотой спектра импульса, дифракция не способна препятствовать его самофокусировке.

3. В кристаллах с отрицательным двулучепреломлением могут формироваться солитоноподобные импульсы, если их спектр принадлежит области аномальной групповой дисперсии. В таких кристаллах солитоноподобные импульсы устойчивы относительно влияния мелкомасштабных поперечных возмущений, если их размер не превышает некоторого порогового значения.

4. В кристаллах с положительным двулучепреломлением спектр обыкновенной компоненты солитоноподобного импульса может принадлежать по отдельности областям нормальной и аномальной групповой дисперсии. При этом обе области отделены друг от друга спектральной щелью, а нелинейность имеет соответственно дефокусирующий и фокусирующий характеры.

Заключение диссертации по теме «Оптика», Халяпин, Вячеслав Анатольевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В предлагаемой диссертации проведено аналитическое исследование продольно-поперечной динамики предельно коротких солитоноподобных импульсов, распространяющихся в одноосном кристалле.

В работе использованы следующие приближения: импульс распространяется в области прозрачности электронно-оптических переходов и перекрывает своим спектром ионные и электронно-колебательные переходы. Кроме того, не учитывались эффекты, связанные с вынужденным комбинационным рассеянием, которыми можно пренебречь если длительность импульса меньше определённой значения, что считалось выполненным. При учёте дифракции использовались параксиальное и приосевое приближения.

В диссертации получены следующие основные результаты 1. Найдено солитоноподобное решение, представляющее собой связное состояние обыкновенно-необыкновенного импульса. При этом обыкновенная компонента включает в себя произвольное количество осцилляций поля, а необыкновенная компонента всегда представляет собой видеоимпульс.

2 Показано, что обыкновенная компонента по мере своего распространения порождает необыкновенную.

3 В работе показано, что спектр солитоноподобного импульса, распространяющегося в кристалле с отрицательным двулучепреломлением, должен лежать в области аномальной дисперсии групповой скорости.

4 В средах, характеризуемых положительным двулучепреломлением, соли-тоноподобный импульс формируется в области аномальной дисперсии групповой скорости при распространении под углом, меньшем критического а<ас (3.42).

5 Установлено, что при распространении солитоноподобного импульса под углом, превышающим критический, спектр обыкновенной компоненты может принадлежать по отдельности областям нормальной и аномальной дисперсии групповой скорости. При этом обе области отделены друг от друга спектральной щелью.

6 Исследовано влияние мелкомасштабных поперечных возмущений. Установлено, что если спектр солитоноподобного импульса, распространяющегося в одноосном кристалле, принадлежит области нормальной дисперсии групповой скорости, то импульс устойчив относительно мелкомасштабных возмущений.

7 Показано, что если спектр солитоноподобного импульса, распространяющегося в одноосном кристалле, лежит в области аномальной групповой дисперсии, то импульс может быть подвержен самофокусировке. Получено условие на максимальный размер мод поперечного возмущения, при котором дифракция способна погасить развитие самофокусировочной неустойчивости.

Предложенный в данной работе комбинированный подход может быть применён для построения решения любых нелинейных уравнений, описывающих распространение импульсов, экспоненциально спадающих на краях и включающих в себя произвольное число осцилляций поля. Кроме того, с помощью предложенного подхода можно описать поперечную динамику предельно коротких импульсов (включая дифракцию), что особенно важно в связи с возможным использованием предельно коротких импульсов в системах оптической связи.

БЛАГОДАРНОСТЬ

Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Сергею Владимировичу Сазонову за внимание к работе и многолетнее научное руководство.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Халяпин, Вячеслав Анатольевич, 2005 год

1. Brabec Т., Krausz F., 1.tense few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics // Reviewsof Modern Physics, 2000, V. 72, № 2, P. 545-591.0

2. Маймистов А.И., Некоторые модели распространения предельно коро-ких электромагнитных импульсов в нелинейной среде // Квантовая электроника, 2000, Т. 30, № 4, С. 287-304.

3. Козлов С.А., Нелинейная оптика импульсов предельно короткой длительности // Проблемы когерентной и нелинейной оптики (сборник статей). СПб.: ИТМО, 2000, С. 12-34.

4. Желтиков A.M., Сверхкороткие световые импульсы в полых волноводах. // УФН, 2002, Т. 172, № 7, С. 743-776.

5. Беленов Э.М., Назаркин А.В., Ущаповский В.А., Динамика распространения и взаимодействия сгустков электромагнитного поля в двухуровневых средах. //ЖЭТФ, 1991, Т. 100, С. 762-775.

6. Сазонов С.В., Соболевский А.Ф., О нелинейном распространении предельно коротких импульсов в оптически одноосных средах // ЖЭТФ, 2003, Т. 123, № 6, С. 1160-1178.

7. Auston D.H., Cheung К.Р., Valdmanis J.A. and Kleinman D.A., Cherenkov radiation from femtosecond optical pulses in electro-optic media. // Physical Review Letters, 1984, V. 53, № 16, P. 1555-1558.

8. Ким A.B, Рябикин М.Ю., Сергеев A.M., От фемтосекундных к аттосе-кундным импульсам. // УФН, 1999, Т. 169, № 1, С. 58-66.

9. Козлов С.А. Сазонов С.В., Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах.//ЖЭТФ, 1997,Т. 111, № 2, С. 404-418.

10. Казанцева Е.В., Маймистов А.И., Распространение предельно коротких импульсов в нерезонансной квадратично-нелинейной среде в приближении однонаправленных волн. // Квантовая электроника, 2000, Т. 30, № 7, С. 623-628.

11. Kazantseva E.V., Maimistov A.I. and Malomed B.A., Propagation and interaction of ultrashort electromagnetic pulses in nonlinear media with a quadratic-cubic nonlinearity. // Optics Communications, V. 188, P. 195-204.

12. Маймистов А.И. Капуто Д.Г., Предельно короткие электромагнитные импульсы в резонансной среде, обладающей постоянным дипольным моментом. // Оптика и спектроскопия, 2003, Т. 95, № 2, С. 275-280.

13. Сазонов C.B., Соболевский А.Ф., Резонанс Захарова-Бенни как механизм генерации предельно коротких импульсов в одноосных кристаллах // Письма в ЖЭТФ. 2002. Т. 75. № 12. С. 746-749.

14. Becker P.C., Fragnito H.L., Bigot J.Y., Brito-Cruz C.H., Fork R.L. and Shank C.V. Femtosecond photon echoes from molecules in solutions. // Physical review Letters, 1989, V. 63, № 5, P. 505-507.

15. Tamura K. and Nakazawa M. Pulse-compression by nonlinear pulse evolution with reduced optical-wave breaking in erbium-doped fiber amplifiers. // Optics Letters, 1996, V. 21, № 1, P. 68-70.

16. Желтиков A.M. Нелинейная оптика газовых сред: прорыв в области сверхкоротких импульсов и освоение новых спектральных диапазонов. // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика и астрономия, 2001, № 4, С. 3-28.

17. Nisoli M., De Silvestri S., Svetlo О., Szipocs R., Ferencz K., Spielmann C., Sartania S., Krausz F., Comression of high-energy laser pulses below 5 fs. // Optics Letters, 1997, V. 22, № 8, P. 522-524.

18. Sartania S., Cheung Z., Lenzner M., Tempea G., Spielmann C., Krausz F., Ferencz K., Generation of 0.5-tW 5-fs optical pulses at 1-kHz repetition rate. // Optics Letters, 1997, V. 22, № 20, P. 1562-1564.

19. Аллен JI., Эберли Дж., Оптический резонанс и двухуровневые атомы, М.: Мир, 1978, 225с.

20. Беленов Э.М., Крюков П.Г., Назаркин А.В., Ораевский А.Н., Усков А.В., Когерентное усиление импульсов в нерезонансной двухуровневой среде. // Письма в ЖЭТФ, 1988, Т. 47, № 9, С.442-444.

21. Маймистов А.И., О распространении ультракоротких световых импульсов в нелинейной среде. // Оптика и спектроскопия, 1994, Т. 76, № 4, С. 636-640.

22. Сазонов С.В., О предельно коротких и квазимонохроматических солито-нах в двухкомпонентной среде. // ЖЭТФ, 2001, Т. 119, № 3, С. 419-433.

23. Сазонов С.В., Сверхсветовые электромагнитные солитоны в неравновесных средах. // Успехи физических наук, 2001, Т. 171, № 6, С. 663-677.

24. Bullough R.K., Ahmad F., Exact Solutions of the self-Induced transparency Equations // Phys. Rev. Lett. 1971. V. 27. P. 330-333.

25. Eilbec J.C., Gibbon J.D., Caudrey P.J. and Bullough R.K., Solitons in nonlinear optics I. A more accurate description of the In pulse in self-induced transparency. //J. Phys. A.: Math., Nucl. Gen., 1973, V. 6, P. 1337-1347.

26. Caudrey P.J., Eilbeck J.C., Gibbon J.D. and Bullough R.K., Exact multisoliton solution of inhomogeneously broadened self-induced transparency equations. //J. Phys. A.: Math., Nucl. Gen., 1973, V. 6, P.L53-L56.

27. Беленов Э.М., Назаркин A.B., О некоторых решениях уравнений нелинейной оптики без приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз // Письма в ЖЭТФ, 1990, Т. 51, вып. 5, С. 252-255.

28. Sazonov S.V. and Trifonov E.V., Solitons for Maxwell-Bloch equations without using the approximation of a slowly varying envelope: circularly-polarized video pulses. // J. Physics B: At. Mol. Opt., Phys., V. 27, P. 7-12.

29. Kaplan A.E. and Shkolnicov P.L., Electromagnetic "bubbles" and shock waves: unipolar, nonoscillating EM solitons. // Phys. Rev. Lett, 1995, V. 12, № 12, P.

30. Козлов C.A., О классической теории дисперсии высокоинтенсивного света. // Оптика и спектроскопия, 1995, Т.79, № 2, С. 290-292.

31. Bloembergen N., Lotem H., and Lynch R.T., Lineshapes in coherent resonant Raman scattering. // Indian J. Pure and Appl. Phys., 1978, V. 16, № 3, P. 151158.

32. Сазонов C.B., О динамике предельно коротких оптических импульсов в микродисперсной нелинейной среде. // Оптика и спектроскопия, 1995, Т. 79, № 2, С. 282-289.

33. Козлов С.А., Сазонов C.B., Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах. // ЖЭТФ, 1997, Т. 111, № 2, С. 404-418.

34. Maimistov A.I., Elyutin S.O. Propagation of short light pulses in nonlinear biréfringent fibre. Variational approach // J. Mod. Opt. 1992, V. 39, P. 22012208.

35. Маймистов А.И., Распространение ультрокороткого импульса поляризованного излучения в нелинейной среде. Векторная модель Дюффинга. //1999, Т. 87, № 1, С. 104-108.

36. Пархоменко А.Ю., Сазонов C.B., Самоиндуцированная прозрачность многоуровневой квантовой среды при распространении предельно коротких импульсов. // ЖЭТФ, 1998, Т. 114, № 11, С. 1595-1617.

37. Маймистов А.И., Распространение предельно короткого электромагнитного импульса в нелинейной среде, описываемой моделью Дюффинга пятого порядка. // Оптика и спектроскопия, 2003, Т. 94, № 2, С. 281-287.

38. Сазонов C.B., Нелинейный эффект Фарадея для ультракоротких им пульсов. // ЖЭТФ, 1995, Т. 107, вып. 1, С. 20-43.

39. Дубровская О.Б., Сухоруков А.П., О взаимодействии оптических импульсов с малым числом периодов в средах с квадратичной нелинейностью. // Известия АН. Серия физическая, 1992, Т. 56, № 12, С. 184-188.

40. Сазонов C.B., Соболевский А.Ф., О динамике предельно коротких импульсов в двулучепреломляющих средах. // Квантовая электроника,2000, Т. 30, № 10, С. 917-921.

41. Сазонов С.В., Эффекты резонансной прозрачности в анизотропной среде с постоянным дипольным моментом // ЖЭТФ, 2003, Т. 124, С. 803-819.

42. Воронков С.В., Сазонов С.В., Акустическая самоиндуцированная про зрачность в режиме длинно-коротковолнового резонанса // ЖЭТФ, 2001, Т. 120, С. 269-279.

43. Сазонов С.В., Устинов Н.В., Режимы резонансной прозрачности в условиях синхронизма длинных и коротких волн // ЖЭТФ, 2005, Т. 127, № 2, С. 289-307.

44. Сазонов С.В., Соболевский А.Ф., Квазимикроскопическая теория распространения предельно коротких импульсов в средах с наведённой анизотропией. // Оптика и спектроскопия, 2005, Т. 98, № 1, С. 46-52.

45. Trippenbach М., Wasilewski W., Kruk P., Bryant G.W., Fibich G., Band Y.B., An improved nonlinear optical pulse propagation equation // Optics Communications, 2001, V. 210, P. 385-391.

46. Bennett P.M., Aceves A., Numerical integration of Maxwell's full-vector equations in nonlinear focusing media // Physica D, 2003, V. 184, P. 352-375.

47. Rosanov N.N., Semenov V.E., Vyssotina N.V., 'Optical needles' in media with saturating self-focusing nonlinearities // J. Opt. B: Quantum Semi-class.Opt., 2001, V. 3, P. 96-99.

48. Сазонов C.B., Соболевский А.Ф., Динамика предельно коротких импульсов в частично поглощающих средах // Опт. и спектроск. 2001. Т. 90. С. 449.

49. Нестеров С.В., Сазонов С.В. Самоиндуцированная прозрачность для предельно коротких импульсов в окрестности температуры Кюри водо-родосодержащих сегнетоэлектриков / // ФТТ. 2003. Т. 45. С. 303-308.

50. Anderson D., Variational approach to nonlinear pulse propagation in optical fiber. // Physical Review A, 1983, V. 27, № 6, P. 3135-3145.

51. Берковский А.Н., Козлов С.А., Шполянский Ю.А., Оптический журнал, Параксиальная (2+1)-мерная самофокусировка импульсов предельно коротких длительностей // Оптический журнал, 2002, Т. 69, № 3, С. 12-19.

52. Козлов С.А., Петрошенко П.А., Самоделение импульса из нескольких колебаний светового поля в нелинейной среде с дисперсией // Письма в ЖЭТФ, 2002, Т. 76, С. 241-245 .

53. Сазонов C.B., О влиянии дифракции на распространение солитонов // ЖЭТФ, 2004, Т. 125, вып. 6, С. 1-14.

54. Азаренков А.Н., Альтшулер Г.Б., Белашенков Н.Р., Козлов С.А., Нелинейность показателя преломления лазерных твёрдотельных диэлектрических сред//Квант. Электрон, 1993, Т.20,№ 8, С. 733-757.

55. Марчевский Ф.Н., Стрижевский B.JL, О дифракции электромагнитного излучения в анизотропных средах // УФЖ, 1982, Т. 27, № 5, С. 781-782.

56. Розанов H.H., О распространении лазерного излучения в анизотропных средах // Опт. и спектр, 2002, Т. 93, № 5, С. 808-813.

57. Rosanov N.N., Fedorov S.V., Polarization state of quadratic spatial optical solitons // Phys. Rev. E, 2001, V. 63, P. 066601.

58. Schioman E., // Appl. Phys. Lett., 1971, V. 19, P. 274-278.

59. Барьяхтар В.Г., Иванов Б.А., Сукстанский A.JI., К теории движения доменных границ в магнитоупорядоченных кристаллах // Письма в ЖЭТФ, 1978, Т. 27, С. 226-230.

60. Сазонов С.В .Нелинейный эффект Фарадея для ультракоротких импульсов // ЖЭТФ, 1995, Т. 107, С. 20-43.

61. Сазонов C.B., Халяпин В.А., О квазисолитонном распространении импульсов длительностью в несколько периодов оптических колебаний в изотропных диэлектриках // Оптика и спектроскопия, 2003, Т. 95, № 3, С. 452-457.

62. Халяпин В.А. О квазисолитонной динамике импульсов длительностью в несколько периодов световых колебаний. // Когерентная оптика и оптическая спектроскопия (шестая всероссийская молодёжная научная школа), Казань, 2002, сборник статей, С. 347-352.

63. Косевич A.M., Ковалёв A.C. Введение в нелинейную физическую механику. Киев: Наук, думка, 1989.

64. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. 480 с.

65. Халяпин В.А. Генерация спектрального суперконтинуума и второй транцендент Пенлеве. // Когерентная оптика и оптическая спектроскопия (пятая всероссийская молодёжная научная школа), Казань, 2001, сборник статей, С. 266-270.

66. Сазонов C.B., Халяпин В.А., Комбинированный метод нахождения приближенных солитоноподобных решений уравнений нелинейной оптики // Известия Российской академии наук. Серия физическая, 2004, Т.68, №2, С. 1707-1709.

67. Сазонов C.B., Халяпин В.А., Об аналитическом описании нелинейного распространения импульсов в одноосном кристалле // Труды международной конференции "Фундаментальные проблемы оптики", Издательство СПб, Гу ИТМО, С-Петербург 2004 г.

68. Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика. М.: МГУ и Наука. 2004. 654 с.

69. Карлов Н.В., Кириченко H.A. Колебания, волны, структуры М:. Физмат-лит, 2001.

70. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн (М., Наука, 1990).

71. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин A.C. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов (М., Наука, 1988).

72. Сазонов C.B., Халяпин В.А., Влияние дифракции на распространение предельно коротких оптических импульсов в изотропных диэлектриках // Оптический журнал, 2004, Т.71, № 9, С.33-37.

73. Khalyapin V.A., Sazonov S.V., Quasi-soliton propagation of optical pulses in isotropic dielectric // Proceeding of SPIE, 2003, V.5402, P.262-270.

74. C.B. Сазонов, B.A. Халяпин, О влиянии дифракции на нелинейное рас пространение оптических импульсов длительностью в несколько колебаний//Квантовая электроника, 2004, Т.34, № 1, С. 1057-1063.

75. Сазонов C.B., Халяпинв В.А. О влиянии поперечных возмущений на распространение солитоноподобных двухкомпонентных импульсов в одноосном кристалле // Оптика и спектроскопия, 2005, Т. 99. № 5 (принята в печать).