Динамика скирмионных кристаллов в подходе стереографической проекции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Тимофеев Виктор Евгеньевич

• Тимофеев Виктор Евгеньевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Тимофеев Виктор Евгеньевич

Введение

Глава 1 Статическая конфигурация скирмионного кристалла

1.1 Классическая энергия исследуемой модели

1.1.1 Обменная энергия

1.1.2 Взаимодействие Дзялошинского-Мории

1.1.3 Энергия Зеемана

1.1.4 Одноосная анизотропия и диполь-дипольное взаимодействие

1.1.5 Общее выражение для энергии и характерные масштабы

1.2 Топологический заряд

1.2.1 Завихрённость и спиральность скирмионов

1.3 Стереографическая проекция

1.3.1 Решение Белавина-Полякова

1.4 Вариационное уравнение и анзац

1.4.1 Уединённый скирмион

1.4.2 Универсальность профиля

1.5 Многоскирмионные конфигурации

1.5.1 Взаимодействие скирмионов

1.5.2 Скирмионный кристалл

1.6 Тройная спираль

1.6.1 Магнитная спираль

1.6.2 Решётка киральных солитонов

1.6.3 Деформированная тройная спираль ДТС

1.7 Сравнение скирмионного кристалла и ДТС

1.8 Рассеяние нейтронов

Глава 2 Динамика скирмионного кристалла

2.1 Уравнение Ландау-Лифшица и лагранжев формализм

2.2 Динамические флуктуации

2.2.1 Симметрия уравнения на собственные моды

2.2.2 Нормировка и ортогональность решений

2.2.3 Вторичное квантование и функция Грина

2.2.4 Нулевые моды

2.2.5 Поправки к равновесной конфигурации

2.3 Зонная структура возбуждений скирмионного кристалла

2.3.1 Общие свойства потенциалов и, V и А

2.3.2 Регуляризация калибровочного потенциала А

2.3.3 Уравнения на коэффициенты Сц

2.3.4 Приближение сильной связи

2.3.5 Классификация веток спектра и волновые функции

2.3.6 Нулевая мода

2.3.7 Поправки к форме и плотности энергии

2.4 Топологические свойства зонной структуры

2.4.1 Фаза, связность, кривизна Берри и числа Черна

2.4.2 Метод переменных связи

2.4.3 Результаты расчёта топологических характеристик зон

Заключение

Благодарности

Литература

Введение

Настоящая диссертация посвящена исследованию динамики решёток магнитных скирмионов - топологически нетривиальных конфигураций локальной намагниченности. Ключевой особенностью работы является использование представления стереографической проекции в качестве способа описания локальной намагниченности. Данное представление используется как на этапе построения статической конфигурации, удовлетворяющей минимуму классической энергии, так и при описании динамики флуктуаций вблизи положения равновесия. В работе построен математический формализм описания собственных мод флуктуаций намагниченности. При помощи построенного формализма рассчитывается дисперсия возбуждений скирмионного кристалла для модели двумерного ферромагнетика с взаимодействием Дзялошинского-Мории во внешнем магнитном поле. Также исследуются топологические свойства полученной зонной структуры: кривизна Берри и числа Черна.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика скирмионных кристаллов в подходе стереографической проекции»

Актуальность темы

Теоретическое предсказание существования магнитных скирмионов, как ме-тастабильных конфигураций локальной намагниченности в ферромагнитных плёнках, появилось в середине семидесятых. Однако не так давно были получены первые экспериментальные подтверждения реализации магнитных скир-мионов в реальных соединениях. С тех пор число соединений и структур, в которых наблюдаются различные топологические конфигурации локальной намагниченности, стремительно растёт. Исследовательский интерес к магнитным скирмионам, помимо чисто академического, также связан с перспективами их технологического применения.

Обладая миниатюрными размерами (от единиц до сотен нанометров) а так-

же топологической защищённостью, магнитные скирмионы могут использоваться в качестве строительных блоков для новых устройств сверхбыстрой и ёмкой оперативной памяти, а также для инновационных арифметико-логических устройств.

Помимо манипуляций с отдельными скирмионами большой интерес представляют термодинамически стабильные решётки магнитных скирмионов. Решётки различных симметрии (треугольные, квадратные и др.) состоящие из различных топологических объектов (скирмионы различной киральности, ан-тискирмионы, бимероны, мерон-антимероны и т.д.) наблюдают в большом ряде соединений. Подобные сверхрешётки могут существовать как в плёнках, так и в объёме, как при низких температурах, так и при температурах вплоть до комнатных.

Помимо статических свойств таких сверхрешёток отдельный интерес представляют их динамические свойства. Нетривиальная топология основного состояния проявляется в свойствах элементарных возбуждений намагниченности в таких системах. Такого рода сверхрешётки, период которых существенно превышает период кристаллической решётки, могут иметь большое применение в магнонике.

Несмотря на значительный прогресс в исследуемой области, современные методы описания динамики магнитных скирмионов далеки от идеала, поэтому построение стройной замкнутой теории описания как статических таких динамических свойств решёток магнитных скирмионов представляется актуальной темой исследования.

Степень разработанности темы исследования

Скирмионами называют топологические солитоны в нелинейных сигма-моделях. Своим названием они обязаны британскому физику-теоретику Тони Скирму. В начале шестидесятых он написал ряд работ [1, 2, 3], в которых исследовал возможность описания частиц (барионов), как нетривиальных конфигураций бозонных полей. Подробно про различные топологические солитоны и подходы их исследованию можно прочитать в книгах [4, 5]. Как это нередко бывает в теоретической физике, концепции из одной области науки науки, спустя

годы, находят применение в тех областях, к которым, на первый взгляд, они не имели отношения. Так произошло и со скирмионами.

Первое теоретическое предсказание существования метастабильных конфигураций локальной намагниченности в тонких ферромагнитных плёнках появились в классической работе Белавина и Полякова (БП) [6]. В этой работе было показано, что энергия конфигурации намагниченности пропорциональна модулю т.н. топологического заряда этой конфигурации.

Для того, чтобы из магнитных скирмионов образовалась термодинамически стабильная конфигурация, в системе должно присутствовать стабилизирующее взаимодействие. Было показано [7], что в качестве такого слагаемого может выступать взаимодействие Дзялошинского-Мории(ДМ). Позднее было проанализирован случай одного изолированного скирмиона [8] в модели с взаимодействием ДМ и внешним магнитным полем. Уединённый скирмион - аксиально симметричная конфигурация, найдя оптимальную конфигурацию на диске, такими дисками можно замостить всю плоскость и таким образом сконструировать скирмионный кристалл [9]. Возможность существования основного состояния в виде скирмионного кристалла в структурах с взаимодействием ДМ обсуждалась также и при конечных температурах [10].

Первое экспериментальное подтверждение существования решётки магнитных скирмионов связывают с работой [11]. При помощи рассеяния нейтронов была обнаружена новая, т.н. А-фаза, которую авторы интерпретировали как скирмионный кристалл. Также в работе [11] было показано, что для описания конфигурации решётки скирмионов вблизи точки перехода можно рассматривать намагниченность как сумму(суперпозицию) намагниченности трёх магнитных спиралей с векторами модуляции направленными друг к другу под 120°. Позднее этой же группой было проведено подробное исследование интенсивности вторых Брэгговских пиков в упругом рассеянии нейтронов [12], в работе делался вывод о том, что основной вклад в их и так незначительную интенсивность вносит двойное рассеяние, а не сама структура магнитной конфигурации.

Наиболее выразительной экспериментальной техникой исследования решёток магнитных скирмионов, позволяющей увидеть локальную намагниченность в реальном пространстве, является Лоренцевская Просвечивающая Электронная Микроскопия (ЛПЭМ). В ряде работ [13, 14] этим методом были исследова-

ны тонкие плёнки FeGe и Feo.5Coo.5Ge, полученные данные указывали на то, что область скирмионного кристалла на фазовой диаграмме зависит в том числе от толщины исследуемой плёнки. Чем плёнка тоньше, тем ниже температуры при которых могут наблюдаться скирмионные решётки.

Перед тем, как перейти к изложению конкретных подходов к описанию динамики магнитных скирмионов стоит упомянуть цилиндрические магнитные домены (ЦМД), или же, как их иногда называют, "магнитные пузырь-ки"(magnetic bubbles) [15]. Интерес к таким домена был связан, как и в случае скирмионов, с технологической возможностью использования их в качестве элементарного носителя информации [16]. ЦМД образуются из-за конкуренции обменного взаимодействия, лёгкоосной анизотропии и внешнего магнитного поля, характерные размеры ЦМД завися от конкретного материала и составляют от единиц до десятков микрон. В определённом смысле магнитный скирмион есть экстремально маленького размера ЦМД. Отличие в размерах продиктовано взаимодействием ДМ, которое в силу своей малости вносит в систему характерную длинну, порядка нанометров. Отличие ЦМД от скирмионов обсуждалось в частности в [17].

Известно, что в непрерывных моделях динамика локальной намагниченности может описываться уравнением Ландау-Лифшица(ЛЛ) [18], или же уравнением Ландау-Лифшица-Гильберта(ЛЛГ) [19], учитывающим диссипативные эффекты. Если применить уравнение ЛЛГ к описанию динамики жёсткой ЦМД как целого может быть переписано в наиболее удобном виде, что было проделано в работе [20], это уравнение называется уравнением Тиле. В работе [20] также было показано, что на ЦДС действует гиротропная сила пропорциональная её топологическому заряду.

После работы [7], в которой обсуждалась возникновения термодинамически стабильных "магнитных вихрей" в моделях с взаимодействием ДМ, вышел ряд работ, в которых исследовались вопросы динамики таких магнитных вихрей [21, 22]. Стоит отметить, что с геометрической точки зрения магнитные вихри, обсуждаемые в этих работах, принципиально от магнитных скирмионов не отличаются. В работах [21, 22] используется лагранжев формализм для описания динамики магнитных вихрей. В то же время был разработан оригинальный подход греческой группой [23], основанный на сохранении т.н. топологического

тока, было показано, что динамика магнитных вихрей с нетривиальным топологическим зарядом существенно отличается от случая с топологическим зарядом равным нулю.

Понятно, что динамика магнитных скирмионов не сводится к движению скирмиона как целого. Существуют внутренние моды, отвечающие за деформацию формы единичного скирмиона. Ключевой, полуаналитической работой на эту тему является статья [24], в ней анализируются собственные моды уединённого скирмиона, даётся классификация мод в терминах магнитного квантового числа т, а также развивается теория рассеяния магнонов на уединённом скирмионе. Позже этой же группой отдельно был проанализирован случай рассеяния высокоэнергетических магнонов на уединённом скирмионе [25]. Вместе с упомянутыми работами, можно выделить работу по численному моделированию того же процесса [26], в ней путём численного решения уравнения ЛЛГ, было показано, что ток магнонов оказывает давление на уединённый скирмион. Внутренние моды уединённого скирмиона в присутствии взаимодействия ДМ, магнитного поля и одноосной анизотропии исследовались также в работе [27], путём линеаризации уравнения ЛЛГ вблизи минимума энергии. Как и в работе [24], было показано, при малых магнитных полях в системе присутствует неустойчивость, связанная с эллиптической модой, частота которой становится мнимой, а сам скирмион стремиться превратиться в полоску. Анализ внутренних мод единичного скирмиона в отсутствии магнитного поля проводился в работе [28]. Обсуждение внутренней динамики уединённого магнитного скирми-она существенно упрощает аксиальная симметрия односкирмионного решения, в то время как анализ возбуждений скирмионного кристалла представляется задачей более сложной.

В работах [29, 30] впервые обсуждаются голдстоуновские моды в скирмион-ном кристалле, в частности, в [29] показывается, что из-за вида кинетического слагаемого в лагранжиане смещение по одной из осей является канонически-сопряжённой обобщённой координатой для смещения по другой оси, поэтому в скирмионном кристалле нет двух независимых фононных мод, ассоциирующихся со смещением по двум независимым направлением, а дисперсия такой моды должна быть квадратичной вблизи точки Г. Магнонные моды в скирми-онном кристалле и изучались численно в работе [31]. Автор численно решал

уравнение ЛЛГ с периодическим граничным условием для примерно девяноста тысяч магнитных моментов, предварительно найдя равновесное стационарное состояние системы методом Монте-Карло. Был получен спектр поглащения микроволнового излучения на спинволновых резонансах. Также показано, что в скирмионном кристалле возбуждаются вращательные моды, когда магнитное поле колеблется в плоскости кристалла, а дыхательные моды, когда поле колеблется перпендикулярно.

Особняком в исследованиях динамики решёток магнитных скирмионов стоит подход фазонов [32, 33], подход, в котором стартовой точкой является суперпозиция трёх магнитных спиралей, а в качестве коллективных координат выступают фазы этих спиралей.

Перед тем как вычислять дисперсию возбуждений необходимо построить равновесную спиновую конфигурацию, удовлетворяющую минимуму энергии. Один из наиболее успешных и близких к эксперименту методов был предложен в работе [34], а затем получил развитие в [35, 36, 37]. Максимально детальное изложение такого теоретического подхода даётся в [38]. Вкратце подход заключается в том, чтобы рассмотреть "линейную сигма модель", т.е. ослабить связь на сохранение величины намагниченности. Поиск равновесной конфигурации в этом подходе начинается в обратном пространстве, где намагниченность представляется суммой нескольких гармоник в обратном пространстве. После чего рассматриваются отклонения от этого положения равновесия и ищутся характерные частоты таких отклонений. В последней, на момент написания диссертации, работе этой группы [37], упомянутый выше констрейнт, накладывается принудительно, путём добавления в Лагранжиан слагаемого с соответствующим множителем Лагранжа.

Описанные выше подходы так или иначе работали с непрерывными моделями, т.е. в предположении, что характерные размеры скирмионов сильно превышают размеры магнитной ячейки кристалла. Теория спиновых волн может быть применена для локализованных моментов. В таком подходе спиновые операторы переписываются через операторы рождения и уничтожения бозонов [39]. Однако наиболее эффективно такой подход работает в ситуации большого спина $ ^ 1 и коллинеарной ориентации локальных моментов, как в ферромагнетиках или антиферромагнетиках [40], но, впрочем, подход применяется и к

спиральным магнетикам [41]. Ситуация с магнитными скирмионами усложняется тем, что равновесное положение осей квантования спинов существенно меняется от точки к точке, поэтому чтобы переписать Гамильтониан в терминах бозевских операторов, нужно подкручивать эту ось. Подобная работа была проделана аналитически [42] для скирмиона БП, а впоследствии были вычислены эффекты старших порядков по величине обратного спина[43]. Для реалистичных моделей, с взаимодействием ДМ и др., задача о хотя бы полуаналитическом построении равновесного положения и дальнейшем анализе бозонного гамильтониана представляется весьма трудной[44].

В качестве рабочего инструмента по поиску такой равновесной конфигурации локальных моментов может выступать, например, метод Монте-Карло или любой другой численный метод. Так в работе [45] исследовались возбуждения в решётке неелевских скирмионов. Была рассчитана дисперсия низколежащих возбуждений в такой системе, после чего было отмечено, что часть зон обладает нетривиальными числами Черна, что может приводить к возникновению краевых состояний в образцах конечного размера. Подобная работа была проделана и другой научной группой [46], после численного "отжига" равновесной конфигурации авторы рассмотрели дисперсию возбуждений переходом к бозевским операторам. Также авторы наблюдали, что с ростом внешнего магнитного поля происходит смена знака (переоткрытие) щели между дыхательной модой и модой ассоциирующейся с вращением скирмионов против часовой стрелки. Такое переоткрытие меняет сумму чисел Черна, лежащих ниже переоткрывшейся щели, что в свою очередь приводит к появлению и исчезновению краевых состояний в системе. В дальнейшем авторы рассмотрели и диссипативные эффекты возбуждений скирмионного кристалла в следующем порядке по обратному спину [47].

Приведённый выше обзор ограничен форматом диссертации и не может считаться полным. Для более детального знакомства с актуальным состоянием обозначенных проблем можно ознакомиться со следующими обзорами [48, 49, 50, 51, 52].

Цель работы и задачи

Основной целью диссертации является построение универсального подхода для исследования квазиклассической динамики многоскирмионных конфигураций в магнетиках при низких температурах и дальнейшее применение разработанного подхода к исследованию возбуждений скирмионного кристалла.

Для достижения поставленной цели предлагается решить следующие задачи:

• Построение решения для одиночного скирмиона в модели двумерного ферромагнетика с взаимодействием ДМ во внешнем магнитном поле в подходе стереографической проекции.

• Исследование взаимодействия магнитных скирмионов в такой модели. Построение оптимальной конфигурации скирмионного кристалла с учётом взаимодействия. Исследование зависимости параметров конфигурации от магнитного поля.

• Сравнение полученных результатов с возможным альтернативными представлением равновесной конфигурации намагниченности.

• Построение математического формализма, позволяющего исследовать динамику элементарных возбуждений, возникающих в скирмионных системах.

• Применение построенного формализма к расчёту зонной структуры элементарных возбуждений скирмионного кристалла, а также исследование зависимости полученной дисперсии от внешних параметров модели.

• Вычисление топологических характеристик зонной структуры возбуждений скирмионного кристалла: кривизны Берри и чисел Черна.

Методология и методы исследования

В работе развивается квазиклассический подход описания динамики магнитных скирмионов. Подход заключается в том, чтобы рассмотреть собственные моды небольших флуктуаций вблизи полевой конфигурации, отвечающей минимуму энергии. Такой подход к описанию динамики топологических соли-тонов хорошо известен, см. учебники [4] и [5].

Ключевой особенностью настоящей диссертации является использование стереографической проекции, в качестве способа описания равновесной конфигурации намагниченности. Динамика вектора намагниченности описывается в терминах флуктуаций стереографического образа равновесной конфигурации. Уравнение на собственные частоты таких флуктуаций представляет из себя матричное дифференциальное уравнение второго порядка и по своей структуре напоминает уравнение Боголюбова-де Жена.

Научная новизна

Разработанный в работе метод является новым, а результаты расчётов оригинальными. Это подтверждается тем, что основные результаты работы опубликованы в ведущих высокорейтинговых научных журналах, а также докладывались на профильных международных конференциях.

Полученные в работе результаты находятся в согласии с уже имеющимся теоретическими данным других работ [45, 35, 46]. В то же время построенный в работе подход уникален, потому что позволяет по построению ограничиться флуктуациями намагниченности в пределе низкой температуры, когда величина намагниченности достигла насыщения, и от точки к точке в образце меняется лишь её направление, но не величина.

Научная, теоретическая и практическая значимость

Магнитные скирмионы являются бурно развивающейся, областью современной физики конденсированного состояния. Технологические перспективы построения новых устройств сверхбыстрой оперативной памяти [53, 54] и логических устройств [55] на основе магнитных скирмионов привлекают особое внимание исследователей. Это определяет практическую значимость исследований посвящённых динамике магнитных скирмионов.

В то же время развитый в работе подход обладает и самостоятельной теоретической значимостью. Будучи основанным на комбинации двух известных техник: стереографической проекции и квазиклассическому описанию динамики топологических солитонов, построенный в работе подход позволяет

значительно упростить исследование мультискирмионных конфигураций, и, в частности, скирмионных кристаллов.

Основные положения, выносимые на защиту

1. В терминах функции комплексного переменного построена двухпарамет-рическая, трансляционно-инвариантная пробная функция, отвечающая минимуму классической энергии в модели двумерного ферромагнетика с взаимодействием Дзялошинского-Мории во внешнем магнитном поле, соответствующая конфигурации скирмионного кристалла.

2. Вычислена относительная интенсивность старших брэгговских пиков упругого рассеяния нейтронов на скирмионном кристалле. Получена зависимость интенсивности этих пиков от внешнего магнитного поля.

3. Построен общий формализм квазиклассического описания динамики систем магнитных скирмионов в подходе стереографической проекции. Получена система уравнений для элементарных возбуждений мультискир-мионных конфигураций. Потенциалы в уравнениях выражены через стереографический образ статической конфигурации.

4. С помощью построенного формализма вычислена зонная структура элементарных возбуждений скирмионного кристалла. Исследована зависимость полученной дисперсии от внешнего магнитного поля. Найдены топологические характеристики полученной зонной структуры, такие как кривизна Берри и числа Черна.

Апробация работы

Ключевые результаты диссертации были представлены в рамках устных и стендовых докладов на следующих конференциях и школах:

1. 51-ая Школа ПИЯФ по физике конденсированного состояния ФКС-2017, 11-16 марта 2017 г., Санкт-Петербург, Россия.

2. IV International Workshop Dzyaloshinskii-Moriya Interaction and Exotic Spin Structures, 23-26 May, 2017, Peterhof, Russia.

3. 52-ая Школа ПИЯФ по Физике Конденсированного Состояния ФКС-2018, 12-17 марта 2018, Санкт-Петербург, Россия.

4. Spin Waves 2018 Interanational symposium, June 3-8, 2018, Saint-Petersburg, Russia.

5. 53-ая Школа ПИЯФ по физике конденсированного состояния ФКС-2019, 11-16 марта 2019 г., Санкт-Петербург, Россия.

6. V International Workshop Dzyaloshinskii-Moriya Interaction and Exotic Spin Structures July 8-12, 2019 Petrozavodsk, Russia.

7. Modern Trends in Condensed Matter Physics - Lev Gor'kov Memorial Conference June 24 - 27, Chernogolovka, Russia.

8. 54-ая Школа ПИЯФ по Физике Конденсированного Состояния ФКС-2020, 16-21 марта 2020, Санкт-Петербург, Россия.

9. VII Всероссийский молодёжный форум с международным участием Open Science 2020, 18-20 ноября 2020, Гатчина, Россия.

10. VI International Workshop Dzyaloshinskii-Moriya Interaction and Exotic Spin Structures September 6-10, 2021 Vyborg, Russia.

11. VIII Всероссийский молодёжный форум с международным участием Open Science 2021, 17-19 ноября 2021, Гатчина, Россия.

Помимо этого промежуточные результаты работы докладывались на теоретическом семинаре по Физике Конденсированного Состояния в Теоретическом Отделении НИЦ "КИ" ПИЯФ, а также на кафедральном семинаре Кафедры Квантовой Механики Физического Факультета СПбГУ.

Публикации

По теме диссертации опубликованы три статьи в журналах индексируемых базами РИНЦ, Web of Sciense и Scopus:

1. V.E. Timofeev, A.O. Sorokin and D.N. Aristov. Towards an effective theory of skyrmion crystals. JETP Letters, 109(3):207-212, (2019).

2. V. E. Timofeev, A. O. Sorokin, and D. N. Aristov. Triple helix versus skyrmion lattice in two-dimensional noncentrosymmetric magnets. Physical Review B, 103(9):094402, (2021).

3. V. E. Timofeev and D. N. Aristov. Magnon band structure of skyrmion crystals and stereographic projection approach. Physical Review B, 105(2):024422, (2022).

Также эти статьи указаны в списке литературы под номерами [56, 57, 58].

Достоверность результатов

Достоверность результатов подтверждается, использованием известных и аппробированных ранее теоретических техник и подходов, качественным согласием с другими исследованиям, в которых похожие модели исследовались альтернативными методами. Публикации в высокорейтинговых журналах также свидетельствуют в пользу достоверности результатов.

Личный вклад автора

Работа выполнена на базе Санкт-Петербургского Государственного Университета а также Национально-Исследовательского Центра "Курчатовский Институт" Петербургский Институт Ядерной Физики. Все представленные в диссертации результаты получены автором лично или при его непосредственном участии.

Структура диссертации

Диссертация состоит из Введения, двух Глав, Заключения и списка Литературы. Диссертация содержит 92 страницы, 17 рисунков и 2 таблицы. Список литературы включает в себя 76 пунктов.

• Во Введении обозначены цели и задачи работы, сформулированы положения выносимые на защиту, также приводится довольно подробный обзор актуальной научной литературы.

• В Главе 1 обсуждается статическая конфигурация скирмионного кристалла. Описывается процедура построения многоскирмионных конфигураций с использованием стереографической проекции. Обсуждается альтернативный подход, связанный с представлением скирмионного кристалла в виде суммы трёх магнитных спиралей.

• В Главе 2 в первую очередь строится общий лагранжев формализм описания флуктуаций стереографического образа, выводятся ключевые уравнения, после чего построенный метод применяется к вычислению дисперсии возбуждений скирмионного кристалла. Подробно исследуется зонная структура, зависимость спектра от внешнего магнитного поля. Также исследуются топологические характеристики зонной структуры таких возбуждений.

• В Заключении кратко описаны основные результаты работы, а также обсуждаются направления дальнейших исследований и возможные применения разработанного в диссертации метода.

ГЛАВА 1

Статическая конфигурация скирмионного

кристалла

В главе обсуждаются общие свойства исследуемой модели, а также различные подходы к построению статической конфигурации, отвечающей минимуму классической энергии: решётка скиррмионов, построенная при помощи метода стереографической проекции, и подход "тройной спирали".

1.1 Классическая энергия исследуемой модели

В ближайших параграфах будет сформулированы основные свойства исследуемой модели, главным образом будет обоснован выбор классической энергии исследуемой модели, состоящей из нескольких слагаемых.

1.1.1 Обменная энергия

Стартовой точкой нашего рассмотрения является изотропная модель ферромагнетика Гейзенберга:

нех = -2 ^ з(Ку (Ы)

¿=3

где индексы г,] пробегают по решётке, Sj - спин на ]-ом узле, а 3(К^) - величина обменного взаимодействия, а именно, положительно определённая функция расстояния между г-ым и ]-ым узлами решётки. Отрицательный минус перед выражением (1.1) означает, что мы рассматриваем ферромагнетик. Обменное взаимодействие имеет квантово-механическую природу, и, как правило, оно быстро убывает на расстояниях порядка периоды кристаллической решётки, поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением взаимодействия ближайших соседей 3(И^-) ~ 3.

Вслед за классическим учебником [40] мы введём оператор плотности магнитного момента следующим образом: 8(г) = — 2р0 —гз), где р0 - магне-

з

тон Бора. При низких температурах (Т ^ Тс) намагниченность на узлах достигает максимальных значений, поэтому мы можем ограничиться рассмотрением усреднённой плотности макроскопического магнитного момента 8(г) = Бр, где р - локально равновесная матрица плотности, а черта сверху обозначает физическое усреднение по бесконечно малому элементу объёма, величину 8 (г) мы будем впредь называть локальной намагниченностью.

Мы будем предполагать, что 8(г) слабо меняется на расстояниях порядка кристаллической ячейки. Поэтому допустимо разложение вида 8(г+а) ~ 8(г) + (аУ)8(г) + 1/2(аУ)(аУ)8(г). После интегрирования по частям получаем, что с точностью до константы макроскопическая обменная энергия равна:

Еех = - ^гд^д^, (1.2)

С 2~„

где 5 есть г-ая компонента локальной намагниченности, С - есть т.н. обменная жёсткость, она пропорциональна величине 3, и зависит от симметрии конкретной кристаллической решётки. Латинский индекс г = 1, 2,3 здесь отвечает за номер компоненты трёхмерного вектора, а греческий индекс р = 1, 2 нумерует пространственные координаты. Под значком дм подразумевается частная производная по р-ой пространственной координате. При рассмотрении низких температур мы предполагаем, что модуль величины локальной намагниченность достиг насыщения и не меняется от точки к точке, что проявляется в условии 5г5г = 1 (здесь и далее суммирование по повторяющимся индексам подразумевается).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тимофеев Виктор Евгеньевич, 2022 год

Литература

[1] T. H. R. Skyrme. Particle states of a quantized meson field. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 262(1309):237-245, jul 1961.

[2] T.H.R. Skyrme. A unified field theory of mesons and baryons. Nuclear Physics, 31(0):556-569, mar 1962.

[3] J.K. Perring and T.H.R. Skyrme. A model unified field equation. Nuclear Physics, 31:550-555, mar 1962.

[4] R. Rajaraman. Solitons and instantons. North Holland,Amsterdam-New York-Oxford, 1982.

[5] Nicholas Manton and Paul Sutcliffe. Topological Solitons. Cambridge University Press, New York, 2004.

[6] A. A. Belavin and A. M. Polyakov. Metastable states of two-dimensional isotropic ferromagnets. JETP Lett., 22:245-247, 1975.

[7] Alexei N Bogdanov and DA Yablonskii. Thermodynamically stable "vortices" in magnetically ordered crystals. the mixed state of magnets. Zh. Eksp. Teor. Fiz, 95(1):178, 1989.

[8] A. Bocdanov and A. Hubert. The properties of isolated magnetic vortices. physica status solidi (b), 186(2):527-543, dec 1994.

[9] A. Bogdanov and A. Hubert. Thermodynamically stable magnetic vortex states in magnetic crystals. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 138(3):255-269, dec 1994.

[10] U. K. RoBler, A. N. Bogdanov, and C. Pfleiderer. Spontaneous skyrmion ground states in magnetic metals. Nature, 442(7104):797-801, aug 2006.

[11] S. Miihlbauer, B. Binz, F. Jonietz, C. Pfleiderer, A. Rosch, A. Neubauer, R. Georgii, and P. Boni. Skyrmion lattice in a chiral magnet. Science, 323(5916):915-919, feb 2009.

[12] T. Adams, S. Miihlbauer, C. Pfleiderer, F. Jonietz, A. Bauer, A. Neubauer, R. Georgii, P. Boni, U. Keiderling, K. Everschor, M. Garst, and A. Rosch. Long-range crystalline nature of the skyrmion lattice in mnsi. Physical Review Letters, 107(21):217206, Nov 2011.

[13] X. Z. Yu, N. Kanazawa, Y. Onose, K. Kimoto, W. Z. Zhang, S. Ishiwata, Y. Matsui, and Y. Tokura. Near room-temperature formation of a skyrmion crystal in thin-films of the helimagnet FeGe. Nature Materials, 10(2):106-109, dec 2010.

[14] X. Z. Yu, Y. Onose, N. Kanazawa, J. H. Park, J. H. Han, Y. Matsui, N. Nagaosa, and Y. Tokura. Real-space observation of a two-dimensional skyrmion crystal. Nature, 465(7300):901-904, jun 2010.

[15] A. A. Thiele. The theory of cylindrical magnetic domains. Bell System Technical Journal, 48(10):3287-3335, dec 1969.

[16] A.H. Bobeck, P.I. Bonyhard, and J.E. Geusic. Magnetic bubbles—an emerging new memory technology. Proceedings of the IEEE, 63(8):1176-1195, 1975.

[17] N S Kiselev, A N Bogdanov, R Schafer, and U K RoBler. Chiral skyrmions in thin magnetic films: new objects for magnetic storage technologies? Journal of Physics D: Applied Physics, 44(39):392001, sep 2011.

[18] L.D Landu and E.M. Lifshitz. К теоии дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел. Phys. Zs. Sowjet, 8:153-169, 1935.

[19] Thomas Lewis Gilbert. Formulation, foundation and applications of the phenomenological theory of ferromagnetism. PhD thesis, Illinois Institute Of Technology, June 1956.

[20] A. A. Thiele. Steady-state motion of magnetic domains. Physical Review Letters, 30(6):230-233, Feb 1973.

[21] B.A. Ivanov and V.A. Stephanovich. Two-dimensional soliton dynamics in ferromagnets. Physics Letters A, 141(1-2):89-94, oct 1989.

[22] B.A. Ivanov, V.A. Stephanovich, and A.A. Zhmudskii. Magnetic vortices - the microscopic analogs of magnetic bubbles. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 88(1):116-120, jul 1990.

[23] N Papanicolaou and TN Tomaras. Dynamics of magnetic vortices. Nuclear Physics B, 360(2-3):425-462, aug 1991.

[24] Christoph Schütte and Markus Garst. Magnon-skyrmion scattering in chiral magnets. Physical Review B, 90(9):094423, sep 2014.

[25] Sarah Schroeter and Markus Garst. Scattering of high-energy magnons off a magnetic skyrmion. Low Temperature Physics, 41(10):817-825, oct 2015.

[26] Junichi Iwasaki, Aron J. Beekman, and Naoto Nagaosa. Theory of magnon-skyrmion scattering in chiral magnets. Physical Review B, 89(6):064412, feb 2014.

[27] Shi-Zeng Lin, Cristian D. Batista, and Avadh Saxena. Internal modes of a skyrmion in the ferromagnetic state of chiral magnets. Physical Review B, 89(2):024415, jan 2014.

[28] Volodymyr P. Kravchuk, Denis D. Sheka, Ulrich K. Roßler, Jeroen van den Brink, and Yuri Gaididei. Spin eigenmodes of magnetic skyrmions and the problem of the effective skyrmion mass. Physical Review B, 97(6):064403, feb 2018.

[29] Jiadong Zang, Maxim Mostovoy, Jung Hoon Han, and Naoto Nagaosa. Dynamics of skyrmion crystals in metallic thin films. Physical Review Letters, 107(13):136804, sep 2011.

[30] Olga Petrova and Oleg Tchernyshyov. Spin waves in a skyrmion crystal. Physical Review B, 84(21):214433, Dec 2011.

[31] Masahito Mochizuki. Spin-wave modes and their intense excitation effects in skyrmion crystals. Physical Review Letters, 108(1):017601, Jan 2012.

[32] Gen Tatara and Hidetoshi Fukuyama. Phasons and excitations in skyrmion lattice. Journal of the Physical Society of Japan, 83(10):104711, Oct 2014.

[33] Shintaro Hoshino and Naoto Nagaosa. Theory of the magnetic skyrmion glass. Physical Review B, 97(2):024413, jan 2018.

[34] T. Schwarze, J. Waizner, M. Garst, A. Bauer, I. Stasinopoulos, H. Berger, C. Pfleiderer, and D. Grundler. Universal helimagnon and skyrmion excitations in metallic, semiconducting and insulating chiral magnets. Nature Materials, 14(5):478-483, mar 2015.

[35] Markus Garst, Johannes Waizner, and Dirk Grundler. Collective spin excitations of helices and magnetic skyrmions: review and perspectives of magnonics in non-centrosymmetric magnets. Journal of Physics D: Applied Physics, 50(29):293002, jun 2017.

[36] S. Seki, M. Garst, J. Waizner, R. Takagi, N. D. Khanh, Y. Okamura, K. Kondou, F. Kagawa, Y. Otani, and Y. Tokura. Propagation dynamics of spin excitations along skyrmion strings. Nature Communications, 11(1):1-7, jan 2020.

[37] T. Weber, D. M. Fobes, J. Waizner, P. Steffens, G. S. Tucker, M. Bohm, L. Beddrich, C. Franz, H. Gabold, R. Bewley, D. Voneshen, M. Skoulatos, R. Georgii, G. Ehlers, A. Bauer, C. Pfleiderer, P. Boni, M. Janoschek, and M. Garst. Topological magnon band structure of emergent landau levels in a skyrmion lattice. Science, 375(6584):1025-1030, mar 2022.

[38] Johannes Waizner. Spin wave excitations in magnetic helices and skyrmion lattices. PhD thesis, Universitat zu Koln, 2017.

[39] T. Holstein and H. Primakoff. Field dependence of the intrinsic domain magnetization of a ferromagnet. Physical Review, 58(12):1098-1113, dec 1940.

[40] А. И. Ахиезер В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский. Спиновые волны. М., «Наука», 1967.

[41] S. V. Maleyev. Cubic magnets with dzyaloshinskii-moriya interaction at low temperature. Physical Review B, 73(17):174402, May 2006.

[42] D. N. Aristov, S. S. Kravchenko, and A. O. Sorokin. Magnon spectrum in ferromagnets with a skyrmion. JETP Letters, 102(7):455-460, oct 2015.

[43] D. N. Aristov and P. G. Matveeva. Stability of a skyrmion and interaction of magnons. Physical Review B, 94(21):214425, dec 2016.

[44] A. V. Tsypilnikov D. N. Aristov. Magnon spectrum in two- and three-dimensional skyrmion crystals. arXiv:1705.00196, April 2017.

[45] A Roldan-Molina, A S Nunez, and J Fernandez-Rossier. Topological spin waves in the atomic-scale magnetic skyrmion crystal. New Journal of Physics, 18(4):045015, apr 2016.

[46] Sebastian A. Diaz, Tomoki Hirosawa, Jelena Klinovaja, and Daniel Loss. Chiral magnonic edge states in ferromagnetic skyrmion crystals controlled by magnetic fields. Physical Review Research, 2(1):013231, Feb 2020.

[47] Alexander Mook, Jelena Klinovaja, and Daniel Loss. Quantum damping of skyrmion crystal eigenmodes due to spontaneous quasiparticle decay. Physical Review Research, 2(3):033491, Sep 2020.

[48] Naoto Nagaosa and Yoshinori Tokura. Topological properties and dynamics of magnetic skyrmions. Nature Nanotechnology, 8(12):899-911, Dec 2013.

[49] K. Everschor-Sitte, J. Masell, R. M. Reeve, and M. Klaui. Perspective: Magnetic skyrmions—overview of recent progress in an active research field. Journal of Applied Physics, 124(24):240901, dec 2018.

[50] Yoshinori Tokura and Naoya Kanazawa. Magnetic skyrmion materials. Chemical Reviews, 121(5):2857-2897, nov 2020. PMID: 33164494.

[51] C Back, V Cros, H Ebert, K Everschor-Sitte, A Fert, M Garst, Tianping Ma, S Mankovsky, T L Monchesky, M Mostovoy, N Nagaosa, S S P Parkin, C Pfleiderer, N Reyren, A Rosch, Y Taguchi, Y Tokura, K von Bergmann, and

Jiadong Zang. The 2020 skyrmionics roadmap. Journal of Physics D: Applied Physics, 53(36):363001, jun 2020.

[52] Borge Gobel, Ingrid Mertig, and Oleg A. Tretiakov. Beyond skyrmions: Review and perspectives of alternative magnetic quasiparticles. Physics Reports, 895:128, feb 2021.

[53] R. Tomasello, E. Martinez, R. Zivieri, L. Torres, M. Carpentieri, and G. Finocchio. A strategy for the design of skyrmion racetrack memories. Scientific Reports, 4(1), oct 2014.

[54] Wataru Koshibae, Yoshio Kaneko, Junichi Iwasaki, Masashi Kawasaki, Yoshinori Tokura, and Naoto Nagaosa. Memory functions of magnetic skyrmions. Japanese Journal of Applied Physics, 54(5):053001, apr 2015.

[55] Z.R. Yan, Y.Z. Liu, Y. Guang, K. Yue, J.F. Feng, R.K. Lake, G.Q. Yu, and X.F. Han. Skyrmion-based programmable logic device with complete boolean logic functions. Physical Review Applied, 15(6):064004, Jun 2021.

[56] V. E. Timofeev, A. O. Sorokin, and D. N. Aristov. Towards an effective theory of skyrmion crystals. JETP Letters, 109(3):207-212, feb 2019.

[57] V. E. Timofeev, A. O. Sorokin, and D. N. Aristov. Triple helix versus skyrmion lattice in two-dimensional noncentrosymmetric magnets. Physical Review B, 103(9):094402, mar 2021.

[58] V. E. Timofeev and D. N. Aristov. Magnon band structure of skyrmion crystals and stereographic projection approach. Physical Review B, 105(2):024422, jan 2022.

[59] I. Dzyaloshinsky. A thermodynamic theory of "weak" ferromagnetism of antiferromagnetics. Journal of Physics and Chemistry of Solids, 4(4):241-255, jan 1958.

[60] Toru Moriya. Anisotropic superexchange interaction and weak ferromagnetism. Physical Review, 120(1):91-98, oct 1960.

[61] Sumilan Banerjee, James Rowland, Onur Erten, and Mohit Randeria. Enhanced stability of skyrmions in two-dimensional chiral magnets with rashba spin-orbit coupling. Physical Review X, 4(3):031045, Sep 2014.

[62] Shi-Zeng Lin, Avadh Saxena, and Cristian D. Batista. Skyrmion fractionalization and merons in chiral magnets with easy-plane anisotropy. Physical Review B, 91(22):224407, Jun 2015.

[63] Utkan Giingordii, Rabindra Nepal, Oleg A. Tretiakov, Kirill Belashchenko, and Alexey A. Kovalev. Stability of skyrmion lattices and symmetries of quasi-two-dimensional chiral magnets. Physical Review B, 93(6):064428, feb 2016.

[64] T. A. Kaplan. Classical spin-configuration stability in the presence of competing exchange forces. Physical Review, 116(4):888-889, nov 1959.

[65] T. A. Kaplan. Some effects of anisotropy on spiral spin-configurations with application to rare-earth metals. Physical Review, 124(2):329-339, oct 1961.

[66] IE Dzyaloshinskii. Theory of helicoidal structures in antiferromagnets. 3. Sov.Phys.JETP, 20(3):665-+, 1964.

[67] IE Dzyaloshinskii. Theory of helicoidal structures in antiferromagnets. i. nonmetals. Sov. Phys. JETP, 19(4):960-971, 1964.

[68] Ю.А. Изюмов Р.П. Озеров, В.Е. Найш. Нейтронография магнетиков. Москва Атомиздат, 1981.

[69] Gordon Leslie Squires. Introduction to the theory of thermal neutron scattering. Cambridge university press, 2012.

[70] S. V. Grigoriev, N. M. Potapova, E. V. Moskvin, V. A. Dyadkin, Ch. Dewhurst, and S. V. Maleyev. Hexagonal spin structure of a-phase in MnSi: Densely packed skyrmion quasiparticles or two-dimensionally modulated spin superlattice? JETP Letters, 100(3):216-221, oct 2014.

[71] Ping Huang, Thomas Schonenberger, Marco Cantoni, Lukas Heinen, Arnaud Magrez, Achim Rosch, Fabrizio Carbone, and Henrik M. R0nnow. Melting

of a skyrmion lattice to a skyrmion liquid via a hexatic phase. Nature Nanotechnology, 15(9):761-767, jun 2020.

[72] Arne Vansteenkiste, Jonathan Leliaert, Mykola Dvornik, Mathias Helsen, Felipe Garcia-Sanchez, and Bartel Van Waeyenberge. The design and verification of MuMax3. AIP Advances, 4(10):107133, oct 2014.

[73] Werner Döring. Über die tragheit der wande zwischen weißschen bezirken. Zeitschrift für Naturforschung A, 3(7):373-379, jul 1948.

[74] M.Ya. Azbel'. Energy spectrum of a conduction electron in a magnetic field. Sov. Phys. JETP, 19(4):634-645, 1964.

[75] Michael Victor Berry. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes. Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences, 392(1802):45-57, mar 1984.

[76] Takahiro Fukui, Yasuhiro Hatsugai, and Hiroshi Suzuki. Chern numbers in discretized brillouin zone: efficient method of computing (spin) hall conductances. Journal of the Physical Society of Japan, 74(6):1674-1677, jun 2005.

SAINT PETERSBURG STATE UNIVERSITY

PETERSBURG NUCLEAR PHYSICS INSTITUTE NAMED BY B.P. KONSTANTINOV OF NATIONAL RESEARCH CENTRE

KURCHATOV INSTITUTE

Manuscript copyright

Timofeev Viktor Evgenevich

Dynamics of skyrmion crystals and stereographic

projection approach

Specialisation 1.3.3 — Theoretical Physics

Dissertation is submitted for the degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences

Translation from Russian

Thesis supervisor: Aristov Dmitry Nikolaevich Dr. Sci. (Phys.-Math)

Saint Petersburg 2022

Contents

Introduction................................ 96

Chapter 1 Static configuration of a skyrmion crystal 107

1.1 Classical energy ......................................................107

1.1.1 Exchange Energy ................................................107

1.1.2 Dzyaloshinskii-Moriya Interaction..............................108

1.1.3 Zeeman Energy ..................................................109

1.1.4 Easy axis anisotropy and dipole-dipole interaction............110

1.1.5 General expression for the energy and characteristic values

of the model........................................................111

1.2 Topological charge ...................................................111

1.2.1 Vorticity and helicity............................................112

1.3 Stereographic projection.............................................114

1.3.1 Belavin-Polyakov solution.......................................115

1.4 Variational equation and the ansatz ................................117

1.4.1 Single skyrmion..................................................117

1.4.2 Universality of the profile .......................................119

1.5 Multi-skyrmion configuration........................................121

1.5.1 Interaction of a skyrmions.......................................122

1.5.2 Skyrmion crystal.................................................124

1.6 Triple helix ...........................................................125

1.6.1 Simple magnetic helix...........................................126

1.6.2 Chiral soliton lattice.............................................127

1.6.3 Deformed Triple Helix...........................................128

1.7 Comparison of the skyrmion crystal and the DTH ................130

1.8 Neutron scattering...................................................131

Chapter 2 Skyrmion lattice dynamics 135

2.1 Landau-Lifshitz equation and Lagrangian formalism .............135

2.2 Dynamical fluctuations ..............................................136

2.2.1 Symmetry of the eigenmode equation..........................139

2.2.2 Normalization and orthogonality of a solutions................139

2.2.3 Second quantization and the Green's function ................141

2.2.4 Zero modes.......................................................142

2.2.5 Corrections to the trial ground state...........................144

2.3 Band structure of an excitations in a skyrmion crystal............145

2.3.1 General properties of the potentials U, V and A .............146

2.3.2 Regularization of the gauge field A ............................148

2.3.3 Coefficients Cq equations.......................................150

2.3.4 Tight binding model.............................................151

2.3.5 Classification of the branches and wave functions.............153

2.3.6 Zero mode........................................................157

2.3.7 Corrections to the form and energy density ...................158

2.4 Topological properties of a band structure ........................159

2.4.1 Berry phase, connection, curvature and Chern numbers .....159

2.4.2 Link-variable method ...........................................161

2.4.3 Results of the topological properties calculations .............163

Conclusion................................. 166

Acknowledgments............................. 167

Bibliography................................ 169

Introduction

This thesis is devoted to the study of a dynamics of a lattices of magnetic skyrmions - topologically non-trivial configurations of a local magnetization. The key feature of this work is a representation of local magnetization with stereographic projection approach. We use this approach when we construct the static configuration deriving minimum of the classical energy, and after that we use this approach when we describe a dynamics of fluctuations around equilibrium. We investigate the general formalism describing normal modes of a magnetization fluctuations. We apply this formalism to calculate a dispersion of skyrmion crystal excitations in the model of two-dimensional ferromagnet with Dzyaloshinskii-Moriya interaction and uniform external magnetic field. Also topological properties of a magnon band structure are investigated.

Relevance of the topic

The theoretical predictions of a magnetic skyrmions existence as a metastable configurations for a two-dimensional ferromagnets were made in a middle seventies. Nevertheless first experimental evidences of skyrmion existence were received recently. Since then, number of a compounds and structures where different topological configurations of magnetization are observed has been growning rapidly. Magnetic skyrmions attract research interests not only for academic reasons, but because of the great technological prospects.

Magnetic skyrmions have extremely small sizes (from units to hundreds of nanometers) and also have property of a topological protection. This properties of skyrmions allow to consider them as a building blocks for the novel memory or computer logic devices.

Besides single magnetic skyrmion manipulations there is a great interest in stable

skyrmion lattices. Lattices of a different symmetries (triangular, square etc.) consist of different topological objects (skyrmions with different helicities, anti-skyrmions, bimerons, meron-anti-merons etc.) were observed in a variety of a compounds. Such super-lattices are observed in a thin films and bulk, at the low temperature and at the room temperature.

Besides the static properties of such super-lattices, their dynamics are of interest. The nontrivial topology of a ground state is manifested in a properties of an elementary excitations in such systems. Such lattices have a significantly larger period than period of a crystal lattice, and can be of great use in magnonics.

There is a significant progress in this research area, but modern methods of describing the dynamics of magnetic skyrmions are far from ideal. Therefore, the construction of a coherent closed theory of static and dynamic properties of magnetic skyrmion lattices is a relevant topic of a research.

Elaboration of the topic

Skyrmions are usually called topological solitons in non-linear sigma models. They owe their name to British physicist Tony Skyrm. He wrote a number of articles [1, 2, 3] in earlier sixties about unified field theory that explained particles (baryons) as a nontrivial configurations of a bosonic fields. One can read in details about various topological solitons and approaches to their studding in the classical books [4, 5]. As is often the case in theoretical physics, concepts from one area of the science, years later, find application in those areas to which, at first glance, they had nothing to do. So it happened with the skyrmions.

The first theoretical prediction about existence of topological metastable configurations of local magnetization in a thin ferromagnetic films appeared in the classical work of Belavin and Polyakov (BP) [6]. In this work was shown that energy of magnetization configuration is proportional to the so-called topological charge.

Ferromagnetic exchange is not enough to stabilize magnetic skyrmions, there should be some additional stabilizing interaction. It was shown [7] that Dzyaloshinskii-Moriya (DM) interaction can be such term. After that the case of a single isolated skyrmion was analyzed in the model with DM and external magnetic field [8]. Solitary skyrmion is an axially symmetric configuration, one can find

optimal configuration on a disc, and after that pave a plane with such discs [9]. The possibility of the existence of a ground state in the form of a skyrmion crystal in structures with DM interaction has also been discussed at finite temperatures [10].

The first experimental confirmation of an existence of a magnetic skyrmion lattice is associated with the work [11]. New so-called A-phase was found in neutron scattering experiments, this phase was interpreted as a skyrmion crystal. Also it was shown [11] that to describe the configuration of the skyrmion lattice near the crytical point, the magnetization can be present as a sum (superposition) of three magnetic helices with modulation vectors directed to each other under 120°. Later the same group made a detailed investigation of an elastic neutron scattering [12], main focus in this investigation was on the second Bragg's peaks, authors concluded that main contribution to their intensity is made by double scattering.

The most expressive experimental technique for studying the lattices of magnetic skyrmions is the Lorentz Transmission Electron Microscopy (LTEM), that allows to observed local magnetization in the real space. There is a number of LTEM studies of a thin films of FeGe and Fe0.5Co0.5Ge [13, 14]. It was shown that area of the sryrmion crystal on the phase diagram depends of a film's thickness. The thinner the film, the lower the temperatures at which skyrmion lattice can be observed.

Until we start to discuss dynamics problems and studies we should mention cylindrical magnetic domains or magnetic bubbles [15]. Magnetic bubbles are interesting in a plane of a memory devices [16]. Bubbles appear because of competition of an exchange interaction, easy-plane anisotropy and magnetic field. Size of a bubbles is order to units or decades of microns. In some sense magnetic skyrmion is an extremely small bubble. Differences arise due to DM interaction, that brings to the system characteristic length in order of nanometers. Differences between skyrmions and magnetic bubbles was discussed in [17].

It is well known that into continuous models dynamics of a local magnetization describes with Landau-Lifshitz equation [18], or with Landau-Lifshitz-Gilbert equation [19], that taking into account dissipation effects. LLG equation can be applied to the description of a motion of a hard magnetic bubble, this equation called Thiele equation [20]. In this work was shown that there is a gyrotropic force proportional to the topological charge that acts to the bubble.

After work [7] in which discussed appearance of thermodynamically stable mag-

netic vortices in models with DM interaction, there was a number of works about problems of a single vortex dynamics [21, 22]. We should mention that from topolog-ical point of view magnetic vortices, discussed in this papers, are the same objects that magnetic skyrmions, in this works lagrangian formalism been used to describe vortices dynamics. At the same time, there was developed original method [23] based on the conservation law of the topological current. It was shown that dynamics of topological vertices differs significantly from the case of non-topological ones.

It is quite clear that dynamics of a magnetic skyrmions does not reduced to a skyrmion motion. There are internal modes, that related to the deformations of the single skyrmion form. There is a key work in this field [24], where were analyzed different internal modes of a single skyrmion in terms of a magnetic quantum number m, also theory of magnon-skyrmion scattering was developed. Later, the same group separately analyzed case of a high energy magnon scattering on a single skyrmion [25]. Also one can mention numerical analysis of the quite the same case [26], it was shown, with LLG numerical analysis, how magnon current pressing skyrmion. Internal modes of a solitary skyrmion in the model with DM interaction, external magnetic field and uniaxial anisotropy were analyzed in the work [27], eigenmodes of linearized LLG equation near extremum was studied. It was shown that at the low magnetic field there is instability in the system, that one can associated with elliptical mode, that tends to stretch a skyrmion into a stripe domain, like it was shown earlier in [24]. Internal dynamics of a magnetic skyrmion without external magnetic skyrmion was studeied in [28]. Axial symmetry of a single skyrmion significantly simplify analysis of external modes, at the same time excitations of a skyrmion lattice is quite more complicated task.

Goldstone modes were previously discussed in [29, 30]. It was shown in [29] that a form of the kinetic therm in the Lagrangian leads to the situation when displacement along one axes is a canonically conjugate variable to another. It leads to the presence of only one "phonon" mode in skyrmion crystal, dispersion of such mode should be quadratic near the r point. Magnon modes in skyrmion crystal studied in the work [31]. The author numerically solves the LLG equation with a periodic boundary condition for about ninety thousand magnetic moments, having previously found the equilibrium state of the system by the Monte-Carlo method. Microwave-absorption

spectra due to spin-wave resonances was studied, it was shown that rotational modes excited by in-plane field oscillation, and breathing mode excited by perpendicular oscillations.

One should mention studies of skyrmion crystal dynamics with phason technique [32, 33], starting point of such consideration is a superposition of three magnetic helices, and phases of these helices play roles of collective coordinates.

Before calculating the excitation dispersion, it is necessary to construct an equilibrium spin configuration corresponding to the minimum energy. One of the most successful methods was proposed in the work [34], and after it was developed in [35, 36, 37]. Detailed presentation of this approach is given in [38]. In short this approach starts from "linear sigma model", i.e. one ignores constraint to magnetization modulus. The search for an equilibrium configuration in this approach begins in the reciprocal space, where magnetization is represented by the sum of a several harmonics. After that, fluctuations from this equilibrium are considered and normal frequencies are calculated. In the last work, mentioned constraint was taken into account by adding of corresponding Lagrange multiplier.

Before that we discussed continuous models, it means that there is an assumption about size of a skyrmion: it should be much larger that size of a magnetic cell. It is well known that for localized magnetic moments there is a spin-wave theory, where spin operators are represented via bosonic operators [39]. However, this approach is effective in a situation of a large spin S ^ 1 and collinear orientation of a spins: ferromagnets and anti-ferromagnets [40], nevertheless it can be applied to the helical structures [41]. Case of magnetic skyrmions is much more complicated, because equilibrium quantization axis of a spins rotates from point to point, so one should make a local rotation of this axis in the Hamiltonian of the system. For the BP case it was done analytically in [42], and after that high order of 1/2S corrections were done [43]. This task looks much more difficult for the realistic systems with DM interaction etc.[44].

Monte-Carlo methods and other numerical approaches are often used to find optimal static configuration of a local magnetic moments. For example, in the work [45] excitations of an atomic size Neel skyrmion lattice was studied. Dispersion of a low-lying excitation was calculated, it was shown that some of the bands have nontrivial Chern numbers that leads to the appearing of the magnon edge states. Similar

work has been done by another scientific group [46]. After numerical annealing of an equilibrium state authors find dispersion of excitation via bosonic representation of spins. Also gap reopening was observed between breathing and counter-clockwise rotation modes. This reopening leads to the change of Chern numbers sum of a lowest bands, that leads to the appearing or disappearing of an edge states in the system. After it the authors also considered the dissipative effects of excitations of a skyrmion crystal in high order of 1/S [47].

It is hard to say that this overview is full, but we are limited by the format of a thesis. Therefore, author recommends to read some actual reviews about themes mentioned above [48, 49, 50, 51, 52].

Purpose

The main purpose of this thesis is to elaborate a universal approach to quasi-classical consideration of a multi-skyrmion configurations and further application of the elaborated approach to studying of a skyrmion crystal.

Within the framework of achieving this goal, the following tasks are formulated:

• One has to construct single skyrmion solution in the model of a two-dimensional ferromagnet with DM interaction and external magnetic field via stereographic projection approach.

• One has to study interactions of a magnetic skyrmions in the model. Taking into account interactions, one has to minimize classical energy density and define optimal parameters of a skyrmion crystal to the various magnetic field values.

• On has to compare results with possible alternative representation of the equilibrium configuration of local magnetization.

• One has to elaborate mathematical formalism for studies of excitations in a skyrmionic systems.

• With elaborated formalism on has to calculate band structure of skyrmion crystal excitations and its dependence of external magnetic field.

• One has to calculate topological properties of this band structure: Berry curvature and Chern numbers.

Methodology and research methods

We develop quasi-classical approach of skyrmion dynamics description. In this approach we consdier normal modes of a small fluctuations near the field configuration that corresponds to the minimum of the classical energy. This approach is well known and has been discussed for example in [4] and [5].

The key feature of this work is a stereographic representation of a local magnetization. We find stereographic function of an equilibrium configuration, and after that dynamics of a magnetization considered as time-dependent fluctuations of a stereografic function. Equation for eigenfrequencies of this fluctuations is a matrix differential equation of second order and its structure resembles the Bogoliubov-de Gennes equation.

Scientific novelty

Elaborated method is novel, results of a calculations is original. It is confirmed by the fact that our results were published in high-impact journals and presented at several international conferences.

The results obtained in our work are in agreement with previous theoretical investigations [45, 35, 46]. At the same time our approach is unique, because it allows to analyze dynamical fluctuations at the low temperature limit by construction, when magnetization is saturated.

Scientific, theoretical and practical significance

Magnetic skyrmions is a rapidly developing field of a contemporary condensed matter physics. Developing of novel a memory [53, 54] and logic[55] devices based on magnetic skyrmions attracts attention of a researchers. It determines the practical significance of the research on the dynamics of magnetic skyrmions.

At the same time developed in this thesis method has theoretical significance by itself. This method based on a combination of a well known techniques: stereo-

graphic projection approach and quasi-classical description of a topological soliton dynamics. Our approach allows to simplify consideration of a multiskyrmionic configurations in general and skyrmion crystal in particular.

Thesis statements to be defended

1. In terms of complex variable function two-parameter probe function of a skyrmion crystal was constructed. That function with a good accuracy corresponds to the energy minimum of the two-dimensional ferromagnet with Dzyaloshinskii-Moriya interaction into external magnetic field.

2. Relative intensities of a high-order Bragg peaks for elastic neutron scattering on a skyrmion crystal was calculated. Field dependence of this intensities was studied.

3. General quasi-classical formalism of a skyrmion dynamics in terms of a stereographic projection was elaborated. Equations for the normal modes of multi-skyrmion configurations was obtained. Potentials in this equations is written in terms of a stereographic projection function of a static configuration.

4. Band structure of a skyrmion crystal excitations was calculated with elaborated formalism. Field dependence of a band structure was studied. Topological properties as Berry curvature and Chern numbers of a band structure was calculated.

Approbation of the research

Results of this work was presented in a form of an oral talks and posters on a next conferences, workshops and schools:

1. 51-ая Школа ПИЯФ по физике конденсированного состояния ФКС-2017, 11-16 марта 2017 г., Санкт-Петербург, Россия.

2. IV International Workshop Dzyaloshinskii-Moriya Interaction and Exotic Spin Structures, 23-26 May, 2017, Peterhof, Russia.

3. 52-ая Школа ПИЯФ по Физике Конденсированного Состояния ФКС-2018, 12-17 марта 2018, Санкт-Петербург, Россия.

4. Spin Waves 2018 International symposium, June 3-8, 2018, Saint-Petersburg, Russia.

5. 53-ая Школа ПИЯФ по физике конденсированного состояния ФКС-2019, 11-16 марта 2019 г., Санкт-Петербург, Россия.

6. V International Workshop Dzyaloshinskii-Moriya Interaction and Exotic Spin Structures July 8-12, 2019 Petrozavodsk, Russia.

7. Modern Trends in Condensed Matter Physics - Lev Gor'kov Memorial Conference June 24 - 27, Chernogolovka, Russia.

8. 54-ая Школа ПИЯФ по Физике Конденсированного Состояния ФКС-2020, 16-21 марта 2020, Санкт-Петербург, Россия.

9. VII Всероссийский молодёжный форум с международным участием Open Science 2020, 18-20 ноября 2020, Гатчина, Россия.

10. VI International Workshop Dzyaloshinskii-Moriya Interaction and Exotic Spin Structures September 6-10, 2021 Vyborg, Russia.

11. VIII Всероссийский молодёжный форум с международным участием Open Science 2021, 17-19 ноября 2021, Гатчина, Россия.

Moreover intermediate results of the work was presented on the theoretical condensed matter seminar in the Theory Division of NRC "KI" PNPI, and on the division seminar of the Quantum Mechanics Division of the Faculty of Physics of SPbSU.

Publications

The results obtained within this study were published in 3 articles (the journals are included in the RSCI, Web of Science and Scopus databases):

1. V.E. Timofeev, A.O. Sorokin and D.N. Aristov. Towards an effective theory of skyrmion crystals. JETP Letters, 109(3):207-212, (2019).

2. V. E. Timofeev, A. O. Sorokin, and D. N. Aristov. Triple helix versus skyrmion lattice in two-dimensional noncentrosymmetric magnets. Physical Review B, 103(9):094402, (2021).

3. V. E. Timofeev and D. N. Aristov. Magnon band structure of skyrmion crystals and stereographic projection approach. Physical Review B, 105(2):024422, (2022).

Also, these articles are listed in the list of references under the numbers [56, 57, 58].

Reliability of the results

Reliability of the results is confirmed by the usage of well-known and previously tested theoretical techniques and approaches. There is a qualitative agreement with other studies in which similar models were investigated by alternative methods. Publications in highly rated journals also testify in favor of the reliability of the results.

Personal contribution of the author

The work was done on a base of SPbSU and NRC "KI" PNPI. All the results presented in the thesis were obtained by the author personally or with his direct participation.

The structure of the work

The thesis consists of Introduction, two Chapters, Conclusions and list of references. The thesis contains 176 pages, 17 figures and 2 tables. The list of references includes 76 items.

• In Introduction the main purpose and tasks are discussed, the main state-

ments to defend are formulated, also it contains a review of a relevant scientific literature.

• In Chapter 1 aspects of a static skyrmion crystal discussed. The construction procedure of a skyrmion crystal in terms of a stereographic projection approach is described. Also in this chapter an alternative approach, that involve description of a skyrmion crystall as a sum of a three magnetic helices, is discussed.

• In Chapter 2 we elaborate general lagrangian formalism for a stereographic function fluctuations, we co write main equations and after that we use elaborated formalism to calculate dispersion of a skyrmion crystal excitations. The band structure and the dependence of the spectrum on the external magnetic field are studied. The topological characteristics of the band structure of such excitations are also investigated.

• In Conclusion we shortly describe the main results of the work and discuss further researches and possible applications of the method developed in the thesis.

CHAPTER 1

Static configuration of a skyrmion crystal

In this chapter we discuss general properties of the model and different approaches to construction of a static configuration that corresponds to the minimum of a classical energy: skyrmion lattice constructed via stereographic projection approach and "triple helix" approach.

1.1 Classical energy

In the next paragraphs we formulate general properties of the investigated model. The choice of classical energy form of the investigated model consisting of several terms will be mainly justified.

1.1.1 Exchange Energy

The starting point of our consideration is an isotropic Heisenberg model of fer-romagnet:

Hex = -J(Ry)s,s, (U)

where indices i,j runs over a lattice, Sj is a spin of a j site, and J(R^) is an exchange interaction value, in mathematical sense it is a positive function depends on a distance between sites i and j. Negative sign in front of the sum in the expression (1.1) means that we consider ferromagnet. The exchange interaction is a consequence of the quantum mechanical properties of the electronic subsystem of the crystal, and it is rapidly decreases at interatomic distances, thus in the future we will limit ourselves by the case of nearest neighbors interaction J(R^) ~ J. Following classical book [40] we introduce density of magnetic moment operator:

S(r) = Sj£(r — Tj), where ^o is Bohr magneton. At the low tempera-

j

ture (T ^ Tc) magnetization on the lattice sites is saturated, thus we can consider average density of a macroscopic magnetic moment S(r) = SppS where p is an equilibrium density matrix, and bar means physical average over infinitesimal volume, value S(r) we will call local magnetization.

We assume that S(r) changes insignificantly on an interatomic scale. Thus we could consider series expression S(r + a) « S(r) + (aV)S(r) + 1/2(aV)(aV)S(r). After integration by parts one can get that up to a constant exchange energy is equal:

Eex = J I drd^Sid^Si, (1.2)

where S'1 is f'th component of the local magnetization, C is so-called exchange stiffness, it is proportional to J with some factor that depends on crystal symmetry and crystal period. Latin indices i = 1, 2,3 mean component of three-dimensional vector, and the greek ones p =1, 2 numbers spatial coordinates. Symbol d^ means partial derivative by p'th spatial coordinate. We consider low temperature situation and assume that vector of magnetization is saturated and its absolute value doesn't change from point to point SlSl = 1 (here and below we assume summation over double indices).

Energy density in the expression (1.2) is a non-negative function, it means that integral over the plane is non-negative too. Obviously that this integral is equal to zero for the uniform configuration S^(r) = Si, and any other solution of this model has higher energy and metastable. We will return to the question of metastable solutions of (1.2) below, but now we should discuss another magnetic interactions, that lead to appearance of the magnetic skyrmions.

1.1.2 Dzyaloshinskii-Moriya Interaction

In the works [59, 60] was shown that in noncentrosymmetric magnets due to the spin-orbit coupling may appear antisymmetric interaction that called Dzyaloshinskii-Moriya Interaction (DMI). Spin-orbit coupling is a relativistic effect, thus usually value of DMI is much smaller that exchange interaction value. Antisymmetric nature

of DMI allows us to write it in the next form:

HDM = 2 ^ D(R* — Rj) [Si x Sj] , (1.3)

ij

where vector D(Rj — Rj) is called Dzyaloshinskii vector and symbol x means vector product. Value of the DMI significantly decrease with a distance, direction of Dzyaloshinskii vector depends on lattice symmetry1.

Wherever the Dzyaloshinskii vector is directed, one can see that minimum of the expression (1.3) achieved when magnetization on a neighbor sites are directed perpendicular to each other. This trend is significantly differs from the ferromagnetic trend to rotate spins parallel to each other.

Let's do the same transition to the continuous limit with the expression (1.3) as we done it in the previous paragraph. Assuming that magnetization slowly changes from one cite to another, one can expand DMI term in a series of powers of a to linear terms. Let's consider two common cases: D is (i) parallel to a R^ — Rj and (ii) D is perpendicular to it.

In the first case expression (1.3) transforms to the next form:

EDM = —^Jdr (S3d1S2 — S2dxS3 + Si ^3 — Sid2Sl). (1.4)

It is convenient to present the DMI term via Lifshitz invariants = Sid^Sj — Sjd^Si. In this case integrand in the expression (1.4) presents as C\2 + £23.

In the second situation density of the DMI term can be expressed with another combination of the invatiants + £32:

EDM = —Didr (SadiSi — S^Sa + S3d2S2 — S2d2Sa). (1.5)

1.1.3 Zeeman Energy

Let's place our system to the external magnetic field h directed perpendicular to the plane. Zeeman energy of a spin system in that case is written as follows:

Hz = ^0h^sl3 . (1.6)

xIn a bulk there is a rule: Dzyaloshinskii vector directed perpendicular to the plane of magnetic moments and nonmagnetic ion between them.

One can make a transition to the continuous limit. Also for convenience we will measure this energy from uniform configuration:

Ez = B J dr(1 -S3). (1.7)

1.1.4 Easy axis anisotropy and dipole-dipole interaction

Spin-orbit coupling also can lead to appearance of the different types of magnetic anisotropies. We are primarily interested in the case of uniaxial anisotropy:

Han = K (1.8)

i

where K is a characteristic value of anisotropy. There are two different cases of this anisotropy depends on the K sign: (i) K < 0 - easy axis case and (ii) K > 0 - easy plane. In the first case the expression (1.8) will be the smaller, the greater the value of the average magnetization along the third axis. In the second case magnetization is more advantageous to lie into the plane.

After averaging and transition to the continuous limit the expression (1.8) takes form:

Ean = K J dr(S:i)2. (1.9)

One can also mention the dipole-dipole interaction:

Hdip = 2, £ - )(S'R) (1.10)

that presents in every system of localized magnetic moments. Although this interaction decreases slowly with distance and its magnitude is much smaller than value of the exchange interaction.

Into the continuous limit for the case of infinite plane dipole-dipole interaction can be effectively replaced with easy axis anisotropy term (1.9).

We will ignore such interactions, because small easy axis anisotropy K ^ B/2 practically does not affect on a skyrmion configuration (see for example Fig.1 from [61], or also [62] and [63]). Situation dramatically changes when the value K is comparable with the magnetic field B. When K > B/2 for a homogeneous configuration the direction "over the field" becomes disadvantageous, and in a phase diagram,

equilibrium configurations of the square lattice of skyrmions can occur[62]. The application of our approach to such situation is an urgent task for further research.

1.1.5 General expression for the energy and characteristic values of the model

Thus we consider well known minimal model consisted skyrmion crystal as an equilibrium configuration:

E = Eex + Edm + Ez = J dr £, (1.11)

with energy density £ :

£ = ydAfySi - De,,,Sid^Sj + B(1 - S3), (1.12)

where e^ is a fully antisymetric tensor, but in our case first index runs only over two values.

The expression (1.12) consists two characteristic lenghts C/D and \JC/B. Thus parameters C and B is natural parameters of a system, when value of the magnetic field B is an external parameter and can be controlled separately, in our work we measure length in the I = C/D units and energy density in the Cl—2 = D2/C units.

Thus expression for the energy density can be rewritten in dimensionless form:

£ = 2 — d^SJ + b(1 — ^ (1.13)

where b = BC/D2 is a dimensionless value of the magnetic field. Before we start to analyze the expression (1.13) and discuss its minimum, one should discuss topolog-ical aspects of skyrmions.

1.2 Topological charge

Partly great interest in skyrmions is related with the propety of so-called topo-logical protections. To describe this key property one should introduce topological charge.

It is well known fact that the complex plane with the infinity point is isomorphic to the two-dimensional sphere. Thus every uniform on the infinity configuration of a local magnetization on a plane is a mapping from one two-dimensional sphere

O O

to another S ^ S in that sense. From a topology course we know that this kind of mapping is characterized by integers (the number of winding of one sphere on another so-called winding number) (S2) = Z. When discussing topological solitons, in particular magnetic skyrmions, it is common to use the term topological charge to denote this number.

In a formal way one can define topological charge as an integral over the plane Q = J drq with next the next topological charge density:

q = tijktpvSidpSjdvSk . (1.14)

It is obvious (1.14) that topological charge density of the uniform configuration is equal to zero, but more than that, it is zero for helical configurations as well. In the expression (1.14), two derivatives in orthogonal directions are multiplied to each other, when a helix has a dedicated modulation direction, so the derivative in the orthogonal direction is zero.

Further in the work, by a solitary magnetic skyrmion, we will mean the configuration of the magnetization with a negative unit topological charge, and by skyrmion crystal we will mean lattice with negative unit topological charge per cell 2 Q = — 1. It should be noted that in a recent years more extravagant topological configurations have been increasingly discussed in the literature: anti-skyrmion lattices with Q = 1, bimeron lattices, meron-anti-meron lattices, biskyrmions, skyrmioniums etc. The study of such objects is certainly interesting task for further work, but it is beyond the scope of this work.

Topological protection means that configurations with different topological charges Q can not be transformed one to another. It means that there is a high potential barrier between them, and even metastable configurations have a long lifetime.

1.2.1 Vorticity and helicity

Why we call configurations with negative Q skyrmions, and with positive Q anti-skyrmions? Answer to this question is hide in a field of vorticity and helicity terms.

2In this sense, a skyrmion crystal is represented as a patchwork blanket, each patch of which, by itself, wraps around a sphere once.

Figure 1.1: Examples of a skyrmions and ani-skyrmions with different vorticity and helicity. Red arrows show in-plane component of magnetization and color gradient out-of-plane component.

The most convenient representation for considering these concepts is the standard form of the local magnetization representation:

S(r) = (cos $ sin 6, sin $ sin 6, cos 6) . (1.15)

Since a single skyrmion is an axially symmetric solution, it will be most convenient to consider polar parameterization of the plane r = (r cos p, r sin p), and for the axially symmetric solution (1.15) dependence of variable is $(p) and 6(r) respectively.

In this representation integral for topological charge takes an elegant and simple form:

'2-K cc

Q = ±[ idr sin 6(r) ^ = 1$(.p)\2; cos6(r)|° , (1.16)

^ 4tt J * dp J y ' dr W|c' v 7

oo

and there is a condition to nontrivial topological charge of the system: $ should reach at least 2ti while walking around the center of a configuration, it means that magnetization should turn around at least one time.

Taking into account axial symmetry of configuration one can write $(p) = mp + 7, where m is called vorticity and 7 is called helicity. In our case (1.12) magnetic field is directed upward 6 = 0, it means that the third component of the magnetization is fixed on the infinity S3(r ^ c) = 1, and in the center of the plane

it is directed in opposite direction, thus cos6(r)|° = —2 and Q = —m. Therefore,

with our choice of the direction of the external magnetic field, the configuration with the in-plane counterclockwise twist (namely they are called skyrmions) has negative topological charge. Configurations with m < 0 are called anti-skyrmions.

As one can see from the expression (1.16) topological charge does not depend on helicity 7, however helicity defines an angle between in-plane magnetization component and the direction er. Skyrmions with 7 = ±^/2 are called the Bloch type skyrmions and with 7 = 0 Neel type (by analogy with domain walls).

1.3 Stereographic projection

In the previous section we discussed that every uniform configuration of the

magnetization on the plane can be presented as a mapping from the one sphere to 0 0

another S ^ S . Following Belavin and Polyakov work [6] we use stereographic projection approach in our work. This approach allows to go away from three-dimensional vector of the magnetization to a function of a complex variable:

2/ s = 1 — f f ! + //' 3 1 + //' where f = f(z, z) is a function of a complex variables z = x + iy and z = x — iy, where x and y are Cartesian spatial coordinates. With this substitution we are automatically taking into account S%S% = 1 constraint. In general we have no limitation on form, every magnetization configuration can be represented by some function.

We should mention general properties of stereographic projection: "upward" and "downward" directions of the magnetization correspond to a zeros and poles of a complex function f; in the points where |/| = 1 magnetization "lies down" into the plane, and phase of in this points defines the direction in the plane. We are also interested in transformation of some physical values under inverse or complex conjugation transformation of , we put them into the table (1.1).

Let's express the energy density (1.13) and the topological charge density (1.14) in terms of :

- 4(dzfd-zf + dzfd-zf) + f 2i(f2dzf + dj — dzf — fdj) \ 2bff

* = 0T77Z +1 (TT775Z J+1+77' (U8)

Si + 1S2 = —lT7 ' S3 = 1-J-L' (1.17)

Figure 1.2: Scheme of a stereographic projection. Every point on a sphere corresponds to a point on the plane.

f s1 S 2 5 3 Q f

f^f 51 -5 2 5 3 -Q f £ex

f^ 1/f 51 -5 2 -S 3 Q f £ex

f ^ 1/f 51 S 2 -S 3 -Q f £ex

Table 1.1: General properties of physical values under transformations of stereographic function.

curly brackets here highlight terms that arise from the DMI. The topological charge density (1.14) is expressed in terms of f as follows:

1 dzfd-z f — dz fdzf f ,

' =; (i+//)2 ■ (119)

here and after under dz ^ 2 — idy) and dz ^ | (dx + idy) we assume complex

derivative by variables and .

1.3.1 Belavin-Polyakov solution

Before we start to analyze the expression (1.18), we should mention the key properties and features of a BP solutions to prepare the foundation for our further considerations. In the work [6] was considered case of B = D = 0, i.e. only exchange

part of the energy (1.18):

, = iidjd^l + djd^f) ,12n) *ex = (1 + //)2 ' ( )

with next first variational derivative:

2 fdzfd-zf = (1 + ff)dzd-zf. (1.21)

From this equation follows that every holomorphic function f = f(z) (or anti-holomorphic function f(z)) is a solution of this equation. Moreover, one can compare expressions (1.20) and (1.19) to see that for holomorphic or anti-holomorphic situation there is some interesting relation E = 4^|Q|, i.e. energy of such configurations is proportional to the its topological charge. This relation is a consequence of a high symmetry of the model (1.2): there are no any characteristic lengths or directions, thus energies of homotopically equivalent configurations (the one can be continuously transformed to another) are equal.

By a single BP skyrmion here and further we will mean the simplest case of Q = —1 mapping:

f = ' (1.22)

where z° defines a size of a skyrmion, and its center placed to the origin3. With a complete bypass around the center of the skyrmion, the phase of the function makes a turn on 2n. Phase of the z° defines an angle between in-plane magnetization and direction er, modulus of z° defines distance from center where |/| = 1 (this distance is usually is called skyrmion radius).

Multi-skyrmion solution for N skyrmions can be presented as the sum:

N

i = E T°T' (1.23)

3=1

where centers of the skyrmions are defined by Zj and sizes by z°j. The expression (1.23) slightly differs from the expression from the paper of BP: (i) we consider only the first order poles and (ii) formally we decomposed the expression from the article into a simple fractions. Topological charge of this configuration is Q = — N

3We already discussed that transformation f ^ 1/f doesn't change Q value, so one can says that we should consider f = z as a single skyrmion. Nevertheless, we sure that it is more convenient to deal with decreasing on the infinity functions and it is easier to follow the poles not the zeros of a functions

and energy is E = AnN. In other words there is no any interaction between BP skyrmions and total energy doesn't depend on sizes of skyrmions and distances between them.

1.4 Variational equation and the ansatz

Variational equation for f is much more complicated for model with DMI and exteranl magnetic field (1.18) and takes form:

2 fdjd-j — (1 + ff)dzd-zf — i{fdj + fdzf] + 4bf(1 + ff) = 0 , (1.24)

as it was before curly brackets shows terms that arise from the DMI. It is obvious that additional terms in the variational equation (1.24) broke the main feature with holomorphic functions of the BP case. Nevertheless, we assume that the DMI and the external field do not change topological structure of a skyrmionic solutions and only continuously change form of them. In other words structure of a poles and a zeros of f stay the same.

1.4.1 Single skyrmion

Taking into account previous arguments we consider ansatz for a single skyrmion in the following form:

/(,, 2) = ^ , (1.25)

where k is a smooth real function depends on a distance from the center of a skyrmion, 7 is a helicity. Function k(zz) we call profile function.

For BP skyrmions (1.22) obviously profile function is a constant k(zz) = | z°|. The external magnetic field tends to turn magnetization to the direction of the field, thus = 0 skyrmion tends to squeeze, and profile function tends to decrease.

Let's consider classical energy dependence of 7, when we substitute the expression (1.25) to the energy density (1.18). It turns out that 7 appears only in the DMI term:

4 sin 7 (—k3 + 2z(zz + k2)k')

£dm = (Z z + k2)2 • (L26)

Profile function k is a positive monotonically decreasing function, expression in the curly brackets is negative. Thus DMI energy term will be minimal with 7 = n/2, i.e. optimal configuration for this type of the DMI is a Bloch type skyrmion.

Let's substitute (1.25) to the equation (1.24) with taking into account 7 = k/2:

k(6k2 — 4k(1 + 2k!) + x(b + 8k'2)) = 4x(x + k2)k'' , (1.27)

where we use a new convenient variable x = . The equation is quite nonlinear, but we already know something about k, thus we can leave only the leading terms in the equation and analyze two main limits: x ^ 0 and x ^ to.

We assume that k goes to zero with all derivatives when x ^ to, therefore, as leading terms in the equation (1.27), we leave the terms containing x as a multiplier and lowest powers of k and its derivatives. Thus equation (1.27) approximately reduces to bK « 4x k". There are two solutions, but one of them increases when x ^ to, thus k ~ Vfa K1(Vbx) ~ (bx)1/4e^, where K1 is the first order MacDonald function.

When x ^ 0 function k should be regular, in order not to violate the chosen property of a solution Q = —1. Thus after series expansion k(x) = k(0) + xK(0) + x2K'(0)/2 + o(x2) and substitution it to the equation in a leading order one can get equation: &k(0)/4 = 1 + 2 K(0).

To solve the equation (1.27) analytically on the entire positive semi-axis is not possible, however, knowing the relation at the point x = 0, we can numerically solve the equation (1.27) on a sufficiently large segment R ^ I with shooting method. Roughly speaking we solve equation (1.27) for a several values of k(0) and after that we chose the solution with the next constraint k(R2) = 0.

For a sufficiently large interval x £ [0, R2] solution starts to show asymptotic behavior k ~ VbxK1^Vbx). After that, it is possible to smoothly "seam" the numerical solution on the segment with the correct asymptotics at the infinity, and get a smooth function on the entire semiaxis.

As the size of the segment R increases, the value of k(0) saturates, one can see it on Fig.1.3. Saturation of the value of the k(0) at the large R indirectly indicates that the numerical solution becomes asymptotic at the large x, and the behavior near the origin remains practically unchanged.

In the paragraph (1.3.1) we discussed that radius of the BP skyrmion is defined by a residue of the function f at the center of the skyrmion. In our case it is not correct, but correlation between the residue and the size of a skyrmion is conserved, i.e. value of k(0) can be associated with the single skyrmion's scale in some sense. One can

— 6 = 0.4 6 = 0.5

6 = 0.6

6 = 0.7

6 = 0.8

1

4

6

R, L

8

10

Figure 1.3: Colored lines show dependence of a k(0) value on an interval length on which the equation (1.27) is solved for the different external fields b.

see on the Fig.1.3 that the value of ^(0) on R ^ to decreases with increasing of the magnetic field. It happens because magnetic field tends to decreasing average magnetization directed against the field and tends to squeeze a skyrmion.

1.4.2 Universality of the profile

A single skyrmion is an uniaxial configuration, this fact simplifies the solution of the equation (1.24), moreover, with the external magnetic field, a skyrmion is a configuration localized in space. Thus adding of another skyrmion far from the others lowers the overall energy of the system. The global energy minimum corresponds to a lattice with the most dense packing of skyrmions, such that the energy per cell of a lattice would be minimal.

Let's introduce the next procedure: we placed centers of a skyrmions on a cites of a hexagonal lattice, with a period of a lattice much more bigger than a size of a single skyrmion. Size of a cell is larger than optimal, because energy per cell is inversely proportional to the area of the cell. By decreasing the size of a cell, we bring the skyrmions closer to each other. Nevertheless, the skyrmions in the model with the DMI in a magnetic field interact to each other, this interaction is obviously repulsive. Therefore, with a strong approach of a skyrmions to each other, the total

Figure 1.4: Dimensionless profile function k calculated for different R at the b = 0.6.

energy per cell will increase.

Taking into account of the interaction between skyrmions, minimizing the energy per crystal cell, and other related issues will be discussed in the following paragraphs. Now we will discuss an equally important question: how does the shape of the skyrmion's profile change in the presence of a environment of a neighbors? Before modeling a skyrmion crystal, let's take a closer look at the dependence (not only k(0) value) of a solution of equation (1.27) on interval size.

Let's consider dimensionless analogue of a function k(zz). Function f is a dimensionless function, thus k itself has a length dimension and its argument has dimension of a length square. Let's introduce a dimensionless analogue of a function k:

*" = ^ (1.28)

For the it is true that K(0) = 1. The dimensionless form of a profile function is simplify to analyze of influence of the presence of a boundary on the shape of the skyrmion.

One can see from the Fig.1.4 that solutions of the equation (1.27) on a different intervals R look quite the similar near the origins. They differ from each other only on a "tail" region, but on the "core" region they are the same.

Thus, if we know asymptotic of a function n and if we solve equation (1.27) on a quite large disk (such that the "tail" tends to show the asymptotic behavior) one can gets universal solution by gluing numerical solution for the "core" and true asymptotic to the "tail". After that one can only scale this solution to model situation when skyrmions are squeezing into a presence of a neighbours.

Numerical solution of such model (1.13) on a disc already was done for example in the work [9]. Further consideration of a skyrmion crystal, as a rule, was reduced to tiling the plane with a disks. We can go further and take into account the interaction of skyrmions with each other, arising from the overlap of their "tails".

We should separately discuss the reasons of this universality and a legitimacy of the procedure described above. Let's write a several terms of a series of the

dimensionless profile function H(y) = 1+c\y+Oiy2/2+____After that let's substitute

this part of a a series into the equation (1.27) and express firsts coefficients trough the k(0):

From this expressions (1.29) one can see that for k(0) ~ 2/b coefficients c\ and 2, that define character of a function near the origin, depend only on a magnetic field. Therefore, even in the environment of other skyrmions, the shape of the "core" of the skyrmion remains unchanged. However, the more the optimal value of k(0) differs from the value of 2/b, the worse our assumption about the universality of the skyrmion profile under the influence of the environment should work.

1.5 Multi-skyrmion configuration

For description of a multi-skyrmion configurations we use universality of a profile function that we mention above in the next way. We include to our ansatz (1.25) additional degree of freedom:

ci = |«(0)(6«(0) - 4) = --(«(0) - fj ,