Динамика роста кристалла в очагах и каналах вулкана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Горохова, Наталья Владимировна

• Горохова, Наталья Владимировна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Горохова, Наталья Владимировна

Оглавление

Введение

Глава 1. Математическая модель роста кристалла и её

реализация

1.1 Основные предположения

1.2 Равновесная модель роста кристалла

1.3 Неравновесная модель диффузионного роста кристалла

1.4 Обезразмеривание системы уравнений диффузии

1.5 Переход в подвижную систему координат

1.6 Аппроксимация уравнений

1.7 Линеаризация уравнений

1.8 Программная реализация

1.9 Сеточная независимость

1.10 Выводы к главе 1

Глава 2. Качественный анализ кристаллизации плагиоклаза

2.1 Постановка задачи о росте кристалла плагиоклаза

2.2 Параметры модели

2.3 Анализ размерностей

2.4 Равновесная кристаллизация плагиоклаза.

Аналитическое решение

2.5 Задача Стефана (диффузионный рост кристалла).

Общие закономерности процесса кристаллизации

2.6 Закономерности процесса кристаллизации в реакционно-контролируемых процессах

2.7 Выводы к главе 2

Глава 3. Рост кристалла плагиоклаза в остывающем

магматическом расплаве

3.1 Постановка задачи и основные предположения

3.2 Результаты в случае отсутствия растворения кристалла

3.3 Результаты в случае с учетом растворения кристалла

3.4 Выводы к главе 3

Глава 4. Рост кристалла плагиоклаза при подъёме магмы по

каналу вулкана

4.1 Постановка задачи и основные предположения

4.2 Результаты расчетов по равновесной модели

4.3 Результаты расчетов по неравновесной модели

4.4 Выводы к главе 4

Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика роста кристалла в очагах и каналах вулкана»

Введение

В недрах Земли при определённых условиях может образоваться силикатный расплав - магма. За счет сил плавучести магма начинает подниматься к земной поверхности и обычно скапливается перед извержением в приповерхностных коровых очагах, хотя возможен и непосредственный подъем из зоны магмогенерации. В коровых очагах часто происходит тепловое и механическое взаимодействие магм различного состава. В дальнейшем, в процессе извержения, магма поднимается из очага к поверхности. Различный состав первоначальных пород, процессы, протекающие внутри самой магмы, и внешние условия (например, изменение давления) могут значительно изменить химический состав магмы и её физические свойства.

Процессы смешения магм, кристаллизацию минералов из расплава и их растворение непосредственно в магматическом очаге или канале вулкана наблюдать невозможно. Это во многом понижает достоверность теорий, построенных на изучении природного и экспериментального материала, и делает их в первую очередь качественными, а не количественными. Поэтому становится необходимым использование математических методов моделирования как инструмента для изучения процессов, происходящих в вулканических системах.

Магма - сложная смесь большого числа компонент (отдельных атомов и стабильных комплексов), которые перераспределяются между различными минералами, образующимися при кристаллизации, или остаются в расплавной фазе. В работе изучаются процессы кристаллизации, происходящие в магме в условиях падения температуры (в очаге вулкана) или давления (при подъеме магмы по каналу). Динамика роста кристалла во многом определяется диффузией соответствующих компонент из расплава к его границе: кристалл не может расти, если в пограничном слое отсутствуют в достаточном количестве составляющие его компоненты.

Впервые законы, описывающие диффузию, были сформулированы А. Фиком в 1855 году [16]. Первый закон Фика устанавливает связь между потоком массы диффундирующего вещества и градиентом его концентрации в расплаве J = -D-gradC, где D - коэффициент диффузии компоненты. Второй закон Фика есть следствие закона сохранения массы. Он определяет изменение концентрации во времени:

дС

— = -di vJ = div(D • gradC). dt

В случае постоянного коэффициента диффузии уравнение имеет вид:

dt

Это уравнение имеет аналитические решения при нескольких типах граничных условий. В многокомпонентном расплаве диффузия одних компонент зависит от градиентов концентраций других, поэтому для описания многокомпонентной диффузии вводится диффузионная матрица D [42]:

7=1

где N - число компонент (концентрация N-ой компоненты является зависимой переменной). Подтверждением этого является существование возвратной диффузии или диффузии вверх по потоку (градиенту концентрации, uphill diffusion), наблюдаемой как в экспериментах [8,14,15,52], так и при исследовании петрологических данных [24].

Определение полной диффузионной матрицы для конкретной среды, содержащей большое число компонент, представляется весьма сложным. Для многокомпонентной диффузии ионов в кристаллах выведены формулы, определяющие коэффициенты диффузионной матрицы в зависимости от концентраций и зарядов ионов [29]. В [53] коэффициенты диффузионной матрицы записаны с использованием атомной мобильности компонент и скорости решетки («lattice velocity»). В магматических расплавах диффундирующими единицами

являются оксиды. Для некоторых многокомпонентных расплавов коэффициенты диффузионной матрицы измерены экспериментально [6,8,9,50,51]. В [33] модели многокомпонентной диффузии, использующие полную диффузионную матрицу (как, например, выведенную в [29]), протестированы с использованием экспериментальных данных. Экспериментально показано, что они могут зависеть от концентраций компонент, температуры и давления системы, а также от вязкости расплава [3,9,50,51]. Такие эксперименты весьма сложны и позволяют определить диффузионную матрицу только для конкретного состава смеси компонент. В связи с этим предпринимаются попытки определять диффузионные потоки более простым образом.

Наиболее простая модель многокомпонентной диффузии основана на предположении двухкомпонентности расплава. В этом случае диффузионная матрица имеет единственный коэффициент, называемый эффективным бинарным коэффициентом диффузии. Это предположение используют многие авторы как при моделировании диффузии (например [30]) так и в экспериментах. Эффективный коэффициент диффузии каждой компоненты в предположении о том, что диффузия этой компоненты определяется её собственным потоком массы, экспериментально может быть определен и для систем с большим количеством компонент [32,51]. Однако этот подход невозможно использовать для компонент, которые диффундируют вверх по потоку.

Для систем, состоящих из большего числа компонент, многие авторы предполагают диагонализируемость диффузионной матрицы или изначально используют диагональную матрицу [8,18]. Собственные векторы диффузионной матрицы определяют собственные компоненты, объединяющие исходные компоненты системы в соответствующих пропорциях. Собственные компоненты диффундируют независимо, их коэффициенты диффузии - собственные значения диффузионной матрицы. Это позволяет рассматривать диффузионный процесс в многокомпонентной системе как объединение независимых обменных процессов, описываемых уравнением Фика. Недостатком такого рассмотрения является то,

что описываемое объединение компонент в группы - лишь способ интерпретации и визуализации измерений, но не имеет под собой физической основы [8].

Для описания многокомпонентной диффузии с возможной возвратной диффузией У-СНбЫ для трехкомпонентной смеси предложена система уравнений, учитывающая перекрестную диффузию компонент [41]. Перекрестные члены в выражениях потоков массы возникают в случае различных скоростей диффузии компонент. В [41] проводится анализ решений системы в зависимости от соотношения коэффициентов диффузии компонент. В [40] проводится анализ модели У.СНзЫ, получены критерии возникновения возвратной диффузии на примере конкретного расплава.

Проблема выбора диффузионной матрицы в настоящее время не решена. В диссертации модель [41] адаптирована для моделирования многокомпонентной диффузии в системе, состоящей из произвольного числа компонент.

В работе исследуется рост одиночного кристалла плагиоклаза - одного из основных породообразующих минералов. Плагиоклаз состоит из молекул двух типов: анортита (Ап - СаА1281208) и альбита (АЬ - ЫаА^зОв). При понижении температуры или давления кристалл начинает расти за счет диффузии своих компонент (альбита и анортита) из расплава к границе кристалла. При этом другие компоненты расплава, наоборот, диффундируют от границы кристалла. Этот минерал был выбран по той причине, что диффузия компонент внутри кристалла на несколько порядков медленнее, чем в расплаве. Поэтому распределение компонент внутри кристалла сохраняется на значительных временах после окончания кристаллизации, а анортитовый номер плагиоклаза -величина Ап=Са/(Са+Ыа) (содержание анортита в кристалле) - важный индикатор условий кристаллизации магмы. Для многих изверженных пород существуют детальные измерения этого параметра.

Моделирование неравновесной кристаллизации магматических расплавов (когда скорость диффузии компонент в расплаве оказывает существенное влияние на процесс роста кристалла) началось в 70-х годах прошлого века. Наиболее

простая модель, описывающая диффузионный рост кристалла в двухкомпонентной системе, предложена в [30]. Предполагается простая линейная зависимость концентрации компоненты в кристалле от ее концентрации в расплаве (их отношение называется коэффициентом распределения). Важность этой работы в том, что в ней предложены основанные на экспериментальных данных формулы для вычисления температуры равновесия кристалл-расплав и скорости роста кристалла. Температура равновесия и скорость роста определены в зависимости от состава расплава в пограничном слое и температуры системы. В работах [37,38] проводится исследование применимости предложенной в [30] формулы для вычисления скорости роста в сравнении с экспериментами.

Большой интерес представляет наблюдаемая в изверженных породах и при проведении экспериментов осцилляторная зональность (немонотонное изменение состава концентрации анортита в кристалле) химического состава ([27], рис.1), в кристаллах плагиоклаза. Существуют различные точки зрения на происхождение этой зональности. Классическим является представление, связанное с колебаниями температуры, вызванными магматической конвекцией в очаге извержения [22]. В [46] в двухкомпонентной системе моделируется кристаллизация, вызванная скачком температуры на границе кристалл-расплав. Решаются одновременно уравнения теплопроводности и диффузии, из решения которых при этом находится состав кристалла. Процесс контролируется диффузией компонент и выделением скрытой теплоты кристаллизации. Показано, что в такой системе возможно возникновение периодически-зональных кристаллов. Проведено исследование в зависимости от безразмерных параметров (определяемых коэффициентами диффузии компонент и скрытой теплотой кристаллизации). В результате определены области параметров, в которых образуются кристаллы разных типов зональности. Недостатком работы является то, что при моделировании не учитывается зависимость состава кристалла и скорости роста от состава расплава и других параметров. Кроме того, как будет показано ниже, для характерных значений размеров ячеек магматического

расплава, из которых растут кристаллы плагиоклаза, коэффициент температуропроводности на шесть порядков больше коэффициента диффузии, поэтому выравнивание температуры внутри ячейки на временах роста кристалла происходит мгновенно. Предложенный в [46] механизм не может объяснить зональности природных плагиоклазов.

Ниже, как и в ряде других работ, показано, что колебания состава кристалла могут быть вызваны конкуренцией процессов роста и диффузии компонент, тогда как температура системы меняется во времени монотонно. При моделировании зональности авторами рассматривается только двухкомпонентная система.

в, мкм

Рис.1: зональность в кристалле плагиоклаза [45], а - срез зонального кристалла плагиоклаза, б - зависимость состава кристалла (концентрации анортита, С]5 ) от расстояния от границы кристалла.

В работах [1,25,26,30,48] предложены различные объяснения возникновения периодической зональности в кристалле плагиоклаза. В [1] предполагается, что такая зональность в кристалле возникает в результате того, что зависимость скорости роста от концентрации альбита в приграничном слое расплава имеет вид трехзначной функции. В результате, может происходить переход с одного режима на другой. Такой закон роста не нашел

экспериментального подтверждения. Эксперименты Kirkpatrick et al. [23], Hammer and Rutherford [19], Couch et al. [12] и других исследователей показывают, что зависимость скорости роста кристалла от переохлаждения расплава имеет куполообразную форму.

В [30] показано, что если скорость роста кристалла - однозначная функция состава расплава, то концентрации компонент в кристалле изменяются монотонно. Предполагается, что осциллирующее зонирование в кристалле может возникнуть, если для одного и того же состава расплава при постоянной температуре скорость роста кристалла может иметь несколько различных значений, в результате чего возможны переходы между режимами быстрого и медленного роста кристалла. Также было получено немонотонное изменение состава кристалла в случае, когда скорость роста - монотонно убывающая ступенчатая функция времени. Такой закон роста в статье предполагается более вероятной причиной возникновения сложной зональности, чем многозначность функции скорости роста, однако экспериментального подтверждения данный закон роста также не нашел.

В [48] для вычисления скорости роста предлагается формула, учитывающая влияние шероховатости растущей грани кристалла на скорость его роста. При росте кристалла грань заполняется, и скорость роста скачком изменяется от режима, соответствующего шероховатой стенке, к более медленному режиму, соответствующему гладкой стенке. Далее в режиме гладкого роста из-за обогащения расплава скорость роста начинает увеличиваться и скачком переходит на режим шероховатого роста. Модель объясняет колебания состава кристалла, однако период колебаний определяется положением точек перехода между режимами, физическая обоснованность которых не ясна.

В [25,26] на основе модели роста кристалла [30] проводится исследование устойчивости решения линеаризованного в окрестности стационарного решения уравнения диффузии. При анализе получено, что периодическая зональность возможна только при значениях коэффициента распределения компоненты между

кристаллом и расплавом (отношения концентраций компоненты в кристалле и расплаве) меньших единицы. Такие значения коэффициента распределения не являются типичными для роста кристалла плагиоклаза из магматического расплава, поэтому предложенный механизм не объясняет наблюдаемой зональности.

Считается, что коэффициенты диффузии анортита и альбита определяются коэффициентами диффузии Са и Na в расплаве. В [69] по результатам экспериментов с образцами изверженных пород были оценены коэффициенты диффузии основных элементов, составляющих магматический расплав. На основе этих оценок определены элементы, определяющие диффузию анортита и альбита. Подобный подход существенно упрощает реальную диффузию в магматическом расплаве, где основные диффундирующие единицы - оксиды соответствующих элементов. В [31,32] предлагается последовательное термодинамическое описание многокомпонентной диффузии в модельных магматических расплавах, однако, в настоящее время отсутствует необходимый экспериментальный материал для описания системы плагиоклаз-расплав.

Из анализа опубликованных моделей можно заключить, что моделирование многокомпонентной диффузии (в системах, состоящих больше, чем из двух компонент) проводилось многими авторами для задач, не связанных с исследованием роста кристаллов из многокомпонентных расплавов. В тех работах, где проводится моделирование диффузионного роста кристалла, рассматривается только двухкомпонентная система, хотя в реальности, магматический расплав состоит из большого числа компонент. Авторами используются модельные зависимости, основанные на постоянном или переменном коэффициенте распределения для определения состав кристалла в зависимости от состава расплава. В работе Wang Y. и Merino Е. [49] при моделировании осцилляторной зональности в кристалле хотя и записываются уравнения диффузии для многокомпонентной смеси (больше двух компонент), но используется диагональная диффузионная матрица (следовательно, возвратная

диффузия не учитывается). Предложенная в [49] модель не учитывает сложную зависимость состава кристалла от состава расплава и влияние на процесс кристаллизации условий, в которых растет кристалл (изменение температуры расплава, давления и т.д.).

Целью данной работы является построение модели кристаллизации многокомпонентного расплава и исследование процесса кристаллизации на примере плагиоклаза. Одной из важных задач является объяснение, с помощью предложенной в работе модели кристаллизации, возникающей в кристаллах зональности. Научная новизна состоит в том, что, в отличие от предыдущих работ, при исследовании кристаллизации плагиоклаза используется модель многокомпонентной диффузии, учитывающая влияние перекрестных членов (модель [41]). Состав кристалла плагиоклаза впервые определяется с помощью экспериментально-полученных зависимостей. Скорость роста кристалла при этом однозначно определяется составом расплава.

Научная значимость работы состоит в том, что построены модели равновесного и неравновесного (диффузионного) роста кристалла из произвольного расплава с учетом перекрестных членов. Впервые проанализировано влияние граничного условия в неравновесной модели на процесс кристаллизации на примере кристаллизации плагиоклаза. Результаты численного моделирования показали, что обычно используемое предположение о существовании на границе локального равновесия и по составу, и по температуре (условие Стефана) не дает объяснения явлениям, наблюдаемым при экспериментах и в реальных кристаллах. Тем не менее, это условие может применяться при моделировании процессов, близких к равновесным. Показано, что зональность в кристалле может возникать и при однозначно-определяемой скорости роста.

Практическая значимость работы в том, что с помощью предложенных в ней моделей при использовании реальных зависимостей состава кристалла от

состава расплава (и других параметров) можно реконструировать условия роста кристаллов в магматическом расплаве, тем самым получая уникальную информацию об условиях внедрения и подъема магмы.

Методом исследования в неравновесном случае является построение системы уравнений в частных производных, описывающей многокомпонентную диффузию в расплаве. Производится построение конечно-разностной краевой задачи, решаемой численно методом матричной прогонки. В равновесном случае система уравнений может быть численно решена явным образом. При использовании модельных зависимостей, задающих состав кристалла и температуру равновесия, получено аналитическое решение задачи о равновесном росте кристалла.

Основные результаты диссертации отражены в публикациях [60-70]. Апробация результатов была проведена на следующих конференциях:

1. Моделирование диффузионного роста кристалла плагиоклаза (устный доклад) // Конференция-конкурс молодых ученых НИИ механики МГУ, 1416 октября 2009 г., Москва.

2. Моделирование диффузионного роста кристалла плагиоклаза (устный доклад) // Ломоносовские чтения, 16-23 апреля 2010 г., Москва.

3. Модель диффузионного роста кристалла: механизм образования зональности в кристалле плагиоклаза (устный доклад) //16 школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики», 6-16 сентября 2010 г., Сочи.

4. Модель диффузионного роста кристалла (устный доклад) // Конференция-конкурс молодых ученых НИИ механики МГУ, 13-15 октября 2010 г., Москва.

5. Модель диффузионного роста кристалла плагиоклаза (устный доклад) // Всероссийская научная школа молодых ученых «Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил», 30 ноября - 2 декабря 2010 г., Москва.

6. Модель диффузионного роста кристалла плагиоклаза (устный доклад) // X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики «Актуальные проблемы механики», 24-30 августа 2011 г., Нижний Новгород.

7. Модель роста кристалла плагиоклаза при его подъеме по каналу вулкана (устный доклад) // Конференция-конкурс молодых ученых НИИ механики МГУ, 12-14 октября 2011 г., Москва.

8. Модель роста кристалла плагиоклаза при подъеме магмы по каналу вулкана (устный доклад) // XIX Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», 9-13 апреля 2012 г., Москва.

9. Numerical simulation of plagioclase rim growth during magma ascent at Bezymianny volcano, Kamchatka (poster; the second author: O. Melnik) // European Geosciences Union, General Assembly 2012. 22-27 April 2012, Austria, Vienna.

Ю.Горохова H.B. Исследование влияния параметров модели диффузионного роста кристалла на процесс кристаллизации плагиоклаза (устный доклад) // Конференция-конкурс молодых ученых НИИ механики МГУ, 8-9 октября 2013 г., Москва.

В главе 1 построены математические модели равновесного и неравновесного роста кристалла в общем случае. Предполагается, что неравновесный рост кристалла контролируется диффузией его компонент к границе кристалл-расплав. Модель диффузионного роста кристалла основана на системе уравнений многокомпонентной диффузии, предложенных в [41]. Описаны методы решения полученных уравнений и алгоритм программной реализации.

В главе 2 построенные в главе 1 модели применены для исследования кристаллизации плагиоклаза, вызванной линейным падением температуры расплава, как в равновесном, так и в неравновесном случае. При определении

коэффициентов диффузии, состава расплава и температуры равновесия использованы модельные зависимости. Исследовано влияние параметров задачи на процесс роста кристалла. Показано, что возможны режимы, когда температура расплава становится ваше равновесной температуры и, несмотря на падение температуры, происходит растворение кристалла. Объяснены причины возникновения зональности в кристалле плагиоклаза при линейном падении температуры. Получено, что существуют области значений параметров, когда образуются зональные кристаллы.

В главе 3 также рассматривается рост кристалла плагиоклаза в остывающем расплаве, но используются реальные зависимости параметров модели от процесса кристаллизации. Коэффициенты диффузии - экспоненциальные функции температуры, а состав кристалла и температура равновесия кристалл-расплав определяются эмпирическими функциями. Исследуется влияние скорости остывания и состава расплава, а также коэффициентов диффузии на процесс кристаллизации. Получен критерий возникновения зональности в кристаллах и найдена связь между шириной зон разного состава и режимом охлаждения.

В главе 4 моделируется рост кристалла плагиоклаза при подъеме магмы по каналу вулкана. Состав кристалла и равновесная температура определяются с помощью пакета ПЕТРОЛОГ [13], разработанного на геологическом факультете МГУ, в зависимости от состава расплава и давления. Исследуется влияние условий подъема на процесс кристаллизации. Результаты расчетов сравниваются с реальными кристаллами плагиоклаза из извержений вулкана Безымянный (Камчатка). В результате исследования реконструированы условия подъема магмы для отдельных извержений этого вулкана.

Глава 1

Математическая модель роста кристалла и её реализация

1Л Основные предположения.

Для описания процесса кристаллизации рассматривается одномерная система, состоящая из кристалла и расплава, с подвижной границей между ними -фронтом кристаллизации (рис. 1.1). Система координат вводится так, что центру кристалла соответствует плоскость л: = 0 (предполагается симметрия относительно этой плоскости). На подвижной границе х = я между расплавом и кристаллом выполнены законы сохранения массы. На внешней границе рассматриваемой ячейки (х = Ь) поток массы отсутствует. Подобное предположение справедливо, когда с правой стороны существует аналогичная ячейка с растущим кристаллом, так что на границе ячеек отсутствует переток массы. Конечно, такая геометрия системы не отражает в полной мере сложности исследуемого явления, но позволяет качественно изучить влияние определяющих параметров на процесс роста кристалла.

О_t t^-dt_

II

Рис. 1.1: геометрия системы

I - кристалл

II - расплав

Рассматривается рост кристалла, состоящего из К8 компонент, в расплаве, состоящем из Кт компонент Начальное распределение концентрации

в расплаве для каждой компоненты задается ее общим содержанием в системе, т.е.

СХх^ = 0) = С? =const, 1 = 1 ,...,Кт (1.1.1)

Здесь С, - концентрация /-й компоненты в расплаве. При этом, кристалл состоит из компонент с номерами от 1 до К3, а компоненты с номерами от (К5 +1) до Кт входят только в расплав.

Рост кристалла начинается, когда температура расплава опускается ниже температуры равновесия. Когда температура системы выше равновесной температуры, то существует только расплав, когда она ниже - то могут одновременно существовать и расплав, и кристаллическая фаза. Температура равновесия и состав кристалла могут зависеть от состава расплава, давления и других параметров. Способы их определения описаны в следующих главах.

Предполагается, что время диффузии в кристалле на несколько порядков превышает время диффузии в расплаве, поэтому диффузией компонент в кристалле можно пренебречь. Это предположение верно, например, для кристалла плагиоклаза [11]. В [17] коэффициенты диффузии отдельных элементов в кристалле и коэффициент совместной диффузии ионов СаА1-Ыа81, определяющий совместную диффузию анортита и альбита в кристалле плагиоклаза, оценены по результатам экспериментов. Плотность магматического расплава принимает значение р-2500 кг/мг, удельная теплоемкость ср =1200 Дж/кг-К, а коэффициент теплопроводности к = 1 Дж/мКс (средние значения) [10]. Откуда

коэффициент температуропроводности равен к-—— «3-10-7 м2/с, тогда как

Р°р

коэффициенты диффузии имеют порядок £>0~Ю-13 мг/с (характерное значение коэффициентов диффузии компонент). Поэтому выравнивание температуры в пределах ячейки можно считать мгновенным. В модели не учитываются

17

возникающие в результате роста (или растворения) кристалла напряжения и изменение плотности, поскольку они мало влияют на рассматриваемый процесс кристаллизации. Предполагается, что плотности всех компонент одинаковы, а макроскопическое движение магмы вокруг растущего кристалла отсутствует.

Задача о кристаллизации будет рассматриваться в двух постановках: равновесной и неравновесной. Критерием для выбора постановки может являться

V Ь ?

диффузионное число Пекле Реа = -3— = —, характеризующее соотношение между

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Горохова, Наталья Владимировна, 2014 год

Литература

1 Allegre C.J., Provost A., Jaupart C. Oscillatory zoning: a pathological case of crystal growth //Nature. Nov. 1981. V. 294. P. 223-228.

2 Ariskin A.A., Barmina G.S. COMAGMAT: Development of a Magma Crystallization Model and Its Petrological Applications // Geochemistry International. 2004. V. 42. Suppl. l.P. S1-S157.

3 Baker D.R. Chemical interdiffusion of dacite and rhyolite: anhydrous measurments at 1 atm to 10 kbar, application of transition state theory, and diffusion in zoned magma chamber // Contributions to Mineralogy and Petrology. 1990. V. 104. P. 407-423.

4 Blundy J., Cashman K. V. Ascent-driven crystallisation of dacite magmas at Mount St Helens, 1980-1986 // Contributions to Mineralogy and Petrology. 2001. V. 140, P. 631-650.

5 Blundy J., Cashman K., Humphreys M. Magma heating by decompression-driven crystallization beneath andesite volcanoes // Nature. 2006. V. 443. doi: 10.103 8/nature05100.

6 Brady J.B. Diffusion Data for Silicate Minerals, Glasses, and Liquids // Mineral Physics and Crystallography. A Handbook of Physical Constants. AGU Reference Shelf 2. 1995.

7 Brugger C.R., Hammer J.E. Crystallization kinetics in continuous decompression experiments; implications for interpreting natural magma ascent processes // Journal of Petrology. 2010. V. 51. P. 1941-1965.

8 Chakraborty S., Dingwell D.B., Rubie D.C. Multicomponent diffusion in ternary silicate melts in the system K20-Al203-Si02: II. Mechanisms, systematics, and geological applications // Geochimica et Cosmochimica Acta. 1995. V. 59. No. 2. P. 265-277.

9 Chakraborty S., Dingwell D.B., Rubie D.C. Multicomponent diffusion in ternary silicate melts in the system K20-Al203-Si02: I. Experimental measurements // Geochimica et Cosmochimica Acta. 1995. V. 59. No. 2. P. 255-264.

10 Costa A., Melnik O., Vedeneeva E. Thermal effects during magma ascent in conduits // Journal of geophysical research. 2007. V. 112. B12205. doi:10.1029/2007JB004985

11 Costa F., Dohmen R., Chakraborty S.. Time scales of magmatic processes from modeling the zoning patterns of crystals // Reviews in Mineralogy & Geochemistry. 2008. V. 69. P. 545-594.

12 Couch S., Harford C.L., Sparks R.S.J., Carroll M.R. Experimental constraints on the conditions of formation of highly calcic plagioclase microlites at the Soufrière Hills Volcano, Montserrat // Journal of Petrology. 2003. V. 44. P. 1455-1475.

13 Danyushevsky, L.V., Plechov, P. Petrolog3: integrated software for modeling crystallization processes // Geochemistry, Geophysics, Geosystems. 2011. V. 12., Q07021. http://dx.d0i.0rg/l0.1029/2011GC003516.

14 Darken L.S., Member A. Diffusion of carbon in austenite with discontinuity in composition // Metals Technology. 1948. TP 2443.

15 Donaldson C.H. The rates of dissolution of olivine, plagioclase and quartz in a basalt melt // Mineralogical Magazine. 1985. V. 49. P. 683-93.

16 FickA. Uber diffusion // Ann. Physik Chem. 1855. V. 94. P. 59-86.

17 Grove T.L., Baker M.B., Kinzler R.J. Coupled CaAl-NaSi diffusion in plagioclase feldspar: Experiments and applications to cooling rate speedometry // Geochimica et Cosmochimica Acta. 1984. V. 48. P. 2113-2121.

18 Gupta P.K., Cooper A.R. The [D] matrix for multicomponent diffusion // Physica. 1970. V. 54. P. 39-59.

19 Hammer J.E., Rutherford M.J. An experimental study of the kinetics of decompression-induced crystallization in silicic melt // Journal of Geophysical Research. 2002. V. 107 (Bl). P. ECV 8-1 - ECV 8-24. http://dx.doi.org/10.1029/2001JB000281.

20 Hort M. Abrupt change in magma liquidus temperature because of volatile loss or magma mixing: effects of nucleation, crystal growth and thermal history of the magma. // Journal of Petrology. 1998. V. 39. № 5. P. 1063-1076.

21 Housh T.B., Luhr J.F. Plagioclase-melt equilibria in hydrous systems // American Mineralogist. 1991. V. 76. P. 477-492.

22 Irvine T.N. Layering and related structures in the Duke island and Skaergaard intrusions: Similarities, differences and origins // Origins of Igneous Layering, edited by I. Parsons, D. Reidel, Dordrecht,Netherlands. 1987. P. 185-245.

23 Kirkpatrick R.J., Klein L., Uhlmann D.R., Hays J.F. Rates and processes of crystal growth in the system anorthite-albite // Journal of Geophysical Research. 1979.

V. 84. P. 3671-36761.

24 Koyaguchi T. Chemical gradients at diffusive interfaces in magma chambers // Contrib. Mineral. Petrol. 1989. V. 103. P. 143- 152.

25 L'Heureux I. Oscillatory zoning in crystal growth: A constitutional undercooling mechanism. // Physical Review E. Dec. 1993. V. 48. № 6. P. 4460-4469.

26 L 'Heureux I., Fowler A.D. Dynamical model of oscillatory zoning in plagioclase with nonlinear partition relation. // Geophysical Research Letters. Jan. 1996. V. 23, № 1. P. 17-20.

27 L'Heureux I. Self-organized rhythmic patterns in geochemical systems // Phil. Trans. R. Soc. Nov. 2013. A 2013 371, 20120356. doi:10.1098/rsta.2012.0356.

28 Lange A., Frey H.M., Hector J. A thermodynamic model for the plagioclase-melt hydrometer/thermometer // American Mineralogist. 2009. V. 94. P. 494-506.

29 Lasaga A.C. Multicomponent exchange and diffusion in silicates // Geochimica et Cosmochimica Acta. 1979. V. 43. P. 455-469.

30 Lasaga A.C. Toward a master equation in crystal growth. // Amer. J. of Sci. 1982. V. 282. № 8. P. 1264-1288.

31 Liang Y. Kinetics of crystal-melt reaction in partially molten silicates: I. Grain scale processes // Geochem. Geophys. Geosyst. 2003. V. 4. № 5. P. 1-27.

32 Liang Y., Richter F.M., Watson E.B. Diffusion in silicate melts. II. Multicomponent diffusion in Ca0-Al203-Si02 at 1500°C and 1 GPa // Geochimica et Cosmochimica Acta. 1996. V. 60. No. 24. P. 5021-5035.

33 Liang Y., Richter F.M., Chamberlin L. Diffusion in silicate melts: III. Empirical models for multicomponent diffusion // Geochim. et Cosmochim. Acta. 1997. V. 61. №24. P. 5295-5312.

34 Martel C., Schmidt B.C. Decompression experiment insight into ascent rates of silicic magmas // Contributions to Mineralogy and Petrology. 2003. V. 144. P. 397-415.

35 Melnik O., Sparks R.S.J. Controls on conduit magma flow dynamics during lava dome building eruptions. // Journal of Geophysical Research. 2005. V. 110. B02209. P. 1-21.

36 Moore G., Vennemann T., Carmichael I.S.E. An empirical model for the solubility of H20 in magmas to 3 kilobars // American Mineralogist. 1998. V.83. P. 36-42.

37 Muncill G.E., Lasaga A.C. Crystal-growth kinetics of plagioclase in igneous system: isothermal H20-saturated experiments and extension of a growth model to complex silicate melts // American Mineralogist. 1988. V. 73. P. 982-992.

38 Muncill G.E., Lasaga A.C. Crystal-growth kinetics of plagioclase in igneous system: one-atmosphere experiments and application of a simplified growth model // American Mineralogist. 1987. V. 72. P. 299-311.

39 Mollard E., Martel C., Bourdier J.L. Decompression-induced crystallization in hydrated silica-rich melts: empirical models of experimental plagioclase nucleation and growth kinetics // Journal of Petrology. 2012. V. 53. № 8. P. 1743-1766.

40 Nishiyama T. Uphill diffusion and a new nonlinear diffusion equation in ternary non-electrolyte system // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1998. V. 107. P. 33-51.

41 Oishi Y. Analysis of ternary diffusion:solutions of diffusion equations and calculated concentration distribution. // The Journal of Chemical Physics. Sep. 1965. V. 43. № 5. P. 1611-1620.

42 Onsager L. Theories and problems of liquid diffusion // Annals New York Academy of sciences. Nov. 1945. V. 46. P. 241-265

43 Pletchov P.Yu., Gerya T.V. Effect of H20 on plagioclase-melt equilibrium // Experiment in GeoSciences. 1998. V. 7. № 2. P. 7-9.

44 Putirka K.A. Igneous thermometers and barometers based on plagioclase plus liquid equilibria: tests of some existing models and new calibrations // American Mineralogist. 2005. V. 90. No 23- . P. 336-346.

45 Shcherbakov V.D., Plechov P.Yu., Izbekov P.E., Shipman J,S. Plagioclase zoning as an indicator of magma processes at Bezymianny Volcano, Kamchatka // Contributions to Mineralogy and Petrology. 2011. V. 162. P. 83-99. doi:10.1007/s00410-010-0584-1.

46 Toramaru A. Numerical experiment of cyclic layering in a solidified binary eutectic melt // Journal of geophysical research. 2012. V. 117. B02209.

doi:10.1029/2011JB008204.

47 Tsuchiyama A. Dissolution kinetics of plagioclase in the melt of the system diopside-albite-anorthite, and origin of dusty plagioclase in andesite // Contributions to Mineralogy and Petrology. 1985. V. 89. P. 1-16.

48 Tsune A., Toramaru A.. A simple model of oscillatory zoning of plagioclase: Development of an isothermal undercooling model. // American Minerologist. 2007. V. 92. P. 1071-1079.

49 Wang Y., Merino E. Oscillatory magma crystallization by feedback between the concentrations of the reactant species and mineral growth rates // Journal of Petrology. 1993. V. 34. Part 2. P. 369-382.

50 Zhang Y. Diffusion in Minerals and Melts. Theoretical Background // Reviews in Mineralogy & Geochemistry. 2010. V. 72. P. 5-59.

51 Zhang Y., Ni H., Chen Y. Diffusion data in silicate melts // Reviews in Mineralogy & Geochemistry. 2010. V. 72. P. 311-408.

52 Zhang Y., Walker D., Lesher C.E. Diffiisive crystal dissolution // Contributions to Mineralogy and Petrology. 1989. V.102. P. 492-513.

53 Ziebold Т.О., Cooper A.R. Atomic mobilities and multicomponent diffusion // Acta Metallurgica. 1965. V. 13. P. 465-470.

54 Воробьев A.X. Диффузионные задачи в химической кинетике // M.: Изд-во Моск. ун-та. 2003. 98 с.

55 Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа // М.: Дрофа. 2003. 840 с.

56 Овчинников А.А., Тимашев С.Ф., Белый А.А. Кинетика диффузионн-контролируемых химических прцессов // М.: Химия. 1986. 288 с.

57 Самарский А. А. Введение в численные методы // М.: Наука, Главная редакция физ.-мат. литературы. 1982. 272 с.

58 Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике // М.: Наука. 1977. 440с.

59 Френкель М.Я., Ярошевский А.А., Арискин А.А., Бармина Г.С., Коптев-Дворников Е.В., Киреев Б.С. Динамика внутрикамерной дифференциации базитовых магм. М.: Наука. 1988. 216 с.

60 Горохова Н.В., Мельник О.Э. Моделирование динамики диффузионного роста кристалла из остывающего магматического расплава // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 5.С. 3-16.

61 Горохова Н.В. Моделирование диффузионного роста кристалла плагиоклаза // Труды конференции-конкурса молодых ученых НИИ механики МГУ 14-16 октября 2009 г. 2010. С. 120-132.

62 Горохова Н.В. Модель диффузионного роста кристалла: механизм образования зональности в кристалле плагиоклаза // М.: Изд-во Московского Университета, тезисы докладов 16 школы-семинара «Современные проблемы аэрогидродинамики». 2010, 06-16 сентября 2010 г., Сочи. С. 38-39.

63 Горохова Н.В. Модель диффузионного роста кристалла плагиоклаза // Сборник тезисов докладов Всероссийской научной школы молодых ученых «Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил». 2010, 30 ноября - 2 декабря 2010 г., Москва. С. 41-43.

64 Горохова Н.В. Модель Диффузионного роста кристалла // Труды конференции-конкурса молодых ученых НИИ механики МГУ 13-15 октября 2010. 2011.

65 Горохова Н.В. Модель диффузионного роста кристалла плагиоклаза // Изд-во Нижегородского госуниверситета, тезисы докладов X Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики «Актуальные проблемы механики». 2011, 24-30 августа, Нижний Новгород.

66 Горохова Н.В. Модель роста кристалла плагиоклаза при подъеме магмы по каналу вулкана. XIX Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», Москва, 9-13 апреля 2012, http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2012/1796/28416 81 Oa.pdf.

67 N. Gorokhova and О. Melnik. Numerical simulation of plagioclase rim growth during magma ascent at Bezymianny volcano, Kamchatka. European Geosciences Union. General Assembly 2012. Austria, Vienna, 22-27 April 2012, http://meetingorganizer.copernicus.org/EGU2012/EGU2012-14435.pdf.

68 Горохова Н.В. Модель роста кристалла плагиоклаза при его подъеме по каналу вулкана // Труды конференции-конкурса молодых ученых НИИ механики МГУ 12-14 октября 2011. 2013. С. 101-108.

69 N.V. Gorokhova, О.Е. Melnik, P.Yu. Plechov, V.D. Shcherbakov. Numerical simulation of plagioclase rim growth during magma ascent at Bezymianny Volcano, Kamchatka // Journal of Volcanology and Geothermal Research. 2013. V. 263. P.

70 Горохова Н.В. Исследование влияния параметров модели диффузионного роста кристалла на процесс кристаллизации плагиоклаза // Труды конференции-конкурса молодых ученых НИИ механики МГУ 8-9 октября 2013 (в печати).

С.117-123.

172-181.