Динамика разлета плазменной оболочки с током тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.13, кандидат технических наук Кузнецов, Адольф Павлович

• Кузнецов, Адольф Павлович
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кузнецов, Адольф Павлович

Введение

Глава I.Обзор.".'.

§1.1.Коаксиальные ускорители плазмы и плазменные токовые оболочки

§1.2.Численные исследования плазмы .9:"'

Глава II.Численный метод исследования

§2.1.Метод частиц в ячейках (МЧЯ).

§2.2.Модификация МЧЯ

§2.3.Течение Нрандтля-Майера в магнитном поле при малых магбитных числах Рейнольдса.

Глава III.Разлет плазменной токовой оболочки

§3.1. Эксперимент

§3.2.Движение плазменной оболочки в магнитном поле (нульмерное приближение)

§3.3.Численное исследование разлёта

Глава 1У.Ускорение водородной плазменной токовой оболочки.

§4.1.Эксперимент

§4.2.Численное исследование процесса ускорения в однородной среде

§4.3.Ускорение в волне разрежения.

§4.4.и физическом обосновании принятой модели оболочки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика разлета плазменной оболочки с током»

Интересный и плодотворный подход к решению системы (1.5) изложен в работе [42] . Перейдя к так называемой дивергентной форме уравнений газовой динамики, т .е . к уравнениям, записанным относительно сохраняющихся величин, авторы построили разностную. схему,которая без введения псевдовязкого давления, позволяет получать решения, автоматически отслелшвая эволюцию, сильных разрывов. Впрочем, в некоторых случаях авторы [42] рекомендуют вводить и вязкость.Таким образом, развитие численных методов исследования нестационарных одномерных задач газовой динамики идет, в основном, по трем неправлениям - метод характеристик, метод расчета распадав разрывов и прямая апроксимация уравнений газовой динамики с введением псевдовязкости. Каждое из направлений достаточно широко развито, однако и ими не исчерпывается все многообразие численных методов решения уравнений (1.5), (1.6).Отказ от одномерности в системах (1.5),(1.6) привел, к дальнейшему развитию методов, используемых для решения одномерных задач. Важным усовершенствованием этих методов явилось использование подвижных расчетных сеток [56, 57] .Авторы работы "организовали" расчетную сетку, связывая ее координатные линии и поверхности с линиями и поверхностями, характерными для расчитываемой задачи. Чаще всего таковыми являлись поверхность обтекаемого тела (или его сечения), поверхности. контактных разрывов и ударных волн, возникающих при решении задачи (или сечения таких поверхностей). При этом сама расчетная сетка на каждом шаге по времени претерпевала изменения - смещались ее узлы, появлялись новые или уничтожались старые ячейки.Существенным являлось то, что вышеупомянутые характерные поверхности и линии продолжали оставаться координатными. Ясно, что такой подход исключал использование систем (1.5) или (1.6) в качества основы для построения разностной схемы. Необходимые разностные уравнения получали из законов сохранения, записанных в интегральной форме. Такой подход имел свои преимущества - естественный и более точный учет граничных условий, отказ от введения искусственной вязкости и, в то же время, "автоматическое" отслеживание движения газодинамических разрывов. Подход особенно оправдал себя при расчете обтекания тел сложной формы. Следует отметить, что использование подвижных сеток в значительной степени усложняет логику и структуру вычислительной программы.Возникающие при этом задачи расчета положения узлов сетки на каждом шаге, по времени, пересчет ранее найденных параметров течения к новому положению сетки являются непростыми и требуют дополнительных ресурсов ЭВМ. Наиболее подробное и систематическое изложение всех этих проблем можно найти в монографии [58].Исследованию и применению этого метода посвящены работы [б2,бЗ, 64] . Большое распространение получила одна из разновидностей метода частиц в ячейках - метод больших частиц. Опубликованные результаты исследований с использованием этого метода показали его эффективность и надежность. Под словом эффективность здесь понимается та совокупность качеств как метода частиц в ячейках, так и метода больших частиц, которая позволила создавать сравнительно несложные, легко отлахшваемые и быстро работающие программы. Употребленный выше термин "надежность" призван подчеркнуть то, что полученные с помощью этих методов результаты достаточно точны для задач определенного класса. Имея в виду продолжить обсуждение этих методов во второй главе, здесь следует указать на книги [б5, бб] , в которых содержится большой материал по реализации и результатам расчета задач с помощью метода больших частиц.Продолжая обзор методов численного исследования задач газовой динамики, остановимся на результатах некоторых нестационарных магнитогазодинамических задач. Как известно [б7] , система уравнений магнитной газовой динамики заметно сложнее систем (1.5) или(1.6). Наличие электрических и магнитных полей, а также токов приводит к тому, что в уравнениях (1.5),(1.6) появляются слагаемые, ответственные за силу Лоренца и диссипацию энергии вследствии оммического jjarpeBa. Кроме этого делается необходимым рас7^1 сматривать и решать уравнения Максвелла. Дело, в большинстве случаев, обстоит так, что даже в предположении одномерности течения, распределение векторов магнитного и электрического полей, а также распределение вектора плотности электрического тока без дополнительных предположений и ограничений имеет существенно неодномерный характер. Поэтому все решенные магнитогазодинамические задояи, в зависимости от принятой модели явления, весьма широко оперируют тем или иным набором таких предположений.Важным при таком подходе является, конечно, выделение лишь таких элементов явления, которые существенно вдияют на физическую: картину расчитываемого процесса. При этом и интерпретация полученных результатов также должна иметь место лишь в строго ограниченных областях определения величин, характерных для каждой задачи. Так в уже упоминавшихся работах [48, 49, 50] такими упрощающими предположениями были предположения о малости магнитного числа Рейнольдса, Это предположение отражало физику явлений, сопровождающих К9К течение проводящего газа в канале МГД-генератора, так и распространение детонационной волны в поперечном магнитном поле, и позволило использовать одномерную модель. Полученные результаты дали достаточно надежную оценку влияния параметров цепи генератора и величины магнитного поля на характеристики, как электрических процессов в этих цепях, так и исследуемых МГДтечений. В книге [55] описывается решение одномерной задачи о "рельсотроне". Заложенные при ее решении предположения о незначительности эффекта Холла и малости магнитного числа Рейнольдса позволили получить важные, сведения о разогреве плазмы, ускоряемой магнитным полем. В одной из первых работ, посвященных исследованию пинч-эффекта, [б8] упрощающими задачу предположениями стали предположения о постоянстве электропроводности плазмы и показателя адиабаты. Полученные результаты, несмотря на грубость рас-^i) четной сетки, позволили получить сведения о степени сжатия пинча, его пульсациях и о параметрах сжатой плазмы. Другой важной работой, касающейся этой же проблемы, следует считать работу [б9] ^ В ней исследовалось поведение плазмы в сходящейся цилиндрической ударной волне. Использовалось двухтемпературное описание с учетом вязкости и электронной теплопроводности. Авторы работы отказались от рассмотрения магнитного поля и процесса ионизации.Тем не менее полученные результаты с успехом использовались в дальнейшем многими исследователями пинча, т.к. решения давали обширную, хотя и качественную информацию как о процессе сжатия плазмы, так и о влиянии на ее параметры диссипативных коэффициентов. Развивая идеи работы [б9] , ее авторы в работа [70] рассмотрели магнитогидродинамическую модель пинча. Отказавшись от учета эффекта Холла и пренебрегая током смещения, они. получили возможность численно проанализировать явления, возникаюцие в двухтемпературной плазме при ее фокусировке к оси симметрии под действием протекающего по ней тока, В этой же работе, указывалось на необходимость проведения двумерного численного анализа явлений, сопровождающих пинч. Такой анализ и был. проведен в работе [7 l ] . При этом авторы в целях упрощения задачи отказались только от двухтемпературного представления плазмы и от учета эффекта Холла. Была учтена эффективная теплопроводность и вязкость. Полученные результаты показали, что возникшая конфигурация сжатой плазмы весьма нерегулярна, процесс уменьшения радиуса перетяжки ничем не ограничивается и, начиная с некоторого момента, ГСД-постановка задачи теряет смысл. Интересной, касающейся численного исследования Z -пинча, является работа [72].Автор, используя предположения о квазинейтральности и. идеальности. газа, решил систему МГД-уравнений с учетом влияния испареLI ния электродов на характеристики призлектродной области. Получены качественные результаты, позволяющие оценить влияния степени тугоплавкости электрода на магнитогидродинамическое течение в Е-пинчс;. Из работ, посвященных численному исследованию плаз*менного фокуса, следует также указать на работу [73] * содержащую, как результаты расчетов, так и описания методов счета и используемых физических моделей. Плодотворными оказались методы численного моделирования явлений и при исследовании гладких плазменных течений. Так важные качественные особенности взаимодействия сверхзвукового потока с поперечным магнитным полем были обнаружены при расчете двумерного нестационарного МГД-течения, описанного в [74] . Авторы решали задачу в предположении малости, как магнитного числа Рейнольдса, так и эффекта Холла. Было обнаружено критическое значение величины параметра электромагнитного взаимодействия, превышание которого приводит к значительной перестройке течения. Более, детальный учет обстоятельств, сопровождающих взаимодействие, текущей в канале плазмы с магнитным полем был продемонстрирован в работе [75] . Авторы рассмотрели двухжидкостную модель плазмы и попытались учесть диссипативные процессы (вязкость, теплопроводность, обмен энергией между ионами и электронами:), а также наличие игффекта Холла, В работе отсутствуют ограничения на величину магнитного числа Рейнольдса, Результаты расчетов позволили установить, что : а) течение выходит на квазистационарный режим, б) возникают вихри тока вблизи электродов, в) эффект Холла приводит к дестабилизации течения. В этой же работе пйдробно исследованы компрессионные течения плазмы - такие течения, которые сопровождаются локальным увеличением плотности в областях, где магнитное поле заметно уменьшается. Об экспериментах, подтверждающих возможность компрессионных течений было сообl.^:> щено в [76] .Заканчивая обзор, следует отметить тот факт, что из весьма широкого спектра плазменных явлений, подвергшихся и подвергаащихся теоретическим исследованиям в настоящее время, совершенно выпали явления, связанные с разлетом плазменных образований за пределами ускорителя. Первые результаты таких исследований, опубликованные в [77, 78] , позволяют сделать выводы о том, что физика высокотемпературной плазмы может получить новый мощный инструмент предэбразования электромагнитной энергии в тепловую и. механическую.. При этом концентрация энергии может достичь уровн;^ необходимого для зажигания термоядерной реакции, Таким образом в настоящее время существует довольно развитый математический аппарат (в основном, численный), который позволяет исследовать плазменные процессы с большей или меньшей степенью гидеализации. Однако разнообразие возникающих задач, новых концепций и само развитие вычислительной техники требуют постоянной адаптации математического аппарата и его развития в соответствии с новыми требованиями и возможностями.Настоящее исследование динамики разлета плазменных токовых оболочек носит, в основном, характер численного эксперимента, Используемый при этом метод - это метод частиц в ячейках. Однако в силу ряда причин возникла необходимость в его модификации.Следующая глава посвящена описанию этой модификации и результата.! ее испытания. ZG ГЛАВА П ЧИСЖННЫЙ ЖТОД ИССЛЕДОВАНИЯ § 2 . 1 . Метод частиц в ячейках В главе описаны основные идеи метода частиц в ячейках.Обсуждены его достоинства и недостатки. Описана модификация этого метода, позволяющая избавиться от его основных недостатков, сохранив его достоинства. Основой модификации является отказ от запоминания лагранжевых координат частиц во все время счета.Вместо этого предлагается моделировать распределение вещества в ячейке эйлеровой сетки с помощью задания координат лагранжевых частиц случайным (или квазислучайным) образом, на каждом шаге по времени. Приведены результаты некоторых расчетов с использованием модифицированного метода частиц в ячейках, показавших существенность выбора того или. другого типа датчика случайных чисел.Как отмечалось в главе I для решения газодинамических задач возможно использование двух различных подходов к описанию; движения сплошной среды: подход Эйлера и подход Лагранжа, Эйлеровому подходу присущ тот недостаток, что oiTпозволяет следить за перемещениями свободных границ и границ раздела сред.Лагранжевый| подход при решении, газодинамических задач, в большинстве случаев, позволяет получать более точные результаты.С его помощью можно следить за перемещениями свободных границ и границ раздела сред. Однако этот подход оказывается неэффективным, если среда в процессе движения испытывает значительные деформации.В связи с выше изложенными соображениями становится понятным интерес к использованию комбинированного подхода к математическому описанию движения сплошной среды и к созданию численных схем 7J с так называемым расщеплением дифференциального оператора.Переходя теперь к описанию непосредственно метода частиц в ячейках, будем пользоваться расчленением процедуры вычисления не на два этапа, а на три: эйлеровый этап, лагранжевый этап и окончательный этап.Расчитываемое поле течения разбивается сеткой эйлеровых координат на ячейки. Распределение вещества в поле моделируется распределением лагранжевых частиц,, заполняющих ячейки.Этап I - эйлеровый.К концу лагранжева этапа, таким образом, в каждой ячейке определится значение массы вещества <^ ; ; , составляющих импульса и полной энергии. Кроме этого определяется новая конфигурация расположения частиц. 'Y3-ий этап - окончательный.Расчеты, приведенные в [б2, 63, б^] показали, что схема счета по МЧЯ устойчива при выполнении условия Куранта.Вместе с этим все исследователи и использователи МЧЯ отмечают, что метод обладает рядом недостатков, из которых наиболее существенны следующие : - он не может использоваться в задачах, где требуется точное определение локальных параметров течения, - ему присуща флуктуационная неустойчивость, обусловленная флук'-ь туациями потока вещества через границы ячеек, - метод не может быть использован для расчета тех областей течения, в которых скорость течения значительно меньше, звуковой, - требования к объему оперативной памяти ЭВМ высоки и определяются, в основном, необходимостью, запоминать большие массивы лагранжевых координат частиц. Так, например, при; расчете, течения в области, ограниченной L''^30 и j'^30 , массивы всех эйлеровых величин занимают 6-10^ -5- 7*10^ ячеек» Если использовать в среднем 10 частиц в ячейке, (что не всегда бывает даже достаточно), то массивы лагранжевых координат займут около 2*10 ячеек.Попытки преодолеть эти недостатки предпринимались как с помощью дополнения самого метода частиц в ячейках процедурой сглаживания, так и с помощью разработки новых методов, использующих, как и МЧгГ, комбинированный подход к математическому описанию: течения и разностную схему, построенную на базе расщепленного оператора. В работе [б4] для уменьшения флуктуации решения предлагается на окончательном этапе сглаживать решение для плотности с помощью учета уравнения неразрывности к только после этого переходить к вычислению давления. Некоторая искусственность такого приема очевидна.В работах [81, 82] используется метод крупных частиц.Полученные с его помощью решения позволили получить ряд весьма важных результатов. Однако необходимость решать (в дополнение к (2.О)уравнение неразрывности несколько усложняет догику программы. Кроме этого метод крупных частиц обеспечивает перенос вещества на каждом шаге по времени только вдоль координатных линий эйлеровой сетки, что, конечно же, ухудшает математическое описание, процесса переноса вещества на лагранжевом этапе. LI Все вышесказанное заставляет рассматривать идеи метода частиц в ячейках, как весьма привлекательные и если бы удалось, хотя бы частично, преодолеть его недостатки (флуктуации решения, высокие требования к объему памяти ЭВМ), то можно было бы рассчитывать на его более широкое внедрение в практику численных исследований - магнитогазодинамических в частности. § 2.2. Модификация МЧЯ Модификация была предпринята с целью преодолеть недостатки метода частиц в ячейках, о которых шла речь в предыдущем параграфе. Суть модификации [83, 84] сводится к тому, чтобы отказаться от запоминания лагранжевых координат частиц. Вместо этого предлагается перед каждым лагранжевым этапом задавать координаты частиц внутри каждой ячейке, заново. Ясно, что от способа задания этих координат будет зависеть достоверность получаемого решения.В первых же вариантах расчетов выяснилось,, что регулярное задание координат частиц не является удовлетворительным. После этого были опробованы варианты с заданием этих координат случайным образом. Функция распределения значения каждой координат внутри ячейки была равномерной. В качестве моделирующего алгоритма этой функции был взят датчик случайных чисел из библиотеки программ ВЦ АН СССР. Контрольной задачей при использовании этого датчика была задача о расчете мгновенной детонации цилиндрического заряда в воде.Иллюстрацией расчета является рис. 21, на котором приведена зависимость дисперсии величины давления Др вдоль образующей цилиндра от используемого числа частиц в ячейке П . Как видно из рис.2.1, дисперсия давлеЕШЯ, которая в идеальном случае должна быть равной нулю, уменьшается с ростом числа частиц. ОднаISO too so дР% dv 500 iooo n Рис.2.I.Зависимость дисперсии распределения величины давления от числа частиц в ячейке. ^о ко И при: числе частиц в ячейке, равном 500 •* 1000, она оказывается значительной. Дальнейшее увеличение числа частиц в ячейке уменьшает дисперсию, но приводит к непропорциональному увеличению: времени счета. Попытка улучшить положение с помощью усреднения нескольких вариантов расчета, отличающихся только набором используемых случайных чисел хотя и уменьшила дисперсию, но увеличила громоздкость программы, реализующей такую процедуру счета, и привела к необходимости работы с накопителями на магнитных лентах, что свело на нет достигнутый на объеме оперативной памяти выигрыш, характерный для модификации ? Ш .Дело в том, что время одного расчета увеличилось весьма значительно.Полученные результаты нельзя было считать удовлетворительными. Требовалось дальнейшее и более глубокое исследование модификации в части того, какое влияние на качество решения оказывает выбор датчика случайных чисел. В качестве контрольной задачи для такого исследования была взята задача о распространении плоского ударного фронта в идеальном газе, На рис. 2.2 приведены распределения давления по координате за фронтом, полученные с использованием различного числа частиц в ячейках, В этих расчетах координаты частиц в ячейке разыгрывались с использованием датчика случайных чисел из библиотеки программ ВЦ АН СССР. Пусть имеется П.- мерный единичный куб К • Датчик случайных чисел генерирует числа из интервала (0,1) . Каждой комбинации П таких чисел мо}1шо поставить в соответствие точку в а-мерном npocTpancTjBe. Ясно, что все такие точки будут находиться внутри куба К . Выберем внутри К произвольную., точку Р и обозначим через Пр параллелепипед с диагональю^ ОР и со сторонами,, параллельными осям координат, (буквой О обозначен центр системы координат, расположенный в одной из вершин куба К ).Другими словами отклонение характеризует разницу отношения числа точек,, попавших в Пр , ко всему количеству генерированных точек и объемом области Пр • Очевидно, что чем быстрее стремится к нулю величина Ъ^ (при N -^со ) , тем более равномерно в К распределены случайные точки и тем выше "качество" получаем мых случайных чисел.Пусть Б Г -ичной системе счисления В ЭТОЙ же системе счисления P^(0 = 0,Q^Q^...Q„.jQ^. (2.16) Если Г Г^ - попарно простые числа, то определенные из (2.15) и (2.16) числа, будучи представленными в соответствии с (2.14), образуют последовательность Холтона.Таким образом элемент последовательности Холтона в двумерном случае может быть построен так : i.1 а) задаются два взаимно простые числа Г. , Г» » б) задается число L из; натурального ряда в десятичной системе, в) число L переводится в Г. -ную и в г -ную системы, г) в соответствии с (2.16) вычисляются величины ^^М и ^г^Лч» Эти числа и определяют элементы последовательности^ Холтона.Наглядное: представление о "качестве" библиотечного датчика случайных чисел и разработанного на базе последовательности Холтона дают гистограммы, представленные на рис. 2.3.Об алгоритме вычисления элементов последовательности Холтона следует сказать также и то, что по сравнению с библиотечным алгоритмом, он требует большего времени для генерирования одного и того же количества случайных чисел. При этом, если время, затраченное на генерацию случайных чисел с помощью библиотечного датчика растет линейно с ростом количества генерируемых чисел, то в датчике на основе последовательности; Холтона этот рост нелинеен, так как вычисление каждого следующего элемента последовательности Холтона требует большего времени,, чем вычисление предыдущего.Однако этот недостаток разработанного датчика легко преодолевается с помощью составленной заранее и записанной на магнитную ленту таблицы, загружаемой частями по мере надобности в оперативную, память ЭВМ. Использование датчика случайных чисел на основе последовательности Холтона при решении контрольной задачи не замедлили сказаться на качестве полученного решения. Результаты расчета распространения плоского ударного фронта с использованием такого датчика приведены на рис. 2.4. Сравнение, этих результатов с результатами расчета аналогичной задачи, полученного при использовании библиотечного датчика (риа. 2.2) показывает бесспорное преимущество разработанного датчика.Подчеркивая еще раз тот факт, что последняя модификация МЧЯ полностью устраняет все нежелательные эффекты, связанные с, квантованием переносимой через границу ячейки массы, следует сказать, что логика программы, реализующей счет по этой модификации, несколько усложняется по сравнению; с логикой программы, реализующей первый вариант модификации ?4ЧЯ. Усложнение возникает из-за необходимости определять размеры и положение подобластей переноса вещества (заштрихованы на рис. 2.5) из ячейки.Выбор этой задачи определился тем, что эта задача в отсутствии магнитного поля имеет аналитическое решение, а так же желанием испытать разработанный метод и для задач в криволинейных координатах. Было очевидным также и то, что решение такой нестандартной, двумерной т задачи может доставить полезную информацию о течении в каналах переменного сечения при наложении на него магнитного поля.Задача формулируется следующим образом : На область невязкого течения Прандтля-Майера, ограниченную (см. рис. 2.6) по радиусу ( П • Д Г < Г < Пр-ДГ ) и по Рис. и. 6. Ко ординат пая сетка для расчета течения Прандтля - ;'лайера.4t углу (K.-Af < f < K„'AM' ) в момент времени. t = 0 накладывается магнитное поле, вектор напряженности которого перпендикулярен плоскости течения. Делается предположение о малости магнитного числа Рейнольдса и об отсутствии электрического поля.Начальные и граничные условия.Результаты счета.Важным результатом счета с точки зрения оценки как возможностей модифицированного ЬШ, так и точности полученных решений, является факт отсутствия флуктуации всех расчитываемых функций.Результаты расчета выводились, в основном, в виде- графиков линий равных значений функций, характеризующих течение, в полярных координатах. Выданные результаты обрабатывались с целью получить иллюстрации, представленные на рисунках 2.7..,2.12 таким образом, чтобы на этих рисунках изобразить усредненные по радиусу зависимости параметров течения от полярного угла. Основанием для такого представления (с усреднением) служило то, что все функции кроме плотности слабо зависят от радиуса и такое их представление сокращает объем иллюстративного материала без сколько-нибудь существенной потери информации о характерных особенностях исследуемого течения. Заметим, что вопрос об отображении получаемой при решении, двумерных нестационарных задач информации оказывается каждый раз самостоятельной и весьма сложной проблемой.Кроме представленных на рис. 2.7 2.12 графиков оказалось полезным представить план скоростей течения, возникающего при наложении магнитного поля, и сравнить его с планом скоростей классического течения Прандтля-Макера. Рис, 2.13 и служит этим целям.Перед тем, как перейти к анализу результатов расчета, связанных с наличием магнитного поля, следует сказать, что процедура счета была опробована на варианте, который ставил своей целью проверить обеспечивает ли эта процедура получение правиль• \ Q2. % кг/п^ П ид м 10 10 *<VA^ Рис.2,7.Распределение плотности потока по углу. ^ '; 'лК\ г f«j 16 Zi — — — — — . . — >23 — - ' — о 40 20 *fAf Рис.2.d.Распределение давления в потоке по углу.Рис.2.9.Распределение тангенциальной составляющей вектора скорости по углу.Ъ N Рис.<^. 10.Распределение р.^ ди-шь^ ю'^ составляющее' вектора скорости потока по углу.Ч'/Д'Р Рис.2.II,Распределение числа Маха потока по углу.Ч/ДЧ> Рис.2.12.Распределение числа Маха потока по углу. ,г/дг Рис.2.13.План скоростей потока.Я' ных результатов в отсутствии магнитного поля. Полученное при этой проверке решение оказалось устойчивым и не отклонялось от теоретического более, чем на 5 fi. Как уже отмечалось выше флуктуации решения отсутствовали.Анализ результатов показал, что эффект наложения магнитного поля проявляется, как конкуренция двух явлений : а) падения проводимост1'1 в веере Прандтля-Майера в соответствии с (2.20), что ведет к уменьшению; МГД-взаимодействия, б) увеличения скорости потока по мере его расширения в веере, что увеличивает МГД-взаимодействие.Наиболее интенсивно течение, и поле взаимодействуют около передней границы области В т^- 0. Резкий скачок давления непосредственно на границе этой области обусловлен не только увеличением плотности, вызванного торможением потока, но и тем, что здесь весьма значителен разогрев газа за счет джоулевой диссипации.Заметен сдвиг по углу максимума в распределении давления относительно минимума в распределении скорости, что тоже, является следствием конкурирующего влияния на величину МГД-взаимодействия изменения проводимости и скорости, Также следует отметить одну из особенностей распределения плотности по углу и по радиусу. При, не слишком больших радиусах (вблизи области границы области В ?^ О по радиусу) и рядом с W) передней границей области В j^ О плотность имеет значения, превышающие те, которые она должна была бы иметь в отсутствии магнитного поля. Однако по мере увеличения угла плотность падает и делается меньше значения в невозмущенном магнитном поле течения Прандтля-Майера. Заметим, что величины давления и составляющих скорости течения при наложении магнитного поля имеют один и, тот же знак изменения относительно их значений в отсутствии поля.Сравнение описанных выше результатов с результатами варианта, в котором проводимость газа в веере считалась постоянной обнаружили несколько иную картину распределения параметров теченш.Основное отличие результатов этого расчета от результатов расчета, описанного выше, свелось к тому, что максимум МГД-взаимодействия выражен менее заметно и приходится не на переднюю границу области В /^ О, а на заднюю. Это представляется естественным, так как из упоминавшихся выше конкурирующих факторов остался один - увеличение, скорости потока в веере Прандтля-Майера с увеличением полярного угла. Результаты этого варианта расчета, кроме всего прочегд могут считаться дополнительной проверкой того, что процедура счета достаточно точна. Другой особанностью варианта расчета с 6=6Q ь явилась более заметная (хотя тоже не очень значительная) зависимость параметров течения от радиуса и их более равномерное распределение по углу. Отсутствуют области возвратного течения.Видимо уменьшение градиентов параметров течения по углу и продолжающая оставаться слабой их зависимость от радиуса сделали невозможным их появление как и застойных областей.Резюмируя сказанное можно сделать такой вывод : а) модификация МЧЯ оказалась вполне удовлетворительной, б) реализауия модифицированного ЬШ желательна с использованием датчика случайных чисел повышенной равномерности, в) результаты расчета течения Прандтля-Майера в магнитном поле, с одной стороны, доставили полезную информацию о самом течении, а с другой - еще: раз подтвердили жГ'Тзнеспособность модификации и ее положительные качества.ПША Ш РАЗЛЕТ ПЛАЗМЕННОЙ ТОКОВОЙ ОБОЛОЧКИ Ар.Эволюция выброшенного за пределы ускорителя плазменного сгустка исследовалась с помощью скоростной кадровой фотосъемки при. помощи; камеры С$Р-2М. Скорость съемки составляла 1.25.10 кадров в секунду. Начальная скорость светящейся кромки в осевом направлении составила 3.3fI0 м/с. Кроме фоторегистрации контура разлетающегося сгустка была сделана попытка изучения внутренней его структуры с помощью интерферометра Маха-Цандера с лазерным осветителем на руби не, работающим в режиме гигантского импульса.К сожалению:, большие погрешности измерений позволяют говорить о результатах интерферометрии лишь с качественной стороны.Величины VQ И Г^^ задавались равными соответственно 0.3 и 0.1. Вышеупомянутые величины определялись, следующим образом ; TQQ = ^цп^ . в таблице 3.1 приведены значения F ^ = Г. / г и b для этих вариантов.Учитывая модельный характер проведенного анализа и отдавая отчет в том, что реальный процесс существенно сложнее, ограничимся полученными результатами и перейдем к двумерному численному исследованию разлета плазменной токовой оболочки. § 3.3. Численное исследование разлета.Постановка задачи: Математическая модель явления развивает концепцию оболочки, содержащуюся в § 3.2 и включает в себя следующие представления.Вылетевший из ускорителя и разлетающийся плазменный сгусток считается образованным в результате взаимодействия плазменной пробки, и окружающего ускоритель газа. Внешней кромкой такого образования является ударная волна. Само плазменное образование является оболочкой, в полости^ которой проходит токовая перемыч*ка, соединяющая внутренний электрод ускорителя с плазмой. Протекающий по перемычке ток. I создает в полости азимутальное магнитное поле, вектор напряженности которого Н при. осевой симметрии оболочки, имеет только азимутальную составляющую;, и. определяется соотношением Схема модели представлена на рис, 3,3. Как видно из рисунка 3.3 модель предусматривает наличие витка, охватывающего оболочку и магнитного поля, пронизывающего виток и обтекающего оболочку.Одним из важных физических условий, определяющих правомерность. модели, является условие малости, толщины скин-слоя по сравнению с толщиной оболочки. Сделаем соответствующие оценки. Сперва оценим толщину скин-слоя О . Как известно, [9l] S = (Xf б/л)'*'! (з.к) где j - частота тока, б - проводимость, yu = 47L'I0" Г/М. Численное исследование разлета было проведено в две стадии, На первой стадии рассматривался процесс разлета в отсутствии внешнего магнитного поля. На второй - магнитное поле, было учтено приближенным образом, Рис.3.3.Схема модели оболочка-виток.При вычислении наряду С; газокинетическим; давлением учитывалось и магнитное давление: Р ^ . Для внешней поверхности оболочки Р т = Е)72/л, , (3.17) где Б - магнитная индукция внешнего поля, и^ - магнитная проницаемость вакуума.Лагранжевый этап расчета в соответствии с принятой процедурой модифицированного МЧЯ предусматривает разыгрывание начальных координат каждой частицы внутри соответствующей ячейки. Разыгрывание моделирует равномерное распределение и использует датчик квазислучайных чисел, основанный на последовательности Холтона.Вса остальные операции на логранжевом, и окончательном этапах не отличались от применяемых в традиционных схемах МЧЯ. Расчет одного шага по времени на этом заканчивался.Уравнение состояния. Для описания физического состояния аргона использовались таблицы его термодинамических функций, любезно предоставленные И.Б.Рождественским, Таблицы содержали данные о со( i ' \ g o с стоянии аргона при давлении до 10 )^/\г и температуре до 10 К. Приближенный расчет поля течения может быть сведен к следующей процедуре. Задается Vc^ и асимптотический радиуа обтекаемого тела Гд^ . Второе из cooTi]omeHHft (3,32) позволит найти обильность источника Q , Варьируя величиной Z^ , получаем набор конфигураций профилей обтекаемого тела. Будем считать решением такой контур, который минимизирует следующее выражение : Другими словами, при некотором ZQ выражение. (З.ЗЗ) имеет минимальное: значение, а узловые точки полученного при решении газодинамической задачи контура Р;Р{.^2^) (здесь 1 - номер ячейки расчетной сетки) отстоят от точек контура PJH.(Z) на минимальном (в сумме) расстоянии. Такой способ решения, конечно, груб, но очень экономичен с точки зрения задания ресурсов ЭВМ. Вместе с уже описанной однослойной схемой решения уравнений (3.16) этот способ определения вектора индукции магнитного поля, а с ним и ЭДС, наведенной в витке, сводит к минимуму требования как к объему памяти ЭВМ, так и к ее быстродействию. Точность ж полученных результатов на данном этапе исследования оказалась, тем не менее, удовлетворительной.Начальные и граничные условия. Начальное положение оболочки, ее конфигурация и разбиение сгустка на ячейки изображены на рис. 3.7 (пунктир). Оболочка имеет форму, близкую к форме диска (на стенку приходится 2 ячейки, одна из которых фиктивная).Радиус диска 1См. Толщина торца 0.5 м. Начальная плотность в оболочке PQ = О.Зб кг/м^, давление Р^ = 2,54«10 VM .Расчитывались варианты разлета в вакуум и в среду параметры которой соответствовали СОСТОЯНИЕ газа до начала разряда. Во всех случаях в ячейке 1 = 2 поддерживались условия начального потока. В первых вариантах расчета использовалось разбиение оболочки на 12 ячеек. Были сделаны расчеты и с разбиением на б и 24 ячей-5 ки. Разрядный ток I полагался равным 5'10 А. На рис. 3.7, 3.8 представлены результаты расчета разлета оболочки Б вакуум, относящиеся к моментам 100 не и 200 не. Этот о -г V'Z.b'iO Уо=2Л-Ш n/c р;Л%10^Па Рис.3.7.Результаты расчета разлета оболочки, I^ 51О;А Рис.3.8.Результаты расчета разлета оболочка., •7 расчет был сделан до начала экспериментов и носил! оценочный характер» Поэтому условия счета и условия эксперимента несколько различны. Тем не менее полученные сведения оказались полезными при планировании дальнейших экспериментов.Графики, представленные на рис. 3.7, 3.8 иллюстрируют распределение параметров течения плазмы по стенке и по дну оболочки, Там же представлена конфигурация оболочки, включая и начальную. Анализируя распределение параметров течения вдоль боковой стенки, можно сказать, что доминирующим явлением здесь является ее расширение в волне разрежения, вызванной наличием вакуума снаружи бЪболочки. Определенную, хотя и не столь значительную роль играет действие магнитного давления, распирающего оболочку изнутри, В соответствии с этим, как с течением времени, так и с приближением к торцу оболочки, давление и плотность газа монотонно падают. Теспература остается почти постоянной и равной 1.5-10^К ±5%, Более сложным оказывается движение данной части оболочки.Здесь доминирующим фактором является действие внутреннего магнитного давления, распределенного в соответствии с (3.18) весьма неравномерно. При этом ячейки, примыкающие непосредственно к токовой перемычке, находятся под постоянным давлением, определяемым ее радиусом и опережают другие ячейки дна в своем осевом переме^^ щении, йчейка, примыкающая к центральной, оказывается под воздействием магнитного давления, действующего на ее нижнюю границу, Это приводит к резкому увеличению радиальной скорости в этой ячейке и к существенному выносу вещества из нее. Плотность вещества в этой области падает. Падает и давление. Однако температура, как видно из рис. 3.7, 3 .8 , изменяется незначительно. Периферия дна оболочки, как и боковая стенка, находятся, в основном, под воздействием волны разрежения, приближающейся к центру. Оценка скорости распространения волны разрежения оказалась в хорошем согласии с величиной скорости звука в веществе дна оболочки.Первые варианты расчетов, проведенные при условии, что через оболочку идет весь разрядный ток, а ее масса равна первоначальной •R,cn 3KCft fiQC*1 к • О i Ш о PHC..J. 1С.Рад'ла,-1Ьное pricin:fpeH!ie и осевое Слюл^ оболочки, массе газа в ускорителе, показали неудовлетворительность этих предположений. Радиальное расширение газа и его осевое смещение оказались завышенными по сравнению о экспериментом в 2^3 раза.Вариант с запуленным током и полной^ массой оказался также неудовлетворительным - осевое смещение приосевой области значительно превышало полученные, из эксперимента значения, и кроме того, общая конфигурация оболочки сильно отличалась от экспериментальной.Анализ результатов первых вариантов счета позволил сделать вывод о том, что вынесенный в оболочке ток, составляет лишь часть разрядного тока, а ее масса также составляет только какуюто долго газа, запасенного в ускорителе.. Наличие струйного "хвоста" доказывает это с очевидностью. Оценка с использованием полученных в эксперименте данных об электронной плотности оболочки дает величину этой массы, равной приблизительно 20 % от всей массы газа Б ускорителе. Оценка магнитного давления, должного обеспечить фиксируемые на выходе из. ускорителя параметры ударной волны показали, что оно создается током 80-100 кА. За первыми варианталга расчетов последовали другие, в которых варьировались; разрядный ток и масса оболочки.Наилучшее; согласие с экспериментом было получено при доле тока, вынесенного в оболочке, равной 20 % от тока разряда и такой же доле массы головной части оболочки. Как видно, эти оценки с§ответствуют ранее приведенным.Объяснение вышеупомянутых эффектов может быть следующим.До времени t ^ I мкс центральная часть оболочки движется так, как она двигалась в ускорителе. К этому моменту волна разрежения проникает в приосевую область, уменьшая параметры ударной волны.Скорость приосевой области падает. В дальнейшем достигается такой режим разлета, что взаимодействие сгребаемой массы, волны разрежения, перегоняющей газ из центральной зоны дна на перифирию, № магнитного давления обеспечивает отмеченное выше постоянство осевой скорости перемещения. Этот эффект неодномерности течения.Постоянное же уменьшение скорости радиального расширения легко объясняется уменьшением магнитного давления на полость оболочки при: увеличении радиуса полости и затуханием ударной волны при ее цилиндрическом расхождении. Образование "зазубренности" дна оболочки связано с неравномерностью распределения по нему магнитного давления и образованием дополнительного (к потоку вызванному волной разрежения) радиального потока, обусловленного градиентом магнитного давления, направленного по радиусу. Таким образом полученные- в результате численного эксперимента результаты позволиг ли. не только расчитать динамику движения плазменного образования, но и показали, что само образование представляет собой плазменную токовую, оболочку, расширяющуюся под действием магнитного давления, созданного текущим внутри нее током.Кроме этого результаты расчета позволяют с большой степенью достоверности говорить и о термодинамических параметрах оболочки. Так, например, в данном случае к моменту времени 3.5 мка температура боковой стенки оболочки составляет 7.5'10^К + 10 %» Давление и плотность монотонно уменьшаются по направлению к дну и изменяются в пределах: 0.4*10' Па < Р < I.4»I0'TIa » 0.04 кг/м^ < р < О» 17 кг/м^. Картина распределения термодинамических величин по дну оболочки менее монотонна и обусловлена общей немонотонностью течения вдоль торца оболочки и распределения' давления вдоль него. Дно оказывается несколько более холодным, чем стенка ( Т = 4.10 -f б-Ю К) видимо за счет сгребания холодного газа окружающей среды. Средняя величина давления на дне: составляет 10 Па, плотностир- 0,16 кг/м^.В заключение остановимся на, результатах расчета разлета оболочки при наличии внешнего магнитного поля. Как и следовало ожидать, внешнее магнитное поле ( В = -4 Т ) не повлияло на движение приосевой области - в районе "застойной" точки напряженность магнитного поля, а с ним и внешнего магнитного давления, близки к нулю. Более заметно это влияние на движение стенки оболочки.Рис. 3.II наглядно иллюстрирует эффекты магнитного поля, на движение торца и стенки оболочки. Что касается ЭДС, наведенной в витке, то расчеты показали, что скорость ее нарастания оказалась порядка Ю-'--'' в/с.Рис.З.И.^^лияние внешнего магнитного поля на разлет оболочки.

Заключение диссертации по теме «Электрофизика, электрофизические установки», Кузнецов, Адольф Павлович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог проделанной при написании диссертации работы, можно сделать следующие выводы.

1. Разработана и апробирована модификация численного метода частиц в ячейках для решения системы уравнений многомерной нестационарной газовой динамики. Модификация позволила значительно повысить точность метода и уменьшила требования к рес-сурсам оперативной памяти ЭВМ.

2. Численно решена задача о разлете плазменной токовой оболочки в однородной среде. Полученное решение указывает на возможность ускорения плазмы идеального газа за срезом коаксиального ускорителя.

3. Обнаружен стационарный реши течения в приосевой области оболочки, расширяющейся под действием сил давления, убывающего обратно пропорционально квадрату расстояния от оси симметрии. Найдены пределы увеличения параметров плазмы в этом режиме. Численно решена задача о разлете плазменной токовой оболочки в волне разрежения. Показана эффективность такого ускорения плазмы для получения высокотемпературной, плотной плазмы.

5. Наряду с режимом устойчивого ускорения приосевой области оболочки в волне разрежения обнаружен режим, сопровождающийся взрывом этой области.

Полученные результаты, таким образом, позволили детально представить картину ускорения плазменной оболочки за пределами ускорителя, оценить возможности такого способа ускорения и определить технические требования к Электрофизическим установкам соответствующего назначения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кузнецов, Адольф Павлович, 1984 год

1.Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. "Физика ударшх волн и высокотемпературных гидродинамических явлений".М., Наука, 1966, 688.

2. Солоухин Р.И. "Ударные волны и детонация в газах".М., Физматгиз 1963.

3. Комельков B.C., Полонскии Л.Я., Якушев Г.Г. "Применение плотнойускоренной плазмы в качестве эммитера электронных пучков".У Всесоюзная конф. по физике низкотемпературной плазмы.Тезисы докладов. Киев, Наука, 1979.

4. Гудзенко Л.И., Филиппов С.С., ШелепинЛ.А. "Ускоренно рекомбинирую-щая плазменная струя'МЭТФ, т.51, вып.4(10), с.1115-1119, 1966.

5. Лукьянов Г.А. "Газодинамические лазеры и лазерная фотохимия". М., изд-во МГУ, 1978.

6. Э.Гудзенко Л.И., Яковленко С.И. "Плазменные лазеры".М., Атодаздат, 1978, 254с.

7. Киселевсш Л.И., Морозов В.А. "Воздействие сверхзвуковых плазменных струй на твердые материалы".II Всесоюзная конф. но плазменным ускорителям.Тезисы докл.Шнек, Наука, 1973.

8. Трофимов А.В. "Взаимодействие плазменных потоков с энергией 100 -250эВ с поверхностью твердых тел".У Всесоюзная конф. по плазменным ускорителям и ионным инжекторам".Тезисы докладов, М., Наука, с.139-140, 1982.

9. Mather J.W# Formation of high-density deuterium plasma focus. Physics of fluids, v.8,y/ 2,p.366-377, 196 5. : ■

10. Шйлиппов Н.В.:, Филиппова Т.Н. "Явления, связанные с созданием нецилиндрического сфокусированного пинча".11 Европейская н конф. по физике плазмы и контролируемому синтезу (Калхэм,сент.1965), т.2, 1966.

11. Tenth European Conf. on controlled Fusion and Plasma Phisifcs Reports. (Sept.Moscow), 1981

12. Васильев В.И., Комельков B.C., Скврцов Ю.В., Церевитинов С.С. "Устойчивый динамический токовый шнур". ШТФ, т.30, IJ? 7,с.756-768, I960.

13. Баранчиков Е.И., Гордеев А.В., Королев В.Д., СмйрнЬв В.П. "Магнитная самоизоляция электронных пучков в вакуумных линиях". ЖЭТФ, т.75, №6, с.2102-2107, 1978.

14. Комельков B.C., ПереСейнос В.В., Соломонов М.Т. "Внутриплазмен-ная магнитная изоляция". Физика плазмы, т.7, PI, с.82-86, 1981.

15. Комельков B.C., Скворцов Ю.В., Терещенко В.Н. "Надавленные ударные волны в мощных ис!фахи.ЖТ&,т.33,11^7,с.719-724, 1963.

16. Комельков B.C., Модзолевский В.И. "Формирование плазменной стру! в воздухе при атмосферном давлении".ЗШ,т.41,^,с.963-967,1971.

17. Вальков Ю.А.»Скворцов Ю.В. "Динамика токовой оболочки импульсного электродинамического плазменного ускорителя".ЖГФ, т.42, № 5, с.2088-2094, 1972.

18. Комельков B.C., Модзолевский В.И. "Коаксиальный ускоритель плотной плазмы".Физика плазмы, т.З, с.971-980, 1972.

19. Комельков B.C., Модзолевский В.И. "Генерация ударных волн взрывающейся токовой оболочкой".Письма в ЖЭТФ,т.15,Р6,с.299 301,192

20. Dawson J. One-dimensiahal plasma model. Phisics of fluids, v. 5, 4,p.445-459,1962

21. Eldrigge 0., Feix M. Fokker-Planck coefficients for a one-dimensional plasma.

22. Physics of fluids, v.5,/VlO, p.1307-1318,1962.

23. Birmingham T., Dawson J, Oberman C. Radiation processes in plasmas.

24. Physics of fluids, v8,|J 2, p.297-307, 1965

25. Birmingham Т., Dawson J., Kulsrud M. Contribution ofelectron-elektron collisions', to emission of Bremsstrahlung by plsma. Physics of fluids, v9,//10, p.2014-2025,1966

26. Dawson j., Shanny R., Birmingham T. Collision absortion in one-dimensional plasma. Physics of fluids, v. 12, ti 3, p. 687-696, p.1969.28.

27. Shanny R., Dawson J.,Greene J. One dimensional model of Lorentz plasma.

28. Physics of fluids, v.10,d 6, p.1281-1287,1967

29. Roberts K.V., Berk H.L. Hon^linear evolution of two-streaminstability. Physical review letters, v.19,/J 6 p.297-300,1967

30. Бэрк Г, Роберте К."Модель водяного мешка".Сб.Вычислительные методы в физике плазмы.М., М1ф, с.97-142, 1974.

31. Kellogg P.J. Some properties of two-stream instability at large amplitudes.

32. Physics of flu-ids, v.8,n/1, p. 102-109,196532.

33. Killeen J., Rompel L.A Computation for studying the formation of the relativistic elefetron layer in Astron. Journal of computational Physics, v. 1,лН, p.29-50, 1966.

34. Nuclear Pusion, v.11,^ 1, p.141-146,1971.

35. Килин Д., Маркс К.Д."Решение уравнения Фокера Планка для плазмы в ловушке с магнитными пробками".Сб.Вычислительные методы в физике плазмы.М., Мир, с.417-482, 1974.

36. Neuman J., Richtmyer R. A method for numerical calculation of hydrodynamife shocks. Jornal of Applied Physics, v.21,fl 3, p.232-237,1950.

37. Рябенький B.C., Филиппов А.Ф. "Об устойчивости разностных уравнений". Mi, Гостехиздат, 1956.

38. Годунов С.К., Рябенький B.C."Введение в теорию разностных схем". М., Физматгиз, 1962.

39. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. "Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой дина1шке".М., Наука, 1968.

40. Самарский A.A."Введение в теорию разностных схем".М.,Наука, 1971.

41. Рихтмайер РГ., Мортон К."Разностные метода решения краевых задач".М., Мир, I972V 418с.

42. Ландау Л.Д., Лифший^ Е.М. "Механика сплошных средМ.М.»Гостехиздат, 1964.

43. Станюкович К.П. "Неустановившиеся движения сплошной среды".М., Наука, 1971, 856с.

44. Седов Л.И. "Методы подобия и размерности в механике".М., Наука, 1967, 428с.

45. КурантГГ., Фридрихе К. "Сверхзвуковое течение и ударные волны". М., ИЛ, I960.

46. Хоскин Н.Э. "Метод характеристик для решения уравнений одномерного неустановившегося течения".Сб.Вычислительные методы в гидродина-мике.М., Мир, с.264-291, 1967.

47. Вулис Л.А., Генкин А.Л., Фоменко Б.А. "Теория и расчет магнитога-зодинамических течений".М., Атомиздат, 1971, 384с.

48. Кузнецов А.П., Плешаков A.C."О течении за фронтом детонационной волны в поперечном магнитном поле" при малых Rem шриВ^ íjy 5с.784-788, 1974. ; ' " " .

49. Годунов С.К,"Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики".Математический сборник, вып.З, Р47,с. 1059, 1959.53."Численное решение многомерных задач газовой динамики".Под ред. С.К.Годунова, М., Наука, 1976.

50. Самарский A.A., Арсенин В.Я. "О численном решении уравнений газовой динамики с различными типами вязкости".ЖВМшУ®, т.1, № 2,с.357-365, 1961.

51. Самарский A.A., Попов Ю.П. "Разностные методы газовой динамики". М., Наука, 1975, 384с.

52. Алалыкин Г.Б., Годунов С.К., Киреева Й.Л., Плинер Л.А. "Решение двумерных задач газовой динамики в подвижных сетках".М.,Наука,1970.

53. Годунов С.К., Прокопов Г.П. "Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах".ЖВМиШ>, т.12, с.429-440, 19727

54. Самарский A.A."Теория разностных схем" .М. ,Физматгиз, 1977 , 656с.

55. Харлоу Ф.Х."Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики".Сб.Вычислительные методы в гидродинамике.М., Мир,с.316-342, 1967.

56. Яненко H.H., Фролов Б.Д., Неуважаев В.Е."0 применинии метода расщепления для численного расчета движения теплопроводностного газа в криволинейных координатах".Известия СО АН СССР, серия технических наук, вып.8, N32, 1967.

57. Марчук Г.И. "Численные методы в прогнозе погоды".Л., Гццрометео-издат, 1967.

58. Анучина Н.М. "О методах расчета течении сжимаемой жидкости сбольшими деформациями". Сб. Численные методы механики сплошной среды, т1, Р4, 1971.

59. Юрченко В.В."Исследование метода частиц в ячейках".Сб.Решение за: дач методом крупных частиц.М., ВЦ АН СССР, с.19-53, 1970.

60. Белоцерковский О.М."Прямое численное моделирование течений газовой динамики на основе уравнений Эйлера, Навье Стокса и Боль-цмана".М., Наука, 1978.

61. Бай-нм-и "Магнитная гидродинамика и динамика плазмы".М., Атом-издат, 1964.

62. Брагинский С.И., Гельфпнд И.М., Федоренко Р.П. "Теория сжатия и пульсаций плазменного столба в мощном импульсном разряде",

63. Сб.Физика плазмы и проблемы управляемых термоядерных реакций, т.4, М., АН СССР, с.201, 1958.

64. Дьяченко В.Ф., Имшенник B.C."Сходящаяся цилиндрическая ударная волна в плазме с учетом структуры фронта." IBM, т.З, 1у5, с.915-926, 1963.

65. Дьяченко ВД>., Имшенник B.C."К магнитогидродинамической теории пинч эффекта в высокотемпературной плотной плазме".Сб.Вопросы теории плазмы.М., Атомиздат, вып.5, с.394, 1967.

66. Дьячеко В.Ф., Имшенник B.C. "Двумерная магнитогидродинамическая модель плазменного фокуса Z пинча".Сб.Вопросы теории плазмы.М., Атомиздат, нып.8, с.164-246, 1974.

67. ГУреев К.Г. "Двухтемпературный расчет 2 пинча с учетом испарения электродов" .Препринт ЙАЭ mi.И.В.Курчатова, М., 1976.

68. Роберте К., Поттер Д. "Магнитогрэдюдинамические методы".Сб.ВйчисУлительные методы в физике плазмы.М., Мир, с.335-416, 1974.

69. Губарев A.B., Дегтярев Л.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. "Течение сверхзвуового потока электропроводного газа в неоднородном магнитном поле ".ДАН СССР, т.192, №3, с.520-523, 1970.

70. Брушлинскии К.В., Морозов А.И."Расчет двумерных течений плазмы в каналах".Сб.Вопросы теории плазмы, вып.8, М., Атомиздат,с.88-163, 1974.

71. Морозов А.И., Ковров П.Е., Виноградова А.К."Экспериментальное подтверждение существования стационарных самосжимающихся течений плазмы".Письма в ЖЭТФ, т.7, Ш, с.257-259, 1968.

72. Комельков B.C., Кузнецов А.П., Плешанов A.C., Полонский Л.Я., Якушев Г.Г."Разлет плазменной токовой оболочки".ПМТФ, 115,с.26-31, 1978.

73. Комельков B.C., Кузнецов А.П., Перебейнос В.В, Плешанов A.C., Соломонов М.Т."Динамика плазменной оболочки с вынесенным током". ПМТФ, Р2, с.5-10, 1882.

74. Лобанов В.Ф., Фадеенко Ю.И."Кумуляция продуктов детонации полого цилиндрического заряда".ФГиВ, т.10, И, с.119-124, 1974.

75. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Щенников В.В."Метод расщепления-в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости". ЖВМиШ, т.15, PI, с.197-207, 1974.

76. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М."Нестационарный метод крупных частиц для газодинамических расчетов".НШМиШ, T.II, PI,с.182-194, 1971.

77. Белоцерковекий О.М., Яницкий В.Е. "Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа".ЖВМиМФ, т.15, SS, с.1195-1208, 1975.

78. Кузнецов А.П."0б одной модификации численного метода частиц в ячейках".Сб.Физико-техкические исследования разработки и обогащения руд.М., ИФЗ АН СССР, Сектор физик-технических проблем,с.24-29, 1973.

79. Кузнецов А.П."0 некоторых особенностях модифицированного метода частиц в ячейках".Сб.Проблемы взрывного разрушения горных пород. М., ИФЗ АН СССР, Сектор физико-технических горных проблем,с.60-65, 1973.

80. Соболь И.М."Численные метода Монте Карло".М., Наука, 1973.

81. Кузнецов А.П., Плешанов A.C."Численное исследование нестационарного МГД течения Прандтля - Майора".Магнитная гидродинамика, Р4, с.71-76, 1976.

82. Плешанов A.C., Лазарев П.П."Линеаризованный анализ МГД течения Прандтля - Майера".Магнитная гидродинамика, n'-2, c.59U53, 1968.

83. Колесников П.М."Ускорение плазменного сгустка в коаксиальном ускорителе с эродирующими электродами". ЗШ, т. 36, PI ус. 80-88,1966.

84. Колесников П.М., Коротков В.А., СтЙяович H.H. "Исследование влияния процессов массопереноса и сил сопротивления на электродинамическое ускорение плазмы".ШЖ,т.16, №2, с. 197-208, 1969.

85. Колесников П.М., Столович H.H. "Процессы массопереноса при электродинамическом ускорении плазмы".ШТФ,т.40,№6,с.II94-I205, 1970.

86. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М."Электродинамика сплошных сред".М., Наука, 1982, 620с.

87. Спитцер Л."Физика полностью ионизованного газа".М.,Мир,1965,212с.

88. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В."Теоретическая гидромеханика". T.I, М., Гостехиздат 1955.

89. Комельков B.C., Модзолевский В.И."Ускорение плазмы повторным наложением тока".1У Всесоюзная конф. по плазменным ускорителям и ионным инжекторам.Тезисы докладов.М., 1978.

90. Параметры плазмы и выход нейтронов из плазменного фокуса импульсного коаксиального ускорителя".III Всесоюзная конф. по плазменным ускорителям.Тезисы докладов.Минск, Наука и техника, с.132-133, 1967.

91. Гинзбург B.JI., Сыроватский С.И. "Современное состояние вопросао происхождении космических лучей".УФН, р'-т.71, №3,с.411-469,I960.

92. Гуревич A.B., Мещеркин А.П. "Ускорение ионов в расширяющейся плазме".ЖЭ®, т.80, fi<5, с.1810-1822, 1981.

93. Экономическая эффективность использования указанных результатов в настоящее время не может быть оценена ввиду отсутствия аналога для сравнения.

94. Руководитель тематического объединения лабораторий инженерных проблем термоядерной энергетики • С. Комельков

95. Зав. лабораторией электрофизики1. В.С.Комельков