Динамика процессов в присутствии флуктуаций в автоколебательных системах с взаимодействующими встречными волнами и в модели "воздействие-отклик" тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Фролова, Наталья Борисовна

• Фролова, Наталья Борисовна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фролова, Наталья Борисовна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Автоколебания в распределенной системе взаимодействующих встречных волн с фазовой нелинейностью.

1.1. Введение.

1.2. Математическая модель.

1.2.1. Уравнения модели взаимодействия бездисперсных встречных линейной волны и волны с фазовой нелинейностью.

1.2.2. Методы численного моделирования и обработки результатов

1.3. Характеристики автоколебаний в отсутствие внешних флуктуаций.

1.4. Влияние внешнего шума на динамику системы в режимах периодических и хаотических автоколебаний.

1.5. Выводы.

Глава 2. Динамика взаимодействия встречных линейной волны и волны с инерционной нелинейностью в присутствии внешних флуктуаций.

2.1. Введение.

2.2. Обзор результатов исследования JTOBO и математическая модель взаимодействия линейной волны и волны с инерционной нелинейностью.

2.2.1. Однопараметрическая модель взаимодействия волн с инерционной нелинейностью с учетом внешних флуктуаций

2.2.2. Основные результаты численного моделирования и экспериментальных исследований лампы обратной волны.

2.3. Исследование сложных автоколебаний в отсутствие внешнего воздействия на основе анализа параметров автокорреляционной функции.

2.4. Влияние внешних флуктуаций на динамику взаимодействия линейной волны и волны с инерционной нелинейностью.

2.4.1. Воздействие шума на одночастотный режим колебаний.

2.4.2. Поведение не одночастотных колебаний системы под внешним шумовым воздействием.

2.4.2.1. Режим периодических колебаний.

2.4.2.2. Режим непериодических колебаний.

2.4.2.3. Режим хаотических колебаний.

2.5. Выводы.

Глава 3. Периодические и нерегулярные колебания в модели «воздействие-отклик».

3.1. Введение.

3.2. Математическая модель «воздействие-отклик» для исследования динамики сердечного ритма.

3.3. Автономные колебания в модели «воздействие-отклик».

3.3.1. Определение значений параметров модели.

3.3.2. Методы анализа и характеристики исследуемой системы.

3.3.3. Результаты численного исследования автономных колебаний в модели «воздействие-отклик».

3.4. Колебания в модели «воздействие-отклик» при внешних флуктуациях.

3.4.1. Определение формы внешних флуктуаций и начальных условий для переменных.

3.4.2. Результаты численного моделирования системы при внешних воздействиях.

3.5. Колебания в модели «воздействие-отклик» под импульсным воздействием.

3.5.1. Уравнение системы с внешним импульсным воздействием.

3.5.2. Анализ системы с кратковременным импульсным воздействием.

3.5.3. Анализ системы при длительном импульсном воздействии.

3.6. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика процессов в присутствии флуктуаций в автоколебательных системах с взаимодействующими встречными волнами и в модели "воздействие-отклик"»

Актуальность работы. В процессе развития исследований сложного поведения динамических систем различной природы в течение длительного времени доминировал подход, рассматривающий нерегулярное поведение системы как обусловленное разного рода флуктуациями. Однако в конце 70х годов XX века он сменился этапом интенсивных исследований динамического хаоса. Во многом это было обусловлено тем, что основные работы по анализу хаотической динамики выполнялись с использованием очень простых теоретических моделей, для которых динамический хаос является действительно одним из естественных режимов поведения. В то же время рассмотрение сложных процессов в рамках теоретических моделей различных реальных систем исключительно как динамических часто оказывается не совсем корректным, поскольку влияние внешних флуктуаций, всегда существующих в таких системах, может оказывать существенное влияние на сложную эволюцию системы. Под «внешними», в отличие от «хаотических» или «динамического шума», здесь понимаются флуктуации, не связанные с динамикой системы.

Проблема влияния флуктуаций на поведение, в том числе хаотическое, динамической системы не нова и неоднократно исследовалась (см., например, [1-18], [19] и список литературы в нем, [20]). Однако она имеет столь много аспектов и особенностей проявления в различных природных и искусственных процессах, что остается актуальной в настоящее время и, по-видимому, будет актуальной длительное время в будущем. Обнаруженные в последнее время различные явления стохастического резонанса [21,22] и индуцированные шумом переходы [9,14,23], хаотическая синхронизация [24-26] и управление хаосом [27-29] имеют непосредственную реализацию в радиофизических системах и выдвигают перед радиофизиками новые задачи. Проведение исследований влияния внешних флуктуаций на процессы в моделях реальных систем стимулируется, в основном, тремя обстоятельствами.

Во-первых, благодаря флуктуациям многие часто обнаруживаемые в теоретических исследованиях без учета влияния шума мелкие детали поведения системы попросту не реализуются, будучи «размазанными» внешними шумами.

Во-вторых, внешними шумами малой амплитуды можно в определенной мере моделировать не учитываемые в модели многочисленные не коррелированные друг с другом факторы, присущие реальным системам.

В-третьих, представляется важным вопрос о том, всегда ли внешний шум приводит к увеличению степени беспорядка в хаотических колебаниях или возможен и противоположный эффект, как во многих системах, демонстрирующих поведение, обусловленное упорядочивающим влиянием шума.

В настоящей диссертации исследуется сложная динамика с учетом внешнего шума в нескольких моделях реальных систем, для которых влияние флуктуаций оказывается очень существенным, а в некоторых случаях принципиальным, что делает полученные результаты исследований актуальными.

Прежде всего, изучается поведение периодических и хаотических автоколебаний в распределенной динамической системе взаимодействующих встречных линейной и нелинейной, с фазовой нелинейностью, волн в присутствии аддитивного шума в нелинейной волне. Такой шум может возникать в пространстве взаимодействия волн вследствие неучтенных в модели процессов в самой системе, а также вводиться в нее внешним источником шума. Интерес к подобной модели объясняется тем, что распределенная динамическая система с кубичной фазовой нелинейностью является простейшей в классе нелинейных моделей взаимодействия волн в силу элементарности нелинейной функции модели. Поэтому ее анализ наиболее прост, а результаты представляют интерес для целого класса электронных сверхвысокочастотных (СВЧ) генераторов на обратной (встречной) волне с силовым механизмом фазировки электронов.

Однако для радиофизики и электроники больший интерес представляет базовая модель взаимодействующих волн, предназначенная для изучения процессов в приборах, основанных на инерционном механизме фазировки электронов в потоке. В представленной работе исследуется динамика процессов в системе с инерционной нелинейностью на примере однопараметри-ческой модели лампы обратной волны О типа с помощью методик, разработанных в ходе изучения более простой модели с фазовой нелинейностью. Несмотря на большое количество работ, посвященных исследованию автономных моделей такого класса распределенных автоколебательных систем [3040], нигде ранее не учитывалось влияние на процессы взаимодействия внешних шумов различной природы. Это ограничивает теоретические модели только теми компонентами, которые определяют внутреннюю динамику систем, и не учитывают ряд дополнительных факторов, связанных с внешними воздействиями.

Кроме того, существует ряд систем, для которых внешние флуктуации играют определяющую роль в их функционировании. В частности, изучаемая в диссертации система с сосредоточенными параметрами типа «воздействие-отклик», обязанная своим появлением на свет исследованиям сердечных ритмов, демонстрирует поведение, качественно соответствующее экспериментальным данным, только при учете дополнительного воздействия внешних случайных сил, статистические характеристики которых играют существенную роль в определении характеристик ее динамики.

Рассматриваемые модели относятся к различным классам динамических систем, но исследуются методами нелинейной динамики и компьютерного эксперимента, разработанными во многом при анализе радиофизических систем, что позволяет классифицировать предмет исследований как традиционно относящийся к области радиофизики.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании влияния внешних флуктуаций на динамику систем различной природы, характеризующихся сложным поведением. Для достижения поставленной цели решались следующие основные задачи:

• разработка методики численного решения стохастических дифференциальных уравнений, моделирующих автоколебания в распределенной системе взаимодействующих волн в присутствии флуктуаций;

• проведение статистического анализа сложного поведения исследуемых систем с привлечением обоснованно выбранных численных характеристик идентификации сложных автоколебательных режимов;

• численное моделирование динамики автономных распределенных автоколебательных систем (РАС) взаимодействующих встречных линейной волны и 1) волны с кубичной фазовой нелинейностью и 2) волны с инерционной нелинейностью. Определение значений введенных численных характеристик;

• численное моделирование динамики систем взаимодействующих волн в присутствии внешнего аддитивного распределенного шума. Анализ влияния внешних флуктуаций на различные режимы автоколебаний;

• численное моделирование процессов в динамической системе с сосредоточенными параметрами типа «воздействие-отклик» с применением методик и характеристик численного анализа сложных режимов поведения, выработанных при исследовании распределенных автоколебательных систем;

• анализ влияния различных внешних воздействий, как случайных, так и регулярных, на поведение модели «воздействие-отклик».

Методы исследований и достоверность полученных результатов.

Решение поставленных в диссертации задач проводится в основном методами численного (компьютерного) эксперимента с сопутствующей аналитической обработкой результатов. Достоверность полученных выводов подтверждается согласием результатов теоретических исследований, численного моделирования и физических экспериментов, известных из литературных источников, а также их воспроизводимостью.

Научная новизна результатов работы заключается в том, что

• впервые методика численного моделирования процессов в системе взаимодействующих волн, основанная на двухслойной разностной схеме второго порядка, специально модифицирована для решения стохастических дифференциальных уравнений, моделирующих автоколебания в системе в присутствии флуктуаций;

• обоснованно выбраны для идентификации сложных автоколебательных режимов с присущим изучаемым РАС неоднородным спектром такие численные характеристики, как отношение декремента огибающей автокорреляционной функции амплитуды волны к значению частоты автомодуляции и характерное время корреляции;

• с помощью введенных характеристик впервые численно оценен уровень неупорядоченности сложных автоколебаний в автономном режиме функционирования модели взаимодействия линейной волны со встречными волной с кубичной фазовой нелинейностью и волной с инерционной нелинейностью;

• впервые исследовано влияние внешних флуктуаций различной интенсивности на режимы колебаний, наблюдаемые в исследуемых системах;

• обнаружена неоднозначная реакция системы на влияние внешних флуктуаций на динамику характерных автоколебательных режимов системы; в частности, шум может сильно влиять на периодические режимы, приводя к разрушению внутренней динамики системы при больших значениях его интенсивности, а в режиме непериодических колебаний внешний шум может как увеличивать степень хаотизации, так и упорядочивать форму генерируемого сигнала;

• показана возможность применения методик и характеристик численного анализа сложных режимов поведения, апробированных при исследовании распределенных автоколебательных систем взаимодействующих волн, для динамических систем с сосредоточенными параметрами типа «воздействие-отклик»;

• установлено решающее значение внешних флуктуаций на процессы в реальной системе, описанной моделью «воздействие-отклик».

Научно-практическая значимость работы состоит в том, что предложенная методика численного моделирования стохастических дифференциальных уравнений может быть использована для решения целого класса задач, возникающих в исследованиях колебаний в распределенной системе в присутствии внешних флуктуаций; обоснованно выбранные легко рассчитываемые численные характеристики автокорреляционной функции (декремент огибающей, характерное время корреляции и др.) могут служить для оценки степени неупорядоченности колебаний с неоднородным спектром; полученные данные о результатах воздействия внешних флуктуаций на динамику моделей встречных линейной и нелинейной волн, лежащих в основе принципа действия широкого класса генераторов СВЧ диапазона, позволяют учесть влияние на выходные параметры генераторов разнообразных факторов, присущих реальным системам и сделать предположение о возможности управления характеристиками хаотических колебаний в подобных РАС подачей в систему тем или иным способом внешнего шума различной интенсивности; предложенные методы и характеристики анализа различных колебаний могут быть использованы для исследования динамики не только распределенных радиофизических систем, но и систем другой природы — сосредоточенных систем типа «воздействие-отклик».

Основные выводы и положения, выносимые на защиту.

1. Для модели взаимодействующих бездисперсных встречных волн, описываемой с учетом внешних флуктуаций стохастическими дифференциальными уравнениями в частных производных, обосновано введение распределенного источника шума, воздействующего на одну из волн в системе координат со смещенным отсчетом времени, что делает возможным использование известных алгоритмов численного решения стохастических дифференциальных уравнений.

Удобными численными характеристиками для оценки сложных непериодических автоколебаний, в том числе в присутствии флуктуаций, в распределенных автоколебательных системах со встречными волнами с присущим им неоднородным спектром генерируемого сигнала, является отношение декремента се автокорреляционной функции амплитуды сигнала к частоте автомодуляции fa и характерное время корреляции. Хаотические автоколебания предложено считать развитыми, если ce/fa> 1.

2. При взаимодействии линейной бездисперсной волны со встречной волной с кубичной фазовой нелинейностью возникающая при сильной связи волн хаотическая автомодуляция обладает заметной неоднородностью с се//ак0.4. Внешний шум с мощностью, существенно меньшей мощности автоколебаний, «складывается» с генерируемыми периодическими колебаниями, а хаотические автоколебания под его влиянием могут как упорядочиваться, так и усложняться. Сильный внешний шум искажает динамику системы и при увеличении интенсивности разрушает ее.

3. В автоколебательной системе с взаимодействующими встречными волнами с инерционной нелинейностью хаотические автоколебания в широком диапазоне значений параметра неравновесности за порогом их возникновения содержат мощную регулярную составляющую с ce/fa« 1. Колебания существенно хаотизируются лишь при превышении второго порогового значения, сохраняя при этом достаточно неоднородный спектр (0.2<co/fa<\). Малый внешний шум накладывается на генерируемые регулярные колебания, умеренный шум искажает характеристики автоколебаний, и существует критическое значение интенсивности шума, при превышении которого автоколебательный режим полностью разрушается. В хаотическом режиме внешний шум ухудшает условия энергообмена между волнами и всегда понижает мощность генерируемого сигнала, что может приводить к понижению степени неупорядоченности автоколебаний.

4. В модели «воздействие-отклик» принципиальным является учет внешнего шума - только в этом случае характеристики колебаний в модели не противоречат экспериментальным данным. При увеличении значений параметров, определяющих характеристики обратной связи в системе, колебания упорядочиваются, в их спектре типа 1/f появляются регулярные компоненты. После отключения дополнительного к шуму внешнего импульсного воздействия система неизменно возвращается в исходное устойчивое состояние.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы. Объем работы составляет 184 страницы, включая 62 страницы рисунков, список литературы состоит из 109 наименований, расположенных на 10 страницах.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Фролова, Наталья Борисовна

3.6. Выводы

1. В данной главе подробно исследована двухпараметрическая модель «воздействие-отклик», которая может быть использована для описания колебательной системынервной регуляции сердечного ритма. Определено влияние различных внешних факторов на поведение системы, в частности, рассмотрена динамика построенной модели, учитывающая внешнее воздействие шумовой функции различной интенсивности и влияние дополнительного прямоугольного импульса различной амплитуды и длительности. Методы анализа и используемые характеристики различных видов колебаний, отработанные при исследовании распределенных автоколебательных системах и рассмотренные выше, применены для идентификации процессов, происходящих в исследуемой системе с сосредоточенными параметрами. Так, рассчитаны зависимости спектральной плотности мощности, автокорреляционной функции, плотности распределения вероятностей, построены проекция фазового портрета и бифуркационная диаграмма.

2. В ходе численных экспериментов, проведенных для изучения исходной автономной модели, установлено, что в системе реализуется множество различных режимов колебаний: периодические с периодом Г, колебания с периодом 2Т, ЗТ, 4Т, 5Т, 7Т и квазипериодические колебания. Подробное исследование автономной системы позволило определить значения основных коэффициентов модели, присутствующих в уравнениях в виде констант. Исходя из кардиологических данных, была ограничена область допустимых значений основных параметров системы, являющихся коэффициентами обратной связи.

3. Численное моделирование системы показало, что чередование режимов в системе при изменении ее основных параметров не позволяет связать его с каким-то определенным известным сценарием. В ходе экспериментов определена зависимость основной частоты колебаний от величины задержки в петле обратной связи модели и выбрано его значение для дальней

170 шего моделирования системы согласно кардиологическим данным. Построена карта основных частот периодических колебаний системы на плоскости параметров. Приведены бифуркационные диаграммы, характеризующие чередование режимов, реализующихся в системе, для различных значений одного из основных параметров. Показано, что подобная динамика поведения не присуща реальной сердечно-сосудистой системе.

4. Добавление в модель внешней функции в виде белого нормально распределенного гауссового шума позволило учесть влияние комплекса второстепенных факторов, играющих, как оказалось, решающую роль в поведении системы. В результате исследования установлена величина интенсивности дополнительной шумовой функции, при которой ее влияние на динамику системы наиболее эффективно. Изучено поведение системы в пределах допустимых значений параметров модели. Показано, что спектральная плотность мощности системы имеет зависимость вида «1/f», что соответствует экспериментально установленным характеристикам реального поведения сердца здорового человека. Для исследования поведения модели рассчитаны все описанные выше характеристики. Анализ различных режимов колебаний системы проводился с помощью расчета декремента АКФ и характерного времени корреляции. Сравнение различных методов анализа автокорреляционной функции показало, что вне зависимости от выбранных характеристик, общая тенденция их поведения одинакова. Установлено, что зависимости характерного времени корреляции АКФ как функции параметров модели ведут себя сложным образом. Однако при любых фиксированных значениях одного из параметров системы характерное время корреляции увеличивается, а величина декремента, соответственно, уменьшается, при возрастании значений второго параметра в области его больших значений. При увеличении значений основных параметров системы в спектре колебаний на фоне частотной функции вида «1/f» возникает ярко выраженная регулярная составляющая с частотой, стремящейся к значению, соответствующему основной частоте колебаний автономной модели. Приведена зависимость частоты колебаний от значений основных параметров системы. Определено, что с ростом основных параметров автокорреляционная функция спадает все медленнее, это свидетельствует об упорядочивании поведения системы.

5. Исследована динамика поведения системы в случае внешнего воздействия на систему в форме импульса постоянной амплитуды, имитирующего влияние кратковременных стрессовых нагрузок. Дополнительное воздействие в форме прямоугольного импульса налагалось в двух режимах: 1) после завершения переходного процесса в течение короткого промежутка времени с различными значениями амплитуды; 2) в течение всего времени переходного процесса с момента начала моделирования. В обоих случаях результат воздействия существенно зависит от амплитуды и длительности возмущения. В первом случае, если амплитуда импульса сравнима с амплитудой внешней шумовой функции, значения основных характеристик системы, таких, как длительность /?/?-интервалов и величина вариационного размаха, увеличиваются по мере роста длительности воздействия, не выходя, однако, за пределы допустимых значений. При больших амплитудах импульса система «выбивается» из состояния, соответствующего нормальному поведению, но неизменно возвращается в него. Время восстановления зависит как от амплитуды налагаемого воздействия, так и от его длительности. Установлено, что воздействие с отрицательной величиной амплитуды оказывает менее значимое влияние на систему, в этом случае основные характеристики модели остаются в пределах допустимой области при любых значениях амплитуды и длительности внешнего импульса. Во втором случае, если амплитуда импульса меньше амплитуды внешней шумовой функции, значения основных характеристик системы возрастают по мере увеличения длительности воздействия, но лишь при малых значениях первого коэффициента обратной связи, отвечающего за влияние парасимпатической ветви нервной системы человека. В остальной области значений первого параметра поведение практически не отличается от поведения системы без импульсного воздействия. Увеличение амплитуды дополнительного влияния приводит к выходу системы за пределы допустимых значений. Граница выхода системы из области разрешенных значений ^-интервалов и вариационного размаха при увеличении амплитуды и длительности подаваемого воздействия постепенно сдвигается в сторону больших значений первого параметра связи. В случае добавления большой амплитуды импульса (больше интенсивности шумовой функции) изменение значений первого параметра в сторону их уменьшения приводит к выходу системы за рамки допустимых величин и увеличению времени восстановления, включая режим полной потери контроля над системой (система не возвращается к уровню первоначальных колебаний). Анализ поведения характерного времени корреляции для различных режимов возмущения позволяет сказать, что в целом, в области малых значений параметра влияния парасимпатических нервных волокон дополнительное воздействие упорядочивает поведение системы, что определяется увеличением среднего значения характерного времени корреляции. В диапазоне его больших величин налагаемое воздействие слабо сказывается на поведении исследуемой системы.

Таким образом, поведение двухпараметрической системы, демонстрирующей множество различных режимов колебаний, сглаживается налагаемым шумовым воздействием, исследуемая модель достаточно устойчива к внешним возмущениям, что отражает реальную картину поведения колебательной сердечно-сосудистой системы живого организма.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе исследовано влияние внешних флуктуаций в форме белого шума на пространственно-временное поведение двух распределенных динамических систем - моделей взаимодействующих встречных волн, а также динамику модели «воздействие-отклик». Для анализа процессов в моделях взаимодействия волн численно решались стохастические дифференциальные уравнения с источником белого шума. Основным инструментом для численной оценки сложных колебательных режимов являлись параметры автокорреляционной функции амплитуды волн. Варьирование амплитуды шумового источника в широких пределах позволило выявить область слабого и сильного влияния шума на процессы в системах и определить условия, при которых шум разрушает внутреннюю динамику системы. Показано, что внешний шум может как усложнять поведение системы, так и упорядочивать его. Объяснены особенности эффекта упорядочивания в распределенных автоколебательных системах класса взаимодействующих волн. Для системы «воздействие-отклик», которая может быть использована для изучения колебаний сердечнососудистой системы человека, показана принципиальная необходимость включения в систему источника шума, имитирующего множество внешних некоррелированных воздействий. Обоснована перспективность применения радиофизических методов для анализа колебательных процессов в живых системах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фролова, Наталья Борисовна, 2004 год

1. Понтрягин Л.С., Андронов А.А., Витт А.А. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ, 1933. Т.З, №3. С.165-180.

2. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И. Воздействие электронных флуктуаций на ламповый генератор // ЖЭТФ, 1955. Т.28, №5. С.509-520.

3. Edson W.A. Noise in oscillators // Proc. IRE, 1960. V.48. P. 1454-1466.

4. Mullen Y.A. Background noise in non-linear oscillators // Proc. IRE, 1960. V.48. P. 1467-1473.

5. Малахов A.H. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968.

6. Малахов А.Н., Сандлер М.С. Естественные флуктуации в распределенных автоколебательных системах // Радиотехника и электроника, 1971. Т. 16. С.299.

7. Вентцелъ А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под воздействием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

8. Кравцов Ю.А., Эткин B.C. К вопросу о роли флуктуационных сил в динамике автостохастических систем: ограниченность времени предсказуемости и разрушение слабых периодических режимов // Изв. вузов. Радиофизика. 1981, т.24. №8. С.992-999.

9. Апресян Л.А., Кривцов Ю.А., Рабинович М.И. О действии внешнего шума на систему со стохастической динамикой // РиЭ, 1984. Т.29, №3. С.473-478.

10. Кравцов Ю.А., Полянина Г.Д., Эткин B.C. Экспериментальное исследование поведения стохастического генератора под действием внешних шумов // Радиотехника и электроника, 1984. Т.29, №3. С.479-483.

11. Езерский А.Б., Кияшко С.В., Реутов В.Р. О хаотизации автоколебаний собственными шумами системы // Изв. вузов. Радиофизика, 1985. Т.28, №9. С.1126-1135.

12. Пиковский А.С. О влиянии шумов на статистику хаотических автоколебаний // Изв.вузов. Радиофизика, 1986. Т.29, №5. С.526-530.

13. Ebeling W., Herzel Н., Richert W., Schimansky-Geier L. Influence of Noise on Duffing Van der Pol Oscillators // ZAMM, 1986. V.66, №3. P.141-146

14. Хорстхемке В., Лефевр P. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987. С. 397.

15. Анищенко B.C., Сафонова М.А., Тучин В.В. Бифуркации и индуцированная внешним шумом стохастичность в лазере с нелинейным поглощением // Квантовая электроника, 1988. Т. 15, №9. С. 1885-1894.

16. Noise in Nonlinear Dynamical Systems. Vol.1. Theory of Continuor Foukker-Plunck Systems Cambridge: Cambridge University Press, 1989. P. 384.

17. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

18. Музычук О.В. Энергетические характеристики и устойчивость гармонического осциллятора с сильными небелыми флуктуациями параметров // Изв. вузов: Радиофизика, 1990. Т.ЗЗ, №1. С. 43-48.

19. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы / Под ред. Анищенко B.C. Саратов: Изд-во СГУ, 1999.

20. Lorenzo М. Niever, Perez-Munuzuri Vicente. Influence of low innensity noise on assembler of diffusively coupled chaotic cells // Chaos, 2001. V.l 1, №2. P. 371-376.

21. Benzi R., Sutera A., Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance //J.Phys. A: Math. Gen, 1981. V.14. P.L453-L457.

22. Анищенко B.C., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер JI. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка // Успехи физ. наук, 1999. Т. 169. №1. С.7-39 .

23. Лайда П.С., Заикин А.А. Шумоиндуцированные фазовые переходы в простых системах // ЖЭТФ, 1997. Т. 111. С.358-364.

24. Кузнецов Ю.А., Ланда П.С., Ольховой А.Ф., Перминов С.М. Амплитудный порог синхронизации как мера хаоса в стохастических автоколебательных системах //ДАН СССР, 1985, т.281. вып.2. С.1164-1169.

25. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova М.А. Syn-chronozation of chaos // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1992. V.2, №3, p.633-644.

26. Rosenblum M„ Pikovsky A., Kurths J. Phase synchronization of chaos // Phys.Rev.Lett., 1996. V.76, p. 1804-1807.

27. Garfinkel A., Spano M., Ditto W., Weiss J. Controlling cardiak chaos // Science, 1992. V.257. P.1230

28. Shinbrot Т., Grebogi C., Ott E., Yorke J.A. Using small perturbations to control chaos // Nature, 1993. V.363. P.411-417.

29. Астахов В.В., Силъченко А.Н., Стрелкова Г.И., Шабунин А.В., Ани-щенко B.C. Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов // Радиотехника и электроника, 1996. Т.41, №11. С. 1323-1331.

30. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Экспериментальное наблюдение стохастических колебаний в динамической системе электронный пучок обратная электромагнитная волна // Письма в ЖЭТФ, 1979. Т.29, №3. С. 180.

31. Безручко Б.П., Булгакова Л.В., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Стохастические автоколебания и неустойчивость в лампе обратной волны // Радиотехника и электроника, 1983. Т.28, №6. С.1136.

32. Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Две лекции по нестационарной теории взаимодействия электронных пучков с электромагнитными волнами // Лекции по электронике СВЧ. Саратов: Изд-во СГУ, 1974. С.88.

33. Электроника ламп с обратной волной / Под ред. Шевчика В.Н., Тру-бецковаД.И. Саратов: Изд-во СГУ, 1975.

34. Гинзбург Н.С., Кузнецов С.П., Федосеева Т.Н. Теория переходных процессов в релятивистской ЛОВ // Изв. вузов. Радиофизика, 1978. Т.21, №7. С. 1037.

35. Chetverikov А.Р. Nonstationary Theory and Simulation of the Backward Wave Peniotron Oscillator // International Journal of Infrared and Millimeter Waves, 1993. V.14,№2. P.213-238.

36. Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Автоколебания в распределенных системах "электронный поток — встречная (обратная) электромагнитная волна" // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1994. Т2, N5. С.9-33.

37. Четвериков А.П. Периодические и хаотические автоколебания в простых распределенных электронно-волновых системах // Известия АН. Сер. Физическая, 1994. Т.58, N8. С.171-178.

38. Рыекип Н.М., Титов В.Н., Трубецков Д.И. Детали перехода к хаосу в системе электронный пучок — обратная электромагнитная волна // ДАН, 1998. Т.358, №5. С.620.

39. Рыскгш Н.М., Титов В.Н. О сценарии перехода к хаосу в однопара-метрической модели лампы обратной волны // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1998. Т.6, №1. С. 75-92.

40. Четвериков А.П. Нелинейная динамика системы вазимодействую-щих встречных электромагнитной волны и электронной волны с кубичной фазовой нелинейностью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1994. Т.2, N5. С.46-55.

41. Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. М: Сов. радио, 1970.

42. Гайдук В.И., Палатов К.И., Петров Д.М. Физические основы электроники СВЧ. М.: Сов. радио, 1971.

43. Вайтитейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. М: Сов. радио, 1973.

44. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов. радио, 1977.

45. Сухорукое А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике. М.: Наука, 1988.

46. JIueumif Е.Н., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979.

47. Вильхельмссон X., Вейтланд Я. Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме. М.: Энергоиздат, 1981.

48. Гапонов А.В., Петелин М.И., Юлпатов В.К. Индуцированное излучение возбужденных классических осцилляторов и его использование в высокочастотной электронике // Изв. вузов. Радиофизика, 1967. Т. 10, №9-10. С.1414.

49. Братман В.Л., Гинзбург Н.С., Нусииович Г.С., Петелин М.И., Юлпатов В.К. Циклотронные и синхронные мазеры // Релятивистская высокочастотная электроника. Горький: Изд-во ИПФ ЛН СССР, 1979. С. 157.

50. Кузнег(ов С.П., Четвериков А.П. К теории лампы обратной волны с поперечным полем // Радиотехника и электроника, 1978. Т.23, №2. С. 385391.

51. Кузнецов С.П., Четвериков А.П. Нестационарная нелинейная теория ультрарелятивистской JIOB на аномальном эффекте Доплера // Изв. вузов. Радиофизика, 1981. Т.24, №1. С. 109-117.

52. Оно S., Yamanouchi К., Shibata Y., Koike Y. Cyclotron fast-wave tube using spatial harmonic interaction the traveling wave peniotron // Proc. of the 4th Int. Congress on Microwave Tubes. Scheveningen, 1962. P. 355.

53. Кузнецов С.П., Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Нелинейная аналитическая теория пениотрона // Письма в ЖТФ, 1980. Т.6, вып. 19. С. 11641168.

54. Razeghi М, Sato N. Suzuki Т., Yokoo К., Оно S. Modified peniotron using а ТЕп rectangular waveguide cavity // Int. J. Electronics, 1985. V.59, №5. P.533.

55. Dohler G., Gallagher D., Scafuri F., Moats R. Peniotron at mm-wave frequencies // Conf. Dig. of 12th Int. Conf. Infrared and Millimeter Wave. N.Y.: 1987. P. 242.

56. Четвериков А.П. О генерации колебаний в пениотроне на встречной волне//Письма в ЖТФ, 1989. Т. 15, вып. 14. С. 13-17.

57. Кураев В.А. Пениотрон с рабочим типом волн II пт круглого волновода // Радиотехника и электроника, 1990. Т.35, №6. С. 1278.

58. Vinals Y., Hemander-Garcia Е., San Miguel М., Toral К. Numerical study of the dynamical aspects of pattern selection in the stochastic Swift-Hohenberg equation in one dimension // Phys. Review A, 1991. V.44, №2. P.l 1231133.

59. Розанов IO.A. Случайные процессы. M.: Наука, 1971.

60. Рытое С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. М.: Наука, 1976. С. 495.

61. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981. С. 640.

62. Fapdwiep К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986. С. 527.

63. Кляцкин В.И., Татарский В.И. Приближение диффузионного случайного процесса в некоторых нестационарных статистических задачах физики // УФН, 1973. Т. 110. №4. с. 499.

64. Никитин Н.Н., Разевич В.Д. Методы цифрового моделирования стохастических дифференциальных уравнений и оценка их погрешностей // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1978. Т. 18, №1. С. 106-117.

65. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989.

66. Ланда П.С. Теория флуктуационных переходов и ее приложения. // Радиотехника и электроника, 2001. Т.46, №10. С. 1157.

67. Братмап В.Л., Гинзбург Н.С., Ковалев Н.Ф., Нусинович Г.С., Петелин М.И. Общие свойства коротковолновых приборов с длительной инерционной группировкой электронов // Релятивистская высокочастотная электроника. Горький: Изд-во ИПФ АН СССР, 1979. С. 249.

68. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

69. Кузнецов С.П., Пищик Л.А., Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Программа численного моделирования нестационарных процессов и автоколебательных режимов в JIOBO // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ, 1983. Вып.4. С. 66-67.

70. Кузнецов С.П., Ерастова Е.Н. Теория Фейгенбаума / Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. Кн.2. Саратов: Изд-во СГУ, 1983. С. 3-22.

71. Клайнс М. Дыхательная регуляция частоты сердечных сокращений. Закономерности, установленные при помощи моделирующего устройства.: В сб. "Электроника и кибернетика в биологии и медицине". М.: Изд-во ин. литры, 1963.

72. MackeyM., Glass L. Science 197, 1977. P. 287.

73. Гласс Л., Мжи М. От часов к хаосу. Ритмы жизни. М.: Мир, 1991.

74. Duckett G., Barkley D. Modeling the dynamics of cardiac action potentials // Physical Review Letters, 2000. V.85, №4.

75. Madwed J.B., Albrecht P., Mark R.G., Cohen R.J. Low-frequency oscillations in arterial pressure and heart rate: a simple computer model // Am. J. Physiol, 1989. №256 (Heart Circ. Physiol. 25). P. 1573-1579.

76. Seidal H., Herzel H. Modelling Heart Rate Variability Due to Respiration and Baroreflex. // Am. J. Physiol, 1995. P. 205-229.

77. Мурашко B.B., Струтынский А.В. Электрокардиография. M.: Медицина, 1987.

78. Rosenblum М., Kurths J. A Model of Neural Control of the Heart Rate // Physica A, 1995. №215, P. 439-450.

79. Seidal H., Herzel H., Eckberg D.L. Phase dependence of the human baroreceptor-cardiac reflex // Am. J. Physiol, 1997. №272 (Heart Cere. Physiol. 41). P. H2040-H2053.

80. Task force of the European society of cardiology and the north American society of pacing and electrophysiology heart rate variability. Standarts of measurement, physiological interpretation, and clinical use // Circulation, 1996. V.93, №5. P. 1043.

81. Brandt M.E., Chen G. Bifurcation control of two nonlinear models of cardiac activity // IEEE Trans. On Circ. And Systems-I: Fundam. Theory And Applications, October 1997. V.44, №10.

82. Баевский P.M., Иванов Г.Г., Рябыкина Г.В. Современное состояние исследований по вариабельности сердечного ритма в России // Международный симпозиум "Компьютерная электрокардиография на рубеже столетий". Москва. 27-30 апреля, 1999.

83. Игошева Н.Б., Павлов А.Н., Анищенко Т.Г. Методы анализа сердечного ритма: Учебное пособие. Саратов. Изд-во УНЦ «Колледж», 2001.

84. Рагозин А.Н. Исследование регуляции сердечного ритма в динамике стимулирующих воздействий с использованием спектрального анализа на плоскости комплексных частот//Электронный журнал www.ecg.ru, 2002.

85. Механизмы регуляции ритма сердца. http://\v\vw. inks, ru/products/ kardi/guide hrv, 2003.

86. Berger R.D., Akselrod S., Gordon D., Cohen R.J. An efficient algorithm for spectral analysis of heart rate variability. IEEE Trans. On Biomedical Engineering, September, 1986. V. BME-33, №9.

87. Марпл-мл C.JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990.

88. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М. «Радио и связь», 1991.

89. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е. Лекции по статистической радиофизике. Саратов. Изд-во СГУ, 1992.

90. Хованова Н.А., Хованов И.А. Методы анализа временных рядов: Учебное пособие. Саратов. Изд-во Гос. УНЦ «Колледж», 2001.

91. Hooge F.N. 1/f noise // Physica В, 1976. V.83B. P. 14-23.

92. Musha T. 1/f fluctuations in biological systems // Proc. 6th Int. Conf. on Noise in Physical Systems hold at the National Barean of Standarts, Gaitherburg, MD, USA, April 6-10, 1981. P. 143-146.

93. Коган Ш.М. Низкочастотный токовый шум со спектром типа 1/f в твердых телах // УФН, 1985. Т. 145, вып. 2, С.285-328.

94. Жигалъский Г.П. Шум вида 1/f и нелинейные эффекты в тонких металлических пленках // УФН, 1997. Т. 167, вып. 6, С.624-648.