Динамика поведения несжимаемой двухфазной смеси под действием силы тяжести тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Трофимова, Алиса Владимировна

• Трофимова, Алиса Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Трофимова, Алиса Владимировна

Оглавление

Обозначения

Введение

1 Обзор теории седиментации в двухфазных средах

2 Моделирование несжимаемой двухфазной среды

2.1 Двумерная нестационарная двухскоростная модель динамики поведения твёрдых частиц в несжимаемой жидкости

под действием силы тяжести

2.1.1 Физическая постановка задачи

2.1.2 Вывод уравнений сохранения и переноса

2.1.3 Скорости жидкой и твёрдой фаз

2.1.4 Уравнение для диффузионного потока в приближении Стокса

2.1.5 Уравнение для диффузионного потока в случае нелинейной формулы сопротивления

2.1.6 Полная система уравнений движения двухфазной среды в цилиндрической системе координат в приближении Стокса

2.1.7 Полная система уравнений движения двухфазной среды в цилиндрической системе координат в случае нелинейной формулы сопротивления

2.1.8 Условия применимости постановки задачи в приближении Стокса

2.1.9 Число Рейнольдса для задачи в случае нелинейной формулы сопротивления

2.1.10 Приведение системы уравнений задачи к безразмерному виду в приближении Стокса

2.1.11 Приведение системы уравнений задачи к безразмерному виду в случае нелинейной формулы сопротивления

2.2 Обобщение математической модели на случай N фаз

2.3 Выводы

3 Численное моделирование монодисперсной несжимаемой

двухфазной среды

3.1 Конечно-разностная схема аппроксимации поля течения несжимаемой среды

3.2 Алгоритм решения задачи на основе использования процедуры SIMPLE

3.2.1 Улучшение приближённого поля решения задачи за счёт поправок скорости и давления

3.2.2 Схема решения задачи (алгоритм SIMPLE)

3.3 Решение уравнений неразрывности и движения на основе метода расчёта переноса с коррекцией потоков (FCT)

3.3.1 Многомерный расчёт на основе использования методики расщепления временного шага

3.3.2 Решение одномерных уравнений сохранения в радиальном направлении по методу FCT

3.3.3 Решение одномерных уравнений сохранения в осевом направлении по методу FCT

3.4 Решение уравнения Пуассона методом последовательной верхней релаксации (SOR)

3.5 Решение уравнения для диффузионного потока по неявному методу Эйлера

3.6 Численный алгоритм решения задач

3.7 Выводы

4 Исследование влияния начальных условий на динамику по-

ведения монодисперсных несжимаемых смесей

4.1 Задача I. Дисперсная фаза в начальный момент сосредоточена в объёме в форме уплощённого цилиндра

4.2 Задача II. Дисперсная фаза в начальный момент сосредоточена в объёме в форме удлинённого цилиндра

4.3 Задача III. Дисперсная фаза в начальный момент сосредоточена в цилиндрическом слое у внешней границы

4.4 Задача IV. Дисперсная фаза в начальный момент распределена однородно

4.5 Задача V. Дисперсная фаза в начальный момент с пузырём

в форме удлинённого цилиндра

4.6 Задача VI. Дисперсная фаза в начальный момент располагается вне границы, которая имеет форму параболоида вращения

4.7 Выводы

Заключение

Литература

Обозначения

Ar - число Архимеда; AX,j - источник as по оси х;

ARij - источник as по оси г; —*

fi - вектор плотности внешних массовых сил г-ой фазы; —

Fsf - сила сопротивления; Ff - сила тяжести; Far - сила Архимеда;

g - вектор ускорения силы тяжести, м/с2; Gs - тензор напряжений в твёрдой фазе; G| - тензор напряжений в жидкости; G; - тензор напряжений г-ой фазы; Ga - число Галилея; hx - шаг сетки по оси х; hr - шаг сетки по оси г; ht - полшага по времени;

Js - диффузионный поток частиц, кг/(м2 • с);

Jс - квазистационарный диффузионный поток частиц, кг/(м2 • с); Jl - диффузионный поток жидкости, кг/(м • с); Ji - диффузионный поток ¿-ой фазы, кг/(м2 • с);

Jf - квазистационарный диффузионный поток г-ой фазы, кг/(м2 • с);

т - масса частицы;

т' - присоединённая масса частицы;

пх - число точек по оси х;

пг - число точек по оси г;

р - давление смеси, Ра;

Ri - поток импульса в жидкости;

Rs - поток импульса в твёрдой фазе; —*

Ri - поток импульса г-ой фазы; Т - тензор диффузионных напряжений, Ра; R - радиус частицы, м; Re - число Рейнольдса;

Re0g - число Рейнольдса в задаче с общей формулой сопротивления; Re cm ~~ число Рейнольдса в задаче в стоксовом приближении; го - размер цилиндрического сосуда по оси г; rs - узлы сетки по оси г для v; гр - узлы сетки по оси г для р; t - время, с;

и - составляющая скорости смеси v по х\ UXy - источник и по оси х; URy - источник и по оси г;

v - вектор среднемассовой скорости смеси, м/с;

v - составляющая скорости смеси г/ по г;

vs - вектор скорости твёрдой фазы, м/с;

vl ~ вектор скорости жидкости, м/с;

vj - вектор скорости г-ой фазы, м/с;

VXy - источник v по оси х;

VRy - источник v по оси г;

xq - размер цилиндрического сосуда по оси х;

xs ~ узлы сетки по оси х для и;

хр - узлы сетки по оси х для р\

Z - отношение продольного к поперечному размеру задача; as - объёмная концентрация частиц твёрдой фазы; а[ - объёмная концентрация жидкости; ам ~ максимально допустимая концентрация частиц; Qijv ~ объёмная концентрация частиц, выше которой проявляется взаимодействие между ними; оц - объёмная концентрация г-ой фазы; р - плотность среды, кг/м3;

pi - приведённая плотность жидкости (масса фазы в единице объёма смеси), кг/м3;

ps - приведённая плотность твёрдой фазы частиц, кг/м3;

pi - приведённая плотность ¿-ой фазы (масса фазы в единице объёма

смеси), кг/м3;

Р\ - истинная плотность жидкости (масса фазы в единице объёма, занимаемого только жидкой фазой), кг/м3;

0 / я

р3 - истинная плотность частицы, кг/м ;

о ,

Р{ - истинная плотность г-ои фазы (масса фазы в единице объема, занимаемого только г-ой фазой), кг/м3; Ар - разность истинных плотностей фаз; ¡1 - динамический коэффициент вязкости, Ра- с; т - время релаксации скорости твёрдой фазы;

г - время релаксации нестационарного диффузионного потока твёрдой фазы;

- вектор скорости диффузии частиц твёрдой фазы, м/с; (1;/ - вектор скорости диффузии жидкости, м/с; Со1 - вектор скорости диффузии частиц г-ой фазы, м/с; ь> - кинематический коэффициент вязкости, м2/с; Т5 - объём частицы твёрдой фазы, м3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика поведения несжимаемой двухфазной смеси под действием силы тяжести»

Введение

В последнее время при детальном изучении различных природных явлений и технологических процессов появляется все более острая необходимость в применении высоких технологий, базирующихся на использовании достаточно адекватных (согласованных с опытом) математических моделей этих явлений и процессов. При построении качественных математических моделей требуются более глубокое знание моделируемого объекта (явления, процесса), его пространственно - временного состояния в различных ситуациях, нахождение и использование современных методов исследования для изучения и расшифровки механизма взаимодействия различных фаз этих объектов. Здесь же в свою очередь возникает целый ряд проблем корректного учета основных принципов формирования и законов функционирования исследуемых моделей. Это прежде всего законы изменения количества движения в исследуемых средах, сохранения массы, энергии и т.п., а также информация при численном решении, как правило, нелинейных задач.

Постановка новых, сложных задач гидродинамики требует совершенствования способов исследования как на этапе теоретического описания состояния гетерогенных сред, так и на этапе построения численных алгоритмов, обеспечивающих устойчивое решение системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. При этом актуальными являются теоретические и программно - алгоритмические разработки, позволяющие выполнить моделирование многофазных сред. Использование метода расчёта переноса с коррекцией потоков (FCT) и процедуры SIMPLE (Semi - Implicit Method for Pressure - Linked Equation -полунеявный метод для связанных через давление уравнений) позволяет проводить численное воспроизведение пространственно - временных изменений, поведения несжимаемой двухфазной среды с приближением к реальной ситуации. Этим вопросам посвящена данная работа.

Целью работы являются теоретические и вычислительные исследования, которые дают возможность корректно решать задачу моделирования достаточно сложной многофазной среды на примере динамики

поведения твёрдых частиц в несжимаемой жидкости под действием силы тяжести и получения достоверных результатов, объясняющих механизм взаимодействия фаз под влиянием определённых внешних и внутренних факторов исследуемой гетерогенной среды.

В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие основные задачи:

- методологически последовательная постановка задачи движения несжимаемой двухфазной среды на основе построения системы нелинейных дифференциальных уравнений в дивергентной форме и её обобщение на iV-фаз;

- разработка численного метода решения задачи движения монодисперсной среды в поле силы тяжести на основе использования алгоритмов FCT (метода расчета переноса с коррекцией потоков) и SIMPLE (процедуры улучшения приближенного решения за счет применения корректирующих поправок скорости и давления);

- исследование результатов решения задачи движения монодисперсной смеси под действием силы тяжести при разных начальных геометрии и распределении концентраций твердых частиц, различающихся по своим размерам и плотностям.

Научная новизна:

- разработана новая нестационарная двухскоростная модель движения несжимаемой монодисперсной суспензии в поле силы тяжести; общим случаем такой модели является модель движения полидисперсной iV-фазной несжимаемой среды;

- в разработанной модели используется только одно уравнение импульсов для смеси, а недостающая информация получена с помощью моделирования диффузионных потоков в двух вариантах: с релаксацией и без нее;

- сила сопротивления движению частиц твёрдой фазы связывается с относительной скоростью и моделируется силой Стокса, более общей формулой;

- впервые рассматриваемая задача представлена в безразмерных пере-

менных; при этом сформулировано условие подобия движения двух несжимаемых двухфазных смесей;

- на основе использования процедур SIMPLE и FCT разработан комплекс алгоритмов и программ, реализующий численное решение задачи конечно-разностными методами; разработана методика решения задачи (ее нулевое приближение), благодаря использованию которой представляется возможность реализовать решение некоторых типовых задач, близких к исследуемой.

- изучена динамика поведения несжимаемой монодисперсной среды на ряде задач, различающихся по начальным данным и параметрам изучаемых сред.

Практическая значимость работы состоит в реализации теоретических исследований и методических выводов в виде рабочих алгоритмов и программ, которые дают возможность решать задачи моделирования движения несжимаемых моно- и полидисперсных сред в поле силы тяжести и на этой основе получить результаты, позволяющие прогнозировать поведение несжимаемых многофазных сред и объясняющие механизм взаимодействия различных по своим характеристикам фаз.

Существующее многообразие частиц с различным гранулометрическим составом (с диапазоном размеров от небольших молекул до обыкновенных песчинок и сравнительно мелких обломков различных горных пород и минералов, видимых невооружённым глазом), а также белковые молекулы, вирусы, синтетические полимеры, коллоидные частицы и т.п., ха-рактеризующеся определёнными размерами и определёнными свойствами - все это примеры в том или ином приближении объектов для исследований, проводимых в настоящей работе. Гидродинамический подход к анализу взаимодействия таких частиц и их движения служит универсальным ключом к пониманию различных пространственно-временных изменений состояния сложных гетерогенных систем.

Разработанная методика и подход к решению задачи исследований, характеризующиеся своей фундаментальной направленностью, позволяют, в принципе, решать целый спектр типовых задач, которые могут иметь

большое практическое значение. Многие технологические процессы связаны с производством порошкообразного продукта, который необходимо отделять от жидкости, в которой он взвешен. Это, например, производство цинковых белил и сажи. Во многих отраслях промышленности встречается процесс гравитационного и центробежного осаждения концентрированных суспензий частиц в жидкости (например, в производстве пива, бумаги). Кроме того, это возможность решать (после соответствующей адаптации математической системы дифференциальных уравнений в частных производных) задачи в области:

- инженерной геологии, гидрогеологии и экологии водных бассейнов (изучение режима оползневого процесса и его пространственно - временной прогноз; прогнозирование и контроль качества подземных вод, ликвидация их загрязнения);

- динамической и структурной геологии (изучение на геодинамических моделях условий седиментации осадков, древних обстановок осад-конакопления);

- нефтяной индустрии (моделирование с использованием скважинных и сейсмических методов исследования природных резервуаров пород -коллекторов, заполненных подвижным флюидом: нефтью, газом и пластовой водой с целью оптимизации процесса извлечения - добычи углеводородного сырья) и т.п.

Достоверность и обоснованность полученных результатов и выводов обеспечивается применением в исследованиях общих уравнений механики многофазных сред и подтверждается хорошим соответствием получаемых результатов с известными теоретическими и экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международной конференции и Чебышевских чтений, посвящённых 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева (Москва, 1996). В целом диссертационная работа обсуждалась на семинарах: кафедры газовой и волновой динамики МГУ (Москва, рук. акад. Е.И.Шемякин); кафедры аэромеханики МГУ (Москва, рук. акад. Чёрный Г.Г.)

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы, содержит 149 страниц, включая 254 рисунка.

В первой главе дается обзор по теории седиментации двухфазной среды жидкость - твёрдые частицы. Во второй главе построена математическая модель поведения твёрдых частиц в несжимаемой жидкости под действием силы тяжести, и она обобщена на случай N фаз. Третья глава посвящена разработке численного моделирования монодисперсной среды. В четвёртой главе продемонстрировано решение поставленной задачи с различными начальными параметрами: геометрическими особенностями, плотностными характеристиками и исходной концентрацией -распределением твёрдой фазы.

Автор считает приятным долгом выразить благодарность кандидату физико - математических наук Б.В.Куксенко за научное руководство и помощь на всех этапах выполнения работы. Автор выражает глубокую признательность сотруднику лаборатории волновых процессов МГУ В.Ф.Никитину за помощь и за то большое влияние, которое он оказал как при построении математической модели, так и при подготовке программ вычисления и визуализации, которые легли в основу настоящей работы.

Автор приносит благодарность доктору физико - математических наук Н.Н.Смирнову, кандидату физико - математических наук В.М.Генду-гову, кандидату физико - математических наук Л.А.Алании за консультации и полезные замечания при обсуждении отдельных разделов диссертации. Особую благодарность автор выражает доктору физико - математических наук А.Н.Чувырову за внимание и поддержку работы. Самую глубокую признательность и благодарность автор выражает своей семье за любовь, терпение, выдержку и понимание.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Трофимова, Алиса Владимировна

4.7 Выводы

1. Численно решена задача движения монодисперсной смеси под действием силы тяжести при различных начальных значениях и геометрии начального распределения объёмной концентрации твёрдых частиц для песка, свинца, стекла, дерева и угля.

2. Представлены двумерные распределения объёмной концентрации двухфазной среды на фоне векторных скоростных полей, проведено описание характера, структурных особенностей этих распределений и дан их сравнительный анализ. В примерах вычислены значения числа Рей-нольдса.

3. На различных примерах показаны принципиальные возможности использования разработанных методов изучения гетерогенной среды, на основе которых можно решать более широкий круг гидродинамических задач.

Заключение

В настоящей работе в процессе исследования динамики поведения несжимаемой многофазной среды в поле силы тяжести получены следующие результаты:

1. Построена математическая модель движения нестационарной монодисперсной двухфазной смеси под действием силы тяжести, где используется одно уравнение импульсов и условие несжимаемости для смеси, уравнение сохранения массы для твёрдой фазы и уравнение для диффузионного потока твёрдых частиц.

2. Построенная модель движения допускает замену моделей сил взаимодействия между фазами. Рассмотрены и доведены до графического изображения два случая: сила сопротивления моделируется силой Стокса и нелинейной формулой.

3. Задача представлена в безразмерном виде и сформулированы критерии подобия в обеих постановках.

4. Построенная модель методологически обобщена на случай динамики движения нестационарной многофазной смеси, в частности, полидисперсной.

5. Выбраны методы для решения дифференциальных уравнений и представлен численный алгоритм для получения решения в случае несжимаемой среды.

6. На основе проведенных исследований в целом показана принципиальная возможность решения более широкого круга задач. Разработана методика решения типовых задач, близких к рассмотренным задачам.

7. Создана вычислительная программа, реализующая математическую модель и позволяющая прогнозировать поведение двухфазной смеси с течением времени.

8. Рассмотрены конкретные задачи для монодисперсных фаз песка, свинца, стекла, дерева и угля. Решения задач проиллюстрированы с помощью программы визуализации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Трофимова, Алиса Владимировна, 1998 год

Литература

1. Андерсон Д., Таннехил Дж., Флетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. - М.: Мир, 1990. - Т. 1,2.

2. Ардышева Г.Н. Осаждение частиц в среде с экспоненциальным распределением плотности по высоте. - Рук. деп. в ВИНИТИ 11.8.89, iV762-B89.

3. Баренблатт Г.И. О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке, занимающем полупространство или плоский открытый канал конечной глубины//ПММ. - 1955. - 19. - N1.

4. Буевич Ю.А. Гидродинамическая модель дисперсных систем//ПММ.

- 1969. - т.зз. - т.

5. Гуськов О.Б., Корольков Г.А., Платонов A.A. О присоединённой массе частицы в суспензии. - Рук. деп. ВИНИТИ iV6378-B87 от 31.8.87г.

6. Гухман A.A. Введение в теорию подобия. - М., 1973.

7. Крайко А.Н., Стернин J1.E. К теории течений двухскоростной сплошной среды с твёрдыми и жидкими частицами//ПММ. - 1965, - Т.29,

- N3.

8. Куксенко Б.В., Никитин В.Ф., Трофимова A.B. Моделирование динамики движения твёрдых частиц в несжимаемой жидкости под действием силы тяжести в осесимметричных задачах. - МГУ. - М., 1997.

- Деп. в ВИНИТИ N 3567-В97.

9. Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1988.

10. Левич В.Г. Физико - химическая гидродинамика. - М., 1959.

11. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1987.

12. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. - М.: Наука, 1987. -Т.1,2.

13. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред//ПММ. - 1956. - Т.20. - N2.

14. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1973. - Т.1,2.

15. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. - М., 1981.

16. Слёзкин Н.А. Дифференциальное уравнение движения пульпы//Докл. АН СССР. - 1952. - Т.86. - N2.

17. Coy С.Л. Гидродинамика многофазных систем. - М.: Мир, 1971.

18. Телетов С.Г. Вопросы гидродинамики двухфазных смесей//Вестник МГУ. - Сер. матем., механ. - 1958. - N2.

19. Трофимова А.В. Задача об одномерном оседании водопесчаной смеси//Материалы международной конференции и Чебышевских чтений, посвящённых 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева. -М., 1996.

20. Уоллис Г. Одномерные двухфазные течения. - М., 1972.

21. Франкль Ф.И. Уравнения энергии для движения жидкостей со взвешенными частицами//Докл. АН СССР. - 1955. - 102. - N5.

22. Харин В.М., Ряжских В.И. К теории осаждения//Теор. основы хим. технол. - 1989. - 23. - N5.

23. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. - М.: Наука, 1986. - Т.4.

24. Ahmadi G. On the mechanics of incompressible multiphase suspension//Adv. Water Resour. - 1987. - 10. - ATI.

25. Auzerais F.M., Jackson R., Russel W.B. The resolution of shocks and the effects of compressible sediments in transient settling//J. Fluids Mech. -1988. - 195.

26. Auzerais F.M., Jackson R., Russel W.B., Murphy W.F. The transient settling of stable and flocculated dispersions//J. Fluid Mech. - 1990. -221.

27. Buscall R. The sedimentation of concentrated colloidal suspensions//J. Colloids Surf. - 1990. - 43.

28. Batchelor G.K. Sedimentation in a dilute dispersion of spheres//J. Fluids Mech. - 1972. - 52.

29. Batchelor G.K. Brownian diffusion of particles with hydrodynamic interactions//J. Fluids Mech. - 1976 - 74.

30. Batchelor G.K. Sedimentation in a dilute polydisperse system of interacting spheres. Part 1. General theory//J. Fluids Mech. - 1982. - 119.

31. Batchelor G.K., Wen C.S. Sedimentation in a dilute polydisperse system of interacting spheres. Part 2. Numerical results//J. Fluids Mech. - 1982

- 124.

32. Bonnecaze R.T., Huppert H.E., Lister J.R. Particle - driven gravity cur-rents//J. Fluid Mech. - 1993. - 250.

33. Bossis G., Brady J.F. Dynamic simulation of sheared suspensions. I. General method//J. Chem. Phys. - 1984. - 80.

34. Boris J.P. A fluid transport algorithm that works, in: computing as a language of physics//International Atomic Energy Agency. - Vienna, 1971.

35. Boris J.P., Book D.L. Flux - corrected transport I: SHASTA - a fluid transport algorithm that works//J. Comp. Phys. - 1973. - 11.

36. Boris J.P., Book D.L. Solution of the continuity equation by the method of flux - corrected transport//Methods in computational physics. - 1976.

- 16.

37. Brady J.F., Durlofsky L. The sedimentation rate of disordered suspen-sion//Phys. Fluids. - 1988. - 31. - iV4.

38. Brady J.F., Philips R.J., Lester J.C., Bossis G. Dynamic simulation of hydrodynamically interacting suspensions//J. Fluid Mech. - 1988. - 195.

39. Buscall R., White L.R. The consolidation of concentrated suspensions//J. Chem. Soc. Faraday Trans. 1. - 1987. - 83.

40. Carrier G.F. Shock waves in a dusty gas//J. Fluid Mech. - 1958. - 4. -iV4.

41. Cichocki B., Felderhof B.U., Hinsen K., Wajnryb E., Blawzdziewicz J. Friction and mobility of many spheres in Stokes flow//J. Chem. Phys. -1994. - 100.

42. Dixon D.C. //AIChE J. - 1980. - 26.

43. Durlofsky L., Brady J.F., Bossis G. Dynamic simulation of hydrodynam-ically interacting particles//J. Fluid Mech. - 1987. - 180.

44. Faeth G. M., Evaporation and combustion of sprays//Prog. Energy Comb. Sei. - 1983. - 9.

45. Givler R.C. Numerical simulation for steady flows of dilute supensions with a finite element technique//Finite Elem. Anal. Fluids, Nuntsville (Ala). - 1989.

46. Glendinning A.B., Rüssel W.B. //J. Colloid Interface Sei. - 1982. - 89.

47. Happel J., Brenner H. Low Reynolds Number Hydrodynamics. - Noord-hoff, Leyden, 1973.

48. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time - dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface//Phys. Fluids. - 1965.

- v.8.

49. Hassonjee Q., Ganatos P., Pfeffer R. A strong - interaction theory for the motion of arbitrary three - dimensional clusters of spherical particles at low Reynolds numbers//J. Fluids Mech. - 1988. - 197.

50. Hassonjee Q., Pfeifer R., Ganatos P. Behavior of multiple spheres in shear and Poiseuille flow fields at low Reynolds numbers//Int. J. Multiphase Flow. - 1992. - 18.

51. Hofmann B., Rockstroh M., Preuss U. Detection of moving pafticles in a liquid flow by means of an ultrasonic pulse - echo method//2nd Eur. Fluid Mech. Conf., Warsaw, 20 - 24 Sept., 1994. - Warsaw, 1994.

52. Hwang G.J., Shen H.H. Modeling the solid phase stress in a fluid - solid mixture//Int. J. Multiphase Flow. - 1989. - 15. - N2.

53. Ishii M., Thermo - fluid dynamic theory of two - phase flows. - Eyrolles, Paris, 1975.

54. Izuchi G., Nakamura I. A experimental study of the motion of a falling sphere through fluid//Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. B. - 1989. - 55. -N512.

55. Kessler E.M. Suspension of solid particles in an agitated vessel. l.The characteristic of complete suspension//Chem. and Biochem. Eng. Quart. - 1994. - 8. - N3.

56. Kim S., Karrila S.J. Microhydrodynamics. - Butterworth - Heinemann, Boston, 1991.

57. Kynch G.F. A theory of sedimentation//Trans. Faraday Soc. - 1952 - 48.

58. Ladd A.J.C. Hydrodynamics interactions in a suspension of spherical particles//J. Chem. Phys. - 1988. - 88.

59. Ladd A.J.C. Hydrodynamics interactions and the viscosity of suspensions of freely moving spheres//J. Chem. Phys. - 1989. - 90.

60. Ladd A.J.C. Hydrodynamics transport coefficients of random dispersions of hard spheres//J. Chem. Phys. - 1990. - 93.

61. Lasso I.A., Weidmann P.D. Stokes drag on hollow cylinders and conglomerates //Phys. Fluids. - 1987. - 29.

62. Levy Therese. An application of homogenization to particulate sedimen-tation//Appl. Multiple Scaling Mech.: Proc. Int. Conf.,Ec. norm, super.,Paris, Nov. 24-28, 1986. - Paris, 1987.

63. Lungren T.S., Jacson R., Saville D.A. Ensemble averaged and mixture theory equations for incompressible fluid - particle suspensions//Int. J. Multiphase Flow. - 1990. - 16. - N1.

64. Marcant B., David R. Experimental evidence for and prediction of mi-cromixing effects inprecipitation//J. AIChE. - 1991. - 37. - iVll.

65. Mazur P., van Saarloos W. Many-sphere hydrodynamic interactions and mobilities in a suspension//Physica A. - 1982 - 115.

66. Nasr-El-Din H., Masliyah J.H., Nandakumar K. Continuous gravity separation of concentrated bidisperse suspensions in a vertical column//Chem. Eng. Sei. - 1990. - 45. - Ni.

67. Patancar S.V., Spalding D.B. A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in three - dimensional parabolic flows//Int. J. Heat Mass Transfer. - 1972. - v. 15.

68. Philip J.R., Smiles D.E. //Adv. Colloid Interface Sei. - 1982. - 17.

69. Richardson J.F., Zaki W.N. Sedimentation and fluidization: Part 1//Trans. Inst. Chem. Engrs. - 1954. - 32.

70. Roco M.C. Visualisation of particulate two - phase flow//Flow Visualizat. 6. Proc/ 6th Int. Symp., Okt. 5 - 9, 1992. - Yokohama - Berlin etc. -1992.

71. Rubinstein J., Keller J.B. Sedimentation of a dilute suspension//Phys. Fluids. A. - 1989. - 1. - JV4.

72. Sakaguchi T., Minagawa H., Tomiyama A., Shakutsui H. //Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. B. - 1990. - 56. - 7V521.

73. Sanchez - Palencia E. Current problems in high concentration suspensions/ /J. mec. theor. et appl. - 1985. - 5.

74. Shibata J., Doi S., Sano M., Nishimura S. A methodological approach to the stability evaluation of coal - water slurries//J. Mining and Met. Inst. Jap. - 1988. - 104. - iV1207.

75. Shirato M., Kato H., Kobayashi K., Sakazaki H. Analysis of settling of thick slussies due to consolidation//J. Chem. Eng. Jpn. - 1970. - 3.

76. Soo S. L., Fluid dynamics of multiphase flow//Int., J. Sci. Eng., 1. - 1984.

77. Smoluchowski M. On the practical applicability of Stokes' law//Proc. 5th Inter. Cong. Math. - 1912. - 2. - N192.

78. Stokes G.G. On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums//Trans. Cambridge Philos. - 1851. - soc. 9.

79. Tanaka T., Torigol K., Kawaguchi T., Tsuji Y. Measurement of solid concentration in suspension using supersonic waves//Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. B. - 1991. - 57. - 77534.

80. Tianshou Cao. Size separation for hard microparticles//Mater. Sci. and Eng. A. - 1988. - 106. - N1-2.

81. Tiller F.M., Khatib Z. //J. Colloid Interface Sci.- 1984. - 100.

82. Truesdell C. Sulle basi della termodinamica//Acad. Naz. dei Lincei. Rend, cl. sci. fis., mat. e natur. - 1957. - ser. 8.

83. Watanabe K., Ohira H., Kato H. Drag reduction phenomenon in water -fine solid particle suspension//Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. B. - 1992. -58. - iV548.

84. Wang G., Ni J. Experimental study on the velocity distributions in two -phase flows//J. Hydraul. Eng. - 1992. - N11.