Динамика механических стержневых систем со звеньями переменной длины применительно к эндо- и экзоскелетам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор наук Борисов Андрей Валерьевич

• Борисов Андрей Валерьевич
• доктор наук
• 2018

Оглавление диссертации доктор наук Борисов Андрей Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОПИСАНИЕ ИМЕЮЩИХСЯ МОДЕЛЕЙ ЭКЗОСКЕЛЕТОВ, АНТРОПОМОРФНЫХ РОБОТОВ И ПРИЧИН, ВЫЗЫВАЮЩИХ

ИЗМЕНЕНИЕ ДЛИНЫ ЗВЕНА

§ 1.1. Концепции создания и использования экзоскелета совместно с

эндоскелетом в биологических системах

§ 1.2. Имеющиеся модели экзоскелетов

§ 1.3. Научная литература по моделированию опорно-двигательного аппарата человека, созданию экзоскелетов и антропопморфных роботов

1.3.1. Литература по теоретической механике

1.3.2. Литература по исследованию и моделированию опорно -двигательного аппарата человека, его элементов и движений

1.3.3. Работы по моделированию других живых существ и их движений и возможности применения имеющихся моделей к экзоскелетам и антропоморфным роботам

§ 1.4. Обобщение решения задачи об изменении размеров сферических

шарниров стержневой механической системы

§ 1.4.1. Постановка задачи

§ 1.4.2. Решение задачи о совместных деформациях слоев в

многослойном шарнире, состоящем из толстостенных сфер

§ 1.4.3. Численный анализ модели сферического шарнира-сустава

§ 1.5. Причины вызывающие изменение длины звена человека

Выводы по главе

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПОРНО-ДВИГАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ЧЕЛОВЕКА СТЕРЖНЯМИ ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ

С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ МАССАМИ

§ 2.1. Модель звена с массами в шарнирах-суставах и между ними

2.1.1. Описание модели звена и составление дифференциальных уравнений движения

2.1.2. Обобщения дифференциальных уравнений движения на случай модели с п подвижными звеньями

§ 2.2. Модель звена с произвольным количеством сосредоточенных масс на стержне

2.2.1. Описание модели звена и составление дифференциальных уравнений движения

2.2.2. Обобщения дифференциальных уравнений движения на случай модели с п подвижными звеньями и произвольным количеством масс

на звене

2.2.3. Аналитическое исследование модели

§ 2.3. Дифференциальные уравнения движения плоских стержневых систем с сосредоточенными массами на стержне в безопорной и

двухопорной фазах

§ 2.4. Трехмерные модели стержневых систем со звеньями переменной длины с сосредоточенными массами

2.4.1. Описание модели звена и составление дифференциальных уравнений движения

2.4.2. Матричная форма записи дифференциальных уравнений движения

2.4.3. Обобщения матриц уравнений для трехмерных моделей стержневых механических систем со звеньями переменной длины

2.4.4. Построение матриц уравнений для трехмерных моделей стержневых систем по соответствующим матрицам для плоских моделей

§ 2.5. Матричный метод составления дифференциальных уравнений

движения модели экзоскелета со звеньями переменной длины

§ 2.6. Рекуррентный алгоритм составления дифференциальных уравнений движения

§ 2.7. Модель антропоморфного механизма с многозвенными стопами

Выводы по главе

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКЗОСКЕЛЕТА И АНТРОПОМОРФНОГО РОБОТА МНОГОЗВЕННЫМИ СТЕРЖНЕВЫМИ МЕХАНИЧЕСКИМИ

СИСТЕМАМИ СО ЗВЕНЬЯМИ ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ

§ 3.1. Модель звена экзоскелета с одним участком переменной длины и абсолютно твердым весомым стержнем для моделирования одноопорной фазы ходьбы

3.1.1. Описание модели звена и составление дифференциальных уравнений движения в абсолютной системе координат

3.1.2. Алгоритм составления дифференциальных уравнений движения

с использованием локальной системы координат

3.1.3. Обобщения дифференциальных уравнений движения на случай модели с n подвижными звеньями

3.1.4. Аналитическое исследование модели

§ 3.2. Модель звена экзоскелета и антропоморфного робота с двумя невесомыми участками переменной длины и абсолютно твердым весомым стержнем

3.2.1. Описание модели звена и составление дифференциальных уравнений движения в абсолютной системе координат

3.2.2. Алгоритм составления дифференциальных уравнений

движения с использованием локальной системы координат

3.2.3. Обобщения дифференциальных уравнений движения на случай модели с n подвижными звеньями

§ 3.3. Модель телескопического звена

§ 3.4. Дифференциальные уравнения движения модели экзоскелета в

безопорной и двухопорной фазах

§ 3.5. Трехмерные модели стержневых систем со звеньями переменной длины с абсолютно твердым весомым стержнем

3.5.1. Описание модели звена и составление дифференциальных уравнений движения

3.5.2. Матричная форма записи дифференциальных уравнений движения

3.5.3. Обобщения матриц уравнений для трехмерных моделей стержневых систем типа экзоскелета и антропоморфного робота со звеньями переменной длины

§ 3.6. Рекуррентный метод построения уравнений стержневой

механической системы со звеньями переменной длины

§ 3.7. Сравнительный анализ методов получения дифференциальных

уравнений движения

§ 3.8. Применение разработанного метода к модели плоского многозвенного механизма со звеньями переменной длины, движущегося по горизонтальной плоскости

3.8.1. Модель с произвольным количеством масс на звене переменной длины

3.8.2. Моделирование управляемого движения механизма на плоскости

3.8.3. Модель с телескопическими звеньями

Выводы по главе

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ЭНДО- И

ЭКЗОСКЕЛЕТА

§ 4.1. Синхронизация звеньев кинематической цепи

4.1.1. Модельные задачи исследования синхронизации звеньев кинематической цепи при циклических движениях

4.1.2. Синхронизация в многозвенной кинематической цепи при циклических движениях

4.1.3. Синхронизация в кинематической цепи при поступательном и вращательном движениях точки подвеса

§ 4.2. Численное исследование динамики экзоскелета с пятью подвижными звеньями переменной длины

4.2.1. Исследование модели звена экзоскелета переменной длины с одним участком переменной длины и абсолютно твердым весомым стержнем

4.2.2. Исследование модели звена экзоскелета переменной длины с двумя участками переменной длины и абсолютно твердым весомым стержнем

§ 4.3. Учет влияния собственной массы экзоскелета на его движения с

человеком внутри и корректировка управления

§ 4.4. Сравнительный анализ поведения экзоскелетов с различными

моделями звеньев переменной длины

§ 4.5. Сравнительный анализ алгоритмов управления экзоскелетом со звеньями переменной длины

4.5.1. Управление экзоскелетом с помощью эмпирически определенных кинематических характеристик движения

4.5.2. Управление экзоскелетом с помощью аналитически задаваемых кинематических характеристик движения

4.5.3. Сравнительный анализ управления движением при различном распределении масс на звене

§ 4.6. Пространственная модель экзоскелета со звеньями переменной

длины

§ 4.7. Синтез экзоскелета со звеньями переменной длины для

опорно-двигательного аппарата человека

§ 4.8. Теоретико-механическая модель экзоскелета

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика механических стержневых систем со звеньями переменной длины применительно к эндо- и экзоскелетам»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования обусловлена тем, что в мире существует стабильный интерес к созданию экзоскелетов. Они могут быть использованы в военных целях, производственных, бытовых, медицинских приложениях, для разработки антропоморфных роботов, близких к локомоциям человека. Механические системы, состоящие из стержней с шарнирами, позволяющими изменять геометрию под действием внутренних управляющих усилий и наложенных внешних связей, служат основой для моделирования и практической реализации робототехнических систем - от манипуляторов до экзоскелетов и антропоморфных роботов. Используемые при создании антропоморфных механизмов абсолютно жесткие звенья приводят к модели, далекой от свойств опорно-двигательного аппарата человека. В реальных антропоморфных системах звенья кинематических цепей в процессе функционирования меняют свою длину, что вызывает необходимость исследования механических моделей со звеньями переменной длины. При этом увеличивается число степеней свободы механизма, и возникают трудности с составлением систем дифференциальных уравнений движения. Создание моделей механизмов, близких к реальным биологическим системам, происходит также за счет увеличения количества звеньев. Эти два фактора создают необходимость разработки новых методов, автоматизирующих составление уравнений движения рассматриваемых систем. В теоретическом аспекте актуальность темы диссертационной работы обусловлена тем, что впервые проводится моделирование антропоморфных механизмов на базе стержневых систем со звеньями переменной длины. Практическая значимость темы исследования вызвана возрастающим интересом к динамическим возможностям человеко-машинных механических систем. Вышеперечисленные факторы позволят создать экзоскелеты и антропоморфные механизмы, близкие к движениям человека, что обеспечивает актуальность данного исследования.

Цель диссертационной работы - создание моделей звеньев переменной длины применительно к динамике стержневых механических систем с шарнирами с изменяемой геометрией под действием внутренних управляющих уси-

лий и наложенных внешних связей, создание матричного метода и рекуррентного алгоритма получения дифференциальных уравнений движения усложненных систем, что составляет новое направление в динамике стержневых систем, применительно к движению эндо-, экзоскелетов и антропоморфных роботов.

Задачи исследования:

— провести анализ существующих подходов к созданию моделей эндо-, экзоскелетов и антропоморфных роботов с целью выявления актуальных проблем в данной области, установить причины, приводящие к изменению длины звена в опорно-двигательном аппарате человека, разработать для исследования изменения геометрии шарниров приближенную модель шарнира-сустава в виде многослойной системы сфер;

— разработать модели звеньев переменной длины для исследования опорно-двигательного аппарата человека, моделирования экзоскелета и антропоморфного робота, составить для них дифференциальные уравнения движения с учетом ветвления звеньев в плоском и пространственном случаях для одноопорной, безопорной и двухопорной фазах движения;

— разработать матричный метод и рекуррентный алгоритм составления дифференциальных уравнений движения антропоморфных систем со звеньями переменной длины и изменяемой геометрией под действием внутренних управляющих усилий и наложенных внешних связей;

— исследовать явление синхронизации звеньев кинематической цепи при установившемся движении для комфортабельного движения человека в эк-зоскелете;

— численно решить системы дифференциальных уравнений движения механических стержневых систем с разработанными моделями звеньев переменной длины, провести сравнительный анализ движения моделей механизмов с различными конструкциями звеньнев; разными алгоритмами управления движениями экзоскелета: теоретическим и на основе эмпирической информации о движениях человека; различным расположением масс на звене; моделей со звеньями постоянной и переменной длины.

— применить разработанные методы создания многозвенных стержневых механических систем к модели плоского змееподобного робота со звеньями переменной длины.

Объектом исследования являются многозвенные антропоморфные механические стержневые системы со звеньями переменной длины.

Предметом исследования являются методы построения усложненных антропоморфных систем типа эндо-, экзоскелета с произвольным конечным количеством звеньев переменной длины и изменяемой геометрией под действием внутренних управляющих усилий и наложенных внешних связей, приближенных к реальным.

Методы исследования. Для решения вышеуказанных задач и достижения цели использовались методы теоретической механики, численно-аналитические методы, теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, математического моделирования, нелинейной динамики, эмпирические данные о человеке при анализе механики движения.

Техническое обеспечение: использовалась система компьютерной математики «Mathematica 6.0.3», номер лицензии: L3259-1206, приобретенная за счет средств Гранта Президента Российской Федерации, номер МК -2524.2008.1.

Достоверность полученных результатов, научных положений, выводов и рекомендаций математически строго обоснована:

— использованием классических положений теоретической механики и современных методов математического моделирования;

— соответствием полученных результатов численных расчетов экспериментальным данным и результатам, полученным другими авторами.

Научная новизна исследования заключается в том, что оно является первым комплексным исследованием механики опорно-двигательного аппарата человека, экзоскелета предназначенного для создания человеко-машинной системы совместно функционирующей и моделирующего человека антропоморфного робота. На основе имеющихся моделей экзоскелетов и изучения

свойств эндоскелета были впервые выявлены проблемы, препятствующие комфортабельной эксплуатации экзоскелетов: отсутствие изменения длины звеньев при ходьбе и отсутствие синхронизации при движении человека в экзоскелете.

В диссертации впервые было введено понятие звена переменной длины в рамках теоретической механики, что отличает его от моделей теории упругости. Предложен комплекс моделей звеньев переменной длины применительно к моделированию механических свойств опорно-двигательного аппарата человека и созданию экзоскелета или антропоморфного робота. В предложенной модели изменение длины звена является дополнительным управлением в механизме наряду с изменением углов между звеньями, что является новым в моделировании антропоморфных систем и отличает данную работу от имеющихся. Для реализации рассматриваемых моделей с большим количеством звеньев разработаны эффективные скоростные методы составления дифференциальных уравнений движения, что особенно востребовано для трехмерных моделей.

Проведен численный анализ разработанных моделей со звеньями переменной длины в разных режимах функционирования, управления и с различными параметрами системы, получены практические рекомендации к созданию экзоскелетов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Модели управляемых звеньев переменной длины, разработанные для моделирования опорно-двигательного аппарата человека, создания экзоскелета и антропоморфного робота.

2. Общие закономерности в структуре матриц, входящив в матричную форму записи дифференциальных уравнений движения в двухмерном и трехмерном случаях, их обобщения для стержневых механических систем со звеньями переменной длины и изменяемой геометрией под действием внутренних управляющих усилий и наложенных внешних связей типа эндо-, экзоскелета и антропоморфного робота.

3. Эффективные матричный метод и рекуррентный алгоритм записи дифференциальных уравнений движения двухмерных и трехмерных моделей типа эн-

до- и экзоскелета, новый способ перехода от уравнений плоской модели к уравнениям пространственной модели такой же конструкции.

4. Расширение класса рассматриваемых систем, к которым применимы разработанные модели звеньев переменной длины для исследования модели плоского механизма движущегося по горизонтальной плоскости и новый способ его перемещения плоских змееподобных механизмов, основанный на продольных и поперечных волнообразных движениях тела плоского робота.

5. Явление синхронизации звеньев кинематической цепи стержневой механической системы при колебаниях в процессе движения.

6. Модели управляемого движения экзоскелета со звеньями переменной длины, сравнительный анализ динамики моделей с различными параметрами.

7. Качественные и количественные характеристики модели и рекомендации для создания теоретико-механической модели экзоскелета в виде робототехниче-ской мехатронной системы, близкой по своим локомоциям к движениям человека.

Личный вклад соискателя. Основные результаты и выводы диссертации получены автором самостоятельно. Некоторые публикации осуществлены в соавторстве при непосредственном участии автора.

Теоретическая значимость полученных результатов. Работа носит теоретический характер. Её значимость заключается в разработке новых моделей звеньев переменной длины и нового способа записи систем дифференциальных уравнений движения стержневых механических систем, на основе матричного метода и рекуррентных алгоритмов усложнения модели вследствие увеличения количества подвижных звеньев с учетом изменения их длины.

Практическая значимость полученных результатов. Результаты диссертационного исследования позволят разрабатывать, учитывающие антропометрические особенности человека, экзоскелеты различного назначения, протезы в медицине, антропоморфные роботы, скафандры, внедрение которых внесет значительный вклад в развитие различных отраслей промышленности, медицины, спорта страны и повышение ее обороноспособности.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационного исследования использованы в учебном процессе филиала ФГБОУ ВО "НИУ "МЭИ" в г. Смоленске (приложение 3), в работе предприятия ООО «СВ-ГРУПП» г. Смоленск (приложение 4), в «Центральном институте травматологии и ортопедии им. Н.Н. Приорова», г. Москва (приложение 5).

Основные положения, выводы и результаты научного исследования докладывались и обсуждались на международных научных конференциях в Москве, Новосибирске, Новокузнецке, Смоленске, Сочи, Туле в 2006-2017 годах, на международной конференции «Mechanika 2009. 14th international conference. April 2-3, 2009 Kaunas University of Technology, Lithuania», на Международной научно-технической конференции «Экстремальная робототехника» в 2010 и 2017 гг., на Российской конференции по Wolfram технологиям, Санкт-Петербург в 2015 году (http://www.wolfram.com/events/technology-conference-ru/2015/), на заседаниях научного семинара кафедры теоретической механики БНТУ (Минск, 2009-2018 годах), научном семинаре «Математическое моделирование процессов динамики» (2014, 2017 г., Москва, РУДН), научном семинаре имени академика А.Ю. Ишлинского по прикладной механике и управлению (2014 год, Москва, МГУ), научном семинаре «Теория управления и динамика систем» (2015 год, Москва, ИПМех РАН), научном семинаре «Динамика относительного движения» на механико-математическом факультете МГУ (2016 год, Москва, МГУ), научном международном семинаре по ТММ имени И.И. Артоболевского (2017 год, Москва, ИМАШ РАН им. А.А. Благонравова).

На конкурсах молодых ученых Смоленской области автор занял 2-е место в 2009 г., 1-е место в 2010 г. и 1-е место в 2012 г. Монография автора [24] стала лауреатом Всероссийского конкурса на лучшую научную книгу 2012 года.

«Программа, для реализации матричного и рекуррентного алгоритмов составления систем дифференциальных уравнений движения стержневых механических робототехнических систем», разработанная в диссертации, зарегистрирована в государственном Реестре программ для ЭВМ (Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018617640) (приложение 6).

Работа выполнялась при поддержке Гранта Президента Российской Федерации для молодых ученых - кандидатов наук (номер МК-2524.2008.1), Грантов Российского фонда фундаментальных исследований (номера 13-01 -97512, 15-41-03224 р_центр_А, 16-41-670740 р_а, 18-01-00139 А).

Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликовано 36 научных работ, среди которых 2 монографии, 1 учебник с грифом Министерства образования Республики Беларусь [188], 14 статей в научных журналах из списка ВАК, 19 статей в других научных журналах, сборниках и материалах конференций. Общий объем опубликованных материалов составляет около 700 страниц.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и шести приложений. Объем диссертации составляет 257 страниц. Список литературы содержит 344 наименования отечественных, зарубежных авторов и интернет-ресурсов.

Глава 1. ОПИСАНИЕ ИМЕЮЩИХСЯ МОДЕЛЕЙ ЭКЗОСКЕЛЕТОВ, АНТРОПОМОРФНЫХ РОБОТОВ И ПРИЧИН, ВЫЗЫВАЮЩИХ ИЗМЕНЕНИЕ ДЛИНЫ ЗВЕНА

§ 1.1. Концепции создания и использования экзоскелета совместно с эндоскелетом в биологических системах

Целью данной главы является описание и анализ имеющихся моделей эн-до- и экзоскелетов, реализованных в виде практических разработок и теоретических моделей, имеющихся в открытых источниках информации, определение недостатков имеющихся моделей и нерешенных задач, обобщения решения известной задачи применительно к антропоморфным структурам.

Эндоскелет - механизм, обеспечивающий опору, поддержание формы тела, движение за счёт внутреннего каркаса. Пример эндоскелета в природе -костная система животных и человека (рис. 1.1). Пример эндоскелета в фантастике - металлический каркас робота Терминатора из одноимённого фильма, несущий на себе внешний органический покров (рис. 1.2).

природе [303] Рис. 1.2. Эндоскелет в фантастике [337,340]

Экзоскелет - технический механизм, предназначенный для передвижения в нём человека и увеличения возможностей пользователя за счёт внешнего каркаса. Экзоскелет повторяет биомеханику человека при движениях. В природе его имеют насекомые.

В живой природе, при малых размерах животного, экзоскелет эффективнее эндоскелета. При больших размерах - эффективнее эндоскелет, т.к. крупному живому существу с экзоскелетом сложно двигаться и дышать. Исключение - человек, который на протяжении своей эволюции дополнял естественный эндоскелет различного рода экзоскелетами: одежда, доспехи, машины и т.д., за счёт чего серьёзно увеличивал свои возможности.

Идея увеличения силы и выносливости человека зародилась в древнее время. Один из способов решения данной задачи заключался в создании защитной амуниции для воинов Древнего мира, типа экзоскелета. В дальнейшем они развились в боевые доспехи средневековых рыцарей, которые были полностью закрыты железом, включая и лошадь. Фактически это были готовые экзоскеле-ты, которым не хватало только развитого управления и приводов, увеличивающих силу воина [43].

Медиками всегда применялись шины при переломах, позже гипс. Спортсмены использовали повязки, фиксирующие и укрепляющие суставы, которые в необходимые моменты увеличивали силу. Все это применяется и до сегодняшнего дня. По сути, это элементы экзоскелета, локально укрепляющие, защищающие или увеличивающие силу человека.

Жесткая структура для поддержания формы в существующих биосистемах, в процессе эволюции живых оргпнизмов, реализовывалась путем создания природой эндо- или экзоскелетов. Каждый из этих вариантов имеет свои плюсы и минусы. Экзоскелет в виде панциря защищает внутренние органы, создавая для их функционирования более комфортные условия по сравнению с эндоске-летом, который не создает силовой панцирной защиты, но зато предоставляет для организма большее число степеней свободы. В процессе эволюции живых существ, возникли позвоночные, строение которых допускает большое число степеней свободы. Это дает возможность реализовать более сложное поведение в сравнении с экзоскелетными животными и, соответственно, эндоскелетные имеют больше шансов выжить. Человек биологически принадлежит к системе эндоскелетных, но история его эволюции показывает, что идея дополнить эн-доскелет экзоскелетом (каркасом) постоянно реализовывалась. В ХХ веке со-

здаются технические объекты типа танков, бронетранспортеров и др. для военных, которые до сих пор развиваются по пути создания систем панцирного (каркасного) типа, целью которых является защита и создание комфортных условий для человека внутри технического объекта. Однако в технике, так же как и в биологии, системы панцирного типа обладают теми же недостатками, что и биологические системы. Идея создания машин эндоскелетного типа, обладающих большим числом степеней свободы, всегда привлекала к себе внимание ученых, инженеров и практиков, однако вопрос обеспечения надежности, безопасности и комфорта создает на пути создания таких машин большие трудности. Сочетание двух видов скелетов приведет человека в будущем к физическим сверхвозможностям [43].

Теоретические модели эндоскелета могут быть применены для создания антропоморфных роботов. Большое число степеней свободы в опорно-двигательном аппарате человека приводит к неустойчивости движения. Поэтому для механизма антропоморфной структуры требуется сложная управляющая система. Следовательно, актуальна и необходима для реализации модель управления, в которой будут объединены эндоскелет и экзоскелет, чтобы восстанавливать или усиливають или физические возможности человека.

В эндоскелете усилия мышц передаются с помощью стержневых кинематических цепей с шарнирами. Опорно-двигательный аппарат человека является системой рычагов первого и второго рода, соединенных шарнирами. Стержневые механические системы с шарнирами описыватся с использованием обобщенных координат. При этом положение стержня определяется линейными координатами центра масс, угловыми координатами, изменениями длины. В совокупности они характеризуют положение стержня в пространстве. Число степеней свободы уменьшается за счет наложения связей в виде шарниров.

Разработки экзоскелетов и антропоморфных роботов в настоящее время ведутся в различных направлениях. Сгруппируем их таким образом:

- военное направление - киберсолдаты, экзоскелеты для повышения физических возможностей военных, как для полного облачения человека, так и для отдельных частей тела. Военный экзоскелет, включая элементы защиты,

предназначается в основном для повышения эффективности опорно-двигательного аппарата солдата. В сочетании с другими средствами, усиливающими профессиональные боевые качества солдата, офицера, это позволит уменьшить численность армии с одновременным повышением ее боевой эффективности [43];

- медицинское направление - разработка экзоскелетов для людей утративших способность к самостоятельному передвижению, восстанавливающий полностью функции опорно-двигательного аппарата; создание частей экзоске-лета для восстановления подвижности отдельных частей эндоскелета человека; изготовление протезов для полной замены звеньев опорно-двигательного аппарата; лечебная физкультура - для тренировки после заболеваний, связанных с временным ограничением подвижности; экзосклеты, устанавливаемые при травмах, например, переломах, фиксирующие звено в одном месте, позволяющие, в отличие от гипсовой фиксации, осуществлять движения травмированным звеном и нагружать его;

- геронтологическое направление - экзоскелеты, компенсирующие ослабевающие двигательные возможности пожилого человека, частично разгружающие опорно-двигательный аппарат человека или его отдельные звенья и помогающие ему передвигаться;

- спортивное направление - использование экзоселетов в тренировочном процессе и защита опорно-двигательного аппарата спортсмена от чрезмерных перегрузоки травм;

- бытовое и производственное направление - экзоскелеты, используемые для работы, при которой необходимы продолжительне или значительные физические усилия.

Используя новые материалы и технологии в перспективе возможно создание антропоморфных роботов и экзоскелетов со звеньями переменной длины, которые бы максимально были близки к движениям человека, но в отличие от современных роботов и экзоскелетов, созданных на основе абсолютно твердых звеньев, имели бы гораздо меньшие энергетические затраты.

§ 1.2. Имеющиеся модели экзоскелетов

До появления современных компьютеров, возможности создания математических моделей антропоморфных механизмов были ограничены. В историческом плане, отметим модель выдающего русского математика и механика П.Л. Чебышева (1821 - 1894) - основоположника русской школы теории механизмов и машин, предложившего впервые в мире конструкцию "стопоходящей" машины [129] (рис. 1.3). Стопоходящая машина получила всеобщее одобрение на Всемирной выставке в Париже 1878 года.

Рис. 1.3. Фотография "стопоходящей" машины П.Л. Чебышева [335]

Первый экзоскелет стали разрабатывать в 60-х годах прошлого века [306] в американской фирме General Electric. Это была гидравлическая конструкция, под названнием Hardiman массой около 700 кг. При этом экзоскелет обладал низкой скоростью движения и грузоподъемностью.

Курс на роботизацию и кибернетизацию войны, потребовал нового оснащения для живых бойцов. В США перспективные разработки решили не отдавать одной фирме, а распределили между нескольким конструкторским коллективам с выделением по 20 млн. дол. в год каждому. Результатом стал быстрый и реальный прорыв в области разработки экзоскелетов. Примерно за десять лет работы ученые представили различные конструкции экзоскелетов. DARPA (Defense Advanced Research Projects Agency - агентство передовых оборонных исследовательских проектов - это агентство Министерства обороны США, от-

вечающее за разработку новых технологий для использования в вооружённых силах) финансировал разработку экзоскелетов [331].

В результате разработки фирм Raytheon и Sarcos был создан экзоскелет XOS. У показанного образца имелись следующие недостатки: большой расход электроэнергии, ограниченный набор движений. Затем было еще несколько версий (рис. 1.4), в которых удалось снизить энергопотребление и увеличить двигательные возможности. Однако, и последняя модель экзоскелета пока не соответствует всем требованиям Darpa [311]. Не удалось добиться настоящей автономности вследствие больших энергозатрат при движении. Поэтому возможной сферой применения XOS станут хозяйственные работы.

Конструкторы из Калифорнийского университета пошли по другому направлению. Они выделили три основные функции солдата: стрелять, бегать и носить. Для двух последних функций разрабатывается экзоскелет - усиления ног и спины солдата. В 2004 году начали разрабатывать экзоскелет HULC (рис. 1.5). Производство экзоскелета осуществляется фирмой Lockheed Martin [307]. Экзоскелет позволяет человеку переносить грузы массой до 90 кг и бегать со скоростью 16 км/ч. HULC работает автономно. Заряда литиевой батареи хватает на 72 часа активных действий.

Рис. 1.4. Экзоскелет XOS-4 [312] Рис. 1.5. Экзоскелет HULC [300]

Если речь идет о здоровом человеке, то достаточно системы управления, получаемой от человека. Но если человек болен, или пострадал во время боя и нет возможности считать управляющие импульсы, а затем их просто усилить, то экзоскелет должен иметь возможность самостоятельного (или частично самостоятельного, если повреждена только часть) передвигаться, сообразуясь с окружающей обстановкой, что в данных моделях не учтено.

Над военными образцами экзоскелетов работают многие научные коллективы разных стран. Разрабатываются экзоскелеты медицинского назначения и их элементы. В этом направлении работают ученые разных стран. Имеются образцы медицинских экзоскелетов, возвращающих инвалидов к полноценной жизни.

На базе HULC выпускается экзоскелет eLEGS (рис. 1.6) фирмой Berkeley Bionics (Беркли, Калифорния), предназначенный для людей с ограниченными физическими возможностями [318].

Рис. 1.6. Экзоскелет eLEGS Рис. 1.7. Японский

для людей с ограниченными фи- экзоскелет

зическими возможностями [327] HAL-5 [328]

Активно работают над экзоскелетом японские инженеры и ученые. В производстве находится модель HAL-5 (Hybrid Assistive Limb, гибридная вспомогательная конечность) японской корпорации Cyberdyne [280], имеющая и ножные, и ручные усилители (рис. 1.7). Она может работать в автономном режиме, а цена устройства не превышает 60 тысяч долларов. Его создавали в помощь врачам, спасательным службам и инвалидам [304]. Он используется для реабилитации и социальной адаптации людей с проблемами опорно -двигательного аппарата. Экзоскелет HAL стал базовой моделью для проведения различных исследований. Так, Tsukahara [280] в роботе-экзоскелете HAL изучили синхронизацию и управление, основанное на изменении положения центра масс и силы реакции. Позже они добавили датчики скорости в систему управления экзоскелетом [281]. В работе представленной Hassan [232] экзоскелет HAL управляется на основе объединения сигналов создаваемых верхними и нижними конечностями.

В Норвегии разработана опорная конструкция, названная экзоскелет Atlas [338], (рис. 1.8). Она поддерживает скелет человека, чтобы исключить травмы, возникающие вследствие повышенных физических нагрузок. В шарнирах-суставах экзоскелета имеются электродвигатели, а установленные датчики определяют, где возникает нагрузка в данный момент времени. Экзоскелет позволяет перемещать грузы массой до 100 кг.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Борисов Андрей Валерьевич, 2018 год

А, - -

л^)2 Л 2 СЦ с ф с 2

\2

\01С12 С1 С2 Г

О, -

/

^ -

01С12 С1 С2 Л 2 (CГ) У

0 — Л2 Б12 С1 ^ф^С? 0

0

2 12 1 2 — т2 С1С2 0

V "'2 12 1 2 Л С

к, -

(тх + т2) Б?

V т2 У

/

н, -

0 m2(SГCГ -СфС?^2?)

Vт2 (С? SГ С12 ^ С2 )

Еф - Аф, Кф - (0, 0)Т, Мф - (М1ф -М2ф, М2ф)г, М? - (М1? -М2?, М^)7, М, -Матрицы для экзоскелета с тремя подвижными звеньями переменной длины в пространстве ввиду громоздкости здесь не приводятся.

3.5.3. Обобщения матриц уравнений для трехмерных моделей стержневых систем типа экзоскелета и антропоморфного робота

со звеньями переменной длины Обобщим по индукции полученные матрицы для произвольной и-звенной трехмерной системы со звеньями переменной длины в виде абсолютно твердого весомого стержня и невесомой части, в которой реализуется изменение длины звена.

0

Введем обозначения:

Zi = h + ¡t S mk + hUm + 2 I mk ) + S mk , (i = j), k=i+1 k=i+1 k=i

n n [1 i = j

П = ¡/W2 + S mk ) + tj Smk , (i ф j), bij = Г . : (3.180)

k=j+i k=j L0 , i ф j,

n

= (¡j + j S mk , h = ¡г + 4, (i = 1,2, n).

k=i

Рассмотрим уравнение (3.177). Матрица Аф(ф,\|/,^), является симметрической, поэтому достаточно привести только диагональные элементы и наддиаго-нальные, т.е., если i - номер строки, j - номер столбца, то i,j = 1,2, ..., n, при этом j > i.

Элементы симметрической матрицы Аф при j > i имеют вид:

афф = (bjZi + (1 - 5y)j)cos^ - фу)соБ |cos (3.181)

Остальные элементы: аф = аф.

J1 iJ

Элементы несимметрической матрицы Вф имеют вид: Л j h яп(ф,- - ф j) cos |i sin | j, J > / , Л,-h j ^Чфг- - ф j) cos Isin I j, j < *•

Элементы несимметрической матрицы Сф имеют вид: 0i ^ф,.- ф j) cos iicos | j, j > ^ Л,- ^п(ф,- - ф j) cos Icos I j, j < *• Элементы кососимметрических матриц = Еф при j > i имеют вид:

dj = j ,ЯШ(ф,- - фу)^ |cos Щ-. (3. 184)

Остальные элементы: d? = 0, dф = - df-.

ii ■> ji ij

Элементы несимметрической матрицы F имеют вид:

(М j+(1 - bij )0i ^^Ф,- - Ф j)cos iicos I j, j > и

(Sj-Л j + (1 - bij H ^fai -ф j)cos Ii cosl j , j < *• (3185)

^ И

(3.182)

с ф =

ч

(3.183)

f

i

n

n

n

gj =

« + (1"5«jjai)cos(9i -фj)cosi cosyj, j > «, (j j+(1 - 5j j)cos(?«- Ф j)cos i« cosi j,j <«.

h?

Элементы несимметрической матрицы Нр имеют вид:

Ч )С08у. вшуу,у >

Л. БШ^,- - р у ) у. вШ у у, у < ..

Матрица Кр является нулевой.

Элементы столбца обобщенных сил Мр имеют вид:

- Мр - М(у+1)р. Элементы несимметрической матрицы Ау имеют вид:

a.

w

- Л j sin(?i - Ф j) sin |«cos | j,j >«,

- Л«a j sin(?i - Ф j) sin Icos I j,j < «•

Элементы симметрической матрицы при j > l имеют вид: ¿«j = (SjZ + (1 - 8lj)nj-ai-)(cos(?l- - ?j)sin ysin |j + cos ycos

Остальные элементы: ¿^ = Ш.

J1 «

Элементы несимметрической матрицы Cxv имеют вид:

с1 =

«j

- 0«(cos(?«- Ф j) sin I«cos I j- cos Isin I j),j >«, - Л«(cos(?«- Ф j) sin I«cos I j- cos I«sin I j),j < «•

Элементы несимметрической матрицы Dw имеют вид:

tj i + (1 - 8yj h)cos(?« - Ф J ) sin I«cos I J ,j >«,

l (j«+(1 - 5«j Ha j )cos(Фi- ф j) sin I«cos I j,j < «•

Элементы несимметрической матрицы ^ имеют вид:

Л J (cos(Фi - Ф J ) sin I«cos I J - cos I«sin I J ),j >«, Л«a j (cos(Фi - Ф J ) sin I«cos I J - cos I«sin I J ),j < «•

Элементы несимметрической матрицы Fw имеют вид:

fI _

f ij

0i sin(Фi - Ф j ) sin Ii cos I j , j > «, Л« sin(Фi -Фj)sinI« cosIJ,j < «•

(3.186)

(3.187)

(3.188)

(3.189)

(3.190)

(3.191)

(3.192)

(3.193)

Элементы кососимметрической матрицы Су при у > - имеют вид: ёУ - пА^т^- - р^шу^шуу.

(3.195)

Остальные элементы: - 0, ёу - - ёу Элементы несимметрической матрицы Н имеют вид:

Щ, И

(8.уЛ. +(1 - 8.у )0г )(С0s(фг - р у) вш у. вт у у + С0Б у. С0Бу у),у >

(8гуЛг + (1 -8у )Л. Х™^. -ру у. 8Ш у у + С0Б у. С0Бу у ),у < .. (3196)

Матрица Ку является столбцом. Достаточно использовать только один индекс - номер строки:

ку - у-. (3.197)

Столбец обобщенных сил Му имеет вид:

цу - Му - М(-+1)у. (3.198)

Элементы несимметрической матрицы А^ имеют вид:

а ^ =

а.у

Л у 81п(р. - р у )с0Б у С0Бу у,у > 0у 81п(р. -ру ) С0Б у. С0Буу,у < ..

Элементы несимметрической матрицы В^ имеют вид:

ы

-Лу (с0в(р. - р у) С0Б у. бш у у - Бт у. С0Бу у ), у >

- 0 у (^Б^. - р у ) С0Б у. Бт у у - Бт у. С0Б у у ), у

> <..

Элементы симметрической матрицы С при у > - имеют вид:

Л -

п п

су - 8у 2 + (1 - 8у) 2 (^(р,- - Фу)cosycosуу + sinysinу).

к=у к=у

Остальные элементы: с | - с ^

Ч

Элементы несимметрической матрицы Д имеют вид:

- (8уЛ. +(1 - 8у )Л у )с0Б(р. - р у) С0Б у.С0Б у у,у > -(8уЛ. + (1 -8у )0у )с0Б(р. -ру )С0Бу С0Буу,у < ..

Элементы несимметрической матрицы Е^ имеют вид:

8.уЛ. +(1 - 8.у )Л у - р у )с0Бу С0Бу у + бш у. бш у у),у >

8.уЛ. + (1 -8.у )0 у -р у ) С08у. С0Бу у + БШу БШу у ),у < ..

(3.199)

(3.200)

(3.201)

(3.202)

Элементы кососимметрической матрицы F^ при j > i имеют вид:

fj = 2mk sin(9i - 9j)coslisin^j. (3.204)

k=j

5 - n ^ -

и

Остальные элементы: f. = 0, fjt = - fj

Элементы несимметрической матрицы имеют вид:

g5

6 у

- ^j sin(9i - фj ) cos у sin уj , j >

- 0 j аЦф. -ф j) cosу, sin у j,j <

(3.205)

Элементы несимметрической матрицы Щ имеют вид:

h5

ч

f и

¿mk (cos^- - ф j )cos у. sin у j - sin у. cosy j ), j > i,

Vk=j У

mkl(cos^i -фj)cos Vi sin Vj - sin Vi cosVj ), j <..

Vk=i У

(3.206)

Матрица |) является столбцом. Достаточно использовать только один индекс - номер строки:

п

к} = Е^У«. (3.207)

к = г

Столбец, содержащий информацию о продольных силах Ы^ имеет вид:

Ц? = Я (3.208)

Примечания 1-3 для двухмерной модели остаются справедливыми и для трехмерной модели.

Проведем сравнительный анализ двухмерных и трехмерных уравнений. Аналогично однозвенной модели добавляются множители, содержащие тригонометрические функции аргумента , возникают новые слагаемые для нового аргумента. Отметим, что для трехмерного случая большинство матриц потеряли свойство симметрии. Однако, они, как показано выше, допускают представление в обобщенном виде. Благодаря этому становится возможной запись уравнений без трудоемкой процедуры составления для любого п-звенного механизма подобной структуры. В случае ветвления звеньев, например на переносимую ногу, после точки ветвления, у соответствующих

элементов матриц, индексы которых больше или равны индексам звеньев после разветвления, следует сменить знак на противоположный.

Сравнивая уравнения движения на плоскости и в пространстве, можно получить закономерность записи уравнений трехмерного движения.

Таким образом, проведен анализ отдельных элементов экзоскелета, получен метод записи уравнений для и-звенного стержневого механизма.

§ 3.6. Рекуррентный метод построения уравнений стержневой механической системы со звеньями переменной длины

Получив в предыдущих параграфах обобщения для матриц, построим рекуррентный алгоритм, который позволяет по матрице для и-звенной механической системы строить матрицу для и + 1-звенной механической системы.

Рассмотрим на примере матрицы А для плоского случая модели представленной на рис. 3.1. Для остальных моделей и матриц метод построения будет аналогичным. Аналогично все будет выглядеть и в трехмерном случае.

В случае модели звена переменной длины с упругим элементом и абсолютно твердым стержнем. Для построения метода выпишем матрицу А для механической системы с одним подвижным звеном (обозначим ее индексом 1), все матрицы перепишем в более подходящем виде:

А1 = (/1 + т^). (3.209)

Для модели с двумя подвижными звеньями (обозначим ее индексом 2):

А2 =

^/1 + т1^1к1 + т2к т2к1к21С12 Л

т^к^к21С12 /2 + ^2к2т2 У Для модели с тремя подвижными звеньями (обозначим ее индексом 3):

/1 + т141к1 + (т2 + т3)к! (т2^к 21 + т3к1к 2 )С12 т3к1к 31С13

(3.210)

Аз =

21

(т2к1к21 + т3к1к2 )С12 12 + т2^2к2 + т3к2 т3к2к31С23

т3к1к 31С13

т3к 2к 31С23

13 + т3^3к 3

(3.211)

Матрицу А2 можно построить следующим образом:

А2 = А1 + 8А1, где матрица А1 представляется в следующем виде:

172

^ т I ™ е 1 лЛ

А1 -

V

/1 + т1^1Х1 0 0 0

(3.213)

Матрица 8А1 записывается в виде:

8А1 -

(3.214)

^2^1 т2а1а21с12 V 21с12 12 + £ 2а 2 т2 У

Аналогично матрицу для механической системы с тремя подвижными звеньями можно представить в виде:

А3 - А2 + 8А2. Матрица А2 записывается в виде:

>2

(3.215)

А2 -

I + т1£1а1+т2а1 т2а1а 21с12

^2^1^ 21с12 12 +£2а 2 т2 0 0

0 0 0

(3.216)

Матрица 8А2 записывается в виде:

8А2 -

т3а1а2с12 тза1а31с13

т3а1

тза1а 2с12

тза1а31с13 тза 2^ 31с23 13 + т3£3а 3

т а22

т3а 2а31с23

(3.217)

Рассмотрим построение матрицы для механической системы из п + 1 подвижного звена по матрице п-звенной механической системы. Элементы матрицы А произвольного размера запишем, используя результаты, полученные выше. Матрица для механической системы с п подвижными звеньями имеет вид:

Ап

Л +а1 т1£1 + £ тк а1

к=2

а-1

т

у Ау, + £ тк а

т

к=у+1

к"у

с1 у - а1а п1тпс1п

а1 т а .1 + £ тка.

к=.+1

си - I +а.

к=.+1

т.+ £ тка. = у) - а.ап1тпс.п

а у а п1тпс уп

- 4 +а п £ птп

(3.218)

а1а п1тпс1п -

где: Ап - +2, а,- - +1., С,у - ^(ф,- - фу).

Матрица для механической системы с п + 1 подвижным звеном строится так:

Ап + 1 Ап + 8Ап

(3.219)

причем матрица Аи должна иметь размер (и + 1)х(и + 1), поэтому она записывается с дополнительными (и + 1)-й нулевой строкой и (и + 1)-м нулевым столбцом т.е. матрица Аи записывается в виде [23]:

Аи

/1+к1 т1^1 + £ т к1

к1

V к=2

\

т

] к л + £ ткк

к1 тгК + £ ткк

5А„=

тк

к=2+1 У

к1к «1т«С1« 0

тп+1к2

тп+1к1к С л

тп+1к1к п1С1п тп+1к1к п+1,1С1,п+1

... / + к-

к" Л

к=Л+1

"и \

С1 л . к1к п1тпС1п 0

4- + £ ткк ,(2 = Л) . к2 к п1^т п^^ 1п 0

т

V к=2+1 У

к Л к п1тпС]п

... /п +к п4 „т„ 0

00

(3.220)

тп+1к1к лС1 л

тп+1к2,(2 = Л)

тп+1к лкпСЛп

тп+1к1кпС1п тп+1к1кп+1,1С1,п+1

тп+1к/к пС2п

тп+1кп

тп+1к2кп+1ДС,

1,п + 1

тп+1кпкп+1,1Сп,п+1 тп+1кпкп+1,1Сп,п+1 /п+1 + тп+14п+1,1к п+1

(3.221)

тп+1к Л кп+1,1СЛ,п+1

Аналогично строятся остальные матрицы, входящие в уравнения движения. В случае модели звена переменной длины с абсолютно твердым стержнем и двумя участками переменной длины матрица для механической системы с и

подвижными звеньями имеет вид:

Аи(д,4)=

/1+т1^п к1 + £ тк

к к12

к

12

к=2

т

Лк Л1 + £ тк к

2

к=Л+1 У

С1Л .•• тп к12к п1С1п

к

12

т

к ,1 + £ тк 2-2 . /г + тЛ 4 Л1к Л + £ ткк Л 2,(/ = Л) . тпк 2 2к п1С

к=2+1 У

т

к=Л+1

, (3.222)

тп к12 к п1С1п тп к Л 2к п1СЛп . /п + тп4 п1к п

где: к«1 = 411 +У2 , к'2 = 421 + Ь + 42 , к = 411 + Ь , О/ = С08(фг - ф,).

Матрица для механической системы с и + 1 звеном строится так:

Аи + 1 = Аи + 5Аи, (3.223)

где матрица Аи записывается с дополнительными (и + 1)-й нулевой строкой и (и + 1)-м нулевым столбцом, аналогично рассмотренной выше модели. Матрица 8Аи имеет вид:

0

V

8Ап-

тп+1а12

тп+1а12 ^i 2с1 у

тп+1А12 ^ п1с1п тп+1А12 ^ п+1,1с1,п+1

тп+1а12 ^ у 2с1 у

тп+1а) 2,(. = у)

тп+1а у 2^ п2с уп

т„

1А12 ^ п2с1и

т

п+1А12 ^ п+1,1с1.

п+1

тп+1а .2 а п 2с.п

тп+1а. 2^ п+1,1с.

.,п+1

тп+1ап 2

тп+1а п ^ п+1,1сп,п+1 тп+1а п 2^ п+1,1сп,п+1 1 п+1 + тп+1£ п+1,1А п+1

(3.224)

тп+1а у 2 а и+1,1су,и+1

Аналогично строятся остальные матрицы, входящие в уравнения движения. Таким образом, получен рекуррентный алгоритм составления уравнений движения стержневой механической системы с п + 1 звеном по известному уравнению для п-звенной механической системы со звеньями переменной длины. § 3.7. Сравнительный анализ методов получения дифференциальных уравнений движения

Способов составления дифференциальных уравнений движения механических систем в теоретической механике существует достаточное количество. В данном исследовании реализованы в виде программ в системе компьютерной математики «МаШешайса» четыре метода, описанных выше в данной работе.

Сравнительная таблица методов, использованных при составлении дифференциальных уравнений движения и предложенных рекуррентного и матричного методов, имеет вид (табл. 3.1).

Таблица 3.1 - Сравнение различных методов составления дифференциальных уравнений движения

Операция Метод

Уравнения Лагранжа второго рода Алгоритм, использующий локальные системы координат Матричный метод Рекуррентный метод

Дифференцирование, в том числе частные производные и повторное Да (4п) Да, основные затраты времени Нет Нет

Интегрирование Да (п), основные затраты времени Да (п), основные затраты времени Нет Нет

Да, 2 раза при

вычислении ки-

Упрощение нетической энергии и записи самих уравнений, основные затраты времени Да Нет Нет

Операции умно- Да, от количе- Да, от количе-

жения, в том ства звеньев за- ства звеньев за-

числе и матрич- Да Да висит размер- висит размер-

ного ность матриц, основные затраты времени ность матриц, основные затраты времени

Операции сложения и вычита- Да Да Да Да

ния

Примечание: в скобках указано количество соответствующих операций, необходимое для записи дифференциальных уравнений системы с и звеньями переменой длины.

В таблице 3.2. представлены оценки времени для модели экзоскелета, составленной из звеньев, состоящих из невесомой части переменной длины и твердой весомой части, рассмотренных в § 3.1.

Таблица 3.2 - Сравнение времени составления дифференциальных уравнений движения для модели экзоскелета различными методами

с помощью системы компьютерной математики «МаШешайса»

Метод Время, с.

одно звено два звена три звена

Уравнения Лагранжа второго рода 0.99 7.27 26.81

Алгоритм, использующий локальные системы координат 0.86 6.87 25.08

Матричный метод 0.74 0.82 0.89

Рекуррентный метод — 0.88 0.98

Из анализа таблицы следует, что для составления дифференциальных уравнений движения стержневых механических систем наиболее эффективными и рациональными являются специально разработанные в диссертации рекуррентный и матричный методы. Различия в скорости составления уравнений нарастают с увеличением количества звеньев, эффективность предложенных в диссертации методов становится явно видимой.

Следует отметить, что необходимы различные методы составления дифференциальных уравнений движения, и каждый из методов имеет свои достоинства и недостатки. Опишем их подробнее.

Метод, основанный на уравнениях Лагранжа второго рода трудоемок для исследователя с точки зрения предварительной подготовки. Модификации текста программ для модели с конкретным количеством звеньев являются значительными. Они заключаются в: 1) изменении вектора обобщенных координат соответственно количеству звеньев; 2) добавлении координат точек, характеризующих геометрию механизма, в модель; 3) включении соответствующих слагаемых в кинетическую энергию. При этом он позволяет получить уравнения, пригодные к анализу после их упрощения.

Алгоритм, использующий локальные системы координат, выигрывает в скорости у предыдущего метода благодаря более компактной записи координат точек, характеризующих механизм. Однако, так как используются для окончательного формирования уравнения Лагранжа второго рода, то при увеличении количества звеньев временные затраты у него значительно возрастают. Для исследователя он более удобен и рационален.

Рассмотренные выше два метода основываются на классических положениях теоретической механики и являются универсальными в смысле возможности их применения к практически любым механическим системам. Это их достоинство. Недостатками являются: 1) трудоемкость подготовки текстов программ для составления уравнений движения и только частичная автоматизация данного процесса; 2) значительные временные затраты многократно возрастающие с увеличением количества звеньев.

Рекуррентный и матричный методы, предложенные в диссертации, являются узкоспециализированными и позволяют составлять дифференциальные уравнения движения только стержневых механических систем, описанных в данной работе, как с учетом переменности длины звена, так и для модели с абсолютно твердыми звеньями. Однако, так как класс таких систем велик: антропоморфные роботы, экзоскелеты, манипуляторы и т.д., то они представляют важное практическое значение. Временные затраты данных методов с увеличением количества звеньев возрастают гораздо медленнее, в сравнении с первыми двумя методами. Достоинствами данных методов является то, что нет необходимости вносить изменения в текст программы, составляющей уравнения. Исследователь задает только количество звеньев механизма и на выходе получает готовые уравнения, пригодные для анализа. Матричный метод, предложенный в диссертации, немного быстрее рекуррентного в связи с тем, что в нем не строятся дополнительные матрицы, используемые в рекуррентном методе. Рекуррентный метод не может применяться для модели с одним подвижным звеном, а только для моделей с двумя и более звеньями. Благодаря этим методам возникает возможность для инженера при создании практических моделей подобных систем автоматизировано генерировать большое количество различных моделей, в том числе и со значительным количеством звеньев, исследовать их в дальнейшем и выбирать оптимальную. Кроме того, по описанию рекуррентный метод может быть реализован в любой среде, в том числе и программной, а не только в системе компьютерной математики, имеющей встроенные операторы дифференцирования, функции упрощения и т.д.

Таким образом, открывается возможность автоматизированного проектирования двумерных и трехмерных моделей экзоскелетов и антропоморфных роботов с большим количеством звеньев, совершенствуя их и приближая их движения к движениям человека [23].

§ 3.8. Применение разработанного метода к модели плоского многозвенного механизма со звеньями переменной длины, движущегося по горизонтальной плоскости 3.8.1. Модель с произвольным количеством масс на звене переменной длины Используем разработанные в данной главе методы синтеза и анализа различных моделей стержневых систем применительно к плоскому змееподобному роботу, перемещающемуся на плоскости (рис. 3.16). Моделирование движений механизмов без конечностей, колес и гусениц только за счет трения и изменения конфигурации, является важной фундаментальной задачей, имеющей при этом много практических приложений, что определяет актуальность данного исследования. Научная новизна исследования заключается в том, что в отличие от имеющихся моделей змееподобных механизмов с абсолютно твердыми звеньями, модели со звеньями переменной длины позволяют приблизить их движения к способу перемещения гусениц и к волновому перемещению вещества. Значимость исследования заключается в увеличении количества степеней свободы в модели плоского механизма и открываемых этим возможностей для синтеза новых алгоритмов управления движением, исследовании передвижений плоских механизмов не только за счет изменения углов между звеньями, но и за счет изменения длин звеньев, в том числе для синтеза прямолинейного перемещения. Управление осуществляется в шарнирах с помощью управляющих моментов и в стержнях за счет изменения длины под действием управляющей продольной силы. Перемещение реализуется при помощи сил трения о поверхность, по которой движется механизм и изменения конфигурации механизма под действием внутренних управляющих усилий [39].

Цель исследования - разработка модели плоского многозвенного механизма на основе рекуррентного и матричного алгоритмов записи дифференциальных уравнений движения, обеспечивающей моделирование нелинейных свойств змееподобных устройств стержневыми механическими системами, учитывающими изменение длины звеньев, обеспечивающих перемещение за счет поперечных и продольных волнообразных движений корпуса.

Рассмотрим плоское движение свободной модели, что соответствует безопорной фазе движения антропоморфного механизма (рис. 2.6 а).

Рис. 3.16. Движение механизма под действием внутренних усилий

и сил трения на плоскости

Данная модель является повернутой на угол л/2 по отношению к моделям, рассмотренным ранее. Движение происходит в горизонтальной плоскости, а не вертикальной, как рассматривалось в данной главе. Данная модель - проекция рассмотренной выше трехмерной модели (рис. 2.8) на плоскость XOY. Как и прежде, угол фг - угол между осью ОХ и звеном AB на плоскости XOY, отсчитываемым от направления оси ОХ против хода часовой стрелки. Угол при этом будет равен нулю. Поэтому данная модель является частным случаем рассмотренной выше. Дифференциальные уравнения движения можно получить из других соображений: горизонтальная плоская модель отличается от плоской вертикальной модели только направлением действия силы тяжести.

Дифференциальные уравнения движения данной модели аналогичны уравнениям движения для антропоморфного механизма в безопорной фазе движения, за исключением слагаемого, содержащего ускорение свободного падения. Для матрицы А формула (2.35) принимает вид:

0 0 ^^ sinф ц2/2 sinф2 Л

A(q,l) =

0

0

Л1/1 sin ф1 - ц1/1 cos ф1 ^2¿2SÍnф2 — Л 2^2 COsф2

^1/1cos ф1 — Л2 /2cos ф 2

ад2 0

0 С2/22

(3.225)

2 2 2 2

где: z = S > n = S тл' (i = 1,2) 0 = S S m-ß •

ß=0 ß=0 i=1ß=0

Учитывая это, из уравнений (2.6)-(2.7) можно получить дифференциальные уравнения движения.

Рассматриваемая механическая системы имеет шесть степеней свободы. За обобщенные координаты, однозначно характеризующих положение механизма, примем координаты прикрепления звеньев - шарнира B: x(t), y(t), два угла, которые, как и ранее, образуют звенья с горизонталью, отсчитываемые против часовой стрелки p1(t), ф2(0 и две переменных длины звеньев /1(t), /2(t). В дальнейших записях аргумент t для краткости будем опускать.

Запишем координаты сосредоточенных масс на звеньях в виде:

xciß = x + /1(1 - «iß)cos(rc + 9i), yciß = y + /1(1 - «iß)sin(^ + Ф1),

(3.226)

XC2ß = X + /2^^ф2, yC2ß = У + /2«2ßS^2-

Запишем координаты центра масс механизма:

2 2 2 2 SS xaß miß SS ^ciß miß

X = -, Y = -. (3.227)

S S miß S S miß i=1 ß=0 i =1 ß=0

Запишем дифференциальные уравнения движения механической системы в виде уравнений Лагранжа второго рода. В результате процедуры описанной, выше, получаем дифференциальные уравнения движения. Обобщенные силы находим обычным образом из выражения для элементарной работы. Подстав-

ляя их в правые части соответствующих уравнении движения, получаем: 0Х + 1г sin у у + ц212 sin Ф2Ф2 + Л1 1г cos у Ф2 + л212 cos ф2Ф2 + + 2^1 sinф^ф! + 2л2 sinФ2/2Ф2 - Л1 cosФ1 /j - Л2 cosф2/2 = Qx, 0y -ЛЛ cos Ф1Ф1 -Л2/2 cos Ф2Ф2 +Л1/1 sin Ф1Ф2 +Л2/2 sin Ф2Ф2 -- 2^1 cos Ф1/1Ф1 - 2Л2 cosФ2/2Ф2 - Л1 sin Ф1 С1 - Л2 sin Ф2 /2 = Qy >

Л1/1 sinФ1x - лЛ cosФ1y + ^1/12Ф1 + 2^1/1/*1Ф1 = Q^, (3.230)

(3.228)

(3.229)

V2SÍnф2X ^2l2COS Ф2У + С2122Ф2 + 2l2l2p2 = Qpp2 > (3.231)

- л cos фX - л sin ф jj - Qф2 + Q\ = F, (3.232)

-^COS ф233 Л2 SinФ233 2l2ф2 +С2 l2 = F2 ' (3.233)

2 2 2 2

Сí = Е m-р 4, л г = Е тф Пр , (i = 1,2), 0 = Е Е m-р.

р=0 р=0 i=1р=0

Здесь Qx, Qy, Q , Q , Fb F2 - обобщенные силы, обусловленные силами