Динамика линейных операторов в пространствах аналитических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Лишанский, Андрей Александрович

• Лишанский, Андрей Александрович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Лишанский, Андрей Александрович

1 Введение 1

1.1 Гиперциклические линейные операторы ....................................2

1.2 Существование гиперциклического подпространства......................5

1.3 Гиперциклические одномерные возмущения унитарных операторов , , 8

1.4 Гипер цикличность операторов Теплица......................................12

2 Операторы Теплица, обладающие гиперциклическим подпространством 16

2.1 Существенный спектр линейных операторов................................16

2.2 Усиленный критерий Годфруа-Шаппро......................................18

2.3 Доказательство теоремы 1,2,1................................................19

3 Гиперциклическое одномерное возмущение унитарного оператора 22

3.1 Предварительные сведения о функциональной модели одномерных возмущений унитарных операторов..............................................22

3.1.1 Внутренние функции и меры Кларка................................22

3.1.2 Функциональная модель..............................................25

3.1.3 Модельные пространства в верхней полуплоскости................27

3.2 Доказательство теоремы 1,3,3................................................28

3.2.1 План доказательства..................................................28

3.2.2 Выбор параметров......................................................32

3.2.3 Доказательство неравенства (3,12) ..................................34

3.2.4 Доказательство неравенства (3,13) ..................................36

3.2.5 Сходимость и полнота..................................................36

3.2.6 Конец доказательства теоремы 1,3,3..................................38

3,3 Заключительные замечания..................................................38

4 Гиперцикличность операторов Теплица 40

4.1 Вспомогательные утверждения................................................40

4.2 Доказательства основных результатов ......................................48

4.3 Характеризация Шкарина трехдиагональных теплицевых операторов , 52

4.4 Открытые вопросы ............................................................54

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика линейных операторов в пространствах аналитических функций»

Динамика линейных операторов в банаховых или топологических векторных пространствах — это интенсивно развивающаяся в последние 25 лет область теории операторов. Она тесно связана со многими направлениями современного анализа, например, спектральной теорией линейных операторов, эргодической теорией, пространствами аналитических функций и действующими в них операторами. Этой тематике посвящено значительное число работ.

Особую роль в линейной динамике играет понятие гиперциклического оператора — оператора, у которого существует вектор, имеющий всюду плотную орбиту. То есть гиперциклический оператор имеет в определенном смысле хаотическое поведение. Тем не менее, оказывается, что многие естественные операторы обладают свойством гиперцикличности.

Отметим, что гиперциклические операторы представляют интерес в связи с известной задачей функционального анализа: любой ли линейный оператор в нормированном пространстве из некоторого класса про-

странств имеет нетривиальное замкнутое инвариантное подпространство? Известно, что в пространстве I1 существует ограниченный линейный оператор, для которого любой ненулевой вектор гиперциклический [29]. Из этого следует, в частности, что для банаховых пространств ответ отрицательный. Однако для гильбертовых пространств вопрос остается открытым.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Лишанский, Андрей Александрович

1, A. Baranov, A. Lishanskii, On S. Grivaux' example of a hypercyclic rank one perturbation of a unitary operator // Arch, Math, 104 (3), 2015, P. 223-235,

2, А, А, Лишанекий, Существование гиперциклических подпространств у операторов Теплица // Уфимский мат, журнал, 7 (2), 2015, С, 109-113,

3, A, Baranov, A, Lishanskii, Hypercyclic Toeplitz operators // Results Math, 70 (3), 2016. P. 337-347.

Литература

[1] A. D, Baranov, D, V, Yakubovich, Completeness and spectral synthesis of nonselfadjoint one-dimensional perturbations of selfadjoint operators // Adv. Math, 302. 2016. P. 740-798.

[2] F. Bayan. S. Grivaux, Frequently hypercyclic operators // Trans. Amer. Math. Soc. 358 (11). 2006. P. 5083-5117.

[3] F. Baya n. E. Matheron, Dynamics of Linear Operators, Cambridge University Press. 2009. 352 p.

[4] G. D. Birkhoff, Démonstration d'un théoreme element aire sur les fonctions entières // C.E. Aead. Sei. Paris, 189. 1929. P. 473-475.

[5] P. S. Bourdon, Density of the polynomials in Bergman spaces // Pacifie J. Math., 130 (2). 1987. P. 215-221.

[6] P. S. Bourdon, Invariant manifolds of hypercyclic vectors // Proc. Amer. Math. Soc., 118 (3). 1993. P. 845-847.

[7] P. S. Bourdon, J. H. Shapiro, Hypercyclic operators that commute with the Bergman backward shift // Trans. Amer. Math. Soc., 352. 2000. P. 5293-5316.

[8] J. G. Caughran, Polynomial approximation and spectral properties of composition operators on H2 // Indiana Univ. Math. J., 21 (1). 1971. P. 81-84.

[9] K. C. Chan, J. H. Shapiro, The cyclic behavior of translation operators on Hilbert spaces of entire functions // Indiana Univ. Math. J., 40 (4). 1991. P. 1421-1449.

[10] D, N, Clark, One-dimensional perturbations of restricted shifts //J. Anal, Math, 25, 1972. P. 169-191.

[11] E. B. Davies, Linear Operators and Their Spectra, Cambridge Stud. Adv. Math., 106, Cambridge University Press. 2007. 451 p.

[12] P. L. Duren, Theory of Hp spaces, Academic Press. New York. 1970. 258 p.

[13] G. Godefrov, J. H. Shapiro, Operators with dense, invariant, cyclic vector manifolds // J. Funct. Anal, 98. 1991. P. 229-269.

[14] S. Goldberg, Unbounded Linear Operators, McGraw-Hill. New York. 1966. 199 p.

[15] M. Gonzalez, F. Leon-Saavedra, A. Montes-Rodriguez, Semi-Fredholm Theory: Hypercyclic and supercyclic subspaces // Proc. London Math. Soe,, 81 (3). 2000. P. 169-189.

[16] S. Grivaux, A new class of frequently hypercyclic operators // Indiana Univ. Math. J., 60. 2011. P. 1177-1201.

[17] S. Grivaux, A hypercyclic rank one perturbation of a unitary operator // Math. Nachr., 285 (5-6). 2012. P. 533-544.

[18] K.-G. Grosse-Erdmann, Universal families and hypercyclic operators // Bull, of Amer. Math. Soe., 36 (3). 1999. P. 345-381.

[19] K.-G. Grosse-Erdmann, A. Peris Manguillot, Linear Chaos, Springer. Berlin. 2011. 388 p.

[20] В. В. Капустин, Одномерные возмущения сингулярных унитарных операторов 11 Зап. научи, сомни. ПОМП. 232. 1996. С. 118-122.

[21] С. Kitai, Invariant closed sets for linear operators // PhD thesis, Univ. of Toronto. 1982.

[22] П, Куснс, Введение в теорию пространств Hp, М.: Мир. 1984. 368 с.

[23] G, R. MacLane, Sequences of derivatives and normal families // J, Anal, Math,, 2, 1952. P. 72-87.

[24] Q. Menet, Hypercyclic subspaces and weighted shifts // Adv. Math., 255. 2014. P. 305-337.

[25] A. Montes-Rodriguez, Banach spaces of hypercyclic vectors // Mich. Math. J., 43. 1996. P. 419-436.

[26] H. К. Никольский, Лекции об операторе сдвига, М,: Наука. 1980. 383 с.

[27] N. К. Nikolski, Operators, Functions, and Systems: an Easy Reading, Math. Surveys Monogr., 924)3. AMS, Providence, RI. 2002.

[28] А. Г. Полторацкий, Граничное поведение псевдопродолжимых функций // Алгебра и анализ 5 (2). 1993. С. 189-210.

[29] С. Read, A short proof concerning the Invariant Subspace Problem //J. London Math. Soe., 34. 1986. P. 335-348.

[30] S. Rolewicz, On orbits of elements // Studia Math 32. 1969. P. 17-22.

[31] D. Sarason, Weak-star generators of H~ // Pacific J. Math., 17 (3). 1966. P. 519-528.

[32] S. Shkarin, A hypercyclic finite rank perturbation of a unitary operator // Math. Ann., 348. 2010. P. 379-393.

[33] S. Shkarin, On the set of hypercyclic vectors for the differentiation operator // Isr. J. Math., 180. 2010. P. 271-283.

[34] S. Shkarin, Orbits of coanalytic Toeplitz operators and weak hypercyclicity // arXiv:1210.3191.