Динамика квантовых волновых пакетов в системах с полиномиальными потенциалами и трением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Смирновский, Александр Андреевич

• Смирновский, Александр Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Смирновский, Александр Андреевич

Введение.

§1. Актуальность проблемы.

§2. Цели и задачи исследования.

Глава 1. Обзор: эволюция волновых пакетов в одномерных квантовых системах.

§1. Квантовые возвраты и коллапсы, автокорреляционный анализ.

§2. Пространственно ограниченный осциллятор как двухмодовая система.

§3. Туннелирование, делокализация и хаос в системе с двумя потенциальными ямами.

§4. Уравнение Шредингера - Ланжевена - Костина.

§5. Управление квантовыми волновыми пакетами.

Глава 2. Моделирование простых квантовых систем.

§1. Основные положения и используемые формулы.

§2. Пространственно ограниченный осциллятор с квадратичным потенциалом.

§3. Отрицательное трение.

§4. Система с двухямным потенциалом.

§5. Порционное туннелирование.

§6. Дифракция квантового волнового пакета на плоской щели.

Глава 3. Вынужденные колебания квантовых волновых пакетов в системе с полиномиальными потенциалами и трением.

§1. Вынужденные колебания квантового волнового пакета в системе с квадратичным потенциалом и стенками.

§2. Учет энгармонизма.

§3. Влияние случайной силы на колебания в системе с ограниченным квадратичным потенциалом.

§4. Влияние внешней периодической силы на колебания в системе с двойной ямой.

Глава 4. Пространственно ограниченный осциллятор с трением и обратной связью.

§1. Модель обратной связи.

§2. Когерентные колебания.

§3. Неравномерные временные промежутки между импульсами обратной связи.

§4. Сложные режимы движения.

Глава 5. Методы численного интегрирования квантовых уравнений движения.

§ 1. Методы решения стационарного и нестационарного одномерного уравнения

Шредингера.

§2. Тестирование алгоритма расчета собственных функций и собственных значений уравнения (5.1).

§3. Метод интегрирования уравнения Шредингера-Ланжевена-Костина.

§4. Тестирование численного метода решения нестационарного уравнения Шредингера и уравнения ШЛК.

§5. Метод дискретного преобразования Фурье.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика квантовых волновых пакетов в системах с полиномиальными потенциалами и трением»

§ 1. Актуальность проблемы

Исследование квантовых динамических закономерностей имеет фундаментальное значение для развития физики, химии, наноэлектроники и точных технологий. Современные достижения лазерной импульсной фемто- и аттосекундной техники позволяют проводить экспериментальные исследования динамики микрочастицы на разных пространственных масштабах. Поэтому возрос интерес к теоретическим исследованиям процессов когерентных колебаний и делокализации квантовых волновых пакетов, резонансов во внешних полях как в изолированных квантовых системах, так и с учетом взаимодействия с окружающей средой. Объектом исследований становятся различные квантовые системы, в том числе традиционные, такие как потенциальная яма с непроницаемыми стенками, осциллятор и ротатор. Необходимость в проведении этих исследований также обусловлена прикладными задачами: передачи информации квантовыми системами, разработка квантовых компьютеров и другими. В последние годы интенсивно разрабатываются методы управления квантовыми волновыми пакетами под воздействием электромагнитного поля. Один из них представлен теорией оптимального управления. Эта теория рассматривает динамический процесс перехода из исходного приготовленного состояния в конечное заданное состояние при помощи специально создаваемых лазерных импульсов с определенной формой и соответствующим Фурье-спектром. Теория реализуется в рамках численных итерационных алгоритмов, описывающих обратную связь между импульсами и квантовыми состояниями и являющихся самосогласованными. Для решения задач управления необходимо изучать условия, при которых движение может быть когерентным и, наоборот, чувствительным к разрушению когерентности. Возникновение декогерентности является фундаментальной проблемой, ей уделяется много внимания в научной литературе.

Для описания квантовых изолированных систем используются различные формы уравнений движения: нестационарное уравнение Шредингера, квантовое уравнение Гамипьтона-Якоби, уравнения Маделунга. Квантовая теория движения в рамках этих уравнений развивалась во мношх работах, например, в монографии П. Холланда [1]. Влияние окружающей среды на динамику микрочастицы может быть учтено различными способами описания. Если не требуется полного описания системы плюс окружающая среда и можно перейти к упрощенному, более краткому описанию, то достаточно ввести в с уравнения квантовой динамики для системы один или несколько параметров, характеризующих влияние окружающей среды. Так появилось уравнение Гейзенберга-Ланжевена для оператора импульса [2], которое послужило основой для формулировки уравнения Шредингера-Ланжевена-Костина (ШЛК) [3, 4]. Уравнение ШЛК содержит слагаемое, включающее коэффициент трения. Так как оно предназначалось для описания квантового броуновского движения, то содержит еще одно слагаемое — потенциал случайной силы. Оба слагаемых входят в уравнение ШЛК аддитивно и не зависят друг от друга. При определенных допущениях, а также в модельных задачах, действие случайной силы можно игнорировать, как это сделано в рассматриваемых ниже статьях. Уравнение ШЛК без случайной силы имеет в качестве классического аналога уравнение движения с диссипативной силой, пропорциональной скорости и противонаправленной ей. Уравнение ШЛК детально обсуждалось в рамках лагранжевой полевой теории в обзоре [5]. Здесь также сравнивалось гидродинамическое представление уравнения ШЛК с уравнениями классической гидродинамики. Другие подходы к формулировке диссипативных слагаемых, вводимых в уравнение Шредингера, рассматривались в статьях [6, 7]. При определенных значениях параметров этих диссипативных слагаемых наблюдалось структурное сходство с уравнением ШЛК. В статье [8] формулируется семейство нелинейных уравнений Шредингера с диссипативными слагаемыми и показывается их связь с уравнением ШЛК. Здесь отмечается фундаментальное значение уравнения Шредингера с диссипативными слагаемыми для исследование диссипативных процессов. Гидродинамический метод квантования систем с диссипацией, предложенный в статье [9], позволяет также воспроизвести уравнение ШЛК. Уравнение ШЛК, а также соответствующие ему гидродинамические уравнения, применялись для решения конкретных задач, например в статьях [10, 11].

Диссертационная работа посвящена численному интегрированию уравнения ШЛК и исследованию динамических закономерностей в пространственно-ограниченных квантовых системах с полиномиальными потенциалами, трением и обратной связью. Основные темы исследования: собственные колебания в одномерных системах, вынужденные колебания при импульсном воздействии на квантовые волновые пакеты, моделирование обратной связи, туннелированис в системах с полиномиальными потенциалами, влияние окружающей среды в рамках уравнения ШЛК. Рассматриваемая тематика и полученные результаты являются актуальными и значимыми для приложений в современной радиоэлектронике.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Смирновский, Александр Андреевич

Заключение

В диссертационной работе исследованы динамические закономерности в квантовых системах с полиномиальными потенциалами, обратной связью, подверженных воздействию окружающей среды и внешних силовых полей. Для изучения этих закономерностей было проведено численное интегрирование уравнения Шредингера — Ланжевена — Костина, основанного на методе установления по псевдовремени. Дан детальный анализ пространственно-временных реализаций плотности вероятности, динамических средних координаты и скорости, их частотных Фурье-спектров, фазовых траекторий, произведения стандартных отклонений, когерентности и перехода к сложному движению.

Полиномиальные потенциалы — квадратичный по координате, комбинации квадратичного и кубического, квадратичного и четвертой степени по координате — были заданы на конечном промежутке, ограниченным непроницаемыми потенциальными стенками. В отдельном случае рассматривалась двумерная прямоугольная потенциальная яма, разделенная барьером с плоской щелью. Несмотря на идеализацию, эти потенциалы отражают свойства реальных физических систем. Диссипативные свойства окружающей среды описывались потенциалом Костина в уравнении ШЛК, кроме того, в отдельных вычислениях в уравнение ШЛК вводился случайный ланжевеновский потенциал.

Исследование отклика квантовых систем на внешние воздействия выполнено при разных его формах: периодической последовательности импульсов и непрерывного периодического сигнала. Для управления квантовыми волновыми пакетами проведено изучение обратной связи на модели, являющейся аналогом модели классических часов. Как результат проведенных исследований прежде всего следует отметить расширение области применения уравнения ШЛК. Если раньше оно применялось преимущественно к осциллятору с квадратичным потенциалом, то теперь вычисления были проведены для пространственно-ограниченного осциллятора с трением, осциллятора с учетом дополнительных ангармонических потенциальных слагаемых, пропорциональных координате в третьей и четвертой степенях (осциллятор Дуффинга, осциллятор с двойной ямой), для двумерной задачи с дифракцией. В этих исследованиях отсутствовали нефизические эффекты, например, нарушение принципа причинности или возникновение сверхсветовых скоростей квантовых пакетов. Напротив, все решения удовлетворяли условиям нормировки, законам сохранения для средних и принципу соответствия.

Поэтому можно сделать вывод, что уравнение ШЛК применимо и для других квантовых систем.

В диссертации существенно место уделяется осциллятору с квадратичным потенциалом на конечном отрезке с бесконечными стенками. Стационарные решекния этой задачи как аналитические, так и численные исследуются с давних пор до настоящего времени. Тем не менее, в диссертации был установлен достаточно резкий излом в функциональной зависимости разности энергий соседних состояний от квантового состояния, т. е. промежуточный режим, отличающийся от осцилляторного и для свободной частицы в яме, не является столь выраженным. Подробное изучение нестационарной задачи показывает, что при амплитуде колебаний, сравнимой с половинным размером системы, спектр колебаний имеет набор дискретных линий, подчиняющихся определенной закономерности. Лишь для малой амплитуды колебаний Фурье-спектр для средней координаты содержит практически одну спектральную линию, и свойства осциллятора в яме приближаются к свойствам гармонического осциллятора на неограниченном интервале. Для рассматриваемой квантовой системы, подверженной действию сил трения и периодической последовательности импульсов внешнего поля установлены режимы вынужденных колебаний, характеризующиеся минимизированным произведением неопределенностей. В широком диапазоне параметров при достаточно больших значениях амплитуды импульсов внешнего воздействия режимы вынужденных колебаний оставались регулярными, переход к динамическому хаосу не наблюдался. Аддитивное введение ланжевеновского случайного потенциала в уравнение ШЛК и моделирование отклика было проведено. Для апериодического режима осциллятора в яме характер осцилляции для средних и Фурье-спектр их отвечает картине для классического осциллятора в этом режиме. В других режимах при определенных параметрах спектральная компонента, соответствующая частоте осциллятора, может быть вполне существенной на фоне случайного шума.

В диссертации построена модель квантового пространственно-ограниченного осциллятора с обратной связью и трением. Установлены режимы когерентных колебаний с минимизированным произведением неопределенностей, а также режимы с ростом квантовых флюктуаций и переходом к сложным колебаниям, характеризующимися всюду плотным спектром частот. Установлено бифуркационное значение коэффициента трения при остальных фиксированных параметрах системы, когда происходит переход к сложным колебаниям. Изучена также другая модель обратной связи, когда в систему вводится отрицательное трение. При определенных начальных условиях (без начального смещения и с нулевой скоростью квантового волнового пакета) имеет место рост среднеквадратичных отклонений координаты и скорости при сохранении нулевой средней скорости.

Квантовая осцилляторная система с двойной потенциальной ямой исследована при разной высоте барьера с учетом трения и внешнего воздействия. Роль туннелирования в формировании колебаний с различными частотами и режимами дает дополнительную информацию о свойствах этой системы, представляющей интерес для практических приложений. Комбинация квадратичного и кубического потенциалов дает другой пример осцилляторной системы с туннелированием. Существенной особенностью ее является дискретный порционный характер истечения вероятностной жидкости через барьер, характеризующий туннелирование.

Заканчивая обсуждение основных результатов и выводов диссертационной работы, в целом следует отметить ее вклад в развитие теоретической физики, теории конденсированного состояния и физической электроники.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Смирновский, Александр Андреевич, 2008 год

1. Holland P.R. The Quantum Theory of Motion. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993. — 598 p.

2. Ford G.W., Кае M., Mazur P. Statistical Mechanics of Assemblies of Coupled Oscillators // J. Math. Phys. 1965. - Vol. 6, № 4. - P. 504-515.

3. Kostin M.D. On the Schrodinger-Langevin equation // J. Chem. Phys. 1972. - Vol. 57, № 9. -P. 3589-3591.

4. Kostin M.D. Friction and Dissipative Phenomena in Quantum Mechanics // J. Stat. Phys. — 1975.-Vol. 12, №2.-P. 145-151.

5. Wagner Heinz-Jurgen. Schrodinger quantization and variational principles in dissipative quantum theory // Zeitschrift fur Physik B. 1994. - Vol. 95. - P. 261-273.

6. Albrecht K. A new class of Schrodinger operators for quantized friction // Phys. Lett. B. -1975. Vol. 56, № 2. - P. 127-129.

7. Hasse R.W. On the quantum mechanical treatment of dissipative systems // J. Math. Phys. — 1975.-Vol. 16, № 10.-P. 2005-2013.

8. Doebner H.-D., Goldin G.A. Introducing nonlinear gauge transformation in a family of nonlinear Schrodinger equations // Phys. Rev. A. 1996; V.54, №5. - P. 3764-3771.

9. Wysocki R.J. Hydrodynamic quantization of mechanical systems // Phys. Rev. A. 2005; Vol. 2, № 3. - P. 032113 (24 pages).

10. Van P., Fiilop T. Stability of stationary solutions of the Schrodinger-Langevin equation // Phys. Lett. A. 2004. - Vol. 323. - P. 374-381.

11. Weiner J.H., Forman R.E. Rate theory for solids. V. Quantum Brownian-motion. model // Phys. Rev. B. 1974. - Vol. 10, № 2. - P. 325-337.

12. Bluhm R., Kostelecky V.A. Quantum defects and the long-term behavior of radial Rydberg wave packets // Phys. Rev. A. 1994. - Vol. 50, № 6. - P. 4445^1448.

13. Bluhm R., Kostelecky V.A. Long-term evolution and revival structure of Rydberg wave packets // Phys. Lett. A. 1995. - Vol. 200, №3/4. p. 308-313.

14. Bluhm R., Kostelecky V.A. Long-term evolution and revival structure of Rydberg wave packets for hydrogen and alkali-metal atoms // Phys. Rev. A. 1995. - Vol. 51, № 6. -P. 4767-4786.

15. Bluhm R., Kostelecky V.A., Porter J.A. The evolution and revival structure of localized quantum wave packets // Am. J. Phys. 1996. - Vol. 64, № 7. - P. 944-953.

16. Aronstein D.L., Stroud C. R. Fractional wave-function revivals in the infinite square well // Phys. Rev. A. 1997. - Vol. 55, № 6. - P. 4526^1537.

17. Robinett R. Visualizing the collapse and revival of wave packets in an infinite square well using expectation values // Am. J. Phys. 2000. - Vol. 58, № 5. - P. 410-420.

18. Styer D.F. Quantum revivals versus classical periodicity in the infinite square well // Am. J. Phys.-2001.-Vol. 69, №1. P. 56-62.

19. Doncheski M. A., Heppelmann S., Robinett R. W., Tussey D. C. Wave packet construction in two-dimensional quantum billiards: Blueprints for the square, equilateral triangle, and circular cases // Am. J. Phys. 2003. - Vol. 71, №6. - P. 541-557.

20. Romera E., Francisco de los Santos. Identifying Wave-Packet Fractional Revivals by Means of Information Entropy // Phys. Rev. Lett. 2007. - Vol. 99, № 2. - P. 263601 (4 pages).

21. Efremov M.A., Fedorov M.V. Potential scattering of electron wave packets by large-size targets // Phys. Rev. A. 2002. - Vol. 65, № 5. - P. 052725 (11 pages).

22. Bialynicki-Birula I., Cirone M.A., Dahl J.P., Fedorov M., Schleich W.P. In- and Outbound Spreading of a Free-Particle s-Wave // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 89, № 6. - P. 060404 (4 pages).

23. Dodonov V.V., Andreata M.A. Shrinking quantum packets in one dimension // Phys. Lett. A. -2003.-Vol. 310, №2/3.-P. 101-109.

24. Mott N., Sneddon I. Wave mechanics and its applications. Oxford and the Clarendon Press, 1948.-427 p.

25. Marin J.L., Cruz S.A. On the harmonic oscillator inside an infinite potential well // Am. J. Phys. 1988.-Vol. 56.-P. 1134-1136.

26. Lejarreta J.D. The generalized harmonic oscillator and the infinite square well with a moving boundaiy // J. Phys. A. 1999. - Vol. 32, № 25. - P. 4749^1759.

27. Pupyshev V.I., Scherbinin A.V. Molecular energy level shifts in large boxes: use of the Kirkwood-Buckingham method // J. Phys. B. 1999. - Vol. 32, № 19. - P. 4627-4634.

28. Gueorguiev V.G., Rau A.R.P., Draayer J.P. Confined one-dimensional harmonic oscillator as a two-mode system // Am. J. Phys. 2006. - Vol. 74, №5. - P. 394-403.

29. S an к ага n aray an an R., Lakshminarayan A., Sheorey V.B. Quantum chaos of a particle in a square well: Competing length scales and dynamical localization // Phys. Rev. E. — 2001. -Vol. 64, № 4. P. 046210 (12 pages).

30. Беляев M.B., Лазерсон А.Г. Сложная динамика неавтономного квантового осциллятора // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. - Т. 11, № 2. — С. 25-33.

31. Багманов А.Т., Санин A.JI. Резонансы пространственно-ограниченного квантового осциллятора // Успехи современной радиоэлектроники. 2005. - № 12. - С. 46-54.

32. Pattanayak А.К., Schieve W.C. Semiquantal dynamics of fluctuations: Ostensible quantum chaos // Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 72, № 18. - P. 2855-2558.

33. Roy A., Bhattachaijee J.K. Chaos in the quantum double well oscillator: the Ehrenfest view revisited // Phys. Lett. A. 2001. - Vol. 288, № 1. - P. 1-3.

34. Bittner E.R. Quantum tunneling dynamics using hydrodynamic trajectories // J. Chem. Phys. 2000. - Vol. 112, № 22. - P. 9703-9710.

35. Bittner E.R. Integrating the quantum Hamilton-Jacobi equations by wavefront expansion and phase space analysis // J. Chem. Phys. 2000. - Vol. 113, № 20. - P. 8888-8897.

36. Hanggi P., Kohler S., Dittrich T. Driven Tunneling: Chaos and Decoherence // Lecture Notes in Physics, Statistical and Dynamical Aspects of Mesoscopic Systems. 2000. - Vol. 54. -P. 125-157.

37. Dittrich Т., Hanggi P., Ingold G.-L., Kramer В., Schon G., Zwerger W. Quantum transport and dissipation. Weinheim: Wiley-VCH, 1998. - 372 p.

38. Igarashi A., Yamada H. S. Controllability of wavepacket dynamics in coherently driven double-well potential // arXiv:cond-mat/0603321 J. Chem. Phys. 2006. - Vol. 327, № 2/3. -P.395—405.

39. Igarashi A., Yamada H. S. Quantum dynamics and delocalization in coherently driven one-dimensional double-well system // arXiv:cond-mat/0508483 Physica D: Nonlinear Phenomena. -2006.-Vol. 221, №2.-P. 146-156.

40. Yamaguchi Y. Structure of the stochastic layer of a perturbed double-well potential system // Phys. Lett. A.- 1985,-Vol. 109, №5.-P. 191-195.

41. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. New-York: Springer-Verlag, 1983. - 483 p.

42. Pattanyak A.K., Shieve W.C. Semiquantal Dynamics of Fluctuations: Ostensible Quantum Chaos // Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 72, № 18. - P. 2855-2858.

43. Kohler S., Dittrich Т., Hanggi P. Floquet-Markovian description of the parametrically driven dissipative harmonic quantum oscillator // Phys. Rev. 1997. — Vol. 55, № 1. - P. 300-313.

44. Adachi S., Toda M., Ikeda K. Potential for Mixing in Quantum Chaos // Phys. Rev. Lett. -1988. Vol. 61, № 6. - P. 655-658.

45. Antunes V.D., Lombardo F.C., Monteoliva D., Villar P.I. Decoherence, tunneling and noise-activation in a double-potential well at high and zero temperature // arXiv:quant-ph/0508036v2 Phys. Rev. E. 2006. - Vol. 73, № 6. - P.066105 (14 pages).

46. Doebner H.-D., Goldin G.A. On a general nonlinear Schrodinger equation admitting diffusion currents // Phys. Lett. A. 1992. - Vol. 162. - P. 397-401.

47. Ushveridze A.G. Dissipative quantum mechanics. A special Doebner-Goldin equation, its properties and exact solutions // Phys. Lett. A. 1994. - Vol. 185. - P. 123-127.

48. Ushveridze A.G. The special Doebner-Goldin equation as a fundamental equation of dissipative quantum mechanics // Phys. Lett. A. 1994. - Vol. 185. - P. 128-132.

49. Goldin G.A. Gauge Transformations for a Family of Nonlinear Schrodinger Equations // Nonlinear Math. Phys. 1997. - Vol. 4, №1-2. - P. 6-11.

50. Doebner H.-D., Goldin G.A., Nattermann P. Gauge transformations in quantum mechanics and the unification of nonlinear Schrodinger equations // J. Math. Phys. 1999. - Vol. 40, № 1. — P. 49-63.

51. Wysocki R.J. Quantum equations of motion for a dissipative system // Phys. Rev. A. 2000. -Vol. 61, №2. -P. 022104 (15 pages).

52. Madelung E. Quanten theorie in hydrodynamischer Form in German. // Z. Phys. 1926. -Vol. 40. - P. 322-326.

53. Санин A.JI. Квантовый транспорт электрона в пространстве с однородным положительным зарядом и световой волной // Оптика и спектроскопия. — 1994. — Т. 77, № 5. С. 822-826.

54. Tarasov V.E. Quantization of non-Hamiltonian and dissipative systems // Phys. Lett. A. -2001. Vol. 288, № 3/4. - P. 173-182.

55. Tarasov V.E. Stationary states of dissipative quantum systems // Phys. Lett. A. — 2002. — Vol. 299.-P. 173-178.

56. Tarasov V.E. Dissipative Quantum Mechanics: The Generalization of the Canonical Quantization and von Neumann Equation // arXiv:hep-th/9410025v2

57. Bolivar A.O. Quantization of non-Hamiltonian physical systems // Phys. Rev. A. 1998. -Vol. 58, № 6. - P. 4330-4335.

58. Caldirola P.//Nuovo Cimento. 1941. -Vol. 18.-P. 393.

59. Kanai E. On the Quantization of the Dissipative Systems // Prog. Theor. Phys. 1948. — Vol. 3, № 4. - P. 44(M42.

60. Schuch D. Nonunitary connection between explicitly time-dependent and nonlinear approaches for the description of dissipative quantum systems // Phys. Rev. A. 1997. — Vol. 55, № 2. - P. 935-940.

61. Mensky M.B. Continuous quantum measurements and path integrals. Bristol: CRC Press, 1993.- 188 p.

62. Менский М.Б. Квантовые измерения и декогеренция: Модели и феноменология: Пер.с англ. / М.Б. Менский. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 227 с.

63. Churkin A.V. Stochastic Schrodinger Equation for a Quantum Oscillator with Dissipation // Mathematical Notes. 2005. - Vol. 78, №6. - P. 867-873.

64. Wusheng Zhu, Jair Botina, Herschel Rabitz. Rapidly convergent iteration methods for quantum optimal control of population // J. Chem. Phys. 1998. - Vol. 108, № 5. - P. 19531963.

65. Sundermann K., Regina de Vivie-Riedle. Extensions to quantum optimal control algorithms and applications to special problems in state selective molecular dynamics // J. Chem. Phys. — 1999. Vol. 110, № 4. - P. 1896-1904.

66. Carmen M. Tesch, Regina de Vivie-Riedle. Quantum Computation with Vibrationally Excited Molecules // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 89, № 15. - P. 157901 (4 pages).

67. Kaiser A., May V. Optimal control theory for a target state distributed in time: Optimizing the probe-pulse signal of a pump-probe-scheme // J. Chem. Phys. 2004. - Vol. 121, № 6. -P. 2528-2535.

68. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1984. -432 с.

69. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, Физматлит, 1997. - 495 с.

70. Прохоров Л.В. Квантовые динамические системы со связями II рода // Вестник СПбГУ. 2005. - Сер. 4, №1. - С. 82-87.

71. Averin D.V., Korotkov A.N., Likharev К.К. Theory of single-electron charging of quantum wells and dots // Phys. Rev. B. 1991. - Vol. 44, № 12. - P. 6199-6211.

72. Averin D.V. Quantum Computation and Quantum Coherence in Mesoscopic Josephson Junctions // Journal of Low Temperature Physics. 2000. - Vol. 118, № 5/6. - P. 781-793.

73. Демиховский В.Я. Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое // Соросовский образовательный журнал. — 1997. -№5. С. 80-86.

74. Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. М.: МЦНМО, 2002. - 128 с.

75. Баграев Н.Т., Буравлев А.Д., Клячкин JI.E., Маляренко A.M., Рыков С.А. Самоупорядоченные микрорезонаторы в сверхмелких кремниевых р+—п -переходах // Физика и техника полупроводников. — 2000. — Т. 34, вып. 6. С. 726—736.

76. Смирновский А.А., Санин A.JI. Квантовый осциллятор с трением // Молодые ученые -промышленности сев.-зап. региона: материалы семинаров политехнического симпозиума. СПб: Изд. СПбГПУ, 2005. - С. 100.

77. Bateman Н. On Dissipative Systems and Related Variational Principles // Phys. Rev. 1931. -Vol. 38, №4. -P. 815-819.

78. Sanin A.L., Smimovsky A.A. Oscillatory motion in confined potential systems with dissipation in the context of the Schrodinger-Langevin-Kostin equation // Phys. Lett. A. — 2006. — Vol. 372, № 1,-P. 21-27.

79. Sanin A.L., Bagmanov A.T. Shape and Fourier's spectra of a quantum packet in a box for electron motion with specified initial velocities // Proc. of SPIE (SPIE, Bellingham, Wa). 2005. -Vol. 5831.-P. 6-14.

80. Багманов A.T., Санин А.Л. Структуры волновых пакетов в квантовой яме // Успехи современной радиоэлектроники. 2005. - № 12. - С. 25-34.

81. Багманов А.Т., Санин А.Л. Квантовая динамика микрочастицы в одномерных системах // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2005. — № 4. — С. 7-17.

82. Villavicencio J., Romo R., Sosa у Silva S. Quantum-wave evolution in a step potential barrier // Phys. Rev. A. 2002. - Vol. 66, № 4. - P. 042110 (8 pages).

83. Garcia-Calderon G., Villavicencio J. Time dependence of the probability density in the transient regime for tunneling // Phys. Rev. A. 2001. - Vol. 64. - P. 012107 (6 pages).

84. Соколов А.А., Лоскутов Ю.М., Тернов И.М. Квантовая механика. М: Учпедгиз, 1962. -591 с.

85. Киттель Ч. Квантовая теория твердого тела. — М: Наука, 1967. — 492 с.

86. Анпмалу А. Квантовая теория кристаллических твердых тел. — М: Мир, 1981. — 574 с.

87. Stomphorst R.G. Transmission and reflection in a double potential well: doing it the Bohmian way // Phys. Lett. A. 2002. - Vol. 292. - P. 213-221.

88. Savel'ev S., Xuedong Hu, Kasumov A., Nori F. Quantum electromechanics: Quantum tunneling near resonance and qubits from buckling nanobars // arXiv:cond-mat/0601019 (Phys. Rev. B. 2007. - Vol. 75.-P. 165417, 11 pages).

89. Батманов А.Т., Санин A.JI., Смирновский A.A. Динамика квантовых волновых пакетов в системе с потенциальными ямами и барьером // Научно-технические ведомости СПбГПУ. СПб: Изд. СПбГПУ, 2006. - №6-1. - С. 124-139.

90. Sanin A.L., Smirnovsky A.A. Temporal resonances and structures in quantum systems under dissipation // Proceedings of SPAS jointly with UWM. 5-8 July 2006, Olsztyn, Poland. Olsztyn, 2006. - P. 43^17.

91. Endoh A., Sasa S., Muto S. Time evolved numerical simulation of a two-dimensional electron wave packet through a quantum point contact // Appl. Phys. Lett. 1992. - Vol. 61, № 1. — P. 2-54.

92. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: ГИФМЛ, 1959. -926 с.

93. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980.-356 с.

94. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. — М.: Физматлит, 2001. — 496 с.

95. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. -М.: Наука, 1988.-392 с.

96. Санин A.JL, Смирновский А.А. Вынужденные колебания квантовых волновых пакетов в системе с трением, квадратичным потенциалом и стенками // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2007. - Т. 15. № 4. - С. 68-83.

97. Хир К. Статистическая механика, кинетическая теория и стохастические процессы. — М.: Мир, 1976.-600 с.

98. Smirnovsky А.А., Sanin A.L. Influence of dissipation on quantum wave dynamics in confined potential systems // Proceedings of SPIE. 2007. - Vol. 6597. - P. 659704.

99. Штокман Х.-Ю. Квантовый хаос Под ред. Демиховского В.Я. / Пер. с англ. Малышева А.И. М.: Физматлит, 2004. - 376 с.

100. ДемиховскийОО В.Я., Малышев А.И. Квантовая диффузия Арнольда в канале с гофрированной границей в присутствии переменного электрического поля // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2004. - Т. 12, № 5. — С. 3.

101. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. -528 с.

102. Санин А.Л., Смирновский А.А. Когерентное и хаотическое движение в квантовых системах с обратной связью // Научно-технические ведомости СПбГПУ. СПб: Изд. СПбГПУ, 2008. - №3. - С. 80-87.

103. Санин А.Л., Смирновский А.А. Квантовый пространственно-ограниченный осциллятор в системе с трением и обратной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. - Т. 16, № 2. - С. 18-34.

104. Смирновский А.А. Неявный итерационный метод для решения одномерного уравнения Шредингера-Ланжевена-Костина // Молодые ученые — промышленности Сев.

105. Зап. региона: материалы конференций политехнического симпозиума. — СПб: Изд. СПбГПУ, 2006.

106. Фадеев Д.К., Фадеев В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.: Физматгиз, 1963. 730 с.

107. Juan L., Van der Maelin Uria, Santiago Garcia-Granda, Amador Menendez-Velazquez. Solving one-dimensional Schrodinger-like equations using a numerical matrix method // Am. J. Phys. 1996. - Vol. 64, № 3. - P. 327-332.

108. Schweizer W. Numerical Quantum Dynamics. Dordrecht: Boston Kluwer Academic Publishers, 2001.-288 p.

109. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. M.: Наука, 1989. - 432 с.

110. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. М.: Мир, 1991. — Т. 1. -502 с; Т. 2.-552 с.

111. Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике / Под ред. проф. Гейликмана Б.Т. М.: ГИТТЛ, 1957. - 275 с.

112. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие для вузов. В 10 т. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — 4-ое изд., испр. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 768 с.

113. Grindlay J. On an application of a generalization of the discrete Fourier transform to short time series // Can. J. Phys. 2001. - Vol. 79. - P. 857-868.