Динамика коротких волновых пакетов и солитонов огибающей в нелинейных диспергирующих средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Воронцов, Денис Евгеньевич

• Воронцов, Денис Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Воронцов, Денис Евгеньевич

Введение

1. Взаимодействие коротких солитонов огибающей с солитонами и квазимонохроматическими полями

1.1.Взаимодействие солитонов огибающей с внешними волновыми полями в рамках НУШ-3.

1.1.1. Рассеяние протяженного волнового пакета на заданном коротком солитоне.

1.1.2. Изменение энергии солитона при взаимодействии с внешним волновым полем.

1.1.3. Оценки степени усиления коротких оптических солитонов внешним оптическим излучением.

1.2.Адиабатическое взаимодействие двух коротких солитонов огибающей.

2. Динамика коротких волновых пакетов в плавно неоднородных средах

2.1.Динамика волновых пакетов в рамках НУШ-3 с произвольным профилем неоднородного потенциала.

2.2.Параболический профиль неоднородности.

2.3.Периодический профиль неоднородности

3. Короткие векторные солитоны в анизотропных нелинейных диспергирующих средах

3.1.Закон сохранения энергии коротких векторных волновых пакетов.

3.2.Короткие векторные солитоны в рамках СНУШ-3.

3.3. Короткие векторные солитоны с различными амплитудами компонент.

ЗАУстойчивость коротких векторных солитонов в адиабатическом приближении в рамках СНУШ-3.

З.б.Численное моделирование устойчивости векторного солитонного решения.

З.б.Динамика векторных волновых пакетов в рамках СНУШ-3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика коротких волновых пакетов и солитонов огибающей в нелинейных диспергирующих средах»

Данная работа посвящена исследованию динамики волновых пакетов и солитонов огибающей высокочастотного поля как в изотропных, так и в анизотропных нелинейных диспергирующих средах.

Исследование распространения высокочастотных волновых пакетов в нелинейных диспергирующих средах является одной из фундаментальных проблем современной теории нелинейных волн, активно разрабатываемой в течение последних десятилетий. До недавнего времени теоретические исследования данной проблемы проводились в рамках второго (параболического) приближения теории дисперсии нелинейных волн. В этом приближении огибающая y/[x,t) волнового пакета

Ф = ys(x,t)exp(i(o0t-ik0x), распространяющегося в изотропной среде, описывается хорошо известным нелинейным уравнением Шредингера (НУШ)

Частота со и волновое число к удовлетворяют нелинейному дисперсионному соотношению со = со{к,\у/^ j, V^ = (дсо/дк)^ - линейная групповая скорость, q =-(д2о)/дк2)\ - параметр линейной дисперсии

V /|*=*0>М =о •>. . • : • , второго порядка, а = г - параметр кубичной нелинейности. Все параметры уравнения (1) могут быть найдены из разложения нелинейного дисперсионного соотношения

Г*-Л ( ~ ^ со-0)п = \ део\, , ч 1(д2а)\,, . ч2 до) I. | дк У удк м

2) в окрестности центральной частоты со0 и центрального волнового числа к0 до членов второго порядка малости по параметру у: г 4 d>Y2 Ak , , со J к где А со и Ak - ширины частотного и пространственного спектров волнового пакета. Само уравнение (1) может быть получено из дисперсионного соотношения (2) с помощью простых операторных преобразований: &> - <у0 <=> -idJdt, к-ка<^> id/dx. Возможность такой реконструкции НУШ делает второе приближение довольно привлекательным для решения различных задач и к настоящему времени это приближение изучено достаточно подробно [1-4]. В частности, в рамках НУШ существует хорошо известное солитонное решение [4]:

Интерес к данному решению обусловлен возможностью использовать оптические солитоны огибающей в качестве базовых импульсов для передачи информации в волоконно-оптических линиях связи. Первые экспериментальные наблюдения солитонов в оптических линиях связи были опубликованы в работе [40]. Обратим внимание, что солитонное решение (4) существует при одинаковых знаках коэффициентов кубичной нелинейности и линейной дисперсии второго порядка aq> 0. Особая привлекательность данного решения заключается в том, что любое начальное возмущение в рамках НУШ эволюционирует с течением времени при t-* оо к системе подобных солитонов [2], откуда следует, что солитонное решение (4) является единственно устойчивым локализованным решением. Взаимодействие двух солитонов (4) различной амплитуды является упругим и изучено к настоящему времени довольно подробно как точными аналитическими [2], так и приближенными методами [5].

Распространение волновых пакетов в неоднородных нелинейных диспергирующих средах в рамках НУШ с неоднородным аддитивным потенциалом U(x): Л

4) t 5

2/f— + Vg —1 + + 2a\y,\2 ¥ + 2U(x)W = 0 (5) dt 8 dx J dx2 11 w анализировалось в работах [6, 59]. В случае линейного профиля неоднородного потенциала U = px было найдено солитонное решение [59]. Для произвольного профиля неоднородного потенциала было получено уравнение движения центра «масс» волнового пакета:

00 ДГГ 1 +0° +0° х(0=~- Мтпл' = ИИ'*» No= (в)

•^о -со У* -00 -00 где две точки обозначают вторую производную по времени. Полученное уравнение движения центра «масс» волнового пакета напоминает уравнение движения материальной точки в потенциальном поле. При достаточно плавном изменении потенциала на масштабе волнового пакета функцию производной потенциала в (6) можно вынести из-под знака интеграла со значением в точке центра «масс». В этом случае приходим к одному из замечательных результатов второго (квазиоптического) приближения теории дисперсии нелинейных волн для неоднородных сред: уравнение движения нелинейного пакета волн в плавнонеоднородной среде аналогично уравнению движения материальной частицы в потенциальном поле: ч t) = q

7) dx

Если принять, что величина U играет роль потенциала силы F = -(ди/дх)щ, действующей на некоторую эффективную частицу, то массой» этой частицы будет величина m = \/q.Подобная аналогия позволила перенести хорошо известные результаты механики на движение протяженных волновых пакетов: ускорение таких пакетов не зависит от их протяженности, интенсивности и фазовой модуляции, а определяется лишь неоднородностью среды. Отсюда, в частности, следует, что в однородной среде протяженные волновые импульсы движутся без ускорения.

Второе приближение теории дисперсии нелинейных волн корректно описывает эволюцию волновых пакетов при их достаточно узком временном А со и пространственном спектрах Ак, а также при достаточно слабой нелинейности v«l. Однако в настоящее время в ряде прикладных задач возникает интерес к исследованию распространения коротких, порядка нескольких длин волн, волновых пакетов в нелинейных диспергирующих средах [7-11,43-46]. В оптике это обусловлено нахождением и исследованием нового класса коротких оптических солитонов, являющихся базовыми импульсами для передачи информации в нелинейных волоконно-оптических линиях связи [7,8,43,44]. Это позволит напрямую решить проблему увеличения информативной емкости волоконно-оптических линий связи: чем короче базовый импульс, тем большее число этих импульсов может быть передано через линию в единицу времени без их перекрытия, то есть без потери и искажения информации. В физике плазмы подобный интерес обусловлен задачей нагрева мишени мощными короткими электромагнитными импульсами [9]. В гидродинамике -задачей распространения коротких интенсивных цугов поверхностных волн на глубокой воде [10,11].

В качестве еще одного направления исследования возможностей сокращения временных масштабов базового импульса, помимо формирования коротких солитонов огибающей, необходимо отметить изучение нелинейной динамики импульсов, состоящих всего из нескольких колебаний волнового поля [см. например 53-56]. Прогресс в современной лазерной физике сделал возможным создание импульсов протяженностью до 2-х колебаний светового поля [51]. Подобные импульсы в литературе принято называть предельно короткими, подразумевая под этим число осцилляций поля, а не протяженность самого импульса. При этом привычное понятие огибающей импульса теряет смысл, равно как и метод медленно меняющейся огибающей светового импульса.

Для волновых пакетов протяженностью в несколько длин волн ширина временного и пространственного спектров не мала и второе приближение теории дисперсии уже не справедливо. В этом случае, необходимо учитывать члены более высокого порядка малости. В связи с этим в последнее время активно разрабатываются высшие приближения теории дисперсии [12, 29, 45-47]. Наибольшее распространение получило следующее за параболическим третье приближение теории дисперсии нелинейных волн в изотропных кубично нелинейных средах. Однако уже в третьем приближении полная реконструкция уравнения для огибающей волнового пакета из разложения нелинейного дисперсионного соотношения невозможна. Это связано с тем, что в разложении возникают члены, связанные с нелокальностью и нестационарностью нелинейности. В то же время, ограничиваясь дифференциальной формой эволюционного уравнения и удерживая члены до третьего порядка малости по параметру v, можно представить его в общем виде [7,8]:

V /

Уравнение (8) содержит в левой части члены второго порядка, а в правой

- третьего порядка малости по параметру v. Слагаемые в круглых скобках в правой части (с параметрами р и ц) отвечают, в частности, зависимости групповой скорости волн от их интенсивности /j2 (параметры нелинейной дисперсии) и впервые были учтены в [13]. Анализ этих слагаемых был впервые проведен в работе [14]. Действительно, положив в (8) q = a = у = О, уравнение (8) сводится к следующему выражению: а, -Г?"0где <д = р + 2ц. Отсюда следует, что участки волнового импульса различной интенсивности движутся с различными групповыми скоростями: = = Данный эффект получил в дальнейшем название self-steeping». Слагаемое с третьей пространственной производной называют линейной дисперсией третьего порядка. Оно отвечает отклонению дисперсионного соотношения со-о)\к,\у/|2j в окрестности центральной частоты й)0 и центрального волнового числа к0 от квадратичной параболы (линейная аберрация или линейная дисперсия третьего порядка). Уравнение (8) также было получено для волновых пакетов в нелинейных волоконно-оптических линиях связи из уравнений Максвелла в работе

15]. При этом выводе в уравнении были отброшены все члены более высокого порядка малости относительно параметра v3. При О уравнение (8) описывает негамильтонову подсистему исходной гамильтоновой системы, описываемой уравнениями Максвелла. Одним из следствий этого является то, что хотя для волнового пакета в рамках (8) сохраняется его энергия djdt dx = 0, но при /лф О изменяется его импульс

16]:

Р = П Ltf-yM*, {Щ

2iV дх где у/ - поле, комплексно-сопряженное полю у/. Изменение импульса поля из (8) определяется уравнением dP ^aVi р . оо где <р - фаза пакета ^ = это явление связано с описанием исходной системы взаимодействующих в среде полей разных типов (например, электромагнитного и звукового) уравнением, учитывающим поле только одного типа. Для более корректного описания динамики электромагнитных волновых пакетов требуется учет существующих в среде полей других типов.

Уравнение (8) является базовым уравнением третьего приближения теории дисперсии нелинейных волн в однородной изотропной среде, описывающим динамику огибающей y/{xtt} одномерного волнового пакета. Это уравнение иногда называют нелинейным уравнением Шредингера третьего порядка (НУШ-3) и оно широко используется при анализе распространения коротких волновых импульсов в нелинейных диспергирующих средах, в частности, в нелинейных волоконно-оптических линиях связи [51]. Нелинейное уравнение Шредингера инвариантно к замене переменных rojc, что позволяет использовать его для решения как начальных, так и граничных задач.

К настоящему времени стационарные нелинейные волны исследовались в некоторых частных случаях НУШ-3 как численно, так и аналитически. В работах [17,18] найдены солитонные решения с модулированным волновым числом при распространении в точке нулевой линейной дисперсии второго порядка (ZDP) и без учета членов нелинейной дисперсии (/? = // = О). Точный анализ НУШ-3 методом обратной задачи рассеяния [2], позволяющий находить N-солитонные решения, проводился в работах [19-22] в следующих случаях: при a = q = 0 и действительной функции у/, когда НУШ-3 сводится к модифицированному уравнению

Кортевега-де Вриза (МКдВ) - решения в этом случае получены в [19]; при ju — 0 и цР = Ъуа (условия Хироты), когда (8) сводится к уравнению Хироты, проанализировано в [20]; при q = 1, а = 1, Р = Ьу, = (8) сводится к уравнению Сасы-Сатсумы (SSE), проанализированному в [21]. В случае так называемого дифференцированного НУШ (derivative NSE) первого типа, отвечающего условиям а = у = 0 и Р = (л, найдено солитонное решение в [22], N-солитонные решения исследовались в работах [57, 58]. Нелокализованные стационарные волны - солитоны на подложке, были описаны в рамках НУШ-3 в работах [23, 24].

Другой аналитический метод, применяемый к анализу нелинейного уравнения Шредингера третьего порядка в случаях, когда метод обратной задачи рассеяния не проходит, основан на сведении исходного уравнения к системе обыкновенных однотипных дифференциальных уравнений. Так, в [6] найдено солитонное решение в случае дифференцированного НУШ (derivative NSE) второго типа, отвечающего условиям // = у = 0. Солитонные решения с модулированным волновым числом найдены в

НУШ-3 в пренебрежении линейной дисперсией третьего порядка (^ = 0) в работах [15,25,41,42], а также методом возмущений при условии малости параметра линейной дисперсии третьего порядка в [23,26]. Солитонные решения с немодулированным волновым числом найдены в НУШ-3 в следующих трех случаях: в точке перегиба линейной дисперсионной характеристики (q = 0) в работах [27,28]; при наличии неоднородного потенциала в виде линейного профиля и при выполнении условий Хироты [33] (обобщение хорошо известного солитона Чена); при произвольных коэффициентах уравнения [25,15]. В последнем случае солитонное решение имеет вид:

12) где @ = j3 + 2ju - результирующий параметр нелинейной дисперсии. Решение (12) существует в средах с одинаковыми знаками параметров 0 и у. у&>0, когда эффект самоукручения, вызванный нелинейной дисперсией, компенсируется эффектом линейной аберрации, вызванной линейной дисперсией третьего порядка. В работе [30] было показано, что солитонное решение (12) является единственным устойчивым локализованным решением НУШ-3: при выполнении условия существования соли-тонного решения любой локализованный импульс эволюционирует со временем к системе подобных солитонов плюс линейной квазипериодической волне.

К настоящему времени взаимодействие солитонов (12) в рамках НУШ-3 исследовано, в основном, численными методами [31, 50]. В работе [31] было показано принципиальное отличие этого взаимодействия от взаимодействия солитонов в рамках классического НУШ, а именно нарушение упругого характера взаимодействия, выражающегося в несовпадении параметров солитонов до и после взаимодействия и в наличии излучения части волнового поля из области взаимодействия. Численно была также показана возможность существования связанных солитонных решений (бризеров) [16]. В материалах первой главы данной диссертации аналитически описан эффект образования связанных состояний при взаимодействии двух солитонов в рамках НУШ-3, показана зависимость характера взаимодействия от знаков параметров нелинейной дисперсии. Также показана возможность усиления солитона (12) внешним волновым полем той же природы - эффект, отсутствующий в классическом параболическом приближении. Результаты этих исследований опубликованы в

Большой интерес вызывает также исследование динамики нестационарных волновых пакетов в рамках нелинейного уравнения Шредин-гера третьего порядка как в однородных, так и в средах с различными профилями неоднородного потенциала. В работе [11] экспериментально исследовалось поведение коротких интенсивных волновых пакетов на поверхности глубокой воды, при этом была показана неадекватность описания такой динамики в рамках классического НУШ. В [12] так же рассматривалось поведение коротких интенсивных волновых пакетов на глубокой воде. Было показано соответствие реального поведения пакетов и аналитического описания этого поведения в рамках третьего приближения теории дисперсии нелинейных волн, приводящего к уравнению Диета [10]. Аналитические исследования динамики нестационарных волновых пакетов были проведены в работах [15,25] с использованием метода моментов. Были получены соотношения для скорости и ускорения центра «масс» волнового пакета. В частности, ускорение для волнового пакета в однородной среде описывается следующим выражением:

- энергия волнового пакета. Ускорение центра «масс» волнового пакета в рамках НУШ-3 принципиально отличается от ускорения в рамках класси

32]. где • = £//<# и (р - фаза огибающей пакета ^ = N0= ческого параболического приближения - оно не равно нулю в однородной среде. Этот эффект обусловлен вынужденным рассеянием Мандельштама - Бриллюэна. Исследование эволюции огибающей нестационарного волнового пакета в однородной среде было проведено с использованием численных методов в [30]. Было показано, что произвольное начальное возмущение в рамках НУШ-3 эволюционирует в зависимости от его начальных параметров к одному или нескольким солитонам и линейной квазипериодической волне. Также было показано, что ускорение произвольного волнового пакета со временем стремиться к нулю. Последнее обстоятельство связано с тем, что короткие солитоны огибающей, на которые распадается произвольной начальное возмущение, обладают линейной фазовой модуляцией dV/c3£2 =0.

Распространение нелинейных волновых пакетов в неоднородных средах было проанализировано в рамках НУШ-3 в [33] методом моментов лишь для случая линейного профиля неоднородного потенциала: д\¥\

2/ + dt g дх

2а И V

2i

2 Л

• дх

14) и при выполнении условий Хироты // = 0 и qfi = 3ya. Было получено уравнение для центра масс пакета

•м ^ х =—ург = const, 4 начальные условия которого следующие: р

15)

Зу

16)

Отсюда следует, что траектории движения коротких волновых пакетов зависят как от фазового, так и от амплитудного распределения в начальный момент времени, что существенным образом отличает динамику коротких пакетов в рамках НУШ-3 от динамики протяженных волновых пакетов в рамках НУШ.

Во второй главе данной диссертации проведено исследование распространения нестационарных волновых пакетов в плавно неоднородных нелинейных диспергирующих средах в рамках НУШ-3. В случае произвольного профиля неоднородного потенциала получено замкнутое уравнение для центра масс пакета. Для случаев параболического и периодического профилей неоднородного потенциала траектории движения центра «масс» волнового пакета найдены в явном виде. Результаты исследований опубликованы в [34].

Помимо описания высокочастотных волновых процессов в рамках третьего приближения теории дисперсии в изотропных средах вызывает интерес задача распространения волновых пакетов и нахождения стационарных волн в двояколучепреломляющих средах, когда существенны эффекты взаимодействия полей разной поляризации. До последнего времени данная проблема анализировалась лишь в рамках второго параболического приближения теории дисперсии нелинейных волн [35,36, 48]. В этом приближении базовым уравнением, описывающем в двояколучепреломляющих средах динамику векторного волнового пакета Ё = exU- ik0x) + e2W(x,t)exp(i60j - ik0x), где U,W - медленно меняющиеся огибающие компонент волнового пакета с поляризациями и близкими частотами \сои -o)w\co)u w, является связанное нелинейное уравнение Шредингера:

17)

2'1Г++2а(^2+=(18) где (7 - параметр нелинейной связи между компонентами векторного волнового пакета. Система уравнений (17), (18) описывает динамику векторных волновых пакетов в сопровождающей системе отсчета, движущейся с линейной групповой скоростью. Различием групповых скоростей разных компонент волнового поля пренебрегаем в силу близости их частот \0)U~0)W\<K0)UW.

Связанное нелинейное уравнение Шредингера имеет хорошо известное решение в виде протяженного векторного солитона (двухкомпо-нентное солитонное решение): л exp[i(g 4 /2 + Kq)t + cosh (yjafaA, (£ - Kqt)>I\ + Я2<т)' (19)

W = ш, где К - свободный параметр, Я - параметр, удовлетворяющий выражению (я2 — l)(cr — 1) = 0, что соответствует Я2=1 при оф\ и произвольному значению Я при ег = 1. Солитонное решение в последнем случае было найдено Манаковым в работе [35].

Связанное нелинейное уравнение Шредингера описывает достаточно протяженные векторные волновые пакеты. Описание динамики коротких (порядка нескольких длин волн) векторных волновых пакетов уравнение в рамках этого уравнения уже является некорректным, поскольку необходимо учитывать эффекты третьего приближения теории дисперсии нелинейных волн. Базовым уравнением, описывающим динамику медленно меняющихся огибающих U,W различных поляризаций короткого векторного волнового пакета, является связанное нелинейное уравнение Шредингера третьего порядка (СНУШ-3): f —. —. -WI.H2 . |„,|2ч\

2 i ч ' '

Л лт\г Irriw • &W л

20) где cra,crp,crM - параметры нелинейной связи между компонентами векторного волнового пакета. К настоящему моменту короткие векторные волновые пакеты в двояколучепреломляющих нелинейных диспергирующих средах исследовались лишь эпизодически [37, 49]. Так, система уравнений аналогичных (20), (21) использовалась в [37] для описания векторных солитонов с различными частотами компонент \сои -o>w\<K(ouw при учете из членов третьего порядка только линейной дисперсии: р = // = 0.

Сама система уравнений (20), (21) может быть получена из уравнений Максвелла, что было показано в работе [38]. В случае изотропной среды, то есть при отсутствии связи между компонентами векторного волнового пакета <уа = <ур = сгм = 0, система уравнений (20), (21) сводится к двум несвязанным нелинейным уравнениям Шредингера третьего порядка (8). При этом задача о существовании устойчивого стационарного решения в рамках СНУШ-3 оставалась нерешенной.

В данной работе в третьем приближении теории дисперсии для двоякопреломляющих нелинейных диспергирующих сред аналитически найден класс коротких векторных солитонных решений и определены условия их существования. Методом возмущений исследована устойчивость коротких векторных солитонов. Численными методами проанализирована динамика произвольного векторного волнового пакета. Результаты этих исследований опубликованы в [38-40].

Основной целью диссертации является дополнение существующего описания динамики волн в нелинейных диспергирующих средах. При этом волновые пакеты и солитоны огибающей исследуются в рамках третьего приближения теории дисперсии нелинейных волн как в изотропных, так и двояколучепреломляющих средах. Полученные результаты могут быть использованы как при теоретическом описании современных волновых задач, так и в ряде практических областей применения (для интерпретации некоторых опытных данных, улучшения параметров волоконно-оптических линий связи и т.д.)

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Воронцов, Денис Евгеньевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение сформулируем основные результаты, полученные в данной диссертации.

1. Исследовано адиабатическое взаимодействие солитонов огибающей с внешним волновым полем в рамках НУШ-3. Показана возможность усиления солитона внешним волновым полем той же природы, обусловленная нелинейной дисперсией. Найдено критическое значение амплитуды, до которой солитон усиливается или убывает в результате взаимодействия. Приведены оценки усиления коротких оптических солитонов внешним волновым излучением в оптических линиях связи.

2. В адиабатическом приближении проанализировано взаимодействие двух солитонов огибающей в рамках НУШ-3. Показана возможность образования связанных состояний двух коротких солитонов. Найдено максимальное значение разности амплитуд солитонов, отвечающее связанному состоянию.

3. В рамках нелинейного уравнения Шредингера третьего порядка с аддитивным неоднородным потенциалом проанализирована динамика интенсивных волновых пакетов. В случае произвольного профиля неоднородности получено замкнутое уравнение движения центра «масс» пакета. Показана зависимость траектории движения пакета как от фазовых, так и от амплитудных распределений пакета в начальный момент времени. Детально проанализированы траектории пакета в случае параболического и периодического профилей неоднородности. Показано существование как ограниченных (замкнутых), так и неограниченных траекторий волновых пакетов с различным числом точек поворота на периоде неоднородного потенциала.

4. В рамках связанного нелинейного уравнения Шредингера третьего порядка, описывающего распространение коротких импульсов в двояко-лучепреломляющих нелинейных диспергирующих средах, найден класс коротких векторных солитонов огибающей. Определены условия существования решения как с различными, так и с равными амплитудами компонент солитона. Показано, что при отсутствии связи между компонентами векторного волнового пакета, решение сводится к скалярныму соли-тону в рамках НУШ-3.

5. Исследована устойчивость коротких векторных солитонов к малым возмущениям амплитуд компонент. Определены параметры СНУШ-3, при которых векторный солитон устойчив. Показано, что период колебаний координат максимумов возмущенных компонент короткого векторного солитона друг относительно друга растет с убыванием амплитуды солитона. Показано совпадение результатов аналитического исследования устойчивости коротких векторных солитонов и численного моделирования динамики возмущенных векторных солитонов в рамках СНУШ-3.

6. Численно исследована динамика коротких векторных волновых пакетов в рамках СНУШ-3. Показано, что при условии существования векторного солитонного решения начальный импульс с течением времени эволюционирует в зависимости от его начальных параметров к одному или нескольким коротким векторным солитонам и квазипериодической волне.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Воронцов, Денис Евгеньевич, 2004 год

1. Виноградова М.В., Руденко О.В., Сухорукое А.П., Теория волн, М., Наука, 1979.

2. Захаров В.Е., Шабат А.Б., Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах, ЖЭТФ, т. 61, с. 118,1971.

3. В.И. Беспалов, В.И. Таланов, О нитевидной структуре пучков света в нелинейной жидкости, Письма в ЖЭТФ, т.З, с. 471, 1966.

4. Таланов В.И., О самофокусировке электромагнитных волн в нелинейных средах, Изв. ВУЗов Радиофизика, т.7, с. 345, 1964.

5. К.А. Горшков, В.В. Тютин, «Взаимодействие солитонов в рамках обобщенного нелинейного уравнения Шредингера», Труды 5 Всероссийской школы-семинара «Волновые процессы в неоднородных средах», Москва, стр. 72-73, 1996.

6. Chen Н.Н., Lee Y.C. and Liu C.S. Physica Scripta, v.20, p.490, 1979.

7. G.P. Agraval, Nonlinear Fiber Optics, Academic, Orlando, Fla., 1989.

8. A. Hasegawa, Optical Solitons in Fibers, Springer-Verlag, Berlin, 1989.9. «Взаимодействие лазерного излучения сверхвысокой интенсивности с плазмой», сборник статей под редакцией В.В. Коробкина, М., Наука, 1995.

9. К.В. Dysthe, Note on a modification to the nonlinear Schrodinger equation for application to deep water, Proc. R. Soc. Lond. A, v. 369, p. 105, 1979.

10. Ming-Yang Su, Evolution of groups of gravity waves with moderate to high steepness, Phys. Fluids, v. 25, N 12, p. 2167-2174,1982.

11. Gromov E.M., Talanov V.I., Nonlinear dynamics of short wave trains in dispersive medium, in book: Nonlinear waves. Sinchronization and Patterns, part 1, Nizhny Novgorod Univercity Press, p. 23,1995.

12. Литвак А.Г., Таланов В.И., Применение параболического уравнения к расчету полей в диспергирующих нелинейных средах, Изв. ВУЗов Радиофизика, т. 10, №4, с. 539, 1967.

13. Островский Jl.А., Распространение волновых пакетов и пространственно-временная самофокусировка в нелинейной среде, ЖЭТФ, т. 24, с. 797-801, 1966.

14. Громов Е.М., Таланов В.И., Короткие солитоны огибающей (комбинированное нелинейное уравнение), Изв. ВУЗов Радиофизика, т.39, N 6, с. 735,1996.

15. Gromov Е.М., Talanov V.I., Short optical solitons in fibers, Chaos, v.10, p.551,2000.

16. Wai P.K.A., Menyuk C.R., Chen H.H. and Lee Y.C., Soliton at the zero-group-dispersion wavelength of a single-model fiber, Opt. Lett., v.12, p.628, 1987.

17. B.K. Мезенцев, C.K. Турицын, Новый класс солитонов в волоконных световодах вблизи точки нулевой дисперсии, Квантовая Электроника, т.18, N5, с. 610-612, 1991.

18. Wadati М., The exact solution of the modified Korteveg-de Vries equation, Phys. Soc. Jap., v.32, p. 1681,1972.

19. Hirota R., Exact envelope-solutions of a nonlinear wave equation, J. Math. Phys., v.14, p. 805, 1973.

20. Sasa N. And Satsuma J., New-type of soliton solutions for a higher-order nonlinear Shrodinger equation, Phys. Soc. Jap., v.60, p. 409,1991.

21. Каир D.J. and Nawell A.C., An exact solution for a derivative nonlinear Schrodinger equation, J. Math. Phys., v.19, p. 798,1978.

22. E.M. Gromov, V.V. Tyutin, Stationary waves in a third-order nonlinear Schrodinger equation, Wave Motion, v.28, N 1, p. 13,1998.

23. Li Z., Li L., Tian H., Zhou G., New types of solitary wave solutions for the higher order nonlinear Schrodinger equation, Phys. Rev. Lett., v. 84, p.4096, 2000.

24. E.M. Громов, В.И. Таланов, Нелинейная динамика коротких цугов волн в диспергирующих средах, ЖЭТФ, т. 110, с. 137,1996.

25. В.В. Тютин, Солитоны огибающей в уравнении третьего приближения теории дисперсии нелинейных волн, Изв. ВУЗов Радиофизика, т.40, N 7, с. 877-885, 1997.

26. Frantzeskakis D.J., Hizanidis К., Tombas G.S. and Belia I., Nonlinear dynamics of femtosecond optical solitary wave propagation at the zero dispersion point, IEEE J. Quantum Electron., v. 31, p.183, 1995.

27. Frantzeskakis D.J., Hizanidis K., Polymilis C., Ultrashort solitary-wave propagation in dielectric media with resonance dominated chromatic dispersion, J. Opt. Soc. Am. B, v. 12, N.4, p.628,1995.

28. Karpman V.I., Shagalov A.G., Evolution of solitons described by the higher-order nonlinear Schrodinger equation, Phys. Lett. A, v. 254, p. 319324, 1999.

29. E.M.Gromov, L.V. Piskunova, V.V. Tyutin, Dynamics of wave packets in the frame of third-order nonlinear Shrodinger equation, Phys. Lett. A, v. 256, p. 153, 1999.

30. Громов E.M., Пискунова Jl.В, Тютин В.В., Динамика волновых пакетов и взаимодействие солитонов в рамках нелинейного уравнения Шре-дингера третьего порядка, Изв. ВУЗов Радиофизика, т.41, N 12, с. 1551-1557, 1998.

31. Е.М. Gromov, L.V. Piskunova, V.V. Tyutin, D.E. Vorontzov, Interaction of short envelope solitons with external wave fields, Phys. Lett. A, v. 273, p. 338-344, 2000.

32. E.M. Gromov, Propagation of short nonlinear wave packets and solitons in smoothly inhomogeneous media, Phys. Lett. A, v. 227, p. 67-71, 1997.

33. E.M. Gromov, V.V. Tyutin, D.E. Vorontzov, Short intense wave packets in smoothly inhomogeneous media, Phys. Lett. A, v. 257, p. 182-188,1999.

34. Манаков C.B., К теории двумерной стационарной самофокусировки волн, ЖЭТФ, №8, с. 505, 1973.

35. Menyuk C.R., Nonlinear pulse propagation in birefringent optical fibers, J. Quantum Electron., v.23, p.174,1987.

36. Frantzeskakis D.J., Vector solitons supported by the third order dispersion, Phys. Lett. A (2003 in press).

37. Д.Е. Воронцов, E.M, Громов, Л.В. Пискунова, В.В. Тютин, Короткие векторные солитоны огибающей, Изв. ВУЗов Радиофизика, т.44, N 7, с. 614-624, 2002.

38. E.M. Gromov, V.V. Tyutin, D.E. Vorontzov, Short vector solitons, Phys. Lett. A, v. 287, p. 233-239, 2001.

39. Mollenauer L.F., Stolen R.H. and Gorden J.P., Experimental observation of picosecond pulse narrowing and solitons in optical fibers, Phys. Rev. Lett., v. 45, p. 1095, 1980.

40. Anderson D. and Lisak M., Nonlinear asymmetric self-phase modulation and self-steeping of pulses in long optical waveguides, Phys. Rev. A, v. 27, p. 1393,1983.

41. Wai P.K.A., Menyuk C.R., Chen H.H. and Lee Y.C., J. Quantum Electron., v.24, p.373, 1988.

42. A. Hasegawa, Y. Kodama, Solitons in Optical Communications, Oxford Univ. Press, Oxford, 1996.

43. Y. Kodama, A. Hasegawa, Nonlinear pulse propagation in a monomode dielectric guide, IEEE, J. Quantum Electron., v.23, p.510, 1987.

44. Zhonghao Li, Lu Li, Huiping Tian, Guosheng Zhou and Karl H. Spatschek, Chirped femtosecond solitonlike laser pulse form with self-frequency shift, Phys. Rev. Lett., v. 89, №26, 2002.

45. Zhonghao Li, Lu Li, Huiping Tian and Guosheng Zhou, New types of solitary wave solutins for the higher order nonlinear Schrodinger equation, Phys. Rev. Lett., v. 84, №18, p. 4096-4099, 2000.

46. Karpman V.I., Shagalov A.G., Stability of solitons described by nonlinear Schrodinger-type equations with higher-order dispersion, Physica D, v. 144, p. 194-210, 2000.

47. T. Kanna and M. Lakshmanan, Exact soliton solutions, shape changing collisions and partially coherent solitons in coupled nonlinear Schrodinger equations, Phys. Rev. Lett., v. 86, №22, p. 5043-5046, 2001.

48. К. Nakkeeran, К. Porsezian, P. Shanmugha Sundaram and A. Mahalin-gam, Optical solitons in N-coupled higher order nonlinear Schrodinger equations, Phys. Rev. Lett., v. 80, №7, p. 1425-1428,1998.

49. Y. Kodama and K. Nozaki, Soliton interaction in optical fibers, Optics Letters, v. 12, №12, p. 1038-1040, 1987.

50. M. Gedalin, T.C.Scott and Y.B. Band, Optical solitary waves in the higher order nonlinear Schrodinger equation, Phys. Rev. Lett., v. 78, №3, p. 448451,1997.

51. BrabecTh., Krausz F., Intense few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics, Rev. Mod. Phys., v. 72, N 2, p. 545-591, 2000.

52. Ким A.B., Рябикин М.Ю., Сергеев A.M., От фемтосекундных к аттосе-кундным импульсам, Успехи физических наук, т. 169, N 1, с. 58-66, 1999.

53. Козлов СЛ., Сазонов С.В., Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах, ЖЭТФ, т. 111, с. 404-418, 1997.

54. Д.В. Карташов, А.В. Ким, С.А. Скобелев, Солитонные структуры волнового поля с конечным числом колебаний в нерезонансных средах, Письма в ЖЭТФ, т. 78, 2003.

55. Маймистов А.И., О распространении ультракоротких световых импульсов в нелинейной среде, Оптика и спектроскопия, т. 76, N 4, 1994.

56. Выслоух В.А., Чередник И.В., Многосолитонные составляющие решений нелинейного уравнения Шредингера с возмущающим членом, Теоретическая и математическая физика, т. 78, № 1, с. 35-44, 1989.

57. Steudel Н., The hierarchy of multi-soliton solutions of the derivative nonlinear Schrodinger equation, Journal of Physics A, v. 36, p. 1931-1946, 2003.

58. Chen H.H. and Liu C.S., Nonlinear wave and soliton propagation in media with arbitrary inhomogeneities, Phys. Fluids, v.21, p. 377,197.