Динамика и релаксация многоквантовых когерентностей ЯМР в одномерных спиновых цепочках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Бочкин Георгий Алексеевич

• Бочкин Георгий Алексеевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Бочкин Георгий Алексеевич

3.1 Общие замечания

3.2 Вычисление второго момента формы линии МК когерентности ЯМР нулевого порядка

3.3 Второй момент формы линии МК когерентностей ЯМР второго порядка

3.4 Полуфеноменологическая теория релаксации МК когерепт-ностей

3.5 Сравнение результатов ¿¿-модели и полуфеноменологической теории с экспериментальными данными

4 Ориентационная зависимость МК динамики и релаксации в одномерных системах

4.1 Общие замечания

4.2 Роль гетероядерных взаимодействий в динамике и релаксации МК когерентностей ЯМР

4.3 Численный метод для описания релаксации МК когерентностей ЯМР для 16-спиновой системы

4.4 Сравнение теоретических результатов с экспериментальными, полученными на фторапатите

5 Цепочки с различными константами ДДВ ближайших соседей

5.1 Фермионное представление матрицы плотности неоднородной одномерной системы в МК эксперименте ЯМР

5.2 Свойства однофермионного спектра в МК динамике ЯМР

5.3 Структура МК спектра ЯМР неоднородной одномерной цепочки

5.4 Эволюция интенсивностей МК когерентностей ЯМР в неоднородных одномерных цепочках

Заключение

Список публикаций по теме диссертации

Благодарности

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика и релаксация многоквантовых когерентностей ЯМР в одномерных спиновых цепочках»

Введение

Актуальность работы. Многоквантовая (МК) спектроскопия ЯМР [1] является эффективным методом для изучения пространственного распределения ядерных спинов в твёрдых телах [1, 2, 3]. МК ЯМР открывает новые пути для решения различных проблем квантовой информатики [4]. В частности, в эксперименте МК ЯМР можно наблюдать возникновение и рост коррелированных кластеров на подготовительном периоде МК эксперимента ЯМР [5, 6, 7, 8] и их декогеренцию на периоде свободной эволюции [9, 10, И].

Одномерные системы ядерных спинов являются простейшими системами для изучения динамики и релаксации МК когерентностей ЯМР. Развитие аналитических и численных методов МК динамики и релаксации в МК экспериментах ЯМР является актуальным направлением в исследовании физико-химических свойств вещества, квантовых корреляций и квантовой коммуникации.

Степень разработанности темы исследования. В большинстве работ по МК ЯМР исследуются малоспиновые трёхмерные системы, что ограничивает их возможности для интерпретации экспериментальных данных. Работа [1] может рассматриваться как первая достаточно близкая к теме исследования. В этой экспериментальной работе одномерные системы не исследовались. Одномерные системы были исследованы позднее [12, 13]. В одномерной однородной цепочке получено аналитическое решение для МК динамики ЯМР на подготовительном периоде (в приближении взаимодействия ближайших соседей и при изначально термодинамически равновес-

ном состоянии). В соответствии с ним в системе присутствуют только МК когерентности порядков 0 и ±2 [14, 15, 16, 17, 18]. Позднее была разработана аналогичная теория и для случая альтернированной цепочки (т.е. с двумя константами связи между ближайшими соседями, чередующимися вдоль цепочки) [19, 20]. Остались неисследованными релаксация МК коге-рентностей и её ориентационная зависимость. Эти вопросы исследуются в настоящей работе. Большое внимание уделяется также сравнению с экспериментальными данными.

Цель и задачи работы. Целью работы является исследование динамики и релаксации многоквантовых когерентностей ЯМР в одномерных спиновых цепочках, их зависимости от ориентации образца во внешнем магнитном поле и длительностей подготовительного периода и периода свободной эволюции. В работе решались следующие задачи:

• Расчёт интенсивности многоквантовых (МК) когерентностей в эксперименте ЯМР в однородной одномерной цепочке в ¿¿-модели на периоде свободной эволюции в зависимости от длительностей подготовительного периода и периода свободной эволюции.

• Вычисление вторых моментов форм линий МК когерентностей и расчёт стационарных значений интенсивностей (значений при большой длительности периода свободной эволюции £), которые являются основой для построения полуфеноменологической теории релаксации МК когерентностей в таких цепочках на периоде свободной эволюции МК эксперимента ЯМР.

• Исследование зависимости динамики МК когерентностей от ориентации цепочки.

• Исследование динамики МК когерентностей на подготовительном периоде в неоднородных цепочках.

Научная новизна. В работе разработан оригинальный метод исследования МК динамики и релаксации, основанный на фермионном подходе на подготовительном периоде МК эксперимента ЯМР [16, 17] и приближения [15] на периоде свободной эволюции МК эксперимента ЯМР. Развита полуфеноменологическая теория релаксации МК когерентностей в одномерных системах, использующая впервые рассчитаные вторые моменты форм линий МК когерентностей в таких системах. Впервые проведено исследование зависимости динамики МК когерентностей от ориентации для случая одномерных систем. Применён оригинальный численный метод расчёта вторых моментов форм линий МК когерентностей, учитывающий гетероядерные взаимодействия. Получено точное решение для МК динамики на подготовительном периоде в цепочках с произвольными константами

ДДВ.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. В ней содержится завершённое исследование динамики и релаксации МК когерентностей ЯМР в однородных цепочках. Впервые разработана полуфеноменологическая теория релаксации МК когерентностей на периоде свободной эволюции МК эксперимента ЯМР. Также впервые исследована динамика МК когерентностей ЯМР в одномерных системах в зависимости от ориентации относительно внешнего магнитного поля, и МК динамика ЯМР на подготовительном периоде в неоднородных цепочках. Разработанные теоретические методы представляют интерес для интерпретации МК экспериментов ЯМР и развития новых подходов в задачах квантовой теории информации.

Методология и методы диссертационного исследования. В работах, на которую опирается настоящее исследование [16, 17], результаты по динамике МК когерентностей ЯМР на подготовительном периоде были получены путём применения преобразования Йордана-Вигнера. В главах 2 и 3 исследовалась динамика МК когерентностей на периоде свободной эволюции несколькими методами: применялась ¿¿-модель, в которой отбрасы-

вается флип-флоп часть гамильтониана (возможность такого приближения доказана в диссертации при вычислении МК когерентности нулевого порядка), в результате чего оставшиеся члены коммутируют друг с другом, что позволило аналитически рассчитать интенсивности МК когерентно-стей на периоде свободной эволюции; и полуфеноменологическая теория, использующая подтверждённый экспериментально гауссов спад МК коге-рентностей на периоде свободной эволюции. Параметры этого спада (выражаемые, в частности, через второй момент формы линии) вычислены аналитически с использованием фермионного представления. В главе 4 был использован численный метод для расчёта этих вторых моментов с учётом гетероядерного взаимодействия. В главе 5 исследована динамика МК когерентностей ЯМР в неоднородных цепочках методами, использующими результаты [16, 17]. Теоретические исследования глав 2-4 разрабатывались с учётом экспериментальных данных (в особенности полуфеноменологическая теория главы 3).

Положения, выносимые на защиту.

1. Интенсивности МК когерентностей ЯМР (порядков 0 и ±2) па периоде эволюции МК эксперимента ЯМР в конечных открытых спиновых цепочках в рамках ¿¿-модели и приближении взаимодействия ближайших соседей.

2. Релаксация МК когерентностей ЯМР на периоде свободной эволюции. Теоретическое выражение для остаточной (стационарной) интенсивности МК когерентности нулевого порядка для бесконечных цепочек и конечных цепочек произвольной длины.

3. Вторые моменты форм линий МК когерентностей ЯМР нулевого и +/- второго порядков в одномерной системе. Полуфеноменологическая теория дипольной релаксации МК когерентностей нулевого и второго порядков в открытой линейной спиновой цепочке.

4. Ориентационная зависимость интенсивностей МК когерентностей ЯМР.

5. Теория МК динамики ЯМР в неоднородных спиновых цепочках с произвольными константами взаимодействия ближайших соседей.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов и списка использованной литературы из 71 библиографического наименования. Первая глава содержит обзор литературы по экспериментальным и теоретическим методам МК ЯМР. Во второй главе рассматривается релаксация МК когерентностей на периоде свободной эволюции в ¿¿-модели в одномерных цепочках. В третьей главе рассчитываются вторые моменты форм линий МК когерентностей с учётом флип-флоп части гамильтониана. В четвёртой главе рассматривается ориентационная зависимость динамики и релаксации МК когерентностей в одномерных цепочках. В пятой главе рассматривается динамика МК когерентностей на подготовительном периоде в неоднородных цепочках. В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Диссертация содержит 83 страницы, 16 рисунков.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 6 статьях в высокорейтинговых журналах, рекомендуемых ВАК РФ (работы [21, 22, 23, 24, 25, 26]). Статьи [21, 22, 23, 24, 25] содержат сравнение полученных теоретических результатов с экспериментальными, полученными в ФИЦ ПХФ и МХ РАН соавтором статей С.Г. Васильеым. Показано хорошее согласие теоретических и экспериментальных данных. Материалы диссертации докладывались на Международной молодежной научной Школе "Актуальные проблемы магнитного резонанса и его применение" (Казань-2016, Казань-2018, Казань-2019) и Международной конференции "Математическое моделирование и вычислительная физика" (ММСР2017, Дубна).

Личный вклад автора. Постановка задач и формулировка выводов выполнены автором совместно с научным руководителем. Автором лично выполнены: разработка метода вычисления релаксации МК когерент-ностей ЯМР на периоде эволюции МК эксперимента ЯМР в одномерной цепочке; разработка аналитических методов вычисления вторых моментов форм линий МК когерентностей ЯМР; обобщение метода вычисления МК когерентностей ЯМР на случай различных констант ДДВ между соседними спинами в цепочке; разработка полуфеноменологической теории релаксации МК когерентностей ЯМР на периоде свободной эволюции, численное исследование ориентационной зависимости релаксации МК когерентностей ЯМР путём расчётов вторых моментов форм линий МК когерентностей ЯМР в однородной цепочке из 16 спинов; проведение сравнения теоретических результатов с экспериментальными данными. Написание статей и опубликование результатов в научных журнала выполнялось совместно с соавторами.

.....I......I c^jT^C^J

Экспериментальные и теоретические методы многоквантового ЯМР (Обзор литературы)

В данной главе с теоретической точки зрения рассматривается один из типов эксперимента по многоквантовому ЯМР применительно к одномерным системам, кратко излагаются теоретические исследования, на которые опирается настоящая диссертация, и вводятся условные обозначения, используемые в дальнейшем в настоящей диссертации.

1.1 Принципы многоквантового ЯМР и его возможности

Название "многоквантовый ЯМР" подчёркивает, что в нём происходит поглощение нескольких квантов электромагнитного поля [27]. Это считалось важным тогда, когда ЯМР-спектрометры с непрерывным облучением (англ. continuous-wave) всё ещё широко использовались. Это, однако, не означает, что для описания методов, упоминаемых в настоящей диссертации, требуется квантовать внешнее радиочастотное (РЧ) поле, и в настоящей диссертации РЧ поле считается классическим. (С нашей точки зрения, МК и одноквантовый ЯМР отличаются друг от друга тем, что в случае МК

ЯМР возможны переходы между уровнями спиновой системы (§ = с изменением проекции углового спинового момента на направление внешнего магнитного поля больше, чем на единицу.) Упоминаемые здесь методы МК ЯМР восходят к классической работе [1].

Классические методы ЯМР, прежде всего, спад свободной индукции (ОСИ), описываются небольшой частью элементов матрицы плотности системы из-за ограниченного числа ненулевых матричных элементов проекционных операторов [28]. В результате информация, заключённая в спиновой системе, из экспериментальных данных ЯМР извлекается не полностью. В то же время состояние спиновой системы в МК эксперименте ЯМР может определяться всеми (или почти всеми) элементами матрицы плотности в зависимости от используемых многоимпульсных последовательностей, которыми облучается система. Таким образом, МК эксперименты ЯМР позволяют получить больше информации, чем стандартные методы ЯМР.

Важнейшим понятием многоквантовой спектроскопии ЯМР [29, 30] яв-ляетя понятие многоквантовой когерентности. По определению, в системе присутствует многоквантовая когерентность п-ого порядка, если в её матрице плотности есть ненулевые элементы р^- для г,] таких, что разность проекций углового спинового момента в состояниях |г), |]) равна п. [29, 30].

Первоначально методы МК спектроскопии ЯМР были развиты лишь для изучения динамики систем, которые состояли из нескольких ядерных спинов в молекулах, растворённых в нематических жидких кристаллах [30]. В таких молекулах при сохранении трансляционных степеней свободы в значительной степени ограничивались внутримолекулярные реориентаци-онные движения. В результате основными (не усреднёнными молекулярными движениями) взаимодействиями в спиновой системе становились внутримолекулярные диполь-дипольные взаимодействия (ДДВ). Применение МК спектроскопии к описываемой ситуации позволяло значительно упростить обычные (одноквантовые) спектры ЯМР. Так, например, обычный

спектр ЯМР молекул бензола, растворённых в нематике, состоит из большого числа перекрывающихся линий и сложен для анализа [29]. В то же время шестиквантовый спектр бензола содержит лишь одну линию. Измерение четырёхквантового спектра ЯМР представляет компромисс между упрощением спектра и сохранением полезной информации. Информация, полученная из МК ЯМР спектров высокого порядка, облегчает интерпретацию МК спектров более низкого порядка и обычных спектров ЯМР [31].

Среди других применений МК ЯМР к малочастичным спиновым системам отметим работу [32], где подробно изучена топология связей между спинами, а также методы получения спектров ЯМР высокого разрешения при значительной неоднородности внешнего магнитного поля [33, 34].

Применение МК спектроскопии ЯМР к многоспиновым системам позволило, используя ряд приёмов из экспериментов по обращению времени [35, 36], исследовать динамику многоспиновых корреляций в твёрдом теле. Одно из таких исследований проведено на системе ядерных спинов протонов в адамантане [1]. МК спектроскопия ЯМР в твёрдых телах оказалась полезной и при исследовании структуры примесных кластеров в твёрдых телах [1,3]. Так, в [3] удалось исследовать распределение протонов в аморфном протонированном кремнии (а-ЯкН). Показано, что в исследованном соединении преобладают кластеры из четырёх-семи протонов [3].

Проведённые исследования показали, что МК спектроскопия ЯМР является эффективным методом подсчёта ядерных спинов в различных примесях, кластерах и т.д.[37]. В самом деле, на небольших временах подготовительного периода МК эксперимента ЯМР образуются лишь МК когерентности порядков 0 и ±2 [1]. МК когерентности более высоких порядков образуются позднее. Если, например, при изучении структуры примеси возникают когерентности шестого порядка, но не выше, то можно утверждать, что в молекулах изучаемой примеси имеется шесть ядерных спинов (й = 1/2). Этот метод широко используется при решении различных задач физики и химии твёрдого тела [37].

МК спектроскопия ЯМР позволяет также изучить рост коррелированных спиновых кластеров [5, 6], зависимость скорости декогеренции сильно коррелированных спиновых состояний и зависимость скорости декогеренции от числа коррелированных спинов [5, 11].

В первой работе по МК ЯМР [1] предсказывался гауссов профиль МК когерентностей ЯМР, т.е. интенсивность МК когерентности к-того порядка

имеет в ид а ехр(—Ьк2) для пекотор ых а, Ь В результате из сравнения экспериментального профиля МК когерентностей с соответствующей гауссовой функцией можно найти число коррелированных спинов [38, 39]. Хотя вывод о гауссовом профиле МК когерентностей в некоторых случаях экспериментально подтверждён [8], во многих твердотельных системах этот профиль скорее экспоненциальный [7]. Проблема формы профиля МК когерентностей ЯМР остаётся нерешённой до сих пор. Прогресс в решении этой проблемы достигнут в [40] при исследовании МК динамики ЯМР в несферической нанопоре, заполненной газом спин-несущих молекул (например, ксеноном). Показано, что в этом случае профиль МК когерентностей ЯМР является экспоненциальным [40].

МК ЯМР дал возможность связать квантовомеханическую запутанность с МК когерентностями. Сначала эта связь была установлена для спиновых пар [41, 42, 43]. На основе информации Фишера [44, 45] была исследована многоспиновая запутанность [46, 47] методами МК ЯМР. Это исследование использует факт, что нижняя граница информации Фишера равна удвоенному второму моменту профиля МК когерентностей ЯМР [46]. Показано также [48], что с помощью информации Вигнера-Янасе [49] можно исследовать многоспиновую запутанность: если температура системы равна Т, то информация Вигнера-Янасе равна второму моменту спектра при температуре 2Т.

1.2 Многоквантовый (МК) эксперимент ЯМР

В МК эксперименте ЯМР [1] возможно измерить так называемые интенсивности МК когерентности, которые частично характеризуют состояние системы . В работе [1] описан МК эксперимент по ЯМР в твёрдых телах. Эта работа послужила основой для многих других применений МК ЯМР.

Схема МК эксперимента ЯМР

МК эксперимент ЯМР состоит из 4 периодов: подготовительного, свободной эволюции, смешивания и детектирования [1]. На подготовительном периоде (обозначим его длительность через т) система подвергается облучению последовательностью резонансных радиочастотных импульсов. Эволюция системы описывается оператором эволюции и (т), определяемым последовательностью РЧ импульсов.На периоде свободной эволюции (обозначим его длительность через £) система не облучается и эволюционирует под действием гамильтониана Н1 (в настоящей диссертации в нём учитываются только секулярная часть диполь-дипольного взаимодействия (ДДВ) между спинами). На периоде смешивания система снова подвергается облучению последовательностью радиочастотных импульсов. Пусть её эволюция па этом периоде описывается оператором эволюции V(т'). На периоде детектирования подаётся импульс, поворачивающий намагниченность системы па п/2 (п/2-импульс), что позволяет измерить намагниченность системы, которая до подачи этого импулься была направлена вдоль внешнего магнитного поля. Значение этой намагниченности будет пропорционально величине

иг = Тг 1г р(т,г,т ') =

= ТгIгV(т')ехр(-Ш1£)и(т)р(0)и +(т)ехр(гЯ^ + (т'), (1.1)

где через р(т, £,т') обозначена матрица плотности после трёх периодов МК эксперимента, 1г = ^ - оператор проекции углового спипово-

г

го момента ядра г та ось Интерес представляет случай, когда V(т') = ехр(-гф/^)и+(т) ехр(гф/^). Тогда (пользуясь тем, что для любых операторов А, В верпы соотнош ения Тг АВ = Тг В А и тем, что А коммутирует с ехр А), получаем

Ых = Тг 1г ехр(-гф/^)и + (т) ехр(гф/^)ехр(-гЯ^)и(т)р(0) • и +(т) ехр(гЯ^) ехр(-гф/^)и(т) ехр(гф/^) = = Тг 1ги + (т) ехр(гф/^)ехр(-гЯ^)и(т)р(0) • и + (т) ехр(гЯ^) ехр(-гф/^)и(т) =

= Тг и(т)/ги +(т) ехр(гф/^)р(т, *) ехр(-гф/^) (1.2)

Введём обозначения для "частей" рп матрицы плотностн р, "отвечающих"

п

виде суммы матриц рп так, что в используемом нами базисе (см. ниже

каждый матричный элемент "принадлежит" ровно одной из рп (в остальных рп на его месте всегда стоит нуль, независимо от значений элементов р

|к) = |к1к2 ... к^) элемент базиса пространства чистых состояний, у которого к = 1, если г-тый спин ориентирован против внешнего магнитного поля (возбуждённое состояние), к = 0, если он ориентирован вдоль поля (невозбуждённое состояние). Других базисных состояний нет. Тогда по определению матричный элемент (] |рп|к) равен

(]>#) = |(]1р|кЬ -к = п (1.з)

0, ,

т.е. если ) содержит на п больше возбуждённых спи нов, чем |к), то соответствующий матричный элемент такой же, как и в полной матрице; иначе он равен нулю. Заметим, что р-п = р+ ввиду эрмитовости матриц плотности.

Польза от введения pn видна из следующего тождества:

exp(-¿ф/z)pn exp(i^/z) = exp(-in^)pn, (1.4)

Начальное состояние, p(0), предполагается термодинамически равновесным, т.е.

p(0) = eXPt1, ™

где b - безразмерная обратная температура, именно,

7 (л ^

b = ~kT , (L6)

где T - температура, k - постоянная Больцмана, h - приведённая постоянная Планка, ш0 - (круговая) ларморовская частота.

В настоящей диссертации используется т.н. высокотемпературное приближение. При b ^ 1 можно разложить экспоненту в (1.5) в ряд Тейлора до члена первого порядка включительно:

exp (blz) « 1 + blz. (1.7)

Подставим (1.5) и затем (1.7) в (1.1) и раскроем скобки. Легко видеть, что скалярный член (1.7) даёт нулевой след в (1.1). Так как полученное вы-

b

же можно выбросить и пользоваться выражением для начальной матрицы плотности

p(0) = Iz. (1.8)

Также заметим, что имеет место простая формула для интенсивностей МК когерентностей Gn (т) на подготовительном периоде:

Gn(T) = Tr Рп(т )р—п(т). (1.9)

Это означает, что на подготовительном периоде интенсивность равна сумме квадратов абсолютных величин элементов матриц pn (т). Эта формула объясняет название интенсивности многоквантовых когерентностей:

x

x

-x

-x -x

-x x

x

2t

2t

2t

2t

t

t

t

Рис. 1.1: Схематическое представление 8-импульсной последовательности, использованной в [1] и в экспериментах, поставленных для проверки результатов, изложенных в настоящей диссертации. |-импульсы прикладываются вдоль оси х вращающейся системы координат, т, 2 т - интервалы времени между соседними импульсами

это сумма квадратов модулей матричных элементов, отвечающих за n-квантовые переходы.

Заметим, что Tr p¡pj = 0 при i + j = 0, откуда получаем, что сумма всех интенсивностей МК когерентностей на подготовительном периоде равна

£ Gn (т) = £ Tr pn (т )p-n(r) = £ Tr Pi(T )pj (т) = Tr(p(T )2) (1.10)

n n i,j

Это выражение также равно сумме квадратов абсолютных величин мат-

p( т)

постоянна:

Tr(p(T )2) = Tr(U (т )p(0)2U (т)+) = Tr(p(0)2) (1.11)

В дальнейшем мы нормируем эту сумму так, что она равна 1 на подготовительном периоде, не оговаривая это специально.

В работе [1] использовалась периодическая импульсная последовательность, период которой состоит из 8 импульсов (схематически изображён на рис. 1.1), дающая средний гамильтониан

hmq = £ Dkl (I+I+ + I-I-), (1.12)

k<i

где Ik± - повышающий и понижающий операторы для спина k, I± = Iх±iIy, I^ - операторы проекции углового момента для с пина с номером m на ось а (а = x, y, z).

Экспериментальные модели квазиодномерных цепочек

Одними из немногих минералов, в котором имеются цепочки атомов с ядерным спином 1/2, которые можно считать достаточно изолированными друг от друга, являются гидроксиапатит Сэб(Р04)30Н и фтора-патит Са5(Р04)3Р. В качестве экспериментальной модели квазиодномерных цепочек был выбран фторапатит. Фторапатит имеет гексагональную структуру[50]. Ядра фтора образуют линейные цепочки, направленные вдоль оси с кристалла, с расстоянием между ближайшими соседями в 342 пм и расстоянием между ближайшими цепочками в 937 пм [50]. При ориентации цепочек вдоль внешнего магнитного поля это означает, что константы ДДВ между ближайшими соседями более чем в 40 раз (константа ДДВ зависит от угла ф между вектором, соединяющим взаимодействующие спины, и внешним магнитным полем, а именно, там присутствует множитель 1-3 2°8 ф; он равен -1 для соседних спинов и 1/2 для ближайших спинов из соседних цепочек) больше констант ДДВ между любыми спинами из разных цепочек, что даёт основания считать цепочки почти изолированными и рассматривать их как квазиодномерную систему.

В гамбергите Ве2В030Н также имеются цепочки протонов [51], которые можно рассматривать как одномерные. Однако это приближение заметно хуже, чем для апатитов: расстояние между цепочками всего в 2 раза больше расстояния между спинами внутри цепочки [51] (в 2.7 раза для фто-рапатита). Так как константа ДДВ обратно пропорциональна кубу расстояния между диполями, формально приближение изолированных цепочек оказывается более чем вдвое хуже. С другой стороны, зигзагообразность цепочек позволяет получать цепочку с двуми чередующимися константами ДДВ ближайших соседей и влиять на их отношение изменением ориентации кристалла относительно внешнего сильного магнитного поля, что было предметом исследований в [52, 53, 26].

Рис. 1.2: Расположение атомов фтора в кристалле фторапатита

1.3 Теория МК ЯМР одномерных систем

Динамика системы на подготовительном периоде МК эксперимента ЯМР

В идеальном случае система ядерных спинов, связанных ДДВ, описывается средним гамильтонианом вида (1.12) [1].

В приближении взаимодействия ближайших соседей сумма в (1.12) ограничена слагаемыми с I = к + 1, и её можно свести к так называемому флип-флоп-гамильтониану путём смены спиновых координат, описываемой оператором:

иЦгР = П 2/Х (1-13)

¿=2,4,...

Этот оператор с точностью до знака (что несущественно при замене координат в матрицах плотности) совпадает с поворотом нап систем координат спинов с чётным номером вокруг оси х.

Заметим, что это преобразование обратно самому себе, поэтому его применение к (1.12) для случая ближайших соседей можно записать как

НЯ _ и^рНмсэи^р _ ^ ВкМ1(1к1к+1 + 4 ^а+ы)

(1.14)

Используя преобразование Йордана-Вигнера [54], перейдём от системы взаимодействующих спинов к системе невзаимодействующих фермионов [28

Бесконечные системы

Для бесконечной цепочки преобразование Йордана-Вигнера имеют вид

Ф _ от-1 /г /г р /+

Ф+ _2т-111 11 1г 1-

т ^1^2"' т—1 т

(1.15)

Для фермионных операторов Фт верпы антикоммутационные соотношения 28]

К, Фт' ] + _ ^тт', [Фт, Фт' ] + _ К, Ф^,' ] + _ 0- (1'16)

И наоборот, операторы можно выразить через операторы Фт следующим образом [17]:

1 1 (1.17)

/| _ --171+ _-- Ф+Ф. ■

2

з з

2

-з^з-

С помощью (1.17) легко получить выражения для /+ и Г :

, _

, _

3-1

П (1 - 2ФтФт)

,т=1 'з-1

П (1 - 2ФтФт)

т=1

Ф+

Фз

(1.18)

Для упрощения выкладок, часто встречающиеся произведения 23-г/|/| ■ ■ ■ /|-15 где г ^ ^ будут обозначаться П, Ц,3 будет тождественным оператором. Заметим, что Ц^Цк _ Ц«,к- В важных результатах они будут выписаны полностью.

Выразим гамильтониан на подготовительном периоде через Фу.

1+1++1 = 2Фу/;+1 Фу+1 = Фу (2ФуФ+ - 1) Фу+1 = -ФуФу+1 (1.19)

Применяя комплексное сопряжение к левой и правой частям этого равенства, получаем

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бочкин Георгий Алексеевич, 2023 год

Литература

1. Multiple-quantum dynamics in solid state NMR / J. Baum, M. Munowitz, A. N. Garroway, A. Pines // J. Oliem. Pliys. 1985. Vol. 83, no. 5.— P. 2015-2025.

2. Baum, J. NMR studies of clustering in solids / J. Baum, A. Pines //J. Am. Oliem. Soc. — 1986. — Vol. 108, no. 24. — P. 7447-7454.

3. Multiple-Quantum NMR Study of Clustering in Hydrogenated Amorphous Silicon / J. Baum, K. K. Gleason, A. Pines, A. N. Garroway, J. A. Reimer // Phys. Rev. Lett. — 1986. — Vol. 56. ^ P. 1377-1380.

4. Nielsen, M. A. Quantum Computation and Quantum Information / M. A. Nielsen, I. L. Chuang. — [S. 1.] : Cambridge University Press, 2000.

5. Krojanski, H. G. Scaling of Decoherence in Wide NMR Quantum Registers / H. G. Krojanski, D. Suter // Phys. Rev. Lett. — 2004. — Vol. 93. — P. 090501.

6. Decay of highly correlated spin states in a dipolar-coupled solid: NMR study of CaF2 / H. Cho, P. Cappellaro, D. G. Cory, Ch. Ramanathan // Phys. Rev. B. — 2006. — Dec. — Vol. 74. — P. 224434.

7. Lacelle, S. Multiple quantum nuclear magnetic resonance of solids: A cautionary note for data analysis and interpretation / S. Lacelle, S.-J. Hwang, B. C. Gerstein // The Journal of Chemical Physics. — 1993. — Vol. 99, no. 11. — P. 8407-8413.

8. Nuclear magnetic resonance polarization and coherence echoes in static and rotating solids / M. Tomaselli, S. Hediger, D. Suter, R. R. Ernst // The Journal of Chemical Physics. - 1996. - Vol. 105, no. 24. - P. 10672-10681.

9. Doronin, S. I. Line shapes of multiple quantum NMR coherences in one-dimensional quantum spin chains in solids / S. I. Doronin, E. B. Fel'dman, I. I. Maksimov // J. Magn. Reson. 2004. Vol. 171. P. 37-42.

10. Kaur, G. Decay of spin coherences in one-dimensional spin systems / G. Kaur, A. Ajoy, P. Cappellaro // New J. Phys. - 2013. - Vol. 15, no. 9. -P. 093035.

11. Dipolar Relaxation of Multiple Quantum NMR Coherences as a Model of Decoherence of Many-Qubit Coherent Clusters / G. A. Bochkin, E. B. Fel'dman, S. G. Vasil'ev, V. I. Volkov // Appl. Magn. Reson. - 2018. -Jan.-Vol. 49, no. 1. P. 25-34.

12. Cho, G. Multiple-quantum NMR dynamics in the quasi-one-dimensional distribution of protons in hydroxyapatite / G. Cho, J. P. Yesinowski // Chem. Phys. Lett. - 1993. -Vol. 205, no. 1.-P.1-5.

13. Cho, G. and 19F Multiple-Quantum NMR Dynamics in Quasi-One-Dimensional Spin Clusters in Apatites / G. Cho, J. P. Yesinowski //J. Phys. Chem.-1996.-Vol. 100, no. 39.-P. 15716-15725.

14. Goldman, M. Spin Temperature and Nuclear Magnetic Resonance in Solids. — Oxford : Clarendon, 1970.

15. Abragam, A. The Principles of Nuclear Magnetism. — Oxford : Clarendon, 1961.

16. Fel'dman, E. B. Multiple quantum NMR spin dynamics in one-dimensional quantum spin chains / E. B. Fel'dman, S. Lacelle // Chem. Phys. Lett. — 1996.-Vol. 253, no. 27.-P. 27.

17. Fel'dman, E. В. Multiple quantum nuclear magnetic resonance in one-dimensional quantum spin chains / E. B. Fel'dman, S. Lacelle //J. Chem. Pliys. 1997. Vol. 107, no. 18. — P. 7067-7084.

18. Doronin, S. I. Multiple-quantum dynamics of one-dimensional nuclear spin systems in solids / S. I. Doronin, I. I. Maksimov, E. B. Fel'dman //J. Exp. Theor. Phys.-2000.-Vol. 91, no. 3.-P. 597-609.

19. Fel'dman, E. B. Exact results on spin dynamics and multiple quantum NMR dynamics in alternating spin-1/2 chains with XY Hamiltonian at high temperatures / E. B. Fel'dman, M. G. Rudavets // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. 2005. .Ian. Vol. 81, no. 2. —P. 4752.

20. Kuznetsova, E. I. Exact solutions in the dynamics of alternating open chains of spins s = 1/2 with the XY Hamiltonian and their application to problems of multiple-quantum dynamics and quantum information theory / E. I. Kuznetsova, Ё B. Fel'dman // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 2006. — Jun. — Vol. 102, no. 6. — P. 882-893.

21. Bochkin, G. A. Relaxation of Multiple Quantum NMR Coherences in Quasi-One-Dimensional Spin Systems / G. A. Bochkin, E. B. Fel'dman, S. G. Vasil'ev // Z. Phys. Oliem. 2017. Vol. 231, no. 3. P. 513-525.

22. Dipolar relaxation of multiple quantum NMR coherences in one-dimensional systems / G.A. Bochkin, E.B. Fel'dman, S.G. Vasil'ev, V.I. Volkov // Chem. Phys. Lett. - 2017. - Vol. 680. ^ P. 56 - 60.

23. Вторые моменты формы линий многоквантовых когерентностей ЯМР в одномерных системах / Г.А. Бочкин, С.Г. Васильев, И.Д. Лазарев, Э.Б. Фельдман // ЖЭТФ. — 2018. — Т. 154, № 3. С. 621-628.

24. Orientational dependencies of dynamics and relaxation of multiple quantum NMR coherences in one-dimensional systems / G.A. Bochkin, E.B.

Fel'dman, I.D. Lazarev, A.A. Samoilenko, S.G. Vasil'ev // Journal of Magnetic Resonance. - 2019. - Vol. 301. - P. 10 - 18.

25. Bochkin, G. A. Theoretical Analysis of Multiple Quantum NMR Dynamics in One-Dimensional Inhomogeneous Spin Systems (s = 1/2) / G. A. Bochkin, E. B. Fel'dman, S. G. Vasil'ev // Applied Magnetic Resonance. — 2022.-May.

26. multiple quantum NMR in alternating quasi-one-dimensional spin chains of hambergite / G.A. Bochkin, E.B. Fel'dman, D.P. Kiryukhin, P.P. Kushch, S.G. Vasil'ev // Journal of Magnetic Resonance. — 2023. — Vol. 350. P. 107415.

27. Munowitz, M. Multiple-Quantum Nuclear Magnetic Resonance Spectroscopy / M. Munowitz, A. Pines // Science. — 1986. — Vol. 233, no. 4763.-P. 525-531.

28. Л.Д.Ландау. Квантовая механика (нерелятивистская теория) / Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. — Москва : Наука, 1989.

29. Warren, W. S. Theory of selective excitation of multiple-quantum transitions / W. S. Warren, D. P. Weitekamp, A. Pines // The Journal of Chemical Physics. - 1980.-Vol. 73, no. 5.-P. 2084-2099.

30. Bodenhausen, G. Multiple-quantum NMR // Progress in Nuclear Magnetic Resonance Spectroscopy. — 1980. — Jan.—Vol. 14, no. 3. — P. 137-173.

31. Burnell, E.E. NMR as a tool in the investigation of fundamental problems in ordered liquids / E.E. Burnell, C.A. de Lange // Solid State Nuclear Magnetic Resonance.-2005.-Vol. 28, no. 2.-P. 73-90.

32. Bax, A. Investigation of 13C-13C long-range couplings in natural-abundance samples / A. Bax, R. Freeman, S. P. Kempsell // Journal of Magnetic Resonance.-1980.-Nov.-Vol. 41, no. 2.-P. 349-353.

33. High-resolution NMR spectra in inhomogeneous magnetic fields: application of total spin coherence transfer echoes / D. P. Weitekamp, J. R. Garbow, J. B. Murdoch, A. Pines // Journal of the American Chemical Society. — 1981. — Jun. — Vol. 103, no. 12.-P. 3578-3579.

34. Garbow, J. R. Total spin coherence transfer echo spectroscopy / J. R. Garbow, D. P. Weitekamp, A. Pines // The Journal of Chemical Physics. — 1983.-Vol. 79, no. 11.-P. 5301-5310.

35. Schneider, H. Negative time development of a nuclear spin system / H. Schneider, H. Schmiedel // Physics Letters A. — 1969. — Vol. 30, no. 5. — P. 298-299.

36. Rhim, W.-K. Violation of the Spin-Temperature Hypothesis / W.-K. Rhim, A. Pines, J. S. Waugh // Phys. Rev. Lett. - 1970. - Jul. - Vol. 25.-P. 218-220.

37. Hughes, C. E. Spin counting // Progress in Nuclear Magnetic Resonance

Spectroscopy.-2004.-Vol. 45, no. 3.-P. 301-313. 1

multiple-quantum NMR spectroscopy / S.G. Vasil'ev, V.I. Volkov, E.A. Tatarinova, A.M. Muzafarov, N.A. Sipyagina, S.A. Lermontov // Journal of Non-Crystalline Solids. - 2018. - Vol. 489. - P. 6-15.

39. Avilova, I. A. Investigation of Multiple-Quantum NMR Coherence Growth and Intensity Profile in Silsesquioxanes / I. A. Avilova, A. V. Chernyak, S. G. Vasil'ev // Applied Magnetic Resonance. — 2019. — Dec. — Vol. 50, no_ 12. — P. 1419-1428.

40. Multiple quantum NMR dynamics of spin-12 carrying molecules of a gas in nanopores / S. I. Doronin, A. V. Fedorova, E. B. Fel'dman, A. I. Zenchuk // The Journal of Chemical Physics. - 2009. - Vol. 131, no. 10. - P. 104109.

41. Doronin, S. I. Multiple quantum spin dynamics of entanglement // Phys. Rev. A. - 2003. - Nov. - Vol. 68. - P. 052306.

42. Furman, G. B. Multiple quantum NMR and entanglement dynamics in dipolar coupling spin systems / G. B. Furman, V. M. Meerovich, V. L. Sokolovsky // Phys. Rev. A. — 2008. — Oct. — Vol. 78. — P. 042301.

43. Furman, G. B. Nuclear polarization and entanglement in spin systems / G. B. Furman, V. M. Meerovich, V. L. Sokolovsky // Quantum Information Processing. — 2009. — Aug. — Vol. 8, no. 4. — P. 283-291.

44. Tôth, G. Quantum metrology from a quantum information science perspective / G. Tôth, I. Apellaniz // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2014. — oct. — Vol. 47, no. 42. — P. 424006.

45. Quantum metrology with nonclassical states of atomic ensembles / L. Pezzè, A. Smerzi, M. K. Oberthaler, R. Schmied, P. Treutlein // Rev. Mod. Phys. - 2018. - Sep. - Vol. 90. - P. 035005.

46. Gârttner, M. Relating Out-of-Time-Order Correlations to Entanglement via Multiple-Quantum Coherences / M. Gârttner, P. Hauke, A. M. Rey // Phys. Rev. Lett. — 2018. — Jan. — Vol. 120. — P. 040402.

47. Doronin, S. I. Many-particle entanglement in multiple quantum nuclear-magnetic-resonance spectroscopy / S. I. Doronin, E. B. Fel'dman, I. D. Lazarev // Phys. Rev. A. — 2019. — Aug. — Vol. 100. P. 022330.

48. Doronin, S.I. Multiple quantum NMR in solids as a method of determination of Wigner-Yanase skew information / S.I. Doronin, E.B. Fel'dman, I.D. Lazarev // Physics Letters A. — 2021. — Vol. 406. — P. 127458.

49. Wigner, E. P. Information contents of distributions / E. P. Wigner, M. M. Yanase // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 1963. — Vol. 49, no. 6. — P. 910-918.

50. Elliott, J. C. Structure and chemistry of the apatites and other calcium orthophosphates. Studies in Inorganic Chemistry 18. — Amsterdam : Elsevier Science, 1994.

51. A single-crystal neutron diffraction study of hambergite, Be2B03(0H,F) / G. D. Gatta, G. J. Mclntyre, G. Bromiley, A. Guastoni, F. Nestola // American Mineralogist. — 2012. — Vol. 97.

52. :H NMR in a quasi-one-dimensional zig-zag spin chain of hambergite, Be2BC>3(OH) / G.A. Bochkin, E.B. Fel'dman, E.I. Kuznetsova, I.D. Lazarev, S.G. Vasil'ev, V.l. Volkov // Journal of Magnetic Resonance.— 2020.-Vol. 319.-P. 106816.

53. Vasil'ev, S. G. Investigation of Linear and Alternating Quasi-one-dimensional Spin Chains in Hambergite Single Crystal by Means of :H NMR // Applied Magnetic Resonance. - 2021. - Jul. - Vol. 52, no. 7.-P. 893-901.

54. Jordan, P. Uber das Paulische Aquivalenzverbot / P. Jordan, E. Wigner // X. Phys.- 1928. -Vol. 47, no. 9.-P. 631-651.

55. D.C.Mattis. The Theory of Magnetism 2: Thermodynamics and Statistical Mechanics. — New York : Springer, 1985.

56. Fradkin, E. Field Theories of Condensed Matter Physics. — Redwood, California : Addison-Wesley, 1991.

57. Abragam, A. Nuclear Magnetism: Order and Disorder / A. Abragam, M. Goldman. —New York : Oxford University Press, 1988.

58. Fel'dman, E. B. Multiple quantum NMR spin dynamics in one-dimensional quantum spin chains / E. B. Fel'dman, S. Lacelle // Chem. Phys. Lett. — 1996.-Vol. 253, no. l.-P. 27-31.

59. Fel'dman, E. B. Multiple quantum nuclear magnetic resonance in one-dimensional quantum spin chains / E. B. Fel'dman, S. Lacelle //J. Chem. Pliys. 1997. Vol. 107, no. 18. — P. 7067-7084.

60. Dynamics and relaxation of multiple quantum NMR coherences in a quasi-one-dimensional chain of nuclear spins 19F in calcium fluorapatite / S. I. Doronin, S. G. Vasil'ev, A. A. Samoilenko, E. B. Fel'dman, B. A. Shumm // JETP Lett. — 2015. — May. — Vol. 101, no. 9. P. 613-617.

61. Fel'dman, E. B. Multiple Quantum NMR in One-Dimensional and Nano-Scale Systems: Theory and Computer Simulations // Appl. Magn. Reson. — 2014. Vol. 45, no. 8. P. 797-806.

62. Fel'dman, E. B. Configurational averaging of dipolar interactions in magnetically diluted spin networks / E. B. Fel'dman, S. Lacelle // The Journal of Chemical Physics. - 1996. - Vol. 104, no. 5. - P. 2000-2009.

63. Dipolar broadening and exchange narrowing of EPR lines from the paramagnetic centers distributed on a solid surface / V. A. Atsarkin, G. A. Vasneva, V. V. Demidov, F. S. Dzheparov, B. M. Odintsov, R. B. Clarkson // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. — 2000. — Oct. — Vol. 72, no. 7. — P. 369-372.

64. Anomalies in the NMR of silicon: Unexpected spin echoes in a dilute dipolar solid / A. E. Dementyev, D. Li, K. MacLean, S. E. Barrett // Phys. Rev. B.-2003.-Oct.-Vol. 68. — P. 153302.

65. Hayashi, S. Analysis of crystal structure of fluoro-apatite by means of nuclear magnetic resonance // Nippon Kagaku Zasshi. — 1960. — 4. — Vol. 81, no. 4.

66. van der Lugt, W. Nuclear magnetic resonance line shape of fluorine in apatite / W. van der Lugt, W.J. Caspers // Physica. 1964. Vol. 30, no. 8. — P. 1658 - 1666.

67. Engelsberg, M. Nuclear-Magnetic-Resonance Line Shape of a Linear Chain of Spins / M. Engelsberg, I. J. Lowe, J. L. Carolan // Phys. Rev. B. 1973. - Feb. - Vol. 7. - P. 924-929.

68. Sur, A. NMR line-shape calculation for a linear dipolar chain / A. Sur, I. J. Lowe // Phys. Rev. B. 1975. Dec. Vol. 12. — P. 4597-4603.

69. Abramovitz, A. Handbook of Mathematical Functions / A. Abramovitz, I.A. Stegun. — New York : Hemisphere, 1987.

70. Zachariasen, W. H. The structure and birefringence of hambergite,

23

Crystallographies-1963.-Vol. 16, no. 11.-P. 1144-1146.

71. Vasil'ev, S. G. Free Induction Decay in Zigzag Spin Chains in a Multi-pulse NMR Experiment / S. G. Vasil'ev, A. V. Fedorova, E. B. Fel'dman // Applied Magnetic Resonance. - 2021. - Jul. - Vol. 52, no. 7. - P. 831-842.